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凸集与凸函数凸集与凸函数是数学中具有较高应用价值的两个概念，它们在优化、经济学、工程学、数学物理等领域都有着广泛的应用。
一、凸集的定义凸集是指在欧几里得空间中，对于任意两个点$x_1$和$x_2$ ，如果这两个点都处于凸集内，那么它们之间的所有点也都应该在该凸集内，即：$$x_1,x_2\in C\Rightarrow\lambda{x_1}+(1-\lambda)x_2\in C\0\leq\lambda\leq1$$其中的$\lambda$是权重系数，使得对于$x_1$和$x_2$的线性组合能够在凸集内。
凸集不仅包括均匀分布的整个区域，而且还包括所有边界上的点。
凸函数是指在定义域内的任意两个点$x_1$和$x_2$之间，其函数值的线性组合仍然处于函数的值域内，即：凸函数是凸集上的实值函数，其定义域是一个凸集。
凸函数的定义与凸集的定义类似，可以形式化证明凸函数在其定义域上是凸集。
具体来说，对于凸函数$f(x)$，当且仅当它的定义域是凸集时，它才是凸函数。
同时，凸函数也存在一些性质，例如其导数是递增的、局部最小值是全局最小值等。
除此之外，凸集与凸函数还有许多更深入的联系。
例如，可分离凸函数、第一性原理的凸优化算法、鞍点理论等，都是凸集与凸函数相关的研究领域。
四、应用举例凸集与凸函数的应用非常广泛，例如：1. 在优化中，凸集与凸函数是常用的工具。
例如，线性规划、半定规划、凸优化等问题都涉及到凸集和凸函数。
2. 在经济学中，凸集与凸函数可以用来描述市场需求、供给等重要问题，例如企业的利润最大化、消费者选择最大化等问题。
3. 在计算机科学中，凸集与凸函数被广泛应用于机器学习、人工智能等领域。
例如，梯度下降法、反向传播算法等都是基于凸函数的优化算法。
总之，凸集与凸函数是数学中非常重要的概念，不仅应用广泛，而且具有一些深刻的理论性质。
在未来的科学研究中，凸集与凸函数的研究将会得到更加广泛的关注和应用。
第二讲凸集与凸函数22•定义1(凸集)设集合, 若对于任意两点及实数, 都有, 则称集合为凸集.nR D ⊂D y x ∈,]1,0[∈αD y x ∈-+)1(ααD 凸集x y xyx y凸集•例1. 证明超平面为凸集.证明:设, 对有因此，故为凸集.}{b x a R x H T n =∈=H y x ∈,]1,0[∈∀αbb b ya x a y x a T T T=-+=-+=-+)1()1())1((ααααααH y x ∈-+)1(ααH •例2. 欧式空间, 半空间为凸集.规定空集Ø为凸集.n R }{b x a R x H T n ≥∈=+凸集的性质•(3). 设为凸集，则为凸集.•(2). 设为凸集, , 则为凸集.D R ∈β},|{D x x y y D ∈==ββ21,D D },|{2121D y D x y x z D D ∈∈+==+比如,对于性质(3),是单点集，是三角形为四边形1D 2D 21D D +•(1). 设,,...,为凸集，则...为凸集.1D 2D n D 21D D D =n D•(4).S 是凸集当且仅当S 中任意有限个点的凸组合仍然在S 中.•(5). 设是凸集，则也是凸集，其中是实数。
k i D i ,,2,1, =i ki i D ∑=1βi β例3. 表示x 轴上的点.表示y 轴上的点.则表示两个轴上得所有点，它不是凸集；而是凸集.(){}R x x D T ∈=|0,1(){}R y y D T ∈=|,0221D D ⋃221R D D =+注：凸集的和集和并集有很大的区别，凸集的并集未必是凸集，而凸集的和集是凸集.凸集的性质定义2（-水平集）设是定义在集合R 上的实函数，是实数，则称如下的集合是函数的-水平集。
α)(x f α})(,|{αα≤∈=x f R x x S )(x f α凸函数•定义3 (凸函数)设函数定义在凸集上，若对于及,都有,则称为上的凸函数.f nR D ⊂D y x ∈∀,]1,0[∈∀α)()1()())1((y f x f y x f αααα-+≤-+f D •定义4 (严格凸函数)设函数定义在凸集上若对于及,都有,则称为上的严格凸函数.f n R D ⊂D y x ∈∀,)1,0(∈∀α)()1()())1((y f x f y x f αααα-+<-+f D凸函数•定理1(一阶条件) 设在凸集上可微, 则在上为凸函数的充分必要条件是对, 都有.f n R D ⊂f D D y x ∈∀,)()()()(x y x f x f y f T -∇+≥•定理2(二阶条件) 设在开凸集上二阶可微,则(1).在为上凸函数的充要条件为时,半正定.(2). 时, 正定, 则为上的严格凸函数.f n R D ⊂f D D x ∈∀)(2x f ∇D x ∈∀)(2x f ∇f D 1x 0x 1f 0f ()f x 000()f f T x x +∇-典型凸函数6) f (x) = x log x, x >0.既凸又凹！凸函数与不等式凸函数的性质性质1设()f x 是凸集n D R ⊂上的凸函数,实数0k ≥,则()kf x 也是D 上的凸函数.性质2设()()12,f x f x 是凸集nD R ⊂上的凸函数,实数,0λμ≥,则()()12f x f x λμ+也是D 上的凸函数.性质3设()f x 是凸集nD R ⊂上的凸函数,β是实数,则水平集()(){},,S f x x D f x ββ=∈≤是凸集. 12例5.试判断下列函数的凸凹性。
