线性代数复习题(全)

线性代数期末复习题《线性代数》综合复习题⼀、单项选择题：1、若三阶⾏列式D 的第三⾏的元素依次为1、2、3，它们的余⼦式分别为4、2、1，则D =（）(A)－3 (B) 3 (C) －11 (D) 112、设123,,ααα是三阶⽅阵A 的列向量组，且齐次线性⽅程组AX =O 仅有零解，则（）(A) 1α可由23,αα线性表⽰ (B) 2α可由13,αα线性表⽰ (C) 3α可由12,αα线性表⽰ (D) 以上说法都不对3、设A 为n(n ≥2)阶⽅阵，且A 的⾏列式|A |=a ≠0，A *为A 的伴随矩阵，则| 3A * | 等于（）(A) 3n a (B) 3a n -1(C) 3n a n -1 (D) 3a n4、设A =333231232221131211a a aa a a a a a , B =????? ??+++133311311232232122131112a a a a a a a a a a a a ,????? ??=1000010101P ,????=1010100012P ，则有（）(A) B AP P =12 (B) B AP P =21 (C) B A P P =21 (D) B A P P =12 5、设A 是正交矩阵，则下列结论错误．．的是（） (A) |A |2必为1 (B) |A |必为1 (C) A -1=A T (D) A 的⾏向量组是正交单位向量组 6、设A 是n 阶⽅阵，且O E A A =+-232，则（）(A) 1和2必是A 的特征值 (B) 若,2E A ≠则E A =(C) 若,E A ≠则E A 2= (D) 若1不是A 的特征值，则E A 2=7、设矩阵210120001A ??=，矩阵B 满⾜2ABA BA E **=+，其中E 为三阶单位矩阵，A *为A 的伴随矩阵，则B = （A ）13；（B ）19；（C ）14；（D ）13。

一.单项选择题1.设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为12,αα，则1α，12()+A αα线性无关的充分必要条件是【 】(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [五.特征值,特征向量]2. 设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B , **,A B 分别为A,B 的伴随矩阵，则【 】.(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B . (B) 交换*A 的第1列与第2列得*B -； (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -. [二.四.矩阵及其运算,行列式]3.设矩阵A =33)(⨯ij a 满足*T A A =，其中*A 为A 的伴随矩阵，T A 为A 的转置矩阵. 若131211,,a a a 为三个相等的正数，则11a 为【 】.(A) 33. (B) 3. (C) 31. (D)3. [二.四.伴随矩阵,行列式]4.设A,B,C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若B =E +AB ,C =A +CA ，则B -C 为【 】(A) E . （B ）-E . （C ）A . (D) -A [二.矩阵及其运算]5 .设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是【 】（A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.（C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.[二.向量组的线性相关性]6.设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，则 【 】（A ）1.-=C P AP （B ）1.-=C PAP （C ）.=T C P AP （D ）.=TC PAP[二.矩阵及其运算,初等矩阵]7.设125,,......∂∂∂,均为n 维列向量 A 是m n ⨯矩阵,下列正确的是【 】(A) 若125,,......∂∂∂线性相关,则125,......A A A ∂∂∂线性相关 (B) 若125,,......∂∂∂线性相关,则125,......A A A ∂∂∂线性无关 (C) 若125,,......∂∂∂线性无关,则125,......A A A ∂∂∂线性相关 (D) 若125,,......∂∂∂线性无关,则125,......A A A ∂∂∂线性无关 [二.向量组的线性相关性]8.设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是【 】 (A) 122331,,;---αααααα (B) 122331,,;+++αααααα (C)1223312,2,2;---αααααα (D) 1223312,2,2+++αααααα. [二.向量组的线性相关性]9.设矩阵211100121,010112000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A B ，则A 与B 【 】(A) 合同且相似； (B) 合同但不相似； (C) 不合同但相似； (D) 既不合同也不相似.[五.矩阵的相似与合同]10.设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30=A ，则【 】 (A) -E A 不可逆，+E A 不可逆. (B) -E A 不可逆，+E A 可逆. (C) -E A 可逆，+E A 可逆. (D) -E A 可逆，+E A 不可逆.[二.矩阵及其运算,逆矩阵]11.设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(,,)1x x y z A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为【 】 (A) 0 ; (B) 1 ; (C) 2 ; (D) 3. [五.矩阵的特征值]12.设1221⎛⎫=⎪⎝⎭A 则在实数域上与A 合同的矩阵为【 】 (A) 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭;(B) 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭;(C) 2112⎛⎫⎪⎝⎭.;(D) 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.[五.矩阵的合同]13.设123,,a a a 是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23a a a 到基122331,,+++a a a a a a 的过渡矩阵为【 】.（A ）101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）120023103⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（C ）111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭（D ）111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. [三. 向量空间，基，过渡矩阵]14.设 A ,B 均为 2 阶矩阵，,**A B 分别为A ，B 的伴随矩阵，若|A |=2，|B |=3，则分块矩阵00⎛⎫⎪⎝⎭A B 的伴随矩阵为【 】. （A ）32**⎛⎫ ⎪⎝⎭O B A O （B ）23**⎛⎫ ⎪⎝⎭O B A O （C ）32**⎛⎫ ⎪⎝⎭O A B O （D ）23**⎛⎫ ⎪⎝⎭O A BO [二. 三..四.伴随矩阵，逆矩阵，分块矩阵，行列式]15.设A ，P 均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且TP A Ｐ＝100010002 ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭，若1231223(,,),(,,)==+P Q ααααααα，则T Q AQ 为【 】.（Ａ）2101 ⎛⎫ ⎪ 1 0 ⎪ ⎪0 0 2⎝⎭ （Ｂ）11012000 ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ 2⎝⎭ （Ｃ）20001 ⎛⎫ ⎪ 0 ⎪ ⎪0 0 2⎝⎭ （Ｄ）100020002 ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭[二. 四.伴随矩阵，分块矩阵的行列式与逆矩阵]16.设矩阵142242A ab a 2 1⎛⎫ ⎪=2 + ⎪ ⎪ + ⎝⎭的秩为2，则【 】.（A ）a =0,b =0（B ）a =0,b ≠0 （C ）a ≠0,b =0 （D ）a ≠0,b ≠0.[一. 矩阵的秩]17.设A 为3阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，A 的行列式|A |=2，则|-2*A |=【 】.（A ）52-; （B ）32-; （C ）32 ; （D ）52.[四. 伴随矩阵，方阵的行列式]二.填空题1.设123,,ααα均为三维列向量，记矩阵123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα，如果1=A ，那么=B .[四.方阵的行列式]2. 设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a = . .[二.四.向量组的线性相关性,行列式] 3.设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2=+BA B E ，则B = .[四.方阵的行列式]4.设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2=+BA B E ，则B = .[二.矩阵及其运算]5. 已知12,a a 为2维列向量，矩阵1212(2,)=+-A a a a a ，12(,)=B a a .若行列式||6=A ，则||B = .[四.方阵的行列式] 6．设矩阵0100001000010000⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则3A 的秩为 . [二.矩阵及其运算,矩阵的秩]7．设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，10,=A α，2122=+A ααα则A 的非零特征值为 .[五.矩阵的特征值]8．设3阶矩阵A 的特征值1，2，2，14--=A E .[五.矩阵的特征值,行列式]9.设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ. 若行列式248=-A ,则λ= . [五.矩阵的特征值,行列式]10.设3阶矩阵A 的特征值互不相同,若行列式0=A , 则A 的秩为 . [五.矩阵的特征值,行列式]11.若 3 维向量,a β满足2=Taβ，其中T a 为a 的转置，则矩阵T a β的非零特征值为______.[五.矩阵的特征值与特征向量]12.设,αβ为3维列向量，T β为β的转置，若T β相似于200000000 ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭，则T βα=___________[五. 相似矩阵，特征值]13.设(1,1,1),(1,0,)k ==αβ，若矩阵Tαβ相似于300000000 ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭，则k =_______[五. 相似矩阵，特征值]14.设向量组(1,0,1),(2,1),TTk ==-αβ(1,1,4)=--Ty 线性相关，则k =______ [二.四. 向量组的线性相关性，行列式]三 .解答题1.已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.（I ） 求a 的值；（II ） 求正交变换=x Qy ，把),,(321x x x f 化成标准形； （III ） 求方程),,(321x x x f =0的解. [五. 二次型,矩阵的特征值, 特征向量,正交变换]2.已知三阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵12324636⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B k （k 为常数），且AB =O , 求线性方程组Ax =0的通解.[二.线性方程组,基础解系,矩阵]3.确定常数a ,使向量组,),1,1(1Ta =α,)1,,1(2T a =αT a )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示. [二.向量组的线性相关性]4.已知齐次线性方程组（i ） ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0532,032321321321ax x x x x x x x x 和 (ii)⎩⎨⎧=+++=++,0)1(2,03221321x c x b x cx bx x 同解，求,,a b c 的值. [一.线性方程组求解]5.设⎛⎫= ⎪⎝⎭TAC D CB 为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为n m ⨯矩阵. (I) 计算TP DP ，其中1-⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭mn E A C P OE ； （II ）利用(I)的结果判断矩阵1--T B C A C 是否为正定矩阵，并证明你的结论. [五.分块矩阵,正定矩阵]6.设A 为三阶矩阵，123,,ααα是线性无关的三维列向量，且满足 1123=++A αααα，2232=+A ααα，32323=+A ααα.(I) 求矩阵B , 使得123123(,,)(,,)=A B αααααα；（II ）求矩阵A 的特征值；（III ）求可逆矩阵P , 使得1-P AP 为对角矩阵. [五.矩阵的特征值,相似矩阵]7.已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有3个线性无关的解. （Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2R A =; （Ⅱ）求,a b 的值及方程组的通解. [二.线性方程组求解]8.设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()11,2,1Tα=--,()20,1,1Tα=-是线性方程组0=Ax 的两个解, (Ⅰ)求A 的特征值与特征向量; (Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ使得=TQ AQ Λ;.(Ⅲ)求A 及63()2A E -,其中E 为3阶单位矩阵. [五.矩阵的特征值,相似矩阵]9.设4维向量组()11,1,1,1,Ta ∂=+()22,2,2,2,Ta ∂=+()33,3,3,3,Ta ∂=+()44,4,4,4Ta ∂=+.问a 为何值时1234,,,∂∂∂∂线性相关? 当1234,,,∂∂∂∂线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. [二.向量组的线性相关性]10.设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x a x x ax x x x x x 与方程12321-=++a x x x 有公共解，求a 的值及所有公共解. [二.线性方程组求解]11.设3阶实对称矩阵A 的特征值2,2,1321-===λλλ，且T )1,1,1(1-=α是A 的属于1λ的一个特征向量。

线性代数复习题一、选择题练1、如果排列12345a a a a a 的逆序数为a ，则排列54321a a a a a 的逆序数为 BA 、a -B 、10a -C 、10a -D 、2a -或2a +练2、如果排列12...n a a a 的逆序数为k ，则排列11...n n a a a -的逆序数为 CA 、1k -B 、n k -C 、(1)2n n k -- D 、2n k - 练3、若12335445i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则j i ,的值为 AA 、1=i 2=jB 、2=i 1=jC 、2=i 3=jD 、3=i 2=j4、下列各项中，为某五阶行列式中带有正号的项是___A_______A 、1544223153a a a a aB 、2132411554a a a a aC 、3125431452a a a a aD 、1344324155a a a a a练5、行列式103100204199200395301300600等于___A______A 、2000B 、2000-C 、1000D 、1000-练6、行列式0001002003004000等于 AA 、24B 、24-C 、0D 、12练7、根据行列式定义计算212111()321111xx x f x x x -=中4x 的系数是 BA 、1B 、2、C 、2-D 、1-练8、利用克莱姆法则判断齐次线性方程组解的个数时，当系数行列式0D =时，说明方程解的个数是 CA 、1B 、0C 、无穷多个D 、无法判断练9、如果能够利用克莱姆法则求解线性方程组时，若方程的个数是m 个，未知数的个数是n 个，则 CA 、n m <B 、n m >C 、m n =D 、无法比较和m n10、已知齐次线性方程组1231231230020ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则,a b 满足 DA 、1a b +=B 、1a b -=C 、01a b ==或D 、10a b ==或练11、若齐次线性方程组000x y z x y z x y z λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则λ= BA 、1或1-B 、1或2-C 、1-或2-D 、1-或212、若 304050x ky z y z kx y z ++=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩有非零解，则k =___B_____A 、0k =或 2k =B 、1k = 或3k =C 、2k =或2k =-D 、2k =-13、设A 是三阶方阵，且4A =，则212A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B A 、4 B 、14C 、1D 、2 练14、设X 是n 维列向量，则X λ= DA 、X λB 、X λC 、n X λD 、n X λ练15、设A 为三阶方阵，2λ=-，3A =，则A λ=___B_______A 、 24B 、24-C 、6D 、6-练16、设C B A ,,都是n 阶方阵，且E CA BC AB ===，则222A B C ++= AA 、E 3B 、E 2C 、ED 、O17、设,A B 都是(2n n ≥）阶方阵，则必有__B_____A 、AB A B +=+ B 、AB BA =C 、AB BA =D 、 A B B A -=-练18、设B A 、都是n 阶方阵，λ为常数，则下列正确的是___D_______A 、()///AB A B = B 、()111AB A B ---=C 、/A A λλ=D 、B A AB =练19、若n 阶方阵A 、B 都可逆，AXB C =，则X = CA 、11ABC -- B 、11CB A -- C 、11A CB --D 、11B CA --练20、设A 是()2≥n n 阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，则A A *=_____D_____A 、2AB 、 n AC 、2 n AD 、21 n A -练21、设A 是()2n n >阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，则正确的是 CA 、AA A *=B 、/1A A A*= C 、0A ≠，则0A *≠ D 、若()1R A =，则()1R A *= 练22、设A 是n ()2n ≥阶方阵，B 是A 经过若干次初等变换后得到的矩阵，则DA 、AB = B 、A B ≠C 、若0A >则0B >D 、若0A =，则一定有0B =练23、以下的运算中，能同时利用初等行变换和初等列变换求解的是 AA 、计算行列式的值B 、求逆矩阵C 、解线性方程组D 、以上都不是练24、设A 是n 阶方阵，B 是m 阶方阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00B A C ，则C 等于__D_____ A 、B A B 、B A - C 、()B A n m 1-+ D 、()B A mn 1-练25、设矩阵A 是m n ⨯矩阵，矩阵C 是n 阶可逆矩阵，秩()R A r =，矩阵B AC =，且()1R B r =，则 ____C______A 、1r r <B 、1r r >C 、1r r =D 、无法判断练26、下列矩阵中，不是初等矩阵的是 BA 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100B 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010000001 C 、 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100020001 D 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100210001 练27、向量组12,,...,n ααα线性相关的充要条件为___C_____A 、12,,...,n ααα中有一个零向量B 、12,,...,n ααα中任意两个向量成比例C 、12,,...,n ααα中至少有一个向量是其余向量的线性组合D 、12,,...,n ααα中任意一个向量都是其余向量的线性组合练28、n 维向量组12,,...,s ααα()n s ≤≤3线性无关的充要条件为_____C________A 、12,,...,s ααα中任何两个向量都线性无关B 、存在不全为0的数12,,...,s k k k ，使得1122...0s s k k k ααα+++≠C 、12,,...,s ααα中任何一个向量都不能由其余向量的线性表示D 、12,,...,s ααα中存在一个向量不能由其余向量的线性表示29、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、1α，12αα+，123ααα++D 、122αα+，232αα+，312αα+ 练30、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、122αα-，232αα-，312αα-D 、122αα+, 232αα+，312αα+ 练31、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、1α，12αα+，123ααα++D 、12αα+，232αα+，313αα+ 练32、已知12,ββ是方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是方程组0Ax =的基础解系，12,k k 是任意常数，则Ax b =的通解为____B________A 、()12112122k k -++ββαα+αB 、()12112122k k ++-+ββααα C 、()12112122k k -+++ββαββ D 、()12112122k k ++++ββαββ 33、若A 是正交阵，则下列各式中 D 是错误的A 、E A A ='B 、E A A ='C 、1-='A AD 、A A =' 练34、下列矩阵中哪个是正交矩阵 DA 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212221B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111C 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛53545453D 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-53545453 35、已知三阶矩阵A 有特征值1,1,2-，则下列矩阵中可逆的是 D Ａ、E A - B 、E A + C 、2E A - D 、2E A +练36、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10021421x A ，且A 的特征值为1,2,3 ，则=x __B_______A 、5B 、4C 、3D 、1-练37、n 阶方阵A 可逆的充要条件是 BA 、A 的特征值全为0B 、A 的特征值全不为0C 、A 至少有一个特征值不为0D 、A 的特征值全为0或1 练38、设2λ=是可逆矩阵A 的特征值，则矩阵123A -⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个特征值等于______C______A 、43 B 、12 C 、34 D 、14练39、n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是与对角矩阵相似的 BA 、充分必要条件B 、充分非必要条件C 、必要非充分条件D 、既非充分又非必要条件练40、n 阶方阵A 与对角矩阵相似，则 DA 、方阵A 有n 个不都相等的特征值B 、()r A n =C 、方阵A 一定是对称阵D 、方阵A 有n 个线性无关的特征向量41、、设三阶实对称矩阵A 的特征值为122λλ==，38λ=，对应于122λλ==的特征向量是1110x -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，2101x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则对应于38λ=的特征向量是 C A 、12,x x 中的一个 B 、()/123 C 、()/111 D 、相交但不垂直 练42、设A 为三阶矩阵，1231,1,2λλλ==-=为A 的3个特征值，对应的特征向量依次为123,,ααα，令321(,2,3)P ααα=，则1P AP -= DA 、100010002⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭B 、200020003⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭C 、100020006⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭D 、200010001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 练43、实二次型()2322212132132,,x tx x x x x x x f +++=，当=t B ，其秩为2 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3二、填空题练1、排列2，6，3，5，1，9，8，4，7的逆序数是 13 练2、当i = 8 ，j = 3 时，1274569i j 是偶排列练3、带负号且包含因子23a 和31a 的项为 14233142a a a a -练4、带正号且包含因子23a 和31a 的项为 14233241a a a a5、在五阶行列式中，项1231544325a a a a a 的符号应取 正号练6、在六阶行列式中，项132432455661a a a a a a 的符号应取 负号练7、在函数xx x x x x f 21112)(---=中，3x 的系数为 28、311()13x f x x x x x -=--中，3x 的系数为 3-练9、211203101311112x x ----的展开式中2x 的系数为 7 练10、设111213212223313233a a a A a a a a a a =，且3A =，则1112132122233132332222222222a a a A a a a a a a == 24 练11、设五阶行列式3A =，先交换第1，5两行，再转置，最后用2乘以所有元素，其结果为 96-练12、设行列式010200003D =，ij A 是D 中元素ij a 的代数余子式，则313233A A A ++=2-13、计算()40132573⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭= ()5- 14、222()2A B A AB B +=++的充要条件为 AB BA =练15、22()()A B A B A B -=+-的充分必要条件是 AB BA =16、设3318A ⨯= ，则()22A = 1 17、设442A ⨯=，552B ⨯=-，则A B -= 6418、设A 是3阶矩阵，2A =，1A -为A 的逆矩阵，则12A -的值为______4________练19、设A 是3阶矩阵，12A =，则1(3)A A -*-= 1108- 练20、已知为A 四阶方阵，A *为A 的伴随矩阵，且3A =，则1143A A *--=_27__ 练21、设A 是3阶矩阵，且9A *=，则1A -= 13± 练22、设A 是三阶方阵，且13A -=，则2A = 83练23、设,A B 都是n 阶方阵，且2A =，3B =-，则12A B*-= 2123n -- 24、设111111111111k k A k k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且秩()3r A =，则k = 3- 练25、A 为n 阶反对称矩阵，则/A A += 0练26、设矩阵A 满足240A A E +-=，其中E 为三阶单位矩阵，则1()A E --= 1(2)2A E + 练27、设矩阵A 满足220A A E --=，其中E 为三阶单位矩阵，则1A -= 1()2A E - 28、设是3阶矩阵，且AB E =，200010003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则B = 10020101003B ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭29、设33100111100011111011001222001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪---= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1145520228⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭30、已知向量()()()1231,1,0,0,1,1,3,4,0ααα===，则12αα-=_()1,0,1-_______31、已知向量()()()1231,1,0,0,1,1,3,4,0ααα===，则12332ααα+-=__()0,1,2__32、已知1233()2()5()αααααα-++=+，其中()12,5,1,3,α=()210,1,5,10,α=()34,1,1,1,α=-则α=_()6,12,18,24__________练33、已知)9,7,5,3(=α，()1,5,2,0β=- ，x 满足βα=+x 32 ，则=x ()17,5,12,183- 34、设向量()(2,0,1,3),(1,7,4,2),0,1,0,1=-=-=αβγ，则23+-=αβγ (5,4,2,1)35、设向量()(2,0,1,3),(1,7,4,2),0,1,0,1=-=-=αβγ，若有x ，满足3520x -++=αβγ，则x = 57,1,,822⎛⎫-- ⎪⎝⎭练36、当=k 8- 时)5,,1(k =β能由1(1,3,2)α=-，2(2,1,1)α=-线性表示37、设有向量组()13,2,5α=，()22,4,7α=，()35,6,αλ=，()1,3,5β=。

《线性代数》（本科）总复习题一、单项选择题１．矩阵运算AB 有意义是T B A +有意义的 。

（Ａ）充分条件 （Ｂ）必要条件 （Ｃ）充要条件 （Ｄ）无关条件２．设同阶方阵C B A ,,满足AC AB =，则必有 。

（Ａ）0=A 或C B =（Ｂ）0=A 且C B = （Ｃ）0=A 或C B = （Ｄ）0=A 且C B = ３．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式中一定成立的是 。

（Ａ）()T T T B A AB = （Ｂ）()***B A AB = （Ｃ）()111−−−=B A AB （Ｄ）B A AB =４．设A 为n 阶可逆矩阵，且n 为奇数，则下列等式中未必成立的是 。

（Ａ）()T T A A −=− （Ｂ）()**A A −=− （Ｃ）()11−−−=−A A （Ｄ）A A −=−５．设方阵A 满足O A =2，则必有 。

（Ａ）O A = （Ｂ）O AA T = （Ｃ）O AA =＊ （Ｄ）O A A T =＊６．设矩阵B A ,满足I AB =，则 。

（Ａ）I B A T T = （Ｂ）I BA = （Ｃ）I A B T T = （Ｄ）都不对７．设方阵A 满足A A =2，则 。

（Ａ）O A = （Ｂ）I A = （Ｃ）O A =或I A = （Ｄ）都不对８．设方阵A 可逆，且BA AB =，则下列等式未必成立的是 。

（Ａ）22BA B A = （Ｂ）T T BA B A = （Ｃ）11−−=BA B A （Ｄ）**BA B A =９．设向量组s ααα,,,21L 可由向量组t βββ,,,21L 线性表示，且()121,,,r r s =αααL ，()221,,,r r t =βββL ，()32121,,,,,,,r r t s =βββαααL L ，则 。

（Ａ）321r r r =< （Ｂ）321r r r =≤ （Ｃ）321r r r <= （Ｄ）321r r r ≤=１０．设n m ×齐次线性方程组O AX =仅有零解，则 。

《线性代数》复习一：选择题a11 a12 a13 2a11 2a12 2a131.如果a21 a22 a23 = M，则2a21 2a22 2a23 = （）a31 a32 a33 2a31 2a32 2a33A. 8MB. 2MC. MD.6M2. 若 A，B 都是方阵，且 |A|=2， |B|=-1，则 |A -1B|= （）A. -2B.2C. 1/2D. –1/23. 已知可逆方阵 A 1 3 7则 A （）1 2A. 2 7B.2 7C.3 7D.3 7 1 3 1 3 1 2 1 24. 如果 n 阶方阵 A 的行列式 |A| 0 则下列正确的是（）A.AOB. r(A)> 0C. r(A)< nD. r( A) 05. 设 A B 均为 n 阶矩阵 A O 且 AB O 则下列结论必成立的是（）A. BA OB. B OC. (A B)( A B) A2 B2D. (A B)2 A2 BA B26. 下列各向量组线性相关的是（）A. 1 (1 0 0) 2 (0 1 0) 3 (0 0 1)B. 1 (1 2 3) 2 (4 5 6) 3 (2 1 0)C. 1 (1 2 3) 2 (2 4 5)D. 1 (1 2 2) 2 (2 1 2) 3 (2 2 1)7. 设 AX b 是一非齐次线性方程组 1 2 是其任意 2 个解则下列结论错误的是（）A. 1 2是 AX O 的一个解 B. 1 12是 AX b 的一个解+ 2 1 2C. 1 2是AX O 的一个解D.2 1 2是AX b 的一个解8. 设 A为 3阶方阵 A的特征值为 1 2 3 则 3A 的特征值为（）A. 1/6 1/3 1/2B. 3 6 9C.12 3D. 1 1/2 1/39. 设 A 是 n 阶方阵且 |A| 2 A*是 A 的伴随矩阵则 |A*| （）A. 1B. 2nC. 1D. 2n 12 2 n 11 y 210. 若 x z 3 正定则 x y z 的关系为（）0 0 1A. x+y zB. xy zC. z xyD. z x+y参考答案 :1.A 2.D 3. B 4. C 5. D 6. B 7. A 8. B 9. D 10. C1. 设30 ，则取值为（）2 1A. λ=0 或λ=-1/3B. λ=3C. λ≠0 且λ≠ -3D. λ≠02. 若 A 是 3 阶方阵，且 |A|=2， A* 是 A 的伴随矩阵，则 |A A* |=（）A. -8B.2C.8D. 1/23. 在下列矩阵中可逆的是（）0 0 01 1 0 1 1 0 1 0 0 A. 0 1 0B.2 2 0 C. 0 1 1D. 1 1 10 0 10 0 1 1 2 11 0 14. 设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 2A+3E O 则 A 1 （ ）A. EB. 1C. 2A 3ED. A(2E A)31 a a a5. 设 Aa 1 a aa a 1 a ,若 r(A) 1, 则 a （ ）aaa 1A.1B.3C.2D.46.x 1 x 2 x 3 0,若齐次线性方程组x 1 x 2x 3 0, 有非零解则常数（ ）x 1 x 2 x 3 0A.1B.4C.2D.1 7. 设 A B 均为 n 阶矩阵则下列结论正确的是（ ）A. BA ABB.(A B)2 A 2BA ABB 2C. (A B)(A B) A 2B 2D. (A B)2A 22 AB B 28. 已知 1(10 0) 2(200)3 (0 0 3) 则下列向量中可以由123 线性表示的是（）A. (1 2 3)B.(12 0)C. (0 2 3)D. (3 0 5)9. n 阶方阵 A 可对角化的充分条件是（）A. A 有 n 个不同的特征值B.A 的不同特征值的个数小于 nC. A 有 n 个不同的特征向量D. A 有 n 个线性相关的特征向量10. 设二次型的标准形为fy 12y 223 y 32 ，则二次型的正惯性指标为（）A.2B.-1C.1D.3参考答案 : 1.A 2. C 3. D 4. B 5. A 6. A 7. B 8. D 9. A 10. A1. 设A 是4 阶方阵，且 |A|=2，则 |-2A |=（ ）A. 16B. -4C. -32D. 32 2. 3 4 6行列式 k 5 7 中元素 k 的余子式和代数余子式值分别为（）1 2 8A. 20， -20B.20，20C. -20，20D. -20，-203. 已知可逆方阵 A2 7则 A1）1 3 （A.2 7B.2 7C.3 7 D.371 31 31 2 124. 如果 n 阶方阵 A 的行列式 |A | 0则下列正确的是（）A.AOB. r (A )> 0C. r(A)< nD. r(A ) 05. 设 A B 均为 n 阶矩阵 则下列结论中正确的是（）A. (A B)(A B) A2 B 2B. (AB )k A k B kC. |kAB | k|A | |B |D. |(AB )k| |A |k |B|k6. 设矩阵 A n n的秩 r(A ) n 则非齐次线性方程组 AX b（）A. 无解B. 可能有解C. 有唯一解D. 有无穷多个解7. 设 A 为 n 阶方阵 A 的秩 r(A) r n 那么在 A 的 n 个列向量中（）A.必有 r 个列向量线性无关B.任意 r 个列向量线性无关C. 任意 r 个列向量都构成最大线性无关组D. 任何一个列向量都可以由其它r 个列向量线性表出8.已知矩阵 A4 4的四个特征值为 4， 2， 3， 1，则 A =（）A.2B.3C.4D.249. n 阶方阵 A 可对角化的充分必要条件是（）A. A 有 n 个不同的特征值B. A 为实对称矩阵C. A 有 n 个不同的特征向量D. A 有 n 个线性无关的特征向量10. n 阶对称矩阵 A 为正定矩阵的充要条件是（）A. A 的秩为 nB. |A| 0C. A 的特征值都不等于零D. A 的特征值都大于零参考答案 : 1.D 2. A 3. D 4.C 5.D 6.C 7.A 8.D 9.D 10.D3 4 61. 行列式 2 5 7 中元素y的余子式和代数余子式值分别为（）y x 8A. 2，-2B. –2， 2C. 2，2D. -2， -22. 设 A B 均为 n(n 2)阶方阵则下列成立是（）A. |A+B| |A |+|B|B. AB BAC. |AB | |BA |D. (A+B) 1 B 1+A 13. 设 n 阶矩阵 A 满足 A2 2A E 则(A-2E ) 1 （）A. AB. 2 AC. A+2ED. A-2E4. 矩阵A 1 1 1 12 2 2 2 的秩为（）3 3 3 3A.1B.3C.2D.45. 设 n 元齐次线性方程组AX O 的系数矩阵 A 的秩为 r 则方程组 AX 0 的基础解系中向量个数为（）A. rB. n- rC. nD. 不确定6. 若线性方程组x1 x2 2x3 1无解则等于（）x1 x2 x3 2A.2B.1C.0D. 17. n 阶实方阵 A 的 n 个行向量构成一组标准正交向量组，则 A 是（）A. 对称矩阵B. 正交矩阵C. 反对称矩阵D.| A |= n8. n 阶矩阵 A 是可逆矩阵的充要条件是（）A. A 的秩小于 nB. A 的特征值至少有一个等于零C. A 的特征值都等于零D. A 的特征值都不等于零9. 设 1 2 是非齐次线性方程组Ax=b 的任意 2 个解则下列结论错误的是（）A.1+ 2 是 Ax =0 的一个解 B. 1 η1η2 1 2 2是 Ax =b 的一个解C.12 是 Ax =0 的一个解D. 2 1 2 是Ax=b的一个解10.设二次型的标准形为f y12y223y32，则二次型的秩为（）A.2B.-1C.1D.3参考答案 : 1. D 2.C 3.A 4.A 5.B 6.A 7.B 8.D 9.A10.D1.a b 0设 D b a 0 0 ，则 a， b 取值为（）1 0 1A. a=0， b≠ 0B. a=b=0C. a≠ 0， b=0D. a≠0， b≠ 02. 若 A 、B 为 n 阶方阵且AB=O 则下列正确的是（）A. BA OB. |B | 0 或|A| 0C.B O或A OD. (A B)2 A2 B23. 设A是3 阶方阵，且 | A | 2，则|A 1|等于（）A. 2B. 1C.2D.1 2 24. 设矩阵 A B C满足AB AC 则 B C 成立的一个充分条件是（）A. A 为方阵B. A 为非零矩阵C. A 为可逆方阵D. A 为对角阵5. 如果 n 阶方阵 A O 且行列式 |A| 0 则下列正确的是（）A. 0<r( A) < nB. 0 r(A) nC. r(A )= nD. r(A) 07 x1 8x2 9x3 06. 若方程组x2 2 x3 0 存在非零解则常数 b （）2 x2 bx3 0A.2B.4C.-2D.-47. 设 A 为 n 阶方阵且 |A| 0 则（）A.A 中必有两行 (列 )的元素对应成比例B.A 中任意一行 (列 )向量是其余各行 (列) 向量的线性组合C.A 中必有一行 (列 )向量是其余各行 (列 )向量的线性组合D.A 中至少有一行 (列 ) 的元素全为零8. 设A为 3阶方阵 A 的特征值为 1 2 3 则 3A 的特征值为（）A. 1/6 1/3 1/2B. 369C.123D. 1 1/2 1/39. 如果 3阶矩阵 A 的特征值为 -1,1,2 ，则下列命题正确的是（）A. A 不能对角化B. A 0C. A 的特征向量线性相关D. A 可对角化10. 设二次型的标准形为 f y12 y22 3 y32，则二次型的正惯性指标为（）A.2B.-1C.1D.3参考答案:1.B 2.B 3. B 4. C 5.A 6.D 7.C 8.B 9.D10.Ca11 a12a13 4a a a a11 11 12 131. 如果 a21 a22a23 =M，则 4a21 a21 a22 a23 =（）a31 a32a33 4a31a31a32a33A. -4MB. 0C. -2 MD. M2. 设 A ij 是 n 阶行列式 D |a ij |中元素 a ij的代数余子式则下列各式中正确的是（）nB. n nD.nA. a ij A ij 0 a ij A ij 0 C. a ij A ij D a i1A i 2 Di 1 j 1 j 1 i 11 0 02 0 03. 已知A 0 1 0 ，B 2 2 1 ，则 |AB |=（）3 0 1 3 3 3A.18B.12C.6D.364. 方阵 A 可逆的充要条件是（）A.AOB. |A| 0C. A* OD. |A| 15. 若 A 、B 为 n 阶方阵 A 为可逆矩阵且 AB O 则（）A. B O 但 r( B) nB. B O 但 r(A) n, r (B ) nC. B OD. B O 但 r(A) n, r(B) n6. 设 1 2 是非齐次线性方程组AX b 的两个解则下列向量中仍为方程组解的是（）A. 1 2B. 1 2C. 1D.+2(β1 2β2)7. n 维向量组 1 2 s线性无关为一 n 维向量则（）A. 12 s 线性相关B. 一定能被12C. 一定不能被12 s 线性表出D. 当 s n 时一定能被8. 设 A 为三阶矩阵 A 的特征值为 2 1 2 则A 2E 的特征值为（3β2β1 25s线性表出12s 线性表出）A. 212B.-4-10C.124D.41-49.若向量α=（ 1， -2，1）与β=（ 2， 3， t）正交，则 t=（）A.-2B.0C.2D.41 y 210. 若x z 3 正定则 x y z 的关系为（）0 0 1A. x+y zB. xy zC. z xyD. z x+y参考答案:1.A 2.C 3.C 4.B 5.C 6.D 7.D 8.B 9.D 10.C3 4 6中元素 x 的余子式和代数余子式值分别为（1. 行列式 2 5 7 ）y x 8A. –9， -9B. –9，9C. 9， -9D. 9，91 1 1 12.2 3 4 53 3 3 3 =（ ）4 3 4 4A.2B.4C.0D.1 3. 设A 为4 阶矩阵 |A | 3 则其伴随矩阵A *的行列式 |A *| （）A.3B.81C.27D.9 4. 设 A B 均为 n 阶可逆矩阵则下列各式中不正确的是（）A. (A+B)T A T +B TB.(A +B) 1 A 1+B 1C.(AB)1B 1A 1D. (AB )T B T A T 5. 设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +A +EO 则(A+E ) 1（ ）A. AB. -(A+E )C. –AD. -(A 2+A )6. 设 n 阶方阵 A B 则下列不正确的是（ ）A. r(AB )r(A)B. r(AB )r(B)C. r( AB ) min{ r(A )， r(B )}D. r(AB )>r (A )7. 已知方程组 AX b 对应的齐次方程组为 AX O ， 则下列命题正确的是（）A. 若AX O 只有零解 则 AX b 有无穷多个解B. 若AX O 有非零解 则 AX b 一定有无穷多个解C. 若AX b 有无穷解 则 AX O 一定有非零解D. 若AXb 有无穷解 则 AXO 一定只有零解8.10 1已知矩阵 A 02 0 的一个特征值是 0 则 x （ ）1 0 xA.1B.2C.0D.31 09.与A02 1 相似的对角阵是（）0 1 21111A.Λ1B.Λ2C. Λ1 D. Λ 1 333 410. 设 A 为 3 阶方阵 A 的特征值为 1 0 3则A 是（）A. 正定B.半正定C.负定D. 半负定参考答案 : 1. C 2. C3. C4. B5. C6. D7. C8.A 9.A 10.B1. 设 A B 都是 n 阶方阵A. 若|A| 0 则A Ok 是一个数 B. |kA|则下列（|k| |A |）是正确的。

线性代数复习题一、判断题 (正确在括号里打√，错误打×)1. 把三阶行列式的第一列减去第二列，同时把第二列减去第一列，这样得到的新行列式与原行列式相等，亦即333332222211111333222111------=c a b b a c a b b a c a b b a c b a c b a c b a . ( ) 2. 假设一个行列式等于零，则它必有一行〔列〕元素全为零，或有两行〔列〕完全一样，或有两行〔列〕元素成比例. () 3. 假设行列式D 中每个元素都大于零，则D > 0. () 4. 设C B A ,,都是n 阶矩阵，且E ABC =，则E CAB =. () 5. 假设矩阵A 的秩为r ，则A 的r －1阶子式不会全为零. () 6. 假设矩阵A 与矩阵B 等价，则矩阵的秩R (A )=R (B ). () 7. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合. () 8. 假设向量组s ααα,...,,21线性相关，则1α一定可由s αα,...,2线性表示. () 9. 向量组s ααα,...,,21中，假设1α与s α对应分量成比例，则向量组s ααα,...,,21线性相关. () 10. )3(,...,,21≥s s ααα线性无关的充要条件是：该向量组中任意两个向量都线性无关. () 11. 当齐次线性方程组的方程个数少于未知量个数时，此齐次线性方程一定有非零解. () 12. 齐次线性方程组一定有解. ()13. 假设λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-λ为1-A 的特征值. () 14. 方程组()A λ-=E x 0的解向量都是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量. () 15. n 阶方阵A 有n 个不同特征值是A 可以相似于对角矩阵的充分条件. () 16. 假设矩阵A 与矩阵B 相似，则R R =A B ()(). () 二、单项选择题 1.设行列式,,2123121322211211n a a a a m a a a a ==则行列式=++232221131211a a a a a a ()2. 行列式701215683的元素21a 的代数余子式21A 的值为 ( )3.四阶行列式111111111111101-------x 中*的一次项系数为 ( )4. 设,..................... ,......... (112)11,12,11,12122122221112111nnn n n nn n n nnn n n n a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D ---==则D 2与D 1的关系是 ( )5.n 阶行列式a b b a bab a D n 0000000000=的值为 ( )6. ,1002103211⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-A 则=*A ( )7. 设A 是n 阶方阵且5=A ，则=-1T )5(A ( )8. 设A 是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵)(n m ≠，则以下运算结果是m 阶方阵的是 ( ) 9. A 和B 均为n 阶方阵，且2222)(B AB A B A ++=+，则必有 ( )10. 设A 、B 均为n 阶方阵，满足等式O AB =，则必有 ( ) 11. 设A 是方阵，假设有矩阵关系式AC AB =，则必有 ( ) 12. 方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=133312321131131211232221333231232221131211,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a B A ，以及初等变换矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101010001 ,10000101021P P ，则有 ( )13. 设A 、B 为n 阶对称阵且B 可逆，则以下矩阵中为对称阵的是 ( ) 14. 设A 、B 均为n 阶方阵，下面结论正确的选项是 ( )(A) 假设A 、B 均可逆，则A +B 可逆 (B) 假设A 、B 均可逆，则AB 可逆 (C) 假设A+B 均可逆，则A －B 可逆 (D) 假设A +B 可逆，则A 、B 均可逆15. 以下结论正确的选项是 ( )(A) 降秩矩阵经过假设干次初等变换可以化为满秩矩阵 (B) 满秩矩阵经过假设干次初等变换可以化为降秩矩阵 (C) 非奇异阵等价于单位阵 (D) 奇异阵等价于单位阵16. 设矩阵A 的秩为r ，则A 中 ( )(A) 所有r －1阶子式都不为0 (B) 所有r －1阶子式全为0 (C) 至少有一个r 阶子式不为0(D) 所有r 阶子式都不为017. 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，且ABC = E ，以下式子(1) BCA = E ， (2) BAC = E ， (3) CAB = E ， (4) CBA = E 中，一定成立的是 ( ) (A) (1) (3)(B) (2) (3)(C) (1) (4)(D) (2) (4)18. 设A 是n 阶方阵，且O A =s (s 为正整数)，则1)(--A E 等于 ( )19. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=412101213A ，*A 是A 的伴随矩阵，则*A 中位于(1, 2)的元素是 ( ) (A) －6 (B) 6 (C) 2 (D) －220. A 为三阶方阵，R (A ) = 1，则 ( )21. 43⨯矩阵A 的行向量组线性无关，则矩阵A T的秩等于 ( )(A) 1(B) 2(C) 3(D) 422. 设两个向量组s ααα ..., , ,21和s βββ ..., , ,21均线性无关，则 ( )(A) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21使得0=+++s s αααλλλ... 2211和0=+++s s βββλλλ (2211)(B) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21使得 (C) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21使得(D) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21和不全为0的数s μμμ ..., , ,21使得0=+++s s αααλλλ... 2211和0=+++s s βββμμμ (2211)23. 设有4维向量组621 ..., , ,ααα，则 ( )(A) 621 ..., , ,ααα中至少有两个向量能由其余向量线性表示 (B) 621 ..., , ,ααα线性无关 (C) 621 ..., , ,ααα的秩为4 (D) 上述说法都不对24. 设321 , ,ααα线性无关，则下面向量组一定线性无关的是 ( ) 25. n 维向量组)3( ..., , ,21n s s ≤≤ααα线性无关的充要条件是 ( )(A) s ααα ..., , ,21中任意两个向量都线性无关(B) s ααα ..., , ,21中存在一个向量不能用其余向量线性表示(C) s ααα ..., , ,21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 (D) s ααα ..., , ,21中不含零向量 26. 以下命题中正确的选项是 ( )(A) 任意n 个n +1维向量线性相关 (B) 任意n 个n +1维向量线性无关 (C) 任意n +1个n 维向量线性相关(D) 任意n +1个n 维向量线性无关27. 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0......0...0...221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的系数行列式D =0，则此方程组 ( )(A) 一定有唯一解 (B) 一定有无穷多解 (C) 一定无解(D) 不能确定是否有解28. 非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (22112)222212111212111的系数行列式D =0，把D 的第一列换成常数项得到的行列式01≠D ，则此方程组 ( )(A) 一定有唯一解 (B) 一定有无穷多解 (C) 一定无解(D) 不能确定是否有解29. A 为n m ⨯矩阵，齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是 ( )(A) A 的列向量线性无关 (B) A 的列向量线性相关 (C) A 的行向量线性无关(D) A 的行向量线性相关30. A 为n m ⨯矩阵，且方程组b Ax =有唯一解，则必有 ( ) 31. n 阶方阵A 不可逆，则必有 ( )n R <)( )A (A 1)( )B (-=n R A 0=A )C ((D) 方程组0=Ax 只有零解32. n 元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵的秩为n +1，则此方程组 ( )(A) 有唯一解(B) 有无穷多解(C) 无解(D) 不能确定其解的数量33. 21 ,ηη是非齐次线性方程组b Ax =的任意两个解，则以下结论错误的选项是 ( )(A) 21ηη+是0=Ax 的一个解 (B) )(2121ηη+是b Ax =的一个解(C) 21ηη-是0=Ax 的一个解(D) 212ηη-是b Ax =的一个解34. 假设4321 , , ,v v v v 是线性方程组0=Ax 的根底解系，则4321v v v v +++是该方程组的 ( )(A) 解向量(B) 根底解系(C) 通解(D) A 的行向量35. 假设η是线性方程组b Ax =的解，ξ是方程0=Ax 的解，则以下选项中是方程b Ax =的解的是 ( ) (C 为任意常数)36. n m ⨯矩阵A 的秩为1-n ，21 ,αα是齐次线性方程组0=Ax 的任意两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0=Ax 的通解为 ( ) 37. n 阶方阵A 为奇异矩阵的充要条件是 ( )(A) A 的秩小于n 0 )B (≠A (C) A 的特征值都等于零(D)A 的特征值都不等于零38. A 为三阶方阵，E 为三阶单位阵，A 的三个特征值分别为3 ,2 ,1-，则以下矩阵中是可逆矩阵的是 ( )39. 21 ,λλ是n 阶方阵A 的两个不同特征值，对应的特征向量分别为21 ,ξξ，则 ( )(A) 1ξ和2ξ线性相关 (B) 1ξ和2ξ线性无关 (C) 1ξ和2ξ正交(D) 1ξ和2ξ的积等于零40. A 是一个)3( ≥n 阶方阵，以下表达中正确的选项是 ( )(A) 假设存在数λ和向量α使得αA αλ=，则α是A 的属于特征值λ的特征值 (B) 假设存在数λ和非零向量α使得0=-αA E )(λ，则λ是A 的特征值 (C) A 的两个不同特征值可以有同一个特征向量(D) 假设321 , ,λλλ是A 的三个互不一样的特征值，321 , ,ααα分别是相应的特征向量，则 321 , ,ααα有可能线性相关41. 0λ是矩阵A 的特征方程的三重根，A 的属于0λ的线性无关的特征向量的个数为k ，则必有 ( )42. 矩阵A 与B 相似，则以下说法不正确的选项是 ( )(A) R (A ) = R (B ) (B) A = BB A = )C ((D) A 与B 有一样的特征值43. n 阶方阵A 具有n 个线性无关的特征向量是A 与对角阵相似的 ( )(A) 充分条件(B) 必要条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件44. n 阶方阵A 是正交矩阵的充要条件是 ( )(A) A 相似于单位矩阵E (B) A 的n 个列向量都是单位向量 (C) 1T -=A A(D)A 的n 个列向量是一个正交向量组45. A 是正交矩阵，则以下结论错误的选项是 ( )1 )A (2=A A )B (必为1T 1 )C (A A =-(D) A 的行(列)向量组是单位正交组46. n 阶方阵A 是实对称矩阵，则 ( )(A) A 相似于单位矩阵E (B) A 相似于对角矩阵T 1 )C (A A =-(D) A 的n 个列向量是一个正交向量组47. A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，AC C B T =，则 ( )(A) A 与B 相似(B) A 与B 不等价 (C) A 与B 有一样的特征值(D) A 与B 合同三、填空题1. 44513231a a a a a k i 是五阶行列式中的一项且带正号，则i = ，k = .2. 三阶行列式987654321=D ，ij A 表示元素ij a 对应的代数余子式，则与232221cA bA aA ++ 对应的三阶行列式为.3. 022150131=---x ，则* = . 4. A ，B 均为n 阶方阵，且0 ,0≠=≠=b a B A ，则=T )2(B A ，=-121AB . 5. A 是四阶方阵，且31=A ，则=-1A ，=--1*43A A . 6. 三阶矩阵A 的三个特征值分别为123-,,，则=---*134A A . 7. 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=232221131211a a aa a a A ，B 是方阵，且AB 有意义，则B 是阶矩阵，AB 是行 列矩阵.8. 矩阵n s ij c ⨯=)( , ,C B A ，满足CB AC =，则A 与B 分别是，阶矩阵. 9. 可逆矩阵A 满足O E A A =--22，则=-1A .10. T 3T 2T 1)2 ,3 ,1( ,) ,0 ,( ,)1 ,1 ,1(===αααy x ，假设321 , ,ααα线性相关，则*，y 满足关系式.11. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性关. 12. 一个非齐次线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大.13. 设A 是43⨯矩阵，3)(=A R ，假设21 ,ηη为非齐次线性方程组b Ax =的两个不同的解，则该方程的通解为.14. A 是n m ⨯矩阵，)( )(n r R <=A ，则齐次线性方程组0=Ax 的一个根底解系中含有解的个数为.15. 方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+32121232121321x x x a a 无解，则a =.16. 假设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213211x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ需要满足.17. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=50413102x A 可相似对角化，则* =.18. 向量α、β的长度依次为2和3，则向量积[, ]+-=αβαβ. 19. 向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=324 ,201b a ，c 与a 正交，且c a b +=λ，则=λ，c =.20. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111x 为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b aA 的特征向量，则a =，b =. 21. 三阶矩阵A 的行列式8=A ，且有两个特征值1-和4，则第三个特征值为.22. 设实二次型),,,,(54321x x x x x f 的秩为4，正惯性指数为3，则其规形),,,,(54321z z z z z f 为.23. 二次型233221321342),,(x x x x x x x x f +-=的矩阵为.24. 二次型),,(z y x f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--050532021，则此二次型=),,(z y x f .25. 二次型31212322213212232),,(x x x x tx x x x x x f ++++=是正定的，则t 要满足. 四、行列式计算1. A ，B 为三阶方阵，2 ,1-==B A ，求行列式A AB 1*)2(-.2. 行列式219221612132402-----=D ，求4131211145A A A A ++-.3. 计算n 阶行列式2...010 (201) (02)=n D ，其中主对角线上的元素都是2，另外两个角落的元素是1，其它元素都是0.4. 计算n 阶行列式xaa a xa a ax D n .........=.5. 计算n 阶行列式21...00000 (2100)0 (1)2100...012 =n D .6. 计算行列式dx c b ad c x b a d c b x a d c b ax ++++.7. 计算行列式yy x xD -+-+=1111111111111111.8. 计算行列式3......3 (32)12121+++=n n n n x x x x x x x x x D .五、矩阵计算1. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=042132 ,121043021B A ，求 (1)T AB ；(2)14-A .2. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=115202 ,212241222B A ，且X B AX +=，求*.3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101020102A ，B 均为三阶方阵，E 为三阶单位阵，且B A E AB +=+2，求B .4. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2000120031204312 ,1000110001100011C B ，E 为四阶单位阵，且矩阵*满足关系式E B C X =-T )(，求*.5. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=310021 ,110162031B A ，且B XA =，求*.6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ，问：当k 取何值时，有 (1)1)(=A R ；(2)2)(=A R ；(3)3)(=A R .六、向量组的线性相关性及计算1. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1325 ,3214 ,2143 ,21114321αααα，求向量组4321 , , ,αααα的秩和一个最大线性无关向量组，并判断4321 , , ,αααα是线性相关还是线性无关.2. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=77103 ,1301 ,3192 ,01414321αααα，求此向量组的秩和一个最大无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示.3. 当a 取何值时，向量组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a a 2121 ,2121 ,2121321ααα线性相关？4. 将向量组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=014 ,131 ,121321ααα规正交化.七、线性方程组的解1. 给定向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=9410 ,1203 ,4231 ,30124321αααα，试判断4α是否为321 , ,ααα的线性组合；假设是，则求出线性表达式.2. 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+8311102322421321321x x x x x x x x .3. 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x .4. 当k 满足什么条件时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=++022232212321321x k x x k kx x x kx x x 有唯一解，无解，有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解.5. 当k 满足什么条件时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=++=+-+2)1(2221)1(321321321kx x k kx x kx kx x x k kx 有唯一解，无解，有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解.6. 非齐次线性方程组b Ax =为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++bx x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 543215432543215432133453622 3232，问：当a 、b 取何值时，方程组b Ax =有无穷多个解？并求出该方程组的通解.7. 设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x a x x ax x x x x x 与方程12321-=++a x x x 有公共解，求a 的值.8. 设四元非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵A 的秩为3，321 , ,ηηη是它的三个解向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321η，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+432132ηη，求该方程组的通解.9. 设非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵()b A A =，A 经过初等行变换为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→300001311021011λA ，则 (1) 求对应的齐次线性方程组0=Ax 的一个根底解系； (2) λ取何值时，方程组b Ax =有解？并求出通解.八、方阵的特征值与特征向量1. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10000002 ,10100002y x B A ，假设方阵A 与B 相似，求*、y 的值.2. 设方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210010000010010y A 的一个特征值为3，求y 的值. 3. 三阶方阵A 的特征值为1、2、3-，求行列式E A A 231++-的值.4. 求方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=314020112A 的特征值与对应的特征向量.5. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011101110A ，求可逆矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵.6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A ，求正交矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵.7. 矩阵110430102-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A , 判断是否存在一个正交矩阵P , 使得1-=P AP Λ为对角矩阵. 8. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=342432220A 的特征值为1、1、8-，求正交矩阵P ，使得AP P 1-为对角阵. 九、二次型1. 当t 取何值时，32312123222132142244),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=为正定二次型？ 2. 求一个正交变换把二次型123122331(,,)222f x x x x x x x x x =++化成标准形.十、证明题1. 向量组r ααα ..., , ,21线性无关，而r r αααβααβαβ+++=+==... ..., , ,2121211，证明：向量组r βββ ..., , ,21线性无关.2. 设A 、B 都是n 阶对称阵，证明：AB 是对称阵的充要条件是AB = BA .3. 方阵A 满足O E A A =--1032，证明：A 与E A 4-都是可逆矩阵，并求出它们的逆矩阵.4. 设A 、B 为n 阶对称阵，且B 是可逆矩阵，证明：A B AB 11--+是对称阵.5. 设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：1*-=n A A .6. 向量b 可由向量组321 , ,a a a 线性表示且表达式唯一，证明：321 , ,a a a 线性无关.7. 设321 , ,ααα是n 阶方阵A 的三个特征向量，它们的特征值互不相等，记321αααβ++=，证明：β不是A 的特征向量.8. 向量组321 , ,a a a 线性无关，3133222114 ,3 ,2a a b a a b a a b +=+=+=，证明：向量组321 , ,b b b线性无关.9. 设0η是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21 ,ξξ是对应的线性方程组0=Ax 的一个根底解系，证明：(1) 101202, ==++ηηξηηξ都是b Ax =的解；(2) 210 , ,ηηη线性无关.10. A 是n 阶方阵，E 是n 阶单位阵，E A +可逆，且1))(()(-+-=A E A E A f ，证明：(1) E A E A E 2)))(((=++f ；(2) A A =))((f f .11. 设方阵A 与B 相似，证明：T A 与T B 相似.12. 方阵A 、B 都是正定阵，证明：B A +也是正定阵.13. 设n 阶行列式n D 的元素满足n j i a a ji ij ..., ,2 ,1 , ,=-=，证明：当n 为奇数时0=n D .14. A 为正交阵，k 为实数，证明：假设A k 也是正交阵，则1±=k .15. 设A 、B 均为n 阶正交矩阵，证明：(1) 矩阵AB 是正交阵；(2) 矩阵1-AB 是正交阵.16. 假设A 是n 阶方阵，且T =AA E ，| A | =－1，这里E 为单位阵. 证明：| A +E | = 0.。

线性代数复习题部分参考答案线性代数试题（一） 一、填空题（每小题4分）1.行列式4100031000210001的值 242.设a b 为实数，则当a= 0 且b= 0 时，10100--a b b a =03.10111111)(-=x x f 中，x 的一次项系数是 -1 4.已知矩阵A 3×2 B 2×3 C 3×3，则B A ⋅为 3 × 3 矩阵 5.A 为n 阶方阵，且d A =，则A K ⋅=d K n ⋅ 二、选择题（4分/题） 1.下列各式中 ④ 的值为0①行列式D 中有两列对应元素之和为0 ②行列式D 中对角线上元素全为0 ③行列式D 中有两行含有相同的公因子 ④D 中有一行与另一行元素对应成比例 2.设23⨯A 32⨯B 33⨯C ，则下列 ② 运算有意义 ①AC ②BC ③A+B ④AB -BC3.用一初等矩阵左乘一矩阵B ，等于对B 施行相应的 ① 变换 ①行变换 ②列变换 ③既不是行变换也不是列变换4.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1101001100001100001000101的秩为 ①①5 ②4 ③3 ④25.向量组r ααα⋅⋅⋅21线性无关的充要条件是 ②①向量组中不含0向量 ②向量组的秩等于它所含向量的个数 ③向量组中任意r -1个向量无关 ④向量组中存在一个向量，它不能由其余向量表出 6.向量组t βββ⋅⋅⋅21可由s ααα⋅⋅⋅21线性表出，且t βββ⋅⋅⋅21线性无关，则s 与t 的关系为 ④①s=t ②s>t ③s<t ④s≥t7.如果一个线性方程组有解，则只有唯一解的充要条件是它的导出组 ③ ①有解 ②设解 ③只有0解 ④有非0解8.当K= ④ 时，（2. 1. 0. 3）与（1. -1. 1. K ）的内积为2 ①-1 ②1 ③23 ④329.已知A 2=A ，则A 的特征值是 ③①λ=0 ②λ=1 ③λ=0或=λ1 ④λ=0和λ=110.1111111111111111b a a +-+的值为 ④ ①1 ②0 ③a ④-a 2b线性代数试题（二）一、填空题（4分/题）1.行列式21064153247308021的值为 0 2.二次型yz xy z y x yz x f 222)(2221-+-+=对应的实对称矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---110121011 3.10110111)(--=x x f 中x 的一次项系数是 -14.已知A 为3×3矩阵，且A =3，则A 2= 24二、选择题（4分/题） 1.下列各式中 的值为0①行列式D 中有两列对应元素之和为0 ②行列式D 中对角线上元素全为0 ③行列式D 中有两行含有相同的公因子 ④D 中有一行与另一行元素对应成比例 2.设23⨯A 32⨯B 33⨯C ，则下列 ② 运算有意义 ①AC ②BC ③A+B ④AB -BC3. 向量组t βββ⋅⋅⋅21可由s ααα⋅⋅⋅21线性表出，且t βββ⋅⋅⋅21线性无关，则s 与t 的关系为 ④①s=t ②s>t ③s<t ④s≥t4.齐次线性方程组Ax=0是Ax=B 的导出组则①Ax=0只有零解,Ax=B 有唯一解 ②Ax=0有非零解,Ax=B 有无穷多解 ③U 是Ax=0的通解,X0是Ax=B 的一个解,则X0+U 是Ax=B 的通解 5.向量组)1.1.1(1=α )5.2.0(2=α )6.3.1(3=α是 ①①线性相关 ②线性无关 ③0321=++ααα ④02321=++ααα线性代数试题（三） 一、填空题（4分/题）1.向量)1.0.0.1(=α )0.1.1.0(-=β，则2βα+= （2. 1. -1. 2）2.设aER bER ，则当a= 0 ，b= 0 时10100b a a b -=03.10111111)(-=x x f 中，x 的一次项系数是 1 4.已知A 为3×3矩阵，且1=A ，则A 2= 85.已知A3×3 B3×2 C2×4，则矩阵A.B.C 为 3 × 4 矩阵6.用一初等矩阵右乘矩阵C ，等价于对C 施行 初等列变换7.向量组γααα⋅⋅⋅21.可由向量组s βββ⋅⋅⋅21线性表示且γααα⋅⋅⋅21.线性无关则 s ≤γ 8.如果线性方程组Ax=B 有解则必有)(A γ=)~(A γ9.行列式1111141111311112的值为 6 10.当K= 2 时（1. 0. 0. 1）与（a. 1. 5. 3）的内积为5 二、选择题（4分/题）1.已知矩阵满足A 2=3A ，则A 的特征值是 ③ ①λ=1 ②λ=0 ③λ=3或λ=0 ④λ=3和λ=02.如果一个线性方程组有解，则只有唯一解的充要条件是它的导出组 ③ ①有解 ②没解 ③只有零解 ④有非0解3.矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1101001100001100001000101的秩为 ①①5 ②4 ③3 ④2 4.下列各式中 ④ 的值为0①行列式D 中有两列对应元素之和为0 ②D 中对角线上元素全为0 ③D 中有两行含有相同的公因子 ④D 中有一行元素与另一行元素对应成比例 5.向量组)1.1.1(1=α )5.2.0(2=α )6.3.1(3=α是 ①①线性相关 ②线性无关 ③0321=++ααα ④02321=++ααα三、复习题及参考答案1．若三阶行列式1231122331232226a a a b a b a b a c c c ---=，则 123123123a a ab b bc c c = 12 2．若方程组123123123000tx x x x tx x x x tx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则t=⎽⎽⎽⎽1⎽⎽⎽。

复习题1. 设n 阶可逆矩阵A 、B 、C 满足ABC =E ，则1B -=2. 3阶行列式011101110---=ij a 中元素a 21的代数余子式A 21=3. 设3阶矩阵A =010001000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则A 2的秩为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34.设矩阵A 和B 相似，则以下正确的是： （ ）A ．矩阵A 和B 的特征值相同 B ．矩阵A 和B 的特征向量相同C ．A E B E λλ-=-D ．存在正交矩阵P ，使得1A P BP -=5．设向量组1σ,2σ, 3σ,4σ线性相关，则向量组中 （ ）A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合6. 设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22211211a a a a ，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++121112221121a a a a a a ，P 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110，P 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101，则必有（ ） A ．P 1P 2A =B B ．P 2P 1A =B C ．AP 1P 2=B D ．AP 2P 1=B7. 设1σ, 2σ, 3σ, 4σ是一个4维向量组，若已知4σ可以表为1σ, 2σ, 3σ的线性组合，且表示法惟一，则向量组1σ, 2σ, 3σ, 4σ的秩为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48. 设1σ, 2σ, 3σ是齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（ ）A ．1σ, 2σ, 12σσ+B ．1σ, 2σ, 12σσ-C ．12σσ+, 23σσ+, 13σσ+D ．12σσ-, 23σσ-, 31σσ-9. 设A 为3阶矩阵，且230A E -=，则A 必有一个特征值为（ ）A ．32-B ．23- C ．32 D ．23 10. 设3阶行列式D 3的第2列元素分别为1，2-，3，对应的代数余子式分别为3-，2，1，则3D =___________。

线性代数复习题(选择填空题)线性代数复习题一、选择题练1、如果排列12345a a a a a 的逆序数为a ，则排列54321a a a a a 的逆序数为 BA 、a -B 、10a -C 、10a -D 、2a -或2a +练2、如果排列12...n a a a 的逆序数为k ，则排列11...n n a a a -的逆序数为 C A 、1k - B 、n k - C 、(1)2n nk -- D 、2n k -练3、若12335445i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则j i ,的值为 AA 、1=i 2=jB 、2=i 1=jC 、2=i 3=jD 、3=i2=j4、下列各项中，为某五阶行列式中带有正号的项是___A_______A 、1544223153a a a a a B 、2132411554a a a a a C 、3125431452a a a a a D 、1344324155a a a a a 练5、行列式103100204199200395301300600等于___A______A 、2000B 、2000-C 、1000D 、1000-练6、行列式0001002003004000等于 AA 、24B 、24-C 、0D 、12练7、根据行列式定义计算212111()321111xx x f x x x -=中4x 的系数是 BA 、1B 、2、C 、2-D 、1-练8、利用克莱姆法则判断齐次线性方程组解的个数时，当系数行列式0D =时，说明方程解的个数是 CA 、1B 、0C 、无穷多个D 、无法判断练9、如果能够利用克莱姆法则求解线性方程组时，若方程的个数是m 个，未知数的个数是n 个，则 CA 、n m <B 、n m >C 、m n =D 、无法比较和m n10、已知齐次线性方程组1231231230020ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则,a b 满足 DA 、1a b +=B 、1a b -=C 、01a b ==或D 、10a b ==或练11、若齐次线性方程组000x y z x y z x y z λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则λ= BA 、1或1-B 、1或2-C 、1-或2-D 、1-或212、若 304050x ky z y z kx y z ++=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩有非零解，则k =___B_____A 、0k =或 2k =B 、1k = 或3k =C 、2k =或2k =-D 、2k =-13、设A 是三阶方阵，且4A =，则212A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B A 、4 B 、14C 、1D 、2 练14、设X 是n 维列向量，则X λ= DA 、X λB 、X λC 、n X λD 、n X λ 练15、设A 为三阶方阵，2λ=-，3A =，则A λ=___B_______A 、 24B 、24-C 、6D 、6-练16、设C B A ,,都是n 阶方阵，且E CA BC AB ===，则222A B C ++= AA 、E 3B 、E 2C 、ED 、O17、设,A B 都是(2n n ≥）阶方阵，则必有__B_____A 、AB A B +=+ B 、AB BA =C 、AB BA =D 、 A B B A -=-练18、设B A 、都是n 阶方阵，λ为常数，则下列正确的是___D_______A 、()///AB A B = B 、()111AB A B ---= C 、/A A λλ= D 、B A AB =练19、若n 阶方阵A 、B 都可逆，AXB C =，则X = CA 、11ABC -- B 、11CB A -- C 、11A CB --D 、11B CA --练20、设A 是()2≥n n 阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，则A A *=_____D_____A 、2AB 、 n AC 、2 n AD 、21 n A -练21、设A 是()2n n >阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，则正确的是 CA 、AA A*= B 、/1A A A *= C 、0A ≠，则0A *≠ D 、若()1R A =，则()1R A *=练22、设A 是n ()2n ≥阶方阵，B 是A 经过若干次初等变换后得到的矩阵，则DA 、AB = B 、A B ≠C 、若0A >则0B >D 、若0A =，则一定有0B =练23、以下的运算中，能同时利用初等行变换和初等列变换求解的是 AA 、计算行列式的值B 、求逆矩阵C 、解线性方程组D 、以上都不是练24、设A 是n 阶方阵，B 是m 阶方阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00B A C ，则C 等于__D_____ A 、B A B 、B A - C 、()B A n m 1-+ D 、()B A mn 1-练25、设矩阵A 是m n ⨯矩阵，矩阵C 是n 阶可逆矩阵，秩()R A r =，矩阵B AC =，且()1R B r =，则 ____C______A 、1r r <B 、1r r >C 、1r r =D 、无法判断练26、下列矩阵中，不是初等矩阵的是 BA 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100B 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010000001 C 、 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100020001 D 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100210001 练27、向量组12,,...,n ααα线性相关的充要条件为___C_____A 、12,,...,n ααα中有一个零向量B 、12,,...,n ααα中任意两个向量成比例C 、12,,...,n ααα中至少有一个向量是其余向量的线性组合D 、12,,...,n ααα中任意一个向量都是其余向量的线性组合练28、n 维向量组12,,...,s ααα()n s ≤≤3线性无关的充要条件为_____C________A 、12,,...,s ααα中任何两个向量都线性无关B 、存在不全为0的数12,,...,s k k k ，使得1122...0s s k k k ααα+++≠C 、12,,...,s ααα中任何一个向量都不能由其余向量的线性表示D 、12,,...,s ααα中存在一个向量不能由其余向量的线性表示29、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、1α，12αα+，123ααα++D 、122αα+，232αα+，312αα+ 练30、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、122αα-，232αα-，312αα-D 、122αα+, 232αα+，312αα+ 练31、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、1α，12αα+，123ααα++D 、12αα+，232αα+，313αα+ 练32、已知12,ββ是方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是方程组0Ax =的基础解系，12,k k 是任意常数，则Ax b =的通解为____B________A 、()12112122k k -++ββαα+α B 、()12112122k k ++-+ββααα C 、()12112122k k -+++ββαββ D 、()12112122k k ++++ββαββ 33、若A 是正交阵，则下列各式中 D 是错误的 A 、E A A =' B 、E A A =' C 、1-='A A D 、A A =' 练34、下列矩阵中哪个是正交矩阵 DA 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212221B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111C 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛53545453D 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5354545335、已知三阶矩阵A 有特征值1,1,2-，则下列矩阵中可逆的是 D Ａ、E A - B 、E A + C 、2E A - D 、2E A +练36、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10021421x A ，且A 的特征值为1,2,3 ，则=x __B_______A 、5B 、4C 、3D 、1-练37、n 阶方阵A 可逆的充要条件是 BA 、A 的特征值全为0B 、A 的特征值全不为0C 、A 至少有一个特征值不为0D 、A 的特征值全为0或1 练38、设2λ=是可逆矩阵A 的特征值，则矩阵123A -⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个特征值等于______C______A 、43B 、12C 、34D 、14练39、n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是与对角矩阵相似的 BA 、充分必要条件B 、充分非必要条件C 、必要非充分条件D 、既非充分又非必要条件 练40、n 阶方阵A 与对角矩阵相似，则 DA 、方阵A 有n 个不都相等的特征值B 、()r A n =C 、方阵A 一定是对称阵D 、方阵A 有n 个线性无关的特征向量41、、设三阶实对称矩阵A 的特征值为122λλ==，38λ=，对应于122λλ==的特征向量是1110x -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，2101x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则对应于38λ=的特征向量是 C A 、12,x x 中的一个 B 、()/123 C 、()/111 D 、相交但不垂直 练42、设A 为三阶矩阵，1231,1,2λλλ==-=为A 的3个特征值，对应的特征向量依次为123,,ααα，令321(,2,3)P ααα=，则1P AP -= DA 、100010002⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭B 、200020003⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭C 、100020006⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭D 、200010001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭练43、实二次型()2322212132132,,x tx x x x x x x f +++=，当=t B ，其秩为2 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3二、填空题练1、排列2，6，3，5，1，9，8，4，7的逆序数是 13 练2、当i = 8 ，j = 3 时，1274569i j 是偶排列练3、带负号且包含因子23a 和31a 的项为 14233142a a a a -练4、带正号且包含因子23a 和31a 的项为 14233241a a a a5、在五阶行列式中，项1231544325a a a a a 的符号应取 正号练6、在六阶行列式中，项132432455661a a a a a a 的符号应取 负号练7、在函数xx x x x x f 21112)(---=中，3x 的系数为 28、311()13x f x x x x x -=--中，3x 的系数为 3-练9、211203101311112x x ----的展开式中2x 的系数为 7 练10、设111213212223313233a a a A a a a a a a =，且3A =，则1112132122233132332222222222a a a A a a a a a a == 24练11、设五阶行列式3A =，先交换第1，5两行，再转置，最后用2乘以所有元素，其结果为 96-练12、设行列式010200003D =，ij A 是D 中元素ij a 的代数余子式，则313233A A A ++=2-13、计算()40132573⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭= ()5- 14、222()2A B A AB B +=++的充要条件为 AB BA = 练15、22()()A B A B A B -=+-的充分必要条件是 AB BA =16、设3318A ⨯= ，则()22A = 1 17、设442A ⨯=，552B ⨯=-，则A B -= 6418、设A 是3阶矩阵，2A =，1A -为A 的逆矩阵，则12A -的值为______4________ 练19、设A 是3阶矩阵，12A =，则1(3)A A -*-= 1108- 练20、已知为A 四阶方阵，A *为A 的伴随矩阵，且3A =，则1143A A *--=_27__ 练21、设A 是3阶矩阵，且9A *=，则1A -= 13±练22、设A 是三阶方阵，且13A -=，则2A = 83练23、设,A B 都是n 阶方阵，且2A =，3B =-，则12A B*-= 2123n -- 24、设111111111111k k A k k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且秩()3r A =，则k = 3- 练25、A 为n 阶反对称矩阵，则/A A += 0练26、设矩阵A 满足240A A E +-=，其中E 为三阶单位矩阵，则1()A E --= 1(2)2A E +练27、设矩阵A 满足220A A E --=，其中E 为三阶单位矩阵，则1A -= 1()2A E -28、设是3阶矩阵，且AB E =，200010003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则B = 10020101003B ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭29、设33100111100011111011001222001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪---= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1145520228⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭30、已知向量()()()1231,1,0,0,1,1,3,4,0ααα===，则12αα-=_()1,0,1-_______31、已知向量()()()1231,1,0,0,1,1,3,4,0ααα===，则12332ααα+-=__()0,1,2__32、已知1233()2()5()αααααα-++=+，其中()12,5,1,3,α=()210,1,5,10,α= ()34,1,1,1,α=-则α=_()6,12,18,24__________练33、已知)9,7,5,3(=α，()1,5,2,0β=- ，x 满足βα=+x 32 ，则=x ()17,5,12,183- 34、设向量()(2,0,1,3),(1,7,4,2),0,1,0,1=-=-=αβγ，则23+-=αβγ (5,4,2,1)35、设向量()(2,0,1,3),(1,7,4,2),0,1,0,1=-=-=αβγ，若有x ，满足 3520x -++=αβγ，则x = 57,1,,822⎛⎫-- ⎪⎝⎭练36、当=k 8- 时)5,,1(k =β能由1(1,3,2)α=-，2(2,1,1)α=-线性表示37、设有向量组()13,2,5α=，()22,4,7α=，()35,6,αλ=，()1,3,5β=。

线性代数复习题(选择填空题)-D O C(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--线性代数复习题一、选择题练1、如果排列12345a a a a a 的逆序数为a ，则排列54321a a a a a 的逆序数为BA 、a -B 、10a -C 、10a -D 、2a -或2a +练2、如果排列12...n a a a 的逆序数为k ，则排列11...n n a a a -的逆序数为CA 、1k -B 、n k -C 、(1)2n n k --D 、2n k - 练3、若12335445i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则j i ,的值为AA 、1=i 2=jB 、2=i 1=jC 、2=i 3=jD 、3=i 2=j4、下列各项中，为某五阶行列式中带有正号的项是___A_______A 、1544223153a a a a aB 、2132411554a a a a aC 、3125431452a a a a aD 、1344324155a a a a a练5、行列式103100204199200395301300600等于___A______A 、2000B 、2000-C 、1000D 、1000-练6、行列式0001002003004000等于AA 、24B 、24-C 、0D 、12练7、根据行列式定义计算212111()321111xx x f x x x -=中4x 的系数是BA 、1B 、2、C 、2-D 、1-练8、利用克莱姆法则判断齐次线性方程组解的个数时，当系数行列式0D =时，说明方程解的个数是CA 、1B 、0C 、无穷多个D 、无法判断练9、如果能够利用克莱姆法则求解线性方程组时，若方程的个数是m 个，未知数的个数是n 个，则CA 、n m <B 、n m >C 、m n =D 、无法比较和m n10、已知齐次线性方程组1231231230020ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则,a b 满足DA 、1a b +=B 、1a b -=C 、01a b ==或D 、10a b ==或练11、若齐次线性方程组000x y z x y z x y z λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则λ=BA 、1或1-B 、1或2-C 、1-或2-D 、1-或212、若304050x ky z y z kx y z ++=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩有非零解，则k =___B_____A 、0k =或2k =B 、1k =或3k =C 、2k =或2k =-D 、2k =-13、设A 是三阶方阵，且4A =，则212A ⎛⎫= ⎪⎝⎭B A 、4B 、14C 、1D 、2 练14、设X 是n 维列向量，则X λ=DA 、X λB 、X λC 、n X λD 、n X λ练15、设A 为三阶方阵，2λ=-，3A =，则A λ=___B_______A 、24B 、24-C 、6D 、6-练16、设C B A ,,都是n 阶方阵，且E CA BC AB ===，则222A B C ++=AA 、E 3B 、E 2C 、ED 、O17、设,A B 都是(2n n ≥）阶方阵，则必有__B_____A 、AB A B +=+B 、AB BA =C 、AB BA =D 、A B B A -=-练18、设B A 、都是n 阶方阵，λ为常数，则下列正确的是___D_______A 、()///AB A B =B 、()111AB A B ---=C 、/A A λλ=D 、B A AB =练19、若n 阶方阵A 、B 都可逆，AXB C =，则X =CA 、11ABC --B 、11CB A --C 、11A CB --D 、11B CA --练20、设A 是()2≥n n 阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，则A A *=_____D_____A 、2AB 、 n AC 、2 n AD 、21 n A -练21、设A 是()2n n >阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，则正确的是CA 、AA A *=B 、/1A A A*=C 、0A ≠，则0A *≠D 、若()1R A =，则()1R A *= 练22、设A 是n ()2n ≥阶方阵，B 是A 经过若干次初等变换后得到的矩阵，则DA 、AB =B 、A B ≠C 、若0A >则0B >D 、若0A =，则一定有0B = 练23、以下的运算中，能同时利用初等行变换和初等列变换求解的是AA 、计算行列式的值B 、求逆矩阵C 、解线性方程组D 、以上都不是练24、设A 是n 阶方阵，B 是m 阶方阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00B A C ，则C 等于__D_____ A 、B A B 、B A -C 、()B A n m 1-+D 、()B A mn 1-练25、设矩阵A 是m n ⨯矩阵，矩阵C 是n 阶可逆矩阵，秩()R A r =，矩阵B AC =，且()1R B r =，则____C______A 、1r r <B 、1r r >C 、1r r =D 、无法判断练26、下列矩阵中，不是初等矩阵的是BA 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100B 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010000001C 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100020001D 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100210001练27、向量组12,,...,n ααα线性相关的充要条件为___C_____A 、12,,...,n ααα中有一个零向量B 、12,,...,n ααα中任意两个向量成比例C 、12,,...,n ααα中至少有一个向量是其余向量的线性组合D 、12,,...,n ααα中任意一个向量都是其余向量的线性组合练28、n 维向量组12,,...,s ααα()n s ≤≤3线性无关的充要条件为_____C________A 、12,,...,s ααα中任何两个向量都线性无关B 、存在不全为0的数12,,...,s k k k ，使得1122...0s s k k k ααα+++≠C 、12,,...,s ααα中任何一个向量都不能由其余向量的线性表示D 、12,,...,s ααα中存在一个向量不能由其余向量的线性表示29、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、1α，12αα+，123ααα++D 、122αα+，232αα+，312αα+练30、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、122αα-，232αα-，312αα-D 、122αα+,232αα+，312αα+练31、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是AA 、12αα-，23αα-，31αα-B 、12αα+，23αα+，31αα+C 、1α，12αα+，123ααα++D 、12αα+，232αα+，313αα+练32、已知12,ββ是方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是方程组0Ax =的基础解系，12,k k 是任意常数，则Ax b =的通解为____B________A 、()12112122k k -++ββαα+αB 、()12112122k k ++-+ββααα C 、()12112122k k -+++ββαββD 、()12112122k k ++++ββαββ 33、若A 是正交阵，则下列各式中D 是错误的 A 、E A A ='B 、E A A ='C 、1-='A A D 、A A ='练34、下列矩阵中哪个是正交矩阵DA 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212221B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111C 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛53545453D 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-53545453 35、已知三阶矩阵A 有特征值1,1,2-，则下列矩阵中可逆的是DＡ、E A -B 、E A +C 、2E A -D 、2E A +练36、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10021421x A ，且A 的特征值为1,2,3，则=x __B_______A 、5B 、4C 、3D 、1-练37、n 阶方阵A 可逆的充要条件是BA 、A 的特征值全为0B 、A 的特征值全不为0C 、A 至少有一个特征值不为0D 、A 的特征值全为0或1练38、设2λ=是可逆矩阵A 的特征值，则矩阵123A -⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个特征值等于______C______A 、43B 、12C 、34D 、14练39、n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是与对角矩阵相似的BA 、充分必要条件B 、充分非必要条件C 、必要非充分条件D 、既非充分又非必要条件练40、n 阶方阵A 与对角矩阵相似，则DA 、方阵A 有n 个不都相等的特征值B 、()r A n =C 、方阵A 一定是对称阵D 、方阵A 有n 个线性无关的特征向量41、、设三阶实对称矩阵A 的特征值为122λλ==，38λ=，对应于122λλ==的特征向量是1110x -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则对应于38λ=的特征向量是C A 、12,x x 中的一个B 、()/123C 、()/111D 、相交但不垂直练42、设A 为三阶矩阵，1231,1,2λλλ==-=为A 的3个特征值，对应的特征向量依次为123,,ααα，令321(,2,3)P ααα=，则1P AP -=DA 、100010002⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭B 、200020003⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭C 、100020006⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭D 、200010001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 练43、实二次型()2322212132132,,x tx x x x x x x f +++=，当=t B ，其秩为2 A 、0B 、1C 、2D 、3二、填空题练1、排列2，6，3，5，1，9，8，4，7的逆序数是13练2、当i =8，j =3时，1274569i j 是偶排列练3、带负号且包含因子23a 和31a 的项为14233142a a a a -练4、带正号且包含因子23a 和31a 的项为14233241a a a a5、在五阶行列式中，项1231544325a a a a a 的符号应取正号练6、在六阶行列式中，项132432455661a a a a a a 的符号应取负号练7、在函数xx x x x x f 21112)(---=中，3x 的系数为28、311()13x f x x x x x -=--中，3x 的系数为3-练9、211203101311112x x ----的展开式中2x 的系数为7 练10、设111213212223313233a a a A a a a a a a =，且3A =，则1112132122233132332222222222a a a A a a a a a a ==24 练11、设五阶行列式3A =，先交换第1，5两行，再转置，最后用2乘以所有元素，其结果为96-练12、设行列式010200003D =，ij A 是D 中元素ij a 的代数余子式，则313233A A A ++=13、计算()40132573⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭=()5- 14、222()2A B A AB B +=++的充要条件为AB BA =练15、22()()A B A B A B -=+-的充分必要条件是AB BA =16、设3318A ⨯=，则()22A =1 17、设442A ⨯=，552B ⨯=-，则A B -=6418、设A 是3阶矩阵，2A =，1A -为A 的逆矩阵，则12A -的值为______4________练19、设A 是3阶矩阵，12A =，则1(3)A A -*-=1108- 练20、已知为A 四阶方阵，A *为A 的伴随矩阵，且3A =，则1143A A *--=_27__ 练21、设A 是3阶矩阵，且9A *=，则1A -=13± 练22、设A 是三阶方阵，且13A -=，则2A =83练23、设,A B 都是n 阶方阵，且2A =，3B =-，则12A B*-=2123n -- 24、设111111111111k k A k k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且秩()3r A =，则k =3- 练25、A 为n 阶反对称矩阵，则/A A +=0练26、设矩阵A 满足240A A E +-=，其中E 为三阶单位矩阵，则1()A E --=1(2)2A E + 练27、设矩阵A 满足220A A E --=，其中E 为三阶单位矩阵，则1A -=1()2A E - 28、设是3阶矩阵，且AB E =，200010003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则B =10020101003B ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭29、设33100111100011111011001222001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪---= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1145520228⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭30、已知向量()()()1231,1,0,0,1,1,3,4,0ααα===，则12αα-=_()1,0,1-_______31、已知向量()()()1231,1,0,0,1,1,3,4,0ααα===，则12332ααα+-=__()0,1,2__32、已知1233()2()5()αααααα-++=+，其中()12,5,1,3,α=()210,1,5,10,α=()34,1,1,1,α=-则α=_()6,12,18,24__________练33、已知)9,7,5,3(=α，()1,5,2,0β=-，x 满足βα=+x 32，则=x ()17,5,12,183- 34、设向量()(2,0,1,3),(1,7,4,2),0,1,0,1=-=-=αβγ，则23+-=αβγ(5,4,2,1)35、设向量()(2,0,1,3),(1,7,4,2),0,1,0,1=-=-=αβγ，若有x ，满足3520x -++=αβγ，则x =57,1,,822⎛⎫-- ⎪⎝⎭练36、当=k 8-时)5,,1(k =β能由1(1,3,2)α=-，2(2,1,1)α=-线性表示37、设有向量组()13,2,5α=，()22,4,7α=，()35,6,αλ=，()1,3,5β=。

一.单项选择题1.设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为12,αα，则1α，12()+A αα线性无关的充分必要条件是【 】(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [五.特征值,特征向量]2. 设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B , **,A B分别为A,B 的伴随矩阵，则【 】.(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B . (B) 交换*A 的第1列与第2列得*B -； (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -. [二.四.矩阵及其运算,行列式]3.设矩阵A =33)(⨯ij a 满足*TA A=，其中*A 为A 的伴随矩阵，T A 为A 的转置矩阵. 若131211,,a a a 为三个相等的正数，则11a 为【 】.(A) 33. (B) 3. (C)31. (D) 3. [二.四.伴随矩阵,行列式]4.设A,B,C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若B =E +AB ,C =A +CA ，则B -C 为【 】(A) E . （B ）-E . （C ）A . (D) -A [二.矩阵及其运算]5 .设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是【 】 （A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,A a A a A a 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,A a A a A a 线性无关.（C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,A a A a A a 线性相关. （D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,A a A a A a 线性无关.[二.向量组的线性相关性]6.设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，则 【 】 （A ）1.-=C PA P （B ）1.-=C P A P（C ）.=TC PA P （D ）.=TC P A P[二.矩阵及其运算,初等矩阵]7.设125,,......∂∂∂,均为n 维列向量 A 是m n ⨯矩阵,下列正确的是【 】(A) 若125,,......∂∂∂线性相关,则125,......A A A ∂∂∂线性相关(B) 若125,,......∂∂∂线性相关,则125,......A A A ∂∂∂线性无关(C) 若125,,......∂∂∂线性无关,则125,......A A A ∂∂∂线性相关(D) 若125,,......∂∂∂线性无关,则125,......A A A ∂∂∂线性无关[二.向量组的线性相关性]8.设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是【 】 (A)122331,,;---αααααα (B) 122331,,;+++αααααα(C)1223312,2,2;---αααααα (D)1223312,2,2+++αααααα.[二.向量组的线性相关性]9.设矩阵211100121,010112000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A B ，则A 与B 【 】(A) 合同且相似； (B) 合同但不相似； (C) 不合同但相似； (D) 既不合同也不相似.[五.矩阵的相似与合同]10.设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30=A ，则【 】 (A) -E A 不可逆，+E A 不可逆. (B) -E A 不可逆，+E A 可逆. (C) -E A 可逆，+E A 可逆. (D)-E A 可逆，+E A不可逆.[二.矩阵及其运算,逆矩阵]11.设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(,,)1x x y z A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为【 】 (A) 0 ; (B) 1 ; (C) 2 ; (D) 3. [五.矩阵的特征值]12.设1221⎛⎫=⎪⎝⎭A 则在实数域上与A 合同的矩阵为【 】 (A) 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭;(B) 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭;(C) 2112⎛⎫⎪⎝⎭.;(D) 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭. [五.矩阵的合同]13.设123,,a a a 是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23a a a 到基122331,,+++a a a a a a 的过渡矩阵为【 】.（A ）101220033⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）120023103⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（C ）111246111246111246⎛⎫-⎪⎪⎪- ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭（D ）111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. [三. 向量空间，基，过渡矩阵]14.设 A ,B 均为 2 阶矩阵，,**A B 分别为A ，B 的伴随矩阵，若|A |=2，|B |=3，则分块矩阵00⎛⎫⎪⎝⎭A B的伴随矩阵为【 】. （A ）32**⎛⎫⎪⎝⎭OB A O （B ）23**⎛⎫⎪⎝⎭O B A O （C ）32**⎛⎫⎪⎝⎭OA B O （D ）23**⎛⎫⎪⎝⎭OA B O [二. 三..四.伴随矩阵，逆矩阵，分块矩阵，行列式]15.设A ，P 均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且TPA Ｐ＝100010002 ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭，若1231223(,,),(,,)==+P Q ααααααα，则TQA Q 为【 】.（Ａ）2101 ⎛⎫⎪ 1 0⎪ ⎪0 0 2⎝⎭ （Ｂ）11012000 ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ 2⎝⎭ （Ｃ）20001 ⎛⎫⎪ 0 ⎪ ⎪0 0 2⎝⎭ （Ｄ）100020002 ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭[二. 四.伴随矩阵，分块矩阵的行列式与逆矩阵]16.设矩阵142242A a b a 2 1⎛⎫ ⎪=2 + ⎪ ⎪ + ⎝⎭的秩为2，则【 】.（A ）a =0,b =0（B ）a =0,b ≠0 （C ）a ≠0,b =0 （D ）a ≠0,b ≠0.[一. 矩阵的秩]17.设A 为3阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，A 的行列式|A |=2，则|-2*A |=【 】.（A ）52-; （B ）32-; （C ）32 ;（D ）52.[四. 伴随矩阵，方阵的行列式]二.填空题1.设123,,ααα均为三维列向量，记矩阵123(,,)=Aααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα，如果1=A ，那么=B .[四.方阵的行列式]2. 设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a = . .[二.四.向量组的线性相关性,行列式] 3.设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2=+B A B E ， 则B = .[四.方阵的行列式]4.设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2=+B A B E ，则B = .[二.矩阵及其运算]5. 已知12,a a 为2维列向量，矩阵1212(2,)=+-A a a a a ，12(,)=B a a .若行列式||6=A ，则||B = .[四.方阵的行列式]6．设矩阵01000010000100⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则3A 的秩为 .[二.矩阵及其运算,矩阵的秩]7．设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，10,=A α，2122=+A ααα则A 的非零特征值为 .[五.矩阵的特征值]8．设3阶矩阵A 的特征值1，2，2，14--=A E . [五.矩阵的特征值,行列式]9.设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ. 若行列式248=-A ,则λ= .[五.矩阵的特征值,行列式]10.设3阶矩阵A 的特征值互不相同,若行列式0=A , 则A 的秩为 .[五.矩阵的特征值,行列式]11.若 3 维向量,a β满足2=Ta β，其中Ta 为a 的转置，则矩阵Ta β的非零特征值为______.[五.矩阵的特征值与特征向量]12.设,αβ为3维列向量，Tβ为β的转置，若Tβ相似于200000000 ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭，则Tβα=___________[五. 相似矩阵，特征值]13.设(1,1,1),(1,0,)k ==αβ，若矩阵Tαβ相似于300000000 ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎝⎭，则k =_______ [五. 相似矩阵，特征值]14.设向量组(1,0,1),(2,1),TTk ==-αβ(1,1,4)=--Ty 线性相关，则k =______ [二.四. 向量组的线性相关性，行列式]三 .解答题1.已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.（I ） 求a 的值； （II ） 求正交变换=xQ y，把),,(321x x x f 化成标准形；（III ） 求方程),,(321x x x f =0的解. [五. 二次型,矩阵的特征值, 特征向量,正交变换] 2.已知三阶矩阵A的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵12324636⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B k （k 为常数），且AB =O , 求线性方程组Ax =0的通解.[二.线性方程组,基础解系,矩阵]3.确定常数a ,使向量组,),1,1(1Ta =α,)1,,1(2Ta =αTa )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βTa a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示. [二.向量组的线性相关性]4.已知齐次线性方程组（i ） ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0532,032321321321ax x x x x x x x x 和 (ii) ⎩⎨⎧=+++=++,0)1(2,03221321x c x b x cx bx x 同解，求,,a b c 的值. [一.线性方程组求解]5.设⎛⎫= ⎪⎝⎭TAC D CB 为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为n m ⨯矩阵.(I) 计算TPD P ，其中1-⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭mn EAC P O E ；（II ）利用(I)的结果判断矩阵1--TB C A C是否为正定矩阵，并证明你的结论. [五.分块矩阵,正定矩阵]6.设A 为三阶矩阵，123,,ααα是线性无关的三维列向量，且满足1123=++A αααα，2232=+A ααα，32323=+A ααα.(I) 求矩阵B , 使得123123(,,)(,,)=A Bαααααα；（II ）求矩阵A 的特征值；（III ）求可逆矩阵P , 使得1-P A P 为对角矩阵. [五.矩阵的特征值,相似矩阵]7.已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x a x x x b x +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2R A =; （Ⅱ）求,a b 的值及方程组的通解. [二.线性方程组求解]8.设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()11,2,1Tα=--,()20,1,1Tα=-是线性方程组0=A x 的两个解, (Ⅰ)求A 的特征值与特征向量; (Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ使得=TQ A Q Λ;.(Ⅲ)求A 及63()2A E -,其中E 为3阶单位矩阵.[五.矩阵的特征值,相似矩阵]9.设4维向量组()11,1,1,1,T a ∂=+()22,2,2,2,T a ∂=+()33,3,3,3,Ta ∂=+()44,4,4,4Ta ∂=+.问a 为何值时1234,,,∂∂∂∂线性相关? 当1234,,,∂∂∂∂线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. [二.向量组的线性相关性]10.设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x a x x ax x x x x x 与方程12321-=++a x x x 有公共解，求a 的值及所有公共解. [二.线性方程组求解]11.设3阶实对称矩阵A 的特征值2,2,1321-===λλλ，且T )1,1,1(1-=α是A 的属于1λ的一个特征向量。

线性代数期末复习一、 填空题1. 设n 阶方阵A 满足A 2-A-2E=0，且︱A ︱=2，则︱A-E ︱=＿＿＿2. 设A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛543022001，其伴随矩阵A *，则（A *）-1=＿＿＿3. 矩阵A 经有限次初等行变换得到矩阵B ，则方程组AX=0与方程组BX=0的关系是＿＿＿4. 设a 1a 2a 3线性无关，若是a 2-a 1，ka 2-a 3，a 1-a 3也线性无关，则k 应满足的条件为＿＿＿5. 在秩为r 的矩阵中，是否有等于0的阶r-1子式＿＿＿6. 设A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300044003，E=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111，则（A-2E ）-1=＿＿＿ 7. 设A=（a 1，a 2，…，a n ）B=（b 1，b 2，…，b n ），其中a 1不全为零，b 1不全为零，则A 的秩R （A ）=＿＿＿8. 设A 、B 都是n 阶菲零方阵，且R （A ）=r ，若AB=0，则R （B ）应满足的条件为＿＿＿ 二、 选择题1、设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，C=⎪⎪⎭⎫⎝⎛00BA ，则C =＿＿＿ A 、B A B 、-B AC 、（-1）nm B AD 、（-1）n （n-1）/2B A 2、设A 、B 为n 阶方阵，则必有＿＿＿A 、B A B A +=+ B 、AB=BAC 、BA AB =D 、（A+B ）-1=A -1+B -13、设A 为m*n 矩阵，齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是＿＿＿A、A的列向量组线性无关B、A的列向量组线性相关C、A的行向量组线性无关D、A的行向量组线性相关4、设a1a2…a n为n维向量，则下列结论正确的是＿＿＿A、k1a1+k2a2+…+k n a n=0，则a1a2…a n线性相关B、对任何一组不全为零的数k1k2…k m都有k1a1+k2a2+…+k n a n≠0，则a1a2…a n线性无关C、a1a2…a n线性相关，则对任何一组不全为零的数k1k2…k m都有k1a1+k2a2+…+k n a n=0成立D、若0a1+0a2+…+0a n=0，则a1a2…a n线性无关5、设η1与η2是非其次线性方程组Ax=β的两个不同的解，ξ1与ξ2时对应的其次线性方程组Ax=0的基础解系，k1与k2是任意实数，则Ax=β的通解为＿＿＿A、221ηη-+k1ξ1+k2（ξ1+ξ2） B、221ηη++k1ξ1+k2（ξ1-ξ2）C、221ηη-+k1ξ1+k2（η1+η2） D、221ηη++k1ξ1+k2（η1-η2）6、设A为n阶可逆阵（n≥2），A*为A的伴随矩阵，则＿＿＿A、（A*）*=A n-1AB、（A*）*=A n+1AC、（A*）*=A n-2AD、（A*）*=A n+2A7、设A、B、C是n阶方阵，E为n阶单位阵，若ABC=E，则必有＿＿A、ACB=EB、CBA=EC、BAC=ED、BCA=E8、设n阶方阵A与B等价，则＿＿＿A 、A =B B 、A ≠BC 、若A ≠0，则必有B ≠0D 、A =-B 三、计算1、计算下列行列式（1）n001030100211111⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2）1111111111111111---+---+--x x x x（3）D=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯0111110111110111110111110 2、已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---433312120，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-132321，求X 使得XA=B3、解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 4、（1）设n 阶方阵满足A+B=AB ，证明：A-E 可逆，并求（A-E ）-1 （2）证明：m 个n 维向量，当m 〉n 时，它们线性相关 5、设E+AB 可逆，证明E+BA 也可逆，且（E+BA ）-1=E-B （E+BA ）-1A6、设A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--82593122，求一个4*2矩阵B ，使得AB=0，且R （B ）=27、求下列向量组的一个最大无关组，并以此最大无关组将其余向量线性表示出。

1.设A ,B ,C 为n 阶矩阵，且A 可逆，下列结论成立的是（）(A).若AC AB =，则C B = (B).若CB AB =，则C A = (C).若O BC =，则O B = (D).若O AB =，则O A =或O B =2.若5734111113263278----=D ，则D 中第一行元素的代数余子式的和为（） (A).-1 (B).-2 (C).-3 (D).03.设A ,B 为n 阶非零矩阵，且O AB =，则A ,B 的秩为（）(A).必有一个等于零 (B).都小于n (C).一个小于n ，一个等于n (D).都等于n4.设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是（）(A). 133221,,αααααα+++ (B). 321211,,αααααα+++ (C).133221,,αααααα--- (D). 1332213,2,αααααα+++5.要使TT )1,0,2(,)1,0,1(21-==ξξ都是线性方程组0=Ax 的解，只要系数矩阵A 为（）. (A). ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛112213321(B). ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-211121 (C). ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123020010(D). ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-020010 二、填空题（15分）1. 四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是_____．2. 齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =_____.3. 设A 为5阶方阵，*A 为其伴随矩阵，且3=A ，则=*A .4. 设A 是n 阶矩阵，满足O E A A =++322，则1-A =_____．5. 设A 是n 阶矩阵，对于0=Ax ，若每个n 维向量都是解，则=)(A R . 三、（10分）求行列式1332141121524321=D ． 四、（15分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=145243121A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=223B 满足B AX =，求1-A 和X . 五、（15分）判断向量组T T T a a )3,2,2(,),2,0(,)3,1,(321===ααα的线性关系. 六、（15分）对矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7236311232201012A ，求A 的列向量组的秩、最大无关组、并表示其他向量. 七、（15分）求线性方程组⎩⎨⎧=-+--=-+12624321421x x x x x x x 的通解，并用基础解系表示.1.设A 为n 阶矩阵，k 为非零常数，则=kA （ ）. (A) A k (B) A k (C) A k n (D) A k n2.设A 为n m ⨯阶矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为1r ，矩阵AC B =的秩为r ，则（）(A) 1r r > (B) 1r r < (C) 1r r = (D) 1r r ,的关系依C 而定3.设n 元齐次方程组0=Ax 的系数矩阵为r ，则0=Ax 有非零解的充分必要条件是（）(A) n r = (B) n r < (C) n r ≥ (D) n r >4.n 维向量组)2(,,,≥s s 21ααα 线性相关的充要条件是（）(A) s 21ααα,,, 中至少有一个零向量 (B) s 21ααα,,, 中至少有两个向量成比例(C) s 21ααα,,, 中任意两个向量不成比例 (D) s 21ααα,,, 中至少有一个向量可以被其余向量所表示5.设321ξξξ,,是0=Ax 的基础解系，则该方程组其余的基础解系还可以表示为（）(A) 133221ξξξξξξ-++,, (B) 321ξξξ,,的一个等秩向量组 (C) 321211ξξξξξξ+++,, (D) 133221ξξξξξξ---,,二、填空题（15分）6. 261365415432a a a a a a 为六阶行列式的元素乘积，前面应冠以_______号．7. 6427811694143211111=D 中第三行元素的代数余子式的和∑=413j j A =__________． 8. =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4131211135111111________． 9. 设A 是n 阶矩阵，满足E A A -=22，则1)2(--E A =_____．10. n 维零向量一定线性 （相关/无关）．三、（10分）求行列式1232145121524321=D ．四、（15分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=130140121A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=123B 满足B AX =，求1-A 和X . 五、（15分）设向量组T T T k k )2,1,1(,)1,,1(,)1,1,(321===ααα，向量T k k ),,1(2=β，则k 取何值时（1）β不能由321,,ααα线性表示；（2）β可以由321,,ααα线性表示，且表示法唯一；（3）β可以由321,,ααα线性表示，且表示法不唯一六、（15分）设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5244423232201012A ，求A 的列向量组的秩、最大无关组、并表示其他向量. 七、（15分）求线性方程组⎩⎨⎧=-+--=-+12624321421x x x x x x x 的通解，并用基础解系表示.1.设A ,B ,C 为n 阶矩阵，且A 可逆，下列结论成立的是（）(A).若AC AB =，则C B = (B).若CB AB =，则C A = (C).若O BC =，则O B = (D).若O AB =，则O A =或O B =2.若5734111113263278----=D ，则D 中第一行元素的代数余子式的和为（） (A).-1 (B).-2 (C).-3 (D).03.设A ,B 为n 阶非零矩阵，且O AB =，则A ,B 的秩为（）(A).必有一个等于零 (B).都小于n (C).一个小于n ，一个等于n (D).都等于n4.n 维向量组)2(,,,≥s s 21ααα 线性相关的充要条件是（）(A) s 21ααα,,, 中至少有一个零向量 (B) s 21ααα,,, 中至少有两个向量成比例(C) s 21ααα,,, 中任意两个向量不成比例 (D) s 21ααα,,, 中至少有一个向量可以被其余向量所表示5.设321ξξξ,,是0=Ax 的基础解系，则该方程组其余的基础解系还可以表示为（）(A) 133221ξξξξξξ-++,, (B) 321ξξξ,,的一个等秩向量组 (C) 321211ξξξξξξ+++,, (D) 133221ξξξξξξ---,,二、填空题（15分）11. 615243342516a a a a a a 为六阶行列式的元素乘积，前面应冠以_______号．12. =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4131211143211111________． 13. 设A 是n 阶矩阵，满足A A 32=，则1)(-+E A =_____．14. 设A 是2阶矩阵，3=A ，*A 是A 的伴随矩阵，求*1A A +-=________．15. 向量组321,,ααα线性无关的充要条件是______．三、（10分）求行列式1332101121024321=D ．四、（15分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212B 满足B AX =，求1-A 和X . 五、（15分）判断向量T )9,6,2,0(-=β是否可由向量组T T T )3,5,1,1(,)2,1,2,1(,)2,3,3,1(321-=---==ααα，如果可以，写出表达式. 六、（15分）设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7236311232201012A ，求A 的列向量组的秩、最大无关组、并表示其他向量. 七、（15分）求线性方程组⎩⎨⎧=----=-+14624321421x x x x x x x 的通解及基础解系. 一、填空题1. 排列6137524的逆序数是 ．2. 若齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+-0052023232321kx x x x x x x 有非零解，则k = .3. 设A 为3阶方阵，且3=A ，则=A 5 .4. 向量组4321,,,αααα线性无关的定义是 ．5．向量组1234,,,αααα线性相关的定义是_____________.6. 53(1)无解的充要条件是 ___________________________________;(2)当____________时，方程组有无穷多解，这时通解含有 _____个自由未知量.7.行列式=301120111 .8.设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++444342418765A A A A .9.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011A ，则=-1)3(A . 10.设T )2,1,1(1-=α，T )1,3,1(2-=α，则=-2124αα . 二、选择题1.设B A 、为n 阶方阵，则下列选项中恒成立的是( )． A. BA AB =B. ))((22B A B A B A +-=-C. AB A A B A -=-2)(D. T T T B A AB =)(2.设n 维向量组)3(,,,21n s s ≤≤ααα 线性无关，则下列结论正确的是( )．A. s ααα,,,21 中至少有一向量可由其余向量线性表示B. s ααα,,,21 中存在部分组线性相关C. s ααα,,,21 中没有零向量D. s ααα,,,21 中存在两个向量对应成比例3. 下列),,(z y x f 为二次型的是( )．A. yz xy x 422++B. z xyz x 4222++C. 142++yz xD. 2242yz xy x ++4. 对矩阵m n n m B A ⨯⨯,，下列运算有意义的是( )．A. T ABB. 2AC. A B TD. AB5. 设4321,,,αααα是三维实向量组，则( )．A ．4321,,,αααα一定线性无关B ．1α一定可由432,,ααα线性表出C ．4321,,,αααα一定线性相关D ．321,,ααα一定线性无关 6. 设321ξξξ,,是0=Ax 的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表示为( )．A. 133221ξξξξξξ-++,,B. 321ξξξ,,的一个等秩向量组C. 133221ξξξξξξ+++,,D. 133221ξξξξξξ---,, 7.设A 为3阶方阵,行列式2=A ,*A 为A 的伴随矩阵,则=--*1)2(A A ( )． A.1627 B. 2716 C. 1627- D. 2716- 8.设A ,B ,C 为n 阶矩阵，且A 可逆，下列结论成立的是（）(A).若AC AB =，则C B = (B).若CB AB =，则C A = (C).若O BC =，则O B = (D).若O AB =，则O A =或O B =9.设A ,B 为n 阶非零矩阵，且O AB =，则A ,B 的秩为（） (A).必有一个等于零 (B).都小于n (C).一个小于n ，一个等于n (D).都等于n10.设A 为n 阶矩阵，k 为非零常数，则=kA （ ）.(A) A k (B) A k (C) A k n (D) A k n11.设A 为n m ⨯阶矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为1r ，矩阵AC B =的秩为r ，则（）(A) 1r r > (B) 1r r < (C) 1r r = (D) 1r r ,的关系依C 而定12.设n 元齐次方程组0=Ax 的系数矩阵为r ，则0=Ax 有非零解的充分必要条件是（）(A) n r = (B) n r < (C) n r ≥ (D) n r >13．设行列式1111304=zy x ，则行列式=1111034222zy x （ ） A ．32 B ．1 C ．2 D ．38 14. 设矩阵m n n s B A ⨯⨯,，则下列运算有意义的是 ( )A. T ABB.2A C.BA D. AB15.设n s j i a A ⨯=)(，s m j i b B ⨯=)(，则( ) A. BA 是m n ⨯矩阵； B. BA 是n m ⨯矩阵；C. BA 是s s ⨯矩阵；D. BA 未必有意义.16．设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ ）（A ）所有1r -阶子式都不为0；（B ）所有1r -阶子式全为0；（C ）至少有一个r 阶子式不为0； （D ）所有r 阶子式都不为0。

一、填空题1、如果003112101=x，则=x ____________； 2、如果行列式2314523x x-=0,则x =____________； 3、四阶行列式11121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a 中含有4123a a 的项是____________；4、211132xx D x x=中x 的系数为____________； 5、在6阶行列式中，项466455321311a a a a a a 的符号是____________；6、若12325144i k a a a a a 是5阶行列式中带“+”的项，则i=____________；k= ____________；7、已知1=d c b a ，则dc c ba a --=____________； 8、若行列式D 中存在两行元素相同或成比例，则D =____________； 9、设D=111213212223313233a a a a a a a a a =3，则2111111312212122323131333232323a a a a D a a a a a a a a +=++=____________；10、设 1231231232a a a D b b b c c c == 则123112312336322a a a D b b b c c c ==____________； 11、设157222203D = , 则313233A A A ++=____________；12、设142002125--=D ，则31323324A A A -++=____________；12、设四阶行列式D 的第二行的4个元素分别为4,3,2,1--，它们的代数余子式分别为2,1,1,2-，则行列式D =____________；13、设134213,473ij A A =为第i 行第j 列元素的代数余子式，则21222334A A A ++=____________；14、已知1142303a c b +-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则a =____________；=b ____________；=c ____________；15、5阶方阵A 的行列式的值为3，则 |-3A| = ____________； 16、设3阶行列式A 的值为2，则A 2=____________；17、设A 为n 阶方阵，λ为任一常数，则矩阵行列式A λ=____________；18、设*A 是n 阶矩阵A 的伴随矩阵，若2A =，则*A ____________；19、设101021003A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的伴随矩阵*A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛； 20、已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-3211254321A ，则=--1)2(A ____________；21、设二元方阵,A B 的逆分别是11532,,1414A B --⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭则1()AB -=____________； 22、矩阵A=)0)(2121≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn λλλλλλ的逆矩阵为1-A =____________；23、设(2,1,0,1)α=，(1,0,2,2)β=-且42αξβ+=，则ξ=____________；24、设()()1,2,1,1,3,2,1,1,22,αβγαβ=-=-+= 则γ=____________； 25、设(2,1,5,2,0),(3,0,1,1,4)αβαβ+=-=-，则α= ，β= ；26、设123,,n εεεε 为n 维单位坐标向量组，则112233n n a a a a εεεε++++ = ；28、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3411α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=122t α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1323α线性相关，则=t ________________；29、含有零向量的向量组必是线性________向量组；30、任何1+n 个n 维向量都是线性 关的；31、如果向量组A 可以由向量组B 线性表示，则()R A _____()R B ；32、设A 是54⨯矩阵，若A 的行向量组线性无关，则A 的列向量组的秩R =_________________； 33、设向量组12,,r ααα 线性无关，则它的秩= ； 34、设ξη和是非齐次线性方程组AX b =的解,若12λξλη+ 也是Ax b =的解, 当且仅当 ；35、设12,,,s x x x 是非齐次线性方程组Ax b =的解，若1122s s a x a x a x +++ 也是该方程组的解，则12s a a a +++= ；36、设1,2,3ηηη是非齐次线性方程组Ax b =的解，若1122313ηληληη=++也是Ax b =的解，则12λλ+=____________；37、设四元线性方程组Ax b =的系数矩阵的秩为2，已知Ax b =有解1,2,3,ηηη则Ax b =的一般解为 ____________；38、已知5元齐次线性方程组0Ax =的基础解系包含3个解向量，则()R A =_______；39、设A 是54⨯矩阵，若A 的列向量组的秩为2，则线性方程组0Ax =的基础解系含有____个解向量。

复习一一. 填空题1. 设A 是3阶方阵，且3=A ，则=-121A 2. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200035012A ，则其逆矩阵为=-1A3. 设向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=10221k α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1402k α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3003α，若321,,ααα线性相关，则=k4. 设64)(⨯=ij a A ，其秩2)(=A R ，则齐次方程组0=AX 的基础解系中解向量的个数为5. 设A 为n 阶矩阵，满足0532=--E A A ，则=+-1)(E A6. 设A 为35⨯矩阵，其秩2)(=A R ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=103030301B ，则=)(AB R7. 二次型31212322213212434),,(x x x x x x x x x x f +-+-=所对应的矩阵表达式为二. 选择题1. 设A 、B 、C 为任意n 阶矩阵，且0||≠A ，0||≠B ，则下列结论中可能错误的是( ) A ．若AC AB =，则C B = B ．||||||B A AB =C ．111)(---=A B ABD ．22))((B A B A B A -=-+2. 设A 为n 阶不可逆矩阵，则( )A ．A 的特征值全为0B ．0||=AC ．A 为满秩矩阵D ．A 必有两行对应成比例3. 若矩阵A 与B 相似，则下列结论中不成立的是( )A ．,AB 有相同的特征值 B ．||||E A E B λλ-=-C ．,A B 有相同的特征向量D ．()()tr A tr B =4. 设向量组s ααα,...,,21线性无关，则必有( )A ．向量组121,...,,-s ααα线性无关B ．向量组121,...,,-s ααα线性相关C ．向量组121,...,,+s ααα线性无关D ．向量组121,...,,+s ααα线性相关5. 设A 为3阶方阵，A 的特征值为5 ,3 ,2-，则下列矩阵中可逆的是( )A ．A E -2B ．E A 3+C ．E A 5-D ．E A 3- 6. 设A 为n 阶方阵，其秩n r A R <=)(，则在A 的n 个行向量中( )A ．必有r 个行向量线性无关B ．任意r 个行向量线性无关C ．任意r 个行向量就是A 的行向量组的一个最大无关组D ．任意一个行向量可由其它r 个行向量线性表示三. 计算行列式ba a ab a aa b D n=. 四. 已知矩阵X 满足X B AX 2+=，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=312032113A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321111B ，求X .五. 求向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3111,113121αα,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=9311,928543αα的秩和一个最大线性无关组，并将剩余向量用该最大线性无关组表示出来.六. 已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+=++-a x x x x x x x x x x x x 43214321432115336107222,(1) 求当a 为何值时，方程组无解、有解；(2) 当方程组有解时，求出其全部解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示) .七. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=422230203A ，(1) 判定A 是否可与对角矩阵相似，说明理由；(2) 若A 可与对角矩阵相似，求对角矩阵Λ和可逆矩阵P ，使Λ=-AP P 1.八. 设n 阶方阵A 是正交矩阵，证明A 的伴随矩阵*A 也是正交矩阵.复习二一. 填空题1. 设A 是3阶方阵，且2A =，则12T A A -= 2. 设矩阵400032011A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则其逆矩阵为=-1A 3. 设向量200α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2420a a β⎛⎫- ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，693γ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭线性相关，则a =4. 设A 为n 阶矩阵，满足270A A E +-=，则1(2)A E --=5. 当λ= 时，齐次方程组123123123202302230x x x x x x x x x λ-+=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩有非零解。

线性代数考试练习题带答案说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，（βα,）表示向量α与β的内积，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设行列式333231232221131211a a a a a a a a a =4，则行列式333231232221131211333222a a a a a a a a a =（ ） A.12 B.24 C.36D.482.设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =（ ） A.A -1CB -1B.CA -1B -1C.B -1A -1CD.CB -1A -13.已知A 2+A -E =0，则矩阵A -1=（ ） A.A -E B.-A -E C.A +ED.-A +E4.设54321,,,,ααααα是四维向量，则（ ）A.54321,,,,ααααα一定线性无关B.54321,,,,ααααα一定线性相关C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示D.1α一定可以由5432,,,αααα线性表出 5.设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（ ） A.A =0 B.A =E C.r (A )=nD.0<r (A )<(n )6.设A 为n 阶方阵，r (A )<n ，下列关于齐次线性方程组Ax =0的叙述正确的是（ ） A.Ax =0只有零解B.Ax =0的基础解系含r (A )个解向量C.Ax =0的基础解系含n -r (A )个解向量D.Ax =0没有解7.设21,ηη是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，则（ ） A.21ηη+是Ax =b 的解 B.21ηη-是Ax =b 的解 C.2123ηη-是Ax =b 的解D.2132ηη-是Ax =b 的解8.设1λ，2λ，3λ为矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200540093的三个特征值，则321λλλ=（ ） A.20 B.24 C.28D.309.设P 为正交矩阵，向量βα,的内积为（βα,）=2，则（βαP P ,）=（ ） A.21B.1C.23 D.210.二次型f (x 1,x 2,x 3)=323121232221222x x x x x x x x x +++++的秩为（ ） A.1 B.2C.3D.4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。