四年级数学下册积、商的变化规律

《商的变化规律》
请背诵下面商的变化规律：（根据后面的例子背更容易）
（1）在除法算式里，被除数、除数同时扩大（或缩小）相同的倍数（0除外），商不变。

（例：48÷12=4，48和12同时乘10，商还是4，不变，48和12同时除以2，商还是4，也不变。

）
（2）在除法算式里，被除数不变时，除数乘几。

（0除外），商要除以几。

（例如，48÷12=4，被除数48不变，除数12乘2,商4要除以2等于2。

48÷（12×2）=4÷29
（3）在除法算式里，被除数不变时，除数除以几（0除外），商要乘几。

（例如，48÷12=4，被除数48不变，除数12除以2，商4要乘2等于8。

48÷（12÷2）=4×2）
（4）在除法算式里，除数不变时，被除数扩大（或缩小）相同的倍数，商也要扩大（或缩小）相同的倍数。

（0除外）
（例如48÷12=4，被除数48乘10，除数12不变，商也要乘10，等于40；被除数48除以2，除数12不变，商也要除以2，等于2。

）。

第1讲计算与规律1. 掌握乘法中积的位数快速确定方法和积的变化规律；2. 掌握除法中商的位数快速确定方法和商的变化规律。

一. 积的变化规律1. 积的变化规律：两个数相乘，一个因数不变，另一个因数扩大或缩小若干倍（0除外），积也扩大或缩小相同的倍数。

2. 积不变的规律：两个数相乘，一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数同时乘（或除以）相同的数，它们的积不变。

判断对错两个因数（均不为0)相乘，一个因数乘2，另一个因数除以2，积不变。

（）1.如果让“48052⨯”的第一因数除以5，第二个因数不变，则积()A．不变B．乘以5 C．除以52.两个数相乘（非零数），把这两个数同时扩大到它们原来的10倍，积()A．不变B．扩大到原来的100倍C．不确定D．扩大到原来的10倍3.在一个乘法算式中，要使积不变，一个乘数扩大10倍，另一个乘数()A．扩大10倍B．缩小10倍C．扩大100倍D．不变4.在1508012000⨯=中，其中一个因数扩大到原来的10倍，另一个因数缩小10倍，积不变。

（判断对错）5.几个数相乘，改变它们原来的运算顺序，它们的积不变。

（判断对错）6. 两个数相乘（非零数），一个乘数扩大10倍，另一个乘数缩小5倍，积（）7. 两个数相乘（非零数），一个乘数扩大3倍，另一个乘数缩小12倍，积（）二．商的变化规律1. 没有余数（1）在除法算式中，被除数不变，除数乘以（或除以）几（0除外），商反而要除以（或乘以）相同的数。

（2）在除法算式中，除数不变，被除数乘以（或除以）几（0除外），商也要乘以（或除以）相同的数。

简便记法：商与除数的变化方向相反，商与被除数的变化相同。

2. 有余数有余数的除法里，被除数和除数都缩小（或都扩大）相同的倍数(0除外），商不变，但余数也随着缩小（或扩大）相同的倍数。

已知30÷=，如果A除以6，B不变，则商是；如果A不变，B乘6，则A B商是。

1. 32040÷的结果与算式()的结果相等。

四年级商的变化规律
商是一个除法运算的结果，表示被除数除以除数的值。

以下是一些关于商变化规律的例子：
一、增加除数，商变小：如果被除数不变，而除数增加，商会变小。

例如，8 ÷4 = 2，但是8 ÷8 = 1。

二、减少除数，商变大：如果被除数不变，而除数减少，商会变大。

例如，12 ÷3 = 4，但是12 ÷6 = 2。

三、增加被除数，商变大：如果除数不变，而被除数增加，商会变大。

例如，16 ÷4 = 4，但是24 ÷ 4 = 6。

四、减少被除数，商变小：如果除数不变，而被除数减少，商会变小。

例如，20 ÷5 = 4，但是15 ÷ 5 = 3。

这些规律可以通过实际的物理模型、图表或数学表达式来进行呈现和理解。

学生可以通过实际问题和练习来加深对商变化规律的认识。

例如，给定一定数量的物品，如果将它们平均分成更多的组，每组的物品数量就会减少，从而反映商的变化规律。

四年级积商的变化规律5条一、积的变化规律。

1. 一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几。

- 例如：在算式3×5 = 15中，如果3不变，5变为5×2 = 10，那么积就变为3×10=30，15×2 = 30，积也乘了2。

- 在实际解决问题时，比如一个长方形的长不变，宽扩大到原来的3倍，根据长方形面积公式S =长×宽，面积也会扩大到原来的3倍。

2. 一个因数不变，另一个因数除以几（0除外），积也除以几。

- 例如：4×6 = 24，如果4不变，6变为6÷2 = 3，那么积就变为4×3 = 12，24÷2=12，积也除以了2。

- 假设每箱苹果的个数不变，箱数减少为原来的一半，那么苹果的总个数也会减少为原来的一半。

3. 两个因数同时乘一个数（0除外），积乘这个数的平方。

- 例如：2×3 = 6，如果2变为2×2 = 4，3变为3×2 = 6，那么新的积为4×6 = 24，而6×2^2=6×4 = 24。

- 在计算长方形面积时，如果长和宽都扩大到原来的2倍，那么面积就会扩大到原来的2×2 = 4倍。

4. 两个因数同时除以一个数（0除外），积除以这个数的平方。

- 例如：12×8 = 96，如果12变为12÷2 = 6，8变为8÷2 = 4，新的积为6×4 = 24，而96÷2^2 = 96÷4 = 24。

- 像把一个长方形的长和宽都缩小为原来的一半，面积就会缩小为原来的(1)/(4)。

二、商的变化规律。

1. 被除数不变，除数乘几（0除外），商就除以几。

- 例如：12÷3 = 4，如果被除数12不变，除数3变为3×2 = 6，那么商变为12÷6 = 2，4÷2 = 2，商除以了2。

【本讲教育信息】一. 教学内容：积和商的变化规律〖阅读思考，学会方法〗例分析：这道例题是学习因数和积的变化规律。

共安排了5个小题。

分别是：（1）12224⨯= （2）1210120⨯= （3）1220240⨯= （4）122002400⨯= （5）12100012000⨯=我们以（1）式为标准，观察上面式子，发现（2）、（3）、（4）、（5）式与（1）式比较，发生什么变化？聪聪很快举起手来说：一个因数12没有变化，另一个因数分别扩大5倍、10倍、100倍、500倍，积也跟着扩大5倍、10倍、100倍、500倍。

回答正确！若以（5）式为标准，与其他各式比较，发生什么变化呢？两人互相讨论一下！ 谁能用一句话概括一个因数的变化引起积的变化规律？小结：在乘法里，一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）若干倍，积也扩大（或缩小）相同的倍数。

前面学过的一个数乘整十、整百数的口算，就是应用了这一规律。

例2. 想一想，下面各题，用竖式怎样计算简便。

（1）250130⨯ （2）3600120⨯ 分析：这题是我们前面学过的，“乘数是三位数的乘法”中的最后一种情况，乘数是三位数而且乘数末尾有0的乘法。

解答这种类型的题目也需要用到“积的变化规律”，使它的计算简便。

我们这样做：把250130⨯看作2513⨯，被乘数和乘数都缩小10倍，结果积缩小1010100⨯=（倍），要得到原来的积，就得在积的末尾添上2个0，表示扩大100倍。

这样就得到原题的积。

如（同学们可以用这种方法计算：3600120⨯（2）例分析：这题是“积不变的规律”，安排5个小题 分别是：（1）120202400⨯= （2）240102400⨯= （3）60042400⨯= （4）60402400⨯= （5）241002400⨯=我们以（1）式为标准，观察上面式子，发现（2）（3）（4）（5）式与（1）式比较，发生什么变化？晶晶要求发言：（2）中第一个因数扩大2倍，第二个因数反而缩小2倍，积不变； （3）中第一个因数扩大5倍，第二个因数反而缩小5倍，积也不变； （4）中第一个因数缩小2倍，第二个因数反而扩大2倍，积不变； （5）中第一个因数缩小5倍，第二个因数反而扩大5倍，积也不变。

积、商的变化规律一、积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘或除以几〔0除外〕积也要乘或除以相同的数。

二、商的变化规律：1、除数不变，被除数乘几，商也乘几，被除数除以几，商也除以几。

2、被除数不变，除数乘几〔0除外〕，商反而要除以几。

被除数不变，除数除以几〔0除外〕，商反而要乘几。

3、被除数和除数都乘一个相同的数，商不变。

被除数和除数都除以一个相同的数，商也不变。

4、在有余数的除法里，如果被除数和除数同时扩大和缩小相同的倍数〔0除外〕，商不变，余数也随着扩大和缩小相同的倍数。

入门题：1、两个数相乘〔积不为0〕，一个因数不变，另一个因数扩大到原来的3倍，积应该怎样变化？2、两个数相乘〔积不为0〕，一个因数除以3，另一个因数不变，积应该怎样变化？3、两个数相乘〔积不为0〕，一个因数扩大到原来的6倍，另一个因数扩大到原来的3倍，积应该怎样变化？4、两个数相乘〔积不为0〕，一个因数乘6，另一个因数除以3，积应该怎样变化？5、两个数相除〔商不为0〕，如果被除数扩大到原来的6倍，除数不变，商应该怎样变化？6、两个数相除〔商不为0〕，如果被除数不变，除数扩大到原来的2倍，商应该怎样变化？7、两个数相除〔商不为0〕，如果被除数除以6，除数不变，商应该怎样变化？8、两个数相除〔商不为0〕，如果被除数扩大到原来的6倍，除数扩大到原来的2倍，商应该怎样变化？9、两个数相除〔商不为0〕，如果被除数扩大到原来的3倍，除数缩小到原来的3倍，商应该怎样变化？10、两个数相除〔商不为0〕，如果除数扩大到原来的3倍，要使商缩小到原来的3倍。

被除数应该怎样变化？练习题：1、两个数相乘，积是96，如果一个因数要除以4，另一个因数要乘3。

那么积是多少？2、两个数相乘〔积不为0〕，一个因数要乘了6，另一个因数也乘了6，那么积应该怎样变化？3、两个数相除〔商不为0〕，如果被除数乘3，除数乘15，商应该怎样变化？4、两个数相除，商是4，余数是10。