2020届安徽省高三3月调研考试文科数学试题-含答案

安徽省蚌埠市2020届高三年级第三次教学质量检查考试数 学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，） 1、已知全集{1,2,3,4,5},{1,2,3},{3,4}U A B ===，则()U C A B =I A 、{3} B 、{4，5} C 、{1，2,4,5} D 、{1,2,3,4} 2、已知函数xy e =的图像与函数()y f x =的图像关于直线y x = 对称，则A 、2(2)()x f x e x R =∈B 、(2)ln 2ln (0)f x x x =>gC 、 (2)2()x f x e x R =∈D 、(2)ln 2ln (0)f x x x =+>3、设函数221,1()2,1x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+->⎪⎩，则1()(2)f f 等于 A 、1516B 、2716-C 、89D 、184、已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题：①//l m αβ⇒⊥；②//l m αβ⊥⇒；③//l m αβ⇒⊥；④//l m αβ⊥⇒，其中正确命题的序号是A 、①②③B 、②③④C 、②④D 、①③ 5、已知{}n a 是等比数列，2512,4a a ==，则1223a a a a ++…1n n a a += A 、16(14)n-- B 、16(12)n-- C 、32(14)3n -- D 、32(12)3n --6、设命题p ：命题“2,10x R x x ∃∈++=”的否定是“2,10x R x x ∃∈++≠”；命题q ： “2x >”是“|1|1x ->”的充分不必要条件，则A 、“p q 或”为真B 、“p q 且”为真C 、p q 真假D 、,p q 均为假命题7、已知平面向量(3,1),(,3),//a b x a b ==-v v v v，则x 等于A 、9B 、 1C 、—1D 、—98、已知函数sin cos y x x =+，给出以下四个命题，其中为真命题的是A 、若[0,]2x π∈，则y ∈ B 、在区间5[,]44ππ上是增函数 C 、直线4x π=是函数图象的一条对称轴D、函数的图象可由y x =的图象向右平移4π个单位得到 9、设F 是椭圆2214x y +=的右焦点，椭圆上的点与点F 的最大距离为M ，最小距离为m ，则椭圆上与点F 的距离等于1()2M m +的点的坐标是 A 、(0,2)± B 、 (0,1)± C、1)2± D、2±10、已知图中一组函数图象，它们分别与其后所列的一个现实情境相匹配：情境A ：一份30分钟前从冰箱里取出来，然后被防到微波炉里加热，最后放到餐桌上的食物的温度（将0时刻确定为食物从冰箱里被取出来的那一刻）情境B ：一个1970年生产的留声机从它刚开始的售价到现在的价值（它被一个爱好者收藏，并且被保存的很好）；情境C：从你刚开始防水洗澡，到你洗完后把它排掉这段时间浴缸里水的高度； 情境D ：根据乘客人数，每辆公交车一趟营运的利润。

2020年安徽省蚌埠市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合2{|54}A x x x =-<-，集合{|0}B x x =„，则()(R A B =⋂ð ) A ．(1,0)-B ．(1,4)-C ．(1,4)D ．(0,4)2．（5分）已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)()1i z i -+=，则(z = ) A ．1122i - B ．1122i + C ．1i - D ．1i +3．（5分）已知双曲线2214x y m -=的离心率为2，则实数m 的值为( )A ．4B ．8C ．12D ．164．（5分）已知直线l ，m ，平面α，若m α⊂，则“l m ⊥”是“l α⊥”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是( )A ．2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌B ．2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高C ．2019年我国居民每月消费价格逐月递增D ．2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降6．（5分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ．若数列{}n S 是首项为1，公比为2的等比数列，则2020(a = )A ．2019B ．2020C ．20182D ．201927．（5分）已知向量(1,0)a =r ，(2,2)b m m =-+r ，若0a b =r r g ，则2(a b -=rr ) A ．(2,4)- B ．(2,4)- C ．(2,4) D ．(2,0)-8．（5分）已知3sin()4πα-=，则sin 2(α= )A ．22B ．6 C ．2 D ．139．（5分）已知函数()f x 是一次函数，且[()2]3f f x x -=恒成立，则f （3）(= ) A ．1B ．3C ．5D ．710．（5分）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<的部分图象如图所示．有下列四个结论： ①3πϕ=；②()f x 在7[,]1212ππ--上单调递增； ③()f x 的最小正周期T π=； ④()f x 的图象的一条对称轴为3x π=．其中正确的结论有( )A ．②③B ．②④C ．①④D ．①②11．（5分）足球起源于中国东周时期的齐国，当时把足球称为“蹴鞠”．汉代蹴鞠是训练士兵的手段，制定了较为完备的体制．如专门设置了球场，规定为东西方向的长方形，两端各设六个对称的“鞠域”，也称“鞠室”，各由一人把守．比赛分为两队，互有攻守，以踢进对方鞠室的次数决定胜负.1970年以前的世界杯用球多数由举办国自己设计，所以每一次球的外观都不同，拼块的数目如同掷骰子一样没准．自1970年起，世界杯官方用球选择了三十二面体形状的足球，沿用至今．如图Ⅰ，三十二面体足球的面由边长相等的12块正五边形和20块正六边形拼接而成，形成一个近似的球体．现用边长为4.5cm 的上述正五边形和正六边形所围成的三十二面体的外接球作为足球，其大圆圆周展开图可近似看成是由4个正六边形与4个正五边形以及2条正六边形的边所构成的图形的对称轴截图形所得的线段AA '，如图Ⅱ，则该足球的表面积约为( )参考数据：tan72 3.08︒≈3 1.7≈， 3.14π≈，267.864604.98≈． A ．2366.64cmB ．2488.85cmC ．21466.55cmD ．25282.40cm12．（5分）已知函数21|2|,12()1(),12x x f x log x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩…，若函数()(0)g x x m m =-+>与()y f x =的图象相交于A ，B 两点，且A ，B 两点的横坐标分别记为1x ，2x ，则12x x +的取值范围是()A ．3(1,)2B ．25[log 3,)2C ．5[1,)2D ．2[log 3，3]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）函数()sin x f x e x =g在点(0，(0))f 处的切线方程是 ． 14．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若336a =，26n a -=，126n S =，则n = ． 15．（5分）某企业为了调查其产品在国内和国际市场的发展情况，随机抽取国内、国外各100名客户代表，了解他们对该企业产品的发展前景所持的态度，得到如图所示的等高条形图，则 （填“能”或“不能” )有99%以上的把握认为是否持乐观态度与国内外差异有关．2()P K k …0.050 0.010 0.005 0.001 k3.8416.6357.87910.828附2()()()()K a b c d a c b d =++++．。

绝密★启用前安徽省合肥市肥东高级中学2020届高三毕业班下学期线上教学调研考试数学(文)试题(解析版)2020年3月全卷满分150分，考试用时120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、学生号填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡指定的位置，书写要工整清晰.3.考试结束后，5分钟内将答题卡拍照上传到考试群中.第I 卷选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设全集U 是实数集R ，已知集合2{|2}A x x x =>，2{|log (1)0}B x x =-≤，则()U C A B （ ）A. {|12}x x <<B. {|12}x x ≤<C. {|12}x x <≤D. {|12}x x ≤≤ 【答案】C【解析】 {}22{|02},{|02},U A x x x x x x C A x x ==∴=≤≤或 ()()2{|log 10}{|12},{|12}.U B x x x x C A B x x =-≤=<≤∴⋂=<≤本题选择C 选项.2.若复数12a z i i=+-（i 为虚数单位，a R ∈）的实部与虚部互为相反数，则a =（ ）A. 53- B. 13- C. 1- D. 5-【答案】A【解析】 分析：利用复数的除法运算化简2155a a z i ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，实部与虚部何为0即可得解. 详解：复数()()()122112121255a i a a a z i i i i i i +⎛⎫=+=+=++ ⎪--+⎝⎭. 由题意可知：21055a a ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得：53a =-. 故选A. 点睛：复数除法运算的原理为：分母实数化，从而得到实部和虚部. 3.0.81.1512log 2,2,,2a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭已知则a b c 、、的大小关系是（ ）A. a c b <<B. c b a <<C. a b c <<D. b c a <<【答案】A【解析】【分析】 利用中间量隔开三个数即可比较大小.【详解】5552log 2log 4log 51a ==<=，1.122b =>，0.80.811222c -⎛⎫<==< ⎪⎝⎭，∴a c b <<，故选：A【点睛】本题考查实数大小的比较,考查幂指对函数的图象与性质,属于常考题型.4.已知O 为坐标原点,平面向量(13)OA =，,(35)OB =，,(12)OP =，,且OC kOP =（k 为实数）.当·2CACB =-时,点C 的坐标是（ ）。

2020年安徽省蚌埠市高考数学三模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−3x−4>0}，B={x|x>1}，则∁R A∩B=()A. φB. (0,4]C. (1,4]D. (4,+∞)2.设i是虚数单位，则复数i 3+1i=()A. −iB. iC. −2iD. 2i3.已知双曲线C：x2−y2=m2(m>0)，则双曲线C的离心率等于()A. √2B. √3C. 2D. 124.设m，n为直线，α、β为平面，则m⊥α的一个充分条件可以是()A. α⊥β，α∩β=n，m⊥nB. α//β，m⊥βC. α⊥β，m//βD. n⊂α，m⊥n5.某校有下列问题：①高三毕业班500名学生中，O型血有200人，A型血有125人，B型血有125人，AB型血有50人，为研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为20的样本；②高二年级足球队有11名运动员，要从中抽出2人调查学习负担情况．方法：Ⅰ.随机抽样法Ⅱ.系统抽样法Ⅲ.分层抽样法．其中问题与方法能配对的是()A. ①Ⅰ②ⅡB. ①Ⅲ②ⅠC. ①Ⅱ②ⅢD. ①Ⅲ②Ⅱ6.数列{a n}为等比数列，首项a1=1，前3项和S3=34，则公比为()A. −2B. 12C. −12D. 37.已知a⃗=(1,1)，b⃗ =(3,m)，若a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=0，则m的值是()A. −1B. 1C. −2D. 28.已知sin(45°+α)=√55，则sin2α等于()A. −45B. −35C. 35D. 459.已知函数f(x)={log2x,x≥1,f(2x),0<x<1,则f(√22)的值是()A. 0B. 1C. 12D. −1210.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是()A. f(0)=−1B. f(x)关于直线x=−π6对称C. f(x)在[π2,π]上的值域为[−1,1]D. f(x)的增区间为[kπ−π6,kπ+π3],k∈Z11.古希腊亚历山大学派的数学家帕普斯(Pappus，约300−约350)在《数学汇编》第3卷中记载着一个定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以重心旋转所得周长的积”。

合肥市2020届高三第三次教学质量检测数学试题(文科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.22e 14.480 15.4 16.①②④三、解答题：本大题共6小题，满分70分.17.(本小题满分12分)解：(1)由题中图表可知，在这30天中，空气质量指数在区间[)90 110，内的天数为 77113020302300600100600⎡⎤⎛⎫-+++⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦天，空气质量等级为优或良，即空气质量指数不超过100，∴在这30天中随机抽取一天，其空气质量等级是优或良的概率为111413015P +=-=. ………………………6分 (2)由题中图表可知，在这30天中，空气质量指数不高于90有771203027300600100⎡⎤⎛⎫++⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(天)， ∴某市民在这个月内，有27天适宜进行户外体育运动. ………………………12分18.(本小题满分12分)解：(1)∵四边形11A ACC 是菱形，∴AC ∥11A C . 又∵AC ⊂平面ABC ，11AC ⊄平面ABC ，∴11A C ∥平面ABC . 同理得，11B C ∥平面ABC .∵11A C ，11B C ⊂平面111A B C ，且11A C 111B C C =I ， ∴平面ABC ∥平面111A B C . 又∵11A B ⊂平面111A B C ，∴11A B ∥平面ABC . ………………………………5分(2)∵AC ∥11A C ，11B C ∥BC ，∴11160AC B ACB ∠=∠=o. ∵112AC AC ==，1122B C BC ==，∴111133122A B C S ∆=⨯⨯=在菱形11A ACC 中，∵113AC =， ∴160ACC ∠=o ，1132223A ACC S =⨯=Y . ∵平面ABC ⊥平面1ACC ，取AC 的中点为M ，连接1BM C M ，，∴BM ⊥平面1ACC ，1C M ⊥平面ABC . 由(1)知，平面ABC ∥平面111A B C ， ∴点B 到平面111A B C 的距离为13C M =又∵点B 到平面11A ACC 的距离为3BM =1BC ，题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCBBDCBADCAD则111111532B A B C B A ACC V V V --=+=⨯⎝. ………………………………12分19.(本小题满分12分)解：(1)由已知得24282k k πϕππωϕππϕ⎧=-⎪⎪⎪⋅+=⎨⎪⎪<⎪⎩(k Z ∈)，解得24ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ……………………………6分(2)由题意得，()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∵[]0x π∈，，∴5444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，∴sin 14x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， ∴()g x的值域为1⎡-⎣. ……………………………12分20.(本小题满分12分)解：设点()00P x y ，，()11A x y ，，()22B x y ，. (1)∵直线l 经过坐标原点，∴2121x x y y =-=-，.∵022014x y +=，∴022014x y =-. 同理得，122114x y =-.∴0011010101012222220101222222010*********PA PBx x x x y y y y y y k k x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⋅=⋅====--+---，∴直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值. ……………………………6分(2)设线段AB 的中点为()Q x y ，，则2.OA OB OQ +=u u u r u u u r u u u r∵0OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r r ，∴2OP OQ =-u u u r u u u r ，则0022x xy y=-⎧⎨=-⎩.将0022x x y y=-⎧⎨=-⎩代入022014x y +=得，2241x y +=，∴线段AB 的中点Q 的轨迹方程为2241x y +=.同理，线段AP 和线段BP 中点的轨迹方程也为2241x y +=.∴ABP ∆三边的中点在同一个椭圆2241x y +=上. ……………………………12分解：(1)()x x F x e e a -'=+-.当2a ≤时，()20x x F x e e a a -'=+-≥-≥恒成立，()F x 在R 上单调递增.当2a >时，由()0F x '=得，xe =x =.∴()F x 在 ⎛ -∞ ⎝⎭，和 ⎛⎫ ⎪+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在 ⎛ ⎝⎭上单调递减. …………………………………5分 (2)①由(1)知，当1x ≥时，()()10F x F ≥>，即当1x ≥时，曲线1C 恒在2C 上方.按题意有，()()1n n f x g x +=，即12nnx x n e ex -+-=，∴12n nx x n e e x -+-=. ②由①知122n n nx x x n e e e x -+-=<. 注意到11x =，∴1112121222n n x x x n n n n e e e x x x x x x x -++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅L L L ，∴1112112n n n x x x n n x x x x e -++++⎛⎫⋅⋅⋅⋅<⋅ ⎪⎝⎭L L ，两边同取自然对数得，()121111ln ln ln ln ln 2n n n n x x x x n x x x +-++++<++++L L ， 即1ln 2n n S T n +->. …………………………………………12分22.(本小题满分10分)(1)曲线E 的直角坐标方程为()22+14x y +=，直线m 的极坐标方程为θα=(R ρ∈). ………………………………5分 (2)设点A ，C 的极坐标分别为()1ρα，，()2ρα，.由2=+2cos 30θαρρθ⎧⎨-=⎩得，2+2cos 30ρρα-=， ∴122cos ρρα+=-，123ρρ=-，∴12AC ρρ=-=同理得，BD =.∵221cos 3sin 372ABCD S AC BD αα=⋅=≤+++=， 当且仅当22cos 3sin 3αα+=+，即344ππα=或时，等号成立，∴四边形ABCD 面积的最大值为7. ………………………………10分(1)()3 122113113 1x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=--+=--≤<⎨⎪-≥⎩，，，，根据函数图象得，()f x 的最小值为-2，∴2m =-. ………………………………5分 (2)由(1)知，2a b c ++=，∴()()()()()()22222222121111112119a b c a b c a b c ⎡⎤+-++⋅++≥⋅+-⋅++⋅=+++=⎡⎤⎣⎦⎣⎦， ∴()()222123a b c +-++≥，当且仅当12a b c =-=+，2a b c ++=，即1a =，2b =，1c =-时等号成立， ∴2222420a b c b c ++-++≥. ………………………………10分。

蚌埠市2020届高三年级第三次教学质量检查考试数学（文史类）本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}254x x A x =-<-，集合{}0B x x =≤，则()R A C B =I （ ） A.()0,4 B.()1,4 C.()1,4- D.()1,0-2.已知i 为虚数单位，复数z 满足()()11i z i -+=，则z =（ ） A.1122i - B.1122i + C.1i - D.1i +3.已知双曲线2214x y m-=的离心率为2，则实数m 的值为（ ） A.4 B.8 C.12 D.164.已知直线l ，m 和平面α，m α⊂，则“l m ⊥”是“l α⊥”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是（ ）A.2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌B.2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高C.2019年我国居民每月消费价格逐月递增D.2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S .若数列{}n S 是首项为1，公比为2的等比数列，则2020a =（ ）A.2019B.2020C.20182D.201927.已知向量()1,0a =r ，()2,2b m m =-+r ，若0a b ⋅=r r ，则2a b -=r r （ ）A.()2,4-B.()2,4-C.()2,4D.()2,0-8.已知sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin2α=（ ）A.3B.3C.3D.139.已知函数()f x 是一次函数，且()23f f x x ⎡⎤⎣⎦-=恒成立，则()3f =（ ）A.1B.3C.5D.710.已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示.有下列四个结论：①3πϕ=﹔②()f x 在7,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增； ③()f x 的最小正周期T π=；④()f x 的图象的一条对称轴为3x π=.其中正确的结论有（ ）A.②③B.②④C.①④D.①② 11.足球起源于中国东周时期的齐国，当时把足球称为“蹴鞠”.汉代蹴鞠是训练士兵的手段，制定了较为完备的体制.如专门设置了球场，规定为东西方向的长方形，两端各设六个对称的“鞠域”，也称“鞠室”，各由一人把守.比赛分为两队，互有攻守，以踢进对方鞠室的次数决定胜负.1970年以前的世界杯用球多数由举办国自己设计，所以每一次球的外观都不同，拼块的数目如同掷骰子一样没准.自1970年起，世界杯官方用球选择了三十二面体形状的足球，沿用至今.如图Ⅰ，三十二面体足球的面由边长相等的12块正五边形和20块正六边形拼接而成，形成一个近似的球体.现用边长为4.5cm 的上述正五边形和正六边形所围成的三十二面体的外接球作为足球，其大圆圆周展开图可近似看成是由4个正六边形与4个正五边形以及2条正六边形的边所构成的图形的对称轴截图形所得的线段AA '，如图Ⅱ，则该足球的表面积约为（ ）参考数据：tan72 3.08︒≈1.7≈， 3.14π≈，267.864604.98≈.A.2366.64cmB.2488.85cmC.21466.55cmD.25282.40cm 12.已知函数()212,121log ,12x x f x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，若函数()()0g x x m m =-+>与()y f x =的图象相交于A ，B两点，且A ，B 两点的横坐标分别记为1x ，2x ，则12x x +的取值范围是（ ） A.31,2⎛⎫⎪⎝⎭ B.25log 3,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.[]2log 3,3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线()sin xf x e x =在点()0,0处的切线方程为________. 14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若336a =，26n a -=，126n S =，，则n =________.15.某企业为了调查其产品在国内和国际市场的发展情况，随机抽取国内、国外各100名客户代表，了解他们对该企业产品的发展前景所持的态度，得到如图所示的等高条形图，则________ （填“能”或“不能”）有99%以上的把握认为是否持乐观态度与国内外差异有关.附()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.。

2020年安徽省合肥市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|−1<x<3}，集合B={x|−2<x<2}，则A∩B=()A. (−2,2)B. (−1,2)C. (−2,3)D. (−1,3)2.已知i是虚数单位，则复数z=1−2i1+i在复平面上所对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A，B，C三个小区志愿者中各选取1人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作．若每个小区安排1人，则每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为()A. 16B. 13C. 12D. 234.若x，y∈R，则x2>y2是xy>1成立的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知函数f(x)=1a x−a x(a>1)，则不等式f(2x2)+f(x−1)>0的解集是()A. (−∞,−1)∪(12,+∞) B. (−∞,−12)∪(1,+∞)C. (−12,1) D. (−1,12)6.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗+b⃗ |=|a⃗−2b⃗ |，其中b⃗ 是单位向量，则a⃗在b⃗ 方向上的投影是()A. 1B. 34C. 12D. 147.公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，第一人分得玉米()A. 10×810810−710斗 B. 10×89810−710斗 C. 10×88810−710斗 D. 70×89810−1斗8.在△ABC中，若1sinA +1sinB=2(1tanA+1tanB)，则()A. C的最大值为π3B. C的最大值为2π3C. C的最小值为π3D. C的最小值为π69.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光．当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同．当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移f p =2vsinφλ，其中v 为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，φ为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为1550nm(1nm =10−9m)，测得某时刻频移为9.030×109(1/ℎ)，则该时刻高铁的速度约等于( )A. 320km/ℎB. 330km/ℎC. 340km/ℎD. 350km/ℎ10. 已知过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交抛物线于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点，则|AF|+4|BF|的最小值为( )A. 4B. 8C. 9D. 1211. 点P 是正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的侧面DCC 1D 1内的一个动点，若△APD 与△BCP 的面积之比等于2，则点P 的轨迹是( )A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分12. 若关于x 的不等式(a +2)x ≤x 2+alnx 在区间[1e ,e](e 为自然对数的底数)上有实数解，则实数a 的最大值是( )A. −1B. 1−2ee(e+1)C.e(3−e)e−1D.e(e−2)e−1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设函数f(x)={2e x ,x <elog 2(x 2−5),x ≥e (其中e 为自然对数的底数)，则f(f(3))的值等于______． 14. 某高中各年级男、女生人数统计如表：按年级分层抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则表中a =______．15. 已知数列{a n }中a n =n ，数列{b n }的前n 项和S n =2n −1.若数列{a nb n }的前n 项和T n <M 对于∀n ∈N ∗都成立，则实数M 的最小值等于______．16. 已知长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱AA 1=2，AD =3，点E ，F 分别为棱BC ，CC 1上的动点．若四面体A 1B 1EF 的四个面都是直角三角形，则下列命题正确的是______.(写出所有正确命题的编号) ①存在点E ，使得EF ⊥A 1F ；②不存在点E，使得B1E⊥A1F；③当点E为BC中点时，满足条件的点F有3个；④当点F为CC1中点时，满足条件的点E有3个；⑤四面体A1B1EF四个面所在平面，有4对相互垂直．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善．该市生态环境局统计了某月(30天)空气质量指数，绘制成如图频率分布直方图．已知空气质量等级与空气质量指数对照如表：空气质量指数(0,50](50,100](100,150](150,200](200,300]300以上空气质量等级一级(优)二级(良)三级(轻度污染)四级(中度污染)五级(重度污染)六级(严重污染)(1)在这30天中随机抽取一天，试估计这一天空气质量等级是优或良的概率；(2)根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，某市民不宜进行户外体育运动．试问：该市民在这30天内，有多少天适宜进行户外体育运动？18.如图，边长为2的等边△ABC所在平面与菱形A1ACC1所在平面互相垂直，且BC//B1C1，BC=2B1C1，A1C=√3AC1．(1)求证：A1B1//平面ABC；(2)求多面体ABC−A1B1C1的体积V．)的部分图象如图所示．19.已知函数f(x)=√2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2(1)求函数f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象向左平移π个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到4原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0,π]上的值域．20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是椭圆E ：x 24+y 2=1上的动点，不经过点P 的直线l 交椭圆E于A ，B 两点．(1)若直线l 经过坐标原点，证明：直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值；(2)若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，证明：△ABP 三边的中点在同一个椭圆上，并求出这个椭圆的方程．21. 已知函数f(x)=e x −e −x ，g(x)=ax(e 为自然对数的底数)，其中a ∈R ．(1)试讨论函数F(x)=f(x)−g(x)的单调性；(2)当a =2时，记函数f(x)，g(x)的图象分别为曲线C 1，C 2.在C 2上取点P n (x n ,y n )作x 轴的垂线交C 1于Q n ，再过点Q n 作y 轴的垂线交C 2于P n+1(x n+1,y n+1)(n ∈N ∗)，且x 1=1． ①用x n 表示x n+1；②设数列{x n }和{lnx n }的前n 项和分别为S n ，T n ，求证：S n −T n+1>nln2．22. 在平面直角坐标系中，直线m 的参数方程为{x =tcosαy =tsinα(t 为参数，0≤α<π).以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线E 的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ−3=0，直线m 与曲线E交于A，C两点．(1)求曲线E的直角坐标方程和直线m的极坐标方程；(2)过原点且与直线m垂直的直线n，交曲线E于B，D两点，求四边形ABCD面积的最大值．23.已知函数f(x)=|2x−2|−|x+1|的最小值为m．(1)求m的值；(2)若a+b+c+m=0，证明：a2+b2+c2−2b+4c+2≥0．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={x|−1<x<3}，集合B={x|−2<x<2}，∴A∩B={x|−1<x<2}=(−1,2)．故选：B．求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵z=1−2i1+i =(1−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−12−32i，∴z在复平面上所对应的点的坐标为(−12,−32)，位于第三象限．故选：C．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】B【解析】解：在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A，B，C三个小区志愿者中各选取1人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作．每个小区安排1人，基本事件总数n=A33=6，每位志愿者不安排在自己居住小区包含的基本事件个数m=C21C11C11=2，∴每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为p=mn =26=13．故选：B．基本事件总数n=A33=6，每位志愿者不安排在自己居住小区包含的基本事件个数m=C21C11C11=2，由此能求出每位志愿者不安排在自己居住小区的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：xy >1⇔x−yy>0⇔y(x−y)>0⇔{y>0x−y>0，或{y<0x−y<0，⇒x2>y2，反之不成立，例如x=2，y=−1，满足x2>y2，而x y>1不成立．∴x2>y2是xy>1成立的必要不充分条件．故选：B．x y >1⇔x−yy>0⇔y(x−y)>0，解出不等式可得：x2>y2成立；反之，举例可知不成立．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)=1a x −a x(a>1)，其定义域为R，有f(−x)=a x−1a x=−(1a x−a x)=−f(x)，则f(x)为R上的奇函数，f(x)=1a x −a x=(1a)x+(−a x)，函数y=(1a)x和y=(−a x)都是R上的减函数，则函数f(x)=1a x−a x在R上为减函数，f(2x2)+f(x−1)>0⇒f(2x2)>−f(x−1)⇒f(2x2)>f(1−x)⇒2x2<1−x⇒2x2+x−1<0，解可得：−1<x<12，即不等式的解集为(−1,12)；故选：D．根据题意，分析可得f(x)为R上的奇函数且在R上是减函数，据此可得原不等式等价于2x2+x−1<0，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性综合应用，注意分析函数的奇偶性与单调性，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：b⃗ 是单位向量，∴|b⃗ |=1，∵|a⃗+b⃗ |=|a⃗−2b⃗ |，∴(a⃗+b⃗ )2=(a⃗−2b⃗ )2，化简得2a⃗⋅b⃗ =b⃗ 2=1，即a⃗⋅b⃗ =12，∴a⃗在b⃗ 方向上的投影是a⃗ ⋅b⃗|b|⃗⃗⃗ =12，将已知等式两边平方，由b ⃗ 是单位向量，可求出向量a ⃗ 和b ⃗ 的数量积，代入公式计算即可． 本题考查向量的投影的定义，以及与向量有关的运算，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由题可得：每人所得玉米数构成公比为78的等比数列； 且数列的前10项和为10； 设首项为a ； 则有：a(1−(78)10)1−78=10；∴a =10×181−710810=10×89810−710；故选：B ．直接根据等比数列的求和公式求解即可．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8.【答案】A【解析】解：由题可知，1sinA +1sinB =2(1tanA +1tanB )=2(cosAsinA +cosBsinB )， ∴sinB +sinA =2(sinBcosA +cosBsinA)=2sin(A +B)=2sinC ， 由正弦定理知，asinA =bsinB =c sinC ，∴b +a =2c ， 由均值不等式可知，ab ≤(a+b)24=c 2， 由余弦定理知，cosC =a 2+b 2−c 22ab =3c 2−2ab 2ab=3c 22ab −1≥3c 22c2−1=12， ∵C ∈(0,π)，∴0<C ≤π3，即C 的最大值为π3． 故选：A ．由商数关系，可得1sinA +1sinB =2(1tanA +1tanB )=2(cosAsinA +cosBsinB )，结合辅助角公式，化简整理为sinB +sinA =2sinC ，于是b +a =2c ，由均值不等式可知，ab ≤(a+b)24=c 2，由余弦定理知，cosC =a 2+b 2−c 22ab，将所得结论代入进行运算可得cosC ≥12，而C ∈(0,π)，所以0<C ≤π3，故而得解．本题考查正弦定理、余弦定理的综合运用，采用了角化边的思维，还用到了同角三角函数的商数关系、辅助角公式和均值不等式等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．【解析】解：sinφ=−3√1+(20×10−3)2=√1.0004，故9.030×109=2v⋅√1.00041550×10−9，即9.03=1550√1.004，故v=9.03×1550√1.00040.04≈349982.48米/小时≈350km/ℎ．故选：D．先计算sinφ，再根据所给公式计算v即可．本题考查了三角函数计算，计算量较大，可借助计算器完成．10.【答案】C【解析】解：设AF，BF的长分别为m，n，由题意，1m +1n=2p=1，∴m+4n=(1m +1n)(m+4n)=5+4nm+mn≥5+2√4nm⋅mn=9，当且仅当m=2n时，m+4n的最小值为9，故选：C．设AF，BF的长分别为m，n，由题意，1m +1n=2p=1，再利用基本不等式可求m+4n的最小值．本题考查抛物线的性质和应用，正确运用基本不等式是关键．11.【答案】A【解析】解：由题意得，若△APD与△BCP的面积之比等于2，因为两个三角形的底相等；故对应的高之比为2：1；动点P到侧棱BC的距离实际上是P点到点C的距离，点P到侧棱AD的距离就是P到点D的距离．即PD=2PC；建立如图所示的坐标系； 则C(0,0)，D(a,0)，设P(x,y) 故有：PD 2=(2PC)2； ∴(x −a)2+y 2=4(x 2+y 2)； ∴3x 2+2ax +3y 2−a 2=0； 故点P 的轨迹是圆的一部分． 故选：A ．根据题意得，动点P 到侧棱BC 的距离实际上是P 点到点C 的距离，点P 到侧棱AD 的距离就是P 到点D 的距离；根据面积比转化为高的比，建立平面直角坐标系求解即可得到结论． 本题的考点是轨迹方程，主要考查立体几何中的轨迹问题，关键是将题意合理转化．12.【答案】D【解析】解：因为(a +2)x ≤x 2+alnx 在区间[1e ,e]上有实数解，所以不等式变形为a(x −lnx)≤x 2−2x ， ∵x ∈(0,1)，则x −lnx >0，∴a ≤x 2−2x x−lnx ，设f(x)=x 2−2xx−lnx ，下面求f(x)的最大值．∵f′(x)=(2x−2)(x−lnx)−(x 2−2x)(1−1x)(x−lnx)2=(x−1)(x−2lnx+2)(x−lnx)2，∵x ∈[1e,e]，∴x −2lnx +2=x +2(1−lnx)>0，则1<x ≤e 时，f′(x)>0， 则f(x)在[1,e]单调递增；[1e ,1)单调递减， 又f(e)=e 2−2e e−1；f(1e )=1e 2−2e 1e+1=1−2ee+e ，∴f(x)max =f(e)=e(e−2)e−1，则a ≤e(e−2)e−1，即实数a 的最大值是e(e−2)e−1．故选：D ．把不等式分离变量，由不等式有解转化成求函数f(x)=x 2−2x x−lnx的最大值，利用导数判断函数在区间[1e ,e]上的单调区间，进而求出最大值，可求a ．本题通过分离变量把不等式有解问题转化成函数最值问题，进而考查函数的导数的应用，同时考查了函数在闭区间上的最值，属于中档题．13.【答案】2e 2【解析】解：因为函数f(x)={2e x ,x <elog 2(x 2−5),x ≥e ；所以：f(3)=log 2(32−5)=log 24=2； ∴f(f(3))=f(2)=2e 2； 故答案为：2e 2．由分段函数与复合函数知f(3)=2，从而再求f(f(3))=f(2)即可得到结论． 本题考查了分段函数与复合函数的简单应用，属于基础题目．14.【答案】480【解析】解：由题意可得80592+563+520+528+517+a =27563+517，求得a =480， 故答案为：480．由题意利用分层抽样的定义和方法，求出a 的值． 本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．15.【答案】4【解析】解：∵数列{b n }的前n 项和S n =2n −1，∴当n ≥2时，有b n =S n −S n−1=(2n −1)−(2n−1−1)=2n−1；又当n =1时，有S 1=2−1=1=b 1也适合上式，故b n =2n−1.∵a n =n ，∴a n b n=n ⋅(12)n−1．∴T n =1×(12)0+2×(12)1+3×(12)2+⋯+n ⋅(12)n−1①，12T n =1×(12)1+2×(12)2+3×(12)3+⋯+(n −1)⋅(12)n−1+n ⋅(12)n ②，由①−②可得：12T n =1+12+(12)2+⋯+(12)n−1−n ⋅(12)n=1−(12)n1−12−n ⋅(12)n =2−(n +2)⋅(12)n ，即T n =4−n+22n−1<4．又∵T n <M 对于∀n ∈N ∗都成立，∴M ≥4，故M 的最小值等于4． 故答案为：4．先利用b n =S n −S n−1求得b n ，再检验n =1时是否适合，从而求得b n ，然后根据a n =n 求得a nb n=n ⋅(12)n−1，再利用错位相减法求得前n项和T n，进而求得实数M的最小值．本题主要考查数列通项公式的求法及错位相减法求和在数列求和中的应用，属于基础题．16.【答案】①②④【解析】解：如图，由题意知A1B1⊥面B1EF，则A1B1⊥B1E，A1B1⊥B1F，A1B1⊥EF，则△A1B1E2，△A1B1F为直角三角形，在△B1EF中，由题意知B1E不能垂直B1F，又△B1EF为直角三角形，则∠B1EF=90°或∠B1FE=90°．①假设存在点E，使得EF⊥A1F，又A1B1⊥EF，A1B1∩A1F=A1，则EF⊥面A1B1F，即EF⊥B1F，满足题意，故①正确；②假设存在点E，使得B1E⊥A1F，又A1B1⊥B1E，A1B1∩A1F=A1，则B1E⊥面A1B1F，则B1E⊥B1F这与B1E不能垂直B1F矛盾，所以不存在点E，使得B1E⊥A1F，故②正确；③建立如图所示的空间坐标系，设BE=m，C1F=n，则0<m<3，0<n<2，由题意得B 1(0,0,0),E(2,32,0),F(n,3,0)， EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(n −2,32,0),B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(n,3,0)，若EF ⊥B 1F ，则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即n(n −2)+92=0，整理得：2n 2−4n +9=0， △<0，所以方程无实根，③错误； ④B 1(0,0，0)，E(2,m ，0)，F(1,3，0)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,3−m,0),B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3,0),B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,m,0)， 若EF ⊥B 1F ，则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 则−1+3(3−m)=0，解得m =83， 若EF ⊥B 1E ，则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则−2+m(3−m)=0，解得m =1或m =2，故④正确； ⑤由题意知A 1B 1⊥面B 1EF ，若EF ⊥面A 1B 1E ， 由图形观察可知：有3对相互垂直，分别为面A 1B 1E ⊥面B 1EF ，面A 1B 1F ⊥面B 1EF ，面A 1B 1E ⊥面A 1EF ， 故⑤不正确． 故答案为：①②④．①②利用假设存在，推出条件正确，推出矛盾，则不存在；③④建立空间直角坐标系利用已知条件设BE =m ，C 1F =n ，写坐标，利用垂直关系，求出m ，n 的值，即可得出结论；⑤利用线面垂直推面面垂直关系即可得出结论．本题主要考查线面垂直判定定理性质定理以及利用空间向量求值的问题，属于较难题．17.【答案】解：(1)由题中图表可知，在这30天中，空气质量指数在区间[90,110)内的天数为30−[(7300+7 600+1100+1600)×20]×30=2天，空气质量等级为优或良，即空气质量指数不超过100，∴在这30天中随机抽取一天，其空气质量等级是优或良的概率为P=1−1+130=1415．(2)由题中图表可知，在这30天中，空气质量指数不高于90有[(7300+7600+1100)×20]×30=27(天)，∴某市民在这个月内，有27天适宜进行户外体育运动．【解析】(1)先算出在这30天中，空气质量指数在区间[90,110)内的天数天，在这30天中随机抽取一天，再计算其空气质量等级是优或良的概率为P=1415．(2)由题中图表可知，在这30天中，空气质量指数不高于90有[(7300+7600+1100)×20]×30=27(天)，即可得出答案．本题考查了频率分布直方图与古典概型的概率计算问题，也考查了数据计算能力的应用问题，是综合性问题．18.【答案】(1)证明：∵四边形A1ACC1是菱形，∴AC//A1C1．又∵AC⊂平面ABC，A1C1⊄平面ABC，∴A1C1//平面ABC．同理得，B1C1//平面ABC．∵A1C1，B1C1⊂平面A1B1C1，且A1C1∩B1C1=C1，∴平面ABC//平面A1B1C1．又∵A1B1⊂平面A1B1C1，∴A1B1//平面ABC．(2)解：∵AC//A1C1，B1C1//BC，∴∠A1C1B1=∠ACB=60°．∵A1C1=AC=2，2B1C1=BC=2，∴S△A1B1C1=12×1×2×√32=√32．在菱形A1ACC1中，∵A1C=√3AC1，∴∠ACC1=60°，S A1ACC1=2×2×√32=2√3．∵平面ABC⊥平面ACC1，取AC的中点为M，连接BM，C1M，∴BM⊥平面ACC1，C1M⊥平面ABC．由(1)知，平面ABC//平面A1B1C1，∴点B到平面A1B1C1的距离为C1M=√3．又∵点B到平面A1ACC1的距离为BM=√3，连接BC1，则V=V B−A1B1C1+V B−A1ACC1=13×(√32+2√3)×√3=52．【解析】(1)证明AC//A1C1.推出A1C1//平面ABC.然后证明平面ABC//平面A1B1C1.说明A1B1//平面ABC．(2)取AC的中点为M，连接BM，C1M，连接BC1，通过V=V B−A1B1C1+V B−A1ACC1.求解即可．本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由已知函数f(x)=√2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象得{√2sinφ=−1ω⋅π8+φ=0，解得{ω=2ϕ=−π4，∴f(x)=√2sin(2x−π4)．(2)将函数f(x)的图象向左平移π4个单位，可得y=√2sin(2x+π4)的图象；再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)=√2sin(x+π4)的图象．∵x∈[0,π]，∴x+π4∈[π4,5π4]，∴sin(x+π4)∈[−√22,1]，∴g(x)的值域为[−1,√2]．【解析】(1)由五点法作图以及特殊点的坐标求出ω、φ的值，可得f(x)得解析式．(2)利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求出函数g(x)在区间[0,π]上的值域．本题主础题要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析，由五点法作图、特殊点的坐标求出ω和φ的值，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．20.【答案】解：设点P(x0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2).(1)∵直线l经过坐标原点，∴x2=−x1，y2=−y1．∵x024+y02=1，∴y02=1−x024．同理得，y12=1−x124．∴k PA⋅k PB=y0−y1x0−x1⋅y0+y1x0+x1=y02−y12x02−x12=(1−x024)−(1−x124)x02−x12=−14，∴直线PA与直线PB的斜率之积为定值；(2)证明：设线段AB 的中点为Q(x,y)，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则{x 0=−2xy 0=−2y， 将{x 0=−2x y 0=−2y 代入x 024+y 02=1中可得：x 2+4y 2=1， 所以线段AB 的中点Q 的轨迹方程为：x 2+4y 2=1同理，线段AP 和线段BP 中点的轨迹方程也为x 2+4y 2=1． ∴△ABP 三边的中点在同一个椭圆x 2+4y 2=1上．【解析】(1)设P ，A 的坐标，由题意可得B 的坐标用A 的坐标的表示，将A ，P 的坐标代入椭圆的方程，两式相减可得直线PA ，PB 的斜率之积的值；(2)设线段AB 的中点D 的坐标，可得则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，可得Q 的坐标用P 的坐标表示，而P 在椭圆上，所以线段AB 的中点Q 的轨迹方程为：x 2+4y 2=1同理，线段AP 和线段BP 中点的轨迹方程也为x 2+4y 2=1，△ABP 三边的中点在同一个椭圆x 2+4y 2=1上．本题考查直线与椭圆的综合，及中点坐标用向量表示的等式，和相关点法求轨迹方程的方法，属于中档题．21.【答案】解：(1)F′(x)=e x −e −x −a ，当a ≤2时，F′(x)=e x +e −x −a ≥2−a ≥0恒成立，F(x)R 上单调递增． 当a >2时，由F′(x)=0得，e x =a±√a2−42，∴x =ln a±√a2−42．∴F(x)在(−∞,ln a−√a2−42)和(lna+√a2−42,+∞)上单调递增，在(ln a−√a2−42,lna+√a 2−42)上单调递减．…………………………………(5分)(2)①由(1)知，当x ≥1时，F(x)≥F(1)>0， 即当x ≥1时，曲线C 1恒在C 2上方．按题意有，f(x n )=g(x n+1)，即e x n −e −x n =2x n+1， ∴x n+1=e x n −e −x n2．②由①知x n+1=e x n −e −x n2<e x n 2．注意到x 1=1，∴x n+1⋅x n ⋅…⋅x 2=x n+1⋅x n ⋅…⋅x 2⋅x 1<e x n 2⋅e x n−12⋅…⋅e x 12，∴x n+1⋅x n ⋅…⋅x 2⋅x 1<(12)n ⋅e x n +x n−1+⋯+x 1，两边同取自然对数得，lnx n+1+lnx n +⋯+lnx 2+lnx 1<nln 12+(x n +x n−1+⋯+x 1)，即S n −T n+1>nln2.…………………………………………(12分)【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可； (2)①求出f(x n )=g(x n+1)，代入整理即可；②根据x n+1=e x n −e −x n2<e x n 2，得到x n+1⋅x n ⋅…⋅x 2⋅x 1<(12)n ⋅e x n +x n−1+⋯+x 1，证明即可．本题考查了函数的单调性问题，考查不等式的证明以及导数的应用，分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：(1)曲线E 的直角坐标方程为(x +1)2+y 2=4，直线m 的极坐标方程为θ=α(ρ∈R)． (2)设点A ，C 的极坐标分别为(ρ1,α)，(ρ2,α)． 由{θ=αρ2+2ρcosθ−3=0得，ρ2+2ρcosα−3=0， ∴ρ1+ρ2=−2cosα，ρ1ρ2=−3， ∴|AC|=|ρ1−ρ2|=2√cos 2α+3． 同理得|BD|=2√sin 2α+3．∵S ABCD =12|AC|⋅|BD|=2√cos 2α+3⋅√sin 2α+3≤cos 2α+3+sin 2α+3=7， 当且仅当cos 2α+3=sin 2α+3，即α=π4或3π4时，等号成立，∴四边形ABCD 面积的最大值为7．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23.【答案】(1)解：f(x)=|2x −2|−|x +1|={3−x,x <−11−3x,−1≤x <1x −3,x ≥1，作出函数的图象如图：根据函数图象得，f(x)的最小值为−2，∴m=−2；(2)证明：由(1)知，a+b+c=2，∴[a2+(b−1)2+(c+2)2]⋅(12+12+12)≥[a⋅1+(b−1)⋅1+(c+2)⋅1]2=(a+b+c+1)2=9，∴a2+(b−1)2+(c+2)2≥3，当且仅当a=b−1=c+2，a+b+c=2，即a=1，b=2，c=−1时等号成立，∴a2+b2+c2−2b+4c+2≥0．【解析】(1)写出分段函数解析式，画图求得函数最小值；(2)结合(1)可得a+b+c=2，然后配凑柯西不等式证明a2+b2+c2−2b+4c+2≥0．本题考查分段函数最值的求法，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用柯西不等式求最值，是中档题．。

绝密★启用前安徽省马鞍山市普通高中2020届高三毕业班下学期第三次教学质量监测(三模)数学(文)试题(解析版)试卷满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试题卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题.1. 已知集合{1}A xx =>∣，{2}B x x =<-∣，则A B =（ ） A. ∅B. {2∣<-x x 或1}x >C. RD. {21}xx -<<∣ 【答案】B【解析】【分析】根据集合并集的概念求解. 【详解】因为{1}A xx =>∣，{2}B x x =<-∣，如图所示：则A B ={2∣<-xx 或1}x >. 故选：B【点睛】本题考查集合并集的运算，属于简单题，借助数轴求解即可.2. 已知复数z 满足2(2)z i =-（i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】求出复数z ，再根据复数的几何意义，即可得答案； 【详解】2)4(23i z i =--=，∴z 在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D.【点睛】本题考查复数的四则运算及复数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.3. 命题p ：0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin x x >，则命题p ⌝是（ ） A. 0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin x x ≤ B. 0,2x π⎛⎫∀∉ ⎪⎝⎭，sin x x > C. 00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，00sin x x ≤ D. 00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，00sin x x > 【答案】C【解析】【分析】。

2020年高考数学三模试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x|x2﹣5x＜﹣4}，集合B＝{x|x≤0}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，4）C．（1，4）D．（0，4）2．已知i为虚数单位，复数z满足（1﹣i）（z+i）＝1，则z＝（）A．B．C．1﹣i D．1+i3．已知双曲线的离心率为2，则实数m的值为（）A．4B．8C．12D．164．已知直线l，m，平面α，若m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是（）A．2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌B．2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高C．2019年我国居民每月消费价格逐月递增D．2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降6．已知数列{a n}的前n项和为S n．若数列{S n}是首项为1，公比为2的等比数列，则a2020＝（）A．2019B．2020C．22018D．220197．已知向量，，若，则（）A．（2，﹣4）B．（﹣2，4）C．（2，4）D．（﹣2，0）8．已知，则sin2α＝（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）是一次函数，且f[f（x）﹣2x]＝3恒成立，则f（3）＝（）A．1B．3C．5D．710．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．有下列四个结论：①；②f（x）在上单调递增；③f（x）的最小正周期T＝π；④f（x）的图象的一条对称轴为．其中正确的结论有（）A．②③B．②④C．①④D．①②11．足球起源于中国东周时期的齐国，当时把足球称为“蹴鞠”．汉代蹴鞠是训练士兵的手段，制定了较为完备的体制．如专门设置了球场，规定为东西方向的长方形，两端各设六个对称的“鞠域”，也称“鞠室”，各由一人把守．比赛分为两队，互有攻守，以踢进对方鞠室的次数决定胜负.1970年以前的世界杯用球多数由举办国自己设计，所以每一次球的外观都不同，拼块的数目如同掷骰子一样没准．自1970年起，世界杯官方用球选择了三十二面体形状的足球，沿用至今．如图Ⅰ，三十二面体足球的面由边长相等的12块正五边形和20块正六边形拼接而成，形成一个近似的球体．现用边长为4.5cm的上述正五边形和正六边形所围成的三十二面体的外接球作为足球，其大圆圆周展开图可近似看成是由4个正六边形与4个正五边形以及2条正六边形的边所构成的图形的对称轴截图形所得的线段AA'，如图Ⅱ，则该足球的表面积约为（）参考数据：tan72°≈3.08，，π≈3.14，67.862≈4604.98．A．366.64cm2B．488.85cm2C．1466.55cm2D．5282.40cm2 12．已知函数f（x），若函数g（x）＝﹣x+m（m＞0）与y＝f（x）的图象相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标分别记为x1，x2，则x1+x2的取值范围是（）A．B．C．D．[log23，3]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f（x）＝e x•sin x在点（0，f（0））处的切线方程是．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n．若a3＝36，a n﹣2＝6，S n＝126，则n＝．15．某企业为了调查其产品在国内和国际市场的发展情况，随机抽取国内、国外各100名客户代表，了解他们对该企业产品的发展前景所持的态度，得到如图所示的等高条形图，则（填“能”或“不能”）有99%以上的把握认为是否持乐观态度与国内外差异有关．P（K2≥k）0.0500.0100.0050.001 k 3.841 6.6357.87910.828附．16．已知点，M，N是椭圆上的两个动点，记直线PM，PN，MN的斜率分别为k1，k2，k，若k1+k2＝0，则k＝．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．如图所示，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求A；（2）若点P是线段CA延长线上一点，且PA＝3，AC＝2，，求PB．18．随着网购人数的日益增多，网上的支付方式也呈现一种多样化的状态，越来越多的便捷移动支付方式受到了人们的青睐，更被网友们评为“新四大发明”之一．随着人们消费观念的进步，许多人喜欢用信用卡购物，考虑到这一点，一种“网上的信用卡”横空出世﹣﹣蚂蚁花呗．这是一款支付宝和蚂蚁金融合作开发的新支付方式，简单便捷，同时也满足了部分网上消费群体在支付宝余额不足时的“赊购”消费需求．为了调查使用蚂蚁花呗“赊购”消费与消费者年龄段的关系，某网站对其注册用户开展抽样调查，在每个年龄段的注册用户中各随机抽取100人，得到各年龄段使用蚂蚁花呗“赊购”的人数百分比如图所示．（1）由大数据可知，在18到44岁之间使用花呗“赊购”的人数百分比y与年龄x成线性相关关系，利用统计图表中的数据，以各年龄段的区间中点代表该年龄段的年龄，求所调查群体各年龄段“赊购”人数百分比y与年龄x的线性回归方程（回归直线方程的斜率和截距保留两位有效数字）；（2）该网站年龄为20岁的注册用户共有2000人，试估算该网站20岁的注册用户中使用花呗“赊购”的人数；（3）已知该网店中年龄段在18﹣26岁和27﹣35岁的注册用户人数相同，现从18到35岁之间使用花呗“赊购”的人群中按分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中简单随机抽取2人调查他们每个月使用花呗消费的额度，求抽取的两人年龄都在18到26岁的概率．参考答案：，．19．如图所示七面体中，AA1∥BB1∥DD1，AA1⊥平面ABED，平面A1B1C1D1∥平面ABED，四边形A1B1C1D1是边长为2的菱形，∠D1A1B1＝60°，AA1＝2A1B1＝4BE，M，N分别为A1D，BB1的中点．（1）求证：MN∥平面C1DE；（2）求三棱锥M﹣C1DE的体积．20．已知函数f（x）＝alnx+x2﹣3x+k．（1）当a＞0时，求函数f（x）的极值点；（2）当a＝1时，对任意的，f（x）≤0恒成立，求实数k的取值范围．21．如图，设抛物线C1：x2＝4y与抛物线C2：y2＝2px（p＞0）在第一象限的交点为M（t，），点A，B分别在抛物线C2，C1上，AM，BM分别与C1，C2相切．（1）当点M的纵坐标为4时，求抛物线C2的方程；（2）若t∈[1，2]，求△MBA面积的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（其中t为参数，）．在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴所建立的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρcos2θ＝2cosθ﹣2ρsin2θ．设直线l与曲线C相交于A，B两点．（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）已知点P（0，1），求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣m|+|x|，x∈R．（1）若不等式f（x）≥m2对∀x∈R恒成立，求实数m的取值范围；（2）若（1）中实数m的最大值为t，且a+b+c＝t（a，b，c均为正实数）．证明：．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x2﹣5x＜﹣4}，集合B＝{x|x≤0}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，4）C．（1，4）D．（0，4）【分析】先求出集合A，以及B的补集，即可求出结论．解：因为A＝{x|x2﹣5x＜﹣4}＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|x≤0}⇒∁R B＝{x|x＞0}，则A∩（∁R B）＝{x|1＜x＜4}，故选：C．【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．已知i为虚数单位，复数z满足（1﹣i）（z+i）＝1，则z＝（）A．B．C．1﹣i D．1+i【分析】利用（1﹣i）（z+i）＝1，求得z，化简选出正确选项．解：由（1﹣i）（z+i）＝1，可得z，故选：A．【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题．3．已知双曲线的离心率为2，则实数m的值为（）A．4B．8C．12D．16【分析】由已知结合双曲线的离心率列式求解m值．解：由题意，m＞0，其a＝2，b，又e，解得m＝12．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查两向量的求法，是基础题．4．已知直线l，m，平面α，若m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】若m⊂α，则“l⊥α”，则l⊥m，反之不成立，即可判断出结论．解：∵若m⊂α，则“l⊥α”，则l⊥m，反之不成立，∴“l⊥m”是“l⊥α的必要而不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是（）A．2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌B．2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高C．2019年我国居民每月消费价格逐月递增D．2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降【分析】由月度同比，环比增长曲线表示的实际意义，直接判断．解：因为月度同比指数全正，所以2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比全涨，A错；2月环比最大，但7月到11月环比一直在增加，则11月，12月消费价格最高，B错；环比有负，则消费价格有涨有跌，C错，D符合题意，正确．故选：D．【点评】本题考查折线图表示的实际意义，考查学生的识图能力，属于基础题．6．已知数列{a n}的前n项和为S n．若数列{S n}是首项为1，公比为2的等比数列，则a2020＝（）A．2019B．2020C．22018D．22019【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得S n＝1×2n﹣1＝2n﹣1，又由a2020＝S2020﹣S2029，代入数据计算可得答案．解：根据题意，数列{a n}的前n项和为S n．若数列{S n}是首项为1，公比为2的等比数列，则S n＝1×2n﹣1＝2n﹣1，则S2020＝22019，S2019＝22018，则a2020＝S2020﹣S2029＝22019﹣22018＝22018，故选：C．【点评】本题考查等比数列的通项公式，注意s n与a n的关系，属于基础题．7．已知向量，，若，则（）A．（2，﹣4）B．（﹣2，4）C．（2，4）D．（﹣2，0）【分析】根据可得m＝2，带入计算即可解：（1，0）（2﹣m，2+m）＝2﹣m＝0，解得m＝2，所以（0，4），则（2，0）﹣（0，4）＝（2，﹣4），故选：A．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，属于基础题．8．已知，则sin2α＝（）A．B．C．D．【分析】由已知利用两角差的正弦函数公式可得sinα﹣cosα，两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解．解：∵，∴sinαcosα，sinα﹣cosα，∴两边平方，可得：sin2α+cos2α﹣2sinαcosα，可得1﹣sin2α，∴sin2α．故选：D．【点评】本题主要考查了两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．9．已知函数f（x）是一次函数，且f[f（x）﹣2x]＝3恒成立，则f（3）＝（）A．1B．3C．5D．7【分析】根据题意，分析可得f（x）﹣2x是一个常数，设f（x）﹣2x＝t，则f（x）＝2x+t，据此可得f（t）＝2t+t＝3，解可得t的值，即可得f（x）的解析式，将x＝3代入函数的解析式计算可得答案．解：根据题意，函数f（x）是一次函数，且f[f（x）﹣2x]＝3恒成立，则f（x）﹣2x是一个常数，设f（x）﹣2x＝t，则f（x）＝2x+t，则有f（t）＝2t+t＝3，解可得t＝1，则f（x）＝2x+1，则f（3）＝2×3+1＝7；故选：D．【点评】本题考查函数解析式的计算，涉及函数值的计算，属于基础题．10．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．有下列四个结论：①；②f（x）在上单调递增；③f（x）的最小正周期T＝π；④f（x）的图象的一条对称轴为．其中正确的结论有（）A．②③B．②④C．①④D．①②【分析】求出函数的解析式，然后判断函数的单调性，函数的周期，对称轴，以及初相，判断命题的真假即可．解：由题意可知：x＝0，y；x，y＝0，结合五点法作图可得：ω×0+φ，所以φ，所以①不正确；，可得ω＝2，所以函数的周期为π，所以③正确；函数的解析式为：f（x）＝sin（2x），可得，解得x∈[，]是函数的单调增区间，所以②正确．时，f（x）≠±1，所以f（x）的图象的一条对称轴为，不正确；故选：A．【点评】本题考查命题的真假的判断，涉及三角函数的化简解析式的求法，函数的对称性，函数的周期等基本知识，是中档题．11．足球起源于中国东周时期的齐国，当时把足球称为“蹴鞠”．汉代蹴鞠是训练士兵的手段，制定了较为完备的体制．如专门设置了球场，规定为东西方向的长方形，两端各设六个对称的“鞠域”，也称“鞠室”，各由一人把守．比赛分为两队，互有攻守，以踢进对方鞠室的次数决定胜负.1970年以前的世界杯用球多数由举办国自己设计，所以每一次球的外观都不同，拼块的数目如同掷骰子一样没准．自1970年起，世界杯官方用球选择了三十二面体形状的足球，沿用至今．如图Ⅰ，三十二面体足球的面由边长相等的12块正五边形和20块正六边形拼接而成，形成一个近似的球体．现用边长为4.5cm的上述正五边形和正六边形所围成的三十二面体的外接球作为足球，其大圆圆周展开图可近似看成是由4个正六边形与4个正五边形以及2条正六边形的边所构成的图形的对称轴截图形所得的线段AA'，如图Ⅱ，则该足球的表面积约为（）参考数据：tan72°≈3.08，，π≈3.14，67.862≈4604.98．A．366.64cm2B．488.85cm2C．1466.55cm2D．5282.40cm2【分析】先由图Ⅱ求出圆的周长，利用球的面积公式可求出该足球的表面积．解：如图，在正五边形中，内角为108°，边长为4.5，∴AC2＝4.52+4.52﹣2×4.5×4.5×cos108°＝4.52（2+2cos72°）≈53.02，∴AB2＝AC2﹣BC2≈48，解得AB，∵在正六边形中，内角为120°，边长为4.5，∴大圆的周长为67.86，设球半径为R，则2πR＝67.86，R，∴球的表面积为S＝4πR2＝4π（）2≈1466.55．故选：C．【点评】本题考查球的表面积公式，以传统文化为背景，综合余弦定理等等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．已知函数f（x），若函数g（x）＝﹣x+m（m＞0）与y＝f（x）的图象相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标分别记为x1，x2，则x1+x2的取值范围是（）A．B．C．D．[log23，3]【分析】由题意画出图形，不妨设x1＜x2，可得x1＜1，1≤x2，由不等式的可加性得答案．解：在同一坐标系内作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由x＝1时，y，且y的图象与y的图象关于y＝x对称，不妨设x1＜x2，可得x1＜1，1≤x2．利用同向不等式相加，可得x1+x2的取值范围是．故选：B．【点评】本题考查分段函数的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f（x）＝e x•sin x在点（0，f（0））处的切线方程是y＝x．【分析】先求出f′（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x＝0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．解：∵f（x）＝e x•sin x，f′（x）＝e x（sin x+cos x），f′（0）＝1，f（0）＝0，∴函数f（x）的图象在点A（0，0）处的切线方程为y﹣0＝1×（x﹣0），即y＝x．故答案为：y＝x．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n．若a3＝36，a n﹣2＝6，S n＝126，则n＝6．【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出．解：a3＝36，a n﹣2＝6，S n＝126，∴126，则n＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．某企业为了调查其产品在国内和国际市场的发展情况，随机抽取国内、国外各100名客户代表，了解他们对该企业产品的发展前景所持的态度，得到如图所示的等高条形图，则能（填“能”或“不能”）有99%以上的把握认为是否持乐观态度与国内外差异有关．P（K2≥k）0.0500.0100.0050.001 k 3.841 6.6357.87910.828附．【分析】根据题目所给的数据填写2×2列联表，再计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．解：根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：乐观不乐观总计国内代表6040100国外代表4060100总计100100200则K的观测值：K28＞6.635所以有99%的把握认为认为是否持乐观态度与国内外差异有关，故答案为：能．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．16．已知点，M，N是椭圆上的两个动点，记直线PM，PN，MN的斜率分别为k1，k2，k，若k1+k2＝0，则k＝．【分析】设直线MN的方程，与椭圆联立可得两根之和及两根之积，求出直线PM，PN 的斜率，由题意两条直线的斜率之和为0，可得k的值．解：设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN的方程为y＝kx+b，联立直线MN与椭圆的方程可得：，整理可得（2+k2）x2+2kbx+b2﹣2＝0，所以△＝4k2b2﹣4（2+k2）（b2﹣2）＞0，可得b2＜k2+2，x1+x2，x1x2，由题意可得k1+k20，即2kx1x2+（b﹣1k）（x1+x2）（b﹣1）＝0，所以2k（b﹣1）（b﹣1）＝0，（k）（2b2）＝0，解得k，故答案为：．【点评】本题考查直线与椭圆的综合及椭圆的性质，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．如图所示，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求A；（2）若点P是线段CA延长线上一点，且PA＝3，AC＝2，，求PB．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合sin C＞0，可求，结合范围A∈（0，π），可得A的值．（2）由（1）利用三角形的内角和定理可求，由题意可得AB＝AC＝2，进而在△PAB中由余弦定理可求PB的值．解：（1）由条件，，则由正弦定理可得，，所以，即，又sin C＞0，所以，由A∈（0，π），可得．（2）由（1）可知，，而，则，所以AB＝AC＝2，在△PAB中，，由余弦定理，PB2＝PA2+AB2﹣2PA•AB cos∠PAB＝9+4﹣6＝7．所以．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的综合应用考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．随着网购人数的日益增多，网上的支付方式也呈现一种多样化的状态，越来越多的便捷移动支付方式受到了人们的青睐，更被网友们评为“新四大发明”之一．随着人们消费观念的进步，许多人喜欢用信用卡购物，考虑到这一点，一种“网上的信用卡”横空出世﹣﹣蚂蚁花呗．这是一款支付宝和蚂蚁金融合作开发的新支付方式，简单便捷，同时也满足了部分网上消费群体在支付宝余额不足时的“赊购”消费需求．为了调查使用蚂蚁花呗“赊购”消费与消费者年龄段的关系，某网站对其注册用户开展抽样调查，在每个年龄段的注册用户中各随机抽取100人，得到各年龄段使用蚂蚁花呗“赊购”的人数百分比如图所示．（1）由大数据可知，在18到44岁之间使用花呗“赊购”的人数百分比y与年龄x成线性相关关系，利用统计图表中的数据，以各年龄段的区间中点代表该年龄段的年龄，求所调查群体各年龄段“赊购”人数百分比y与年龄x的线性回归方程（回归直线方程的斜率和截距保留两位有效数字）；（2）该网站年龄为20岁的注册用户共有2000人，试估算该网站20岁的注册用户中使用花呗“赊购”的人数；（3）已知该网店中年龄段在18﹣26岁和27﹣35岁的注册用户人数相同，现从18到35岁之间使用花呗“赊购”的人群中按分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中简单随机抽取2人调查他们每个月使用花呗消费的额度，求抽取的两人年龄都在18到26岁的概率．参考答案：，．【分析】（1）利用已知条件求出回归直线方程的向量与截距，得到回归直线方程．（2）求出该网站20岁的注册用户中使用花呗“赊购”的人数百分比，即可估计该网站20岁的注册用户中使用花呗“赊购”的人数．（3）按分层抽样，8人中年龄为18到26岁的有5人，记为A，B，C，D，E，年龄为27到35岁的有3人，记为甲，乙，丙，从8人中抽取2人，求出总28种情形．其中2人均为18到26岁的有10种，然后求解概率．解：（1）由题意，，，所以，，所求线性回归方程为y＝﹣0.023x+1.0．（2）由（1）知，该网站20岁的注册用户中使用花呗“赊购”的人数百分比为﹣0.023×20+1.0＝0.54，而2000×0.54＝1080，所以估计该网站20岁的注册用户中使用花呗“赊购”的人数为1080人．（3）按分层抽样，8人中年龄为18到26岁的有5人，记为A，B，C，D，E，年龄为27到35岁的有3人，记为甲，乙，丙，从8人中抽取2人，可能有（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，甲），（A，乙），（A，丙），（B，C），（B，D），（B，E），（B，甲），（B，乙），（B，丙），（C，D），（C，E），（C，甲），（C，乙），（C，丙），（D，E），（D，甲），（D，乙），（D，丙），（E，甲），（E，乙），（E，丙），（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙），共28种情形．其中2人均为18到26岁的有10种，所以抽取的两人年龄都在18到26岁的概率为．【点评】本题考查回归直线方程的求法，分层抽样以及古典概型概率的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．19．如图所示七面体中，AA1∥BB1∥DD1，AA1⊥平面ABED，平面A1B1C1D1∥平面ABED，四边形A1B1C1D1是边长为2的菱形，∠D1A1B1＝60°，AA1＝2A1B1＝4BE，M，N分别为A1D，BB1的中点．（1）求证：MN∥平面C1DE；（2）求三棱锥M﹣C1DE的体积．【分析】（1）取AD的中点F，连接MF，BF．证明B1C1∥BE，AB∥A1B1，AD∥A1D1，说明四边形ADD1A1和ABB1A1为平行四边形．得到AD∥BE，然后证明BF∥DE．说明四边形MNBF是平行四边形，推出MN∥DE．然后证明MN∥平面C1DE．（2）说明点M到平面C1DE的距离与点N到平面C1DE的距离相等，通过三棱锥M﹣C1DE的体积．转化求解即可．解：（1）证明；取AD的中点F，连接MF，BF．因为平面A1B1C1D1∥平面ABED，平面A1B1C1D1∩平面BEC1B1＝B1C1，平面ABED∩平面BEC1B1＝BE，所以B1C1∥BE，同理可得，AB∥A1B1，AD∥A1D1，而AA1∥BB1∥DD1，所以四边形ADD1A1和ABB1A1为平行四边形．又四边形A1B1C1D1是菱形，B1C1∥A1D1，所以AD∥BE，而点F为AD的中点，所以，又BE∥DF，所以四边形BEDF为平行四边形，从而BF∥DE．点M，N分别为A1D，BB1的中点，所，MF∥AA1∥BN，则四边形MNBF是平行四边形，得MN∥BF，所以MN∥DE．而MN⊄平面C1DE，DE⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE．（2）由（1）可知，MN∥平面C1DE，所以点M到平面C1DE的距离与点N到平面C1DE 的距离相等，则三棱锥M﹣C1DE的体积．由∠DAB＝∠D1A1B1＝60°，AB＝A1B1＝A1D1＝AD＝2，得△ABD为正三角形，而F为AD中点，所以BF⊥AD，从而DE⊥BE，且．又AA1⊥平面ABED，得AA1⊥DE，从而BB1⊥DE，BB1∩BE＝B点，所以DE⊥平面BB1C1E且．，所以，即三棱锥M﹣C1DE的体积为．【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．20．已知函数f（x）＝alnx+x2﹣3x+k．（1）当a＞0时，求函数f（x）的极值点；（2）当a＝1时，对任意的，f（x）≤0恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）求出．令g（x）＝2x2﹣3x+a，当时，当时，判断导函数的符号，利用函数的单调性求解函数的极值．（2）当a＝1时，，．对任意的，f（x）≤0恒成立，则f（x）max≤0，利用（1）转化求解即可．解：（1）由条件，x∈（0，+∞），．令g（x）＝2x2﹣3x+a，记△＝9﹣8a．当时，△≤0，g（x）≥0恒成立，从而f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，没有极值点．当时，令g（x）＝0，解得，且．当时f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0；当时f'（x）＞0．所以f（x）在和上单调递增，在上单调递减，极大值点为，极小值点为．综上所述，当时，极大值点为，极小值点为；当时，没有极值点．（2）当a＝1时，，．对任意的，f（x）≤0恒成立，则f（x）max≤0，由（1）可知，当a＝1时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，在[1，e]上单调递增，最大值为和f（e）两者中较大者．而，f（e）＝k+e2﹣3e+1，，所以f（x）max＝f（e）≤0，解得k≤﹣e2+3e﹣1．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，是难题．21．如图，设抛物线C1：x2＝4y与抛物线C2：y2＝2px（p＞0）在第一象限的交点为M（t，），点A，B分别在抛物线C2，C1上，AM，BM分别与C1，C2相切．（1）当点M的纵坐标为4时，求抛物线C2的方程；（2）若t∈[1，2]，求△MBA面积的取值范围．【分析】（1）由点M的纵坐标为4时代入C1可得M的坐标，再代入C2中求出p的值，进而求出抛物线C2的方程；（2）将M的坐标代入C2中可得p，t的关系，设A的坐标，设直线AM的方程，与C1联立，由AM与C1相切，可得判别式为0，求出k1与t的关系，可得A的坐标，设B 的坐标，设BM的方程与C2联立，由题意可得判别式为0，可得k2与t的关系，解得B的坐标，求出|BM|的值，再求出A到直线BM的距离，进而求出三角形MBA的面积的表达式，由t的范围求出面积的取值范围．解：（1）由条件，且t＞0，解得t＝4，即点M（4，4），代入抛物线C2的方程，得8p＝16，所以p＝2，则抛物线C2的方程为y2＝4x．（2）将点代入抛物线C2的方程，得．设点A（x1，y1）直线AM方程为，联立方，消去y，化简得，则，解得，从而直线AM的斜率，解得，即点．设点B（x2，y2），直线BM方程为，联立方，消去x，化简得，则，代入，解得，从而直线BM的斜率为，解得，即点；，点到直线，即tx﹣8y+t2＝0的距离为，故△MBA面积为，而t∈[1，2]，所以△MBA面积的取值范围是．【点评】本题考查抛物线的方程性质及直线与抛物线相切的性质，属于中档题．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（其中t为参数，）．在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴所建立的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρcos2θ＝2cosθ﹣2ρsin2θ．设直线l与曲线C相交于A，B两点．（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）已知点P（0，1），求的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换一元二次方程根和系数关系式的应用及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）根据题意得，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝2cosθ﹣2ρsin2θ，ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ＝2ρcosθ，转换为直角坐标方程为x2+2y2＝2x，即（x﹣1）2+2y2＝1，直线l的参数方程为（其中t为参数，）．转换为直线l的普通方程为tanα•x﹣y+1＝0．（2）联立直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程，将直线l的参数方程为（其中t为参数，），代入（x﹣1）2+2y2＝1，化简，得（cos2α+2sin2α）t2+（4sinα﹣2cosα）t+2＝0．设点A，B所对应的参数分别为t1，t2，所以0，0，所以cosα﹣2sinα（tanθ＝﹣2）由于，且，故，则：所以的最大值为．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣m|+|x|，x∈R．（1）若不等式f（x）≥m2对∀x∈R恒成立，求实数m的取值范围；（2）若（1）中实数m的最大值为t，且a+b+c＝t（a，b，c均为正实数）．证明：．【分析】（1）利用绝对值不等式的几何意义，转化求解函数的最值，求解即可．（2）结合（1）推出a+b+c＝1，通过“1”的代换，利用基本不等式证明即可．【解答】（1）解：由题意，f（x）＝|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|＝|m|，只需|m|≥m2，解得﹣1≤m≤1．（2）证明：由（1）可知，a+b+c＝1，所以．当且仅当时等号成立，所以．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义，基本不等式的应用，不等式的证明，是中档题．。