四川省成都市数学高二上学期文数10月月考试卷

成都2024—2025学年度高二上期10月月考数学试卷（答案在最后）注意事项：1．本试卷分第I 卷和第II 卷两部分；2．本堂考试120分钟，满分150分；3．答题前，考生务必将自己的姓名、学号正确填写在答题卡上，并使用2B 铅笔填涂；4．考试结束后，将答题卡交回．第I 卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．1．现须完成下列2项抽样调查：①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查；②某生活小区共有540名居民，其中年龄不超过30岁的有180人，年龄在超过30岁不超过60岁的有270人，60岁以上的有90人，为了解居民对社区环境绿化方面的意见，拟抽取一个容量为30的样本.较为合理的抽样方法分别为（）A ．①随机数法，②抽签法B ．①随机数法，②分层抽样C ．①抽签法，②分层抽样D ．①抽签法，②随机数法2．已知向量()1,2,1a =- ，()3,,b x y = ，且//a b r r，那么实数x y +等于（）A ．3B ．-3C ．9D ．-93．若,l n 是两条不相同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）A ．若l n ⊥，n β⊥，则l //βB ．若αβ⊥，l α⊥，则l //βC ．若//αβ，l α⊂，则l //βD ．若//l α，//αβ，则l //β4．如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 为BC 中点，点N 在侧棱OA上，且2ON NA =，则MN =（）A ．121232a b c--+B ．211322a b c-++C ．211322a b c-- D ．111222a b c+-5．为了养成良好的运动习惯，某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟），分别为53，57，45，61，79，49，x ，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x =（）A ．58或64B ．59或64C ．58D ．596．已知点D 在ABC V 确定的平面内，O 是平面ABC 外任意一点，正数,x y 满足23DO xOA yOB OC =+- ，则yx 21+的最小值为（）A ．25B ．29C ．1D ．27．现有一段底面周长为12π厘米和高为12厘米的圆柱形水管，AB 是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从A 点沿上底部圆弧顺时针方向爬行π厘米后再向下爬行3厘米到达P 点，另一只从B 沿下底部圆弧逆时针方向爬行π厘米后再向上爬行3厘米爬行到达Q 点，则此时线段PQ 长（单位：厘米）为（）A ．B ．C ．6D ．128．如图，四边形,4,ABCD AB BD DA BC CD =====ABD △沿BD 折起，当二面角A BD C --的大小在[,63ππ时，直线AB 和CD 所成角为α，则cos α的最大值为（）A ．16B C ．16D ．8二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题中，正确的是（）A ．两条不重合直线12,l l 的方向向量分别是()2,0,1a =-，()4,0,2b =- ，则12//l l B ．直线l 的方向向量()1,1,2c =-，平面α的法向量是()6,4,1m =- ，则l α⊥C ．两个不同的平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =-，()3,4,2v =- ，则αβ⊥D ．直线l 的方向向量()0,1,1d = ，平面α的法向量()1,0,1n =，则直线l 与平面α所成角的大小为π310．小刘一周的总开支分布如图①所示，该周的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（）A ．娱乐开支比通信开支多5元B ．日常开支比食品中的肉类开支多100元C ．娱乐开支金额为100元D ．肉类开支占储蓄开支的1311．已知四面体OABC 的所有棱长都为1,,D E 分别是,OA BC 的中点.N M ,是该四面体内切球球面上的两点，P 是该四面体表面上的动点.则下列选项中正确的是（）A.DE 的长为44B.D 到平面ABC 的距离为66C.当线段MN 最长时，PN PM ⋅的最大值为31D.直线OE 与直线AB 所成角的余弦值为33第II 卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．某校高一年级共有学生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人．该校要了解高一学生对食堂菜品的看法，准备从高一年级学生中随机抽取40人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，则应从高一2班抽取的人数是．13．已知(2,1,3),(1,4,2)a b =-=-- ，c (4,5,)λ=，若,,a b c 三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数λ的值为.14．在正方体ABCD A B C D -''''中，点P 是AA '上的动点，Q 是平面BB C C ''内的一点，且满足A D BQ '⊥，则平面BDP 与平面BDQ 所成角余弦值的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（满分13分）15．已知向量()6a m = ,，()1,0,2=b ，()()2R c m =∈ (1)求()a b c ⋅-的值；(2)求cos b c ,；(3)求a b - 的最小值.（满分15分）16．成都市政府委托市电视台进行“创建文明城市”知识问答活动，市电视台随机对该市1565～岁的人群抽取了n人，绘制出如图所示的频率分布直方图，回答问题的统计结果如表所示．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第一组[15，25)500.5第二组[25，35)180a第三组[35，45)x0.9第四组[45，55)90b第五组[55，65)y0.6a b x y的值；（1）分别求出,,,（2）从第二、三、四、五组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取7人，则从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应各抽取多少人.-中，ABCD是边长为2的正方形，平面PBC⊥（满分15分）17．如图，在四棱锥P ABCDPC=.平面ABCD，直线PA与平面PBC所成的角为45︒，2（1）若E，F分别为BC，CD的中点，求证：直线AC⊥平面PEF；（2）求二面角D PA B--的正弦值.（满分17分）18．随着时代不断地进步，人们的生活条件也越来越好，越来越多的人注重自己的身材，其中体脂率是一个很重要的衡量标准.根据一般的成人体准，女性体脂率的正常范围是20%至25%，男性的正常范围是15%至18%.这一范围适用于大多数成年人，可以帮助判断个体是否存在肥胖的风险.某市有关部门对全市100万名成年女性的体脂率进行一次抽样调查统计，抽取了1000名成年女性的体脂率作为样本绘制频率分布直方图,如图.(1)求a ；(2)如果女性体脂率为25%至30%属“偏胖”，体脂率超过30%属“过胖”，那么全市女性“偏胖”，“过胖”各约有多少人？(3)小王说：“我的体脂率是调查所得数据的中位数.”小张说：“我的体脂率是调查所得数据的平均数.”那么谁的体脂率更低？（精确到小数点后2位）（满分17分）19．如图，四面体ABCD 中，2,AB BC BD AC AD DC ======(1)求证：平面ADC ⊥平面ABC ；(2)若(01)DP DB λλ=<<，①若直线AD 与平面APC 所成角为30°，求λ的值；②若PH ⊥平面,ABC H 为垂足，直线DH 与平面APC 的交点为G ．当三棱锥CHP A -体积最大时，求DGGH的值．高二上10月月考数学答案一、单选题：C D C C A B A B二、多选题：AC;BCD;BC3三、填空题：10；5；318:（1）由频率直方图可得，（2）由频率分布直方图可得样本中女性⨯=，所以全市女性50.020.1⨯=，10000000.1100000。

成都2023~2024学年度上期10月阶段性测试数学试题（答案在最后）考试时间：120分钟总分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知点(A，点(1,B -，则直线AB 的倾斜角为（）A.30B.45C.120D.135【答案】C 【解析】【分析】由斜率公式可求得直线AB 斜率，由斜率和倾斜角关系可得直线倾斜角.【详解】10AB k -==-- ，∴直线AB 的倾斜角为120 .故选：C.2.已知直线a ，b 的方向向量分别为()1,01a =- ,，()1,1,0b =-，且直线a ，b 均平行于平面α，平面α的单位法向量为（）A.,,333⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.,,333⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭C.()1,1,1D.,,333⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或,,333⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据平面法向量的性质进行求解即可.【详解】设平面α的单位法向量为()(),,11m x y z ==，因为直线a ，b 均平行于平面α，所以有()()002030m a x z x y m b ⋅=⎧⎧-=⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎪⎩⎩，由()()()123可得：3x y z ===或3x y z ===-，故选：D3.有2人从一座6层大楼的底层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则该2人在不同层离开电梯的概率是A.16B.15C.45D.56【答案】C 【解析】【详解】试题分析：设2人为A 、B ，则2人自2至6层离开电梯的所有可能情况为：（A2，B2），（A2，B3）,（A2，B4），（A2，B5），（A2，B6）,（A3，B2）,（A3，B3），…，（A6，B6）．共25个基本事件，2人在相同层离开电梯共包含（A2，B2）,（A3，B3）,（A4，B4）,（A5，B5）,（A6，B6）共5个事件，所以2人在不同层离开电梯共包含20个基本事件，概率为．考点：古典概型4.如图，在斜棱柱1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为点M ，AB a = ，AD b = ，1AA c = ，则1MC = （）A.1122a b c ++B.1122---a b cC.1122-++ a b cD.1122a b c--+ 【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算用,,a b c 表示出1MC即可得．【详解】()1112C M AM AC AB AD =-=+ -()1AB BC CC ++ ＝1122---a b c ，111122MC C M a b c =-+=+ .故选：A ．5.某校高一年级15个班参加合唱比赛，得分从小到大排序依次为：85,85,86,87,88,89，90,91,91,91,92,93,94,96,98，则这组数据的80%分位数是（）A.90B.93.5C.86D.93【答案】B 【解析】【分析】根据百分位数的定义求解即可.【详解】因为1580%12⨯=，所以这组数据的80%分位数是第12个数和第13个数的平均数，即939493.52+=,故选：B6.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A.平均数为2，方差为2.4B.中位数为3，方差为1.6C.中位数为3，众数为2D.平均数为3，中位数为2【答案】A 【解析】【分析】A 选项，有平均数与方差间关系，可判断选项正误；BCD 选项，通过举反例可判断选项正误.【详解】A 选项，若5次结果中有6，因平均数为2，则方差()22126 3.25S >-=，因3.2 2.4>，则当平均数为2，方差为2.4时一定不会出现点数6，故A 正确；B 选项，取5个点数为3,3,3,5,6，则此时满足中位数为3，平均数为4，则方差()()()222213435464 1.65S ⎡⎤=-⨯+-+-=⎣⎦，故B 错误；C 选项，取5个点数为2,2,3,5,6，满足中位数为3，众数为2，故C 错误；D 选项，取5个点数为1,1,2,5,6，满足中位数为2，平均数为3，故D 错误.故选：A7.如图，某圆锥SO 的轴截面SAC ，其中SA =，点B 是底面圆周上的一点，且2cos 3BOC ∠=，点M 是线段SA 的中点，则异面直线SB 与CM 所成角的余弦值是()A.3535B.66565C.1315D.35【答案】B 【解析】【分析】利用圆锥曲线的性质，以点O 为坐标原点，OC 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系，利用向量方法即可求两异面直线的夹角．【详解】由圆锥的性质可知SO ⊥平面ABC ，故可以点O 为坐标原点，平面ABC 内过点O 且垂直于AC 的直线为x 轴，OC OS 、分别为y 、z轴建立空间直角坐标系，设1,5OA OB SA ===2OS =，易知1(0,1,0),(0,1,0),(0,0,2),0,,12A C S M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∵2cos 3BOC ∠=，∴2sin 1c 35os BOC BOC ∠∠=-=，∴52,,033B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴52,,233SB ⎛⎫=-⎪⎝⎭，30,,12CM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，∴65cos ,65||||54941994SB CM SB CM SB CM ⋅〈〉==-⋅++⋅+，因此，异面直线SB 与CM 所成角的余弦值为66565．8.已知正方体1111ABCD A B C D -，设其棱长为1（单位：m ）．平面α与正方体的每条棱所成的角均相等，记为θ．平面α与正方体表面相交形成的多边形记为M ，下列结论正确的是（）A.M 可能为三角形，四边形或六边形B.cos 3θ=C.M 2D.正方体1111ABCD A B C D -内可以放下直径为1.2m 的圆【答案】D 【解析】【分析】A 选项，如图，建立以A 为原点的空间直角坐标系，利用向量知识可知平面α可为与1AC 垂直的平面，即可判断选项正误；B 选项，由A 选项分析及线面角计算公式可判断选项正误；C 选项，由A 选项分析可表示出两种情况下M 的面积表达式，即可判断选项正误；D 选项，问题等价于判断M 内部最大圆直径最大值是否大于1.2.【详解】A 选项，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则()()()()10,0,0,1,0,0,0,0,1,0,1,0A B A D ，()()()11,0,0,0,0,1,0,1,0AB AA AD ===.设平面α法向量为(),,n x y z =，因平面α与正方体的每条棱所成的角均相等，则1sin cos ,cos ,cos ,n AB n AA n ADθ======⇒x y z ==.由对称性，不妨取1x y z ===，则法向量n 可为()1,1,1，又()11,1,1AC = ，则平面α可为与1AC 垂直的平面.如图，连接1111,,,,A B BD DA AC A B ，因1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则1BD CC ⊥，又11,,,BD AC AC CC C AC CC ⊥=⊂ 平面1ACC ，则BD ⊥平面1ACC ，又1AC ⊂平面1ACC ，则1AC BD ⊥，同理可得11AC A B ⊥.又1,BD A B ⊂平面1A BD ，1A B BD B ⋂=，故1AC ⊥平面1A BD .即平面α可为与平面1A BD 平行的平面，当平面α与1AA （不含A ）相交时，M 为与1A BD 相似的正三角形；当平面α与11A B （不含11A B ，）相交时，M 为如图所示的六边形；当平面α与11B C 相交时（不含1C ），M 为与1A BD 相似的正三角形；则M 可能为三角形，六边形，故A 错误；B 选项，由A 选项分析可知，36sin cos 33θθ=⇒=，故B 错误.C 选项，由A 选项分析可知，当平面α过1,,A B D 或11,,B D C 时，，则相应面积为23342⨯=.当M 为六边形时，如下图所示，因//RS 11B D ，1//RT D C ，又o1160B D C ∠=，结合图形可知o 120SRT ∠=，又由题可知六边形RSUVWT 为中心对称图形，取其对称中心为O ，则四边形RSOT ≅四边形WTOV ≅四边形UVOS ，则六边形面积为相应四边形面积的3倍.取RS ，RT 中点分别为F ，E ，连接EF ，OE ，OF ，因OS OR OT ==，则o 90OER OFR ∠=∠=，四边形RSOT 面积为四边形REOF 面积2倍，则六边形面积为四边形REOF 面积6倍.设()11,1,0,1A R x B R x x ==-∈，由题结合图形可知，),1RS RT x ==-，则)1,22x RF RE -==在EFR 中，由余弦定理，2EF ==.注意到o o 90,180REO RFO REO RFO ∠=∠=∠+∠=，则,,,R E O F 四点共圆，则REF 外接圆直径等于OR ，由正弦定理，可得osin1203EF OR ==.则()16OE x ==+，()26OF x ==-.则六边形面积S ()2116221222OE RE OF FR x x ⎛⎫=⨯⋅+⋅=-++⎪⎝⎭23133322224x ⎡⎤⎛⎫=--+≤⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当12x =时取等号.2>，则M 2，故C 错误；D 选项，先判断M 内部的最大圆直径最大值是否超过1.2m .当M 为正三角形时，M 内部的最大圆为三角形内切圆，易知当平面α过1,,A B D 或11,,B D C 时，所得内切圆半径最大，设此时内切圆半径为r ，三角形面积为S ，周长为C ，则内切圆直径344223S r C ⨯===.当M 为六边形时，M 内部的最大圆半径1r 满足{}1min ,r OE OF =，由C选项分析，可知()()111,62612,62x x r x x +≤⎪=->⎩，则当12x =时，1r取最大值4，则此时M 内部的最大圆直径的最大值为62，因22.4 5.766=<，则61.22>，即正方体1111ABCD A B C D -内可以放下直径为1.2m 的圆，故D 正确.故选：D【点睛】关键点睛：本题首先需要通过向量方法，得到满足题意的平面α的具体特征，后利用几何知识，结合正余弦定理可得图形M 的面积最大值及其内部最大圆直径.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列命题中是真命题的为（）A.若p 与,a b 共面，则存在实数,x y ，使p xa yb=+B.若存在实数,x y ，使向量p xa yb =+ ，则p 与,a b共面C.若点,,,P M A B 四点共面，则存在实数,x y ，使MP xMA yMB=+D.若存在实数,x y ，使MP xMA yMB =+，则点,,,P M A B 四点共面【答案】BD 【解析】【分析】根据平面向量基本定理以及空间向量基本定理，可知B 、D 项正确；若,a b共线，则A 结论不恒成立；若,,M A B 三点共线，则C 项结论不恒成立.【详解】对于A 项，如果,a b 共线，则xa yb + 只能表示与a共线的向量.若p 与,a b不共线，则不能表示，故A 项错误；对于B 项，根据平面向量基本定理知，若存在实数,x y ，使向量p xa yb =+ ，则p 与,a b共面，故B 项正确；对于C 项，如果,,M A B 三点共线，则不论,x y 取何值，xMA yMB + 只能表示与MA共线的向量.若点P 不在,,M A B 所在的直线上，则无法表示，故C 项错误；对于D 项，根据空间向量基本定理，可知若存在实数,x y ，使MP xMA yMB =+，则,,MP MA MB uuu r uuu r uuu r共面，所以点,,,P M A B 四点共面，故D 项正确.故选：BD.10.已知e为直线l 的方向向量，12,n n 分别为平面,αβ的法向量(,αβ不重合），并且直线l 均不在平面,αβ内，那么下列说法中正确的有（）A.1e n l α⊥⇔∥B.12n n αβ⊥⇔⊥C.12n n αβ⇔∥∥D.1e n l α⊥⇔⊥【答案】ABC 【解析】【分析】由空间向量的位置关系对选项逐一判断，【详解】已知直线l 不在平面α内，则1e n l α⊥⇔∥ ，故A 正确，D 错误，由空间向量的位置关系得12n n αβ⊥⇔⊥，12n n αβ⇔∥∥ ，故B ，C 正确，故选：ABC11.以下结论正确的是（）A.“事件A ，B 互斥”是“事件A ，B 对立”的充分不必要条件．B.假设()()0.7,0.8P A P B ==，且A 与B 相互独立，则()0.56P A B ⋃=C.若()()0,0P A P B >>，则事件,A B 相互独立与事件,A B 互斥不能同时成立D.6个相同的小球，分别标有1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，设A =“第一次取出球的数字是1”，B =“两次取出的球的数字之和是7”，则A 与B 相互独立【答案】CD 【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的定义得到A 错误，计算()0.94P A B = 得到B 错误，根据互斥事件和独立事件的定义得到C 正确，计算得到()()()P AB P A P B =，D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：“事件A ，B 互斥”是“事件A ，B 对立”的必要不充分条件，错误；对选项B ：()()()0.56P AB P A P B ==，()()()()0.94P A B P A P B P AB ⋃=+-=，错误；对选项C ：假设事件,A B 互斥且独立，则()()()0P AB P A P B ==，这与()0P A >，()0P B >矛盾，假设不成立，正确；对选项D ：()16P A =，()61666P B ==⨯，()136P AB =，故()()()P AB P A P B =，A 与B 相互独立，正确.故选：CD.12.如图，已知矩形,4,2,ABCD A AD E B ==为AB 中点，F 为线段EB （端点除外）上某一点．沿直线DF 沿ADF △翻折成PDF △，则下列结论正确的是（）A.翻折过程中，动点P 在圆弧上运动B.翻折过程中，动点P 在平面BCDF 的射影的轨迹为一段圆弧C.翻折过程中，二面角P DF B --的平面角记为α，直线PA 与平面BCDF 所成角记为β，则2a b >．D.当平面PDC ⊥平面BCDF 时，在平面PDC 内过点P 作,PK DC K ⊥为垂足，则DK 的范围为()1,2【答案】AD 【解析】【分析】A 选项，由题可知点P 为以D 为顶点的圆锥底面圆周上的点，即可判断选项正误；B 选项，如图，可证动点P 在平面BCDF 的射影在过A 点且与DF 垂直的线段上，即可判断选项正误；C 选项，结合B 选项分析，可知α与β为同一等腰三角形的顶角和底角，即可判断选项正误；D 选项，由题可得K 点为P 在平面BCDF 的射影轨迹与DC 交点，如图建立平面直角坐标系，表示出K 点坐标，即可判断选项正误.【详解】A 选项，注意到翻折过程中，点P 到D 点距离不变，则P 为以D 为顶点，DP 为母线的圆锥底面圆周上的点，即动点P 在圆弧上运动，故A 正确；B 选项，如图，作AH DF ⊥，连接PH ，则PH DF ⊥，因,,PH AH H PH AH =⊂ 平面PHA ，则DF ⊥平面PHA .作PI AH ⊥，又PI ⊂平面PHA ，则DF ⊥PI ，又AH DF H = ，,AH DF ⊂平面BCDF ，则PI ⊥平面BCDF .则在翻折过程中，动点P 在平面BCDF 的射影在过A 点且与DF 垂直的直线上，即动点P 在平面BCDF 的射影的轨迹为一段线段，故B 错误；C 选项，由B 选项分析可知，二面角P DF B --的平面角为PHA ∠，直线PA 与平面BCDF 所成角为PAH ∠，则可知α与β为同一等腰三角形的顶角和底角，则o 2180αβ+=.则当o 90α<时，2a b <，故C 错误；D 选项，结合B 选项分析，当平面PDC ⊥平面BCDF 时，点P 在线段DC 正上方.则K 点为P 在平面BCDF 的射影轨迹与DC 交点，即为DF 过A 点垂线与DC 交点.如图，建立以D 为原点的平面直角坐标系，则()()0,0,0,2D A .又由题设(),2F m ，其中24m <<，则2:DF l y x m=，因AK DF ⊥，则:22AK m l y x =-+，令440,0y x K m m ⎛⎫=⇒=⇒ ⎪⎝⎭，则()41,2DK m=∈，故D 正确.故选：AD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.正方体各面所在的平面将空间分成__________个部分.【答案】27【解析】【详解】分上、中、下三个部分，每个部分分空间为9个部分，共27部分14.某人有3把钥匙，其中2把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能打开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为__________.【答案】13【解析】【分析】分析试验过程，利用概率的乘法公式即可求出概率.【详解】记事件A ：第二次才能打开门.因为3把钥匙中有2把能打开门，而第一次没有打开，第二次必然能打开.所以()121323P A =⨯=.故答案为：13.15.如图，两条异面直线,a b 所成的角为π3，在直线,a b 上分别取点,A E '和点,A F ，使AA a '⊥，且AA b'⊥（AA '称为异面直线,a b 的公垂线）．已知，1,2A E AF ='=，5EF =，则公垂线AA '=__________．【答案】或【解析】【分析】如图，构造符合题意的直三棱锥，结合题意及余弦定理可得答案.【详解】如图构造一直三棱锥，使π3EA H GAF '∠=∠=，则由题有：1AG A E '==.在GAF 中，由余弦定理，可得GF ==，则EG AA '===；如图构造一直三棱锥，使2π3EA H GAF '∠=∠=，则由题有：1AG A E '==.在GAF 中，由余弦定理，可得222π2cos 73GF AG AF AG GF =+-⋅⋅=，则2232EG AA EF GF '==-=.22或32.16.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它所有棱的长都为2，则该该二十四等边体的外接球的表面积为__________．【答案】16π【解析】【分析】利用正方体的性质，结合球的表面积公式进行求解即可.【详解】把该几何体放在正方体中，设正方体的棱长为a ，显然面对角线为2a ，因为该几何体的所有棱的长都为2，所以122222a a ⨯=⇒=，显然22=PC ，22AC =，所以22884PA PC AC =+=+=，设该该二十四等边体的外接球的半径为r ，则122r PA ==所以该该二十四等边体的外接球的表面积为24π16πr =，故答案为：16π【点睛】关键点睛：本题的关键是把该几何体放在正方体中，利用正方体的性质进行求解.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.2023年8月8日，世界大学生运动会在成都成功举行闭幕式.某校抽取100名学生进行了大运会知识竞赛并纪录得分（满分：100分），根据得分将他们的成绩分成[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100六组，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求图中a 的值；（2）估计这100人竞赛成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）及中位数．【答案】（1）0.015a =（2）72，2203【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的性质计算即可；（2）利用频率分布直方图求平均数及中位数的公式计算即可.【小问1详解】由题意知：()0.0050.0200.0300.0250.005101a +++++⨯=，即0.0850.1,0.015a a +==．【小问2详解】由频率分布直方图可知：平均数为：450.05550.15650.20750.30850.25950.0572⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=前3组的频率为0.050.150.20.4++=，所以中位数为0.50.4102207010700.333-+⨯=+=．18.用向量的方法证明：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.（三垂线定理的逆定理）【答案】证明见解析.【解析】【分析】先把定理用符号语言表示，然后利用向量的数量积为0证明垂直即可.【详解】已知：如图，PO ，PA 分别是平面α的垂线、斜线，OA 是PA 在平面α上的射影，a α⊂，且a AP ⊥.求证：a OA ⊥.证明：如图示，取直线a 的方向向量a，同时取AP ，PO .l a ⊥ ，0AP α∴⋅= 又PO α⊥ 且a α⊂ PO a ∴⊥ ，0PO a ∴= =()=0AO a AP PO a AP a PO a ∴⋅+⋅⋅+⋅= AO a∴⊥ 即证.19.一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.（1）求第二次取到红球的概率；（2）求两次取到的球颜色相同的概率；（3）如果袋中装的是4个红球，n 个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为25，那么n 是多少？【答案】（1）25（2）715（3）2n =【解析】【分析】（1）先求出从10个球中不放回地随机取出2个的不同取法数，再求出第二次取到红球的不同取法数，然后求概率即可；（2）结合（1）求解即可；（3）由取出的2个球都是红球的概率求出基本事件的个数，然后再求解即可.【小问1详解】从10个球中不放回地随机取出2个共有10990⨯=（种）可能，即()90n Ω=，设事件A =“两次取出的都是红球”，则()4312n A =⨯=，设事件B =“第一次取出红球，第二次取出绿球”，则()4624n B =⨯=，设事件C =“第一次取出绿球，第二次取出红球”，则()6424n C =⨯=，设事件D =“两次取出的都是绿球”，则()6530n D =⨯=，因为事件,,,A B C D 两两互斥，所以P （第二次取到红球）()12242905P A C +=== .【小问2详解】由（1）得，P （两次取到的球颜色相同）()123079015P A D +=== ；【小问3详解】结合（1）中事件，可得()4312n A =⨯=，()()()43n n n Ω=++，因为()()()25n A P A n ==Ω，所以()()55123022n n A Ω=⨯=⨯=，即()()4330n n ++=，解得2n =（负值舍去），故2n =.20.如图，正四面体1234A A A A ，（1）找出依次排列的四个相互平行的平面1α，2α，3α，4α，使得()1,2,3,4i i A i α∈=，且其中每相邻两个平面间的距离都相等．请在答卷上作出满足题意的四个平面，并简要说明并证明作图过程；（2）若满足（1）的平面1α，2α，3α，4α中，每相邻两个平面间的距离都为1，求该正四面体1234A A A A 的体积．【答案】（1）答案见详解（2【解析】【分析】（1）根据题意要作出相互平行且相邻距离相等的平面，所以先作直线平行，且取等分点，例如可取41A A 的三等分点2P ，3P ，13A A 的中点M ，24A A 的中点N ，则有223//A P NP ，332//A P MP ，从而可得面面平行；（2）解法一：设正四面体的棱长为a ，根据题意建立合适的建立空间直角坐标系，再利用空间向量等得到点4A 到平面33A P N 的距离，从而求得a 的值，进而即可求得正四面体1234AA A A 的体积；解法二：先将正四面体补形为正方体，结合条件确定正方体的棱长，即可求得正四面体1234A A A A 的体积．【小问1详解】如图所示，取41A A 的三等分点2P ，3P ，13A A 的中点M ，24A A 的中点N ，过三点2A ，2P ，M 作平面2α，过三点3A ，3P ，N 作平面3α，因为223A P NP ，332A P MP ，所以平面23αα∥，再过点1A ，4A 分别作平面1α，4α与平面2α平行，那么四个平面1α，2α，3α，4α依次相互平行，由线段41A A 被平行平面1α，2α，3α，4α截得的线段相等知，其中每相邻两个平面间的距离相等，故1α，2α，3α，4α为所求平面．（注：也可将正四面体放入正方体内说明）【小问2详解】解法一：设正四面体的棱长为a ，结合（1）有24A A 的中点N ，再取23A A 的中点Q ，连接4A Q 交3A N 于O ，则由等边三角形的性质可知O 为234A A A △的中心，且4:2:1A O OQ =，则以O 为坐标原点，以平行于直线23A A 且过点O 的直线为x 轴，直线4A O 为y 轴，直线1OA 为z 轴建立空间直角坐标系，则13A a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2,026a A a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3,026a A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，40,,03A a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，令2P ，3P 为41A A 的三等分点，N 为24A A的中点，30,,99P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,,0412a N a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以3,,4369a P N a a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，33,,044NA a a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，41,,044A N a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭．设平面33A P N 的法向量(),,n x y z = ，则有3300n P N n NA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即9030x x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，取1x =，则y =，z =(1,n = ．又1α，2α，3α，4α相邻平面之间的距离为1，所以点4A 到平面33A P N1=，解得a =．由此可得，边长为的正四面体1234A A AA 满足条件．所以所求正四面体的体积2311362334312V Sh a a a ==⨯⨯==解法二：放入正方体，转化为平几问题．如图，将此正四面体补形为正方体1111ABCD A B C D -，分别取AB ，CD ，11A B ，11C D 的中点E ，F ，1E ，1F ，平面11DEE D 与11BFF B 是分别过点2A ，3A 的两平行平面，若其距离为1，则正四面体1234A A A A 满足条件，右图为正方体的下底面，设正方体的棱长为a ，若1AM MN ==，因为12AE a =，2DE a =，在直角三角形ADE 中，AM DE ⊥，所以51122a a a ⋅=⋅，所以a =，=，所以此正四面体的体积为3311432V a a =-⋅⋅=．21.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，,AD BC AD AB ⊥∥，侧面PAB ⊥底面1,22ABCD PA PB AD BC ====，且,E F 分别为,PC CD 的中点．（1）证明：//DE 平面PAB ；（2）若直线PF 与平面PAB 所成的角为60︒，求平面PAB 与平面PCD 的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】【分析】（1）取PB 中点M ，连接,AM EM ，通过证明四边形ADEM 为平行四边形，即可证明结论；（2）由直线PF 与平面PAB 所成的角为60︒，可得,,,,GF PG AG BG AB ，建立以G 为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.【小问1详解】证明：取PB 中点M ，连接,AM EM ，E 为PC 的中点，1,2ME BC ME BC ∴=∥，又1,2AD BC AD BC = ∥，,ME AD ME AD ∴=∥，∴四边形ADEM 为平行四边形：DE AM ∴∥，DE ⊄ 平面,PAB AM ⊂平面PAB ，DE ∴ 平面PAB ；【小问2详解】平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB BC =⊂平面ABCD ，,BC AB BC ⊥∴⊥平面PAB ，取AB 中点G ，连接FG ，则,FG BC FG ∴⊥∥平面PAB ，()160,32GPF GF AD BC ∴∠=︒=+=，3tan60,PG PG∴︒=∴=2,1,2PA PB AG GB AB ==∴===，如图以G 为坐标原点，GB 为x 轴，GF 为y 轴，GP 为z轴建立空间直角坐标系，(()(),1,4,0,1,2,0P C D ∴-，(()1,4,2,2,0PC CD ∴=-=-- ，设平面PCD 的一个法向量，()1,,n x y z = ，则1140220n PC x y n CD x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，取1y =，则(1n =- ，平面PAB 的一个法向量可取()20,1,0n =u u r ，设平面PAB 与平面PCD 所成的夹角为θ，1212cos 5n n n n θ⋅∴=== ,平面PAB 与平面PCD所成的夹角的余弦为522.如图，在八面体PABCDQ 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，平面//PAD 平面QBC ，二面角P AB C --与二面角Q CD A --的大小都是30︒，3AP CQ ==，PD AB ⊥．（1）证明：平面//PCD 平面QAB ；（2）设G 为QBC △的重心，是否在棱PA 上存在点S ，使得SG 与平面ABCD 所成角的正弦值为3020，若存在，求S 到平面ABCD 的距离，若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，36【解析】【分析】（1）依题意可得AB ⊥平面PAD ，再由面面平行及//AB CD ，可得CD ⊥平面QBC ，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明//PC AQ ，即可得到//PC 平面QAB ，再证明//CD 平面QAB ，即可得证；（2）设点()0,33S m m ，其中102m <<，利用空间向量法得到方程，求出m 的值，即可得解.【小问1详解】因为ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥，又PD AB ⊥，AD PD D =I ，,AD PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，所以PAD ∠为二面角P AB C --的平面角，即30PAD ∠=︒，又平面//PAD 平面QBC ，//AB CD ，所以CD ⊥平面QBC ，即QCB ∠为二面角Q CD A --的平面角，即30QCB ∠=︒，如图建立空间直角坐标系，则()2,0,0B ，()2,2,0C，30,,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，12,,22Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以12,,22PC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，12,,22AQ ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，即PC AQ = ，所以//PC AQ ，因为PC ⊄平面QAB ，AC ⊂平面QAB ，所以//PC 平面QAB ，又//AB CD ，CD ⊄平面QAB ，AB ⊂平面QAB ，所以//CD 平面QAB ，因为PC CD C ⋂=，,PC CD ⊂平面PCD ，所以平面//PCD 平面QAB .【小问2详解】由点S 在AP上，设点()0,3S m ，其中102m <<，点52,,66G ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以52,366GS m ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，平面ABCD 的法向量可以为()0,0,1n = ，设SG 与平面ABCD 所成角为θ，则30sin 20GS n GS n θ+⋅==⋅ ，即2221534043666m m⎛⎫⎛⎫+=+-++⎪⎝⎭⎝⎭⎭，化简得28452110m m+-=，解得16m=或1114m=-（舍去），所以存在点10,,26S⎛⎫⎪⎪⎝⎭满足条件，且点S到平面ABCD的距离为6.。

高二上数学月考（一）（答案在最后）一､单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）32211834297864540732524206443812234356773578905642 84421253313457860736253007328623457889072368960804 32567808436789535577348994837522535578324577892345A.623B.328C.072D.457【答案】A【解析】【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到650内的数，重复的只取一次即可【详解】从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，第四个是007，第五个是328，第六个数是623，，故A正确.故选：A.2.某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第二次被抽到的可能性为b，则（）A.19b= B.29b= C.310b= D.110b=【答案】D【解析】【分析】根据题意，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等即可求解.【详解】因为总体中共有10个个体，所以五班第一次没被抽到，第二次被抽到的可能性为91110910b=⨯=.故选：D.3.已知向量1,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，122BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则ABC ∠=（）A.30°B.150°C.60°D.120°【答案】B 【解析】【分析】根据向量夹角的坐标表示求出向量夹角，进而求解几何角.【详解】因为向量13,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，31,22BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以13312222cos ,2AB BC AB BC AB BC⎛⎫⎛⎫⨯+-⨯- ⎪ ⎪⋅==⋅，又0,180AB BC ≤≤，所以,30AB BC =，所以,18030150BA BC =-= ，所以150ABC ∠=o .故选：B.4.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A.若//a b ，,b a αα⊂⊄，则//a αB.若,a b αα⊥⊥，则//a bC.若,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，则a β⊥D.若,a b 为异面直线，,a b αβ⊂⊂，//a β，//b α，则//αβ【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理判断A ，根据线面垂直的性质判断B ，当a α⊄时即可判断C ，根据异面直线的定义及线面平行的性质定理判断D.【详解】对于A ：若//a b ，,b a αα⊂⊄，根据线面平行的判定定理可知//a α，故A 正确；对于B ：若,a b αα⊥⊥，则//a b ，故B 正确；对于C ：当a α⊂时，,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，由面面垂直的性质定理可得a β⊥，当a α⊄时，,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，则//a β或a β⊂或a 与β相交，故C 错误；对于D ：因为a α⊂，//b α，所以存在b α'⊂使得//b b '，又b β⊂，b β'⊄，所以//b β'，又//a β且,a b 为异面直线，所以平面α内的两直线b '、a 必相交，所以//αβ，故D 正确.故选：C5.下列说法正确的是（）A.互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B.若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件C.从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为25D.事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率不一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大【答案】D 【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件和古典概型及其计算逐一判定即可．【详解】对于A ，由互斥事件和对立事件的关系可判断，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A 错误;对于B ，由()()1P A P B +=，并不能得出A 与B 是对立事件，举例说明：现从a ，b ，c ，d 四个小球中选取一个小球，已知选中每个小球的概率是相同的，设事件A 表示选中a 球或b 球，则1()2P A =，事件B 表示选中b 球或c 球，则1()2P B =，所以()()1P A P B +=，但A ，B 不是对立事件，故B 错误;对于C ，该试验的样本空间可表示为：{(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9)(5,7,9)}Ω=，共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)，共3个，故所求概率310P =，故C 错误;对于D ，若A ，B 是互斥事件，事件A ，B 中至少有一个发生的概率等于A ，B 中恰有一个发生的概率，故D 正确．故选：D.6.一组数据：53，57，45，61，79，49，x ，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x =（）．A.58或64B.58C.59或64D.59【答案】A 【解析】【分析】先对数据从小到大排序，分57x ≤，79x ≥，5779x <<三种情况，舍去不合要求的情况，列出方程，求出答案,【详解】将已知的6个数从小到大排序为45，49，53，57，61，79．若57x ≤，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，他们的差为4，不符合条件；若79x ≥，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，它们的差为18，不符合条件；若5779x <<，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x 和61（或61和x ），则613x -=，解得58x =或64x =故选：A7.如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面,,2ABCD FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥,,E ACD F ABC F ACE ---的体积分别为123,,V V V ，则（）A.322V V =B.31V V =C.3123V V V =-D.3123V V =【答案】D 【解析】【分析】结合线面垂直的性质，确定相应三棱锥的高，求出123,,V V V 的值，结合选项，即可判断出答案.【详解】连接BD 交AC 于O ，连接,OE OF ，设22AB ED FB ===，由于ED ⊥平面,ABCD FB ED ∥，则FB ⊥平面ABCD ,则1211141112222,22133233323ACD ABC V S ED V S FB =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ；ED ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，故ED AC ⊥，又四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，而,,ED BD D ED BD =⊂ 平面BDEF ，故AC ⊥平面BDEF ，OF ⊂平面BDEF ，故AC OF ⊥，又ED ⊥平面ABCD ，FB ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，故,ED BD FB BD ⊥⊥，222222,26,3,BD OD OB OE OD ED OF OB BF =∴===+==+=而()223EF BD ED FB =+-=，所以222EF OF OE +=，即得OE OF ⊥，而,,OE AC O OE AC =⊂ 平面ACE ，故OF ⊥平面ACE ，又22222AC AE CE ===+=，故(2231131323233434F ACE V V ACE S OF AC OF =-=⋅=⨯⋅=⨯= ，故323131231,2,,233V V V V V V V V V ≠≠≠-=，故ABC 错误，D 正确，故选：D8.已知平面向量a ，b ，e ，且1e = ，2a = .已知向量b 与e所成的角为60°，且b te b e -≥- 对任意实数t 恒成立，则12a e ab ++-的最小值为（）A.31+ B.23C.35 D.25【答案】B【解析】【分析】b te b e -≥-对任意实数t 恒成立，两边平方，转化为二次函数的恒成立问题，用判别式来解，算出||2b =r ，借助2a =，得到122a e a e +=+ ，12a e a b ++- 的最小值转化为11222a e a b++- 的最小值，最后用绝对值的三角不等式来解即可【详解】根据题意，1cos 602b e b e b ⋅=⋅︒=，b te b e -≥- ，两边平方22222||2||2b t e tb e b e b e +-⋅≥+-⋅ ，整理得到210t b t b --+≥ ，对任意实数t 恒成立，则()2Δ||410b b =--+≤ ，解得2(2)0b -≤ ，则||2b =r .由于2a =，如上图，122a e a e +=+ ，则111112(2)()22222a e a b a e a b a e a b ++-=++-≥+--222843e b e b b e =+=++⋅12a e ab ++- 的最小值为23当且仅当12,,2e b a -终点在同一直线上时取等号.故选：B ．二､多项选择题.本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（）A.丁险种参保人数超过五成B.41岁以上参保人数超过总参保人数的五成C.18－29周岁人群参保的总费用最少D.人均参保费用不超过5000元【答案】ACD 【解析】【分析】根据统计图表逐个选项进行验证即可.【详解】由参保险种比例图可知，丁险种参保人数比例10.020.040.10.30.54----=，故A 正确;由参保人数比例图可知，41岁以上参保人数超过总参保人数的45%不到五成，B 错误;由不同年龄段人均参保费用图可知，1829~周岁人群人均参保费用最少()3000,4000，但是这类人所占比例为15%，54周岁以上参保人数最少比例为10%，54周岁以上人群人均参保费用6000,所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C 正确．由不同年龄段人均参保费用图可知，人均参保费用不超过5000元,故D 正确;故选：ACD ．10.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”过去10日，甲､乙､丙､丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2；丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3.则甲､乙､丙､丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的有（）A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地【答案】AD 【解析】【分析】假设最多一天疑似病例超过7人，根据极差可判断AD ；根据平均数可算出10天疑似病例总人数，可判断BC ．【详解】解：假设甲地最多一天疑似病例超过7人，甲地中位数为2，说明有一天疑似病例小于2，极差会超过5，∴甲地每天疑似病例不会超过7，∴选A ．根据乙、丙两地疑似病例平均数可算出10天疑似病例总人数，可推断最多一天疑似病例可能超过7人，由此不能断定一定没有发生大规模群体感染，∴不选BC ；假设丁地最多一天疑似病例超过7人，丁地总体平均数为2，说明极差会超过3，∴丁地每天疑似病例不会超过7，∴选D ．故选：AD ．11.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体．如图所示，设正四面体ABCD 的棱长为2，则下列说法正确的是（）A.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为22-B.勒洛四面体被平面ABC 截得的截面面积是(2π-C.勒洛四面体表面上交线AC 的长度为2π3D.勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项：求出正四面体ABCD 的外接球半径，进而得到勒洛四面体的内切球半径，得到答案；B 选项，作出截面图形，求出截面面积；C 选项，根据对称性得到交线AC 所在圆的圆心和半径，求出长度；D 选项，作出正四面体对棱中点连线，在C 选项的基础上求出长度.【详解】A 选项，先求解出正四面体ABCD 的外接球，如图所示：取CD 的中点G ，连接,BG AG ，过点A 作AF BG ⊥于点F ，则F 为等边ABC V 的中心，外接球球心为O ，连接OB ，则,OA OB 为外接球半径，设OA OB R ==，由正四面体的棱长为2，则1CG DG ==，BG AG ==133FG BG ==，233BF BG ==3AF ===，3OF AF R R =-=-，由勾股定理得：222OF BF OB +=，即22233R R ⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：2R =，此时我们再次完整的抽取部分勒洛四面体，如图所示：图中取正四面体ABCD 中心为O ，连接BO 交平面ACD 于点E ，交 AD 于点F ，其中 AD 与ABD △共面，其中BO 即为正四面体外接球半径2R =，设勒洛四面体内切球半径为r ，则22r OF BF BO ==-=-，故A 正确；B 选项，勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，如图所示：面积为(2221π333322222344⎛⎫⨯⨯⨯-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎭⎝，B 正确；C 选项，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线AC 所在圆的圆心为BD 的中点M ，故3MA MC ==2AC =，由余弦定理得：2221cos 23233AM MC AC AMC AM MC +-∠===⋅⨯⨯，故1arccos3AMC ∠=3AC 133，C 错误；D 选项，将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如图所示：连接GH ，交AB 于中点S ，交CD 于中点T ，连接AT ，则22312ST AT AS =-=-=则由C 选项的分析知：3TG SH ==，所以323322GH =+=，故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于2，D 正确.故选：ABD.【点睛】结论点睛：勒洛四面体考试中经常考查，下面是一些它的性质：①勒洛四面体上两点间的最大距离比四面体的棱长大，是对棱弧中点连线，最大长度为232a a ⎫->⎪⎪⎭，②表面6个弧长之和不是6个圆心角为60︒的扇形弧长之和，其圆心角为1arccos 3，半径为32a .三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，样本中的A 型号产品有15件，那么样本容量n 为________．【答案】70【解析】【分析】利用分层抽样的定义得到方程，求出70n =.【详解】由题意得315347n=++，解得70n =.故答案为：7013.平面四边形ABCD 中，AB =AD =CD =1，BD =BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′﹣BCD 顶点在同一个球面上，则该球的表面积_____.【答案】3π【解析】【分析】根据BD ⊥CD ，BA ⊥AC ，BC 的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积.【详解】因为平面A′BD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，所以CD ⊥平面ABD ，∴CD ⊥BA ，又BA ⊥AD ，∴BA ⊥面ADC ，所以BA ⊥AC ，所以△BCD 和△ABC 都是直角三角形，由题意，四面体A ﹣BCD 顶点在同一个球面上，所以BC 的中点就是球心，所以BC =2所以球的表面积为：242π⋅=3π.故答案为：3π.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和球的外接问题，还考查空间想象和运算求解的能力，属于中档题.14.若一组样本数据12,,n x x x 的平均数为10，另一组样本数据1224,24,,24n x x x +++ 的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的方差是__________.【答案】54【解析】【分析】计算出1n ii x =∑、21nii x=∑的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的方差.【详解】由题意可知，数据12,n x x x 的平均数为10，所以12)101(n x x x x n =+++= ，则110ni i x n ==∑，所以数据1224,24,,24n x x x +++ 的平均数为121(242424)210424n x x x x n'=++++++=⨯+= ，方差为()(()222221111444[24241010n n n i i i i i i s x x x x n n n n n ===⎤⎡⎤=+-+=-=-⨯⨯⎦⎣⎦∑∑∑2144008n i i x n ==-=∑，所以21102nii xn ==∑，将两组数据合并后，得到新数据1212,24,24,,24,n n x x x x x x +++ ，，则其平均数为11114)4)11113]4)[(2(3(222n i nn n i i i i i i i x x x x x n n n ====''=+=⨯+=⨯++∑∑∑∑()13104172=⨯⨯+=，方差为()()2222111111172417(586458)22n n n ni i i i i i i i s x x x x n n n ====⎡⎤=-++-=-+⎢⎥⎣⎦'∑∑∑∑1(51028610458)542n n n n=⨯-⨯+=.故答案为：54.四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.袋中有形状、大小都相同的4个小球，标号分别为1,2,3,4.（1）从袋中一次随机摸出2个球，求标号和为奇数的概率;（2）从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次.甲、乙约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平?说明你的理由.【答案】（1）23（2）是公平的，理由见解析【解析】【分析】（1）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式即可求解;（2）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式及概率进行比较即可求解.【小问1详解】试验的样本空间{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}Ω=，共6个样本点，设标号和为奇数为事件B ，则B 包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4个，所以42().63P B ==【小问2详解】试验的样本空间Ω{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}=，共有16个，设标号和为奇数为事件C ，事件C 包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)，共8个,故所求概率为81()162P C ==,即甲胜的概率为12，则乙胜的概率为12,所以甲、乙获胜的概率是公平的.16.（1）请利用已经学过的方差公式：()2211ni i s x xn ==-∑来证明方差第二公式22211n i i s x x n ==-∑；（2）如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B 相互独立吗？请给予证明.【答案】（1）证明见解析；（2）独立，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，对方差公式恒等变形，分析可得结论；（2）根据相互独立事件的定义，只需证明()()()P AB P A P B =即可.【详解】（1）()()()()2222212111n i n i s x xx x x x x x n n =⎡⎤=-=-+-++-⎢⎥⎣⎦∑ ()()2222121212n n x x x x x x x nx n ⎡⎤=+++-+++⎢⎥⎣⎦ ()22221212n x x x x nx nx n ⎡⎤=+++-⨯+⎢⎥⎣⎦ ()222121n x x x nx n ⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦ 2211n i i x x n ==-∑；（2）因为事件A 与B 相互独立，所以()()()P AB P A P B =，因为()()()P AB P AB P A +=，所以()()()()()()P AB P A P AB P A P A P B =-=-()()()()()1P A P B P A P B =-=，所以事件A 与B 相互独立.17.如图，四棱锥P ABCD -的侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 为矩形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为AB ，AD 的中点，二面角D PN C --的正切值为2.（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）证明：DM PC⊥（3）求直线PM 与平面PNC 所成角的正弦值.【答案】（1）3（2）证明见解析（3）35【解析】【分析】（1）先证明DNC ∠为二面角D PN C --的平面角，可得底面ABCD 为正方形，利用锥体的体积公式计算即可；（2）利用线面垂直的判定定理证明DM ⊥平面PNC ，即可证明DM PC ⊥；（3）由DM⊥平面PNC 可得MPO ∠为直线PM 与平面PNC 所成的角，计算其正弦值即可.【小问1详解】解：∵PAD △是边长为2的正三角形，N 为AD 中点，∴PN AD ^，PN =又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =∴PN ^平面ABCD又NC ⊂平面ABCD ，∴PN NC ⊥∴DNC ∠为二面角D PN C --的平面角，∴tan 2DC DNC DN∠==又1DN =，∴2DC =∴底面ABCD 为正方形.∴四棱P ABCD -的体积12233V =⨯⨯=.【小问2详解】证明：由（1）知，PN ^平面ABCD ，DM ⊂平面ABCD ，∴PN DM⊥在正方形ABCD 中，易知DAM CDN ≌△△∴ADM DCN ∠=∠而90ADM MDC ∠+∠=︒，∴90DCN MDC ∠+∠=︒∴DM CN ⊥∵PN CN N = ，∴DM ⊥平面PNC∵PC ⊂平面PNC ，∴DM PC ⊥.【小问3详解】设DM CN O ⋂=，连接PO ，MN .∵DM⊥平面PNC .∴MPO ∠为直线PM 与平面PNC 所成的角∵2,1AD AM ==，∴DM =5DO ==∴55MO ==又MN =PM ==∴35sin 5MO MPO PM ∠===∴直线PM 与平面PNC 所成角的正弦值为35.18.某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价，为了深入了解该市第二档居民用户的用电情况，该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法，从该市所辖A ，B ，C 三个区域的第二档居民用户中按2：2：1的比例分配抽取了100户后，统计其去年一年的月均用电量（单位：kW h ⋅），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），频率分布直方图如下图所示.（1）求m 的值；（2）若去年小明家的月均用电量为234kW h ⋅，小明估计自己家的月均用电量超出了该市第二档用户中85%的用户，请判断小明的估计是否正确？（3）通过进一步计算抽样的样本数据，得到A 区样本数据的均值为213，方差为24.2；B 区样本数据的均值为223，方差为12.3；C 区样本数据的均值为233，方差为38.5，试估计该市去年第二档居民用户月均用电量的方差.（需先推导总样本方差计算公式，再利用数据计算）【答案】（1）0.016m =（2）不正确（3）78.26【解析】【分析】（1）利用频率和为1列式即可得解；（2）求出85%分位数后判断即可；（3）利用方差公式推导总样本方差计算公式，从而得解.【小问1详解】根据频率和为1，可知()0.0090.0220.0250.028101m ++++⨯=，可得0.016m =.【小问2详解】由题意，需要确定月均用电量的85%分位数，因为()0.0280.0220.025100.75++⨯=，()0.0280.0220.0250.016100.91+++⨯=，所以85%分位数位于[)230,240内，从而85%分位数为0.850.7523010236.252340.910.75-+⨯=>-.所以小明的估计不正确.【小问3详解】由题意，A 区的样本数为1000.440⨯=，样本记为1x ，2x ，L ，40x ，平均数记为x ；B 区的样本数1000.440⨯=，样本记为1y ，2y ，L ，40y ，平均数记为y ；C 区样本数为1000.220⨯=，样本记为1z ，2z ，L ，20z ，平均数记为z .记抽取的样本均值为ω，0.42130.42230.2233221ω=⨯+⨯+⨯=.设该市第二档用户的月均用电量方差为2s ，则根据方差定义，总体样本方差为()()()40402022221111100i j k i i i s x y z ωωω===⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑()()()4040202221111100i j k i i i x x x y y y z z z ωωω===⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑因为()4010ii x x =-=∑，所以()()()()404011220iii i x x x x x x ωω==--=--=∑∑，同理()()()()404011220jji i yyy y yy ωω==--=--=∑∑，()()()()202011220kki i zz z z zz ωω==--=--=∑∑，因此()()()()4040404022222111111100100i j i i i i s x x x y y y ωω====⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑()()202022111100k i i z z z ω==⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑，代入数据得()()222114024.2402132214012.340223221100100s ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦=⨯+⨯-+⨯-⎣+⨯()212038.32023322178.26100⎡⎤+⨯+⨯-=⎣⎦.19.在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B ，C ，D 三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的A ，B ，C ，D 四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是13，每场比赛的结果相互独立.（1）求A 球队在小组赛的3场比赛中只积3分的概率；（2）已知在已结束的小组赛的3场比赛中，A 球队胜2场，负1场，求A 球队最终小组出线的概率.【答案】（1）427（2）7981【解析】【分析】（1）分类讨论只积3分的可能情况，结合独立事件概率乘法公式运算求解；（2）由题意，若A 球队参与的3场比赛中胜2场，负1场，根据获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，分情况讨论结合独立事件概率乘法公式运算求解.【小问1详解】A 球队在小组赛的3场比赛中只积3分，有两种情况.第一种情况：A 球队在3场比赛中都是平局，其概率为111133327⨯⨯=.第二种情况：A球队在3场比赛中胜1场，负2场，其概率为11113 3339⨯⨯⨯=.故所求概率为114 27927+=.【小问2详解】不妨假设A球队参与的3场比赛的结果为A与B比赛，B胜；A与C比赛，A胜；A与D比赛，A胜.此情况下，A积6分，B积3分，C，D各积0分.在剩下的3场比赛中：若C与D比赛平局，则C，D每队最多只能加4分，此时C，D的积分都低于A的积分，A可以出线；若B与C比赛平局，后面2场比赛的结果无论如何，都有两队的积分低于A，A可以出线；若B与D比赛平局，同理可得A可以出线.故当剩下的3场比赛中有平局时，A一定可以出线.若剩下的3场比赛中没有平局，则当B，C，D各赢1场比赛时，A可以出线.当B，C，D中有一支队伍胜2场时，若C胜2场，B胜1场，A，B，C争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=；若D胜2场，B胜1场，A，B，D争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=.其他情况A均可以出线.综上，A球队最终小组出线的概率为1179 1818181⎛⎫-+=⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：解题的关键在于分类讨论获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，讨论要恰当划分，做到不重不漏，从而即可顺利得解.。

2019-2020学年四川省成都市某校高二（上）10月测验数学（文）试卷一、选择题1. 已知点A(0, 1, 2)，B(2, 3, 4)，|AB|=()A.2√3B.3√2C.√56D.122. 下列命题是真命题的是()A.“若x=2，则(x−2)(x−1)=0”B.“若x=0，则xy=0”的否命题C.“若x=0，则xy=0”的逆命题D.“若x>1，则x>2”的逆否命题3. 若A(4, −7, 1)，B(6, 2, z)，|AB|=11，则z=()A.−5B.7C.6D.−5或74. 直线x−√3y+1=0的倾斜角为()A.2π3B.5π6C.π3D.π65. 已知集合A={x|log2x≤1}, B={x|1x>1}，则A∩(∁R B)=()A.(−∞，2]B.(0,1]C.[1,2]D.(2，+∞)6. “a+b>2”的一个充分条件是()A.a>1或b>1B.a>1且b<1C.a>1且b>1D.a>1或b<17. 在△ABC中,角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=5，b=3，A=2π3，则sin Asin C=()A.7 5B.57C.37D.738. 已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m // α，n⊥β，则( )A.m // lB.m // nC.n⊥lD.m⊥n9. 数列{√n+1+√n}的前2017项的和为()A.√2018+1B.√2018−1C.√2017+1D. √2017−110. 已知△ABC的顶点分别是A(3, 1, 1)，B(−5, 2, 1)，C(−83, 2, 3)，则它在yOz平面上射影的面积是()A.4B.3C.2D.111. 圆x2+y2−2x−5=0与圆x2+y2+2x−4y−4=0的交点为A，B，则线段AB 的垂直平分线的方程是()A.x+y−1=0B.2x−y+1=0C.x−2y+1=0D.x−y+1=012. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，则直线OA1与平面ADD1A1所成角的余弦值为()A.√66B.√55C.√33D.√306二、填空题当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时，直线y=(k−1)x+2的倾斜角α=________.设M(−5, 0)，N(5, 0)，△MNP的周长是36，则△MNP的顶点P的轨迹方程为________．已知等比数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，若a2=2，a5+a6=6a4，则a5=________.下列四种说法：①命题“∃x∈R，使得x2+1>3x”的否定是“∀x∈R，都有x2+1≤3x”；②设p，q是简单命题，若“p∨q”为假命题，则“¬p∧¬q”为真命题；③若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的必要不充分条件；④把函数y=sin(−2x)(x∈R)的图象上所有的点向右平移π8个单位即可得到函数y=sin(−2x+π4)(x∈R)的图象．其中所有正确说法的序号是________．三、解答题已知直线l1:ax+3y+1=0，l2:x+(a−2)y+a=0．(1)若l1⊥l2，求实数a的值；(2)若l1 // l2，求实数a的值．已知p：关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根；q：关于x的方程4x2+ 4(m−2)x+1=0无实根．若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S5=35，且a1,a4,a13构成公比不等于1的等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=1S n，求数列{b n}的前n项和T n．已知函数f(x)=√3(sin2x−cos2x)+2sin x cos x．(1)求f(x)的最小正周期；(2)设x∈[−π3，π3]，求f(x)的值域.已知点M(3，3)，圆C:(x−1)2+(y−2)2=4．(1)求过点M且与圆C相切的直线方程；(2)若直线ax−y+4=0(a∈R)与圆C相交于A，B两点，且弦AB的长为2√3，求实数a 的值．如图，在三棱锥S−ABC中，AC⊥BC,SA⊥BC,SC⊥AC.SC=6,M,N分别为线段AB,BC上的点，且CM=MN=2√2,BC=3BN=6.(1)证明：MN⊥SM；(2)若AC=3，求三棱锥S−ABC的体积.参考答案与试题解析2019-2020学年四川省成都市某校高二（上）10月测验数学（文）试卷一、选择题1.【答案】A【考点】空间两点间的距离公式【解析】利用空间两点间距离公式求解．【解答】解：∵点A(0, 1, 2)，B(2, 3, 4)，∴|AB|=√(2−0)2+(3−1)2+(4−2)2=2√3．故选A．2.【答案】A【考点】命题的真假判断与应用四种命题的真假关系【解析】利用函数的零点判断A的正误；通过命题的否命题，判断B的正误；判断命题的逆命题的真假判断C的正误；利用原命题的真假与逆否命题的真假相同判断D的正误；【解答】解：对于A，若x=2，则(x−2)(x−1)=0显然成立，A正确；对于B，“若x=0，则xy=0”的否命题是：“若x≠0，则xy≠0”，当y=0时，xy=0，∴B不正确；对于C，“若x=0，则xy=0”的逆命题：“若xy=0，则x=0”，也可能是y=0，∴C不正确；对于D，“若x>1，则x>2”的逆否命题，∵原命题与逆否命题有相同的真假性，原命题显然不正确，∴D不正确.故选A．3.【答案】D【考点】空间两点间的距离公式【解析】根据空间两点间的距离公式进行求解即可．【解答】解：由于|AB|=11，即√(6−4)2+[2−(−7)]2+(z−1)2=11，则(z−1)2=36，解得z=7或z=−5．故选D.4.【答案】D【考点】直线的倾斜角【解析】求出直线的斜率，由直线的倾斜角与斜率的关系，计算即可得到所求值．【解答】解：直线x−√3y+1=0的斜率为k=√3，3，设倾斜角为α，可得tanα=√33由0≤α<π，.可得α=π6故选D.5.【答案】C【考点】分式不等式的解法指、对数不等式的解法交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，A=(0,2]，B=(0,1)，∁R B=(−∞，0]∪[1，+∞)，则A∩(∁R B)=[1,2].故选C.6.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：对于A，a>1或b>1，不能保证a+b>2成立；对于B，a>1且b<1，不能保证a+b>2成立；对于C，a>1且b>1，由不等式的性质知，a+b>2，故C正确；对于D，a>1或b<1，不能保证a+b>2成立.故选C．7.【答案】A【考点】余弦定理正弦定理【解析】根据余弦定理求出a，然后用正弦定理即可求得【解答】解：在△ABC中，由余弦定理可得：a2=b2+c2−2bc cos A得a=7,由正弦定理:sin Asin C =ac=75.故选A.8.【答案】C【考点】直线与平面垂直的判定【解析】由已知条件推导出l⊂β，再由n⊥β，推导出n⊥l．【解答】解：∵平面α∩β=l，∴l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l．故选C.9.【答案】B【考点】数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：∵√n+1+√n=√n+1−√n，∴√2+√1√3+√2+⋯√2018+√2017=√2−√1+√3−√2+⋯+√2018−√2017=√2018−1，故选B.10.【答案】D【考点】直角三角形的射影定理空间两点间的距离公式【解析】先求出三个顶点在yOz平面上的射影分别，再由空间两点距离公式求出射影三角形三角长，由此能求出它在yOz平面上射影图形的面积．【解答】解：A(3, 1, 1)，B(−5, 2, 1)，C(−83, 2, 3)，三个顶点在yOz平面上的射影分别为A′(0, 1, 1)，B′=(0, 2, 1)，C′=(0, 2, 3)，则|A′B′|=1，|B′C′|=2，|A′C′|=√1+4=√5，即有△A′B′C′为直角三角形，A′C′为斜边，则面积为S=12×1×2=1．故选D．11.【答案】A【考点】圆的一般方程直线的两点式方程【解析】求出圆的圆心坐标，利用两个圆的方程公共弦的性质，求出满足题意的直线方程即可．【解答】解：因为两圆的圆心坐标分别为(1, 0)，(−1, 2)，那么过两圆圆心的直线为：y−0x−1=0−21+1，即：x+y−1=0，与公共弦垂直且平分．故选A．12.【答案】D【考点】直线与平面所成的角【解析】利用正方体的性质、线面垂直的性质及线面角的定义即可得出．【解答】解：取线段AD的中点M，连接OM，MA1，如图，由正方体的性质可得OM⊥平面ADD1A1，∴∠MA1O为直线OA1与平面ADD1A1所成的角．不妨令棱长AB=2，则OM=1，MA1=√22+12=√5，∴OA1=√(√5)2+12=√6．在Rt△OMA1，cos∠OA1M=MA1OA1=√5√6=√306．故选D．二、填空题【答案】3π4【考点】圆的一般方程直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知，圆的半径r=12√k2+4−4k2=12√4−3k2≤1．因为当半径r取最大值时，圆的面积最大，所以k=0，r=1，所以直线方程为y=−x+2．则有tanα=−1，又α∈[0,π)，故α=3π4．故答案为：3π4．【答案】x2 169+y2144=1(y≠0)【考点】轨迹方程【解析】此题暂无解析【解答】解：设P(x, y)(y≠0)，由M(−5, 0)，N(5, 0)知|MN|=10，|MP|=√(x+5)2+y2，|NP|=√(x−5)2+y2，因为△MNP的周长是36,所以√(x+5)2+y2+√(x−5)2+y2+10=36，所以√(x+5)2+y2+√(x−5)2+y2=26，所以(√(x+5)2+y2+√(x−5)2+y2)(√(x+5)2+y2−√(x−5)2+y2) =26(√(x+5)2+y2−√(x−5)2+y2)，20x=26(√(x+5)2+y2−√(x−5)2+y2)，所以√(x+5)2+y2−√(x−5)2+y2=1013x，因为√(x+5)2+y2+√(x−5)2+y2=26，所以2√(x+5)2+y2=1013x+26，所以√(x+5)2+y2=513x+13，所以(x+5)2+y2=25169x2+169+10x，所以x 2169+y2144=1(y≠0)，故答案为：x 2169+y2144=1(y≠0).【答案】16【考点】等比数列的通项公式【解析】本题主要考查等比数列的通项公式与前n项和公式等知识.【解答】解：由a6+a5=6a4，得a4(q2+q−6)=0，又a4≠0，所以q2+q−6=0，解得q=2或q=−3(舍去)，从而a5=a2×23=2×23=16．故答案为：16.【答案】①②③④【考点】全称命题与特称命题逻辑联结词“或”“且”“非”必要条件、充分条件与充要条件的判断函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用命题的否定判断①的正误；复合命题的真假判断②的正误；充要条件判断③的正误；三角函数图象的平移判断④的正误；【解答】解：对于①，命题“∃x∈R，使得x2+1>3x”的否定是“∀x∈R，都有x2+1≤3x”，满足命题的否定形式，所以①正确；对于②，设p，q是简单命题，若“p∨q”为假命题，说明两个命题都是假命题，命题的否定是真命题，则“¬p ∧¬q ”为真命题，所以②正确；对于③，若p 是q 的充分不必要条件，则¬p 是¬q 的必要不充分条件，满足充要条件的关系，所以③正确；对于④，把函数y =sin (−2x)(x ∈R )的图象上所有的点向右平移π8个单位即可得到函数y =sin (−2x +π4)(x ∈R )的图象，符合平移原则，所以④正确； 故答案为：①②③④．三、解答题【答案】解：(1)由l 1⊥l 2可得：a +3(a −2)=0，解得a =32；(2)由l 1 // l 2，可得a(a −2)−3=0且a 2−1≠0，解得a =3.【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】（1）由垂直可得a +3(a −2)=0，解之即可；（2）由平行可得a =3，进而可得直线方程，代入距离公式可得答案．【解答】解：(1)由l 1⊥l 2可得：a +3(a −2)=0，解得a =32； (2)由l 1 // l 2，可得a(a −2)−3=0且a 2−1≠0，解得a =3.【答案】解：若方程x 2+mx +1=0有两个不相等的负根，则{Δ=m 2−4>0，−m <0，解得m >2，即p ：m >2.若方程4x 2+4(m −2)x +1=0无实根，则Δ=16(m −2)2−16=16(m 2−4m +3)<0，解得1<m <3，即q ：1<m <3.因为p ∨q 为真，所以p ，q 至少有一个为真，又因为p ∧q 为假，所以p ，q 至少有一个为假，因此，p ，q 应一真一假，即p 为真，q 为假或p 为假，q 为真，所以{m >2，m ≤1或m ≥3或{m ≤2,1<m <3, 解得m ≥3或1<m ≤2.综上，m 的取值范围是{m|m ≥3或1<m ≤2}.【考点】逻辑联结词“或”“且”“非”二次函数的性质一元二次不等式的解法【解析】根据韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）我们可以求出命题p 和命题q 为真是参数m 的范围，根据p ∨q 为真，p ∧q 为假，则p ，q 一真一假，构造不等式组，即可求出满足条件的m 的取值范围．【解答】解：若方程x 2+mx +1=0有两个不相等的负根，则{Δ=m 2−4>0，−m <0，解得m >2，即p ：m >2.若方程4x 2+4(m −2)x +1=0无实根，则Δ=16(m −2)2−16=16(m 2−4m +3)<0，解得1<m <3，即q ：1<m <3.因为p ∨q 为真，所以p ，q 至少有一个为真，又因为p ∧q 为假，所以p ，q 至少有一个为假，因此，p ，q 应一真一假，即p 为真，q 为假或p 为假，q 为真，所以{m >2，m ≤1或m ≥3或{m ≤2,1<m <3, 解得m ≥3或1<m ≤2.综上，m 的取值范围是{m|m ≥3或1<m ≤2}.【答案】解：(1)∵ a 1,a 4,a 13构成公比不等于1的等比数列，∴ a 42=a 1⋅a 13，设数列{a n }的公差为d ，由题意得{5a 1+10d =35，(a 1+3d )2=a 1(a 1+12d )，解得{a 1=3，d =2，或{a 1=7,d =0, 当d =0时，a 1=a 4=a 13，数列a 1,a 4,a 13的公比为1，不合题意，舍去，∴ a 1=3,d =2，即a n =3+(n −1)×2=2n +1．故{a n }的通项公式a n =2n +1．(2)由(1)得S n=na1+n(n−1)2d=n(n+2)，∴b n=1n(n+2)=12(1n−1n+2)．∴T n=b1+b2+⋯+b n−1+b n=12[(1−13)+(12−14)+⋯+(1n−1−1n+1)+(1n−1n+2)]=12(1+12−1n+1−1n+2)=34−12(1n+1+1n+2)．【考点】等比中项数列的求和等差数列的通项公式【解析】本题考查等差数列．【解答】解：(1)∵a1,a4,a13构成公比不等于1的等比数列，∴a42=a1⋅a13，设数列{a n}的公差为d，由题意得{5a1+10d=35，(a1+3d)2=a1(a1+12d)，解得{a1=3，d=2，或{a1=7,d=0,当d=0时，a1=a4=a13，数列a1,a4,a13的公比为1，不合题意，舍去，∴a1=3,d=2，即a n=3+(n−1)×2=2n+1．故{a n}的通项公式a n=2n+1．(2)由(1)得S n=na1+n(n−1)2d=n(n+2)，∴b n=1n(n+2)=12(1n−1n+2)．∴T n=b1+b2+⋯+b n−1+b n=12[(1−13)+(12−14)+⋯+(1n−1−1n+1)+(1n−1n+2)]=12(1+12−1n+1−1n+2)=34−12(1n+1+1n+2)．【答案】解：(1)∵函数f(x)=√3(sin2x−cos2x)+2sin x cos x =−√3cos2x+sin2x=2sin(2x−π3)，∴f(x)的最小正周期为2π2=π．(2)∵x∈[−π3，π3]，∴2x−π3∈[−π, π3]，∴sin(2x−π3)∈[−1, √32]，∴2sin(2x−π3)∈[−2，√3]，即f(x)的值域为[−2, √3]．【考点】两角和与差的正弦公式正弦函数的定义域和值域三角函数的周期性及其求法【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得f(x)最小正周期．（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f(x)的值域，再利用正弦函数的单调性，求得f(x)的增区间．【解答】解：(1)∵函数f(x)=√3(sin2x−cos2x)+2sin x cos x=−√3cos2x+sin2x=2sin(2x−π3)，∴f(x)的最小正周期为2π2=π．(2)∵x∈[−π3，π3]，∴2x−π3∈[−π, π3]，∴sin(2x−π3)∈[−1, √32]，∴2sin(2x−π3)∈[−2，√3]，即f(x)的值域为[−2, √3]．【答案】解：(1)由圆C的方程为(x−1)2+(y−2)2=4知，圆心C(1, 2)，半径是2．①当切线斜率存在时，设所求直线方程为y−3=k(x−3)，即kx−y−3k+3=0，设圆心到直线的距离为d，因为d=√k2+1=√k2+1=2，所以k=−34，此时，方程为y−3=−34(x−3)，即3x+4y−21=0；②当切线斜率不存在时，直线方程为x=3，与圆C相切．所以过点M(3, 3)且与圆C相切的直线方程为x=3或3x+4y−21=0．(2)因为弦AB的长为2√3，圆心C(1, 2)，半径是2，所以圆心到直线ax−y+4=0的距离为：d1=√r2−(|AB|2)2=1．因为d1=√a2+1=1，所以a=−34．【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】（1）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求过点M(3, 1)的圆C的切线方程；（2）因为弦AB的长为2√3，所以点C到直线l的距离为1，即可求a的值．【解答】解：(1)由圆C的方程为(x−1)2+(y−2)2=4知，圆心C(1, 2)，半径是2．①当切线斜率存在时，设所求直线方程为y−3=k(x−3)，即kx−y−3k+3=0，设圆心到直线的距离为d，因为d=√k2+1=√k2+1=2，所以k=−34，此时，方程为y−3=−34(x−3)，即3x+4y−21=0；②当切线斜率不存在时，直线方程为x=3，与圆C相切．所以过点M(3, 3)且与圆C相切的直线方程为x=3或3x+4y−21=0．(2)因为弦AB的长为2√3，圆心C(1, 2)，半径是2，所以圆心到直线ax−y+4=0的距离为：d1=√r2−(|AB|2)2=1．因为d1=√a2+1=1，所以a=−34．【答案】(1)证明：由AC⊥BC，SA⊥BC，且SA∩AC=A，则BC⊥平面SAC.SC⊂平面SAC，故BC⊥SC，又SC⊥AC，BC∩AC=C，则SC⊥平面ABC，MN⊂平面ABC，故SC⊥MN.因为NC=4，CM=MN=2√2，所以CN2=CM2+NM2，故CM⊥MN.又因为CM∩SC=C，所以MN⊥平面SCM,又SM⊂平面SCM，则MN⊥SM.(2)V三棱锥S−ABC =13×12AC×BC×SC=18.【考点】两条直线垂直的判定柱体、锥体、台体的体积计算【解析】（1）由已知条件推导出MN⊥平面SCM,又SM⊂平面SCM,则MN⊥SM．【解答】(1)证明：由AC⊥BC，SA⊥BC，且SA∩AC=A，则BC⊥平面SAC.SC⊂平面SAC，故BC⊥SC，又SC⊥AC，BC∩AC=C，则SC⊥平面ABC，MN⊂平面ABC，故SC⊥MN.因为NC=4，CM=MN=2√2，所以CN2=CM2+NM2，故CM⊥MN.又因为CM∩SC=C，所以MN⊥平面SCM,又SM⊂平面SCM，则MN⊥SM.(2)V三棱锥S−ABC =13×12AC×BC×SC=18.。