直线与椭圆弦长学案

【重点难点】重点：判断直线与椭圆位置关系、会求相交时的弦长； 难点：求椭圆上的点与直线的最大、最小距离。

【典型例题】例1：求下列直线310250x y +-=与椭圆221254x y +=的交点坐标，并判断直线与椭圆位置关系。

例2：当m 为何值时，直线l ：y x m =+与椭圆C ：22916144x y +=相切、相交、相离．总结：直线y kx m =+与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的位置关系判断方法：联立22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得一个一元二次方程：例3：求椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是多少？总结：求椭圆上的点与直线的最大、最小距离的方法：例4：求直线12y x =-被椭圆2244x y +=截得的弦长为多少？总结：求直线与椭圆相交形成的弦长的方法：直线与椭圆相交，得到弦，弦长12l x =- = 其中k 为直线的斜率，1122(,),(,)x y x y 是两交点坐标．及时练兵1. 若直线y ＝kx ＋1（k∈R）与焦点在x 轴上的椭圆1522=+ty x 恒有公共点， 求t 的范围.2．若椭圆22149x y +=，一组平行直线的斜率是32⑴这组直线何时与椭圆相交？⑵当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点是否在一直线上？3.求椭圆1322=+y x 上的点到直线x －y ＋6＝0的距离的最小值.4. 设直线y=x+1与椭圆1222=+y x 相交于A ，B 两点，求弦AB 的长.5.已知斜率为1的直线过椭圆1422=+y x 的右焦点交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长.椭圆习题课例1：中心在原点，焦点为1(0,F2F 的椭圆C ，被直线23y x =-+截得的弦的中点横坐标是1，求此椭圆C 的方程．例2.试一试：已知过点（1，0）的直线l 与椭圆12222=+by a x (a>b>0且a 2＋b 2>1)相交于P 、Q 两点，PQ 中点坐标为b a ⊥且)2,2(22（O 为坐标原点）。

直线与椭圆直线与椭圆直线与椭圆的位置关系1．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．m >1 B ．m >0C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠52．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ： (1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．弦长及中点弦问题命题点1 弦长问题例1 斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B.455 C.4105 D.8105命题点2 中点弦问题例2 已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________________．跟踪训练1 (1)已知椭圆两顶点A (－1,0)，B (1,0)，过焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C ，D 两点，当|CD |＝322时，则直线l 的方程为______________．(2)(2019·石家庄模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎫1，12，则椭圆的离心率为( ) A.22 B.12 C.14 D.32直线与椭圆的综合问题例3 (2019·天津)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．跟踪训练2 已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1，0)，短轴的两个端点分别为B 1，B 2.(1)若△F 1B 1B 2为等边三角形，求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的短轴长为2，过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且F 1P →⊥F 1Q →，求直线l 的方程．本次课课后练习1．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( )A ．至多为1B ．2C ．1D ．02．直线y ＝kx ＋1，当k 变化时，此直线被椭圆x 24＋y 2＝1截得的最大弦长是( ) A ．2 B.433C ．4D ．不能确定3．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.43B.53C.54D.1034．已知椭圆x 236＋y 29＝1以及椭圆内一点P (4,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( ) A.12 B ．－12C ．2D ．－25．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点，若AB 的中点为M (1，－1)，则椭圆E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝16．(2020·南昌模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则b a 的值为( ) A.32 B.233 C.932 D.23277．(多选)已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 1与过F 2的直线l 2交于点M ，设M 的坐标为(x 0，y 0)，若l 1⊥l 2，则下列结论正确的有( )A.x 204＋y 203<1B.x 204＋y 203>1C.x 04＋y 03<1 D ．4x 20＋3y 20>18．设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB 是面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为___________________．9．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是________．10．(2020·湖北部分重点中学联考)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过左焦点F 1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AF 1|＝3|BF 1|，|AB |＝|BF 2|，则椭圆C 的离心率为________．11．已知椭圆C ：x 22＋y 24＝1，过椭圆C 上一点P (1，2)作倾斜角互补的两条直线P A ，PB ，分别交椭圆C 于A ，B 两点，则直线AB 的斜率为________．12．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，E 的离心率为22，点(0,1)是E 上一点．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，且BF 1→＝2F 1A →，求直线BF 2的方程．13．(2019·全国100所名校联考)已知椭圆C ：x 2＋y 2b 2＝1(b >0，且b ≠1)与直线l ：y ＝x ＋m 交于M ，N 两点，B 为上顶点．若|BM |＝|BN |，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22B.⎣⎡⎭⎫22，1 C.⎝⎛⎭⎫63，1 D.⎝⎛⎦⎤0，6314．(2019·衡水调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，斜率为－12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△ABF 1的重心为G ⎝⎛⎭⎫c 6，c 3，则椭圆C 的离心率为________．15．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则椭圆在其上一点A (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.试运用该性质解决以下问题，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其焦距为2，且过点⎝⎛⎭⎫1，22，点B 为C 1在第一象限中的任意一点，过B 作C 1的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于C ，D 两点，则△OCD 面积的最小值为( ) A.22 B. 2 C. 3 D ．216．已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且椭圆C 过点P ⎝⎛⎭⎫1，32. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若与直线OP (O 为坐标原点)平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，当OA ⊥OB 时，求△AOB 的面积．。

《直线与椭圆的位置关系》教学设计
一、教学内容：类比直线与圆的位置关系，探究直线与椭圆的位置关系，并探
究直线被椭圆截得弦长公式。

二、教学目标：理解直线与椭圆位置关系的代数表达，掌握直线被椭圆截得弦长公式。

三、教学过程
1. 问题引入，提出概念
问题1:直线与椭圆位置关系有哪些？
【设计意图】通过问题，引导学生思考，然后经历由图形直观到严格的逻辑推理证明，激活学生已有学习经历和知识储备，在证明过程中发现本质。

2.深入探究，辨析概念
问题2：当直线与椭圆相交于不同两点时如何求相交弦长？
【设计意图】通过例题和跟进训练让学生巩固对直线被椭圆截得弦长的理解，达到能够熟练的利用渐近线方程解决问题水平，培养学生的数学运算、逻辑推理核心素养。

4. 归纳总结，作业巩固
4.1知识、方法、思想
4.2学习感悟
4.3课后作业
1。

直线与椭圆的位置关系导学案The guiding plan of the position relation betw een straight line and ellipse直线与椭圆的位置关系导学案前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。

本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是高中生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。

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（1）会判断直线与椭圆的位置关系,理解直线与椭圆相交所得的弦长公式;（2）通过求弦长具体实例，发现求弦长的一般规律，体验从特殊到一般的认识规律；（3）通过几何关系与代数运算的不断转化，感悟解析几何基本思想，培养学生逻辑推理能力和运算能力.教学重点：直线与椭圆的弦长公式探究教学难点：从特殊到一般规律的发现，“数”和“形”之间的相互转化.教学过程：教师：直线与圆有哪些位置关系？如何判断？学生：直线与圆的位置关系及其判定：几何方法：相离、相切、相交.代数方法：方程组无解相离、有唯一解相切、有两组解相交.教师：由于圆的特殊性，几何方法显得简单，而代数方法具有一般性.自然引出下面问题.类比直线和圆，直线与椭圆有哪些位置关系？（板书：：，e: ）学生：直线与椭圆有三种位置关系：相离、相切、相交.或直线与椭圆的公共点个数可能是零个、一个、两个.教师：当直线与椭圆没有公共点时，称直线与椭圆相离；当有一个公共点时，称直线与椭圆相切，这条直线叫椭圆的一条切线；当直线与椭圆有两个公共点时，称直线与椭圆相交.（板书：相离、相切、相交）板书课题：直线椭圆位置关系教师：请大家研究下面问题如何解决判断出直线与椭圆e：的位置关系是_______学生1：画图，直线与y的交点（0, 1）在椭圆内部，所以直线与椭圆相交.学生2：由（板书），得 ,，直线与椭圆相交.教师：（学生思考解答时，教师画出椭圆）学生1的方法简捷明了，使得我们对问题有了直观的认识，为什么多数同学没有这样解答呢？从“数形结合”是思考问题的首选。