直线与椭圆弦长公式

过原点的直线与椭圆相交弦长1. 概述本文将探讨过原点的直线与椭圆相交时的弦长问题。

我们将从椭圆的基本定义和特性入手，介绍直线与椭圆的交点求解方法，并推导出弦长的计算公式。

最后，我们将通过例题来加深理解和应用。

2. 椭圆的基本定义和特性2.1 椭圆的定义椭圆是平面上的一个几何图形，由到两个定点（焦点）距离之和等于常数的点构成。

这个常数称为椭圆的长轴长度。

椭圆的形状可以通过长轴和短轴的长度来描述。

2.2 椭圆的方程椭圆的标准方程为：x 2a2+y2b2=1，其中a和b分别表示椭圆长轴和短轴的长度。

2.3 椭圆的焦点和准线椭圆有两个焦点，分别位于椭圆的长轴两端。

椭圆的准线是横穿两个焦点的直线。

2.4 椭圆的性质椭圆有许多有趣的性质，比如焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于长轴的长度，即焦半径之和为常数。

这些性质在求解弦长时将发挥重要作用。

3. 直线与椭圆的交点求解当直线与椭圆相交时，我们需要找到它们的交点，以便计算弦长。

下面介绍一种常用的解法。

3.1 直线的方程设直线的方程为：y =mx ，其中m 为直线的斜率。

3.2 代入椭圆方程将直线的方程代入椭圆的标准方程，可得：x 2a 2+(mx )2b 2=1。

3.3 化简方程将上式化简后可得二次方程：(1+m 2)x 2+a 2(m 2−1)=0。

3.4 解二次方程解上述二次方程，可求得x 的两个解：x 1=√m 2−1√1+m 2，x 2=√m 2−1√1+m 2。

3.5 求对应的y 值通过将x 的解代入直线方程，可求得对应的y 值：y 1=mx 1，y 2=mx 2。

3.6 交点坐标直线与椭圆的交点坐标为(x 1,y 1)和(x 2,y 2)。

4. 弦长的计算公式在求得交点坐标后，我们可以计算出弦长。

设(x 1,y 1)和(x 2,y 2)为交点坐标，弦长公式如下：弦长=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)25. 实例分析5.1 例题一已知椭圆方程为x 24+y 29=1，直线方程为y =12x ，求过原点的直线与椭圆相交的弦长。

第40讲 直线和椭圆的位置关系[玩前必备]一、直线与椭圆的位置关系1．位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y ，得到Ax 2＋Bx ＋C ＝0的形式(这里的系数A 一定不为0)，设其判别式为Δ，(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交；(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切；(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离．2．弦长公式(1)若直线y ＝kx ＋b 与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|. (2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2a，最长为2a . [玩转典例]题型一 直线与圆的位置关系的判断例1 若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)∪(1,5)D ．[1,5)∪(5，＋∞)例2 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ： (1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．[玩转跟踪]1．（2020·全国高三课时练习（理））已知直线y ＝kx －k －1与曲线C ：x 2＋2y 2＝m(m>0)恒有公共点，则m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(3，＋∞)D ．(－∞，3)2.（2020·全国高三课时练习）若直线2244mx ny x y +=+=和圆没有交点，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为（ ） A ．2个 B ．至多一个 C ．1个 D ．0个题型二 椭圆的弦长问题例3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 的斜率为0时，|AB |＝4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．[玩转跟踪]1．已知椭圆x 22＋y 2＝1与直线y ＝x ＋m 交于A ，B 两点，且|AB |＝423，则实数m 的值为( ) A ．±1B ．±12 C. 2 D ．±22．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线AB 的斜率为3，求△ABF 2的面积．题型三 中点弦问题例4 (1)已知椭圆x 22＋y 2＝1，则斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为________________． (2)焦点是F (0,5 2)，并截直线y ＝2x －1所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为________________． 例5 如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G横坐标的取值范围．[玩转跟踪]1．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被点P 平分的弦所在直线的方程是( ) A ．4x ＋3y －13＝0B ．3x ＋4y －13＝0C ．4x －3y ＋5＝0D ．3x －4y ＋5＝02．已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称，求实数m 的取值范围．题型四 椭圆大题例6 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433. (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC ―→·DB ―→＋AD ―→·CB―→＝8，O 为坐标原点，求△OCD 的面积．[玩转跟踪]1．已知动点M 到两定点F 1(－m,0)，F 2(m,0)的距离之和为4(0<m <2)，且动点M 的轨迹曲线C 过点N ⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求m 的值；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与曲线C 有两个不同的交点A ，B ，且OA ―→·OB ―→＝2(O 为坐标原点)，求k 的值．[玩转练习]1．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( ) A ．至多一个B ．2C ．1D ．02．椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A ．－23B ．－32C ．－49D ．－943．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( ) A.223B.423C. 2 D ．24．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2―→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．15．(多选)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，点M (2,1)在椭圆C 上，直线l 平行于OM 且在y 轴上的截距为m ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点．下面结论正确的有( )A ．椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1B ．k OM ＝12C ．－2＜m ＜2D ．m ≤－2或m ≥26．(多选)已知B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)短轴上的两个顶点，点P 是椭圆上不同于短轴端点的任意一点，点Q 与点P 关于y 轴对称，则下列四个命题中正确的是( )A ．直线PB 1与PB 2的斜率之积为定值－a 2b 2 B ．PB 1―→·PB 2―→＞0C ．△PB 1B 2的外接圆半径的最大值为a 2＋b 22aD ．直线PB 1与QB 2的交点M 的轨迹为双曲线7．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( ) A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)8．(一题两空)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，点A 在椭圆C 上，|AF 1|＝2，∠F 1AF 2＝60°，过F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，N 为线段PQ 的中点．则椭圆C 的方程为________；若点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，18，且MN ⊥PQ ，则线段MN 所在的直线方程为_____________．9．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是____________．10．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为__________．11．(2020·上饶模拟)已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋2上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为________．12．(一题两空)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点E ⎝⎛⎭⎫3，32. (1)椭圆C 的方程为____________．(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→＝2F 1B ―→，则直线l 的斜率k 的值为________．13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，长半轴与短半轴的比值为2. (1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点A (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N .若点B (0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．14．在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝ 2 PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线l 与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求直线l 的方程．15.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为椭圆C 上任意一点，点A 关于原点O 的对称点为点B ，有|AF 1|＋|BF 1|＝4，且∠F 1AF 2的最大值为π3. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若A ′是点A 关于x 轴的对称点，设点N (－4,0)，连接NA 与椭圆C 相交于点E ，直线A ′E 与x 轴相交于点M ，试求|NF 1|·|MF 2|的值．。

大罕求圆锥曲线的弦长是学习解析几何过程中常见的问题．一般用弦长公式 |AB|=(√△/|a|)√(1+k^2)．在运用上述公式之前，需要将直线方程代入到椭圆、双曲线的方程，加以化简．在整理的过程中，由于带有参数，故运算有些繁琐容易出错．作为参考材料，本文给出更具体的弦长公式．遇到选填题可直接套用，遇到解答题可供检验. 具体如下： 命题１：已知直线l：y=kx+m，椭圆C： x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)，记δ=b^2+(a·k)^2-m^2，若δ=0，则直线l与椭圆C相切若δ>0，则直线l与椭圆C相交于Ａ,Ｂ两点，且|AB|=[2ab√δ·√(1+k^2)]/[b^2＋(ak)^2]．简要的推导过程是：把y=kx+m代入 x^2/a^2+y^2/b^2=1，整理得：[(ak)^2+b^2]x^2+2a^2kmx+a^2(m^2-b^2＝０，∴=4a^4k^2m^2-4a^2(m^2-b^2)(a^2k^2+b^2)=4a^2b^2(b^2＋a^2k^2-m^2).令δ=b^2＋a^2k^2-m^2，∴当δ=0时，直线l与椭圆C相切；当δ>0时，直线l与椭圆C相交于Ａ,Ｂ两点，且|AB|=[2ab√δ√(1+k^2)]/[b^2+(ak)^2].命题2：已知直线l：y=kx+m，双曲线C： x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)，记δ=b^2-(a·k)^2+m^2，若δ=0，则直线l与椭圆C相切若δ>0，则直线l与椭圆C相交于Ａ,Ｂ两点，且|AB|=[2ab√δ·√(1+k^2)]/[b^2-(ak)^2]．证明与命题１过程类似，这里从略．例1、若直线l：y=x+m与椭圆C：x^2/4+y^2/3=1相切，求m的值.解：a^2=4，b^2=3，k=1，∴δ=4a^2b^2(a^2k^2+b^2-m^2)=4+3-m^2=0，则m=±√7．例2、求直线l：y=x+1截椭圆C：x^2/4+y^2/3=1所得的弦长|AB|．解：a^2=4，b^2=3，k=1，m=1,∴δ=4a^2b^2(a^2k^2+b^2-m^2)=4+3-1=6，∴|AB|=(4√3)(√6)(√2)]/7=24/7.例3、直线l过点P(1,1)，双曲线 ：x^2-y^2/2=1相切，求直线l的方程. 解：设直线l：y=kx+1-k，a^2=1，b^2=2，m=1-k，令δ=b^2-(a·k)^2+m^2=2-k^2+(1-k)^2=0，解得k=3/2.。

1.直线和椭圆位置关系判定方法概述1直线斜率存在时221y kx bmx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-=当0∆>时直线和椭圆相交当0∆=时直线和椭圆相切当0∆<时直线和椭圆相离2直线斜率不存在时22221x x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解注：01无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""∆。

02直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。

2.直线和椭圆相交时1弦长问题弦长公式22121221111AB k x x k y y a k∆=+-=+=+-注：2121212()4x x x x x x -=+-而12x x +和12x x 可用韦达定理解决，不必求出1x 和2x 的精确值，“设而不求”思想初现。

2三角形面积1过x 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y a b +=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH y y ∆=- 02过y 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y b a+=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH x x ∆=- 03弦任意，点任意12S ∆=弦长×点线距注：仍然蕴含“设而不求”思想。

3弦的中点问题01中点弦所在直线方程问题02平行弦中点轨迹03共点弦中点轨迹04其他问题类型题一：直线与椭圆位置1.已知直线2+=kx y 和椭圆12322=+y x ，当k 取何值时，此直线与椭圆：（1）相交；（2）相切；（3）相离。

2.已知直线2+=kx y 与椭圆2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围。

3.点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线01623=--y x 的距离的最大值为_____，最小值为________．类型题二：弦长公式1.已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点1F 作倾斜角为6 的直线交椭圆于B A ,两点，求弦AB 的长。

圆锥曲线综合问题1. 直线方程的处理：若直线方程未给出，应先假设。

（1）若已知直线过点00(,)x y ，则假设方程为00()y y k x x ；（2）若已知直线的斜率k ，则假设方程为y kx m ； （3）若仅仅知道是直线，则假设方程为ykx m【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论；（4）若已知直线恒过x 轴上一点(,0)t ，且水平线不满足条件（斜率为0），可以假设直线为xmy t 。

【反斜截式，1m k】不含垂直于y 轴的情况（水平线） 2.弦长公式：若直线:l y kx m =+与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于,P Q 两点，求弦长||PQ 的步骤： 设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立方程组（将直线方程代入椭圆方程）：222222,,y kx m b x a y a b =+⎧⎨+=⎩消去y 整理成关于x 的一元二次方程：20Ax Bx C ++=， 则12,x x 是上式的两个根，240B AC ∆=->；由韦达定理得：12,B x x A +=-12,C x x A= 又,P Q 两点在直线l 上，故1122,y kx m y kx m =+=+，则2121()y y k x x -=-，从而||PQ ====【注意：如果联立方程组消去x 整理成关于y 的一元二次方程：20Ay By C，则||PQ ==反斜截式22(1)m A 】3、其他常见问题处理 （1）等腰（使用垂直平分）,平行四边形（使用向量的平行四边形法则或者对角线中点重合） （2）直径（圆周角为直角，向量垂直或斜率乘积等于1），其次考虑是否需要求圆的方程。

（3）锐角和钝角使用数量积正负求解；涉及到其它角的问题使用正切值，转化为斜率求解； （4）三角形内切圆的半径与三角形面积的关系：,()2a b cSrp p这里； （5）圆的弦长用垂径定理；（6）涉及到焦点要联想到定义；（7）三点共线，长度之比尽量使用相似三角形转化为坐标之比，利用韦达定理。