直线与椭圆的位置关系之弦长公式

直线与椭圆的位置关系之弦长公式

一、知识点

1） 弦长公式的推导、几何解释、作用 2） 弦长公式的应用 二、教学过程 1 弦长公式

引例：经过椭圆2

212

x y +=的左焦点F 作倾斜角为60的直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求AB 的长．

分析：左焦点(1,0)F -

，则直线:1)l y x =+代入椭圆方程2

212x y +=，得到 271240x x ++=，则=32∆

设1122(,),(,)A x y B x y ，则

||AB ==

=122||||

x x a -

= 一般：

若直线l 上两点111222(,),(,)P x y P

x y

，则121212||||PP x x y y =-=-，上述公式称为弦长公式，有推导过程知，其实质是直线上两点距离公式的简化式； 说明：

1） 计算12||x x -

，可以通过12||x x -=

但通常利用12||||

x x a -=

计算，其中a 为对应x 的方程的二次项系数，∆为判别式；12||y y -也同理计算，弦长公式体现了“设而不求”的思想

2

） 如图，因为2112||:||:|||P M PM PP k =，又

1

12||||PM x x =-，212||||P M y y =-，则

可知

，12

1212||||PP x x y y =-=- 这里体现了“化斜为直”的思想 2 例题

例1 经过椭圆2

212

x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B

两点，若||7

AB =

l 的方程． 解：设:(1)l y k x =+，代入椭圆方程：2

2

220x y +-=，得到

2222(12)4220k x k x k +++-=，所以28(1)k ∆=+

则

||7

AB ==

=

所以k =

又当k 不存在时，||AB =

所以，直线l 的方程1)y x =+

配套练习：上述例题中，也可以将直线l 设为1x y λ=-，请你计算 解：将1x y λ=-代入椭圆方程2

2

220x y +-=，得到：

22(2)210y y λλ+--=，则2=8+1λ∆（），

则||AB ==

，

所以，λ= 当λ不存在，即0

y =时，||AB =

所以直线

l 的方程为1x y =

- 例2 经过椭圆2

212

x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求OAB ∆面积的最大值．

解：设直线1x y λ=-，代入椭圆方程2

2

220x y +-=，得到：

22(2)210y y λλ+--=，则2=8+1λ∆（）

， 法1

：||AB ==

O l d -，所以1||2AOB

O l S AB d ∆-=⋅

=2112t t t

=≤++

（t 当0λ=时，取到 法2

：11

||||122AOB

A B S AB y y ∆=⋅-=⋅，下同解法1 配套练习1：经过椭圆2

212

x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求||AB 的取值范围． 解：上题可知：

21

||)2

AB λ=-∈+

当λ

不存在时，||AB =

||AB ∈ 配套练习2：

1、经过椭圆2

212

x y +=的左焦点F 作两条互相垂直的直线12,l l 与椭圆分别交于,A B 与,C D 两点，若

32

||||9

AB CD ⋅=

，求直线1l 的方程 参考解答：设直线1:(1)l y k x =+，则21

:(1)l y x k

=-+

，则可知||AB =，同理知

2

22

21

))||221k k CD k k

++=

=++，则由32||||9AB CD ⋅=可知1k =±，1:(1)l y x =±+

例3（备用）

已知椭圆2

2:14

x G y +=，作圆221x y +=的切线l 交椭圆于,A B 两点，O 为坐标原点，求OAB

∆

面积的最大值．

解：设直线l ： x y n λ=+

1=，所以221n λ=+

代入椭圆方程：2

2

440x y +-=，得到：2

2

2

(4)240y n y n λλ+++-=，则

222222=44(4)(4)16(4)=48n n n λλλ∆-+-=+-

则211||11223

AOB S AB t ∆=

⋅==≤+t =）

当λ= 配套练习：

1、已知椭圆：22

143

x y +=，直线l ：2y x m =+与椭圆交于,A B 两点，求AOB S ∆的最大值

参考解答：可知S =≤