直线与椭圆-弦长公式复习课程

直线与椭圆的位置关系教案高三数学二轮复习专题教学目标：1.通过数形结合与代数运算弄清直线与椭圆位置关系的判断方法。

2.掌握直线与与椭圆相交、相离、相切时各自特点与相关题型。

3.掌握解决直线与椭圆综合问题的方法（联立设而不求用韦达定理解参数，重运算、巧设、巧算、巧解、特殊情况）高考中直线与圆锥曲线的综合应用压轴试题，具体表现为弦长与面积问题，最值与范围问题、定点与定值问题、存在性问题等。

教学方法：充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识，提升运算能力。

教学过程：一、复习回顾直线与椭圆的位置关系及其判断1.位置关系：相交、相切、相离2.判别方法(代数法)联立直线与椭圆的方程消元得到一元二次方程组(1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点；(2)△=0直线与椭圆相切有且只有一个公共点；(3)△<0直线与椭圆相离无公共点．3.直线与椭圆相交时弦长公式设直线方程y ＝kx ＋m ，椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)．直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2=x x kx m kx m ⎡⎤-++-+⎣⎦221212（)()() ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 4.对于中点弦问题，常用的解题方法是点差法，步骤为： ①设点：即设出弦的两端点坐标；②代入：即代入椭圆方程；③作差：即两式相减，再用平方差公式展开；④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解． 二、题型设计及其讲解例 1.已知椭圆221259x y +=,直线l :45400x y -+=,椭圆上是否存在一点,到直线l 的距离最小?最小距离是多少?点拨分析：法一：数形结合、切线求解法二：椭圆上设点，运用点到直线的距离公式强调运算法三：运用椭圆的参数方程思考：最大距离为多少？例2 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为 3 。

题型二：中点弦问题
例2、已知椭圆
过点P(2,1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：（1）当斜率不存在时，显然不合题意
（2）当斜率存在时，
韦达定理→中点坐标→斜率 方程组思想判别式法：利用韦达定理及中点坐标公式来处理
题型三：中点弦问题
例 2、已知椭圆
过点P(2,1)引一弦，使弦在这点被
当x1≠x2时，
根与系数关 系
可推广到任意二次曲线
弦长公式：
| AB |
1 k 2 | xA xB |
1 1 k2 | yA yB |
当x1=x2时， | AB || yA yB |
题型一：弦长公式
例1：已知斜率为1的直线l 过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
的右焦点，
解 :由椭圆方程知 : a2 4,b2 1, c2 3.
复习回顾 直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离
2.判别方法：方程组思想判别式法
联立直线与椭圆的方程组成方程组 消元得到一个二元一次方程：
通法
(1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点；
(2)△=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点；
(3)△<0 直线与椭圆相离无公共点．
探究
弦长公式
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
平分,则这条弦所在的直线方程是___x___2__y___4____0___.
小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法； 方程组思想，判别式法
2、弦长的计算方法：
弦长公式： |AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1 x2
=

(2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求
△AOB面积的最大值.
c 2
e＝ ＝ ，
a 2

由题意得 4 ＋ 1 ＝1，
a2 b2

a2＝b2＋c2，
a＝ 6，
x2 y2
∴椭圆 C 的方程为 6 ＋ 3 ＝1.
∴
b＝ 3，
设直线AB的方程为y＝－x＋m，
y＝－x＋m，
9
2
2 t2·t2＋6
所以|AB|的最大值为 2.
你还能想到其他做法吗？
三、定值、定点问题
【例 3】设
y2 x2
A(x1，y1)、B(x2，y2)是椭圆 a 2 b 2 1(a b 0)
x1 y1
x2 y2
上的两点，已知 m ( b , a ), n ( b , a ) ，若 m n 0 且
a b
1(a>b>0)的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)时，
|AB|＝
或|AB|＝
1＋k x1＋x2 －4x1x2
2
2
1
2
1＋k2 y1＋y2 －4y1y2
k存在
k存在且k≠0
.
注意点：
(1)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解
的情况下进行的，不要忽略判别式.
(2)不确定直线斜率的情况下，要分类讨论.
2 ，
1＋2k
|k| 4＋6k2 10
10
由
＝ 3 ，得 k＝±1，满足 Δ>0. 所以当△AMN 的面积为 时，k＝±1.
2
3
1＋2k
二、与弦长有关的最值、范围问题
2
2
x
y

解：
3、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
3、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
2.2.2 椭圆的简单几何性质
1-----直线与椭圆的位置关系 2-----弦长公式
高二数学 熊超进
直线与椭圆的位置关系
种类: 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
1直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
例：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
练习：已知椭C x2 y2 1斜率为1的 直线 l 与椭圆交
3
于 A, B 两点，且 AB 3 2求直线 l 的方程
2
3.若P(x,y)满足 x2 y2 1( y 0) ,求 y 3 的
4
x4
最大值、最小值.
( x1
x2 )2
4 x1
x2
6 5
2
2、弦长公式
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
弦长公式：
弦长的计算方法： 弦长公式：
|AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1 x2
=
1
1 k2
·（y1
y2）
4 y1

（2）弦长公式：（适用于任何二次曲线）
|AB|= 1 k2 ·x1 x2 1 k2 ·（x1 x2）2 4x1x2
1 = 1 k 2 ·y1 y2
1
1 k2
·（y1
y2）2
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y1
y2
3、弦中点问题的两种处理方法： 1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； 2）点差法：设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。
（A、B不是左右顶点），且以AB为直径 的圆过椭圆C的右顶点. 求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标
9. 试 确 定 实 数 m 的 取 值 范 围 , 使 得 椭 圆
x2 y2 1 上存在关于直线 y 2x m 对称的 43
点.
1m 1
2
2
思考:已知椭圆
x2 9
y2 5
1 的焦点为 F1 , F2 ,在
例 4:已知椭圆 x2 8 y2 8 ,直线 x y 4 0 ,求椭圆 上的一点 P 到直线 l 的最小距离?
分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 x y 4 0 的距离的表达式.
d x0 y0 4 且 x02 y02 1
2
81
尝试遇到困难怎么办?
代数法
----求解直线与二次曲线有 关问题的通法。
= n2-4mp
>0
方程组有两解
两个交点
相交
=0
方程组有一解
一个交点
相切
<0
方程组无解
无交点
相离
例1： 直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ，判断位置关系。
2
解：联立方程组

椭圆的简单几何性质
(第四课时)
弦长公式
一.直线复习
1. 倾斜角、斜率： k tan y2 y1
2. 直线方程的五种形式.
x2 x1
（1）点斜式： y y k(x x )
（2）斜截式： y kx b
（3）两点式：
y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
（4）截距式： x y 1 ab
（5）一般式： Ax By C 0
3. 两条直线的平行与垂直
平行： l1 / /l2 k1 k2 垂直： l1 l2 k1k2 1
4.两条平行线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0的距离 为：d C1 C2
A2 B2
一、直线与椭圆的位置关系
种类:
相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
的右焦点，
方法与过程：
(1)联立方程组；
(2)消去其中一个未 知数，得到二元一 次方程；(Βιβλιοθήκη )韦达定理；(4)弦长公式.
练习：
1、课本P48第7题 2、《风向标》P38基础训练 3
弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解法一：
韦达定理→中点坐标→斜率
课后探讨第二种解法
练习：
1、如果椭圆被 x2 y2 1的弦被点（4，2）平分，
36 9
求这条弦所在直线方程。
作业布置
一、书面作业：课本
要求：书写具体解题过程
二、课后练习： 《风向标》P 三、课后探究：
课后练习
1、过椭圆 x2 2 y2 4的左焦点作倾斜角为 30 的直
线，求弦长AB.

又m 0且m 5. m的范围是 [4,5) (5,).
椭圆定 线不定
变式.无论k取何值, 直线y
kx 1与曲线 x2 9
y2 4
1的交点个数是 __1_或__2.
析 : 直线所过定点(0,1)在椭圆上 或联立消y得(4 9k 2 )x2 36kx 0
362 k 2 0
变式.直线y kx 1与椭圆 x2 y2 1总有公共点,则m的范围是 __ . 5m
l
(2) 它到直线l的距离最大？最大距离是多少？
解2: 设椭圆上任一点的坐标为P(5cos , 3sin ).
•P
∴点P到直线l的距离为
F• 1 O
d | 20cos 15sin 40 | | 25cos( ) 40 | (其中tan 3)
42 52
41
4
•
F2
x
当cos( ) 1时，dmin
此时 cos cos
6 , sin sin
3.
∴P( 2
3 ,
3 ).
3
3
33
椭圆上存在点P( 2 3 , 3 )到直线l的距离最小, 且最小距离为 2 2 6 .
33
2
总结：判断直线与椭圆的位置关系的方法 [注意] 方程组解的个数与直线与椭圆的公共点的个数之间是等价关系．
椭圆的弦长
回忆：直线与圆的位置关系 问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
问题2：怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r
d=r
d<r
代数法： ∆<0
∆=0
∆>0
类比思考
1.直线与椭圆的位置关系有哪几种?
相交
相切
相离

ax22＋by22＝0，② 由①－②得a(x21－x22)＝－b(y21－y22)，整理得xy11＋＋xy22·xy11－－xy22＝－ ab，设AB的中点为M(x0，y0)，则kOM＝yx00＝22yx00＝xy11＋＋xy22＝－ 23，又知 kAB＝－1，∴－ 23×(－1)＝－ab，∴ab＝－ 23，故选A.]
得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0， 设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)， B(x2，y2)，
6
由题意知y1＋2 y2＝1， ∴y1＋y2＝14（10bb22＋＋44）＝2，解得b2＝8. ∴所求椭圆方程为x82＋1y22 ＝1. 法二：(点差法)∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，∴设 椭圆的方程为b2y＋2 4＋bx22＝1(b>0)．
高考理数复习---弦长及中点弦问题考点与例题 PPT课件
弦长及中点弦问题 中点弦问题
处理中点弦问题常用的求解方法
2
(1)过椭圆1x62 ＋y42＝1内一点P(3，1)，且被点P平分的弦
所在直线的方程是( )
A．4x＋3y－13＝0
B．3x＋4y－13＝0
C．4x－3y＋5＝0
D．3x－4y＋5＝0
因为k≠0，所以－12<xG<0， 即点G横坐标的取值范围为(－12，0)．]
16
弦长问题 求解决直线与椭圆相交的弦长问题，其常规思路是先把 直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系 建立方程；在此基础上套用弦长公式：设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ （1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2] ＝ 1＋k12[（y1＋y2）2－4y1y2](k为直线斜率)．

4 y1
y2
（适用于任何曲线）
2、弦中点问题的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）点差法：设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的 斜率。
课后作业
1、已知椭圆 x2 +y2 =1，过左焦点F作倾斜角为 的直线
9
6
交椭圆于A，B两点，求弦AB的长
2、已知椭圆 x2 +y2 =1及点B（0， 2），过椭圆的左焦 2
(2)消去其中一个未 知数，得到二元一 次方程；
(3)韦达定理；
(4)弦长公式.
变式1：已知椭圆 x2 y2 1,过椭圆右焦点的直线l交 4
椭圆于A, B两点，且 AB = 8，求直线l方程。 5
练习
已知椭圆ax2 by2 1于直线x y 1 0交于A, B两点， 且 AB 2 2，若AB的中点M与椭圆中心连线的斜率 为 2 ，求a,b的值。
Ax By C 0
由方程组：

x2
y2
a2
b2
1
消去y
mx2+nx+p=0（m≠ 0） = n2-4mp
通法
>0
方程组有两解
两个交点
相交
=0
方程组有一解
一个交点
相切
<0
方程组无解
无交点
相离
练习
当m为何值时，直线y=x+m与椭圆 x2 + y2 =1相交？ 16 9
相切？相离？
教学目标
通过本节课的教学，要求掌握直线和 椭圆相交的弦长公式，以及能够用点差法 解决弦中点问题。
知识点1：弦长问题
若直线 l
:

3. 两条直线的平行与垂直
平行： l1 / /l2 k1 k2 垂直： l1 l2 k1k2 1
4.两条平行线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0的距离 为：d C1 C2
A2 B2
问题2：直线与圆的位置关系有哪几种？
怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r
线，求弦长AB。
3、 已知椭圆5x2+9y2=45，判断点A(1,1)与 椭圆的位置关系,你能求出以A为中点椭圆的 弦所在的直线方程吗？
三、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解法一：
韦达定理→中点坐标→斜率
课后探讨第二种解法
三、弦中点问题
例 ：已知椭圆
二、直线与椭圆的相交弦长
推导：设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线斜率为k．
弦长公 )2 4x1x2
1
1 k2
( y1 y2 )2 4 y1 y2
其中 x1 x2 、 x1x2 可以由韦达定理求得
例2：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
方法与过程：
(1)联立方程组；
(2)消去其中一个未 知数，得到二元一 次方程；
(3)韦达定理；
(4)弦长公式.
课堂练习
1、过点A(5,5)与椭圆
x2
y2 1只有一个公共点的直线
25 16
有（ ）
A的坐标变为 (0,2)，结果如何？
A.0条
B.1条
C.2条
D.3条
2、过椭圆 x2 2 y2 4 的左焦点作倾斜角为 30 的直

圆锥曲线综合问题1. 直线方程的处理：若直线方程未给出，应先假设。

（1）若已知直线过点00(,)x y ，则假设方程为00()y y k x x ；（2）若已知直线的斜率k ，则假设方程为y kx m ； （3）若仅仅知道是直线，则假设方程为ykx m【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论；（4）若已知直线恒过x 轴上一点(,0)t ，且水平线不满足条件（斜率为0），可以假设直线为xmy t 。

【反斜截式，1m k】不含垂直于y 轴的情况（水平线） 2.弦长公式：若直线:l y kx m =+与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于,P Q 两点，求弦长||PQ 的步骤： 设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立方程组（将直线方程代入椭圆方程）：222222,,y kx m b x a y a b =+⎧⎨+=⎩消去y 整理成关于x 的一元二次方程：20Ax Bx C ++=， 则12,x x 是上式的两个根，240B AC ∆=->；由韦达定理得：12,B x x A +=-12,C x x A= 又,P Q 两点在直线l 上，故1122,y kx m y kx m =+=+，则2121()y y k x x -=-，从而||PQ ====【注意：如果联立方程组消去x 整理成关于y 的一元二次方程：20Ay By C，则||PQ ==反斜截式22(1)m A 】3、其他常见问题处理 （1）等腰（使用垂直平分）,平行四边形（使用向量的平行四边形法则或者对角线中点重合） （2）直径（圆周角为直角，向量垂直或斜率乘积等于1），其次考虑是否需要求圆的方程。

（3）锐角和钝角使用数量积正负求解；涉及到其它角的问题使用正切值，转化为斜率求解； （4）三角形内切圆的半径与三角形面积的关系：,()2a b cSrp p这里； （5）圆的弦长用垂径定理；（6）涉及到焦点要联想到定义；（7）三点共线，长度之比尽量使用相似三角形转化为坐标之比，利用韦达定理。

出中点坐标和斜率．
；.
28
由 b 2 (x 1 2 x 2 2 ) a 2 (y 1 2 y 1 2 ) 0
两个交点 相交
△=0
方程组有一解
一个交点 相切
△ 0 方程组无解 ；.
无交点
相离
12
知识点1.直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与椭圆相离无公共点．
求 △F1 AB 的面积.
分析:先画图熟悉题意,
点 F1 到直线 AB 的距离易知,
要求 S△F1AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组
；.
24
解 例焦:4∵:点已椭，圆 知过点x2F2 F21作y、2倾F斜21分的角别两为是个4焦椭的点圆直坐2x线标2 ，F11y求(21△,10F)的1, AF左2B(1、的, 0右面) 积. ∴直线 AB 的方程为 y x 1 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
o
x
4x5yk 0
由方程组 x2 25
y2 9
1
消 去 y ， 得 2 5 x 2 8 k x k 2 -2 2 5 0
由 0 ， 得 6 4 k 2 - 4 2 （ 5 k 2 - 2 2 5 ） 0
解 得 k1=25， k2=-25 由 ；.图 可 知 k25.
19
题型一：直线与椭圆的位置关系
m0,5k2 1m恒成立， 1-m0m1,且m5

2.2 椭圆2.2.2椭圆的简单几何性质 第六课时 椭圆的弦长与中点弦问题【学习目标】会用代数方法解决椭圆的弦长和中点弦问题； 【重难点】重点：椭圆的弦长和中点弦问题 难点：会求椭圆的弦长和中点弦 【学习过程】复习引入：1、直线与椭圆的位置关系直线与椭圆有三种位置关系：相交，相切，相离。

2、直线与椭圆位置关系的判断方法——代数法设直线方程为m kx y +=与椭圆12222=+by a x )0(>>b a 联立，消去y 得关于x 的一元二次方程)0(02≠=++A C Bx Ax 。

1、⇔>∆0直线与椭圆有两个公共点⇔直线与椭圆相交。

2、⇔=∆0直线与椭圆有一个公共点⇔直线与椭圆相切，3、⇔<∆0直线与椭圆没有公共点⇔直线与椭圆相离。

讲授新课：知识点一：直线与椭圆相交弦长的求法1、椭圆的弦：直线与椭圆相交，直线被椭圆所截得的线段，叫做椭圆的弦。

当直线过椭圆的焦点时，所截得的弦称为“焦点弦”。

2、弦长公式：设直线m kx y +=与椭圆12222=+by a x )0(>>b a 交于),(11y x A 、),(22y x B 两点，则弦长2122124)(1||x x x x k AB -++=2122124)(11y y y y k-++= 例1 （新课程导学P19例2）斜率为1的直线l 过椭圆1422=+y x 的右焦点F ，交椭圆于B A ,两点，求||AB 。

练习：（新课程导学P20跟踪训练2-1）过椭圆14522=+y x 的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于B A ,两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为知识点二：椭圆的通径垂直于长轴的焦点弦，叫做椭圆的通径，其长为ab 22知识点三：中点弦问题解决中点弦问题的基本方法——点差法。

点差法：设出交点坐标，代入椭圆方程，整体作差求直线的方程。

例2 （新课程导学P20例3）已知椭圆193622=+y x 和点)2,4(P ，直线l 经过点P 且与椭圆交于B A ,两点。

2、符合学生的认知规律，体现学生的主题地位----
动手、讨论
从直观入手，让学生从直线与椭圆的位置关系，通
过思考，找到判定方法。
3、渗透数学思想方法----数形结合
强调结合，推导公式，理解记忆，而不是机械记忆，
很好地培养了学生对数形思想的理解和应用。 4、注重学生应用意识的培养-----学以致用 每个知识点都安排了相关的实际练习题，加深了学
层层递进，课堂上学生学习兴趣浓厚，所以本节课的学
生学习更轻松。
数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和
已有的知识经验的基础之上，给学生参与数学活动的机
会。基于这样的教学思想，我认为这节课有如下成功之
处：
1、注重知识的联系-----引导学生思索
复习点与圆的位置关系，让学生带着疑问探索新 课例研究综
知，调动学生的求知欲。 述
生对本节知识的理解，也让学生体会到数学与生活的联 系。
创造性，感受数学美，并通过图象的直观教学激发学习
兴趣。
二、过程与方法
教学目标
1.通过直线与椭圆位置的图象的分析，探索弦长公
式推导。
2.培养学生的探究、归纳及概括的能力。
三、知识与技能
1.体会弦长公式的应用。
2.提升学生运算能力。
学生学习能
学生具备直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置
ห้องสมุดไป่ตู้
力分析 关系的知识，两点间的距离公式熟记，本课在老师的引
导下推导弦长公式方法能领会，运算会有障碍，应用公
式不难。
我引导学生利用两点间的距离求弦长之后，让学生 教学策略选
自己动笔推导，要求最简，让他们自己比较，然后老师 择与设计
板书推导，最后通过例题强化应用。