下载文档原格式
小学奥数排列组合常见题型及解题策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34（3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38 B、83 C、38A D、3C8【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。
所以选A二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，那么不同的【例1】,,,,排法种数有A 种【解析】：把,A B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，4424【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A. 360B. 188C. 216D. 96【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A =432 种其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A 种【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（具体数字作答）【解析】： 111789A A A =504【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是【解析】：不同排法的种数为5256A A ＝3600【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
小学数学六年级奥数《最值问题(2)》练习题（含答案）一、填空题1.下面算式中的两个方框内应填 ,才能使这道整数除法题的余数最大. □÷25=104…□2.在混合循环小数 2.718281的某一位上再添上一个表示循环的圆点,使新产生的循环小数尽可能大.写出新的循环小数:3.一个整数乘以13后,乘积的最后三位数是123,那么这样的整数中最小的是 .4.将37拆成若干个不同的质数之和,使得这些质数的乘积尽可能大,那么,这个最大乘积等于 .5.一个五位数,五个数字各不同,且是13的倍数.则符合以上条件的最小的数是 .6.把1、2、3、4...、99、100这一百个数顺序连接写在一起成一个数. Z =1234567891011 (9899100)从数Z 中划出100个数码,把剩下的数码顺序写成一个Z ',要求Z '尽可能地大.请依次写出Z '的前十个数码组成一个十位数 .7.用铁丝扎一个空心的长方体,为了使长方体的体积恰好是216cm 3,长方体的长,宽,高各是 cm 时,所用的铁丝长度最短.8.若一个长方体的表面积为54平方厘米,为了使长方体的体积最大,长方体的长,宽,高各应为 厘米.9.把小正方体的六个面分别写上1、2、3、4、5、6.拿两个这样的正方体,同时掷在桌子上.每次朝上的两个面上的数的和,最小可能是 .最大可能是 ,可能出现次数最多的两个面的数的和是 .10.将进货的单价为40元的商品按50元售出时,每个的利润是10元,但只能卖出500个,已知这种商品每个涨价1元,其销售量就减少10个.为了赚得最多的利润,售价应定为 .二、解答题11.王大伯从家(A 点处)去河边挑水,然后把水挑到积肥潭里(B 点处).请帮他找一条最短路线,在下图表示出来,并写出过程.12.某公共汽车线路上共有15个车站(包括起点站和终点站),公共汽车从起点站到终点站的行驶过程中,每一站(包括起点站)上车的人中恰好在以后的各站都各有1人下车,要使汽车在行驶中乘客都有座位,那么在车上至少要安排乘客A B ·· 河座位多少个?13.有一块长24厘米的正方形厚纸片,如果在它的四个角各剪去一个小正方形,就可以做成一个无盖的纸盒,现在要使做成的纸合容积最大,剪去的小正方形的边长应为几厘米?14.某公司在A,B两地分别库存有某机器16台和12台,现要运往甲乙两家客户的所在地,其中甲方15台,乙方13台.已知从A地运一台到甲方的运费为5百元,到乙方的运费为4百元,从B地运一台到甲方的运费为3百元,到乙方的运费为6百元.已知运费由公司承担,公司应设计怎样的调运方案,才能使这些机器的总运费最省?———————————————答案——————————————————————1. 2426和24因为除数是25,余数最大应是24,所以被除数为25⨯104+24=2426.算式应为2624÷25=104…24.2. 1.2871283. 471设这个整数为1000K+123,其中K是整数.因1000K+123=(1001K+117)+(K-6),1001K和117都是13的倍数,因而(K-6)是13的倍数,K的最小值是6,这个数为6123,6123÷13=471.4. 2618因37=17+11+7+2,它们的积为17⨯11⨯7⨯2=2618.5. 10257五位数字各不相同的最小的五位数是10234.10234÷13=787…3.故符合题意的13的最小倍数为788.验算:13⨯788=10244有两个重复数字,不合题意,13⨯789=10257符合题意.6. 9999978956由计算可知,Z共有192位数,去掉100位数码,还剩92个数字,所以Z'是92位数.对Z'来说,前面的数字9越多,该数越大.因此Z'中开头应尽可能多保留9.在Z中先划去第一个9前的8个数码,再分别划去第二个9、第三个9、第四个9、第五个9前各19个数码，这时共划去了84个数,这时得到的数是: 99999505152535455565758596061……还需要划去16个数码,第六个9前面有19个小于9的数码,划掉7以前的6和6以下的所有数码,这样又划掉16个数码,还剩下7、8、5等3个数码,新组成的数为:999997859606162…99100,前十个数码组成的十位数是9999978596.7.6,6,6设长方体的长、宽、高分别为xcm,ycm和zcm.则有xyz=216.铁丝长度之和为(4x+4y+4z)cm,故当x=y=z=6时,所用铁丝最短.8.3,3,3设长、宽、高分别为x、y、z厘米,体积为V厘米3,则有2(xy+yz+zx)=54,从而xy +yz +zx =27.因V 2=(xyz )2=(xy )(yz )(zx ),故当xy =yz =zx 即x =y =z =3时, V 2有最大值,从而V 也有最大值.9. 7每次朝上的两个面上的和,最小可能是2,这时两个面都出现1,最大可能是12.以朝上的两个面上的数为加数,依次列出的加法算式共有6⨯6=36个,其中和为7的算式共有6个:6+1,5+2,4+3,3+4,2+5,1+6.故每次朝上的两个面上的数的和,可能出现的次数最多是7.10. 20元设每个商品售价为(50+x )元,则销量为(500-10x )个,总共可获利(50+x -40) ⨯(500-10x )=10⨯(10+x )⨯(50-x )元.因(10+x )+(50-x )=60为一定值.故当10+x =50-x ,即x =20时,它们的积最大.11. 以河流为轴,取A 点的对称点C ,连结BC 与河流相交于D 点,再连续AD .则王大伯可沿着AD 走一条直线去河边D 点挑水,然后再沿DB 走一条直线到积肥潭去.这就是一条最短路线.12. 从第一站开始,车上人数为1⨯14,到第二站时,车上人数为2⨯13,依次可算出以下各站车上人数为3⨯12、4⨯11、5⨯10、6⨯9、7⨯8、8⨯6…车上最多的人数为56人,故车上至少应安排乘客座位56个.13. 如图,设剪去的小正方形边长为x 厘米,则纸盒容积为:V =x (24-2x )(24-2x )=2⨯2x (12-x )(12-x )因2x +(12-x )+(12-x )=24是一个定值,故当2x =12-x 时,即x =4时,其乘积最大从而纸盒容积也最大.14. 设由A 地运往甲方x 台,则A 地运往乙方(16-x )台,B 地运往甲方 (15-x )台,B 地运往乙方(x -3)台.于是总运价为(单位:元):S =500x +400(16-x )+300(15-x )+600(x -3)=400x +9100.显然x 满足不等式153≤≤x .故当x =3时,总运费最省,为400⨯3+9100=10300(元).A B D 河流x。
小学数学人教新版六年级上册实用资料最值问题内容概述均值不等式，即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小．各种求最大值或最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的．典型问题2．有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块．那么这4袋糖块的总和最少有多少块?【分析与解】方法一：设这4袋为A、B、C、D，为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21块糖．则当A、B、D三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于21块，验证A、B、C、D 这4袋糖依次有20，20，2l，2l时满足条件，且总和最少．这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块．方法二：设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖，有61616161a b ca b da c db c d++≥⎧⎪++≥⎪⎨++≥⎪⎪++≥⎩①②③④，①+②+③+④得：3（a+b+c+d）≥244,所以a+b+c+d≥8113,因为a+b+c+d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82．评注：不能把不等式列为a b c60a+b+d60a+c+d60b+c+d60++〉⎧⎪〉⎪⎨〉⎪⎪〉⎩①②③④，如果这样将①+②+③+④得到3(a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80，因为a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况．如何避免,希望大家自己解决.4．用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用O，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ．求算式ABC×DE-FGH×IJ的计算结果的最大值．【分析与解】为了使ABC×DE-FGH×IJ尽可能的大，ABC×DE尽可能的大，F GH×IJ 尽可能的小．则ABC×DE最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为7、9，然后为3、5，最后三位数的个位为1，并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751，93．则FGH×IJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为468×20．所以AB C×DE-FG H×IJ的最大值为751×93-468×20=60483．评注：类似的还可以算出FGH×IJ-ABC×DE的最大值为640×82-379×15=46795．6．将6，7，8，9，10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少?【分析与解】我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我们首先考虑10，为了让和数最小，10两边的数必须为6和7．然后考虑9，9显然只能放到图中的位置，最后是8，8的位置有两个位置可放，而且也不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算．8×7+7×10+10×6+6×9+9×8=312;9×7+7×10+10×6+6×8+8×9=313．所以，最小值为312．8．一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少?【分析与解】设这个两位数为ab=lOa+b，它们的数字和为a+b,因为lOa+b=(a+b)+9a，所以lOa+b≡9a(moda+b)，设最大的余数为k，有9a≡k(mod a+b)．特殊的当a+b为18时，有9a=k+18m，因为9a、18m均是9的倍数，那么k也应是9的倍数且小于除数18，即0，9，也就是说余数最大为9；所以当除数a+b不为18，即最大为17时，:余数最大为16，除数a+b只能是17，此时有9a=15+17m，有m=7+9t a=15+17t ⎧⎨⎩(t为可取0的自然数)，而a是一位数，显然不满足；：余数其次为15，除数a+b只能是17或16，除数a+b=17时，有9a=15+17m,有m=6+9ta=13+17t⎧⎨⎩,(t为可取0的自然数)，a是一位数，显然也不满足；除数a+b=16时，有9a=15+16m,有m=3+9ta=7+16t⎧⎨⎩(t为可取0的自然数)，因为a是一位数，所以a只能取7，对应b为16-7=9，满足；所以最大的余数为15，此时有两位数79÷(7+9)=4……15．10．用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少?【分析与解】考虑到对差的影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的百位为9，减数的百位为1，如果差的百位为8，那算式就是如下形式：剩下的6个数字为2、3、4、5、6、7，因为百位数字为8，所以我们可以肯定被减数的十位数字比减数要大，而且至少大2，因为1已经出现在算式中了，算式的可能的形式如下：得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差，或者小1，可能的算式形式如下：但这时剩下的数都无法使算式成立．再考虑差的百位数字为7的情况，这时我们可以肯定减数的十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为8，因此，算式可能的形式为：再考虑剩下的三个数字，可以找到如下几个算式：，所以差最大为784．12. 4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【分析与解】设这四个分数为上12m、12n、12a+1、12b+1(其中m、n、a、b均为非零自然数)有12m+12n=12a+1+12b+1，则有12m-12b+1=12a+1-12n，我们从m=1,b=1开始试验：1 2=16+13=14+14，13=112+14=16+16，1 4=120+15=18+18，15=130+16=110+110，1 6=15+110=112+112，﹍我们发现，15和16分解后具有相同的一项110，而且另外两项的分母是满足一奇一偶，满足题中条件：1 5+115=16+110，所以最小的两个偶数和为6+10=16．14.有13个不同的自然数，它们的和是100．问其中偶数最多有多少个?最少有多少个？【分析与解】 13个整数的和为100，即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为2个，最多为12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个．但是我们必须验证看是否有实例符合．当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而2个不同的奇数和最小为1+3=4．它们的和最小为132+4=136，显然不满足：当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=16，还是大于100，仍然不满足；当有7个不同的偶数，6个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14=56，6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11：36，满足，如2，4，6，8，10，12，22，1，3，5，7，9，11的和即为100．类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的奇数，有2，4，8，10，16，1．3．5，7，9，11，13，15满足．所以，满足题意的13个数中，偶数最多有7个，最少有5个．。
小学六年级奥数计算题及答案：最值问题
★这篇【小学六年级奥数计算题及答案：最值问题】，是特地为大家整理的，希望对大家有所帮助！
一把钥匙只能开一把锁.现在有4把钥匙4把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试( )次才能配好全部的钥匙和锁.
分析：第一把钥匙最坏的情况要试3次，把这把钥匙和这把锁拿出;剩下的3把锁和3把钥匙，最坏的情况要试2次，把这把钥匙和这把锁拿出;剩下的2把锁和2把钥匙，最坏的情况要试1次，把这把钥匙和这把锁拿出;剩下的1把锁和1把钥匙就不用试了.
解：3+2+1=6(次);
答：最多要试6次才能配好全部的钥匙和锁.
故答案为：6.。
组合问题2 姓名1(例)、(1)=C 25 (2) =C 34 (3) =C 142、(1)=C 4850 (2) =-C C 20002001200120023(例)、规定(2)1,10==C C m m m 。
一般C C n m m n m -=。
计算(1)=C 4850 (2) =-C C 20002001200120024、计算（1）=⨯-C C 253102 （2）=-C C 56375(例)、书架上放着6本不同的数学书，从中选出2本书，则有多少种不同的取法？6、小刚要从10本不同的童话书中借给同学4本，共有多少种不同的借法？7(例)、宁波到上海的铁路沿线共有12个火车站，那么共有多少种票价？8、7个同学参加乒乓球赛，每两人都要赛一场，一共要赛多少场？9(例)、从1、2、3、4、5中选两个数作一位数乘法，问（1）有多少种不同的乘法算式？（2）有多少个不同的乘积？10、12支足球队进行比赛，如果实行主客场制的循环赛，则需赛多少场次？如果是单循环比赛，一共要赛多少场？11(例)、从5名男生和4名女生中选出3人去比赛，至少有1名女生，其选法有多少种？12、8个人中选5个人去开会，如果A 、B 只去1人，那么有多少种选法？练习题(A 组)1、从写有1、3、5、6的四张卡片中任取两张，做两个一位数乘法，如果其中的6可看作9，那么共有多少种不同的乘积。
2、在一个圆周上有8个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少条直线？多少个三角形？多少个四边形、3、两人见面要握一下手，照这样规定，9人见面共握多少次手？4、参加数学竞赛的同学每两人握一次手，共握手28次，问参赛队员共有多少人？5、计算(1)=C 68 (2) =-C C 142523 （3）=-C P 27266、一个口袋中有4个小球，另一个口袋中有5个小球，这些球颜色各不相同。
从两个口袋中各取出1个小球，共有多少种不同的结果？7、6种不同的玩具分给三个人，如果每人分两种，共有多少种不同的分法？8、书架上有9本不同的书，小明借1本，小红借2本，小刚借3本，共有多少种不同的借法？B组1、9个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同的选法？2、五个盒子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，贴错的可能情况共有多少种？3、学校大队部要从五年级6个班抽调8名同学，每班至少一名，共有多少种不同的抽调方法？4、学校数学兴趣小组有10名男生，8名女生，现选6人参加省里的比赛，在下列条件下，分别有多少种不同的选法？（1）恰有4名女生参加比赛。
1. 瞭解容斥原理二量重疊和三量重疊的內容；2. 掌握容斥原理的在組合計數等各個方面的應用．一、兩量重疊問題 在一些計數問題中，經常遇到有關集合元素個數的計算．求兩個集合並集的元素的個數，不能簡單地把兩個集合的元素個數相加，而要從兩個集合個數之和中減去重複計算的元素個數，即減去交集的元素個數，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符號“”讀作“並”，相當於中文“和”或者“或”的意思；符號“”讀作“交”，相當於中文“且”的意思．)則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合A B 、的並集AB 的元素的個數，可分以下兩步進行：第一步：分別計算集合A B 、的元素個數，然後加起來，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”進來，加在一起)；第二步：從上面的和中減去交集的元素個數，即減去C AB =(意思是“排除”了重複計算的元素個數)． 二、三量重疊問題A 類、B 類與C 類元素個數的總和A =類元素的個數B +類元素個數C +類元素個數-既是A 類又是B 類的元素個數-既是B 類又是C 類的元素個數-既是A 類又是C 類的元素個數+同時是A 類、B 類、C 類的元素個數．用符號表示為：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．圖示如下：教學目標知識要點7-7-5.容斥原理之最值問題1．先包含——A B +重疊部分A B 計算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重疊部分A B 減去．在解答有關包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來幫助分析思考．【例 1】 “走美”主試委員會為三～八年級準備決賽試題。
第十八讲最值问题二「、最值问题中的常用方法a）极端思考在分析某些最值问题时，可以考虑把问题推向“极端”，因为当某一问题被推向“极端”后，往往能排除许多枝节问题的干扰，使问题的“本来面目”清楚地显露出来，从而使问题迅速获解.b）枚举比较根据题目的要求，把可能的答案一一枚举出来，使题目的条件逐步缩小范围，筛选比较出题目的答案.c）分析推理根据两个事物在某些属性上都相同，猜测它们在其他属性上也有可能相同的推理方法.d）构造调整在寻求解题途径难以进展时，构造出新的式子或图形，往往可以取得出奇制胜的效果.二、求最大值和最小值的结论1和一定的两个数，差越小，积越大；2. 积一定的两个数，差越小，和越小；3. 两点之间线段最短.例1.用一根长80厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的「分析」题目的限制条件是铁丝长为80厘米，要求体积的最大值，通过什么可以把这二者联系起来呢? 练习1、（1）用一根长100 厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的体积最大是多少立方厘米？（2）有一根铁丝，它能焊接成的棱长都是整数厘米的最大长方体的体积是36 立方厘米，这根铁丝的长度是多少厘米？例2．有5袋糖，其中任意 3 袋的总块数都超过60．这5袋糖块总共最少有多少块？「分析」每3 袋的总块数都超过60，要求5 袋的总块数．事实上我们以前做过类似的题：“已知三个数两两的和数，求这三个数的总和．”这样的题大家是怎么处理的呢？它的处理方法能否应用到本题中来呢？练习2、有 5 个学生参加暑期竞赛班，每人都拿了不少积分（所有积分都是整数）．如果其中每三人的积分之和都不少于500 分，那这五人的总积分最少是多少？例3．用1、2、3、4、5、6、7、8、9 各一个组成3个三位数，使得它们都是9的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式．「分析」为了让这样的三个数的乘积最大，我们当然要让三个数的首位最大．那么首位应该是多少呢？注意到这三个数都是9 的倍数，9 的倍数有什么特征呢？它对这三个数提出了怎样的要求？练习3、用1、2、3、4、5、6 各一个组成两个三位数，使得它们都是 3 的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式．例4.把1至99依次写成一排，行成一个多位数：1234_ 9899 •从中划去99个数字，剩下的数字组成一个首位不是 0的多位数.请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能是多 少？「分析」要使得到的数最大，所得的数前面几位应该是什么？如果要最小呢？练习4、把1至20依次写成一排，行成一个多位数：1234_ 1920.从中划去20个数字, 剩下的数字组成一个首位不是 0的多位数.请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能 是多少？例5.邮递员送信件的街道如图所示，每一小段街道长 1千米.如果邮递员从邮局出发，必么邮递员能做到这一点吗？实际上这是一个一笔画问题, 形才能一笔画出来呢?例6.如图，有一个长方体的柜子，一只蚂蚁要从左下角的A 点出发，沿柜子表面爬到右上角的B 点去取食物，蚂蚁爬行路线的长度最短是多少？ 一共有几条最短路线？请在图 中表示出来.「分析」如果邮递员恰好没有重复地走遍所有的街道,则这样走的总路程就是最短的. 那同学们回想一下，什么样的图「分析」众所周知，两点之间线段最短.然而在本题中，蚂蚁是不能穿过柜子的，只能在柜子表面爬行•这样一来，我们就要在柜子表面寻找一条从A到B的最短路线•可是蚂蚁应该怎么走才能距离最短呢？罐头装箱问题我们经常遇到把圆柱体罐头放入长方体包装箱的问题， 怎么摆放才能最有效地利用包装箱内的空间呢？一种显而易见的办法是把各圆排列成矩形的形状，像图1这样.它是一种较优排法，但不是最优的办法.没有最大限度地利用空间， 浪费不少，圆的面积只占总共的 78.5% .图1 图2比上述办法好得多的办法， 是将罐头摆放成图2所示的六边形.不难算出，正六边 形内圆所覆盖的面积超过了 90%.实际上，数学家已经证明了如果空间是无限延展的， 这种六边形摆放法是最紧密的包装方式.但是正六边形摆法的最紧密性质是有条件的，尤其在盒子不太大的时候.例如要放9个罐头，正六边形摆法需要的正方形不是最小的•如图3，它的放法就不比图 4好.当罐头数目增加时，放罐头的最佳包装法会不断在变，越来越 倾向于正六边形排法.比如，13个罐头的最优包装法，用边长大约为圆直径3.7倍的正方形就够了•如图 5，虽然它看上去乱糟糟，但已被证明为最优 解•我们可以看到，12个罐头紧紧地靠在一起，而第 13个（黄色的那个）则自由自在地放在中间.最后，大家思考一个问题：设 1角钱硬币的直径为 a 厘米，那么我们在边长为 10a 厘米的正方形中，最多可以不重叠地放入多少枚硬币呢？是 100枚吗？能否放进去更多？图3图5作业1. 用一根长120厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的体积最大是多少立方厘米？2. 高、娅、莫、萱四人各有若干块高思勋章，其中任意两人的勋章合起来都少于10块，那么这四人的勋章合起来最多有多少块？3. 用1、2、3、4、5、6、7、8各一个组成两个四位数，使得它们都是3的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式.4. 把21至40依次写成一排，行成一个多位数：21222324. 3940 .从中划去20个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数.请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能是多少？5. 如果例题5中的街道由“土”字形变成如下所示的形状，那么邮递员从邮局出发，要走遍所有的街道，最少需要走多少千米？第十八讲最值问题二例7. 答案：294详解：长方体满足：长宽高80 4 20 厘米，要使体积最大，就应该使三边长度尽量接近.所以当三边长度分别为7厘米、7厘米和6厘米时，体积最大，为7 7 6 294 立方厘米.例8. 答案：103详解：任意 3 袋糖果总块数都不少于61，必能取出一袋不少于21块糖果；现在余下 4 袋，同样可以有糖果数超过21块的袋子，再取走这袋.现在余下三袋了，这三袋糖果总和不少于61，所以总的糖果不少于61+21+21=103 块.由于 5 袋糖果分别有21、21、21、20、20 块，是符合要求的，所以103 就是最小值.例9.答案：954X873X621详解：每个数都是9 的倍数，说明每个数的各位数字之和都是9 的倍数.由于1到9 总的数字和是45，而且每个数的各位数字之和都不超过7+8+9=24，因而三个数的各位数字之和分别为18、18 和9.各位数字之和为9 的数最大只能是621.其余两个数乘积要尽量大且各自的各位数字之和是18，百位取9 和8，十位取7 和5，个位取4和3，有最大乘积954X872，故所求的乘法算式是954X873X521 .例10 . 答案：最大为999997585960 ...9899 ;最小是10000012345061626364 (9899)详解：（1）要使剩下的数尽量大，就要让数的最前面剩下尽可能多的9.首先，最开头的12345678 这8 个数字是要去掉的，留下了第一个9;然后去掉1011121314151617181共19个数字，留下了第二个9;再去掉 3 次的19个数，使得剩下第3、4、5个9.现在已经去掉了一共8+19X4=84 个数，剩下的数前 5 个数字都是9，然后是50515253545556575859 一直写到9899，还能再去掉15 个数.但我们到下一个9要去掉19个数，到下一个8 要去掉17个数，到下一个7 要去掉15个数，于是最后结果的第6 个数字最大是7，应该去掉的15 个数字为505152535455565.所以剩下的数最大为999997585960 (9899)（2）要使剩下的数尽量小，就要让数的首位是1，第二位起是尽量多的0．首位上的1取第一个数字 1就行了 .然后去掉 234567891共9个数，留下第一个 0;再去掉1112131415161718192共19个数，留下第2个0;再去掉3次的19个数，就能得到第 3、4、5个0.现在一共去掉了 9 19 4 85个数，剩下的数前六个数字是1、0、0、0、0、0,余下的部分是 515253545556575859 一直写到9899，还能再去掉14个数.下一 位取不到0 了，只能去掉一个 5,留下1;再下一位连1都取不到，只能去掉 1个5, 取2；再去掉一个5,留下3 ;去掉一个5,留下4 •现在还能再去掉10个数字，而剩 下的是55565758596061••…，接下来11个数中最小的数是 5,所以取一个 5•然后剩 下的数前11个数字为55657585960 ,因而我们去掉10个数字5565758596,使下一位达 到最小数字0.所以最后剩下的数最小是 1000001234506162636…9899 .例11 . 答案：26他至少应该多走1千米街道，最小是26千米.在图2中, 26千米走遍所有街道的一种方法.例12 . 答案：最短的长度是 5; 4详解：为了表示方便，我们把长方体的各个顶点都标上字母，如图3.蚂蚁要从A 处爬到B 处，途中必须经过两个相邻的面， 两个相邻面的交线必是 EH 、HF 、FG 、GC 、CD 、 DE 六条线段中的一条.一共六种情况，但由对称性，可分为三类，每类两种：交线是FG 、DE 的情形为一类，交线是 HE 、GC 的情形为一类，交线是 FH 、DC 的情形为一 类.详解: 如图1,由于的A 、 B 两点连出的边是 3条，也就是奇数条，仅当 A 与B 为出发点和终点时，才能一笔画.我们不能从邮局出发一笔把这个图画出, 即邮递员不能只把每条街道走一遍就回到邮局, 1 1 1图2我们给出了邮递员走图1图3 图4情况1：如果蚂蚁所经过的两相邻面是ACGF和FGBH ,那么我们可以沿着它们的交线FG把这两个面展开到同一个平面上，如图 4 •这样蚂蚁的整个行走路线就在这一个平面上，而且以A为起点，B为终点•此时从A到B的最短连线就是A、B两点的连线,它恰好直角三角形ABC的斜边. 由于AC 3 , BC 3 1 4，因此AB 5 •D B1图63 C 3 GHF G33 CH7D： 1B图A73 C情况2：如果两相邻面的交线是GC •同样我们也可以沿着GC,把两个相邻面展开到同一个平面上，如图 5 .此时A、B两点的连线是直角三角形ABD的斜边•由于BD 3 ,AD 3 1 4，因此AB 5 .情况3：如果两相邻面的交线是DC •同样我们也可以沿着DC ,把两个相邻面展开到同一个平面上，如图 6 .此时A、B两点的连线是直角三角形AGB的斜边，一定比直角边AG长.而AG的长度是3 36，所以AB 一定大于6・其余三种情况的最短路线与上面的情况1、2、3对应相同. 所以爬行路线长度最少是5, (1)和(2)的情形都符合要求，加上与它们对应的两种，所以一共会有4条最短路线.展开图还原到原来的图中，就是所求的最短路线(如图7) •因此在长方体表面，从到B的最短路线的长度是5, 一共有4条满足要求.练习1、答案：576简答：100 4 25 8 8 9 ，8 8 9 576 ．练习2、答案：834简答：总积分最少是167 167 500 834 ，此时 5 人分数可以是166、167、167、167、167．练习3、答案：642 X 531简答： 6 和 5 分别放在两个数的百位上，结合各位数字之和是 3 的倍数，可得到乘积最大的算式642 531 ．练习4、答案：95617181920；10111111110简答：同例4，由于题目中数位较少枚举即可，注意计算的准确性．作业6. 答案：1000简答：120 4 30 10 10 10 ，10 10 10 1000 ．7. 答案：17简答：必有两人的勋章数都不多于 4 块，余下两人勋章数之和不多于9 块，因而最多只能有 4 4 9 17 块．8. 答案：8532 7641简答：首位要尽量大，取8 和7，次位也尽量大，取 6 和5，然后是十位要尽量大，从 4 和 3 里取．也就是前三位分别取853和764能使乘积最大．但还要保证都是3的倍数，故只能是8532 和7641，所求的乘法算式是8532 7641 ．9. 答案：93333334353637383940；1012333435363738394010. 答案：36简答：这个图是可以一笔画画出的，最少路程等于街道全程36 千米．。
小学奥数容斥原理之最值问题1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．知识要点教学目标7-7-5.容斥原理之最值问题1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去． 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．【例 1】 “走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。
最值问题(小学奥数)在小学奥数中，最值问题是一个常见的题型。
最值问题主要考察学生对数值的理解和比较能力。
本文将从解题思路、答题技巧以及相关例题来进行详细讨论。
解题思路：在解决最值问题时，首先需要明确题目要求求解的最大值或最小值是什么，然后根据题目给出的条件和限制条件进行分析。
常见的解题思路有以下几种：1. 穷举法：逐个尝试所有可能的情况，将每种情况计算出来的结果进行比较，找出最大值或最小值。
2. 推理法：通过观察已知条件和限制条件，进行逻辑推理，找到最值的可能位置，并进行比较。
3. 抽象问题：将问题进行数学建模，通过建立数学模型，利用数学方法求解最值问题。
答题技巧：在解决最值问题时，以下几点技巧可以帮助学生提高解题效率和准确性：1. 变量转化：对于涉及多个变量的最值问题，可以通过变量的转化，将问题简化为只涉及一个变量的问题。
2. 条件整理：对于给定的条件和限制条件，可以进行整理和分类，找到与最值问题相关的条件，有针对性地分析和求解。
3. 符号表示：在解题过程中，合理地使用符号表示，可以简化计算过程，提高解题效率。
例如，用代数式表示最值问题，通过求导等数学方法求解。
例题一：某次数学竞赛的“200米冲刺”项目中，小明和小红两位选手进行了比赛。
根据记录，小明在前半程跑得较快，但在后半程稍有掉队。
已知小明最终耗时为30秒，小红的总用时比小明多1秒。
求小明和小红的前后半程用时各为多少？解析：设小明的前半程用时为x秒，则后半程用时为30 - x 秒。
根据题目所给条件，可以列出方程：x + (30 - x) + 1 = 30。
解方程可得小明前半程用时29秒，后半程用时1秒。
小红的前半程用时为30 - 1 = 29秒，后半程用时为1秒。
因此，小明的前半程用时为29秒，后半程用时为1秒；小红的前半程用时为29秒，后半程用时为1秒。
例题二：甲乙两个国家的人口分别是1000万和2000万。
假设甲国每年的人口增长率是2%，乙国每年的人口增长率是3%。
年级四年级学科奥数版本通用版课程标题最值问题（二）最值问题是数学中一类较具挑战性的问题。
其实，数学史上也有不少与最值问题相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：海伦是古希腊精通数学、物理的学者，相传有位将军曾向他请教一个问题——如图，从A点出发，到笔直的河岸去饮马，然后再去B地，走什么样的路线最短呢？海伦轻松地给出了答案：作点A关于直线的对称点A′，连接A′B交直线于点P，则PA＋PB＝A′B 的值最小。
在最值问题中，判断某一结果是不是正确的最值，一般有两条判断标准，两者缺一不可：1. 不可能出现更大（更小）的结果，也就是说当超出该结果时，会与题目条件产生矛盾，所以检验该标准一般使用反证法；2. 所得到的结果必须是可行的，检验该标准一般是将结果放到题目条件中检验，最好能构造出符合条件的情况，以保证答案的正确性。
例1 一个三位数等于它各位上数字之和的19倍，这个三位数最大是多少？最小是多少？分析与解：设百位数字为A，十位数字为B，个位数字为C，则100A＋10B＋C＝19（A＋B＋C），81A＝9B＋18C，9A＝B＋2C。
又因为B＋2C是在0到27之间，所以A只能不超过3，当A最大取3时，可得B最大可取9，此时C＝9，即这个三位数最大为399；当A最小取1时，可得B最小可取1，此时C＝4，即这个三位数最小为114。
例2 已知a 、b 、c 、d 、e 、f 是不同的自然数，且前面标有两个箭头的每一个数恰等于箭头起点的两数的和（如b ＝a ＋d ），那么图中c 最小应为多少？分析与解：先把图中箭头所代表的加法含义写出来，如图。
d 应当取最小值1，那么a 和f 只能一个为2，另一个为4。
这样，根据b ＝a ＋d ，e ＝d ＋f ，可知b 和e 只能一个为3，另一个为5，而c ＝b ＋e 。
所以c 最小应为3＋5＝8。
请同学们思考：a 、d 、f 中为什么不能取最小的自然数0呢？（因为如果其中有0，就会出现两数相等的情况，与已知的条件矛盾）例3 a 和b 是小于100的两个不同的非零自然数，求b a b a ＋－的最大值。
