第十一章习题11.4答案

1 11.4 函数展开成幂级数

习题11.4

1. 求函数cosfxx的泰勒级数，并验证它在整个数轴上收敛于此函数。

解：因为coscos2nnxx，所以

00000cos2coscoscos2!nnxfxxxxxxxxn。

又因为10cos01!nnRxxxn，所以在整个数轴上

00000cos2coscoscos2!nnxfxxxxxxxxn。

2. 将下列函数展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间：

（1）;2xxeeshx

解：21000!!,,.2221!nnxxnnnnxxeexnnshxxn

（2）ln0;axa

解：111lnlnln1ln,,.nnnnxaxaaxxaaana

（3）2sin;x

解：212201cos212sin1,,.222!nnnnxxxxn

（4）1ln1;xx

解：112111ln11,1,1.1nnnnnnxxxxxxxnnn

（5）2;1xx 2 解：22121121!!21!!111,1,1.2!!2!!1nnnnnnnnxxxxxxnnx

3. 将下列函数展开成1x的幂级数，并求展开式成立的区间：

（1）3x；

解：

33222333113222111112!1325!!3111,0,2.22!nnnnnnnxxxxnnxxxn

（3）lgx；

解：11ln111lg1,0,2.ln10ln10nnnxxxxn

4. 将函数cosfxx展开成3x的幂级数。

解：

2210013coscoscossin332323133311,,.22!221!nnnnnnfxxxxxxxxnn

5.

将函数1fxx展开成3x的幂级数。

解：10311111,0,6.3333313nnnnxfxxxxx

6. 将函数2132fxxx展开成4x的幂级数。

解： 3 200110111113212243444111111442322331123114,6,2.23nnnnnnnnnnfxxxxxxxxxxxxx

7．将下列函数展开成x的幂级数：

（1）2ln1;xx

解：'222121!!1ln111,1,12!!1nnnnxxxxnx，积分得

221121!!ln11,1,1.212!!nnnnxxxxxnn

(2) 21;2x

解：10111,2,2.22212nnnxxxx，求导得12111,2,2.22nnnnxxx

8.求下列数项级数的和：

（1）21;!nnn

解：2111211112.!!!2!1!nnnnnnnnnennnnn

（2）011;21!nnnn

解：

000011221111111121!221!22!221!cos1sin1.2nnnnnnnnnnnnnn

9.利用某些函数的已知展开式求下列函数在0x处的幂级数展开式，并确定收敛范围：

（1）0;xaa 4 解：ln0ln,,.!nnxxanaxaexn

（2）20;xtedt

解：2221000011,,.!21!nnnxxtnnntedtdtxxnnn

（3）10;aax

解：10111,,.1nnnxxaaxaxaaa

(4) ln0;axa

解：111lnlnln1ln,,.nnnnxaxaaxxaaana

(5) 2cos;x

解：22201cos2112cos1,,.2222!nnnnxxxxn

(6) 3sin;x

解：

21212130031313sinsinsin311,,.44421!421!nnnnnnnxxxxxxnn

(7) sin;4x

解：

2120022sinsincos11,,.42221!2!nnnnnnxxxxxxnn(8) 2ln12;xx

解： 5 121111121ln12ln12ln112111,,.22nnnnnnnnnnxxxxxxnnxxn

（9）2;12xxx

解：

120010111121112312313312111,,.322nnnnnnnnnnxxxxxxxxx

(10) 111arctanln;241xxx

解：'2201arctan11nnnxxx,逐项积分得

212000arctan11,1,1;21nxnnnnnxxxdxxn所以

1210112141210001111111arctanln1241221411,1,1.22122141nnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxnnnxxxxnnn

10.求下列函数在指定点的幂级数展开式，并求其收敛范围：

（1）221,xx在1x处；

解：222211411414.,.xxxxxxx

（2）cos,x在3x处；

解：

2210013coscoscossin3323231113,,.22!3221!3nnnnnnxxxxxxxnn

（3）,xe在1x处； 6 解：101,,.!nxxnexeeexn

(4) 1,x在3x处；

解：101111113,0,6.3333313nnnnxxxxx

11.将1xdedxx展开为x的幂级数，并证明

11.1!nnn

证明：21112111!!1!nxnnnnnnxdedxnxdxxdxnnn，取1x，得2111111.1!xxxnxxndexeendxxx