人教A版高中数学必修五第二章2.4(二).docx
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桑水
§2.4 等比数列(二)
课时目标
1．进一步巩固等比数列的定义和通项公式．
2．掌握等比数列的性质，能用性质灵活解决问题．
1．一般地，如果m，n，k，l为正整数，且m＋n＝k＋l，则有am·an＝ak·al，特别地，当m＋n＝2k时，am·an＝a2k.
2．在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．
3．如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列{1an}，{an·bn}，{bnan}，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为1q1，q1q2，q2q1，|q1|.
一、选择题
1．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
答案 C
解析 在等比数列{an}中，∵a1＝1，
∴am＝a1a2a3a4a5＝a51q10＝q10.
∵am＝a1qm－1＝qm－1，
∴m－1＝10，∴m＝11.
2．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于( )
A．3 B．2 C．1 D．－2
答案 B
解析 ∵y＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2.
又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.
3．若a，b，c成等比数列，m是a，b的等差中项，n是b，c的等差中项，则am＋cn＝( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 C —————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————
桑水 解析 设等比数列公比为q.
由题意知：m＝a＋b2，n＝b＋c2，
则am＋cn＝2aa＋b＋2cb＋c＝21＋q＋2q1＋q＝2.
4．已知各项为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于( )
A．52 B．7
C．6 D．42
答案 A
解析 ∵a1a2a3＝a32＝5，∴a2＝35.
∵a7a8a9＝a38＝10，∴a8＝310.
∴a25＝a2a8＝350＝5013，
又∵数列{an}各项为正数，
∴a5＝5016.
∴a4a5a6＝a35＝5012＝52.
5．在由正数组成的等比数列{an}中，若a4a5a6＝3，log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9的值为( )
A.43 B.34 C．2 D．343
答案 A
解析 ∵a4a6＝a25，∴a4a5a6＝a35＝3，得a5＝313.
∵a1a9＝a2a8＝a25，
∴log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9＝log3(a1a2a8a9)
＝log3a45＝log3343＝43.
6．在正项等比数列{an}中，an＋1 A.56 B.65 C.23 D.32 答案 D 解析 设公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且an＋1 由a2·a8＝6，得a25＝6. ∴a5＝6，a4＋a6＝6q＋6q＝5. 解得q＝26，∴a5a7＝1q2＝(62)2＝32. 二、填空题 7．在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝16，则a3＝________. 答案 4 解析 由题意知，q4＝a5a1＝16，∴q2＝4，a3＝a1q2＝4. 8．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________. 答案 －6 解析 由题意知，a3＝a1＋4，a4＝a1＋6. ∵a1，a3，a4成等比数列， ∴a23＝a1a4，∴(a1＋4)2＝(a1＋6)a1， —————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 —————————— 桑水 解得a1＝－8，∴a2＝－6. 9．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________． 答案 8 解析 设这8个数组成的等比数列为{an}， 则a1＝1，a8＝2. 插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8. 10．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则a2－a1b2的值是________． 答案 12 解析 ∵－1，a1，a2，－4成等差数列，设公差为d， 则a2－a1＝d＝13[(－4)－(－1)]＝－1， ∵－1，b1，b2，b3，－4成等比数列， ∴b22＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝±2. 若设公比为q，则b2＝(－1)q2，∴b2<0. ∴b2＝－2，∴a2－a1b2＝－1－2＝12. 三、解答题 11．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数． 解 设这四个数分别为x，y,18－y,21－x， 则由题意得 y2＝x18－y218－y＝y＋21－x， 解得 x＝3y＝6或 x＝754，y＝454. 故所求的四个数为3,6,12,18或754，454，274，94. 12．设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列． 证明 设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠0，q≠0，p≠q，cn＝an＋bn. 要证{cn}不是等比数列，只需证c22≠c1·c3成立即可． 事实上，c22＝(a1p＋b1q)2＝a21p2＋b21q2＋2a1b1pq， c1c3＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2) ＝a21p2＋b21q2＋a1b1(p2＋q2)． 由于c1c3－c22＝a1b1(p－q)2≠0，因此c22≠c1·c3，故{cn}不是等比数列． 能力提升 13．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a等于( ) A．4 B．2 C．－2 D．－4 答案 D 解析 依题意有 2b＝a＋c， ①a2＝bc， ②a＋3b＋c＝10， ③ ①代入③求得b＝2. —————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 —————————— 桑水 从而 a＋c＝4，a2＝2c⇒a2＋2a－8＝0， 解得a＝2或a＝－4. 当a＝2时，c＝2，即a＝b＝c与已知不符， ∴a＝－4. 14．等比数列{an}同时满足下列三个条件： ①a1＋a6＝11 ②a3·a4＝329 ③三个数23a2，a23，a4＋4a依次成等差数列，试求数列{an}的通项公式． 解 由等比数列的性质知a1a6＝a3a4＝329 ∴ a1＋a6＝11a1·a6＝329解得 a1＝13a6＝323求 a1＝323a6＝13 当 a1＝13a6＝323时q＝2 ∴an＝13·2n－1 23a2＋a4＋49＝329，2a23＝329 ∴23a2，a23，a4＋49成等差数列， ∴an＝13·2n－1 当 a1＝323a6＝13时q＝12，an＝13·26－n 23a2＋a4＋49≠2a23， ∴不符合题意， ∴通项公式an＝13·2n－1. 1．等比数列的基本量是a1和q，依据题目条件建立关于a1和q的方程(组)，然后解方程(组)，求得a1和q的值，再解决其它问题． 2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在an，an＋1，an＋2，使a2n＋1≠an·an＋2. 3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．
