人教A版高中数学必修五第二章2.3(一).docx

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桑水

§2.3 等差数列的前n项和(一)

课时目标

1．掌握等差数列前n项和公式及其性质．

2．掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn之间的关系．

1．把a1＋a2＋…＋an叫数列{an}的前n项和，记做Sn.例如a1＋a2＋…＋a16可以记作S16；a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝Sn－1 (n≥2)．

2．若{an}是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn＝na1＋an2；若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn＝na1＋12n(n－1)d.

3．等差数列前n项和的性质

(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列Snn也是等差数列，且公差为d2.

(2)Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列．

(3)设两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，则anbn＝S2n－1T2n－1.

一、选择题

1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于( )

A．13 B．35

C．49 D．63

答案 C

解析 S7＝7a1＋a72＝7a2＋a62＝49.

2．等差数列{an}中，S10＝4S5，则a1d等于( )

A.12 B．2 —————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————

桑水 C.14 D．4

答案 A

解析 由题意得：

10a1＋12×10×9d＝4(5a1＋12×5×4d)，

∴10a1＋45d＝20a1＋40d，

∴10a1＝5d，∴a1d＝12.

3．已知等差数列{an}中，a23＋a28＋2a3a8＝9，且an<0，则S10为( )

A．－9 B．－11 C．－13 D．－15

答案 D

解析 由a23＋a28＋2a3a8＝9得

(a3＋a8)2＝9，∵an<0，

∴a3＋a8＝－3，

∴S10＝10a1＋a102

＝10a3＋a82＝10×－32＝－15.

4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36.则a7＋a8＋a9等于( )

A．63 B．45 C．36 D．27

答案 B

解析 数列{an}为等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，

∵S3＝9，S6－S3＝27，则S9－S6＝45.

∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45.

5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )

A．765 B．665 C．763 D．663

答案 B

解析 ∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，∴n<15，

∴n＝14，S14＝14×2＋12×14×13×7＝665.

6．一个等差数列的项数为2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，则该数列的公差是( )

A．3 B．－3 C．－2 D．－1

答案 B

解析 由 a1＋a3＋…＋a2n－1＝na1＋nn－12×2d＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝na2＋nn－12×2d＝72，

得nd＝－18.

又a1－a2n＝－(2n－1)d＝33，所以d＝－3.

二、填空题

7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.

答案 15

解析 设等差数列的公差为d，则

S3＝3a1＋3×22d＝3a1＋3d＝3，

即a1＋d＝1，

S6＝6a1＋6×52d＝6a1＋15d＝24， —————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————

桑水 即2a1＋5d＝8.

由 a1＋d＝1，2a1＋5d＝8，解得 a1＝－1，d＝2.

故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.

8．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知SnTn＝7n＋2n＋3，则a5b5的值是________．

答案 6512

解析 a5b5＝9a1＋a99b1＋b9＝S9T9＝6512.

9．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为________．

答案 10

解析 S奇＝n＋1a1＋a2n＋12＝165，

S偶＝na2＋a2n2＝150.

∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴n＋1n＝165150＝1110，

∴n＝10.

10．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则数列{an}的前3m项的和S3m的值是________．

答案 210

解析 方法一 在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．

∴30,70，S3m－100成等差数列．

∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.

方法二 在等差数列中，Smm，S2m2m，S3m3m成等差数列，

∴2S2m2m＝Smm＋S3m3m.

即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.

三、解答题

11．在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.

解 由 an＝a1＋n－1d，Sn＝na1＋nn－12d，

得 a1＋2n－1＝11，na1＋nn－12×2＝35，

解方程组得 n＝5a1＝3或 n＝7，a1＝－1.

12．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列Snn的前n项和，求Tn.

解 设等差数列{an}的公差为d，

则Sn＝na1＋12n(n－1)d， —————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————

桑水 ∵S7＝7，S15＝75，∴ 7a1＋21d＝715a1＋105d＝75，

即 a1＋3d＝1a1＋7d＝5，解得 a1＝－2d＝1，

∴Snn＝a1＋12(n－1)d＝－2＋12(n－1)，

∵Sn＋1n＋1－Snn＝12，

∴数列Snn是等差数列，其首项为－2，公差为12，

∴Tn＝n×(－2)＋nn－12×12＝14n2－94n.

能力提升

13．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )

A．9 B．10 C．19 D．29

答案 B

解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．

∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12.

当n＝19时，S19＝190.

当n＝20时，S20＝210>200.

∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．

14．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且AnBn＝7n＋45n＋3，则使得anbn为整数的正整数n的个数是( )

A．2 B．3 C．4 D．5

答案 D

解析 anbn＝A2n－1B2n－1＝14n＋382n＋2＝7n＋19n＋1

＝7n＋1＋12n＋1＝7＋12n＋1，

∴n＝1,2,3,5,11.

1．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量．

在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a1及末项an，用公式Sn＝na1＋an2较好，若已知首项a1及公差d，用公式Sn＝na1＋nn－12d较好．

2．等差数列的性质比较多，学习时，不必死记硬背，可以在结合推导过程中加强记忆，并在解题中熟练灵活地应用．