北师大版九年级上册数学学案4.5相似三角形判定定理的证明

北师大版数学九年级上册4.5相似三角形判定定理的证明教学设计

一、教学目标

（一）知识与技能

1. 学生能理解相似三角形的定义，掌握相似三角形的判定方法，包括AA、SAS、SSS相似定理。

2. 学生能够运用相似三角形的判定定理证明线段、角的相等及比例关系，解决相关问题。

3. 学生能够运用相似三角形的性质，解决平面几何中的实际问题，如计算长度、面积等。

4. 学生通过相似三角形的学习，提高几何图形的观察能力，培养逻辑思维和推理能力。

（二）过程与方法

1. 教学过程中，通过引导学生观察、分析、猜想、归纳，培养他们发现问题和解决问题的能力。

2. 通过小组合作、讨论交流等形式，让学生在合作中学习，培养团队协作能力。

3. 运用多媒体教学手段，展示动态的相似三角形变换过程，增强学生的直观感受，提高学习兴趣。

4. 设计不同难度的练习题，让学生在练习中巩固知识，逐步提高解题能力。

（三）情感态度与价值观

1. 培养学生对数学几何知识的兴趣，激发他们主动探索、发现问题的热情。

2. 培养学生面对困难时的坚持和毅力，使他们认识到学习数学需要勤奋和努力。

3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，使他们认识到数学在生活中的重要性。

4. 培养学生正确的审美观念，欣赏几何图形的对称美、比例美，提高他们的审美能力。

在教学过程中，教师要关注学生的个体差异，因材施教，充分调动学生的学习积极性，使他们在轻松愉快的氛围中掌握相似三角形的判定定理，提高数学素养。同时，注重培养学生的逻辑思维、推理能力和实际问题解决能力，为他们的终身学习奠定基础。

二、学情分析

九年级的学生已经具备了一定的几何图形观察能力、逻辑思维和推理能力，对相似三角形的概念有初步的了解。在此基础上，他们对相似三角形的判定定理的学习将更加深入。然而，学生在掌握相似三角形判定方法的过程中，可能会遇到以下问题：对判定条件的理解不够深刻，容易混淆；在解决实际问题时，不能灵活运用判定定理。针对这些情况，教师应充分关注学生的认知水平，通过生动的案例、形象的比喻和循序渐进的引导，帮助学生克服困难，提高他们运用相似三角形判定定理解决问题的能力。同时，注重激发学生的学习兴趣，鼓励他们积极参与课堂讨论，培养他们的自主学习能力与合作精神。在教学过程中，关注学生的情感态度，营造轻松、和谐的学习氛围，使他们在愉悦的情感体验中掌握知识，提升数学素养。

初中数学

1 相似三角形的判定

：

【学习目标】

1．初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”两角对应相等，两个三角形相似的判定方法．的判定方法，

2．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．

【学习重点】掌握3种判定方法，会运用3种判定方法判定两个三角形相似。

【学习难点】

（1）三角形相似的条件归纳、证明；

（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．

【学习过程】

[知识回顾]

(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？

(2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？

(3) 相似三角形与全等三角形有怎样的关系？

探究研讨1

[活动1]

1、如图，如果要判定△ABC与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？

2、可否用类似于判定三角形全等的SSS方法，能否通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？

[活动2]任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论。

（1）问题：怎样证明这个命题是正确的呢？

（2）探求证明方法．（已知、求证、证明）

如图27.2-4，在△ABC和△A′B′C′中，ACCACBBCBAAB，

求证△ABC∽△A′B′C′

证明 ：

初中数学

2

【归纳】

三角形相似的判定方法1

如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似．

例题：如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：△ABC∽△DEF．

判定方法2：如果一个三角形的两条边与另外一个三角形的两条边对应成比例，并且这两条边的夹角相等，那么这两个三角形相似，简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

*4.5 相似三角形判定定理的证明

【学习目标】

1．了解相似三角形判定定理的证明过程，知道构造全等三角形是一种有效的证明方法．

2．进一步掌握相似三角形的三个判定定理．

【学习重点】

掌握相似三角形的三个判定定理．

【学习难点】

通过已有的知识储备，相似三角形的定义以及构造三角形全等的方法完成证明过程．

情景导入 生成问题

我们已经学习过相似三角形的判定定理有哪些？你能证明它们一定成立吗？

答：相似三角形的判定定理有：(1)两角分别相等的两个三角形相似；(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边成比例的两个三角形相似．

自学互研 生成能力

知识模块一 相似三角形判定定理的证明

先阅读教材P99－101的内容，然后完成下面的填空：

如图，已知△ABC和△A1B1C1，∠A＝∠A1，ABA1B1＝ACA1C1，求证：△ABC∽△A1B1C1.证明的主要思路是，在边AD上截取AD＝A1B1，作DE∥BC，交AC于E，在△ABC中构造△ADE∽△ABC，再通过比例式得AE＝A1C1，证△A1B1C1≌△ADE，从而得到△A1B1C1∽△ABC.

1．证明：两角分别相等的两个三角形相似，见教材P99－100页．

2．证明：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，见教材P100－101页．

3．证明：三边成比例的两个三角形相似，见教材P101－102页．

知识模块二 相似三角形判定定理的应用

解答下列各题：

1．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：①ABA′B′＝BCB′C′；②BCB′C′＝ACA′C′；③∠A＝∠A′；④∠C＝∠C′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有( C )

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组

2．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试证明：△ABF∽△EAD.

证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，∴∠BAF＝∠AED.∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°.∴∠AFB＝∠D，∴△ABF∽△EAD.

1 4.5 相似三角形判定定理的证明

学习目标：

1、进一步复习巩固相似三角形的判定定理.

2、能灵活运用相似三角形的判定定理证明和解决有关问题.

学习重点：灵活运用相似三角形的判定定理证明和解决有关问题.

预设难点：灵活运用相似三角形的判定定理证明和解决有关问题.

【预习案】

一、链接

回忆相似三角形的判定定理的内容：

定理1可简单说成： .

定理2可简单说成： .

定理3可简单说成： .

直角三角形相似的特殊判定定理： .

二、导读

1、想一想：判定一般的两个三角形相似有几种方法？判定两个直角三角形相似有几种方法？

2、想一想如何根据已知条件来选择三角形相似的判定方法？

【探究案】

1、如图，点D为△ABC的AB边一点（AB>AC）,下列条件不一定能保证

△ACD∽△ABC的是（ ）．

A.∠ADC=∠ACB B.∠ACD=∠B C..DCADADACDBCACACAB

2、已知：如图，∠ABE=90°，且AB=BC=CD=DE，请认真研究图形与所给条件，然后回答：图中是否存在相似的三角形？若存在，请加以说明；若不存在，请说明理由．

3、已知△ABC，△DCE，△EFG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG•在同一直线上，且AB=3，BC=1，连接BF，分别交AC，DC，DE于P，Q，R．求证：△BFG∽△FEG，尝试用不同的方法证明.

2

【训练案】

1、下列图形不一定相似的是（ ）．