九年级数学上册 4.5 相似三角形判定定理的证明导学案
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1 相似三角形判定定理的证明
【学习目标】
1．了解相似三角形判定定理的证明过程，知道构造全等三角形是一种有效的证明方法．
2．进一步掌握相似三角形的三个判定定理．
【学习重点】
掌握相似三角形的三个判定定理．
【学习难点】
通过已有的知识储备，相似三角形的定义以及构造三角形全等的方法完成证明过程．
情景导入 生成问题
我们已经学习过相似三角形的判定定理有哪些？你能证明它们一定成立吗？
答：相似三角形的判定定理有：(1)两角分别相等的两个三角形相似；(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边成比例的两个三角形相似．
自学互研 生成能力
知识模块一 相似三角形判定定理的证明
先阅读教材P99－101的内容，然后完成下面的填空：
如图，已知△ABC和△A1B1C1，∠A＝∠A1，ABA1B1＝ACA1C1，求证：△ABC∽△A1B1C1.证明的主要思路是，在边AD上截取AD＝A1B1，作DE∥BC，交AC于E，在△ABC中构造△ADE∽△ABC，再通过比例式得AE＝A1C1，证△A1B1C1≌△ADE，从而得到△A1B1C1∽△ABC.
1．证明：两角分别相等的两个三角形相似，见教材P99－100页．
2．证明：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，见教材P100－101页．
3．证明：三边成比例的两个三角形相似，见教材P101－102页．
知识模块二 相似三角形判定定理的应用
解答下列各题：
2 1．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：①ABA′B′＝BCB′C′；②BCB′C′＝ACA′C′；③∠A＝∠A′；④∠C＝∠C′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有( C )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
2．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试证明：△ABF∽△EAD.
证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，∴∠BAF＝∠AED.∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°.∴∠AFB＝∠D，∴△ABF∽△EAD.
典例讲解：
已知，如图，D为△ABC内一点，连接BD、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，连接DE.求证：△DBE∽△ABC.
分析：由已知条件∠ABD＝∠CBE，∠DBC公用，所以∠DBE＝∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，可再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例．从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决．
证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，∴△CBE∽△ABD，∴BCAB＝BEBD，即：BCBE＝ABBD.在△DBE和△ABC中，∠CBE＝∠ABD，∴∠CBE＋∠DBC＝∠ABD＋∠DBC，∴∠DBE＝∠ABC且BCBE＝ABBD，∴△DBE∽△ABC.
对应练习：
1．教材P102页习题4.9的第1题．
答：相似．证明：△ABC为等边三角形．∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.又∵AE＝BF＝CD，∴AD＝FC＝EB，则△AED≌△CDF≌△BFE.∴ED＝DF＝EF.△EDF为等边三角形．∴△DEF∽△ABC.
2.教材P102页习题4.9的第3题．
证明：∵BE为∠DBC平分线，∴∠DBE＝∠EBC.又∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB，∠ABE＝∠ABD＋∠DBE＝∠ABD＋∠EBC，∠AEB＝∠EBC＋∠C，∴∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB.则ABAC＝ADAB.∵AB＝AE，∴AEAC＝ADAE，即AE2＝AD·AC.
交流展示 生成新知
3 1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 相似三角形判定定理的证明
知识模块二 相似三角形判定定理的应用
检测反馈 达成目标
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE.
证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE.
2．如图，D是△ABC的边BC上的一点，AB＝2，BD＝1，DC＝3，求证：△ABD∽△CBA.
证明：∵AB＝2，BD＝1，DC＝3，∴AB2＝4，BD·BC＝1×(1＋3)＝4.∴AB2＝BD·BC.即ABBC＝BDBA.而∠ABD＝∠CBA.∴△ABD∽△CBA.
3．教材P102页习题4.9的第4题．
解：设t秒后△PBQ与△ABC相似，①△PBQ∽△ABC，则BPBA＝BQBC，即8－2t8＝4t16，解得t＝2s.②当△PBQ∽△CBA，BPBC＝BQBA，即8－2t16＝4t8，解得t＝0.8s.答：0.8s或2s时，△QBP与△ABC相似．
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
