2016年北京市石景山区高考一模数学试卷(文科)【解析版】
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2016年北京市石景山区高考数学一模试卷（文科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项．
1．（5分）设i
是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）下列函数中，既是奇函数又增函数的为（ ）
A．y＝x+1 B．y＝﹣x2 C．y
＝﹣ D．y＝x|x|
3．（5分）设{a
n}是首项大于零的等比数列，则“a
1＜a
2”是“数列{a
n}是递增数
列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，点E从D点出发，按字母
顺序D→A→B→C沿线段DA，AB，BC运动到C点，在此过程中的最
大值是（ ）
A．0 B
． C．1 D．﹣1
5．（5分）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（ ）
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A．8 B． C．10 D．
6．（5分）函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|
＜）的部分图象如图所示，
则ω，φ的值分别是（ ）
A
． B
． C
． D
．
7．（5分）已知抛物线y2＝4x的弦AB中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．6 D．12
8．（5分）将数字1，2，3，4，5，6书写在每一个骰子的六个表面上，做成6
枚一样的骰子．分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图A和B所示的两个柱
体，则柱体A和B的表面（不含地面）数字之和分别是（ ）
A．47，48 B．47，49 C．49，50 D．50，49
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．（5
分）双曲线﹣y2＝1的焦距是 ，渐近线方程是 ．
10．（5分）若变量x，y
满足约束条件，则z＝2x+y的最大值 ．
11．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的
“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，20，则输出的
a＝ ．
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12．（5
分）设，b＝1﹣2sin213
°，，则a，b，c的
大小关系是 ．（从小到大排列）
13．（5
分）已知函数若直线y＝m与函数f（x）的图
象只有一个交点，则实数m的取值范围是 ．
14．（5分）某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画
“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分．请
根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分．
第1
题 第2题 第3
题 第4
题 第5
题 第6
题 第7题 第8
题 得分
甲 × × √ × × √ × √ 5
乙 × √ × × √ × √ × 5
丙 √ × √ √ √ × × × 6
丁 √ × × × √ × × × ？
丁得了 分．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（13分）已知在等比数列{a
n}中，a
1＝1，且a
2是a
1和a
3﹣1的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a
n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b
n}满足b
n＝2n﹣1+a
n（n∈N*），求{b
n}的前n项和S
n．
16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝
a•cosB．
（1）求角B的大小；
（2）若b＝3，sinC＝2sinA，分别求a和c的值．
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17．（13分）交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵
的概念，记交通指数T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；
T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]
严重拥堵．在晚高峰时段（T≥2），从贵阳市交通指挥中心选取了市区20个
交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．
（1）求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段各有多少个？
（2）用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽出6个
路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；
（3）从（2）中抽取的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率．
18．（14分）如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A
1B
1C
1D
1中，DB＝BC，DB⊥AC，
点M是棱BB
1上一点．
（1）求证：B
1D
1∥面A
1BD；
（2）求证：MD⊥AC；
（3）试确定点M的位置，使得平面DMC
1⊥平面CC
1D
1D．
19．（14分）已知函数f（x）＝ex﹣2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）证明：当x＞0时，x2＜ex．
20．（13分）在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点，的
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距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E（﹣1，0）且与曲线
C交于A，B两点．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，
说明理由．
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2016年北京市石景山区高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项．
1．（5分）设i
是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】
解：＝i（1+i）＝﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二
象限，
故选：B．
2．（5分）下列函数中，既是奇函数又增函数的为（ ）
A．y＝x+1 B．y＝﹣x2 C．y
＝﹣ D．y＝x|x|
【解答】解：在A中，y＝x+1是非奇非偶函数，是增函数，故A错误；
在B中，y＝﹣x2是偶函数，且在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调
递减，故B错误；
在C中，y
＝﹣是奇函数，在（﹣∞，0）内是增函数，在（0，+∞）内是增函
数，
在x≠0时不是增函数，故C错误；
在D中，y＝x|x|既是奇函数又增函数，故D正确．
故选：D．
3．（5分）设{a
n}是首项大于零的等比数列，则“a
1＜a
2”是“数列{a
n}是递增数
列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若已知a
1＜a
2，则设数列{a
n}的公比为q，
因为a
1＜a
2，所以有a
1＜a
1q，解得q＞1，又a
1＞0，
所以数列{a
n}是递增数列；反之，若数列{a
n}是递增数列，
则公比q＞1且a
1＞0，所以a
1＜a
1q，即a
1＜a
2，
所以a
1＜a
2是数列{a
n}是递增数列的充分必要条件．
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故选：C．
4．（5分）如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，点E从D点出发，按字母
顺序D→A→B→C沿线段DA，AB，BC运动到C点，在此过程中的最
大值是（ ）
A．0 B
． C．1 D．﹣1
【解答】解：以BC、BA所在直线为x轴、y轴，建立坐标系如图
可得A（0，1），B（0，0），C（1，0），D（1，1），
当E在DA上，设E（x，1），其中0≤x≤1 ∵＝（x﹣1，0），＝（0，1）， ∴＝0，
当E在AB上，设E（0，y），其中0≤y≤1 ∵＝（﹣1，y﹣1），＝（0，1）， ∴＝y﹣1，（0≤y≤1），此时最大值为0，
当E在BC上，设E（x，0），其中0≤x≤1 ∵＝（x﹣1，﹣1），＝（0，1）， ∴＝﹣1，
当E在CD上，设E（1，y），其中0≤y≤1 ∵＝（0，y﹣1），＝（0，1）， ∴＝y﹣1，（0≤y≤1），此时最大值为0， 综上所述的最大值是0，
故选：A．
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5．（5分）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（ ）
A．8 B． C．10 D．
【解答】解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：
8，6，，10，
显然面积的最大值，10．
故选：C．
6．（5分）函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|
＜）的部分图象如图所示，
则ω，φ的值分别是（ ）
