2014年北京市石景山区高考一模数学试卷(理科)【解析版】
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2014年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项．
1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|x﹣1≥0}，那么A∩
∁
UB＝（ ）
A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＜0} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x＜2}
2．（5分）下列函数中，在（0，+∞）内单调递减，并且是偶函数的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝x+1 C．y＝﹣lg|x| D．y＝2x
3．（5
分）在的展开式中，x的系数为（ ）
A．10 B．﹣10 C．20 D．﹣20
4．（5分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，以BC为直径的圆交
AB于D，则BD的长为（ ）
A．4 B
． C
． D
．
5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2＝2py（p＞0）上纵坐标为1的
点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（ ）
A．2 B．8 C． D．4
6．（5分）已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视
图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（ ）
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A
． B
． C
． D
．
7．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）
A．﹣2 B
． C．﹣1 D．2
8．（5分）已知动点P（x，y）在椭圆C
：＝1上，F为椭圆C的右焦点，
若点M满足||＝1且＝0，则||的最小值为（ ）
A． B．3 C
． D．1
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．（5分）已知命题p：∃x∈R，ex＜0，则¬p是 ．
10．（5分）在等比数列{a
n}中，a
1＝2，a
4＝16，则数列{a
n}的通项公式a
n＝ ，
设b
n＝log
2a
n，则数列{b
n}的前n项和S
n＝ ．
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11．（5分）已知圆C的极坐标方程为ρ＝2，以极点为原点，极轴为x轴的正半
轴建立平面直角坐标系，则圆C的直角坐标方程为 ，若直线l：kx+y+3
＝0与圆C相切，则实数k的值为 ．
12．（5分）已知变量x，y
满足约束条件，
则的取值范围是 ．
13．（5分）各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大
学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、
乙两个专业不能同时兼报，则该考生有 种不同的填报专业志愿的方法
（用数字作答）．
14．（5分）若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任
意实数x分别满足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y＝kx+b为
f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知函数f（x）＝x2﹣1和函数g（x）＝2lnx，
那么函数f（x）和函数g（x）的隔离直线方程为 ．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＜b＜c，
a＝2bsinA．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a＝2，b＝，求c边的长和△ABC的面积．
16．（13分）经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，
其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地
抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为
茎，小数点后一位数字为叶）如图．《中华人民共和国环境保护法》规定食品
的汞含量不得超过1.0ppm．
（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标
的概率；
（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的
条数．以此15条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的
分布列及数学期望Eξ．
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17．（14分）如图，正三棱柱ABC﹣A
1B
1C
1的底面边长是2，侧棱长是，D是
AC的中点．
（Ⅰ）求证：B
1C∥平面A
1BD；
（Ⅱ）求二面角A
1﹣BD﹣A的大小；
（Ⅲ）在线段AA
1上是否存在一点E，使得平面B
1C
1E⊥平面A
1BD，若存在，
求出AE的长；若不存在，说明理由．
18．（13分）设函数f（x）＝x2+ax﹣lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a＝1，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y＝f（x）的切线，证明：切点的横坐标为1．
19．（14分）给定椭圆C
：＝1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为
的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的
一个端点到F的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；
（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l
1，l
2交“准圆”
于点M，N．
（ⅰ）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l
1，l
2的方程并证明l
1
⊥l
2；
（ⅱ）求证：线段MN的长为定值．
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20．（13分）对于数列{a
n}，把a
1作为新数列{b
n}的第一项，把a
i或﹣a
i（i＝2，
3，4，…，n）作为新数列{b
n}的第i项，数列{b
n}称为数列{a
n}的一个生成数
列．例如，数列1，2，3，4，5的一个生成数列是1，﹣2，﹣3，4，5．已知
数列{b
n}为数列
{}（n∈N*）的生成数列，S
n为数列{b
n}的前n项和．
（Ⅰ）写出S
3的所有可能值；
（Ⅱ）若生成数列{b
n}满足S
3n
＝（1
﹣），求数列{b
n}的通项公式；
（Ⅲ）证明：对于给定的n∈N*，S
n的所有可能值组成的集合为{x|x
＝，k∈N*，
k≤2n﹣1}．
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2014年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项．
1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|x﹣1≥0}，那么A∩
∁
UB＝（ ）
A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＜0} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x＜2}
【解答】解：由A中的不等式变形得：x（x﹣2）＜0，
解得：0＜x＜2，即A＝{x|0＜x＜2}，
由B中的不等式解得：x≥1，即B＝{x|x≥1}，
∵全集U＝R，
∴∁
UB＝{x|x＜1}，
则A∩（∁
UB）＝{x|0＜x＜1}．
故选：A．
2．（5分）下列函数中，在（0，+∞）内单调递减，并且是偶函数的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝x+1 C．y＝﹣lg|x| D．y＝2x
【解答】解：A．y＝x2在（0，+∞）内单调递增，是偶函数，不满足条件，故A
不选；
B．y＝x+1在（0，+∞）内单调递增，不是偶函数，不满足条件，故B不选；
C．y＝﹣lg|x|在（0，+∞）内单调递减，是偶函数，满足条件，故C选；
D．y＝2x在（0，+∞）内单调递增，不是偶函数，不满足条件，故D不选，
故选：C．
3．（5
分）在的展开式中，x的系数为（ ）
A．10 B．﹣10 C．20 D．﹣20
【解答】
解：的二项展开式的通项为T
r+1＝
•＝•
（﹣1）rx10﹣3r，
令10﹣3r＝1，得r＝3，
故x项的系数为•（﹣1）3＝﹣10，
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故选：B．
4．（5分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，以BC为直径的圆交
AB于D，则BD的长为（ ）
A．4 B
． C
． D
．
【解答】解：Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC＝＝3，
∵以BC为直径的圆交AB于D，
∴AC是圆的切线，
∴AC2＝AD•AB，
∴AD
＝
＝，
∴BD＝5
﹣
＝．
故选：D．
5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2＝2py（p＞0）上纵坐标为1的
点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（ ）
A．2 B．8 C． D．4
【解答】解：∵抛物线x2＝2py（p＞0）的准线方程为：y
＝﹣，
∴由抛物线的定义得：1
﹣（﹣）＝3，
解得：p＝4．
即焦点到准线的距离为4，
故选：D．
6．（5分）已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视
图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（ ）
