2020年北京市石景山区高考数学一模试卷 (含答案解析)

2020年北京市石景山区高考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 已知集合𝑃=[−1,3]，𝑄={𝑥||𝑥−1|≤1}，则𝑃∩𝑄=( )

A. [−1,0] B. [0,2] C. [−2,3] D. [−1,3]

2. 在复平面上，复数3−2𝑖对应的点位于( )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是( )

A. 𝑦=𝑥3 B. 𝑦=ln|𝑥| C. 𝑦=𝑥−2 D. 𝑦=|log2𝑥|

4. 直线𝑥−𝑦+1=0与圆𝑥2+𝑦2=1的关系是( )

A. 相切 B. 相交但不过圆心

C. 相离 D. 相交且过圆心

5. 将4名志愿者全部分配到三个不同的场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的分配方案总数为( )

A. 18 B. 24 C. 36 D. 72

6. 如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为( )

A. 2

B.

83

C.

6

D. 8

7. 设函数的最小正周期为𝜋，且𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)， 则( )

A. 𝑓(𝑥)在(0,𝜋2)单调递减 B. 𝑓(𝑥)在(𝜋4,3𝜋4)单调递减

C. 𝑓(𝑥)在(0,𝜋2)单调递增 D. 𝑓(𝑥)在(𝜋4,3𝜋4)单调递增

8. 已知等差数列{𝑎𝑛}的公差为d，前n项和为𝑆𝑛，则“𝑑>0”是“𝑆3+𝑆5>2𝑆4”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 9. 已知函数𝑓(𝑥)是定义在R上的奇函数，当𝑥<0时，𝑓(𝑥)=𝑒𝑥(𝑥+1)，给出下列命题：

①当𝑥>0时，𝑓(𝑥)=𝑒𝑥(1−𝑥)；

②𝑓(𝑥)>0的解集为(−1,0)∪(1,+∞)；

③函数𝑓(𝑥)有2个零点；

④∀𝑥1，𝑥2∈𝑅，都有|𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)|<2，

其中正确命题的个数是( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

10. 在棱长为1的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，点𝐸,𝐹分别是棱𝐵𝐶,𝐶𝐶1的中点，P是侧面𝐵𝐶𝐶1𝐵1内(含边界)一点，若，则线段𝐴1𝑃长度的取值范围是( )

A. (√22,√52)

B. [3√24,√52] C. [1,√52] D. [0,√52]

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

11. 已知向量𝑎⃗ =(1,√3)，向量𝑎⃗ ,𝑐⃗ 的夹角是𝜋3，𝑎⃗ ·𝑐⃗ =2，则|𝑐⃗ |等于________．

12. 已知首项为1的正项等比数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，𝑎1+𝑎3=10，则𝑆4𝑎4−2=_______．

13. 由命题“∃𝑥∈𝑅，𝑥2+2𝑥+𝑚≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是(𝑎,+∞)，则实数𝑎=

______ ．

14. M是抛物线𝑦2=8𝑥上一点，F是抛物线的焦点，若|𝐹𝑀|=8，则∠𝑥𝐹𝑀的大小为______．

15. 某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共用17名，无论是否把我算在内，下面是否都是对的，在这些医务人员中：医生不少于护士，女护士多于男医生，男医生比女医生多；至少有两名男护士．”请你推断说话的人的性别与职业是______．

三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）

16. 如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面ABCD为矩形且𝐴𝐷=2𝐴𝐵，侧面𝑃𝐴𝐷⊥底面ABCD，且侧面PAD是正三角形，E是AD中点．

(1)证明：𝐶𝐸⊥平面PBE； (2)求二面角𝐷−𝑃𝐶−𝐵的余弦值．

17. 天津高考数学试卷共有8道选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，评分标准规定：“选对得5分，不选或选错得0分”.某考生已确定有4道题答案是正确的，其余题中：有两道只能分别判断2个选项是错误的，有一道仅能判断1个选项是错误的，还有一道因不理解题意只好乱猜，求：

(Ⅰ)该考生得40分的概率；

(Ⅱ)写出该考生所得分数孝的分布列，并求：

①该考生得多少分的可能性最大？

②该考生所得分数𝜉的数学期望⋅

18. 已知，△𝐴𝐵𝐶同时满足下列四个条件中的三个：

①𝐴=𝜋3；②cos𝐵=−23；③𝑎=7；④𝑏=3．

(Ⅰ)请指出这三个条件，并说明理由； (Ⅱ)求△𝐴𝐵𝐶的面积．

19. 已知椭圆𝐶：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)过点𝐴(2,0)，且离心率为√32．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设直线𝑦=𝑘𝑥+√3与椭圆C交于M，N两点，若直线𝑥=3上存在点P，使得四边形PAMN是平行四边形，求k的值．

20. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥−𝑙𝑛𝑥−1．

(Ⅰ)求函数𝑓(𝑥)在𝑥=2处的切线方程；

(Ⅱ)若𝑥∈(0,+∞)时，𝑓(𝑥)≥𝑎𝑥−2恒成立，求实数a的取值范围．

21. 已知首项为32的等比数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛(𝑛∈𝑁∗)，且−2𝑆2，𝑆3，4𝑆4成等差数列．

(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；

(2)对于数列{𝐴𝑛}，若存在一个区间M，均有𝐴𝑖∈𝑀，(𝑖=1,2，3…)，则称M为数列{𝐴𝑛}的“容值区间”.设𝑏𝑛=𝑆𝑛+1𝑆𝑛，试求数列{𝑏𝑛}的“容值区间”长度的最小值．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：B

解析：解：∵集合𝑃=[−1,3]，

𝑄={𝑥||𝑥−1|≤1}={𝑥|0≤𝑥≤2}，

∵𝑃∩𝑄={𝑥|0≤𝑥≤2}=[0,2]．

故选：B．

先分别求出集合P，Q，由此能求出𝑃∩𝑄．

本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

2.答案：D

解析：

本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

直接写出复数3−2𝑖对应的点的坐标得答案．

解：在复平面上，复数3−2𝑖对应的点的坐标为(3,−2)，位于第四象限．

故选：D．

3.答案：B

解析：

本题考查函数的单调性与单调区间，函数的奇偶性，指数函数及其性质，对数函数及其性质．

掌握奇偶函数的判定方法及常见函数的性质是解题的关键．

解：𝐴.𝑦=𝑥3为奇函数，故A错；

B.𝑦=ln|𝑥|既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增，故B正确；

C.𝑦=𝑥−2在(0,+∞)上是减函数，故C错；

D.𝑦=|log2𝑥|，函数的定义域为(0,+∞)，不关于原点对称，不是偶函数，故D错．

故选B．

4.答案：B

解析：

本题主要考查了直线与圆位置关系，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道容易题．

解：由圆的方程𝑥2+𝑦2=1，

得圆心坐标为(0,0)，圆的半径𝑟=1，

圆心到直线𝑥−𝑦+1=0的距离为𝑑=|0−0+1|√1+1=√22<1=𝑟，且𝑑≠0

所以直线与圆相交且不过圆心，

故选B．

5.答案：C

解析：

本题考查排列、组合的运用，为基础题．

根据题意，分2步进行分析，先将4人分为2、1、1的三组，再将分好的3组对应3个场馆，由排列、组合公式可得每一步的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．

解：首先把4名志愿者分为3组，

则有一个组有2人，共有𝐶42种分法，

再把分好的3组分到不同的3个场馆，

则有𝐴33种分法，

所以共有𝐶42𝐴33=36种分法．

故选C．

6.答案：A

解析：

本题考查几何体的体积、几何体的三视图，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键.直观图如图所示，底面为梯形，面积为(1+2)×22=3，四棱锥的高为2，即可求出几何体的体积．

解：直观图为四棱锥𝐹−𝐴𝐵𝐻𝐼，如图所示： 底面为梯形，面积为(1+2)×22=3，四棱锥的高为2，

∴几何体的体积为13×3×2=2．

故选A．

7.答案：A

解析：

本题主要考查了辅助角公式以及三角函数的图象和性质，属于基础题．

首先根据辅助角将其变成，根据函数周期求出𝜔，再结合其为偶函数，求出𝜑=𝜋4，再利用余弦函数的图象解答．

解：𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜑)+cos(𝜔𝑥+𝜑)

(𝜔>0)，

且函数𝑓(𝑥)的最小正周期为𝜋，

∴2𝜋𝜔=𝜋，解得𝜔=2，

，

∵𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)，

，

即，

，

∴取𝑘=0，可得，

则𝑓(𝑥)=√2cos2𝑥．

则𝑓(𝑥)在(0,𝜋2)单调递减，

故选A．