实验三 多元正态总体检验
一、实验目的
1.掌握单一多元正态总体均值的检验；
2.掌握两个多元正态总体均值向量的检验（区分协差阵是否相等）。
3.掌握多元方差分析的思想和操作。
二、实验内容：
1.检验2008年西部9个省区城镇居民大类消费与全国平均水平有无显著差异。
2.分析我国上市公司电力、煤气及水生产供应行业和房地产行业在经营绩效（净资产收益率、总资产报酬率、资产负债率和总资产周转率）方面是否存在明显差异，抽样数据见 上市公司效绩指标.xls。
3.一套生产线同时产出三种产品，分析温度和时间对总体产出率的影响，以及温度和时间对不同产品产出率的影响，数据见 三种产品产出率.sav
三、实验使用的仪器设备、软件
本实验需要上机实验，借助Excel的数据处理和矩阵运算功能以及SPSS加以实现。
四、实验记录与数据处理要求
在实验报告中，每位学生应该记录下主要的数据处理步骤和程序运行结果，并对运行结果进行分析，并给出完整的实验思考题的解答情况。
五、实验中的注意事项
1.注意判断检验的类型，选择相应的检验方法对数据进行分析；
2.在使用矩阵运算公式时，必须用组合键Ctrl+Shift+Enter确认，否则会计算出错。
六、实验的基本原理、数据处理及实验步骤
（一）多元总体的单样本检验（协差阵未知）
示例：人的出汗多少与人体内钠和钾的含量有一定的关系。今测20名健康成年女性的出汗多少（X1）、钠的含量（X2）和钾的含量（X3），其数据如图1所示。
试检验 )10 ,50 ,4(:00H，01:H
其检验步骤如下：
1.在工作表列ABCD中输入样本数据，如图1所示；
2.选择样本数据区域B2:D21，选择命令“插入”→“名称”→“定义”，输入名称X，然后按“添加”按钮，再“确定”，将数据区域定义为X；
3.在F1:F5中输入各标题，如图所示；
4.在G1:I1中输入检验值，用Z0表示；
正态性检验的几种方法
一、引言
正态分布是自然界中一种最常见的也是最重要的分布。因此，人们在实际使用统计分析时，总是乐于正态假定，但该假定是否成立，牵涉到正态性检验。目前，正态性检验主要有三类方法：一是计算综合统计量，如动差法、Shapiro-Wilk法(W检验)、D’Agostino法(D检验)、Shapiro-Francia法(W’检验)。二是正态分布的拟合优度检验，如2检验、对数似然比检验、Kolmogorov-Smirov检验。三是图示法(正态概率图Normal Probability plot)，如分位数图(Quantile
Quantile plot，简称QQ图)、百分位数(Percent Percent plot，简称PP图)和稳定化概率图(Stablized Probability plot，简称SP图)等。而本文从不同角度出发介绍正态性检验的几种常见的方法，并且就各种方法作了优劣比较，还进行了应用。
二、正态分布
2.1 正态分布的概念
定义1若随机变量X的密度函数为
,,21222xexfx
其中和为参数，且0,,
则称X服从参数为和的正态分布，记为2,~NX。
另我们称1,0的正态分布为标准正态分布，记为1,0~NX，标准正态分布随机变量的密度函数和分布函数分别用x和x表示。
引理1 若2,~NX，xF为X的分布函数，则xxF
由引理可知，任何正态分布都可以通过标准正态分布表示。
2.2 正态分布的数字特征 引理2 若2,~NX，则2,xDxE
引理3 若2,~NX，则X的n阶中心距为
Nkknkknkn2,!!1212,02
定义2 若随机变量的分布函数xF可表示为：
应用概率统计第二十六卷 第三期２０１０年６月 Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ Ｖｏｌ＿２６ ＮＯ．３ Ｊｕｎ．２０１０
多元正态分布的ＶＤＲ条件拟合优度检验术
苏岩
（华北电力大学数理学院，保定，０７１００３） 杨振海
（北京工业大学应用数理学院，北京，１００１２４）
摘要 提出多元正态性 检验统计量．多元正态分布转换样本Ｙｄ＝ＲＶｄ服从Ｐｅａｒｓｏｎ ＩＩ型分布，证明 了Ｒ。服从贝塔分布．基于贝塔分布和单位球均匀分布，得到多元正态性检验统计量 的渐近卡方分布． 功效模拟显示，×。统计量优于已有主要多元正态性检验统计量．做ｉｒｉｓ数据多元正态性的拟合优度检验． 关键词： 多元正态分布，贝塔分布，卡方分布． 学科分类号：Ｏ２１２．
§１． 引 言
多元正态分布的拟合优度检验在多元数据分析中有着重要意义．Ｌｉａｎｇ等【１Ｊ给出了基于
多元正态分布特征的多元正态性Ｑ—Ｑ图检验．Ｍａｒｄｉａ提出了多元正态性偏度，峰度检验统 计量６１，ｄ，ｂ２．Ｓｚ６ｋｅｌｙ等［ ］提出了多元正态性检验统计量 ，．在原假设下，通过随机模拟，ｄ ｄ 得到 ．ｄ的有限样本经验分位数．当 ，ｄ取值偏大时，拒绝数据的多元正态性．文献【２］的功
效模拟表明，多元正态性的 ．ｄ检验，优于偏度，峰度检验，基于经验特征函数的ＢＨＥＰ检验
等多元正态性检验．
上述多元正态性检验统计量６１，ｄ，ｂ２，ｄ， ，ｄ及ＢＨＥＰ检验统计量的一个共同特点是，均 需利用样本估计多元正态分布中的未知参数 ，∑．当样本容量较小时，会降低检验功效．
为此我们首先通过样本变换消去未知参数 ，∑，得到转换样本服从Ｐｅａｒｓｏｎ ＩＩ型分布，利用
ＶＤＲ分解Ｐｅａｒｓｏｎ ＩＩ型分布随机变量，基于单位球均匀分布检验统计量，构造多元正态性
ｘ 检验统计量．得到ｘ 检验统计量的渐近卡方分布．功效模拟显示，ｘ 检验统计量优于多
１０．３９６９／ｊ．ｊＳＳｒ１．１６７１—４８９Ｘ．２０１５．１０．０８６
试卷分析中学生成绩的正态检验
◆陈秋凤周防震袁德培
摘 要以生物制药工程与设备考试试卷为例，分别利用概率
图（Ｐ—Ｐ ｐｌｏｔ）、分位数图（Ｑ－Ｑ ｐｌｏｔ）和矩法进行学生成绩
的正态性检验，并对三种方法的检验效率进行讨论，以期为教
师客观评价学生成绩的分布提供参考。
关键词试卷分析；成绩分布；正态检验
中图分类号：Ｇ６４２．４７５ 文献标识码：Ｂ
文章编号：１６７１－４８９Ｘ（２０１５）１０—００８６—０２
１前言
试卷分析是教师完成教学工作的重要环节之一，学生 成绩分布是试卷分析的重要组成部分。成绩正态分布是一
种概率分布的特殊表现形式，在统计某次考试成绩分布规
律的时候，将成绩按分数段制成统计图，如果成绩分布图
中中等成绩占最多数，其余成绩以中等成绩为中轴，向两
侧逐次降低，则称这次成绩呈正态分布。然而在实践中，
教师在进行学生成绩分布的正态性分析时常常存在主观臆
断，只要看到有“两头低、中间高”的趋势，就主观认为
符合正态分布，否则就认为不符合正态分布。 ２学生成绩的正态检验
图ｌ为生物制药工程与设备课程学生成绩的频次图，
可以看出成绩分布与正态分布有些许偏差。教师在试卷分
析时容易存在主观偏见，即不加检验，认为学生成绩不符 合正态分布。事实上，某次考试学生成绩分布是否真正服
从正态分布，需要进行正态性检验。
正态概率图概率图（ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ－ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｐｌｏｔ，
ｐ－ｐ ｐｌｏｔ）是以实际或观察的累积频率（ ）对被检验分布 的理论或期望累积频率作图（ｙ）。如果所分析的数据来自
正态分布，正态Ｐ—Ｐ图图形的散点应该呈现一条直线。图２
为生物制药工程与设备课程考试７４个学生成绩的Ｐ—Ｐ图，
可以看出散点近似在一条直线，中部散点较多地靠近直线
上方。
分位数图 分位数图（ｑｕａｎｔｉｌｅ－ｑｕａｎｔｉｌｅ ｐｌｏｔ，Ｑ－Ｑ
