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正态性检验的几种常用的方法

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0引言

正态分布是自然界中一种最常见和最重要的一种分布.以正态总体为前提的统计方法也已经被越来越多的教学、科研工作者所掌握.但是，在一个实际问题中，总体一定是正态总体吗？如果不顾这个前提是否成立，盲目套用公式，可能影响统计方法的效果，因此,正态性检验是统计方法应用中的重要问题.

但一般的数理统计教材中，关于正态性检验方法只介绍/拟合优度检验,但该方法不仅对正态分布且对其他分布也适用，对正态性检验不具有特效.本文在查阅了该问题的大量文献的基础上，结合正态分布的特点介绍了几种常见的正态性检验方法,并对各种方法的优劣点作了简要介绍.

本文的结构安排如下,第一部分介绍了正态分布的一些基本知识,第二部分首先介绍定性的正态性检验:利用概率纸检验,其次简要介绍/拟合优度检验;再次介绍了正态性检验的特效方法:W检验与D检验,最后介绍有方向性的正态性检验:峰度检验与偏度检验.---------------本文为网络收集精选范文、公文、论文、和其他应用文档，如需本文，请下载--------------

---------------本文为网络收集精选范文、公文、论文、和其他应用文档，如需本文，请下载-------------- 第三部分简要地比较了各种检验法的优劣性.

1正态分布的基本知识

正态分布的概念

定义1若随机变量X的密度函数为

另我们称p=0，a=1的正态分布为标准正态分布,记为X?N(0，1),标准正态分布随机变量的密度函数和分布函数分别用

由引理可知,任何正态分布都可以通过标准正态分布表示.

若X~N(p,,a2),则3=0,3k=3若随机变量的分布函数F(x)可表示为：

F(x)=(1-s)Fj(x)+sF2(x)(0彡s3.

注：引理1、2、3、的证明见参考文献1和引理5的证明见参考文献M.

2几种常见的正态性检验方法

利用概率纸检验分布的正态性

正态概率纸的构造

正态概率纸是一种具有特殊刻度的坐标纸，它能使由正态变量的取值x和相应的分布函数值F(x)组成的数对(x,F(x))在这张纸上呈一条直线.因此，它计算使用简单方便.关于利用概率纸检验分布的正态性的原理，由于篇幅有限,不便阐述,见参考文献2]. ---------------本文为网络收集精选范文、公文、论文、和其他应用文档，如需本文，请下载--------------

---------------本文为网络收集精选范文、公文、论文、和其他应用文档，如需本文，请下载-------------- 下面重点介绍利用概率纸检验总体正态性假设的一般步骤：

1)把从总体中获得的n个样本观测值按由小到大的次序排列成:x(0(2)忘…忘xw

2)将数(x(l),n󰀀/4)(i=1,2,?…,n)画在正态概率纸上

3)观察这n个点的位置,进行判断.

如果这些点明显地不成一条直线,则拒绝总体正态性的假设；

如果各点离直线的偏差都不大，可以认为总体近似服从正态分布.

这时可以凭直觉画一条直线,使它离各点的偏离程度尽可能的小，

其中在纵轴刻度为50%附近各点离直线的偏差要优先照顾,使其尽可能的小,并且使直线两边的点数大致相等.另外，若发现有些点系统地偏离直线,在拒绝总体正态性假设后，可以考虑其他分布类型.特别地,如果几个较大的值明显地倾向于由其他值确定的直线的下方,考虑函数变换y=log(x)或y=槡x后,总体是否服从正态分布.同时,利用概率纸还可以估计正态分布的参数,和a.虽然不够精确,但十分简便.

正态概率纸法的应用

例1对某种高温合金钢的15个试样在580°C的温---------------本文为网络收集精选范文、公文、论文、和其他应用文档，如需本文，请下载--------------

---------------本文为网络收集精选范文、公文、论文、和其他应用文档，如需本文，请下载-------------- 度和/mm2的压力下进行试验,其断裂时间为t(单位:小时），表1给出了按由小到大的次序排列的xw,及对数变化下的值lg(10x(4))(k=1,2,?…,15),试用正态

概率纸法分析高温合金钢的寿命分布.

解将这15个结果值分别同和丨8(10k))组成点分别画在两张正态概率纸上，来检查这组

结果值是否构成一条直线,是否服从正态分布（见图1).

图1的左图是由(x(k),所呈现的结果，可以看见这些点不成一条直线.图1的右图是由（x(k),lg

(10x(k)))所呈现的结果，可以看到这些点明显接近一条直线，所以说这些观测值的对数为正态分布的假设是适当的.

利用概率纸检验分布的正态性,靠的是人的视觉，主观性较强,所以检验的方法必须由定性的转为定量的.下面介绍几种定量的检验方法.

/拟合优度检验

当我们通过试验取得一系列数据后，经常会遇到总体正态性假设的检验：W检验与D检验．

2．3W检验与D检验

检验

检验的一般步骤 ---------------本文为网络收集精选范文、公文、论文、和其他应用文档，如需本文，请下载--------------

---------------本文为网络收集精选范文、公文、论文、和其他应用文档，如需本文，请下载-------------- W检验是在1965年提出，检验的基本步骤如下：

1)建立原假设H：X服从正态分布；2)把从总体中获得的n个样本观测值按由小到大的次序排列成:x(1)(2)忘…忘xw

3)选择恰当的统计量W为：

其中b/2]表示n/2的整数部分；系数A(W)可查W检验的系数表，

Xx(.)-x]2i=1

n/2]表示数n/2的整数部分.

4)根据给定的检验水平a和样本容量n查W检验统计量W的p分位数得统计量W的a分位数Wa.

5)计算并判断:给定样本值x1,?…,x?,计算W并与Wa比较,若WWa,所以不拒绝原假设.虽然W检验是一种有效地正态性检验方法,但它一般只适用于容量为3至50的样本，随着n的增大，一般用于计算分位数的分布拟合的技术不能使用.

检验

1971年,提出了D检验，该检验不需要附系数表，另外，它适用于的样本容量n的范围为：50耷n耷检验的基本步骤如下：

1)建立原假设H：X服从正态分布；

2)把从总体中获得的n个样本观测值按由小到大---------------本文为网络收集精选范文、公文、论文、和其他应用文档，如需本文，请下载--------------

---------------本文为网络收集精选范文、公文、论文、和其他应用文档，如需本文，请下载-------------- 的次序排列成:x(1)(2)Hxu)

3)选择恰当的统计量Y为：

4)根据给定的检验水平a和样本容量n查D检验统计量Y的p分位数,得统计量Y的a/2分位数Ya/2和1-a/2分位数

5)计算并判断:给定样本值x1,?…,x?计算y并与及Y1_f比较,若YY1_f则拒绝札,反之,则不能拒绝H.

注：有关D检验的原理及D检验的分位数表见参考文献6].

以上两种检验需要提供分位数表及统计量的计算较为繁琐，下面介绍另外两种正态性检验的方法:偏度检验与峰度检验．

偏度检验与峰度检验2．4．1偏度检验

设x〖,?…，xn为来自总体X的一组样本，由引理4知，若X服从正态分布,则偏度为0.若有一组数据x〖,---------------本文为网络收集精选范文、公文、论文、和其他应用文档，如需本文，请下载--------------

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…，x?,观察发现数据有正偏度或负偏度的倾向，就在偏度方向产生了对正态性假设的怀疑.因此，把总体正态性检验转化成原假设札：3s=0的检验.偏度检验的一般步骤如下：

1)根据实际问题中的先验信息建立原假设札：

3=0与备择假设H：3s>0,或H：30时,若bs>bs(1-a)则拒绝H,反之,则不能拒绝H；

②当备择假设为H：3s3或H13时,若bk>bk(1-a)则拒绝H,反之,则不能拒绝H.

②当备择假设为H：3ka1).测量偏差服从混合正态分布,混合正态分布的定义见定义4,由引理5知测量偏差的分布的峰度3>3,因此给出备择假设为圮：3k>3,把表3的数据代入公式（10),其中n=40;经计算得\=,取检验水平a=,查\的p分位数表得\()=,因为>,因而拒绝原假设,认为总体为峰度大于3的分布.

3结束语

正态分布,称为有方向的检验.如果实际问题中不具备该信息,则无法使用该方法来检验.因此,我们在使用以上方法进行正态性检验时一定要注意具体问题中所包含的信息,从中适宜的检验方法．

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总结正态性检验的几种方法

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1.1 正态性检验方法

1）偏度系数

样本的偏度系数（记为1g）的计算公式为

2331331(1)(2)(1)(2)niinngxxnnsnns，

其中s为标准差，3为样本的3阶中心距，即3311niixxn。

偏度系数是刻画数据的对称性指标，关于均值对称的数据其偏度系数为0，右侧更分散的数据偏度系数为正，左侧更分散的数据偏度系数为负。

（2）峰度系数

样本的峰度系数（记为2g），计算公式为

242412244(1)(1)3(1)(2)(3)(2)(3)(1)(1)3(1)(2)(3)(2)(3)niinnngxxnnnsnnnnnnnnsnn，

其中s为标准差，4为样本的3阶中心距，即4411niixxn。

当数据的总体分布为正态分布时，峰度系数近似为0,；当分布为正态分布的尾部更分散时，峰度系数为正；否则为负。当峰度系数为正时，两侧极端数据较多，当峰度系数为负时，两侧极端数据较少。

（3）QQ图

QQ图可以帮助我们鉴别样本的分布是否近似于某种类型的分布。现假设总体为正态分布2,N，对于样本12,,,nxxxL，其顺序统计量是(1)(2)(),,,nxxxL。设()x为标准正态分布0,1N的分布函数，1()x是反函数，对应正态分布的QQ图是由以下的点

1()0.375,,1,2,,0.25iixinnL，

构成的散点图，若样本数据近似为正态分布，在QQ图上这些点近似地在直线上

yx，

附近，此直线的斜率是标准差，截距式均值,，所以利用正态QQ图可以做直观的正态性检验。若正态QQ图上的点近似地在一条直线上，可以认为样本的数据来自正态分布总体。

(4) 正态性W检验

Shapiro-Wilk检验法是S.S.Shapiro与M.B.Wilk提出用顺序统计量W来检验分布的正态性,对研究的对象总体，先提出假设认为总体服从正态分布，再将样本量为n的样本按大小顺序排列编秩，然后由确定的显著性水平，以及根据样本量为n时所对应的系数i,根据公式

【学习】AD,RJ和KS-哪种正态性检验是最好的？

【学习】AD,RJ和KS-哪种正态性检验是最好的？

【学习】AD,RJ和KS-哪种正态性检验是最好的？Minitab中的正态性检验提供了三种⽅法：Anderson-Darling（AD），Ryan-Joiner（RJ）和Kolmogorov-Smirnov（KS）。AD检验是默认的，那它在检验⾮正态的时候是不是最好的⽅法呢？

对于这三种正态性检验⽅法，检验结果有时是有差异的(如下图)，那么就有个问题：到底以哪种⽅法的结果为准？

今天我们就来⽐较⼀下每种正态性检验在以下三种不同情形下检验⾮正态数据的能⼒。我们将为每个情形使⽤模拟数据，但是它们反映了在分析数据以提⾼质量时可能遇到的常见情况。

三种情形

情形1：⽣产过程中产⽣较⼤的离群值。

在此模拟中，从平均值= 0，标准偏差= 1的正态分布中模拟了29个值，从均值= 0，标准偏差= 4的正态分布中模拟了1个值。

情形2：制造过程发⽣了变化，从⽽导致分布发⽣变化。

创建⼀个双峰分布(如下图)，⼀个是均值为10，标准差为1的正态分布；⼀个是均值为14，标准差为1的正态分布。

情形3：测量结果⾃然遵循⾮正态分布，正如我们通常会看到的失效时间数据。对于这种情况，从Weibull（a = 1，b = 1.5）分布中模拟了30个值。

注意：此⽂中评估的三种情形并⾮旨在评估使⽤中⼼极限定理的检验（例如单样本t，双样本t和配对t检验）的正态性假设的有效性。我们的重点是在使⽤分布估计制造有缺陷（不合格）单元的可能性时检验⾮正态性。

仿真(情形1为例)

步骤1：模拟数据（即29个来⾃正态分布+ 1个来⾃具有⼤标准差的正态分布）。

步骤2：运⾏正态性检验（AD，RJ和KS），并记录P值。

步骤3：重复步骤1和2 ，N次。

步骤4：分析每个正态性检验的P值，并基于不同的alpha值绘制拒绝正态性概率的置信区间。

仿真结果⽐较在情形1中，Ryan-Joiner检验显然是赢家，仿真结果如下。

在情形2中，Anderson-Darling检验是最好的，仿真结果如下。

正态检验方法

正态检验方法

正态检验方法

一、前言

正态检验是统计学中常用的一种方法，用于检验数据是否符合正态分布。正态分布是指在概率论和统计学中经常出现的一种连续概率分布，其特点是对称、单峰、钟形曲线。正态分布在实际应用中具有很重要的意义，因此对数据进行正态检验就显得尤为重要。

本文将详细介绍正态检验的方法以及如何使用R语言进行正态检验。

二、什么是正态检验？

正态检验（Normality Test）是指通过某些统计量对数据样本进行假设检验，判断样本是否符合正态分布。常见的统计量有Kolmogorov-Smirnov (K-S) 检验、Shapiro-Wilk 检验、Anderson-Darling (A-D)

检验等。

三、K-S检验

K-S检验（Kolmogorov–Smirnov test）是一种非参数假设检验方法，主要用于判断一个样本是否来自某个已知分布。在正态性检查中，我们可以使用K-S测试来比较观察值与标准正态分布之间的差异。

1. K-S测试原理

在使用K-S测试时，我们首先需要确定一个假设H0：该样本来自一个已知分布。通常情况下，该已知分布是标准正态分布。我们可以使用样本的均值和标准差来估计标准正态分布的参数。

接下来，我们需要计算出观察值与标准正态分布之间的最大偏差（D）。这个偏差是指在统计学上，观察值与标准正态分布之间的最大距离。

最后，我们需要根据样本大小和显著性水平确定临界值。如果D大于临界值，则拒绝假设H0，即该样本不符合正态分布。

2. 使用R语言进行K-S检验

在R语言中，我们可以使用ks.test()函数进行K-S检验。该函数包含两个参数：x表示要检验的数据向量；y表示用于比较的已知分布。

例如：

```R

# 生成一个随机数向量 set.seed(123)

x <- rnorm(100)

# 进行K-S检验

ks.test(x, "pnorm")

```

输出结果为：

```R

One-sample Kolmogorov-Smirnov test

资料汇总正态性检验汇总

资料汇总正态性检验汇总

资料的正态性检验汇总

S PSS和SAS常用正态检验方法

一、图示法

1、P-P图

以样本的累计频率作为横坐标，以安装正态分布计算的相应累计概率作为纵坐标，把样本值表现为直角坐标系中的散点。如果资料服从整体分布，则样本点应围绕第一象限的对角线分布。

2、Q-Q图

以样本的分位数作为横坐标，以按照正态分布计算的相应分位点作为纵坐标，把样本表现为指教坐标系的散点。如果资料服从正态分布，则样本点应该呈一条围绕第一象限对角线的直线。

以上两种方法以Q-Q图为佳，效率较高。

3、直方图

判断方法：是否以钟形分布，同时可以选择输出正态性曲线。

4、箱式图

判断方法：观测离群值和中位数。

5、茎叶图

类似与直方图，但实质不同。

二、计算法

1、偏度系数（Skewness）和峰度系数（Kurtosis）

计算公式：

g1表示偏度，g2表示峰度，通过计算g1和g2及其标准误σg1及σg2然后作U检验。两种检验同时得出U0.05的结论时，才可以认为该组资料服从正态分布。由公式可见，部分文献中所说的“偏度和峰度都接近0……可以认为……近似服从正态分布”并不严谨。

2、非参数检验方法

非参数检验方法包括Kolmogorov-Smirnov检验（D检验）和Shapiro- Wilk （W 检验）。

SAS中规定：当样本含量n ≤2000时，结果以Shapiro – Wilk（W 检验）为准，当样本含量n >2000

时，结果以Kolmogorov – Smirnov（D 检验）为准。

SPSS中则这样规定：（1）如果指定的是非整数权重，则在加权样本大小位于3和50之间时，计算 Shapiro-Wilk 统计量。对于无权重或整数权重，在加权样本大小位于3 和 5000 之间时，计算该统计量。由此可见，部分SPSS教材里面关于“Shapiro – Wilk适用于样本量3-50之间的数据”的说法实在是理解片面，误人子弟。（2）单样本 Kolmogorov-Smirnov 检验可用于检验变量（例如income）是否为正态分布。