总结正态性检验的几种方法
1.1 正态性检验方法
1）偏度系数
样本的偏度系数（记为1g）的计算公式为
2331331(1)(2)(1)(2)niinngxxnnsnns，
其中s为标准差，3为样本的3阶中心距，即3311niixxn。
偏度系数是刻画数据的对称性指标，关于均值对称的数据其偏度系数为0，右侧更分散的数据偏度系数为正，左侧更分散的数据偏度系数为负。
（2）峰度系数
样本的峰度系数（记为2g），计算公式为
242412244(1)(1)3(1)(2)(3)(2)(3)(1)(1)3(1)(2)(3)(2)(3)niinnngxxnnnsnnnnnnnnsnn，
其中s为标准差，4为样本的3阶中心距，即4411niixxn。
当数据的总体分布为正态分布时，峰度系数近似为0,；当分布为正态分布的尾部更分散时，峰度系数为正；否则为负。当峰度系数为正时，两侧极端数据较多，当峰度系数为负时，两侧极端数据较少。
（3）QQ图
QQ图可以帮助我们鉴别样本的分布是否近似于某种类型的分布。现假设总体为正态分布2,N，对于样本12,,,nxxxL，其顺序统计量是(1)(2)(),,,nxxxL。设()x为标准正态分布0,1N的分布函数，1()x是反函数，对应正态分布的QQ图是由以下的点
1()0.375,,1,2,,0.25iixinnL，
构成的散点图，若样本数据近似为正态分布，在QQ图上这些点近似地在直线上
yx，
附近，此直线的斜率是标准差，截距式均值,，所以利用正态QQ图可以做直观的正态性检验。若正态QQ图上的点近似地在一条直线上，可以认为样本的数据来自正态分布总体。
(4) 正态性W检验
Shapiro-Wilk检验法是S.S.Shapiro与M.B.Wilk提出用顺序统计量W来检验分布的正态性,对研究的对象总体，先提出假设认为总体服从正态分布，再将样本量为n的样本按大小顺序排列编秩，然后由确定的显著性水平，以及根据样本量为n时所对应的系数i,根据公式
正态性检验的几种方法
一、引言
正态分布是自然界中一种最常见的也是最重要的分布。因此，人们在实际使用统计分析时，总是乐于正态假定，但该假定是否成立，牵涉到正态性检验。目前，正态性检验主要有三类方法：一是计算综合统计量，如动差法、Shapiro-Wilk法(W检验)、D’Agostino法(D检验)、Shapiro-Francia法(W’检验)。二是正态分布的拟合优度检验，如2检验、对数似然比检验、Kolmogorov-Smirov检验。三是图示法(正态概率图Normal Probability plot)，如分位数图(Quantile
Quantile plot，简称QQ图)、百分位数(Percent Percent plot，简称PP图)和稳定化概率图(Stablized Probability plot，简称SP图)等。而本文从不同角度出发介绍正态性检验的几种常见的方法，并且就各种方法作了优劣比较，还进行了应用。
二、正态分布
2.1 正态分布的概念
定义1若随机变量X的密度函数为
,,21222xexfx
其中和为参数，且0,,
则称X服从参数为和的正态分布，记为2,~NX。
另我们称1,0的正态分布为标准正态分布，记为1,0~NX，标准正态分布随机变量的密度函数和分布函数分别用x和x表示。
引理1 若2,~NX，xF为X的分布函数，则xxF
由引理可知，任何正态分布都可以通过标准正态分布表示。
2.2 正态分布的数字特征 引理2 若2,~NX，则2,xDxE
引理3 若2,~NX，则X的n阶中心距为
Nkknkknkn2,!!1212,02
定义2 若随机变量的分布函数xF可表示为：
判断样本是否符合正态分布的方法
正态分布是统计学中最为常见的分布之一，它具有许多重要的性质，因此在实际应用中被广泛使用。判断样本是否符合正态分布是统计学中的一个重要问题，因为只有在样本符合正态分布的情况下，我们才能使用正态分布的相关方法进行统计分析。
判断样本是否符合正态分布的方法有很多种，下面我们将介绍其中的几种常用方法。
1. 直方图法
直方图是一种常用的图形表示方法，它可以直观地展示数据的分布情况。如果样本符合正态分布，那么它的直方图应该呈现出一个钟形曲线。因此，我们可以通过观察样本的直方图来判断样本是否符合正态分布。
2. 正态概率图法
正态概率图是一种常用的图形表示方法，它可以将样本的分布情况与正态分布进行比较。如果样本符合正态分布，那么它的正态概率图应该呈现出一条直线。因此，我们可以通过观察样本的正态概率图来判断样本是否符合正态分布。
3. Shapiro-Wilk检验法
Shapiro-Wilk检验是一种常用的正态性检验方法，它可以通过计算样本的统计量来判断样本是否符合正态分布。如果样本符合正态分布，那么它的Shapiro-Wilk检验结果应该为不显著。因此，我们可以通过进行Shapiro-Wilk检验来判断样本是否符合正态分布。
4. Kolmogorov-Smirnov检验法
Kolmogorov-Smirnov检验是一种常用的正态性检验方法，它可以通过计算样本的统计量来判断样本是否符合正态分布。如果样本符合正态分布，那么它的Kolmogorov-Smirnov检验结果应该为不显著。因此，我们可以通过进行Kolmogorov-Smirnov检验来判断样本是否符合正态分布。
判断样本是否符合正态分布是统计学中的一个重要问题，它涉及到许多实际应用。通过使用上述方法，我们可以比较准确地判断样本是否符合正态分布，从而选择合适的统计方法进行分析。
【学习】AD,RJ和KS-哪种正态性检验是最好的？Minitab中的正态性检验提供了三种⽅法：Anderson-Darling（AD），Ryan-Joiner（RJ）和Kolmogorov-Smirnov（KS）。AD检验是默认的，那它在检验⾮正态的时候是不是最好的⽅法呢？
对于这三种正态性检验⽅法，检验结果有时是有差异的(如下图)，那么就有个问题：到底以哪种⽅法的结果为准？
今天我们就来⽐较⼀下每种正态性检验在以下三种不同情形下检验⾮正态数据的能⼒。我们将为每个情形使⽤模拟数据，但是它们反映了在分析数据以提⾼质量时可能遇到的常见情况。
三种情形
情形1：⽣产过程中产⽣较⼤的离群值。
在此模拟中，从平均值= 0，标准偏差= 1的正态分布中模拟了29个值，从均值= 0，标准偏差= 4的正态分布中模拟了1个值。
情形2：制造过程发⽣了变化，从⽽导致分布发⽣变化。
创建⼀个双峰分布(如下图)，⼀个是均值为10，标准差为1的正态分布；⼀个是均值为14，标准差为1的正态分布。
情形3：测量结果⾃然遵循⾮正态分布，正如我们通常会看到的失效时间数据。对于这种情况，从Weibull（a = 1，b = 1.5）分布中模拟了30个值。
注意：此⽂中评估的三种情形并⾮旨在评估使⽤中⼼极限定理的检验（例如单样本t，双样本t和配对t检验）的正态性假设的有效性。我们的重点是在使⽤分布估计制造有缺陷（不合格）单元的可能性时检验⾮正态性。
仿真(情形1为例)
步骤1：模拟数据（即29个来⾃正态分布+ 1个来⾃具有⼤标准差的正态分布）。
步骤2：运⾏正态性检验（AD，RJ和KS），并记录P值。
步骤3：重复步骤1和2 ，N次。
步骤4：分析每个正态性检验的P值，并基于不同的alpha值绘制拒绝正态性概率的置信区间。
仿真结果⽐较在情形1中，Ryan-Joiner检验显然是赢家，仿真结果如下。
在情形2中，Anderson-Darling检验是最好的，仿真结果如下。
