人教版初三数学上册二次函数的应用——投篮问题

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22．1.1 二次函数

1．理解、掌握二次函数的概念和一般形式．

2．会利用二次函数的概念解决问题．

3．列二次函数表达式解决实际问题．

一、情境导入

已知长方形窗户的周长为6米，窗户面积为y(米2)，窗户宽为x(米)，你能写出y与x之间的函数关系式吗？它是什么函数呢？

二、合作探究

探究点一：二次函数的有关概念

【类型一】二次函数的识别

下列函数哪些是二次函数？

(1)y＝2－x2; (2)y＝1x2－1；

(3)y＝2x(1＋4x); (4)y＝x2－(1＋x)2.

解析：(1)是二次函数；(2)1x2－1是分式而不是整式，不符合二次函数的定义式，故y＝1x2－1不是二次函数；(3)把y＝2x(1＋4x)化简为y＝8x2＋2x，显然是二次函数；(4)y＝x2－(1＋x)2化简后变为y＝－2x－1，它不是二次函数而是一个一次函数．

解：二次函数有(1)和(3)．

方法总结：判定一个函数是否是二次函数常有三个标准：①所表示的函数关系式为整式；②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的关系式最高次数为2，且函数关系式中二次项系数不等于0.

【类型二】确定二次函数中待定字母的取值

如果函数y＝(k＋2)xk2－2是y关于x的二次函数，则k的值为多少？

解析：紧扣二次函数的定义求解．注意易错点为忽视k＋2≠0的条件．

解：根据题意知k2－2＝2，k＋2≠0，解得k＝±2，k≠－2，∴k＝2.

方法总结：紧扣定义中的两个特征：①a≠0；②自变量最高次数为2的二次三项式ax2＋bx＋c.

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【类型三】求函数值

当x＝－3时，函数y＝2－3x－x2的值为________．

解析：把x＝－3直接代入函数的表达式得y＝2－3×(－3)－(－3)2＝2＋9－9＝2.即函数的值为2.

方法总结：求函数值实际上就是求代数式的值．用所给的自变量的值替换函数关系式中的自变量，然后计算，注意运算顺序不要改变．

二次函数求商品利润的最值问题

例题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

分析：设每件降价x元（以60元为基准降价），总利润为y元

列表分析法

售价／件 成本／件 利润／件 总销量 总利润

60-x 40 (60-x-40) (300+20x)

(60-x-40) (300+20x)

根据利润=每件的利润×所售的件数，即可列出函数解析式，根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大．

解： 设每件降价x元，总利润为y元。

则y=（60-40-x）（300+20x） )

=-20x2+100x+6000

=-20（x-2.5）2+6125

因此当x=2.5时，y有最大值6125．

60-x=60-2.5=57.5

答：每件定价为:57.7元时利润最大．

一、 说题意

1：题目涉及到的知识点

①二次函数最值问题

顶点

②利润问题

2、已知条件和未知条件之间的关系

每件的利润=每件的售价-每件的进价

总利润=每件的利润×所售的件数

3、题目的基础背景

二次函数的性质作为初中课本中的重要知识点，在实际生活中有着广泛的应用，而应用二次函数的性质求商品利润最值的相关题目在练习和中考题中经常出现，对于这类题，我们应先仔细分析题目中给出的信息，列出二次函数，然后利用二次函数的性质，便可使这类题迎刃而解。

二、说思路

分析：设每件降价x元，则每件的利润是（60-x -40）元，所售件数是（300+20x）件，总利润为y元；根据总利润=每件的利润×所售的件数，即可列出函数解析式，根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大．

售价／件 成本／件 利润／件 总销量 总利润

60-x 40 (60-x-40) (300+20x) (60-x-40) (300+20x)

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22．2 二次函数与一元二次方程

1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系．

2．能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集．

3．根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围．

一、情境导入

如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解集吗？不等式ax2＋bx＋c<0的解集呢？

二、合作探究

探究点一：二次函数与一元二次方程

【类型一】二次函数图象与x轴交点情况判断

下列函数的图象与x只有一个交点的是( )

A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2＋2x＋3

C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1

解析：选项A中b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B中b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C中b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D中b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点，故选D.

【类型二】利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴

如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________．

解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x＝2.

方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程．

【类型三】利用函数图象与x轴交点情况确定字母取值范围

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若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋12m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为( )

A．0 B．0或2

C．2或－2 D．0，2或－2

解析：若m≠0，二次函数与x轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式为零来求解；若m＝0，原函数是一次函数，图象与x轴也有一个交点．由(m＋2)2－4m(12m＋1)＝0，解得m＝2或－2，当m＝0时原函数是一次函数，图象与x轴有一个交点，所以当m＝0，2或－2时，图象与x轴只有一个交点．

1 义务教育基础课程初中教学资料

《实际问题与二次函数》同步练习

 课堂学习检测

1．矩形窗户的周长是6m，写出窗户的面积y(m2)与窗户的宽x(m)之间的函数关

系式，判断此函数是不是二次函数，如果是，请求出自变量x的取值范围，并画

出函数的图象．

2．如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB时，水面宽8m，水

位上升3m， 就达到警戒水位CD，这时水面宽4m，若洪水到来时，水位以

每小时0.2m的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．

3．如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1m的A处飞出(A

在y轴上)，运动员乙在距O点6m的B处发现球在自己头的正上方达到最高

点M，距地面约4m高．球第一次落地后又弹起．据试验，足球在草坪上弹起

后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．

2

(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；

(2)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米?(取

，734

) 562

 综合、运用、诊断

4．如图，有长为24m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃

的长可借用一段墙体(墙体的最大可用长度a＝10m)．

(1)如果所围成的花圃的面积为45m2

，试求宽AB的长；

(2)按题目的设计要求，能围成面积比45m2

更大的花圃吗?如果能，请求出最大

面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．

5．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售

量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m＝162－3x．

(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)间的函数关系

式；

(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最为合适?

最大销售利润为多少?

3

6．某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品．现准备增加一批

同类机器以提高生产总量．在试生产中发现，由于其他生产条件没有改变，因此，