陕西省西安地区八校联考2021届高三联考试题 数学【理】试题及答案

9．已知函数 ，则（）
A． 在 单调递增
B． 有两个零点
C．曲线 在点 处切线的斜率为
D． 是偶函数
10．设 为复数， ．下列命题中正确的是（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
11．右图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）
A． B． C． D．
12．设函数 ，则（）
A． B． 的最大值为
故渐近线方程为： ，所以 ， ，
又 ， ，
所以
，
因为故 ，
故 .
22.已知函数 ．
（1）证明：当 时， ；
（2）若 ，求 ．
【详解】(1)分类讨论：
①.当 ， ；
②.当 时， ，
，
则函数 在 上单调增，则 ，
则函数 在 上单调减，则 ；
③.当 时，由函数的解析式可知 ，
当 时，令 ，则 ，
故函数 在区间 上单调递增，从而： ，
故 ，
.
故答案为： ； .
15.
【详解】由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数 ， ，
满足 ，即是奇函数；
根据最小正周期 ，可得 .
故函数可以是 中任一个，可取 .
故答案为： .
16.
【详解】根据正态曲线的对称性知：要使误差 在 的概率不小于0.9545，
则 且 ， ，
所以 .
故答案为：32.
所以 （ ）
18.在四边形 中， ， ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 ．
【详解】（1）在 中，由余弦定理可得 ，
， ，
在 中，由余弦定理可得 ， ；
（2）设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，

2021届高三年级数学(理科)试题第一卷 〔选择题共50分〕一、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1. 复数z 满足3)3i z i ⋅=，那么z 等于〔 〕A.34+ B. 32 C. 34- D. 32 2. 以下函数中，周期为1且是奇函数的是〔 〕A. sin cos y x x ππ=B. 21sin y x π=-C. sin(2)3y x ππ=+D. tan2y x π=3. 设,a b 是非零向量，假设函数()()()f x xa b a xb =+⋅-的图像是一条直线，那么必有〔 〕 A. ||||a b ≠ B. a b ⊥ C. a b ∥ D. ||||a b =4. 在等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，546523,23a S a S =+=+，那么此数列的公比q 为〔 〕 A. 5 B. 2 Ｃ. 3 D. 45. 227x y A ==，且112x y+=，那么A 的值是〔 〕A. 98B. 7C. ±6. 函数3()f x x x =+，那么0a b +>是()()0f a f b +>的〔 〕 A. 既非充分也非必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 充分必要条件7. a 、b 均为正数，且满足2a b +=，那么22S a b =++ 〕 A.92 B. 72C. 4D. 58. 假设一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如以下列图，其顶点都在一个球面上，那么该球的外表积为〔 〕A.43π B.163π C.193πD. 1912π 9. “正整数对〞按如下规律排成一列：(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2), (4,1),,⋅⋅⋅⋅⋅⋅那么第60个数对是〔 〕A. (10,1)B. (7,5)C.(5,7)D. (2,10)10. 对于(1,3)x ∈. 不等式32236(6)x x x a +≥+恒成立，那么实数a 的取值范围〔 〕A.31 [,)6-+∞ B.22[,)3-+∞ C.31(,]6-∞- D.22(,]3-∞-第二卷〔非选择题共100分〕二、填空题〔本大题共5小题，每题5分，共25分〕〔一〕必做题〔11~14题〕11.函数32,2(1),2xxx x⎧≥⎪⎨⎪-<⎩假设关于x的方程()f x k=有两个不同的实根，那么数k的取值范围是12.某程序的流程图如以下列图，假设使输出的结果不大于37，那么输入的整数i的最大值为13.同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的假设干图案，那么按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖块.14.如果点P在平面区域22020210x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩上，点Q在曲线22(2)1x y++=上，那么||PQ的最小值为 .〔二〕选择题〔考生在A、B、C三小题中选做一题，多做按所做第一题评分〕15. A.〔不等式选讲选做题〕如果存在实数x使不等式|1||2|x x k+--<成立，那么实数k的取值范围B.〔几何证明选讲选做题〕如图，O 是ABC ∆的外接圆，过C 点的切线交AB 的延长线于点D ，27CD =，3AB BC ==，那么AC 的长为 .C.〔坐标系与参数方程选做题〕在极坐标系中，曲线2sin ρθ=与cos 1ρθ=-〔0ρ>，02θπ≤<〕的交点的极坐标为三、解答题〔本大题共6小题，共75分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕 16. 〔本小题总分值12分〕在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，不等式2cos 4sin 60x C x C ++≥对一切实数x 恒成立. 〔Ⅰ〕求角C 的最大值；〔Ⅱ〕假设角C 取得最大值，且2a b =，求角B 的大小 17.〔本小题总分值12分〕某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)；第二组[14,15)，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，第五组[17,18].右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.〔Ⅰ〕假设成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数； 〔Ⅱ〕设,m n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且,[13,14)[17,18]m n ∈，求事件“||1m n ->〞的概率.18.〔本小题总分值12分〕多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，D E AB ∥，2AC AD CD DE ====，F 为CD 的中点. 〔Ⅰ〕求证：AF ⊥平面CDE ；〔Ⅱ〕求点A 到平面BCD 的距离的取值范围.19.〔本小题总分值12分〕数列{}n a 有1a a =，2a p =〔常数0p >〕，对任意的正整数n ，12n n S a a a =+++，且n S 满足1().2n n n a a S -=. 〔Ⅰ〕求a 的值； 〔Ⅱ〕试确定数列{}n a 是否是等差数列？假设是，求出其通项公式；假设不是，说明理由.20.〔本小题总分值13分〕椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>经过点A ，且离心率e =〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅱ〕问是否存在过点(1,0)B -的直线l ，使l 与椭圆C 交于,M N 两点，且以线段MN 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？假设存在，求出直线l 的方程；假设不存在，说明理由.21. 〔本小题总分值14分〕 函数2()(1)2ln(1).f x x x =+-+ 〔Ⅰ〕求()f x 的单调区间；〔Ⅱ〕假设当1[1,1]x e e∈--时，不等式()f x m <恒成立，求实数m 的取值范围；〔Ⅲ〕假设关于x 的方程2()f x x x a =++在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根，求实数a 的取值范围.参考答案二、填空题11. 〔0,1〕 12.5 13. 100 14. 3215. A.(3,)-+∞3)4π三、解答题〔本大题共5小题，每题5分，共25分〕 16. 〔Ⅰ〕由条件知，当cos 0C =时，不符合题意； 当cos 0C ≠时，有22cos 0cos 016sin 24cos 02cos 3cos 20C C C C C >>⎧⎧⇒⎨⎨∆=-≤+-≥⎩⎩1cos 2C ≥，角C 的最大值为3π---------------------------------------------------------------6分〔Ⅱ〕2222222cos 3,c a b ab C a b ab b c =+-=+-=∵222222cos2a c b B ac +-=== 又203B π<<∴6B π=-----------------------------------------------------------------------------------------------12分 另：由〔Ⅰ〕得3C π=，所以23A B π+=由2a b =得sin 2sin A B =，所以2sin()2sin ,3B B π-=1sin 2sin 2B B B +=，得tan B =∵2(0,)3B π∈，6B π=17. 解〔Ⅰ〕由直方图知，成绩在[14,16)内的人数为：500.16500.3827⨯+⨯=所以该班成绩良好的人数为27人--------------------------------------------------------------------------------5分 〔Ⅱ〕解：由直方图知，成绩在[13,14)的人数为500.063⨯=人，设为x 、y 、z 成绩在[17,18)的人数为500.084⨯=人，设为A 、B 、C 、D. 假设,[13,14)m n ∈时，有,,xy xz yz 3种情况；假设,[17,18)m n ∈时，有,,,,,AB AC AD BC BD CD 6种情况 假设,[13,14)m n ∈和[17,18)内时，共有12种情况。

2021年陕西省西安市八校高考数学联考试卷(一)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知I 为实数集，P ={x|x 2−2x <0}，Q ={y|y =2x +1,x ∈R}，则P ∩(∁I Q)=( )A. {x|0<x <1}B. {x|0<x ≤1}C. {x|x <1}D. ⌀2. 已知，函数f(x)=x 2−ax +b 在(−∞,1)是单调递减，函数g(x)=log a 1−x1+x ，当x 1，x 2∈(−1,1)且x 1+x 2>0时，g(x 1)+g(x 2)的值为( )A. 正数B. 负数C. 零D. 前面的结果都有可能3. 函数y =3−2sin 22x 的最小正周期为( )A. π2B. πC. 2πD. 4π4. 观察下列等式：√13=1，√13+23=3，√13+23+33=6，√13+23+33+43=10，…… 计算：√13+23+33+43+⋯+93的值为( )A. 37B. 45C. 55D. 665. 已知双曲线C ：x 227−y 29=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为P ，Q ，若△POQ 为直角三角形，则|PQ|=( )A. 2B. 3C. 6D. 96. 已知点A ，B 分别在直线x =1，x =3上，O 为坐标原点，且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4.当|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取到最小值时，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. 0 B. 2 C. 3 D. 67. 若直线y =x +b 与曲线y =√4−x 2有两个交点，则实数b 的取值范围是( )A. (2,2√2)B. [2,2√2)C. (−2,2√2)D. (−2√2,2√2)8. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中c =3，a =3√2，cosB =√24，则sinA =( ) A. 724B. 3√78 C. √24 D. √1449. 函数f(x)=√1−cos2x +cosx ，则f(x)的最大值是( )A. √3B. √2C. 1D. 210. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的十二条棱中，与面对角线AC 垂直且异面的棱的条数是( )A. 2B. 4C. 6D. 811.下列命题中正确的是()A. 若“p∨q”为真命题则“p∧q”为真命题B. .已知a，b，m∈R，命题“若am2<bm2，则a<b”的否命题．C. .l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l//α．D. .命题“∀x∈R，2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0”12.若函数的图象在上恰有一个极大值和一个极小值，则的取值范围是()A. B. C. D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知圆C：，圆心在抛物线上，经过点，且与抛物线的准线相切，则圆的方程为．14.已知复数z满足等式|z−1−i|=1，则|z−3|的最大值为______．15.设函数f(x)={x 2−2x+2,x≥0log2(x+2)+1,x<0，则f(f(−1))=______ ，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3)，则x1+x2+x3的取值范围是______ ．16.计算：=．设是纯虚数，其中是虚数单位，则．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为全等的正方形(边长为2)，侧视图为等腰直角三角形(直角边的长为2)，则该几何体的表面积是．已知满足，若目标函数的最小值是，则的值为．平面内两定点和，动点满足，动点的轨迹为曲线E ，给出以下命题： ①，使曲线E 过坐标原点； ②对，曲线E 与轴有三个交点；③曲线E 只关于轴对称，但不关于轴对称； ④曲线E 上与不共线的任意一点关于原点对称的另外一点为，则四边形的面积不大于 其中真命题的序号是 .(填上所有真命题的序号)三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设等比数列{a n }的每一项都为正数，且a 1+a 2=12，a 3+a 4=18．(Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)设{a n }的前n 项和为S n ，若S n >58，求n 的最小值．18. 已知四棱锥P −ABCD 中底面四边形ABCD 是正方形，各侧面都是边长为2的正三角形，M 是棱PC 的中点．建立空间直角坐标系，利用空间向量方法解答以下问题： (1)求证：PA//平面BMD ；(2)求二面角M −BD −C 的平面角的大小．19.学校组织学生参加模块测试，测试后随机抽查部分学生的成绩，成绩的频率分布直方图如图5，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，低于60分的人数是6人(1)被抽查的学生有多少人？(2)从被抽查低于60分的6人中随机选取2人，求这2人在同一分数组的概率．20. 已知椭圆W 中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e =√32，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为1．(1)求椭圆W 的标准方程；(2)椭圆上一动点P(x 0,y 0)关于直线y =2x 的对称点为P 1(x 1,y 1)，求3x 1−4y 1的取值范围． (3)设椭圆W 的左右顶点分别为A 、B ，点S 是椭圆W 上位于x 轴上方的动点，直线AS 、BS 与直线l ：x =103分别交于M 、N 两点，求线段MN 的长度的最小值．21. 已知函数f(x)=ax 2−e x (a ∈R)，f′(x)是f(x)的导数(e 为自然对数的底数)．(Ⅰ)当a =1时，求曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； (Ⅱ)若当x ≥0时，不等式f(x)≤−x −1恒成立，求实数a 的取值范围22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =sinθ+cosθy =sin2θ(θ为参数)，若以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=−√2．(Ⅰ)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(Ⅱ)求曲线C1上的动点与曲线C2上动点的最小距离．23.设(1)求不等式的解集；(2)若不等式的解集是非空集合，求实数m的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵Q={y|y=2x+1,x∈R}，∴y=2x+1>1，∴Q={y|y>1}．∵I为实数集，∴∁I Q={y|y≤1}．∵P={x|x2−2x<0}，∴P={x|0<x<2}．∴P∩(∁I Q)={x|0<x≤1}．故答案为：B．本题可以先对集合化简，再利用补集定义求出相应的补集，最后求出P∩(∁I Q)，得到本题结论．本题考查了集合的补集运算、集合的交集运算，本题难度不大，属于基础题．2.答案：B解析：解：根据题意，函数f(x)=x2−ax+b在(−∞,1)是单调递减，则有a2≥1，即a≥2，函数g(x)=log a1−x1+x ，有1−x1+x>0，解可得−1<x<1，即函数g(x)的定义域为(−1,1)，关于原点对称，又由g(−x)=log a1+x1−x =−loga a1−x1+x=−g(x)，即函数g(x)为奇函数，令t=1−x1+x =2x+1−1，则t为减函数，而y=log a t为增函数，故g(x)=log a1−x1+x定义在(−1,1)上的减函数，当x1，x2∈(−1,1)且x1+x2>0时，即x1>−x2，又由g(x)为减函数，则有g(x1)<g(−x2)=−g(x2)，则有g(x1)+g(x2)<0；故选：B．根据题意，由二次函数的性质分析可得a≥2，分析可得函数g(x)为奇函数，且在(−1,1)上是减函数，分析可得：若x1，x2∈(−1,1)且x1+x2>0时，即x1>−x2，结合g(x)的奇偶性与单调性可得g(x1)<g(−x2)=−g(x2)，变形可得g(x1)+g(x2)<0，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数g(x)=log a1−x1+x的奇偶性与单调性．3.答案：A解析：解：由题意可得：f(x)=2+cos4x，所以周期为T=2π4=π2．故选：A．先将函数运用二倍角公式化简为y=Asin(wx+φ)的形式，再利用正弦函数的性质可得答案．本题主要考查三角函数的最小正周期的求法．一般都要把三角函数化简为y=Asin(wx+φ)的形式再解题．4.答案：B解析：本题考查归纳推理，属于中档题．由√13=1，√13+23=3，√13+23+33=6，√13+23+33+43=10，……我们发现，等式左边都是从1开始，连续n个正整数的立方和的算术平方根，右边都是从1开始，连续n个正整数的和的形式．故我们可以由此推断出一般性结论．解：由已知中等式：√13=1，√13+23=3，√13+23+33=6，√13+23+33+43=10，……归纳可得：等式左边都是从1开始，连续n个正整数的立方和的算术平方根，右边都是从1开始，连续n个正整数的和的形式．故√13+23+33+43+⋯+93=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，故选：B．解析：解：由对称性，不妨设点P 在第一象限，点Q 在第四象限，∠OPQ =90°， 如图所示： ∵双曲线C ：x 227−y 29=1，∴渐近线方程为：y =√33x ，∴∠POF =30°，又∵|OF|=6，∴|PF|=3，|OP|=3√3， 由对称性可知．∠POQ =60°，∴tan60°=|PQ||OP|，∴|PQ|=3√3×√3=9， 故选：D ．由对称性，不妨设点P 在第一象限，点Q 在第四象限，∠OPQ =90°，画出图形，因为渐近线方程为：y =√33x ，所以∠POF =30°，从而求出|PF|=3，|OP|=3√3，|PQ|=3√3×√3=9．本题主要考查了双曲线的定义，是中档题．6.答案：A解析：解：如图所示， 设A(1,s)，B(3,t)． ∵|OA⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4． ∴|(1,s)−(3,t)|=|(−2,s −t)|=√(−2)2+(s −t)2=4， ∴(s −t)2=12．|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|(4,s +t)|=√16+(s +t)2≥4，当且仅当s +t =0时取等号．因此|OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取到最小值4时，s +t =0， ∴(−t −t)2=12，得到t 2=3． ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3+st =3−3=0．利用向量的坐标运算法则，及当|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取到最小值时，可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得出． 本题考查了向量的坐标运算法则、向量数量积的性质等基础知识，考查了计算能力，属于中档题．7.答案：B解析：解：曲线y =√4−x 2表示以原点为圆心，2为半径的圆，在x 轴上边的部分，如图所示，当直线与半圆相切时，b =2√2，∴直线y =x +b 与曲线y =√4−x 2有两个交点，实数b 的取值范围是[2,2√2). 故选：B ．曲线y =√4−x 2表示以原点为圆心，2为半径的圆，在x 轴上边的部分，结合图形，即可求出实数b 的取值范围．本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想，属于中档题．8.答案：D解析：解：∵在△ABC 中，c =3，a =3√2，cosB =√24，∴b 2=a 2+c 2−2accosB =(3√2)2+32−2×3√2×3×√24=18，解得b =3√2． ∵B ∈(0,π)， ∴sinB =√1−cos 2B =√144． 由正弦定理可得：asinA =bsinB ， 可得：sinA =asinB b=3√2×√1443√2=√144．故选：D．利用余弦定理可得b，再利用正弦定理即可得出．本题考查了正弦定理与余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：A解析：解：f(x)=√2sin2x+cosx=√2|sinx|+cosx=±√3sin(x+φ)≤√3，时取等号．可得f(x)的最大值是√3，当cosx=√33故选：A．f(x)=√2sin2x+cosx=√2|sinx|+cosx=±√3sin(x+φ)≤√3，即可得出最大值．本题考查了三角函数的单调性、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.答案：A解析：解：如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1的十二条棱中，与面对角线AC垂直且异面的棱有：BB1和DD1，∴与面对角线AC垂直且异面的棱的条数是2．故选：A．作出图形，列举出与面对角线AC垂直且异面的棱．本题考查满足条件的棱的条数的求法，考查长方体的结构特征等基础知识，考查数形结合思想，是基础题．11.答案：D解析：解：对于A，若“p∨q”为真命题，可得p，q至少有一个为真命题，则“p∧q”不一定为真命题，故A错；对于B，已知a，b，m∈R，命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为“若a<b，则am2<bm2”为假命题，比如m=0，逆命题不成立，由逆命题和否命题等价，可得否命题也为假命题，故B错；对于C，l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l//α或l⊂α，故C错；对于D，命题“∀x∈R，2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0”，故D对．故选：D．运用复合命题的真值表，即可判断A；由四种命题和等价命题，即可判断B；运用线面平行和垂直的判定和性质，即可判断C；由全称命题的否定为特称命题，即可判断D．本题考查命题的真假判断，主要是复合命题的真值表和四种命题的真假和关系、命题的否定和线面的位置关系的判断，考查判断能力，属于基础题．12.答案：D解析：试题分析：当且时，则有，且函数在区间上恰有一个极大值和一个极小值，则有且有，解得，故选D．考点：三角函数的极值13.答案：．解析：试题分析：抛物线的准线为，所以；又该圆经过点，所以；圆心在抛物线上，所以，联立解方程组得.所以所求圆的方程为．考点：圆与抛物线．14.答案：√5+1解析：解：|z−1−i|=1的几何意义为复平面内动点到定点(1,1)距离为1的点的轨迹，如图：由图可知，|z−3|的最大值为√(3−1)2+(0−1)2+1=√5+1．故答案为：√5+1．由题意画出图形，数形结合得答案．本题考查复数模的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．15.答案：1 (1,2)解析：解：函数f(x)={x 2−2x +2,x ≥0log 2(x +2)+1,x <0，所以f(−1)=log 21+1=1，则f(f(−1))=f(1)=1−2+2=1；作出函数f(x)的图象如图所示，因为互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)， 不妨设x 1<x 2<x 3，当x ≥0时，f(x)=x 2−2x +2=(x −1)2+1，图象的对称轴为x =1，所以x 2+x 3=2，当x =1时，f(x)=1，令log 2(x +2)+1=1，解得x =−1， 由图象可知−1<x 1<0，所以则x 1+x 2+x 3的取值范围是(1,2)． 故答案为：1；(1,2)．先求出f(−1)，再求解f(f(−1))即可；作出函数f(x)的图象，利用二次函数的对称性得到x 2+x 3=2，由对数的运算以及函数图象可得−1<x 1<0，求解即可．本题考查了分段函数的综合应用，分段函数的求值问题的关键是根据自变量的值确定使用哪一段解析式求解，分段函数问题的一般解题方法是：数形结合法以及分类讨论法，属于中档题．16.答案：【小题1】 6【小题2】1【小题3】 【小题4】【小题5】①④解析： 11、考查的对数运算性质，需熟记公式．解：，故答案为6．12、考查复数的定义，理解纯虚数的定义，需实部为0，虚部不为0．解：由题得：a²−1=0且a+1≠0解得：a=1．故答案为1．13、考查空间几何体的三视图，关键是通过观察与想象还原得出原几何体．解：通过观察得知，原几何体是一个三棱柱，面ADFC⊥面ABED，，且四边形ADFC，ABED均为全等正方形.△ABC，△DEF均为等腰三角形.如图所示：．故答案为．14、考查的线性规划.先根据不等式组作出可行域，由题意分析z=y−x的最小值为4，应该在哪个点取得，求出k．解：作出不等式组表示的可行域如下图中的三角形ABC及其内部(图中阴影部分)：由z=y−x，得y=x+z，做直线l:y=x，平移直线l，可知当l经过点B(，0)时，y=x+z截距最小，z取得最小值．故有：−4=0−().解得．故答案为．15、由平面内两定点M(0,−2)和N(0,2)，动点P(x,y)满足||⋅||=m(m≥4)，得.对选项进行分析，即可得出结论．解：由平面内两定点M(0,−2)和N(0,2)，动点P(x,y)满足||⋅||=m(m≥4)，得①(0,0)代入，可得m =4，∴①正确；②令y =0，可得x2+4=m ，∴对于任意m ，曲线E 与x 轴有三个交点，②不正确； ③曲线E 关于x 轴对称，但不关于y 轴对称，故③不正确；④曲线E 上与M 、N 不共线的任意一点G 关于原点对称的点为H ，则四边形GMHN 的面积为2S △MNG =|GM||GN|sin∠MGN ≤m ，∴四边形GMHN 的面积最大为不大于m ，④正确． 故答案为①④．21.答案：解：(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q >0，由题意，得a 1(1+q)=12，a 1q 2(1+q)=18， 联立解得a 1=13，q =12． ∴a n =13×(12)n−1．(Ⅱ)由(Ⅰ)知：S n =13(1−12n )1−12=23(1−12n )，由23(1−12n )>58，得2n >16，解得n >4． ∴n 的最小值为5．解析：(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q >0，由题意，得a 1(1+q)=12，a 1q 2(1+q)=18，联立解得a 1，q.即可得出a n ．(Ⅱ)由(Ⅰ)知：S n =23(1−12n )，由23(1−12n )>58，即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.答案：证明：(1)连结AC 、BD 交于点O ，连结OP ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ∵PA =PC ，∴OP ⊥AC ， 同理OP ⊥BD ，以O 为原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O −xyz ，P(0,0,√2),A(√2,0,0),B(0,√2,0),M(−√22,0,√22)， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,−√2),OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,0),OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,0,√22)， 设平面MBD 的法向量为n⃗ =(x,y,1) {√2y =0,−√22x +√22=0,⇒{y =0,x =1, 所以平面BMD 的法向量为n⃗ =(1,0,1)， ∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，又PA ⊄平面BMD ， ∴PA//平面BMD ．解：(2)平面ABCD 的法向量为a ⃗ =(0,0,1)， 二面角M −BD −C 的平面角为α， 则cosα=√2=√22，α=45°，∴二面角M −BD −C 的平面角45°．解析：(1)连结AC 、BD 交于点O ，连结OP ，以O 为原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O −xyz ，利用向量法能证明PA//平面BMD ．(2)求出平面ABCD 的法向量和平面MBD 的法向量，利用向量法能求出二面角M −BD −C 的平面角．本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．23.答案：解：(1)由频率分布直方图知低于60分的频率为：0.005×20+0.01×20=0.3，∴被抽查的学生有6÷0.3=20(人)．(2)由(1)知，[20,40)分数组的学生有20×(0.005×20)=2(人)，[40,60)分数组的学生有4人，记这6人分别为a1、a2，b1、b2、b3、b4(a、b表示不同分类组)，从中随机选取2人，不同的选法有a1a2、a1b1、a1b2、a1b3、a1b4、a2b1、a2b2、a2b3、a2b4、b1b2、b1b3、b1b4、b2b3、b2b4、b3b4，共15种，2人在同一分数组的选法有a1a2、b1b2、b1b3、b1b4、b2b3、b2b4、b3b4，共7种，∵不同选法等可能，∴2人在同一分数组的概率P=715．解析：本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，难度不大，属于基础题．(1)由频率分布直方图求出低于60分的频率，由此利用已知条件能求出被抽查的学生人数．(2)由(1)知，[20,40)分数组的学生有2人，[40,60)分数组的学生有4人，由此能求从被抽查低于60分的6人中随机选取2人，求这2人在同一分数组的概率．24.答案：解：(1)椭圆W中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=√32，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为1．∴ca =√32，并且2b2a=1，a2=b2+c2，解得a=2，b=1，c=√3，∴椭圆W的标准方程：x24+y2=1(2)∵点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1,∴{y0−y1x0−x1×2=−1y0+y12=2×x0+x12，解得：x1=4y0−3x05，y1=3y0+4x05．∴3x1−4y1=−5x0．∵点P(x0,y0)在椭圆C：x24+y2=1上，∴−2≤x0≤2，则−10≤−5x0≤10．∴3x1−4y1的取值范围为[−10,10]．(3)直线AS 的斜率k 显然存在，且k >0，故可设直线AS 的方程为y =k(x +2)， 从而M(103,163k)．由{y =k(x +2)x 24+y 2=1得(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−4=0． 设S(x 1,y 1)，则(−2)⋅x 1=16k 2−41+4k2得x 1=2−8k 21+4k2，从而y 1=4k1+4k 2． 即S(2−8k 21+4k 2,4k 1+4k 2)，又B(2,0)由{y =−14k ( )x −2x =103得{x =103y =−13k ，∴N(103,−13k)， 故|MN|=|16k 3+13k|，又k >0，∴|MN|=163k +13k ≥2√16k 3⋅13k =83.当且仅当16k 3=13k，即k =14时等号成立 ∴k =14时，线段MN 的长度取最小值83．解析：(1)依题意知，e =√32，椭圆的通经为1，由此可求出椭圆C 的方程．(2)点P(x 0,y 0)关于直线y =2x 的对称点为P 1(x 1,y 1，由题设条件能推出3x 1−4y 1=−5x 0.再由点P(x 0,y 0)在椭圆W ：x 24+y 2=1上，能够铁推出3x 1−4y 1的取值范围．(3)设直线AS 的方程为y =k(x +2)，从而M(103,163k).由题设条件可以求出N(103,−13k)，所以|MN|=|163k +13k|，再由均值不等式进行求解．本题考查椭圆的基本性质及其应用，考查椭圆与直线的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用．25.答案：解：(Ⅰ)当a =1时，f(x)=x 2−e x ，f′(x)=2x −e x ，则f(0)=0−e 0=−1，f′(0)=0−e 0=−1，所以切线方程为：y +1=−1(x −0)，即x +y +1=0；(Ⅱ)当x ≥0时，f(x)≤−x −1恒成立，即：ax 2−e x +x +1≤0在[0,+∞)上恒成立， 设g(x)=ax 2−e x +x +1，则g′(x)=2ax −e x +1， 令ℎ(x)=2ax −e x +1，x ≥0， 则ℎ′(x)=2a −e x ． ①当a ≤12时，2a ≤1，此时e x ≥e 0=1，则ℎ′(x)≤0，当且仅当a =12，x =0时等号成立，可知g′(x)在[0,+∞)上单调递减，则g′(x)≤g′(0)=0， 所以g(x)在[0,+∞)上单调递减，所以g(x)≤g(0)=0，即f(x)≤−x −1恒成立， 所以a ≤12满足题意; ②当a >12时，令ℎ′(x)=0，解得：x =ln2a ， 当x ∈(0,ln2a)时，ℎ′(x)>0，则g′(x)单调递增， 此时g′(x)>g′(0)=0，则g(x)在(0,ln2a)上单调递增， 所以g(x)>g(0)=0，即当x ∈(0,ln2a)时，f(x)>−x −1， 即f(x)≤−x −1不恒成立，可知a >12不合题意 综上所述，a ∈(−∞,12]．解析：本题考查了导数的几何意义和导数中的恒成立问题，属于难题．(Ⅰ)对f(x)求导，求出切线的斜率k =f′(0)和f(0)，然后用点斜式写出曲线的切线方程； (Ⅱ)构造函数g(x)=ax 2−e x +x +1，然后对a 进行分类讨论即可求解．26.答案：解：(Ⅰ)∵曲线C 1的参数方程为{x =sinθ+cosθy =sin2θ(θ为参数)，∴x 2=(sinθ+cosθ)2=1+sin2θ=1+y ，∴曲线C 1的普通方程为：y =x 2−1，x ∈[−√2,√2].…………(3分) ∵曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=−√2， ∴√22ρ(sinθ+cosθ)=−√2，∴曲线C 2的直角坐标方程x +y +2=0.………(5分) (Ⅱ)直线C 2：x +y =−2，设C 1(x 0,x 02−1)，|x 0|≤√2，则d =020√2=(x +12)2+34√2≥3√28， 当x 0=−12时取等号，满足|x 0|≤√2，所以曲线C1上的动点与曲线C2上动点的最小距离为3√28.…………(10分)解析：(Ⅰ)曲线C1的参数方程消去参数，能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程转化为√22ρ(sinθ+cosθ)=−√2，由此能求出曲线C2的直角坐标方程．(Ⅱ)直线C2：x+y=−2，设C1(x0,x02−1)，|x0|≤√2，则d=(x+12)2+34√2≥3√28，由此能求出曲线C1上的动点与曲线C2上动点的最小距离．本题考查曲线的普通方程和直角坐标方程的求法，考查两曲线上的动点的距离的最小值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．27.答案：(1)(2)解析：试题分析：(1)转化为时；当时；当时，综上可知解集为(2)函数整理为，函数值域，考点：绝对值不等式与分段函数点评：求解绝对值不等式的通常思路是分情况去掉绝对值符号，将其转化为多个一般不等式，求解一般不等式然后求其交集，。

高三数学试卷（理科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合()(){}380A x x x =++<，则A Z =∩A . {}83x x -<<-B . {}4,5,6,7C . {}38x x << D .{}7,6,5,4----2.若z =，则A . 2z 的实部为1B . 2z 的实部为1-C . 2z 的虛部为-D . 2z 的虚部为3.某地区7月1日至7月10日白天的平均气温的折线图如图所示，则下列判断错误的是A .从7月2日到7月5日白天的平均气温呈下降趋势B .这10天白天的平均气温的极差大于6℃C .这10天中白天的平均气温为26℃的频率最大D .这10天中白天的平均气温大于26℃的有5天 4.若函数()f x 的图象关于点()1,0对称，则A . ()1f x +为偶函数B . ()1f x -为偶函数C . ()1f x +为奇函数D . ()1f x -为奇函数 5.在平行四边形ABCD 中，7CD ED =，且BE AD DE λμ=+，则λμ+= A . 5- B . 6- C .5 D .6 6.函数()()22sin 2cos sin f x x x x =-的最小正周期为A .4π B . 2πC . πD . 34π7.若随机变量X 的分布列为则DX =A .16B .32C .18D .648.在ABC ∆中，3B π=，且ABC ∆的面积为，则ABC ∆外接圆的半径的最小值是A .B .6C .D .129.若从1，3，5，7中选取两个数，从0，2，4，6，8中选取两个数，将这四个数组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的总个数为A .1296B .1320C .1440D .1524 10.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A .12 B .1. C .32D .2 11.已知函数()()3213e 3xf x x x x a =--++，若()0f x >对x ∈R 恒成立，则a 的取值范團是 A . ()3,+∞ B . ()0,+∞ C .22,3e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D . 24,3e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭12.已知双曲线C 的方程为2214x y m m+=+，给出下列四个结论： ①m 的取值范围是()4,0-； ②C 的焦距与m 的取值无关；③当C 的离心率不小于2时，m 的最小值为3-；④存在实数m ，使得点()2,m m 在C 上. 其中结论正确的个数为A .1B .2C .3D .4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置. 13.若1tan 2α=，则sin cos sin 2cos αααα-=- . 14.椭圆22149x y +=上一点到两焦点的距离之和为 . 15.若函数()()991log 2log 4f x x x x ⎛⎫=+->⎪⎝⎭），则()f x 的值域为 . 16.已知底面为矩形的四棱锥P ABCD -的每个顶点都在球O 的球面上， PA AD ⊥，PA AB =，PB =，且BC =.若球O 的体积为323π，则棱PB 的中点到平面PCD 的距离为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.（12分）在递增的等比数列{}n a 中，39a =，2430a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若32log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18.（12分）（1）根据6至10月份的数据，求出v 关于u 的线性回归方程；（2）该公司销售部门打算11月份对该地区投入广告费15万元，但公司决策部门规定，当纯利润预测不低于35万元时才能对该地区继续投人广告，否则终止投入广告，试判断销售部门对该地区是否继续投入广告.附：回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ni i i nii x y nx yb x nx==-∑=-∑，a y bx =-.19.（12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点E ，8BD =，6AC =，将ACD ∆沿AC 折到PAC ∆的位置使得4PD =.（1）证明：PB AC ⊥.（2）求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值. 20.（12分）已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，点,22p E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，EF =. （1）求抛物线C 的方程；（2）已知过点F 的直线l 交抛物线C 于P ，Q 两点，当E 到l 的距离最大时，求EPQ ∆的面积. 21.（12分） 已知函数()ln xf x x e=-. （1）若曲线()y f x =存在一条切线与直线y ax =垂直，求a 的取值范围. （2）证明：()23ln sin 4f x x x x <--. （二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选-题作答. 如果多做，则按所做的第一个题目计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） x = 4cos a ，在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{4cos 44sin x y αα==-+（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3cos 4sin m ρθρθ+=. （1）求C 的极坐标方程；（2）若l 与C 相交，求m 的取值范围. 23.[选修4- 5：不等式选讲]（10分） 已知函数()3f x x a x a =-+-. （1）求不等式()1f x x a >+-的解集；（2）若()f x >对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.高三数学试卷参考答案（理科）1.D 因为{}83A x x =-<<-，所以{}7,6,5,4A Z =----∩.2.B 因为21z =--，所以2z 的实部与虚部分别为1-，-3.D 从7月2日到7月5日白天的平均气温呈下降趋势这10天白天的平均气温的极差大于6℃.这10天中白天的平均气温为26℃的频率为0. 3，比其他平均气温的频率都要大.这10天中白天的平均气温大于26℃的只有4天.故选D .4.C 因为函数()f x 的图象关于点()1,0对称，所以将()f x 的图象向左平移1个单位长度后所得图象关于原点对称，故选C .5.A 因为7CD ED =，所以6CE DE =-，则6BE BC CE AD DE =+=-，所以165λμ+=-=-.6.A ()1sin 2cos 2sin 42f x x x x ==，因为sin 4y x =的最小正周期为242ππ=，所以()f x 的最小正周期为4π. 7.D ∵100.3200.5300.116EX =⨯+⨯+⨯=，∴2222160.160.340.5140.164DX =⨯+⨯+⨯+⨯=.8.A 由三角形的面积公式可得1sin 2ac B ==36ac =.由余弦定理可得222b a c =+-2cos 236ac B ac ac ac -==≥，即6b ≥，则ABC ∆外接圆的半径2sin 32b R B==⨯（当且仅当6a c ==时，等号成立）.9.A 若0被选中，则不同的四位数的个数211314433C C C A 432N ==；若0不被选中，则不同的四位数的个数2241444C C A 864N ==.故不同的四位数的总个数为4328641296+=.10.B 由三视图可知，该三棱锥的两个顶点为正方体的顶点，另外两个顶点是正方体棱的中点，其直观图如图所示.正视图的面积为1132222111222⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=，故该三棱锥的体积为一132132⨯⨯=.11.D ()()()()22222x f x x e x e x x x '=--+---，设函数()()1x x g x e x g x e =-+'=-，易证()()010g x g =>≥.令()0f x '>，得2x >；令()0f x '<，得2x <.所以()2min 403f x e a =-+>，故243a e >-. 12.C 由题意得()40m m +<，则40m -<<，故①正确.因为40m -<<，所以24a m =+，2b m =-，2224c a b =+=，则2c =，从而C 的焦距为4，与m 的取值无关，故②正确.若C的离心率不小于2，则2e ==，解得3m -≤，故③不正确.假设存在实数m ，使得点()2,m m 在C 上，则4214m m m m+=+，则42340m m m ++-=.设函数()4234f m m m m =++-，因为()2100f -=>，()150f -=-<，从而存在()2,1m ∈--，使得()0f m =，故④正确. 13. 13 1sin cos tan 1123sin 2cos tan 232αααααα---===---14.6 因为49<，所以29a =，所以椭圆22149x y +=上一点到两焦点的距离之和为26a =. 15.()0,1 因为()9922log log 1x f x x x +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，所以()f x 在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，又2119x <+<，所以()f x 的值域为()0,1.16.3∵PA AB =，PB =，∴PA AB ⊥，又PA AD ⊥，AD AB A =∩， ∴PA ⊥平面ABCD .∵底面ABCD 为矩形，∴侧棱PC 为球O 的直径.设球O 的半径为R ，则343233R ππ=，即2R =，又22R ==，解得2AB =.如图，过A 作AG PD ⊥于G ，取棱PA 的中点F ，连接EF .易证CD ⊥平面APD ，则CD AG ⊥，从而AG ⊥平面PCD .由等面积法可得3AG ==，则F 到平面PCD PCD的距离为12AG =∵EF AB CD ∥∥，∴EF CD ∥，则E 到平面PCD PCD 的距离等于F 到平面PCD 的距离， 故棱PB 的中点到平面PCD17.解：（1）由题意可得231324113301a a q a a a q a q q ⎧==⎪+=+=⎨>⎪⎩，解得11a =，3q =.故1113n n n a a q --==.（2）由（1）可得2123n n a -=，则32log 21n n b a n ==-，故()2121135212n n n S n n +-=++++-==.18.解：（1）由表中数据可得()1101113129115u =⨯++++=， ()12325302616245v =⨯++++=，515222151********3.16155115i i i i i u v uvb u u==-∑-⨯⨯===-⨯-∑， 24 3.11110.1a v bu =-=-⨯=-，故v 关于u 的线性回归方程为 3.110.1v u =-. （2）当15u =时， 3.11510.136.435v =⨯-=>， 所以该公司销售部门将对该地区继续投入广告. 19.（1）证明：因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥， 则BE AC ⊥，PE AC ⊥.因为BE ⊂平面PBE ，PE ⊂平面PBE ，且BE PE E =∩，所以AC ⊥平面PBE . 因为PB ⊂平面PBE ，所以PB AC ⊥.（2）解：取DE 的中点O ，连接OP ，取CD 的中点F ，连接OF . 因为8BD =，所以4DE PE ==.因为4PD =，所以PD PE =，所以PO DE ⊥.由（1）可知AC ⊥平面PBE ，所以平面PBD ⊥平面ABCD ，则PO ⊥平面ABCD .故以O 为坐标原点，OF ，OD ，OP 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.由题中数据可得()3,2,0A --，()0,6,0B-，()3,2,0C -，()0,2,0D ，(0,0,P，则()3,4,0AB DC ==-，(BP =，(0,DP =-.设平面PAB 的法向量为()111,,m x y z =，则11134060m AB x y m BP y ⎧⎪⋅=-=⎨⋅=+=⎪⎩，令4x =，得(4,3,m =-. 设平面PCD 的法向量为()222,,n x y z =，则22234020n DC x y n DP y ⎧⎪⋅=-=⎨⋅=-+=⎪⎩，令4x =，得(n =.n . DP =-2y2+2/3z2=0，设平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角为θ，则cos 91m nm nθ⋅===. 20.解：（1）因为,22p E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，EF =，=解得4p =，故抛物线C 的方程为28y x =. （2）由题意知，()2,0F ，因为直线l 过点F ， 所以当EF l ⊥时，点E 到l 的距离最大. 因为201222EF k -==---，所以直线l 的斜率为2，联立方程组()2228y x y x⎧=-⎨=⎩，消去y 得2640x x -+=. 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则126x x +=， 所以126410PQ x x p =++=+=.因为EF =，所以EPQ ∆的面积为1102⨯⨯=21.（1）解：()11f x x e'=-.因为()f x 的定义域为()0,+∞，所以111x e e->-. 因为曲线()y f x =存在一条切线与直线y ax =垂直，所以11a e->-， 解得0a <或a e >，则a 的取值范围为()(),0,e -∞+∞∪. （2）证明： ()11e xx e x f x e'-=-=. 当()0,x e ∈时，()0f x '>；当(),x e ∈+∞时，()0f x '<. 所以()()max ln 0ef x f e e e==-=. 设函数()2ln g x x x =-，则()21212x g x x x x-'=-=.当x ⎛∈ ⎝⎭时， ()0g x '<；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0g x '>.所以()min 11111ln ln 2222222g x g ⎛==-=+⎝⎭.因为1ln 22>=， ()min 34g x >. 因为333sin ,444x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以23ln sin 04x x x -->. 又()()max 0f x f x =≤，所以()23ln sin 4f x x x x <--. 22.解：（1）由{4cos 44sin x y αα==-+，得()22416x y ++=，即2280x y y ++=，则C 的极坐标方程为28sin 0ρρθ+=， 即8sin 0ρθ+=（或8sin ρθ=-）. （2）因为l 的极坐标方程为340x y m +-=，所以l 的直角坐标方程为340x y m +-=.由（1）知，曲线C 表示圆心()0,4C -，半径为4的圆， 则C 到l 的距离1645m d +=<， 解得364m -<<，即m 的取值范围为()36,4-.23.解：（1）由()1||f x x a >+-，得31x a ->，则31x a -<-或31x a ->，即31x a <-或31x a >+，故不等式()1f x x a >+-的解集为()(),3131,a a -∞-++∞∪.（2）因为()()1332f x x a x a x a a >+----=≥， 所以()f x 的最小值为2a .因为()f x >x ∈R 2a <， 又180a +≥，所以[)918,2,4a ⎛⎤∈--⋃+∞ ⎥⎝⎦.。

陕西省2021届高三下学期联考（三）理综试题本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分300分，考试时间150分钟．注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上．2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持纸面清洁，不折叠，不破损．5．若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并在答题纸上对应的题号后填写．第I卷（选择题共126分）可能用到的相对原子质量：H -1 C-12 N-14 O-16 S-32 Mn-55 Fe-56一、选择题（本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列关于细胞结构和功能的叙述，正确的是A．核糖体是噬菌体、细菌、酵母菌唯一共有的细胞器B．细胞骨架和中心体都木含有磷脂C．细胞器之间都能通过囊泡进行物质运输D．当细胞衰老时，其细胞膜表面的糖蛋白物质会减少，导致粘着性降低2．下列关于豌豆的叙述，正确的是A．将高茎豌豆和矮茎豌豆间行种植，个体间可杂交B．及时排涝，能防止根细胞受乳酸毒害C．豌豆叶片黄化，叶绿体对红光的吸收减少D．成熟季节，豌豆种子通过光合作用制造大量有机物导致干重明显增加3．甲、乙、丙是某二倍体动物的3个正常细胞，其染色单体数分别为0、2N、4N，下列说法不正确的是A．甲细胞中的染色体数目可能最多B．乙细胞中染色体可能正向细胞两极移动C．丙细胞中可能有四个染色体组D．甲、乙、丙可能都在进行有丝分裂4．下表所列实验中，操作过程及主要目的对应合理的是5．某研究者对新生儿感染的细菌进行了耐药性实验，结果显示70%的致病菌具有耐药性，下列相关叙述正确的是A．细菌由于基因突变和染色体变异，形成了多种变异类型B．70%的致病菌具有耐药性，与新生儿是否接触过抗生素无关C．新生儿出生时接种疫苗，可预防各种细菌感染D．新生儿通过从母体获取的免疫球蛋白，对细菌发生的免疫反应属于非特异性免疫6．右图甲表示人体中体液中物质交换过程示意图，其中A、B、C表示三种细胞外液，D表示组织细胞，图乙表示生态系统中的物质循环示意图，其中A、B、C、D分别表示生态系统的四种组成成分．下列相关说法正确的是A．若图甲中的D为肌肉细胞，则其无氧呼吸产生的二氧化碳释放到A中，可导致A的pH下降B．图甲的C中含量最多的化合物是蛋白质C．图乙中的D可表示大气中的二氧化碳库，B可表示消费者D．图乙中的A表示的一定是自养生物7．有两组物质：①组CH4、聚乙烯、邻二甲苯②组2-丁烯、乙炔、苯乙烯下列有关上述有机物说法正确的是A．①组物质都不能使酸性高锰酸钾褪色，②组物质都能使酸性高锰酸钾褪色B．①组物质都不能使溴的四氯化碳褪色，②组物质都能使溴的四氯化碳褪色C．②组物质所有原子可以在同一平面内D．邻二甲苯的一氯代物只有两种8．右图是部分短周期元素原子（用字母表示）最外压A子数与原子序数的关系图．下列说法正确的是A．该图体现出原子核外电子层呈现周期性变化B．简单离子半径：C．R、Z形成的化合物中可能含有共价键D．由酸性：可证明非金属性：9．下列陈述I、II正确并且有因果关系的是10．实验室从含溴化氢的废液中提取溴单质，下列说法中能达到实验目的的是A．用装置甲氧化废液中的溴化氢B．用装置乙分离CCl4层和水层C．用装置丙分离CCl4和液溴D．用仪器丁长期贮存液溴11．下列表示对应化学反应的离子方程式．其中正确的是12．25℃时，醋酸、次氯酸、亚硝酸的电离常数如下表，下列叙述不正确的是13．用酸性氢氧燃料电池（甲池）为电源进行电解的实验装置（乙池，一定条件下可实现有机物的电化学储氢）如下图所示．甲池中C为含苯的物质的量分数为10%的混合气体，D为l0mol混合气体其中苯的物质的量分数为24 010（杂质不参与反应），E为标准状况下2．8mol气体（忽略水蒸汽），下列说法正确的是A．甲池中A处通入H2，E处有O2放出B．甲池中H+由F极移向G极C．乙池中阴极区只有苯被还原D．导线中共传导11.2mol电子二、选择题（本题共8小题，每小题6分．在每小题给出的四个选项中，第14~18题只有一项符合题目要求，第19~21题有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得3分。

西安中学高2021届高三12月月考理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若集合A ={(x,y)|x +y =1}，B ={x|x −y =1}，则A ∩B 等于 ( )A. {(1,0)}B. {1}C. (1,0)D. ∅2. 已知平面内有三点A(−1,7)，B(2,3)，C(3,5)，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为( )A. −1B. 1C. −√5D. √53. 过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 到y 轴的距离为2，则|AB|=( ) A. 8B. 6C. 5D. 44. 中兴、华为事件暴露了我国计算机行业中芯片、软件两大短板，为防止“卡脖子”事件的再发生，科技专业人才就成了决胜的关键．为了解我国在芯片、软件方面的潜力，某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计，得到了这两个行业从业者的年龄分布的饼状图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，则下列说法中不一定正确的是( )A. 芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过50％B. 芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数超过总人数的25％C. 芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多D. 芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”的总人数多 5. 如图,某几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( ) A. 32πB. √3πC.√32D. 3π6.在(x3−1)(x−1√x)6的展开式中，常数项等于（）A. 15B.16C. −16D. −147.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，M是抛物线C上的点，MF⊥x轴，若以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，则p=( )A. 2B. 2√2C. 4D. 4√28.为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这三种题型进行改编，则每种题型至少指派1名教师的不同分派方法种数为()A. 150B. 180C. 200D. 2809.设复数z满足|z−i|+|z+i|=4，z在复平面内对应的点为(x,y)，则()A. x24−y23=1 B. x24+y23=1 C. y24−x23=1 D. y24+x23=110.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”.若某勾股树含有255个正方形，且其最大的正方形的边长为√22，则其最小正方形的边长为()A. 116B. √232C. 132D. 16411.已知直线l:y=k(x+4)与圆(x+2)2+y2=4相交于A、B两点，M是线段AB的中点，则点M到直线3x−4y−6=0的距离的最大值为()A. 5B. 4C. 3D. 212.设椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F(1,0)，点A(−1,1)为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|+|PF|=9，则椭圆E的离心率的取值范围是()A. [12,1) B.[13,12] C. [15,14] D. [12,23]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知变量x，y满足2402020x yxx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则12yx++的取值范围是_________．14.设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，且a7=−2a1，则S9S5+a4=________．15.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,|φ|<π2,ω>0)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位长度后，所得图象关于直线x=3π4对称，则a的最小值为______．16.已知a⃗，b⃗ ，c⃗是同一平面内的三个向量，其中a⃗，b⃗ 是相互垂直的单位向量，且(a⃗−c⃗ )⋅(√3b⃗ −c⃗ )=1，|c⃗|的最大值为______．三、解答题（共70分。

2020-2021学年陕西省西安市梦圆中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知实数x, y满足条件，则目标函数A．有最小值0，有最大值6 B．有最小值，有最大值3C．有最小值3，有最大值6 D．有最小值，有最大值6参考答案：D画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示。

当目标函数过直线与直线的交点(3, 0)，目标函数取得最大值6；当目标函数过直线与直线的交点(0, 2)时，目标函数取得最小值。

故选D。

2. 在数列中，若对任意的均有为定值（），且，则数列的前100项的和A．B．C．D．参考答案：3. 已知定义域为R的函数f（x）在（8，+∞）上为减函数，且函数y=f（x+8）函数为偶函数，则（）A．f（6）＞f（7）B．f（6）＞f（9）C．f（7）＞f（9）D．f（7）＞f（10）参考答案：D【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【专题】压轴题．【分析】根据y=f（x+8）为偶函数，则f（x+8）=f（﹣x+8），即y=f（x）关于直线x=8对称．又f （x）在（8，+∞）上为减函数，故在（﹣∞，8）上为增函数，故可得答案．【解答】解：∵y=f（x+8）为偶函数，∴f（x+8）=f（﹣x+8），即y=f（x）关于直线x=8对称．又∵f（x）在（8，+∞）上为减函数，∴f（x）在（﹣∞，8）上为增函数．由f（8+2）=f（8﹣2），即f（10）=f（6），又由6＜7＜8，则有f（6）＜f（7），即f（7）＞f（10）．故选D．【点评】本题主要考查偶函数的性质．对偶函数要知道f（﹣x）=f（x）．4. 已知矩形ABCD的顶点都在球心为O，半径为R的球面上，AB=6，BC=，且四棱锥O-ABCD 的体积为，则R等于（）A．4 B．C．D．参考答案：A由题意可知球心到平面ABCD的距离2，矩形ABCD所在圆的半径为，从而球的半径.故选A.5. 设a=log32，b=log2，c=，则（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b参考答案：D【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log32∈（0，1），b=log2＜0，c=＞1，则c＞a＞b，故选：D．6. 设全集，集合，则A．{2，4} B．C． D．参考答案：C7. 在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC的中点，点F在线段AD上并且AF=2DF，设=，=，则=（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据向量的加减的几何意义和向量的三角形法则计算即可．【解答】解：，故选D．【点评】本题考查了向量的加减的几何意义和向量的三角形法则，属于基础题．8. 已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a参考答案：C【考点】对数的运算性质．【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．【解答】解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：C．9. 已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，下列有关命题的说法错误的是（）A．函数是周期函数；B．函数为R上的偶函数；C．函数为上的单调函数；D．的图象关于点对称．参考答案：C对于，函数，是周期为的函数，故正确；对于，，即又的周期为，又是奇函数，,令，则是偶函数，即是偶函数，故正确，对于，由知是偶函数，在和上的单调性相反，在上不单调，故错误对于,函数为奇函数，的图象关于点对称，的函数图象是由的图象向右平移个单位得到的，的函数图象关于点对称，故正确。

2021年陕西省西安地区八校联考高考数学押题试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A、集合B＝{2，3，a，b}，且A∩B＝{3，4}，则下列结论正确的是（）A．有可能a+b＝8B．a+b≠8C．a+b＜8D．a+b＞82．在复平面上，若点Z1、Z2对应的复数分别为z1＝1﹣i、，则|Z1Z2|＝（）A．1B．C．2D．3．不透明袋子里有大小完全相同的10只小球，其中4只蓝色6只红色，小朋友花花想从袋子里取到一只红色小球．第一次从袋子里随机取出一只小球，却是蓝色，不放回，再取第二次．则小朋友花花第二次取到红色小球的概率是（）A．B．C．D．4．一个空间几何体的三视图外轮廓均为边长是3的正方形，如图所示，则其表面积为（）A．B．C．D．5．已知T n＝1+2+3+⋅⋅⋅+n（n∈N*）．则下面算法框图输出的结果是（）A．47B．48C．49D．506．已知3a﹣1+3a﹣2+3a﹣3＝117，则（a+1）（a+2）（a+3）＝（）A．120B．210C．336D．5047．在△ABC中，已知，，若，则λ﹣μ＝（）A．B．C．D．8．已知椭圆：）．则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．9．有下列命题：p1：幂函数g（x）＝xα（α∈R）的定义域为实数集R；p2：已知数据x1，x2，…，x20的平均数为，方差s2＝0.25，则（x i）2＝5；p3：若f（x）函数的导函数为f'（x），f'（x）＝0的解为x i，则x i为函数f（x）的极值点；p4：变量x i，y i负相关，相关系数为r，则r越大相关性越弱，越小相关性越强．则真命题为（）A．p1∧p2B．p2∧p4C．￢p2∨p3D．p3∨￢p410．为了解某电子产品的使用寿命，从中随机抽取了100件产品进行测试，得到图示统计图．依据统计图，估计这100件产品使用寿命的中位数为（）A．218.25B．232.5C．231.25D．241.2511．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（）在闭区间[﹣，]上的最小值和最大值依次为（）A．﹣，2B．﹣2，﹣C．﹣，0D．0，212．已知展开式的常数项的取值范围为[135，240]，且x2+alnx≥（a+2）x恒成立．则a的取值范围为（）A．[﹣4，﹣3]∪[3，4]B．[﹣4，﹣1]∪[3，4]C．[1，4]D．[﹣4，﹣3]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上）. 13．已知随机变量ξ的期望为15，则E（3ξ+5）＝．14．已知在△ABC中，sin2A+sin2B﹣sin2C＝，则cos2C＝．15．已知直线x＝a与双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线围成的三角形的面积为2，则双曲线C的焦距的最小值为．16．现在有红豆、白豆各若干粒．甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取4粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩10粒；第二轮，甲每次取1粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩n （n∈N*，16＜n＜20）粒．则红豆和白豆共有粒．三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分. 17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＝S n﹣2n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log2S n，设c n＝b n•S n，求数列{c n}的前n项和为T n．18．某中学高一（1）班在接种了“新冠疫苗”之后，举行了“疫情防控，接种疫苗”知识竞赛．这次竞赛前21名同学成绩的茎叶图如图所示，已知前7名女生的平均得分为221分．（Ⅰ）①求茎叶图中x的值；②如果在竞赛成绩高于205分且按男生和女生分层抽样抽取6人，再从这6人中任选3人作为后期举行的“接种疫苗，感恩祖国”主题班会中心发言人，求这3人中有女生的概率．（Ⅱ）如果在竞赛成绩高于220分的学生中任选4人参加学校座谈会，用ξ表示4人中成绩超过235分的人数，求ξ的分布列和期望．19．已知圆O：x2+y2＝12与抛物线S：y2＝2px（p＞0）交于A、B两点（A在第一象限），．（Ⅰ）求抛物线S的方程；（Ⅱ）设过A点的两条直线l1与l2关于直线x＝2对称，直线l1与l2与抛物线S都有两个不同交点，且另交点分别为M、N，求直线MN的斜率．20．在正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1中，AB＝2，AA1＝4，M为侧棱DD1的中点，P 为棱C1D1上一点，O为下底面ABCDEF的中心．（Ⅰ）求证：MO∥平面ABD1E1；（Ⅱ）若直线DP与平面ABB1A1所成角的正弦值为，求tan∠DPD1的值．21．已知函数f（x）＝）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）讨论f（x）的零点的个数，并确定每个零点的取值范围（不要求范围“最小”）．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题10分）22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．在极坐标系中，曲线，点．在直角坐标系中，，，直线l的参数方程为（t为参数）（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并判|PM|+|PN|与4的大小关系；（Ⅱ）直线l与曲线C交于A、B两点，Q为曲线C的右顶点，求△ABQ的面积．[选修4-5：不等式选讲]（本小题10分）23．已知函数f（x）＝x|x﹣1|﹣a|x+1|．（Ⅰ）当a＝2时，求不等式f（x）≤3x﹣2的解集；（Ⅱ）当a＝﹣x，x≥1时，f（x+1）≥mx恒成立，求m的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A、集合B＝{2，3，a，b}，且A∩B＝{3，4}，则下列结论正确的是（）A．有可能a+b＝8B．a+b≠8C．a+b＜8D．a+b＞8解：∵B＝{2，3，a，b}，A∩B＝{3，4}，∴a，b中只有一个为4，∴a+b≠8．故选：B．2．在复平面上，若点Z1、Z2对应的复数分别为z1＝1﹣i、，则|Z1Z2|＝（）A．1B．C．2D．解：因为z1＝1﹣i、＝＝2，则|Z1Z2|＝|2﹣2i|＝2．故选：D．3．不透明袋子里有大小完全相同的10只小球，其中4只蓝色6只红色，小朋友花花想从袋子里取到一只红色小球．第一次从袋子里随机取出一只小球，却是蓝色，不放回，再取第二次．则小朋友花花第二次取到红色小球的概率是（）A．B．C．D．解：不透明袋子里有大小完全相同的10只小球，其中4只蓝色6只红色，小朋友花花想从袋子里取到一只红色小球．第一次从袋子里随机取出一只小球，却是蓝色，不放回，再取第二次．此时不透明袋子里有大小完全相同的9只小球，其中3只蓝色6只红色，则小朋友花花第二次取到红色小球的概率为：P＝＝．故选：C．4．一个空间几何体的三视图外轮廓均为边长是3的正方形，如图所示，则其表面积为（）A．B．C．D．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为正方体AC1截去两个三棱锥A﹣A1BD，C﹣C1BD，∴几何体的表面积S＝+++++＝＝．故选：A．5．已知T n＝1+2+3+⋅⋅⋅+n（n∈N*）．则下面算法框图输出的结果是（）A．47B．48C．49D．50解：T n＝，＝＝2（﹣），再由程序框图的作用可求数列{T n}的前n项和，当和为时，输出n的值，则2[（1﹣）+（）+（）+...+（）]＝2（1﹣）＝＝，解得n＝49．故选：C．6．已知3a﹣1+3a﹣2+3a﹣3＝117，则（a+1）（a+2）（a+3）＝（）A．120B．210C．336D．504解：∵3a﹣1+3a﹣2+3a﹣3＝117，∴++＝117，∴9•3a+3•3a+3a＝117×27，∴13•3a＝117×27，∴3a＝9×27，∴a＝5，∴（a+1）（a+2）（a+3）＝6×7×8＝336．故选：C．7．在△ABC中，已知，，若，则λ﹣μ＝（）A．B．C．D．解：因为，则，＝＝＝（）﹣＝﹣＝，所以，则，故选：B．8．已知椭圆：）．则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．解：椭圆：）．则椭圆的离心率e＝＝∈（0，]．故选：C．9．有下列命题：p1：幂函数g（x）＝xα（α∈R）的定义域为实数集R；p2：已知数据x1，x2，…，x20的平均数为，方差s2＝0.25，则（x i）2＝5；p3：若f（x）函数的导函数为f'（x），f'（x）＝0的解为x i，则x i为函数f（x）的极值点；p4：变量x i，y i负相关，相关系数为r，则r越大相关性越弱，越小相关性越强．则真命题为（）A．p1∧p2B．p2∧p4C．￢p2∨p3D．p3∨￢p4解：p1：幂函数g（x）＝xα（α∈R）的定义域为实数集R，是假命题，比如g（x）＝的定义域是{x|x≥0}；p2：已知数据x1，x2，…，x20的平均数为，方差s2＝0.25，则（x i）2＝ns2＝20×0.25＝5，是真命题；p3：若f（x）函数的导函数为f'（x），f'（x）＝0的解为x i，则x i为函数f（x）的极值点，是假命题，比如f（x）＝x3，f′（x）＝3x2＝0，x＝0不是函数f（x）的极值点；p4：变量x i，y i负相关，相关系数为r＜0，|r|越大，相关性越强，则r越大相关性越弱，越小相关性越强，是真命题，故p2∧p4是真命题，故选：B．10．为了解某电子产品的使用寿命，从中随机抽取了100件产品进行测试，得到图示统计图．依据统计图，估计这100件产品使用寿命的中位数为（）A．218.25B．232.5C．231.25D．241.25解：设中位数为x，前2组的频数之和为25，前3组的频数之和为65，故，解得x＝231.25，所以这100件产品使用寿命的中位数为231.25．故选：C．11．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（）在闭区间[﹣，]上的最小值和最大值依次为（）A．﹣，2B．﹣2，﹣C．﹣，0D．0，2解：由图可知，T＝﹣＝，可得T＝＝π，可得ω＝2，由函数图像可得：2×+φ＝+2kπ，可得φ＝+2kπ，k∈Z，又|φ|＜，可得φ＝，可得f（x）＝A sin（2x+），将（，1）代入y＝A sin（2x+），A sin（+）＝1，可得A＝2，所以f（x）＝2sin（2x+），f（）＝f（+）＝2sin（3x+）＝g（x），因为x∈[﹣，]，可得3x+∈[0，]，g（x）max＝2sin＝2，g（x）min＝2sin＝﹣，则f（）在闭区间[﹣，]上的最小值和最大值依次为﹣，2．故选：A．12．已知展开式的常数项的取值范围为[135，240]，且x2+alnx≥（a+2）x恒成立．则a的取值范围为（）A．[﹣4，﹣3]∪[3，4]B．[﹣4，﹣1]∪[3，4]C．[1，4]D．[﹣4，﹣3]解：二项式的展开式的通项公式为T r+1＝•a r•x6﹣3r，令6﹣3r＝0，得r＝2，所以展开式的常数项为T3＝a2•＝15a2∈[135，240]，解得9≤a2≤16，所以﹣4≤a≤﹣3或3≤a≤4，又x2+alnx≥（a+2）x（x＞0）恒成立，即x2+alnx﹣（a+2）x≥0对x＞0恒成立，令g（x）＝x2+alnx﹣（a+2）x，则g'（x）＝，当a≥0时，当a→0时，g（x）＜0，不符合题意；当﹣4≤a≤﹣3时，g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）min＝g（1）＝﹣1﹣a≥0，解得a≤﹣1．综上所述，a的取值范围为[﹣4，﹣3]．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上）. 13．已知随机变量ξ的期望为15，则E（3ξ+5）＝50．解：因为随机变量ξ的期望为15，即E（ξ）＝15，所以E（3ξ+5）＝E（3ξ）+5＝3E（ξ）+5＝3×15+5＝50．故答案为：50．14．已知在△ABC中，sin2A+sin2B﹣sin2C＝，则cos2C＝﹣1．解：因为sin2A+sin2B﹣sin2C＝，所以a2+b2﹣c2＝，可得2ab cos C＝，可得cos2C＝，则cos2C＝2cos2C﹣1＝﹣1．故答案为：﹣1．15．已知直线x＝a与双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线围成的三角形的面积为2，则双曲线C的焦距的最小值为4．解：由题意可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，分别将x＝a，代入可得y＝±b，即D（a，b），E（a，﹣b），则S△ODE＝×a×2b＝ab＝2，∴c2＝a2+b2≥2ab＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，∴C的焦距的最小值为2×2＝4，故答案为：4．16．现在有红豆、白豆各若干粒．甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取4粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩10粒；第二轮，甲每次取1粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩n （n∈N*，16＜n＜20）粒．则红豆和白豆共有58粒．解：设红豆为x粒，白豆为y粒由题意可知，第一轮取豆的次数为，故x为4的倍数，y﹣2×＝10，第二轮取豆的次数为，故y为2的倍数，x﹣2×＝n．联立可得x＝，又因16＜n＜20，n＝17时，x＝，不合题意舍去；n＝18时，x＝，不合题意舍去；n＝19时，x＝32，此时y＝26，∴x+y＝58，故答案为：58．三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分. 17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＝S n﹣2n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log2S n，设c n＝b n•S n，求数列{c n}的前n项和为T n．解：（Ⅰ）数列{a n}的前n项和为S n，当n≥2时，a n＝S n﹣2n﹣1．①，故，②，①﹣②得：，整理得：，故，当n＝1时，a1＝1（首项符合通项），所以．故b n＝log2S n＝n，则，故T n＝c1+c2+...+c n＝1×21+2×22+...+n•2n①，②，①﹣②得：＝，故，当n＝1时，T1＝0，所以．18．某中学高一（1）班在接种了“新冠疫苗”之后，举行了“疫情防控，接种疫苗”知识竞赛．这次竞赛前21名同学成绩的茎叶图如图所示，已知前7名女生的平均得分为221分．（Ⅰ）①求茎叶图中x的值；②如果在竞赛成绩高于205分且按男生和女生分层抽样抽取6人，再从这6人中任选3人作为后期举行的“接种疫苗，感恩祖国”主题班会中心发言人，求这3人中有女生的概率．（Ⅱ）如果在竞赛成绩高于220分的学生中任选4人参加学校座谈会，用ξ表示4人中成绩超过235分的人数，求ξ的分布列和期望．解：（Ⅰ）①由茎叶图可知，前7名女生的平均得分为（200+x+212+216+221+228+230+236）＝221，所以x＝4；②竞赛成绩高于205分的女生有6人，男生有12人，按男生和女生分层抽样抽取6人，则样本中的男生人数为6×，女生的人数为，记时间A为“从6人中任选3人作为后期举行的“接种疫苗，感恩祖国”主题班会中心发言人，这3人中有女生”，则P（A）＝1﹣＝；（Ⅱ）竞赛成绩高于220分的学生共有11人，成绩高于235分的学生共有3人，由题意可知，随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，则P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，所以随机变量ξ的分布列为：ξ0123P则E（ξ）＝0×+1×+2×+3×＝．19．已知圆O：x2+y2＝12与抛物线S：y2＝2px（p＞0）交于A、B两点（A在第一象限），．（Ⅰ）求抛物线S的方程；（Ⅱ）设过A点的两条直线l1与l2关于直线x＝2对称，直线l1与l2与抛物线S都有两个不同交点，且另交点分别为M、N，求直线MN的斜率．解：（Ⅰ）由题意可得，A，B关于x轴对称，又|AB|＝，∴A，B纵坐标为，代入圆的方程，可得横坐标为2，把点A（2，）代入y2＝2px（p＞0），得p＝2，可得抛物线S的方程为y2＝4x；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），A（2，2），由题意可知，l1与l2的斜率存在，设AM：，则AN：，联立，得．∴，得；同理求得．∴＝．即直线MN的斜率为．20．在正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1中，AB＝2，AA1＝4，M为侧棱DD1的中点，P 为棱C1D1上一点，O为下底面ABCDEF的中心．（Ⅰ）求证：MO∥平面ABD1E1；（Ⅱ）若直线DP与平面ABB1A1所成角的正弦值为，求tan∠DPD1的值．【解答】（Ⅰ）证明：连结AD1，AD，因为O为AD的中点，M为DD1的中点，所以OM为△ADD1的中位线，则OM∥AD1，因为OM⊄平面ABD1E，AD1⊂平面ADD1，故OM∥ABD1E；（Ⅱ）解：平面ABB1A1至平面PP1P2P3，过D作DH⊥P1P2交P1P2于点H，则DH⊥平面PP1P2P3，因为ABCDEF为正六边形，所以△OCD为等边三角形，因为AB∥IP3∥OC，所以∠DIP3＝∠DOC＝60°，∠DP3I＝∠DCO＝60°，所以△DP3I为等比三角形，DH⊥IP3，所以DH为△DP3I的中垂线，则∠DPH即为直线DP与平面ABB1A1所成的角，则sin∠DPH＝，设D1P＝x，则DH＝，DP＝，所以，解得x＝2，所以＝．21．已知函数f（x）＝）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）讨论f（x）的零点的个数，并确定每个零点的取值范围（不要求范围“最小”）．解：（Ⅰ）a＝0时，f（x）＝，函数f（x）的定义域是（0，2）∪（2，+∞），f′（x）＝，令g（x）＝1﹣﹣ln2x，g′（x）＝，当x∈（0，2）时，g′（x）＞0，g（x）递增，当x∈（2，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）递减，故g（x）＜g（2）＝﹣ln4＜0，故f′（x）＜0，故f（x）在（0，2），（2，+∞）递减，无递增区间；（Ⅱ）f（x）的零点个数等价于h（x）＝与H（x）＝ax2交点的个数，①a＝0时，h（x）＝＝0，解得：x1＝，h（x）和H（x）1个交点，故a＝0时，f（x）只有1个零点x1＝，②a＜0时，由①知：x∈（0，2）时，h（x）递减，x→0时，h（x）→+∞，x→2时，h（x）→﹣∞，x∈（2，+∞）时，h（x）递减，x→2时，h（x）→+∞，x→+∞时，f（x）→0且f（x）＞0，H（x）为开口向下的二次函数，与h（x）的图像有1个交点，故a＜0时，f（x）只有1个零点x2，由f（）＞0，f（2）＜0，故x2∈（，2），③a＞0时，H（x）为开口向上的二次函数，由②对h（x）的分析可知：H（x）与h（x）的图像在（0，2）和（2，+∞）内的图像上各有1个交点，故a＞0时，f（x）有2个零点x3∈（0，），x4∈（2，+∞），综上：a＝0时，f（x）只有1个零点x1＝，a＜0时，f（x）只有1个零点x2∈（，2），a＞0时，f（x）有2个零点x3∈（0，），x4∈（2，+∞）．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题10分）22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．在极坐标系中，曲线，点．在直角坐标系中，，，直线l的参数方程为（t为参数）（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并判|PM|+|PN|与4的大小关系；（Ⅱ）直线l与曲线C交于A、B两点，Q为曲线C的右顶点，求△ABQ的面积．解：（Ⅰ）由曲线，得ρ2+3ρ2sin2θ＝4，∵ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ，∴x2+4y2＝4，即曲线C的直角坐标方程为．点，由x＝，y＝．∴点P的直角坐标为（，），又，是椭圆的两个焦点，而P（，）代入椭圆方程得成立，∴P在椭圆上，则|PM|+|PN|＝4；（Ⅱ）由（t为参数），消去参数t，得y＝x+1．联立，解得或，不妨设A（0，1），B（），由题意Q（2，0），设直线l与x轴的交点为P，则P（﹣1，0）．则S△ABQ＝S△APQ+S△BPQ＝．[选修4-5：不等式选讲]（本小题10分）23．已知函数f（x）＝x|x﹣1|﹣a|x+1|．（Ⅰ）当a＝2时，求不等式f（x）≤3x﹣2的解集；（Ⅱ）当a＝﹣x，x≥1时，f（x+1）≥mx恒成立，求m的取值范围．解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）≤3x﹣2即为x|x﹣1|﹣2|x+1|≤3x﹣2等价为或或，解得x≤﹣2或0≤x＜1或1≤x≤6，所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[0，6]；（Ⅱ）当a＝﹣x，x≥1时，f（x+1）≥mx恒成立，即为（x+1）|x|+（x+1）|x+2|≥mx恒成立，当x≥1时，m≤x+1+＝2x++4恒成立，由y＝2x+在[1，+∞）递增，可得y＝2x+的最小值为4，所以m≤4，即m的取值范围是（﹣∞，4]．。

陕西省西安市八校2021届高考数学联考试卷(理科)(一)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知集合A ={x|x <−1或x ≥3}，则∁R A 等于( )A. {x|x <3}B. {x|x >−1}C. {x|−1≤x <3}D. ⌀2.下列函数为偶函数且在[0,+∞)上为增函数的是( )A. y =xB. y =x 2C. y =2xD. y =−x 23.下列各式中，值为的是( )A. sin15cos15B.C.D.4.将正整数排列如下：则在表中数字2013出现在( )A. 第44行第78列B. 第45行第78列C. 第44行第77列D. 第45行第77列5.双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，直线x =a 2c与两条渐近线分别交于P ，Q 两点，若△PFQ 是直角三角形，则双曲线的离心率为( )A. √2B. 2C. 2√33D. 536.把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量．设e⃗ =(A,B)是直线l 的一个方向向量，那么n ⃗ =(−B,A)就是直线l 的一个法向量．借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直线的距离．已知P 是直线l 外一点，n ⃗ 是直线l 的一个法向量，在直线l 上任取一点Q ，那么PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 在法向量n ⃗ 上的投影向量为(|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ)·n⃗⃗ |n ⃗⃗ |(θ为向量n ⃗ 与PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角)，其模就是点P 到直线l 的距离d ，即d =|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |.据此，请解决下面的问题：已知点A(−4,0)，B(2,−1)，C(−1,3)，则点A 到直线BC 的距离是 ( )A. 8B. 7C. 275D. 2157.已知直线l 经过点P(1,1)，倾斜角α=π6，设直线l 与圆x 2+y 2=4相交于A ，B 两点，则点P 与A ，B 两点的距离之积为( )A. 1B. 2C. √3+1D. 48.有如下命题：命题p ：设集合M ={x|0<x ≤3}，N ={x|0<x ≤2}，则“a ∈M ”是“a ∈N ”的充分而不必要条件；命题q ：“∃x 0∈R ，x 02−x 0−1>0”的否定是“∀x ∈R ，x 2−x −1≤0”，则下列命题中为真命题的是( )A. p ∧qB. p ∧(￢q)C. p ∨qD. p ∨(￢q)9.函数y =2sinx +cosx ，当x =φ时函数取得最大值，则cosφ=( )A. √55B. 2√55C. 2√23D. 1310. 若圆柱的底面半径是1，其侧面展开是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是( )A. 4π2B. 3π2C. 2π2D. π211. (x +1)4的展开式中x 2的系数为( )A. 4B. 6C. 10D. 2012. 函数f(x)在定义域R 内可导，f(x)=f(2−x)，当x ∈(1,+∞)时，(x −1)f′(x)<0，设a =f(log 32)，b =f(log 52)，c =f(log 25)，则( )A. c <a <bB. c <b <aC. a <b <cD. b <a <c二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若抛物线上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到轴的距离为______________ ．14. 若复数z =a 2−1+(a +1)i(a ∈R)是纯虚数，则a =_____ ；|z|=_____ ．15. 安排5个党员(含小吴)去3个不同小区(含M 小区)做宣传活动，每个党员只能去1个小区，且每个小区都有党员去宣传，其中至少安排2个党员去M 小区，但是小吴不去M 小区，则不同的安排方法数为______ ．16. 若实数x ，y 满足{x +y ≥02x −y ≥0x ≤1，则z =3x +2y 的最大值是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设复数z n =x n +i ⋅y n ，其中x n y n ∈R ，n ∈N ∗，i 为虚数单位，z n+1=(1+i)⋅z n ，z 1=3+4i ，复数z n 在复平面上对应的点为Z n ． (1)求复数z 2，z 3，z 4的值；(2)是否存在正整数n 使得OZ n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出所有满足条件的n ；若不存在，请说明理由；(3)求数列{x n ⋅y n }的前102项之和．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA =AB =2，E 为PE 中点． (Ⅰ)证明：PB//平面AEC ； (Ⅱ)证明：平面PCD ⊥平面PAD ； (Ⅲ)求EA 和平面ABCD 所成的角； (Ⅳ)求二面角E −AC −D 的正切值．19. 设F 1(−c,0)、F 2(c,0)分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个定点，同时满足如下三个条件：(1)PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0；(2)tan∠PF 1F 2=√312；(3)PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为2√3．(Ⅰ)求椭圆的离心率及椭圆方程；(Ⅱ)过焦点F 1的直线l 交椭圆于点A 、B 两点，问是否存在以线段AB 为直径的圆与y 相切，若存在，求出此时直线l 的方程，若不存在，请说明理由．20. 栀子原产于中国，喜温暖湿润、阳光充足的环境，较耐寒．叶，四季常绿；花，芳香素雅．绿叶白花，格外清丽．某地区引种了一批栀子作为绿化景观植物，一段时间后，从该批栀子中随机抽取100棵测量植株高度，并以此测量数据作为样本，得到该样本的频率分布直方图(单位：m)，其中不大于1.50(单位：m)的植株高度茎叶图如图所示．(1)求植株高度频率分布直方图中a ，b ，c 的值；(2)在植株高度频率分布直方图中，同一组中的数据用该区间的中点值代表，植株高度落入该区间的频率作为植株高度取该区间中点值的频率，估计这批栀子植株高度的平均值．21. (本题满分15分) 已知函数．(Ⅰ)若无极值点，但其导函数有零点，求的值；(Ⅱ)若有两个极值点，求的取值范围，并证明的极小值小于．22. 在平面直角坐标系中，以圆点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρ=2acosθ+2asinθ(a >0)，直线l 的参数方程为：{x =−1+√22ty =−2+√22t(l 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M ，N ．(Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(Ⅱ)设点P(−1,−2)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a 的值．23. 已知函数f(x)=|3x +2|． (1)解不等式f(x)<4−|x −1|；(2)已知2m +n =1(m,n >0)，若|3x −a|−f(x)≤1m +2n (a >0)恒成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵A={x|x<−1或x≥3}，∴∁R A={x|−1≤x<3}．故选：C．根据全集R及A，求出A的补集即可．此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：解：函数y=x的一次项系数1>0，故函数y=x在[0,+∞)上为增函数，但函数为奇函数；y=x2的图象是开口朝上且以y轴为对称轴的抛物线，故函数为偶函数且在[0,+∞)上为增函数；y=2x在[0,+∞)上为增函数，但函数为非奇非偶函数；函数y=−x2的图象是开口朝下且以y轴为对称轴的抛物线，故函数为偶函数，但在[0,+∞)上为减函数；故选B根据一次函数，二次函数，指数函数的图象和性质，逐一分析四个答案中四个函数的奇偶性及在[0,+∞)上的单调性，可得答案．本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明，熟练掌握基本初等函数的奇偶性和单调性是解答的关键．3.答案：C解析：解：A选项，sin15°×cos15°=12sin30°=14，不正确；B选项，cos2π12−sin2π12=cosπ6=√32，不正确；C选项，tan22.5∘1−tan222.5∘=12×tan45∘=12，正确；D选项，√1+cosπ62=√1+√322≠12，不正确．综上知C选项正确故选C4.答案：D解析：解：依题意可知第n行有2n−1个数字，前n行的数字个数为1+3+5+⋯+(2n−1)=n2个，∵442=1836，452=2025，且1836<2013，2025>2013，∴2013在第45行，又2025−2013=12，且第45行有2×45−1=89个数字，∴2013在第89−12=77列．故选：D．根据题意确定出第n行有2n−1个数字，根据前n行数字个数确定出数字2013所在的行，进而确定出所在的列即可．此题考查了归纳推理，弄清题中的规律是解本题的关键．5.答案：A解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于较易题．利用直线x=a2c与两条渐近线分别交于P，Q两点，若△PFQ是直角三角形，推出渐近线的夹角，然后求解离心率即可．解：因为△PFQ是直角三角形，所以，又因为直线x=a2c与两条渐近线分别交于P，Q两点，设PQ与x轴的交点为A，根据双曲线的渐近线的对称性可得FP=FQ，所以，所以△PAF是等腰直角三角形，所以PA=AF，因为双曲线的渐近线方程为y=±bax，所以P点坐标为(a 2c ,abc)，所以PA=abc ，所以abc=c−a2c，即c2−a2=ab，所以b2=ab，a=b，所以e2=c2a2=a2+b2a2=2a2a2=2，所以e=√2．故选A．6.答案：D解析：本题考查了向量的数量积、直线上向量的坐标及其运算．先求得直线BC的一个法向量，再求得AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，由题意中的公式可得点A到直线BC的距离．解：因为BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4)，故可得直线BC的一个法向量n⃗=(−4,−3)，又因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,−1)，故可得点A 到直线BC 的距离d =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=215，故选D ．7.答案：B解析：解：由已知得直线l 的参数方程为{x =1+tcosπ6y =1+tsin π6(t 为参数)，即{x =1+√32t y =1+12t(t 为参数)， 把直线的参数方程代入圆x 2+y 2=4，得(1+√32t)2+(1+12t)2=4，整理得：t 2+(√3+1)t −2=0， ∴t 1t 2=−2，则点P 到A ，B 两点的距离之积为2． 故选B先根据题意表示出直线l 的参数方程，再将直线的参数方程代入圆方程，得到一个关于t 的二次方程，最后结合参数t 的几何意义利用根与系数之间的关系即可求得距离之积．本小题主要考查圆的参数方程、参数方程的概念、一元二次方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．8.答案：C解析：解：命题p ：设集合M ={x|0<x ≤3}，N ={x|0<x ≤2}， 则“a ∈M ”是“a ∈N ”的充分而不必要条件． p 是假命题．命题q ：“∃x 0∈R ，x 02−x 0−1>0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2−x −1≤0”， 则：q 是真命题． 所以：p ∨q 是真命题． 故选：C ．首先判断出命题p 的真假，进一步判断出命题q 的真假，最后利用真值表求出结论 本题考查的知识要点：命题真假的判断，及真值表的应用．属于基础题型．9.答案：A解析：解：当x =φ时，函数f(x)=2sinx +cosx =√5(2√55sinx +√55cosx)=√5sin(x +α)取得最大值，(其中，cosα=2√55，sinα=√55)，∴φ+α=2kπ+π2，k∈z，即θ=2kπ+π2−α，k∈z，∴cosφ=cos(2kπ+π2−α)=cos(π2−α)=sinα=√55，故选：A．利用辅助角公式化简函数f(x)的解析式，再利用诱导公式求得cosθφ的值．本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的最大值，属于基础题．10.答案：A解析：解：由题意可得侧面展开图的边长为2π×1=2π，所以侧面展开图的面积为(2π)2=4π2，故这个圆柱的侧面积是4π2．故选：A．根据侧面展开图的面积就是圆柱的侧面积求解即可．本题考查了圆柱的侧面积的求法，关键是对圆柱侧面展开图的理解，属于基础题．11.答案：B解析：(x+1)4的展开式中x 2的系数为=6．12.答案：B解析：判断f(x)的单调性，比较三个对数的大小关系，根据f(x)的对称性得出答案．本题考查了函数单调性与对称性的应用，对数的大小比较，属于中档题．∵x∈(1,+∞)时，(x−1)f′(x)<0，∴f′(x)<0，∴f(x)在(1,+∞)单调递减．∵f(x)=f(2−x)，∴f(x)的图象关于x=1对称，∵0<log52<log32<1<2<log25，∴f(log25)<f(log52)<f(log32)．故选：B．13.答案：2解析：解：∵抛物线方程为y 2=4x∴焦点为F(1,0)，准线为l ：x =−1 设所求点坐标为M(x,y) 作MQ ⊥l 于Q根据抛物线定义可知M 到准线的距离等于M 、Q 的距离 即x +1=3，解之得x =2， 代入抛物线方程求得y =±4 故点M 坐标为：(2,y) 即点M 到y 轴的距离为2 故答案为：214.答案：1;2解析：解：由于z 是纯虚数，所以{a 2−1=0a +1≠0，解得a =1，所以z =2i ， 所以|z|=2， 故答案为1；2．利用纯虚数的定义：实部为0，虚部不为0列出式子，求出a ；利用复数模的公式求出复数的模． 本题考查纯虚数的定义、考查复数的模的公式．15.答案：44解析：解：根据题意，分2种情况讨论：①M 小区安排2人，需要在其他4人中选出2人安排到M 小区，将剩下3人分为2组，安排到其他2个小区，有C 42C 32A 22=36种安排方法，②M 小区安排3人，需要在其他4人中选出3人安排到M 小区，将剩下2人安排到其他2个小区，有C 43A 22=8种安排方法，则有36+8=44种不同的安排方法， 故答案为：44．根据题意，按分到M 小区的人数分2种情况讨论，求出每种情况安排方法数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．16.答案：7解析：解：由约束条件作出可行域如图，联立{x =12x −y =0，解得A(1,2)，化目标函数z =3x +2y 为y =−32x +z2，由图可知， 当直线y =−32x +z2过A 时，直线在y 轴上的截距最大， z 取最大值为3×1+2×2=7． 故答案为：7．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．17.答案：本题(18分)，第1小题(4分)，第2小题(6分)，第3小题(8分)．解：(1)z 2=(1+i)(3+4i)=−1+7i ，z 3=−8+6i ，z 4=−14−2i.…(4分) (算错一个扣(1分)，即算对一个得(2分)，算对两个得3分) (2)若OZ n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则存在实数λ，使得OZ n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故z n =λ⋅z 1， 即(x n ,y n )=λ(x 1,y 1)，…(3分)又z n+1=(1+i)z n ，故z n =(1+i)n−1z 1，即(1+i)n−1=λ为实数，…(5分)故n−1为4的倍数，即n−1=4k，n=4k+1，k∈N.…(6分)(3)因为z n+4=(1+i)4z n=−4z n，故x n+4=−4x n，y n+4=−4y n，…(2分)所以x n+4y n+4=16x n y n，…(3分)又x1y1=12，x2y2=−7，x3y3=−48，x4y4=28，x1y1+x2y2+x3y3+⋯+x100y100=(x1y1+x2y2+x3y3+x4y4)+(x5y5+x6y6+x7y7+x8y8)+⋯+(x97y97+x98y98+x99y99+x100y100)=(12−7−48+28)⋅1−16251−16=1−2100，…(6分)而x101y101=1625x1y1=12×2100，x102y102=1625x2y2=−7×2100，…(7分)所以数列{x n y n}的前102项之和为1−2100+12×2100−7×2100=1+2102.…(8分)解析：(1)利用已知条件之间求解z2，z3，z4．(2)求出z n=(1+i)n−1z1，利用复数的幂运算，求解即可．(3)通过z n+4=(1+i)4z n=−4z n，推出x n+4=−4x n，y n+4=−4y n，得到x n+4y n+4=16x n y n，然后求解数列的和即可．本题考查复数的基本运算，复数的代数形式混合运算，考查数列求和，考查计算能力．18.答案：解：(Ⅰ)证明：设BD∩AC=O，则由四边形ABCD为正方形，可得O为BD的中点，再根据E为PE中点，可得OE为△PBD的中位线，故有OE//PB．而OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB//平面AEC．(Ⅱ)证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又正方形ABCD中，AD⊥CD，且PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．再根据CD⊂平面PCD，可得平面PCD⊥平面PAD．(Ⅲ)取AD得中点H，则EH是△PAD的中位线，故有EH//PA．由PA⊥平面ABCD可得EH⊥平面ABCD，∴∠EAH为EA和平面ABCD所成的角．由PA=AB=2，可得EH=1，AH=1，∴tan∠EAH=EHAH =1，∴∠EAH=π4，即EA和平面ABCD所成的角为π4．(Ⅳ)作HM⊥AC，M为垂足，由三垂线定理可得EM⊥AC，∠EMH为二面角E−AC−D的平面角．由于HM=12DO=√22，∴tan∠EMH=EHHM=√22=√2．解析：(Ⅰ)设BD ∩AC =O ，则由题意可得OE 为△PBD 的中位线，故有OE//PB ，根据直线和平面平行的判定定理证得PB//平面AEC ．(Ⅱ)证明PA ⊥CD ，且AD ⊥CD ，证得CD ⊥平面PAD.再利用平面和平面垂直的判定定理证得平面PCD ⊥平面PAD ．(Ⅲ)取AD 得中点H ，证得∠EAH 为EA 和平面ABCD 所成的角．由条件求得tan∠EAH =EHAH =1，可得∠EAH 的值．(Ⅳ)作HM ⊥AC ，M 为垂足，可得∠EMH 为二面角E −AC −D 的平面角．再根据tan∠EMH =EH HM ，计算求的结果．本题主要考查直线和平面平行的判定定理，平面和平面垂直的判定定理，直线和平面所成的角、二面角的定义和求法，属于中档题． 19.答案：解：(Ⅰ)∵PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴△PF 2F 1为直角三角形， ∴P(c,b 2a )，∴tan∠PF 1F 2=b 2a2c=b 22ac=√312， ∵PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为2√3， ∴2c =2√3，即c =√3， ∵a 2=b 2+c 2， ∴a =2，b =1，∴椭圆的离心率为e =ca =√32，椭圆方程为x 24+y 2=1；(Ⅱ)设满足条件的直线为l ，其方程为x =my −√3，两交点坐标为A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)， 设线段AB 为直径的圆与y 相切于点D ，由{x =my −√3x 24+y 2=1，消去x 得：(m 2+4)y 2−2√3my −1=0， ∴y 1+y 2=2√3m 4+m ，y 1y 2=−14+m 2，x 1+x 2=m(y 1+y 2)−2√3=−8√34+m ，所以AB 的中点到y 轴的距离d =|x 1+x 2|2=4√34+m 2，所以弦长|AB|=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+m 2⋅√12m 2(4+m 2)2−4⋅−14+m 2=4⋅1+m 24+m 2=2d =8√34+m 2， 解得m 2=2√3−1，所以m =±√2√3−1直线方程为x =√2√3−1y −√3，或x =−√2√3−1y −√3， 即x −√2√3−1y +√3=0或x +√2√3−1y +√3=0．解析：(Ⅰ)根据题目的三个条件可得c =√3，b 22ac =√312，a 2=b 2+c 2，解得即可； (Ⅱ)由(Ⅰ)可得焦点F 1的坐标，设直线l 的方程与由、椭圆联立求出两根之和及两根之积，设A ，B 的坐标，及切点D 的坐标，由题意可得DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求出参数及D 的坐标，可得直线l 的方程． 本题主要考查圆锥曲线的方程和直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题．20.答案：解：(1)由茎叶图知，a =51000.1=0.5,b =101000.1=1．由频率分布直方图知0.5×0.5+1.45×1+1.55×3+1.65×4+c ×0.1+3×0.1+4×0.1=1， 所以c =1.5．(2)这批栀子植株高度的平均值的估计值为：(1.35×0.5+1.45×1+1.55×3+1.65×4+1.75×1.5)×0.1=1.60． 解析：(1)由茎叶图的性质能求出a ，b ，由频率分布直方图的性质能求出c ． (2)由频率分布直方图的性质能求出这批栀子植株高度的平均值的估计值．本题考查频率、平均数的求法，考查茎叶图、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.答案：解(Ⅰ)首先，--------1分---------------3分有零点而无极值点，表明该零点左右同号，故，且的由此可得----------6分(Ⅱ)由题意，有两不同的正根，故．解得：----------------8分 设的两根为，不妨设，因为在区间上，，而在区间上，，故是的极小值点.-------10分因在区间上是减函数，如能证明则更有---------------13分由韦达定理，，令其中设，利用导数容易证明当时单调递减，而，因此，即的极小值-------15分 (Ⅱ)另证：实际上，我们可以用反代的方式证明的极值均小于．由于两个极值点是方程的两个正根，所以反过来，(用表示的关系式与此相同)，这样即，再证明该式小于是容易的(注意，下略)．解析：解析：略22.答案：解：(Ⅰ)∵ρ=2acosθ+2asinθ(a >0)，∴ρ2=2aρcosθ+2aρsinθ；化为普通方程是x 2+y 2=2ax +2ay ， 即C ：(x −a)2+(y −a)2=2a 2；直线l 的参数方程{x =−1+√22ty =−2+√22t(l 为参数)， 化为普通方程是y =−2+(x +1)， 即y =x −1；(Ⅱ)把直线l 的参数方程{x =−1+√22ty =−2+√22t (l 为参数)代入C ：x 2+y 2=2ax +2ay 中， 化简得t 2−3√2t +5=−6a +2√2at ， 即t 2−√2(3+2a)t +5+6a =0；∵△=[√2(3+2a)]2−4(5+6a)>0，且a >0， 解得a >12；由根与系数的关系，得t 1+t 2=√2(3+2a)，t 1t 2=5+6a ；又∵|MN|2=|PM|⋅|PN|， ∴|t 1−t 2|2=t 1⋅t 2， 即(t 1+t 2)2=5t 1⋅t 2； ∴[√2(3+2a)]2=5(5+6a)， 整理，得8a 2−6a −7=0， 解得a =3+√658．解析：(Ⅰ)利用极坐标公式把曲线C 的极坐标方程化为普通方程， 消去参数t ，把直线l 的参数方程化为普通方程；(Ⅱ)把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程中，得到关于t 的一元二次方程， 由△>0，且|MN|2=|PM|⋅|PN|，结合根与系数的关系，求出a 的值．本题考查了直线与圆的参数方程和极坐标的应用问题，解题时应熟练地进行参数方程、极坐标与普通方程的互化，理解直线参数方程中参数的几何意义，是中档题．23.答案：解：(1)不等式：f(x)<4−|x −1|可写成，|3x +2|+|x −1|<4，用“零点分段法”解答如下： ①当x ≥1时，3x +2+x −1<4，x ∈⌀；②当−23≤x <1时，3x +2−x +1<4，解得，−23≤x <12； ③当x <−23时，−3x −2−1+x <4，解得，−54<x <−23， 综合以上讨论得，不等式的解集为：{x|−54<x <12}； (2)因为2m +1=1，且m >0，n >0， 所以，1m +2n =(1m +2n )(2m +n)=2+2+nm +4m n≥8，即1m +2n 的最小值为8，根据题意问题等价为：|3x −a|−f(x)≤8恒成立， 即|3x −a|−|3x +2|≤8对任意实数x 恒成立， 再由绝对值三角不等式得， |3x −a|−|3x +2|≤|a +2|≤8， 解得，a ∈(0,6]，所以，实数a 的取值范围为：(0,6]．解析：(1)直接运用零点分段法求解含绝对值不等式；(2)先求出1m +2n的最小值为8，再用绝对值三角不等式将问题等价为：|a+2|≤8，解出即可．本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式的应用和不等式恒成立问题的解法，考查了分类讨论与等价转化思想，属于中档题．。

① 或② 或③ 或④
由①得 ，由②得 ，由③得 ，由④ .
∴不等式 得解集为 或 .
所以不等式 的解集为 或 .
由
所以满足 的正整数n的最小值是9
故答案为：9
15．4
【分析】
设 ，联立直线和抛物线的方程得到韦达定理，再利用韦达定理求出 即得解.
【详解】
解：由题得 ，所以抛物线的焦点 .
所以直线 的方程为 ，
设 ，联立方程得 ，所以 ，
所以 .
由题得线段 的中点到抛物线C的准线的距离是 ,
.
故答案为：4
16． ##
化简集合 即得解.
【详解】
解：由题得集合 ，
所以 .
故选：A
3．C
【分析】
根据复数的除法运算，即可求出结果.
【详解】
， .
故选：C.
4．B
【分析】
根据 求出正方形边长，利用面积之比即可求出.
【详解】
由题可得 ，所以 ，
设正方形的边长为 ，则 ，解得 （舍负），
则豆子落在正方形 区域内的概率 .
故选：B.
（2）由条件 可求出角 的值，然后通过分类讨论，利用余弦定理可求出 的值，从而根据公式 即可求出答案.
（1）
.
∵ 的最小正周期是 ，∴ ，又因为 ，所以 .
（பைடு நூலகம்）
由（1）得 .
所以由 ，得 ，又因为 ，所以 .
∴ 或 ，即 或 .
①当 时，由余弦定理得 ，
又因为 ，
∴ ，得 .
∴ ；
②当 时，同理，由余弦定理得 ，
∴ .
综上所述，当 时， ；当 时， .
18．
（1） ；
（2） .

陕西省西安市民兴中学2021年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某同学忘记了自己的号，但记得号是由一个2，一个5，两个8组成的四位数，于是用这四个数随意排成一个四位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的号最多尝试次数为（）A. 18B. 24C. 6D. 12参考答案：D2. 已知是半径为1的球面上三个定点，且，高为的三棱锥的顶点位于同一球面上，则动点的轨迹所围成的平面区域的面积是（）A． B． C． D．参考答案：D试题分析：设所在截面圆圆心为，由于到平面距离相等，因此点在与平面平行的平面内，设此平面截球面得截面圆圆心为，则，计算可得，由于，因此点不能在线段上，而，因此在线段上，，截面圆半径为，则，．故选D．考点：球的截面的性质．【名师点睛】解决球的问题必须掌握球的截面的性质：球心与截面圆圆心连线与截面圆所在平面一定垂直．这一点与圆的垂径定理很相似．3. 复数的共轭复数是（）A．B．C．D．参考答案：B4. 已知复数(i为虚数单位)，则z等于A. -l+3 1B.-l+2iC.l-3iD.l-2i参考答案：5. 函数的图象如下图所示，为了得到的图像，可以将的图像A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度参考答案：B故选B6. 已知Ｐ是抛物线上的一个动点，则点Ｐ到直线和的距离之和的最小值是（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4参考答案：C7. 若是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线，；②存在一个平面，；③存在两条平行直线∥∥；④存在两条异面直线∥∥．那么可以是∥的充分条件有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个参考答案：C①可以；②也有可能相交，所以不正确；③也有可能相交，所以不正确；④根据异面直线的性质可知④可以，所以可以是∥的充分条件有2个，选C.8. 将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，，，，则不同的排列方法种数为（）A．18 B．30 C．36 D．48参考答案：答案：B解析：分两步：（1）先排，=2，有2种；=3有2种；=4有1种，共有5种；（2）再排，共有种，故不同的排列方法种数为5×6=30，选B9. 在等差数列中,( )A. 5 B．6 C．4D．8参考答案：C10. 平面坐标系中，0为坐标原点，点A（3，1），点B（-1，3），若点C满足，其中且=1，则点C的轨迹方程为（）A．2x+y=l B．x+2y=5 C．x+y=5 D．x—y=1参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 执行右图所示的程序框图，则输出的值为.参考答案：12. 在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线和曲线C的公共点有个．参考答案：113. 已知平面图形A BCD为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且，则四边形A BCD面积的最大值为_______．参考答案：.解：设，在中，由余弦定理得，.在中，由余弦定理可得，，即有，又四边形面积，即有，又，两式两边平方可得.化简可得，，由于，即有，当即时，，解得.故的最大值为.14. 有三台车床，1小时内不需要工人照管的概率分别为0.9、0.8、0.7，则在1小时内至少有1台需要工人照管的概率为。

2021届高三年级数学(理科)试题第一卷 〔选择题共50分〕一、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1. 如果复数2()(1)m i mi ++是实数，那么实数m =〔 〕 A. 2- B. 2 C. 1- D. 12. 直角ABC ∆中，(1,1),(2,)AB AC k ==，那么实数k 的值为〔 〕A. 0B. 2-或0C. 2-D. 23. 条件:p 关于x 的不等式210x mx ++>〔m R ∈〕的解集为R ；条件:q 指数函数()f x (3)x m =+为增函数， 那么p 是q 的〔 〕A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件4. 一个几何体的三视图如以以下图，那么该几何体的体积为〔 〕 A.23 B. 13Ｃ. 2 D. 15. 某同学忘记了自己的QQ 号，但记得QQ 号是由一个2，一个5，两个8组成的四位数，于是用这四个数随意排成一个四位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ 号最多尝试次数为〔 〕 A. 18 B. 24 C. 6 D. 126. 假设函数21()log ()2a f x x ax =-+有最小值，那么实数a 的取值范围是〔 〕 A. 2) B. [2,)+∞ C. (0,1) D. (0,1)(1,2)7. 在数列{}n a 中，11a =，25a =，21n n n a a a ++=-〔*n N ∈〕，那么2007a =〔 〕 A. 4 B. 1- C. 1 D. 58. 如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>及两条直线2212:,a a l x l c c=-=，其中22c a b -且12,l l 分别交x 轴与,C D 两点。

从1l 上一点A 发出一条光线经过椭圆的左焦点F 被x 轴反射后与2l 交于点B 。

2021年陕西省西安市八校高考数学联考试卷(二)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|(x−1)(x−5)<0}，B={x|0<x≤4}，则集合A∩B=()A. {x|0<x<4}B. {x|0<x<5}C. {x|1<x≤4}D. {x|4≤x<5}2.已知复数z1=m+i(m∈R)，z2=1−2i，若z1z2为实数，则|z1|=()A. √52B. √32C. 12D. √53.设f(x)=lg(21−x+a)是奇函数，则使f(x)>0的x的取值范围是()A. (−1,0)B. (0,1)C. (−∞,0)D. (0,+∞)4.已知a n=2n(n+1)，则数列{a n}的前100项和S100=()A. 100101B. 200101C. 99100D. 1981005.已知F1、F2分别是双曲线C1：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，且F2是抛物线C2：y2=2px(p>0)的焦点，双曲线C1与抛物线C2的一个公共点是P，若线段PF2的中垂线恰好经过焦点F1，则双曲线C1的离心率是()A. 2+√3B. 1+√2C. 2+√2D. 1+√36.宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦(九韶)、李(冶)、杨(辉)、朱(世杰)四大家”，朱世杰就是其中之一．朱世杰是一位平民数学家和数学教育家．朱世杰平生勤力研习《九章算术》，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家．他全面继承了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启蒙》，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的a，b分别为3，1，则输出的n=()A. 2B. 3C. 4D. 57. 平行四边形ABCD 中，点E 为AD 中点，连接BE 、AC 且交于点F.若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AE ⃗⃗⃗⃗⃗ (x 、y ∈R)，则x ：y =( )A. 1：3B. 2：3C. 1：2D. 3：48. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3=√2−1,a 5=√2+1，则a 32+2a 2a 6+a 3a 7=( )A. 4B. 6C. 8D. 8−4√29. 直线y =x 与函数f(x)=的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是( )．A. [−1,2)B. [−1,2]C. [2,+∞)D. (−∞,−1]10. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(2)=0，当x >0时，有恒成立，则不等式的解集是A. (−2,0) ∪(2,+∞)B. (−2,0) ∪(0,2)C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−∞,−2)∪(0,2)11. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.B.C.D.12. 如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 中点，F 是AD 上一点，且AF =14AD ，EG ⊥CF 于G ，则下列式子中不成立的是( )A. EF ⋅EC =EG ⋅FCB. EC 2=CG ⋅GFC. AE 2+AF 2=FG ⋅FCD. EG2=GF⋅GC二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知f(x)的定义域是R，且f(x+2)=f(x+1)−f(x)，f(1)=lg3−lg2，f(2)=lg3+lg5，则f(2009)=______ ．14.若角α的终边经过P(−3,b)，且tanα=−53，则sinα=______ ．15.已知点A是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F为椭圆的一个焦点，且AF⊥x轴，|AF|=焦距，则椭圆的离心率是______ ．16.对于函数f(x)=13|x|3−ax2+(2−a)|x|+b，若f(x)有六个不同的单调区间，则a的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图在△AC中，D是AB的中点，BC=3，B=π3，△BCD的面积为3√32．(Ⅰ)求AB，AC的长；(Ⅱ)求sin A的值；(Ⅲ)判断△ABC是否为锐角三角形，并说明理由．18.如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．(1)“抛物线三角形”一定是______ 三角形；(2)若抛物线y=−x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求的值；(3)如图，△OAB是抛物线y=−x2+b′x(b′>0)的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．19.如图，在四棱锥E−ABCD中，△ABD是正三角形，△BCD是等腰三角形，∠BCD=120°，EC⊥BD，连结AC交BD于点O．(Ⅰ)求证：平面AEC⊥平面ABCD；(Ⅱ)判断在线段AE上是否存在点M，使得DM//平面BEC，并说明理由．20.某班共有学生40人，将一次数学考试成绩(单位：分)绘制成频率分布直方图，如图所示．(1)请根据图中所给数据，求出a的值；(2)从成绩在[50,70)内的学生中随机选3名学生，求这3名学生的成绩都在[60,70)内的概率．21.已知f(x)=be x−alnx在(1,f(1))处的切线方程为y=(e−1)x+1．(1)求y=f(x)的解析式；(2)求y=f(x)的导函数y=f′(x)的零点个数；(3)求证：f(x)>2．22.在直角坐标系xOy中，直线1的方程为x−y+4=0，曲线C的参数方程为{x=√3cosαy=sinα(α为参数，且α∈[0,2π))．(1)求曲线C的普通方程；(2)求曲线C上的一点P到直线l的距离的最大值及取得最大值时点P的坐标．23.用数学归纳法证明不等式：1n +1n+1+1n+2+⋯+1n2>1(n∈N∗且n>1)．【答案与解析】1.答案：C解析：解：由A 中的不等式解得：1<x <5，即A ={x|1<x <5}， ∵B ={x|0<x ≤4}， ∴A ∩B ={x|1<x ≤4}． 故选：C ．求出A 中不等式的解集确定出A ，找出A 与B 的交集即可． 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：A解析：解：复数z 1=m +i(m ∈R)，z 2=1−2i ，则z 1z 2=1−2i m+i=(1−2i)(m−i)m 2+1=m−2m 2+1−1+2m m 2+1i ，∴−1+2mm 2+1=0，解得m =−12， ∴|z 1|=√(−12)2+1=√52． 故选：A ．根据复数的代数形式的运算法则，结合题意求出m 的值，再计算|z 1|的值． 本题考查了复数的定义与代数形式的运算问题，是基础题．3.答案：B解析：解：根据奇函数的性质可得，f(0)=lg(2+a)=0 ∴a =−1，f(x)=lg(21−x −1)=lg 1+x1−x 由f(x)>0可得，lg 1+x1−x >0 即1+x1−x >1解不等式可得0<x <1 故选：B ．根据奇函数的性质f(0)=0可得，可求a ，进而可求函数f(x)，由f(x)>0可得，解不等式可得本题主要考查了对数不等式与分式不等式的基本的解法，但解题的关键是要根据奇函数的性质f(0)=0，先要求出函数中的参数a ，的值，此方法比直接利用奇函数的定义简单．4.答案：B解析：解：a n =2n(n+1)=2(1n −1n+1)，{a n }的前100项和，S 100=a 1+a 2+a 3+⋯+a 100， =2[(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1100−1101)]， =2(1−1101)，=200101．故答案选：B ．将a n =2n(n+1)，转换成，a n =2(1n −1n+1)，采用裂项法求得S 100． 本题考查采用裂项法求数列的前n 项和，属于基础题．5.答案：A解析：解：设点P(x 0,y 0)，F 2(c,0)，过P 作抛物线准线的垂线，垂足为A ，连接PF 2，由双曲线定义可得|PF 2|=|PF 1|−2a由抛物线的定义可得|PA|=x 0+c =2c −2a ，∴x 0=c −2a 在直角△F 1AP 中，|F 1A|2=8ac −4a 2，∴y 02=8ac −4a 2，∴8ac −4a 2=4c(c −2a) ∴c 2−4ac +a 2=0 ∴e 2−4e +1=0 ∵e >1 ∴e =2+√3 故选：A ．P 作抛物线准线的垂线，垂足为A ，连接PF 2，在直角△F 1AP 中．利用勾股定理，结合双曲线、抛物线的定义，即可求出双曲线的离心率．本题考查双曲线与抛物线的定义，考查双曲线的几何性质，解题的关键是确定关于几何量的等式．解析：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 解：模拟程序的运行，可得 a =3，b =1，n =1， a =92，b =2，不满足条件a <b ，执行循环体，n =2，a =274，b =4， 不满足条件a <b ，执行循环体，n =3，a =818，b =8， 不满足条件a <b ，执行循环体，n =4，a =24316，b =16，满足条件a <b ，退出循环，输出n 的值为4． 故选：C ．7.答案：C解析：本题考查三角形相似，向量的加法运算，共线向量基本定理，共面向量基本定理．想着用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +λEB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，这样需求出λ，根据条件及图形，可以看出△AEF∽△CBF ，所以EF BF =AE CB =12，所以EF EB =13，所以λ=13，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 这样便能求出x ，y ，从而求出x ：y ．解：根据条件知：△AEF ∼△CBF ； ∴EF BF=12,EFEB =13；∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +13EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ；∴x =13,y =23； ∴x ：y =1：2． 故选C ．解析：试题分析：由等比数列的性质可得a32+2a2a6+a3a7=a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2，把已知条件代入即可求解a3=√2−1,a5=√2+1由等比数列的性质可得a32+2a2a6+a3a7=a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2=(√2−1+√2+1)2=8故选C9.答案：A解析：直线y=x与函数f(x)=的图象恰有三个公共点，即方程x2+4x+2= x(x≤m)与x=2(x>m)共有三个根．∵x2+4x+2=x的解为x1=−2，x2=−1，∴−1≤m<2时满足条件，故选A．10.答案：D解析：试题分析：解：因为当x>0时，有恒成立，即[]′<0恒成立，所以在(0,+∞)内单调递减．因为f(2)=0，所以在(0,2)内恒有f(x)>0；在(2,+∞)内恒有f(x)<0.又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以在(−∞,−2)内恒有f(x)>0；在(−2,0)内恒有f(x)<0.又不等式x2f(x)>0的解集，即不等式f(x)>0的解集．所以答案为(−∞,−2)∪(0,2).故选D．考点：函数单调性与导数点评：本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征11.答案：D解析：试题分析：试题分析：由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如下图：则该几何体的表面积为，故选D．考点：三视图及空间几何体的表面积的求解．12.答案：BAD，解析：解：由题意，正方形ABCD中，E是AB中点，F是AD上一点，且AF=14∴△AEF∽△BCE，∴∠AEF=∠BCE，∴∠FEC=90°∵EG⊥CF，∴EF⋅EC=EG⋅FC，AE2+AF2=EF2=FG⋅FC，EG2=GF⋅GC即A，C，D正确，故选：B．AD，可得△AEF∽△BCE，进由题意，正方形ABCD中，E是AB中点，F是AD上一点，且AF=14而可得∠FEC=90°，从而可得A，C，D正确，即可得出结论．本题考查相似三角形的判定，考查射影定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．13.答案：−lg15解析：解：∵f(x+2)=f(x+1)−f(x)，f(1)=lg3−lg2，f(2)=lg3+lg5，∴f(3)=f(2)−f(1)=lg5+lg2=1，∴f(4)=f(3)−f(2)=lg2−lg3，f(5)=f(4)−f(3)=−lg15．f(6)=f(5)−f(4)=−1，f(7)=f(6)−f(5)=lg3−lg2=f(1)，f(8)=f(7)−f(6)=lg3+lg5=f(2)，∴f(n+6)=f(n)，∴f(2009)=f(5+334×6)═f(5)=−lg15．故答案为：−lg15．由f(x+2)=f(x+1)−f(x)，f(1)=lg3−lg2，f(2)=lg3+lg5，可得f(3)=f(2)−f(1)= lg5+lg2=1，f(4)=f(3)−f(2)=lg2−lg3，f(5)=f(4)−f(3)=−lg15.f(6)=f(5)−f(4)=−1，f(7)=f(6)−f(5)=lg3−lg2=f(1)，…，f(n+6)=f(n)，即可得出．本题考查了利用抽象函数的周期性求函数值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．14.答案：5√3434解析：解：由题意可得tanα=b−3=−53，∴b=5，∴r=|OP|=√9+25=√34，∴sinα=√34=5√3434，故答案为：5√3434．由条件利用任意角的三角函数的定义，求出b的值，可得sinα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．15.答案：√2−1解析：解：设F为椭圆的右焦点，且AF⊥x轴，所以F(c,0)，则c2a2+y2b2=1，解得y=±b2a，因为，|AF|=焦距，所以b2a=2c，即b2=2ac，a2−c2=2ac，所以e2+2e−1=0，解得e=√2−1或e=−√2−1(舍去)故答案为：√2−1．通过焦点F的横坐标，代入椭圆方程，求出A的纵坐标，利用|AF|=焦距，结合椭圆中a，b，c的关系，求出椭圆的离心率．本题主要考查了椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质，椭圆离心率的求法，属基础题．16.答案：(1,2)解析：解：∵f(−x)=13|−x|3−a(−x)2+(2−a)|−x|+b=13|x|3−ax2+(2−a)|x|=f(x)，∴f(x)为偶函数，又f(x)有六个不同的单调区间，∴当x>0时，f(x)=13x3−ax2+(2−a)x+b有三个不同的单调区间，∴f′(x)=x2−2ax+2−a与x正半轴有两交点，即x2−2ax+2−a=0有两异正根，∴{△=4a2−4(2−a)>02a>02−a>0，解得1<a<2．故答案为：1<a<2．由题意可知，f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)有三个不同的单调区间，利用其导函数与x正半轴有两交点即可求得a的取值范围．本题考查带绝对值的函数，考查利用导数研究函数的单调性，明确当x>0时，f(x)有三个不同的单调区间，是解决问题的关键，突出转化思想与函数与方程思想的考查运用，属于难题．17.答案：解：(Ⅰ)∵BC=3，B=π3，△BCD的面积为3√32，∴12BD⋅BCsinB=3√32，∴BD=2，∵D是AB的中点，∴AB=2BD=4，由余弦定理，有AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcosB=16+9−2×4×3×12=13∴AC=√13；(Ⅱ)由正弦定理，有sinA=BCsinBAC =3√3926；(Ⅲ)∵AB>AC>BC，∴C>A>B，由余弦定理，有cosC=AC2+BC2−AB22AC⋅BC =√1313>0，∴C为锐角，∴三角形ABC为锐角三角形．解析：(Ⅰ)根据△BCD的面积为3√32，可由面积公式求出BD，然后由D为AB的中点可得AB=2BD，在三角形ABC中根据余弦定理可得AC；(Ⅱ)直接在三角形ABC中利用正弦定理可得sin A；(Ⅲ)根据大角对大边可得C>A>B，然后由余弦定理求出cos C，根据cos C可判断三角形是否为锐角三角形．本题考查了正余弦定理，面积公式和三角形形状的判断，考查了计算能力，属中档题．18.答案：等腰解析：解：(1)等腰根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A 必在O 、B 的垂直平分线上，所以OA =AB ，即：“抛物线三角形”必为等腰三角形． 故填：等腰．(2)∵抛物线y =−x 2+bx(b >0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，∴该抛物线的顶点(b 2,b 24)满足b2=b 24(b >0)．∴b =2． (3)存在．如图，作△OCD 与△OAB 关于原点O 中心对称， 则四边形ABCD 为平行四边形．当OA =OB 时，平行四边形ABCD 为矩形． 又∵AO =AB ， ∴△OAB 为等边三角形． 作AE ⊥OB ，垂足为E ． ∴AE =√3OE ． ∴b′24=√3⋅b′2(b′>0)，∴b′=2√3，∴A(√3,3)，B(2√3,0)， C(−√3,−3)，D(−2√3,0)，设过点O ，C ，D 三点的抛物线y =mx 2+nx ， 则{12m −2√3n =03m −√3n =−3，解得：{m =1n =2√3，∴所求抛物线的表达式为y =x 2+2√3x.1)抛物线的顶点必在抛物线与x 轴两交点连线的垂直平分线上，因此这个“抛物线三角形”一定是等腰三角形．(2)观察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于b >0，那么其顶点在第一象限，而这个“抛物线三角形”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、纵坐标相等，以此作为等量关系来列方程解出b 的值．(3)由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点O为对称中心的矩形ABCD，那么必须满足OA=OB，结合(1)的结论，这个“抛物线三角形”必须是等边三角形，首先用b′表示出AE、OE 的长，通过△OAB这个等边三角形来列等量关系求出b′的值，进而确定A、B的坐标，即可确定C、D的坐标，利用待定系数即可求出过O、C、D的抛物线的解析式．这道二次函数综合题融入了新定义的形式，涉及到：二次函数的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，难度不大，重在考查基础知识的掌握情况19.答案：证明：(Ⅰ)设BD的中点为O′，则AO′⊥BD，CO′⊥BD.∴A，O′，C三点共线，∴BD⊥AC，∵EC⊥BD，AC∩EC=C，∴BD⊥平面AEC，∵BD⊂平面ABCD，∴平面AEC⊥平面ABCD；(Ⅱ)M为线段AE的中点时，DM//平面EBC，理由如下：取AB中点N，连接MN，DN，∵M是AE的中点，∴MN//BE，又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，∴MN//平面BEC，∵△ABD是等边三角形，∴∠BDN=30°，又CB=CD，∠BCD=120°，∴∠CBD=30°，∴ND//BC，又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，∴DN//平面BEC，又MN∩DN=N，故平面DMN//平面BEC，又DM⊂平面DMN，∴DM//平面BEC．解析：(Ⅰ)证明：BD⊥AC，利用EC⊥BD，AC∩EC=C，可得BD⊥平面AEC，即可证明平面AEC⊥平面ABCD；(Ⅱ)取AB中点N，连接MN，DN，MN，易证MN//平面BEC，DN//平面BEC，由面面平行的判定定理即可证得平面DMN//平面BEC，又DM⊂平面DMN，于是DM//平面BEC．本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直的判定定理与面面平行的判定定理的应用，着重考查分析推理能力与表达、运算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)依题意，该班60名同学中共有6名同学参加心理社，所以在该班随机选取1名同学，该同学参加心理社的概率为660=110．(2)设A ，B ，C ，D 表示参加心理社的男同学，a ，b 表示参加心理社的女同学， 则从6名同学中选出的2名同学代表共有15种等可能的结果：AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab ，BC ，BD ，Ba ，Bb ，CD ，Ca ，Cb ，Da ，Db ，ab ， 其中至少有1名女同学的结果有9种： Aa ，Ab ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，Da ，Db ，ab ，根据古典概率计算公式，从6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率为P =915=35．解析：(1)依题意，该班60名同学中共有6名同学参加心理社，由此能求出在该班随机选取1名同学，该同学参加心理社的概率．(2)设A ，B ，C ，D 表示参加心理社的男同学，a ，b 表示参加心理社的女同学，利用列举法能求出从6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.答案：解：(1)∵f(x)=be x −alnx ，∴f′(x)=be x −ax，∴f′(1)=be −a =e −1， ∵f(1)=be =e ， ∴b =1，a =1， ∴f(x)=e x −lnx ， (2)f(x)=e x −lnx ， ∴f′(x)=e x −1x ，易知f′(x)在(0,+∞)在(0,+∞)上递增，∵f′(1)=e −1>0，f′(12)=√e −2<0，存在12<x 0<1，使得f′(x 0)=0，即e x 0−1x 0=0，∴y =f(x)的导函数的零点个数为1个．(3)由(2)可知，y =f(x)在(0,x 0)上递减，在(x 0,+∞)上递增，∴f(x)min=f(x0)=e x0−lnx0=1x0+x0>2(x0≠1)，∴f(x)>2．解析：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，属于中档题．(1)求出函数的导数，求得切线的斜率，解方程可得a=1，b=1：(2)根据导数的定义和函数零点存在定理即可求出，(3)根据函数的单调性可得f(x)min=f(x0)=e x0−lnx0=1x0+x0>2，即可证明22.答案：解：(1)曲线C的参数方程为{x=√3cosαy=sinα(α为参数，且α∈[0,2π)).转换为直角坐标方程为x23+y2=1．(2)设P(√3cosα,sinα)，所以d=√3cosα−sinα+4|√2=|2cos(α+π6)+4|√2≤√2=3√2，当α=11π6时，即P(32,−12)，点P到直线l的距离取最大值．解析：直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换和点到直线的距离公式的应用及三角函数的关系式的变换及余弦型函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到走直线的距离公式的应用，三角函数关系式的变换，余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：证明：(1)当n=2时，左边=12+13+14=1312>1，∴n=2时成立；(2)假设当n=k(k≥2)时成立，即1 k +1k+1+1k+2+⋯+1k2>1，那么当n=k+1时，左边=1k+1+1k+2+1k+3+⋯+1(k+1)2=1k+1k+1+1k+2+1k+3+⋯+1k2+2k+1(k+1)2−1k>1+1k2+1+1k2+2+⋯+1(k+1)2−1k>1+(2k+1)⋅1(k+1)2−1k=1+k2−k−1k(k+1)2∵k≥2，令f(k)=k2−k−1，对称轴k=12∴f(k)的增区间为[2,+∞),∴f(k)≥f(2)，即k2−k−1≥22−2−1，∴k2−k−1k(k+1)2>0，∴n=k+1时也成立，根据(1)(2)可得不等式对所有的n>1，n∈N∗都成立解析：直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，(1)验证n=2时不等式成立；(2)假设当n= k(k≥2)时成立，利用放缩法证明n=k+1时，不等式也成立．。

高三数学试题（理科）考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2. 请将各题答案填写在答题卡上.3. 本试卷主要考试内容：高考全部内容（除计数原理、概率、随机量变及其分布、统计与统计案例）.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}13A x x =-≤，{}2450B x x x =--≤，则A B =（ ）A. {}21x x -≤≤- B. {}14x x -≤≤ C. {}25x x -≤≤D. {}45x x ≤≤2. 若复数()()31z a i a R =+-∈在复平面内对应的点在直线2y x =+上，则a =（ ） A. 1B. 2C. 5D. 63. 命题“对任意0x >，都有0x x e +>”的否定为（ ） A. 对任意0x >，都有0x x e +≤ B. 对任意0x ≤，都有0x x e +≤ C. 存在0x >，使得0x x e +≤D. 存在0x ≤，使得0x x e +≤4. 已知函数2,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，则不等式()()265f x f x ->的解集是（ ）A. ()(),61,-∞-+∞B. ()(),16,-∞-+∞C. ()1,6-D. ()6,1-5. 若实数x ，y 满足约束条件3020380x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则z x y =+的取值范围为（ ）A. []1,5-B. []1,2-C. [)5,+∞D. [)2,+∞6. 已知O 为ABC △所在平面内一点，若()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=，6AB =，4AC =，则AO BC ⋅=（ ）A. -5B. -10C. 10D. 57. 在各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，已知M 是棱1BB 的中点，N 是棱AC 的中点，则异面直线1A M 与BN 所成角的正切值为（ ）A.B. 1C.D.8. 下列函数图象不可能是函数()()xf x x eZ αα=∈的图象的是（ ）A.B. C. D.9. 已知p ：201x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，q ：{}0B x x a =-<，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()2,+∞B. [)2,+∞C. (),1-∞D. (],1-∞10. 如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为m ，圆柱的表面积与球的表面积之比为n ，则621mx nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ）A. 15B. -15C.1354D. 1354-11. 如图，过抛物线24y x =的焦点F 作倾斜角为α的直线l ，l 与抛物线及其准线从上到下依次交于A ，B ，C 点，令1AF BF λ=，2BC BFλ=，则当3πα=时，12λλ+的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 612. 已知函数()()()sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，若存在120x x π≤<≤，满足()()1234f x f x ==，则()12cos x x -=（ ）A. -B.34C.D. 34-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13. 已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，52a =-，816a =，则6S =________.14.)44d x x -=⎰________.15. 已知113k ≤<，函数()311x k f x k =--+的零点分别为()1212,x x x x <，函数()3121x kg x k =--+的零点分别为()3434,x x x x <，则()()4321x x x x -+-的最小值为________.16. 已知双曲线C ：2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 是双曲线C 左支上的点，12MF F △的周长是9，动点P 在双曲线C 的右支上，则1MF P △面积的取值范围是________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22212a cb ac +-=. （1）求2sin cos 22A CB ++的值； （2）若2b =，求ABC △面积的最大值. 18. 已知数列{}n a 中，11a =，()*13nn n a a n N a +=∈+. （1）证明：数列112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列.（2）若数列{}n b 满足()312n n n nn b a -=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AB BC AA ===，AC =点D ，E 分别为AC 和11B C 的中点.（1）棱1AA 上是否存在点P ，使得平面PBD ⊥平面ABE ？若存在，求出PA 的长，并证明你的结论﹔若不存在，请说明理由.（2）求二面角A BE D --的余弦值.20. 已知中心为坐标原点的椭圆C的一个焦点为)F，且经过点1,2M ⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）若不经过点F 的直线l ：()0,0y kx m k m =+<>与椭圆C 交于A ，B 两点，且与圆221x y +=相切，试探究ABF △的周长是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由. 21. 已知函数()ln f x x =.（1）设函数21()(2)2()2t x x a x af x =-++，讨论()t x 的单调性. （2）函数()3()0g x xx =>的图象在点P 处的切线为l ，是否存在这样的点P 使得直线l 与曲线()y f x =也相切？若存在，判断满足条件的点P 的个数；若不存在，请说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，点P 是曲线1C ：112x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 为参数）上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin 3cos ρθθ=-.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知点Q 在曲线2C 上，求PQ 的最小值以及取得最小值时P 的直角坐标. 23. [选修4—5：不等式选讲] 设函数()2()0f x x x a a a=-++>. （1）证明：()f x ≥（2）当()0,1x ∈时，()3f x ≤恒成立，求a 的取值范围.高三数学试题参考答案（理科）一、选择题1. B 依题意可得{}24A x x =-≤≤，{}15B x x =-≤≤，所以{}14AB x x =-≤≤，故选B.2. D 复数()31z a i =+-在复平面内对应的点()3,1a -在直线2y x =+上，132a -=+，6a =，故选D.3. C 命题的否定为存在0x >，使得0xx e +≤，故选C.4. D 由题知函数()f x 在R 上单调递增，则265x x ->，解得61x -<<，故选D.5. D 画出满足条件的平面区域，如图所示，作出直线0x y +=并平移.易知目标函数z x y =+在点A 处取得最小值，没有最大值.联立30380x y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得31x y =⎧⎨=-⎩.此时2x y +=，所以z x y =+的取值范围为[)2,+∞，故选D.6. B 由已知得，()()()()0OA OB OB OA OB OC OC OB +⋅-=+⋅-=22220OB OA OC OB OA OB OC ⇔-=-=⇔==，则O 为ABC △的外心.设OD AB ⊥，OE AC ⊥，垂足分别为D ，E （图略）.根据两个向量数量积的几何意义，可知()AO BC AO AC AB ⋅=⋅-10AO AC AO AB AE AC AD AB =⋅-⋅=⋅-⋅=-，故选B.7. C 如图，取1AA 的中点P ，连接PN ，PB .由直三棱柱的性质可知1//A M PB ，则PBN ∠为异面直线1A M 与BN 所成的角（或其补角）.设三棱柱的棱长为2，则PN =，PB =，BN =222PN BN PB +=，所以90PNB ∠=︒.在Rt PBN △中，tanPN PBN BN ∠===，故选C.8. C 对于A ，图象中函数的定义域为R ，函数是偶函数，则当α为正偶数时，满足对应图象；对于B ，图象中函数的定义域为{}0x x ≠，函数是偶函数，则当α为负偶数时，满足对应图象；对于C ，图象中函数的定义域为R ，函数是奇函数，且为增函数，递增的速度越来越慢，没有符合条件的α；对于D ，图象中函数的定义域为R ，函数是奇函数，且为增函数，递增的速度越来越快，则当α为正奇数时，满足对应图象.故选C.9. D ∵()(){}{}210121A x x x x x x x =--≥≠=≥<且或，{}B x x a =<，又p 是q 的必要不充分条件，∴BA .由数轴可得1a ≤，故选D.10. A 设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，所以圆柱的体积23122V R R R ππ=⨯=，球的体积3243V R π=，所以313223423V R m V R ππ===.又圆柱的表面积为2212226S R R R R πππ=⨯+=，球的表面积为224S R π=，所以21226342S R n S R ππ===，1m n =，662211m x x nx x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其常数项为()42426115x Cx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 11. C 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124162sin 603x AB x =++==︒，12103x x +=.又21214p x x ==，可得13x =，213x =，所以1313113AF BF λ+===+=. 同理可得22BC BFλ==，所以125λλ+=.12. B 由图象知函数的周期13721212T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，2ω=， 713551212sin 21266f f ππππϕ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫==⨯+=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭，∴53232k ππϕπ+=+， 即26k πϕπ=-，k Z ∈.∵ϕπ<，∴6πϕ=-，()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. ∵条件存在120x x π≤<≤，满足()()1234f x f x ==， ∴1112666x πππ-≤-≤，则1126x πθ=-，2226x πθ=-关于2π对称， 即12226622x x πππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，得2123x x π=-，且13sin 264x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()1212cos cos 23x x x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭.设126x πα-=，则126x πα=+，即3sin 4α=， 则()121223cos cos 2cos sin 3634x x x πππαα⎛⎫⎛⎫-=-=+-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 二、填空题 13.218∵{}n a 为等比数列，∴385a a q =，∴31682q ==--，∴2q =-.∵451a a q =，∴121168a -==-，∴()661611(2)12181128a q S q ⎡⎤----⎣⎦===-+. 14. 8π因为)44444d d x x x x x ---=-⎰⎰⎰，而4x -⎰由定积分的几何意义知其为半径为4的半圆，面积为8π，42444d 02x x x --==⎰，所以48x π-=⎰.15. 35log 2 因为12x x <，所以113111x k k k =-=++，2213111xk k k k +=+=++. 又因为34x x <，所以33121x k k =-+，43121xk k =++，所以21321x xk -=+，433131x x k k -+=+，所以()()4321(21)(31)31x x x x k k k -+-++=+.令1k t +=，4,23t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则1k t =-，所以(21)(31)(21)(32)2671k k t t t k t t++--==+-+.设2()67h t t t =+-，4,23t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则222262'()60t h t t t -=-=>，()h t 在4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增， 所以5(),62h t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()()432153,62x x x x -+-⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故()()4321335log ,log 62x x x x ⎡⎫-+-∈⎪⎢⎣⎭.16. ⎫+∞⎪⎪⎝⎭∵M 是双曲线C 左支上的点，∴212MF MF -=.∵12MF F △的周长是9， ∴21129MF MF F F ++=.∵124F F =，∴132MF=，272MF =.设()00,M x y ，则132MF ===，解得054x =-，0y =.根据双曲线的对称性，不妨取0y =，则54M ⎛-⎝⎭，∴1MF k =1MF 的方程为)2y x =+.∵直线1MF 与渐近线y=平行，∴双曲线C的右支上任意一点到直线1MF的距离都大于两平行线间的距离，即都大11124MF PMS F>=△.三、解答题17. 解：（1）在ABC△中，由余弦定理可知2222cosa cb ac B+-=，由题意知22212a cb ac+-=，∴1cos4B=.又在ABC△中，A B Cπ++=，∴22sin cos2sin cos222A C BB Bπ+-+=+ 2221cos cos1cos cos22cos12cos2222B B BB B B+=+=+-=+-.又1cos4B=，∴21sin cos224A CB++=-.（2）∵2b=，22212a cb ac+-=，∴22142a c ac+-=，即1242ac ac≥-，∴83ac≤.∵1cos4B=，∴sin B=∴118sin22343ABCS ac B=⋅≤⨯⨯=△，∴ABC△面积的最大值为3.18.（1）证明：由()*13nnnaa n Na+=∈+，知11111322n na a+⎛⎫+=+⎪⎝⎭，又111322a+=，∴112na⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以32为首项，3为公比的等比数列.（2）解：由（1）知111333222nnna-+=⨯=，∴231n na=-，12n nnb-=.0122111111123(1)22222n n nT n n--=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，121111112(1)22222nn nTn n-=⨯+⨯++-⨯+⨯，两式相减得012111111222222222nn n nT nn-+=++++-⨯=-，∴1242n n n T -+=-. 19. 解：（1）存在点P 满足题意，且34PA =. 证明如下：如图，取11A C 的中点F ，连接EF ，AF ，DF ， 则11////EF A B AB ，∴AF ⊂平面ABE . ∵AB BC =，D 是AC 的中点，∴BD AC ⊥.在直三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11A ACC ，且交线为AC ， ∴BD ⊥平面11A ACC ，∴BD AF ⊥. 在平面11A ACC内，∵2AP AD AD DF ==，90PAD ADF ∠=∠=︒， ∴Rt PAD Rt ADF △△，从而可得AF PD ⊥.又∵PDBD D =，∴AF ⊥平面PBD .∵AF ⊂平面ABE ，∴平面PBD ⊥平面ABE .（2）如图，以D 为坐标原点，以DB ，DC ，DF 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -， 易知()0,0,0D ，1,0,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，0,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，14E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴14BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，12AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02DB ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 设平面ABE 的法向量为(),,m x y z =，则10441022m BE x y z m AB x y ⎧⋅=-++=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩， 取2y =，得(2m =-，同理可求得平面BDE 的一个法向量为(0,4,n =， 则c 111912os ,m n m n m n⋅===，由图可知二面角A BE D --为锐角，∴其余弦值为1119.20. 解：（1）设椭圆C 的标准方程为()222210x y a b a b +=>>，由题可知另一个焦点为()'F .由椭圆的定义可知42'F aMF M ===+， 所以2a =.因为c =222b a c =-，所以1b =， 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （2）因为直线l ：()0,0y kx m k m =+<>与圆221x y +=相切，1=，即221m k =+.设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得 ()222418440k x kmx m +++-=，所以()2221641480k m k ∆=-+=>，122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+. 所以AB ==， 又221m k =+，所以A B =.因为A F =122x ==-，同理22F x B =，所以()1242F F x A B x =-++2284424141km k k =+=+++，所以22444141k AF BF k AB ++=+-=++， 故ABF △的周长为定值4.21. 解：（1）因为21()(2)2ln 2t x x a x a x =-++， 所以2(2)()'()(2)a x x a t x x a x x --=-++=. 所以①当0a ≤时，()t x 在(]0,2上为减函数，在[)2,+∞为增函数；②当02a <<时，()t x 在(]0,a 上为增函数，在[],2a 上为减函数，在[)2,+∞上为增函数； ③当2a =时，()t x 在()0,+∞上为增函数；④当2a >时，()t x 在(]0,2上为增函数，在[]2,a 上为减函数，在[),a +∞上为增函数.（2）设()()3000,0P x x x >. 因为2'()3g x x =，所以()200'3g x x =，所以直线l 的方程为()320003y x x x x -=-，即230032y x x x =-①. 假设直线l 与()f x 的图象也相切，切点为()11,ln x x . 因为1'()f x x=，所以()111'f x x =， 所以直线l 的方程也可以写为()1111ln y x x x x -=-. 又因为20113x x =，即12013x x =， 所以直线l 的方程为20220011ln 333y x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即20032ln ln 31y x x x =---②. 由①②得3002ln ln 312x x ---=-，即30022ln 1ln 30x x ---=.令()()3000022ln 1ln300m x x x x =---=>， 所以()20002'6m x x x =-.令()20002'60m x x x =-≥，得0x ≥ 所以()0m x在⎛ ⎝]单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭单调递增， 所以()0min 121ln 33m x m ==⨯--11ln 3033=--<. 又因为当0x →时，()0m x →+∞；当x →+∞时，()0m x →+∞.所以()300022ln 1ln30m x x x =---=在()0,+∞有且只有两个实数根. 故存在这样的点P 使得直线l 与函数()f x 的图象也相切，这样的点P 有且只有两个.22. 解：（1）由1C ：112x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩消去参数t ，得到22221142y x t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴1C ：221416x y -=，∴2C ：sin 3cos 2ρθρθ-=，∴32y x -=. （2）设11,2P t t t t ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则P 到直线2C ：32y x -=的距离为d ，d PQ ==≥∵522t t ++≥，522t t++≤-，∴PQ ≥，此时t =,55P ⎛-- ⎝⎭. 23.（1）证明：因为0a >，所以()22()f x x x a x x a a a=-++≥--+， 所以2()f x a a ≥+.因为0a >，2a a+≥()f x ≥ （2）解：因为0a >，所以当()0,1x ∈时，2()3f x x x a a =-++≤， 即233x a x x a a+-≤-≤--恒成立，所以23223aaaa⎧-≤-⎪⎪⎨⎪-≤-⎪⎩，解得12a≤≤.综上，a的取值范围是[]1,2.。

2021～2022学年度上期高中2019级入学联考理科数学注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”。

2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ＝{x|x 2－3x －4≤0}，集合B ＝{y|y ＝x 2，x ∈R}，则A ∩B ＝A.{x|0<x ≤4}B.{x|0≤x ≤4}C.{x|0≤x<4}D.∅2.已知复数z 满足z(1＋i)＝4i ，则在复平面内z 对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知点P(－2，－1)为角θ的终边上的一点，则sinθ＝A.5B.5C.－5D.－54.命题“若x>0，则e x >1”的否命题是A.若x>0，则e x ≤1B.若x ≥0，则e x ≤1C.若x ≤0，则e x >1D.若x ≤0，则e x ≤15.已知1x)n 展开式各项的二项式系数之和为512，则展开式中的常数项是 A.84 B.－84 C.126 D.－126 6.已知m ，n ∈R ，且m ＋2n ＝1，则9m ＋3n 的最小值为 A.4 B.6 C.8 D.97.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，A ＝3π，b ＋c ＝2a ，△ABC 的面积为2ABC 的周长为A.6B.8C.62D.638.某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有( )种不同的排法A.24B.144C.48D.969.把函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移4π个单位长度，得到函数g(x)的图象，已知函数g(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<2π)的部分图象如图所示，则f(x)＝A.sin(4x ＋3π)B.sin(4x ＋6π)C.sin(x ＋6π)D.sin(x ＋3π) 10.已知函数f(x)＝3x log x x 03x 0⎧>⎪⎨≤⎪⎩，，，若函数g(x)＝[f(x)]2－(m ＋2)f(x)＋2m 恰好有5个不同的零点，则实数m 的取值范围是A.(0，1]B.(0，1)C.[1，＋∞)D.(1，＋∞)11.已知在三棱锥P －ABC 中，侧棱PA ⊥平面ABC ，PA ＝3，AB ＝1，BC 3AC ＝2，则三棱锥P －ABC 外接球的表面积为A.13πB.12πC.9πD.8π12.已知函数f(x)＝－2xcosx ＋12(a ＋1)x 3，对于任意的x 1，x 2∈(0，2π)，且x 1<x 2都有x 2f(x 1)－x 1f(x 2)>0成立，则实数a 的取值范围是A.(－∞，－3]B.(－∞，3)C.(－∞，－1)D.(－∞，－1]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。