陕西省西安八校届高三联考试题数学

西安市八校2023~2024学年高三下学期联考试题数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持纸面清洁，不折叠，不破损.5.若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并在答题纸上对应的题号后填写.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集U =R ，集合{|M x y ==，{N =，则()U M N = ð（ ）．A. {}B.C. {1,D. {2}N =2. i 是虚数单位，若复数6i 2i 1iz +=+，则z 的共轭复数z =（ ）．A.13i 22- B.13i 22+ C. 13i 22-+ D.31i 22- 3. 将函数π()2sin(2)3f x x =-的图象向左平移m （0m >）个单位，所得图象关于原点对称，则m 的值可以是（ ）． A.π3B. πC.4π3D.5π34. 已知某随机变量X 的分布列如图表，则随机变量X 的方差()D X =（ ）X20 40Pm2mmA. 120B. 160C. 200D. 2605. 已知x ，y 满足约束条件02422x y x y x ≤+≤⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩，则36z x y =-+最大值为（ ）A 18B. 14C. 10D. 30-6. 随机取实数t ，(1,8)t ∈-，则关于x 方程22430x tx t ++-=有两个负根的概率为（ ）． A.23B.59C.79D.7127. 如图，网格纸上绘制的是某几何体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）．A. 15πB. 20πC. 26πD. 30π8. 已知二次函数()2y x b a x ab =-+-+的图象与x 轴交于A 、B 两点，图象在A 、B 两点处的切线相交于点P ．若1ab =，则ABP 的面积的最小值为（ ）． A. 1B.C. 2D. 49. 某三甲医院选定A 、B 、C 、D 、E ，5名医生到3所乡镇医院进行医疗扶持，每个医院至少一人，其中，A 与B 必须在同一医院，B 与C 一定不在同一医院.则不同的选派方案有（ ） A 48种B. 42种C. 36种D. 30种10. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点()3,9P -，则该双曲线的离心率为（ ）．A.B. 3C.D.的.的.11. 已知函数()f x 为偶函数，满足()()12f x f x +=-，且20x -≤≤时，()2xf x =-，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=至少有两解，则a 的取值范围为（ ）． A. 1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B. [)10,3,3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦C. [)10,53,⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D. 1,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦12. 已知函数()4ln 2x f x x =+-的零点为1x ，()g x 存在零点2x ，使121||2x x -<，则()g x 不能是（ ）．A. 32()3232g x x x x =--+B. 11()42x x g x ---=-C. 5π()cos(12g x x =+D. ()lg(51)g x x =+第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知单位向量12e e ⊥ ，向量122a e e λ=- ，122b e e =+ ，若a b ⊥，则实数λ＝________．14. 已知521110x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含x 项的系数为k ，()10210012101kx a a x a x a x -=++++ .则1210a a a +++= ________.15. 某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后期更有效的教学，从参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直方图（如图）．其中，成绩分组区间为)[[60,70),70,80),80,90),9[0,100[，100,110),110,120),120,]130),130,14[[0),14[[0,150[．用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的估计值为________．16. 已知椭圆2221(1)x y a a+=>的上顶点为A ，B 、C 在椭圆上，△ABC 为等腰直角三角形，A 为直角，若这样的△ABC 有且只有一个，则该椭圆的离心率的取值范围为_______．三、解答题（共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.第22，23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17. 已知各项均为正数的等比数列{}n a ，满足132163a a +=，23642a a a =．（1）求数列{}n a 通项公式；（2）设21log nn i i b a ==∑，数列1{}n b 的前n 项和为n T ．求证：21n T -<≤-． 18. 已知△ABC 为钝角三角形，它的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且22ππsin sin sin()cos()36C B B B =+++，a c <，b c <．（1）求tan()A B +的值；（2）若△ABC的面积为，求c 的最小值．19. 如图所示多面体EF ABCD -中，四边形ABCD 和四边形ACEF 均为正方形，棱AF BD ⊥，G 为EF 的中点.（1）求证：CE ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A CG B --的余弦值.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)=>S x py p ，其焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线S 于A 和B 两点，16||3AB =，角60θ=︒（如图）．的（1）求抛物线S 的方程；（2）在抛物线S 上是否存在关于直线l 对称的相异两点，若存在，求出该两点所在直线的方程，若不存在，请说明理由．21. 已知函数()()()ln 1R 2kxf x x k x =++∈+. （1）若()f x 在其定义域上单调递增，求k 的取值范围； （2）证明：对n +∀∈N ，1111ln 21232n n n n++++<+++ . （二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写. [选修4-4：极坐标与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Γ的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求出直线l 的普通方程和曲线Γ的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线Γ相交于A 、B 两点，求|AB |的值．[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数2()|2|2||f x x a x a=++-． （1）求()f x 的最小值；（2）若min [()]a f x =，求不等式(1)25f x x -≤+的解集．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集U =R，集合{|M x y ==，{N =，则()U M N = ð（ ）．A{}B.C. {1,D. {2}N =【答案】B 【解析】【分析】先求集合M ，然后由集合的运算可得. 【详解】由10x -≥解得(],1M ∞=-，所以()1,U M ∞=+ð，所以{()U M N ⋂=ð. 故选：B2. i 是虚数单位，若复数6i 2i 1iz +=+，则z 共轭复数z =（ ）．A.13i 22- B.13i 22+ C. 13i 22-+ D.31i 22- 【答案】A 【解析】【分析】利用复数的乘方及复数除法运算，结合共轭复数的意义求解即得. 【详解】依题意，12i (12i)(1i)13i 13i 1i (1i)(1i)222z -+-+-+====+++-， 所以13i 22z =-. 故选：A3. 将函数π()2sin(2)3f x x =-的图象向左平移m （0m >）个单位，所得图象关于原点对称，则m 的值可以是（ ）． A.π3B. πC.4π3D.5π3【答案】D 【解析】【分析】先求平移后图象的解析式，然后根据正弦函数的对称性可得..的【详解】将函数π()2sin(2)3f x x =-的图象向左平移m 个单位， 得()ππ2sin 22sin 2233y x m x m ⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 因为π2sin 223y x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象关于原点对称， 所以π2π,3m k k -=∈Z ，即ππ,62k m k =+∈Z ， 当3k =时，得5π3m =，使πππ623k m =+=，πππ62k m =+=，ππ4π623k m =+=的整数k 不存在.故选：D4. 已知某随机变量X 的分布列如图表，则随机变量X 的方差()D X =（ ）X20 40P m2mmA. 120B. 160C. 200D. 260【答案】C 【解析】【分析】根据概率和为1，求得m ，再根据分布列求()E X ，再求()D X 即可. 【详解】由题可知：21m m m ++=，解得14m =，则()040408020E X m m m m =⨯++==； 故()()()()222111020202040201000100200424D X =-+-+-=++=. 故选：C.5. 已知x ，y 满足约束条件02422x y x y x ≤+≤⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩，则36z x y =-+的最大值为（ ）A. 18B. 14C. 10D. 30-【答案】B 【解析】【分析】作出可行域，由图可以得到目标函数取最大值时的位置，求得点的坐标代入即可. 【详解】由约束条件作出可行域如图，目标函数36z x y =-+，即为1126y x z =+，作出直线12y x =， 由图可知，当直线12y x =平移至A 处时，z 取得最大值， 联立224x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得28(,)33A ，则目标函数z 的最大值为z =36148323-⨯+⨯=. 故选：B.6. 随机取实数t ，(1,8)t ∈-，则关于x 的方程22430x tx t ++-=有两个负根的概率为（ ）． A.23B.59C.79D.712【答案】D 【解析】【分析】利用韦达定理和判别式求出方程有两个负根时t 的范围，然后由区间长度比可得. 【详解】若方程22430x tx t ++-=有两个负根，则()2043044430t t t t ⎧-<⎪->⎨⎪-->⎩，解得314t <<或3t >，又(1,8)t ∈-，所以当314t <<或38t <<时，方程22430x tx t ++-=有两个负根， 故所求概率()3183741281P -+-==--. 故选：D7. 如图，网格纸上绘制的是某几何体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）．A. 15πB. 20πC. 26πD. 30π【答案】A 【解析】【分析】根据三视图还原几何体即可由圆锥体积公式得解.【详解】由三视图可知，几何体左边为底面半径为3，高为4的圆锥的一半，右边为底面半径为3，高为6的圆锥的一半构成的组合体，如图，所以221111π34π3615π2323V =⨯⋅⨯+⨯⋅⨯=， 故选：A8. 已知二次函数()2y x b a x ab =-+-+的图象与x 轴交于A 、B 两点，图象在A 、B 两点处的切线相交于点P ．若1ab =，则ABP 的面积的最小值为（ ）．A. 1B.C. 2D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据导数的几何意义可得切线方程及点P 坐标，结合韦达定理及面积公式可得面积的最值. 【详解】设()1,0A x ，()2,0B x ，则1x 与2x 是方程()20x b a x ab -+-+=的两根，则12x x b a +=-，12x x ab =-，12AB x x a b =-==+，又2y x b a '=-+-，则函数()2y x b a x ab =-+-+在点()1,0A x 处的切线方程为()()112y x b a x x =-+--，同理函数()2y x b a x ab =-+-+在点()2,0B x 处切线方程为()()222y x b a x x =-+--，则()()()()112222y x b a x x y x b a x x ⎧=-+--⎪⎨=-+--⎪⎩，解得()()()12222121212224222x x b a x x x x x x x a b y +-⎧==⎪⎪⎨-++-+⎪===⎪⎩，即点()2,22a b b a P ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，则311142244ABP P S AB y a b ab =⋅=+≥⋅⋅= ，当且仅当1a b ==时等号成立，故选：C.9. 某三甲医院选定A 、B 、C 、D 、E ，5名医生到3所乡镇医院进行医疗扶持，每个医院至少一人，其中，A 与B 必须在同一医院，B 与C 一定不在同一医院.则不同的选派方案有（ ） A. 48种 B. 42种 C. 36种 D. 30种【答案】D 【解析】【分析】根据题意，分三种分堆情况进行讨论，先分类再分步，即可求得结果. 【详解】先把5人分为3堆，根据题意，则有如下三种情况：第一种：第一堆除了,A B 之外，还有一名医生，第二堆是C ，第三堆是1名医生， 则此时选派方案有：1323C A 12⋅=种；第二种：第一堆为,A B ，第二堆是C ，第三堆是剩余两名医生， 则此时选派方案有：2323C A 6⋅=种；第三种：第一堆为,A B ，第二堆是C 以及另外一名医生，第三堆是剩余的一名医生， 则此时选派方案有：1323C A 12⋅=种；的综上所述，所有选派方案有：1261230++=种； 故选：D.10. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点()3,9P -，则该双曲线的离心率为（ ）．A.B. 3C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据渐近线方程及离心率公式可得解.【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，又渐近线过点()3,9P -，即93b a-=-⨯，则3ba =，所以离心率c e a ====，故选：A.11. 已知函数()f x 为偶函数，满足()()12f x f x +=-，且20x -≤≤时，()2xf x =-，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=至少有两解，则a 的取值范围为（ ）． A. 1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B. [)10,3,3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦C. [)10,53,⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D. 1,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】根据函数的对称性与周期性，数形结合可得函数交点情况，进而确定方程解的情况. 【详解】由已知()()12f x f x +=-，则()()12f x f x =--，则()()22f x f x +=-， 可知函数()f x 为周期函数，最小正周期4T =，又当20x -≤≤时，()2xf x =-，可知函数()f x 的图象如图所示，且()f x 的值域为[]1,1-， 关于x 的方程()()log 10a f x x -+=至少有两解，可得函数()y f x =与函数()log 1a y x =+的图象至少有两个交点， 如图所示，可知当01a <<时，()1log 411log a aa +≥-=，解得15a ≤，即10,5a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 当1a >时，()log 211log a a a +≤=，解得3a ≥，即[)3,a ∞∈+， 综上所述[)10,3,5a ∞⎛⎤∈⋃+ ⎥⎝⎦，故选：C.12. 已知函数()4ln 2x f x x =+-的零点为1x ，()g x 存在零点2x ，使121||2x x -<，则()g x 不能是（ ）．A. 32()3232g x x x x =--+B. 11()42x x g x ---=-C. 5π()cos(12g x x =+ D. ()lg(51)g x x =+【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用零点存在性定理求出1x 的范围，再求出各选项中函数的零点即可判断得解. 【详解】函数()4ln 2x f x x =+-定义域为(0,)+∞，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，而1211(4ln 2ln 20,(1)2022f f =+-=-<=>，因此1112x <<，对于A ，由()0g x =，得(1)(1)(32)0x x x +--=，解得=1x -或23x =或1x =， 显然121||32x -<或11|1|2x -<，A 能；对于B ，由()0g x =，得211120422x x ⋅-⋅=，解得13x =，332233(2ln 22ln 2 2.5044f =+->+-=->，即11324x <<，1115163122x <-<<，B 能；对于C ，由()0g x =，得5πcos(012x +=，则5πππ,Z 122x k k +=+∈， 解得ππ,Z 12x k k =+∈，取π110,(,1243k x ==∈，11π16122x <-<，C 能； 对于D ，函数()lg(51)g x x =+在1(,)5-+∞上单调递增，(0)0g =，而1102x ->，D 不能.故选：D【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知单位向量12e e ⊥ ，向量122a e e λ=- ，122b e e =+ ，若a b ⊥，则实数λ＝________．【答案】1 【解析】【分析】利用向量垂直的性质即可求解.【详解】因为a b ⊥，所以()()()221212112222242220a b e e e e e e e e λλλλ⋅=-⋅+=+-⋅-=-=故1λ=. 故答案为：114. 已知521110x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含x 项的系数为k ，()10210012101kx a a x a x a x -=++++ .则1210a a a +++= ________. 【答案】1023 【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式，结合题意求得k ，再通过赋值法先求0a ，再求目标即可.【详解】521110x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()52103155111C C 1,0,1,2,51010rrr r r r r T xx r x --+⎛⎫=-=⋅-⋅= ⎪⎝⎭ ， 令3r =，则可得含x 项的系数()3351C 1110k =⨯⨯-=-，则()101kx -()101x =+， 对()101x +，令0x =，解得01a =；对()101x +，令1x =，解得10011021024a a a +++== ，故1210a a a +++= 102411023-=. 故答案为：1023.15. 某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后期更有效的教学，从参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直方图（如图）．其中，成绩分组区间为)[[60,70),70,80),80,90),9[0,100[，100,110),110,120),120,]130),130,14[[0),14[[0,150[．用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的估计值为________．【答案】114 【解析】【分析】利用频率分布直方图计算、估计数学成绩的中位数. 【详解】观察频率分布直方图，得数学成绩在区间[60,110)的频率为(0.010.0050.010.015)100.4+++⨯=，数学成绩在区间[60,120)的频率为0.40.025100.65+⨯=，因此数学成绩的中位数(110,120)m ∈，且(110)0.0250.1m -⨯=，解得114m =， 所以这次考试数学成绩的中位数的估计值为114. 故答案为：11416. 已知椭圆2221(1)x y a a+=>的上顶点为A ，B 、C 在椭圆上，△ABC 为等腰直角三角形，A 为直角，若这样的△ABC 有且只有一个，则该椭圆的离心率的取值范围为_______．【答案】⎛ ⎝【解析】【分析】设直线AB 方程为1y kx =+，直线AC 方程为11y x k=-+，求出弦长,AB AC ，根据AB AC =整理可得()()221110k k a k ⎡⎤-+-+=⎣⎦，由方程有唯一实数解可得1a <≤，然后可得离心率.【详解】由椭圆2221(1)x y a a+=>可知()0,1A ，易知，直线AB 与AC 的斜率存在且不为0，故可设直线AB 方程为1y kx =+，直线AC 方程为11y x k=-+， 联立22221y kx x a y a=+⎧⎨+=⎩消元得()2222120a k x a kx ++=， 解得22221B a kx a k =-+，同理，联立222211y x k x a y a⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩可解得2222C a kx a k =+， 由题知，AB AC =，222222221a k a k a k a k=++， 整理得()()221110k k ak ⎡⎤-+-+=⎣⎦，因为1k =为上述方程的根，所以，要使满足条件的△ABC 有且只有一个，方程()22110k a k +-+=没有实数解，或者有两个相等的根1k =.当()22Δ140a =--<时，解得1a <<，当()22Δ140a =--=时，解得a =()22110k a k +-+=的根为1.综上，1a <≤.所以，e ⎛= ⎝.故答案为：⎛ ⎝【点睛】求离心率的方法主要有：（1）定义法：根据题意求出a ，c ，然后由离心率公式直接求解；（2）齐次式法：根据题意或结合图形中的几何关系，求得222,,a b c 的关系式，利用222b a c =-消去2b ，然后两边同时除以2a 转化为关于e 的方程或不等式即可求解.三、解答题（共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.第22，23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17. 已知各项均为正数的等比数列{}n a ，满足132163a a +=，23642a a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21log nn ii b a ==∑，数列1{}n b 的前n 项和为n T ．求证：21n T -<≤-． 【答案】（1）12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）证明见详解. 【解析】【分析】（1）根据已知列方程组求出基本量，然后可得通项；（2）先根据等差数列求和公式求n b ，然后利用裂项相消法求n T 即可得证. 【小问1详解】记数列{}n a 的公比为q ，则211252611121632a a q a q a q a q⎧+=⎨⋅=⎩，解得112a q ==， 所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）可得，221log log 2nn a n ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以()()2111log2nnn i i i n n b a i ==+==-=-∑∑，所以()122211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭， 所以22222222221223111n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-+⋅⋅⋅+-=--=-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为*n ∈N ，所以2011n <≤+， 所以22211n -<-≤-+，即21n T -<≤-. 18. 已知△ABC 为钝角三角形，它的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且22ππsin sin sin()cos()36C B B B =+++，a c <，b c <．（1）求tan()A B +的值；（2）若△ABC的面积为，求c 的最小值． 【答案】（1（2）12【解析】【分析】（1）由三角恒等变换化简可得sin C ，再由同角三角函数的基本关系及诱导公式得解； （2）由三角形面积公式、余弦定理及重要不等式即可求解. 【小问1详解】因为222ππ1ππsin sin sin()cos()sin sin 2sin 36226C B B B B B ⎡⎤⎛⎫=+++=+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()22211113sin cos 2sin 12sin 22244B B B B ⎛⎫=++=+-+= ⎪⎝⎭，因为sin 0C >，所以sin C =由△ABC 为钝角三角形且a c <，b c <知，C 为钝角，所以1cos 2C =-，即tan C =，所以()tan()tan πtan A B C C +=-=-=【小问2详解】因为1sin 2ABC S ab C ===△， 所以48ab =，由余弦定理，222222cos 3144c a b ab C a b ab ab =+-=++≥=，当且仅当a b ==此时2c 的最小值为144，所以c 的最小值为12.19. 如图所示多面体EF ABCD -中，四边形ABCD 和四边形ACEF 均为正方形，棱AF BD ⊥，G 为EF 的中点.（1）求证：CE ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A CG B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）利用线面垂直判定定理证明AF ⊥平面ABCD ，再利用AF CE ∥即可证得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解二面角A CG B --的余弦值即可. 【小问1详解】证明： 四边形ABCD 和四边形ACEF 均为正方形.AF AC ∴⊥，又AF BD ⊥，且AC 与BD 是平面ABCD 上的两条相交直线.AF ∴⊥平面ABCD .由ACEF 为正方形，得AF CE ∥，CE ∴⊥平面ABCD .【小问2详解】由题意知，直线AB 、AD 、AF 两两互相垂直.分别以直线AB 、AD 、AF 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐系A xyz -.设2AB =，则AC =，于是，有()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D，(2,2,E，(0,0,F，(1,1,G ，(1,1,BG ∴=- ，()0,2,0BC = ，()2,2,0DB =-.设平面BCG 的一个法向量为()111,,n x y z =，则11111110020y n BG x y x n BC y ⎧=⎧⋅=-++=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅==⎪⎪⎩⎩，令11z =，得1x =所以()n =，AF DB ⊥ ，DB AC ⊥，AF AC A = ，,AF AC ⊂平面ACEF ，DB ∴⊥平面ACEF ，即DB ⊥平面ACG ()2,2,0DB ∴=-是平面ACG 的一个法向量.设二面角A CG B --的大小为α，结合图形，知α为锐角，2cos cos ,3n DB n DB n DBα⋅∴=====⋅，∴二面角A CG B --的余弦值为23. 20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)=>S x py p ，其焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线S 于A 和B 两点，16||3AB =，角60θ=︒（如图）．（1）求抛物线S 的方程；（2）在抛物线S 上是否存在关于直线l 对称的相异两点，若存在，求出该两点所在直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）24x y =；（2）不存在，理由见解析. 【解析】【分析】（1）求出直线l 的方程，与抛物线方程联立，结合抛物线定义及给定弦长求出p 即得. （2）假设存在符合要求的两点，并设出两点坐标，再利用对称思想列式求解判断即得. 【小问1详解】抛物线2:2S x py =的焦点(0,)2p F ，直线l方程为2py x =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由222py x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y得：22330x p --=，则12x x p +=，12125)3y y x x p p +=++=，128||||||3AB AF BF y y p p =+=++=，于是81633p =，解得2p =，所以抛物线S 的方程为24x y =. 【小问2详解】 由（1）知直线l：1y x =+， 假设在抛物线S 上存在关于直线l 对称的相异两点，设这两点坐标为221212(,(,44x x M x N x ，于是直线MN的斜率22121212144()4MNx x k x x x x -==+=-，解得12+=-x x 线段MN的中点0()y -在直线l 上，则01y =-，而0()y -应在线段AB 上，必有00y >与01y =-矛盾，所以在抛物线S 上不存在关于直线l 对称的相异两点.【点睛】思路点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12||AB x x p =++（或12||AB y y p =++），若不过焦点，则必须用一般弦长公式. 21. 已知函数()()()ln 1R 2kxf x x k x =++∈+. （1）若()f x 在其定义域上单调递增，求k 的取值范围； （2）证明：对n +∀∈N ，1111ln 21232n n n n++++<+++ . 【答案】（1）[)2,-+∞（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）考查已知带参函数的单调性求参数取值范围的问题，根据导数正负与函数单调递增的关系：函数()f x 单调递增()0f x '⇒≥恒成立，令导数()0f x '≥，过程中对参数k 进行分离参数得()()2221x k x +≥-+在()1,-+∞上恒成立，再将问题转化成研究具体函数()()()()22121x h x x x +=->-+的最值问题即可.（2）由（1）知，当2k =-时，()f x 在()1,-+∞上单调递增得()2ln 12xx x +>+，再根据所需求证不等式的特征令22x a x =+不等式变成2ln2a a a +>-，再根据所需依次令()1111,,,,1232a n n n n nN +=++∈+ 进行研究即可得到.小问1详解】由题()f x 的定义域为()1,-+∞，()()()()()()()()2222221111212k x kx x k x x x f x x x x '+-+++=+=>-++++， ()f x ()1,-+∞上单调递增时，()0f x '≥在()1,-+∞上恒成立，得()()22210x k x +++≥在()1,-+∞恒成立，即()()2221x k x +≥-+在()1,-+∞上恒成立，设()()()()22121x h x x x +=->-+，得()()()()()()()2222212212121x x x x x h x x x ++-++'=-⨯=-++，由()0h x '=，得0x =，或2x =-（舍去），当10x -<<时，()0h x '>，()h x 在()1,0-上单调道增；当0x >时，()0h x '<，()h x 在()0,∞+上单调递增，()h x ∴在0x =处取得极大值也是最大值，即()()max 02h x h ==-⎡⎤⎣⎦， 2k ∴≥-，()f x \在其定义域上单调递增时，k 的取值范围为[)2,-+∞.【小问2详解】由（1）知，当2k =-时，()f x 在()1,-+∞上单调递增.【在∴当2k =-，0x >时，()()()2ln 1002xf x x f x =+->=+，即()2ln 12x x x +>+.① 令22x a x =+，则22a x a =-，代入①，整理得2ln2a a a+>-.② 在②中，依次令()1111,,,,1232a n n n n nN +=++∈+ . 顺次得到231ln 211n n n +>++，251ln 232n n n +>++，271ln 253n n n +>++，…，411ln 412n n n+>-. 将以上各不等式两边分别相加并整理，得1111411ln ln 2ln 212322121n n n n n n n +⎛⎫++++<=-< ⎪+++++⎝⎭.证毕. 【点睛】方法点睛：导数与单调性关系：（1）在函数定义域内，不等式'()0f x >的解即为函数()y f x =的增区间；不等式'()0f x <的解即为函数()y f x =的减区间.（2）若函数()y f x =在区间(),a b （区间端点也可闭）内单调递增，则'()0f x ≥对(),x a b ∈恒成立；若函数()y f x =在区间(),a b （区间端点也可闭）内单调递减，则'()0f x ≤对(),x a b ∈恒成立.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写. [选修4-4：极坐标与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Γ的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求出直线l 的普通方程和曲线Γ的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线Γ相交于A 、B 两点，求|AB |的值．【答案】（1）直线l 的普通方程为30x y +-=，曲线Γ的直角坐标方程()2224x y -+=（2）AB =【解析】【分析】（1）利用消元法可得直线l 的普通方程，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得曲线Γ的直角坐标方程.（2）把直线l的参数方程1,2,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线Γ的直角坐标方程()2224x y -+=，利用韦达定理和弦长公式，即可得到结果. 【小问1详解】直线l的参数方程为1,2,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），相加消去t ，得其普通方程为30x y +-=， 曲线Γ的极坐标方程为4cos ρθ=，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，转化成直角坐标方程为()2224x y -+=.【小问2详解】设A 、B 两点对应的参数为12,t t ，把直线l的参数方程1,2,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入()2224x y -+=，得到210t ++=，12121t t t t +=-=， 故12AB t t =-==.[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数2()|2|2||f x x a x a=++-． （1）求()f x 的最小值；（2）若min [()]a f x =，求不等式(1)25f x x -≤+的解集． 【答案】（1）4（2）[]0,3 【解析】【分析】（1）根据绝对值不等式的性质及均值不等式求解即可； （2）分区间讨论去掉绝对值解不等式即可.【小问1详解】()244442222224f x x a x x a x x a x a a a a a a a =++-=++-≥++-=+=+≥, 当且仅当()42204x a x a a a ⎧⎛⎫+⋅-≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩时，即2a =±，11x -≤≤时等号成立，所以函数()f x 的最小值为4 【小问2详解】由（1）知，min [()]4a f x ==， 则2()24224124f x x x x x =++-=++-， 所以(1)2232f x x x -=++-25x ≤+，①当1x ≤-时，原不等式可化为：222325x x x ---+≤+， 即46x -≤，解得23x ≥-，又1x ≤-，故无解； ②当312x -<≤时，原不等式可化为：222325x x x +-+≤+， 即525x ≤+，解得0x ≥，又312x -<≤，所以302x ≤≤；③当32x <时，原不等式可化为：222325x x x ++-≤+，即26x ≤，解得3x ≤，又32x <，所以332x <≤.综上，不等式的解集为[]0,3.。

陕西省西安市八校2020届高三（6月份）高考数学（理科）联考试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合)(){|140}A x x x =+-<， {}2B x x =，则A B ⋂=（ ） A. ()1,4- B. ()1,2- C. ()2,4 D. ()1,3-2.已知数列{}n a 满足：120n n a a ++=，且22a =，则{}n a 前10项和等于（ ）A ．10123-B ．10123--C ．1021-D ．1012-3.已知i 为虚数单位，a R ∈，若复数(1)z a a i =+-的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，且5z z ⋅=，则z ＝（ ） A.12i -+B.12i --C.2i -D.23i -+4.已知m 、n 为不同的直线，α、β为不同的平面，给出下列命题：①//m n m n αα⊥⎧⇒⎨⊥⎩；②//m m n n ββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；③//m m ααββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；④////m n m n αβαβ⊂⎧⎪⊂⇒⎨⎪⎩． 其中的正确命题序号是（ ） A.②③B.①②③C.②④D.①②④5.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是（ ）A. f(x)=e |x|⋅cosxB. f(x)=ln|x|⋅cosxC. f(x)=e |x|+cosxD. f(x)=ln|x|+cosx6.设12,e e 是平面内两个不共线的向量，1212(1),2=-+=-AB a e e AC be e （a ＞0，b ＞0），若A ，B ，C 三点共线，则12a b+的最小值是（ ）A.2B.4C.6D.87.已知p ：a ＝±1，q：函数()ln(=f x x 为奇函数，则p 是q 成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知圆x 2+y 2=r 2(r >0)与抛物线y 2=2x 交于A,B 两点，与抛物线的准线交于C,D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则r 等于 ( )A. √22 B. √2 C. √52 D. √59.已知sinα、cosα是方程5x 2﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），则cos （α+4π）＝（ ）A.10B.﹣10D.10.对于函数f （x ）＝cos 2xx cos x ，x ∈R ，下列命题错误的是（ ） A.函数f （x ）的最大值是32B.不存在054,63ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭x 使得f （x 0）＝0 C.函数f （x ）在[6π，2π]上单调递减 D.函数f （x ）的图象关于点（512π，0）对称 11.已知2F ，1F 是双曲线22221(0,0)y xa b a b-=>>的上、下两个焦点，过1F 的直线与双曲线的上下两支分别交于点B ，A ，若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为()A.y =B.2y x =±C.y =D.6y x =±12.已知函数1()1,0x x f x xe x -≤=+>⎪⎩，点,A B 是函数()f x 图像上不同 两点，则AOB ∠（O 为坐标原点）的取值范围是（ ）A ．(0,)4πB ．(0,]4πC ．(0,)3πD ．(0,]3π第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13.已知实数x ，y 满足不等式组35024020x y x y y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+≥⎩，则z ＝x +y 的最小值为_____．14.从13、12、2、3、5、9中任取两个不同的数，分别记为m 、n ，则“log m n ＞0”的概率为_____．15.已知点A 、B 、C 在球心为O 的球面上，若AB ＝AC ＝5，BC ＝6，球心O 到截面ABC 的距离为1，则该球的表面积为_____．16.在ΔABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，D 是AB 的中点，若CD=1 且(a −12b)sinA =(c +b)(sinC −sinB)，则ΔABC 面积的最大值是___三、解答题（题型注释），四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点．（1）求证：//AF 平面PCE ；（2）若二面角P CD B --为45角，2AD =，3CD =，求PD 与平面PCE 所成角的正弦值．18.已知{a n }是各项都为正数的数列，其前n 项和为S n ，且22111,1n n a S S +=+＝． （1）求数列{S n }的通项公式；（2）设b n ＝(1)-nna ，求{b n }的前n 项和T n ．19.为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据(单位:h ).根据这100个样本数据，制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图(如图所示).（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数x 和样本方差2s (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s . （i ）求(0.88.3)P Z <<；（ii ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间(0.8,8.3)的人数为ξ，试求()E ξ.2.5≈，若Z ~()2,N μσ，()0.6827P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9545P Z μσμσ-<<+=.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为2√23，直线l 和椭圆C 交于A ，B 两点，当直线l 过椭圆C 的焦点，且与x 轴垂直时，|AB |=23. （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在与x 轴不垂直的直线l ，使弦AB 的垂直平分线过椭圆C 的右焦点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 21.已知常数0a >,函数()()2ln 12xf x ax x =+-+. (1)讨论()f x 在区间()0,+∞上的单调性;(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ,且()()120f x f x +>,求a 的取值范围. 22.在直角坐标系xOy 中，已知圆C ： 2{2x cos y sin θθ== (θ为参数)，点P 在直线l ：40x y +-=上，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）射线OP 交圆C 于R ，点Q 在射线OP 上，且满足2OP OR OQ =⋅，求Q 点轨迹的极坐标方程．23.已知函数f （x ）＝|x ﹣1|．（1）求不等式f （2x ）﹣f （x +1）≥2的解集．（2）若a＞0，b＞0且a+b＝f（322．参考答案1.C【解析】1.()()=1,4,2,4A A B -∴⋂= ,选C.2.B【解析】2.试题由题意得，120n n a a ++=，则12n na a +=-，即数列为公比为2-的等比数列，又22a =，所以11a =-，所以{}n a 前10项和等于1010110(1)1213a q S q --==--，故选B ．3.A【解析】3.由题意可得()2215a a +-=，解得1a =-或2a =，据此可知12i z =-+或2i z =-，结合共轭复数的特征确定z 的值即可.由5z z ⋅=可得()2215a a +-=，解得1a =-或2a =， 所以12z i =-+或2z i =-，因为z 在复平面内对应的点位于第三象限，所以12z i =-+． 故选：A. 4.A【解析】4.由线面的位置关系可判断命题①的正误；由线面垂直的性质可判断命题②③的正误；由线线的位置关系可判断命题④的正误.综合可得出结论.对于命题①，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，命题①错误；对于命题②，若m β⊥，n β⊥，由线面垂直的性质可知//m n ，命题②正确； 对于命题③，若m α⊥，m β⊥，由线面垂直的性质可知//αβ，命题③正确；对于命题④，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 无公共点，所以，m 与n 平行或异面，命题④错误. 故选：A. 5.D【解析】5.根据函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.对于A,B 两个选项，f (π2)=0，不符合图像，排除A,B 选项.对于C 选项，f (1)=e +cos1>1，不符合图像，排除C 选项，故选D.6.B【解析】6.根据,,A B C 三点共线，求得a 与b 关系，然后利用基本不等式求解. 因为0,0a b >>，若,,A B C 三点共线，设AB AC λ=， 即()1212(1)2a e e be e λ-+=-, 因为12,e e 是平面内两个不共线向量， 所以112a bλλ-=⎧⎨=-⎩，解得11,122a b λ=--=-， 即112a b +=， 则1212121122b a a b a b a b a b⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,2224≥+=+=， 当且仅当22b a a b=，即2b a =，即11,24a b ==时取等号，故最小值为4， 故选：B. 7.B【解析】7.根据函数()ln(=f x x 为奇函数，可得1a =，根据必要不充分条件的概念可得答案.由函数()ln(=f x x 为奇函数，得()()f x f x -=-，所以(ln ln x x ⎡-=-⎣，所以()22ln 0a x x+-=，所以ln 0a =，所以1a =，即:1q a =，所以p 是q 成立的必要不充分条件. 故选：B. 8.C【解析】8.画出图形，由四边形ABCD 是矩形可得点A,D 的纵坐标相等．根据题意求出点A,D 的纵坐标后得到关于r 方程，解方程可得所求． 由题意可得，抛物线的准线方程为x=−12．画出图形如图所示．在x 2+y 2=r 2(r >0)中，当x =−12时，则有y 2=r 2−14．① 由y 2=2x 得x =y 22，代入x 2+y 2=r 2消去x 整理得y 4+4y 2−4r 2=0．②结合题意可得点A,D 的纵坐标相等，故①②中的y 相等， 由①②两式消去y 2得(r 2−14)2+4(r 2−14)−4r 2=0， 整理得16r 4−8r 2−15=0，解得r 2=54或r 2=−34（舍去）， ∴r=√52．故选C ． 9.D【解析】9.根据韦达定理可得sin cos 5αα+=，2sin cos 5αα⋅=-，结合(0,)απ∈，可得cos sin 0αα-<，根据两角和的余弦公式可得cos()(cos sin )42πααα+=-=.因为sinα、cosα是方程5x 2﹣2＝0的两个实根，所以sin cos αα+=2sin cos 5αα⋅=-，因为(0,)απ∈，且sin cos 0αα⋅<，所以sin 0α>且cos 0α<， 所以cos sin 0αα-<，所以cos()cos cossin sin444πππααα+=-(cos sin )2αα=-=====. 故选：D. 10.D【解析】10.应用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质判断各选项．由已知1cos 21()2sin 2262x f x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， ()f x 的最大值是32，A 正确． 054,63ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，11172,666x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，1sin 262x π⎛⎫+>- ⎪⎝⎭，()0f x =无解，B 正确；[,]62x ππ∈时，72626x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，()f x 递减，C 正确；5111sin 012222f ππ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，()f x 图象关于点51122π⎛⎫⎪⎝⎭，对称，D 错．故选：D ． 11.D【解析】11.根据双曲线的定义算出△12AF F 中，1||2AF a =，2||4AF a =，由2ABF ∆是等边三角形得12120F AF ∠=︒，利用余弦定理算出227c a =，结合双曲线渐近线方程即可的结论．根据双曲线的定义，可得12||||2BF BF a -=，2ABF ∆是等边三角形，即2||||BF AB =，由12||||2BF BF a -=，即11||||||2BF AB AF a -==， 又21||||2AF AF a -=， 21||||24AF AF a a ∴=+=，△12AF F 中，1||2AF a =，2||4AF a =，12120F AF ∠=︒，222121212||||||2||||cos120F F AF AF AF AF ∴=+-︒， 即222214416224()282c a a a a a =+-⨯⨯⨯-=，解得227c a =，则b =，由此可得双曲线C 的渐近线方程为bx y a=±=，即6y x =±． 故选：D ．12.A【解析】12.试题分析：当x ≤0时，由y =2291y x -=，（x ≤0），此时对应的曲线为双曲线，双曲线的渐近线为y=-3x ，此时渐近线的斜率1k =-3， 当x ＞0时，()11x f x xe -=+，当过原点的直线和f （x ）相切时，设切点为()1,1a a ae -+，函数的导数()()'1111x x x fx e xe x e ---=+=+，则切线斜率()()'121a k f a a e -==+，则对应的切线方程为()()()1111a a y ae a e x a ---+=+-，即()()()1111a a y a e x a ae --=+-++，当x=0，y=0时，()()()11110a a a e x a ae --+-++=， 即21111a a a a e ae ae ---+=+，即211a a e -=，得a=1，此时切线斜率22k =， 则切线和y=-3x 的夹角为θ， 则32tan 1123θ--==-⨯，则4πθ=，故∠AOB （O 为坐标原点）的取值范围是(0,)4π13.13-【解析】13.作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC 及其内部，再将目标函数z x y =+对应的直线进行平移，可得当1x y ==时，z x y =+取得最小值．解：作出不等式组35024020x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪+⎩表示的平面区域：得到如图的阴影部分，由2350y x y =-⎧⎨-+=⎩解得(11,2)B --设(,)z F x y x y ==+，将直线:l z x y =+进行平移，当l 经过点B 时，目标函数z 达到最小值，()11,213z F ∴=--=-最小值． 故答案为：13-14.715.【解析】14.根据对数的性质、排列知识和古典概型的概率公式可得结果. 因为log 0m n >等价于1m 且1n >，或01m <<且01n <<， 从13、12、2、3、5、9中任取两个不同的数，共可得到2630A =个对数值， 其中对数值为正数的有222421214A A +=+=个，所以“log m n ＞0”的概率为1473015=. 故答案为：715. 15.68916π【解析】15.由正弦定理求出△ABC 外接圆半径后由勾股定理求得球半径，从而得球表面积． △ABC 中∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，∴3cos 5B =，∴4sin 5B =，设△ABC 外接圆半径为r ，则52524sin 45AC r B ===，258r =， 设球半径为R，则8R ==，表面积为2689689446416S R πππ==⨯=． 故答案为：68916π． 16.√155【解析】16.由题意及正弦定理得到a 2+b2−c 2=ab 2，于是可得cosC =14，sinC =√154；然后在ΔCDA 和ΔCDB 中分别由余弦定理及∠CDA +∠CDB =π可得c 2=2(a 2+b 2)−4．在此基础上可得a 2+b 2+ab 2=4，再由基本不等式得到ab ≤85，于是可得三角形面积的最大值． 如图，设∠CDA=θ，则∠CDB =π−θ,在ΔCDA 和ΔCDB 中，分别由余弦定理可得cosθ=c 24+1−b 2c,cos(π−θ)=c 24+1−a 2c，两式相加，整理得c 22+2−(a 2+b 2)=0，∴c 2=2(a 2+b 2)−4．①由(a−12b)sinA =(c +b)(sinC −sinB)及正弦定理得(a −12b)a =(c +b)(c −b)，整理得a 2+b2−c 2=ab 2，② 由余弦定理的推论可得cosC =a 2+b 2−c 22ab=14，所以sinC =√154．把①代入②整理得a 2+b 2+ab 2=4，又a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时等号成立，所以4≥2ab +ab 2=5ab 2，故得ab≤85． 所以S ΔABC=12absinC ≤12×85×√154=√155．即ΔABC 面积的最大值是√155．故答案为√155．17.（1）证明见解析；（2.【解析】17.（1）取PC 的中点M ，连接EM 、FM ，推导出四边形AEMF 为平行四边形，可得出//AF EM ，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（2）证明出CD ⊥平面PAD ，可得出二面角P CD B --的平面角为45ADP ∠=，进而得出2PA =，然后以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出直线PD 与平面PCE 所成角的正弦值. （1）如下图所示，取PC 的中点M ，连接EM 、FM ， 在矩形ABCD 中，//AB CD 且AB CD =，F 、M 分别为AD 、AC 的中点，//FM CD ∴且12FM CD =， E 为AB 的中点，//AE CD ∴且12AE CD =，//AE FM ∴且AE FM =， 所以，四边形AEMF 为平行四边形，则//AF EM ，AF ⊄平面PCE ，EM ⊂平面PCE ，//AF ∴平面PCE ；（2）PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，CD PA ∴⊥，四边形ABCD 为矩形，则CD AD ⊥，PA AD A =，CD 平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，CD PD ∴⊥，所以，二面角P CD B --的平面角为ADP ，45ADP ∴∠=， 易知PA AD ⊥，则PAD △为等腰直角三角形，且2PA AD ==，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()3,2,0C 、()0,2,0D、3,0,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()002P ,,， 3,0,22EP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，3,2,02EC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,2,2PD =-，设平面PCE 的一个法向量为(),,n x y z =，由00n EC n EP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得32023202x y x z ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令4x =，则3y =-，3z =，得()4,3,3n =-，cos ,17n PD n PD n PD⋅<>==-=-⋅.因此，PD 与平面PCE 所成角的正弦值为17. 18.（1）=n S ；（2）(1)n T =-【解析】18.（1）根据等差数列的定义进行求解即可； （2）根据（1）的结论、公式11,1,2,n nn S n a S S n n N *-=⎧=⎨-≥∈⎩求出数列{}n b 的通项公式，再根据分母有理化运用裂项相消法、分类讨论进行求解即可. （1）因为S n +12＝S n 2+1，所以数列{S n 2}是以S 12= a 12=1为首项，公差为1的等差数列，因此221(1)111n S S n n n =+-⋅=+-=，因为{a n }是各项都为正数的数列，所以=n S ；（2）由（1）知：n S ，当2,n n N *≥∈时，1-=-n n n a S S当1n =时，111a S ==适合上式，所以=n a(1)(1)n nn n n b a -===-，当n 为奇数时，1231n n n T b b b b b -=+++++11)[([n =-++-++-+-=当n 为偶数时，1231n n n T b b b b b -=+++++11)[[(n =-++-++-+=综上所述：(1)n T =-19.（Ⅰ）平均数5.85；样本方差6.16；（Ⅱ）（i ）0.8186；（ii ）4093.【解析】19.（Ⅰ）利用频率分布直方图的小矩形的中间数据，代入平均数和样本方差公式即可得解； （Ⅱ）利用正态分布的图像与性质以及二项分布的期望，即可得解. （Ⅰ）这100名学生每周平均锻炼时间的平均数为10.0530.250.370.2590.15110.05 5.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.2222222(1 5.8)0.05(3 5.8)0.2(5 5.8)0.3(7 5.8)0.25(9 5.8)0.15(11 5.8)0.05s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯6.16=.（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）知~(5.8,6.16)Z N ， 即()2~ 5.8,2.5Z N ，从而(0.88.3)(5.85 5.8 2.5)(2)P Z P Z P Z μσμσ<<=-<<+=-<<+1()[(22)()]0.81862P Z P Z P Z μσμσμσμσμσμσ=-<<++-<<+--<<+=（ii ）由（i ）可知，~(5000,0.8186)B ξ，故()50000.81864093E np ξ==⨯=. 20.（1）x 29+y 2=1；（2）不存在.【解析】20.（1）列a,b,c 的方程组即可求解；（2）设直线l 的斜率为k(k <0)，直线FP 的斜率为k′，由点差法得kk′=09(x −22)=−1，得x 0=9√24推出矛盾即可（1）由题意:点（c,±13）在椭圆上，故{c a =2√23c 2a 2+19b 2=1c 2=a 2−b 2，∴a 2=9，b 2=1，∴椭圆C的标准方程为：x 29+y 2=1；（2）（点差法）：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，AB 的中点为P(x 0,y 0)，椭圆C 的右焦点为F(2√2,0)，直线l 的斜率为k(k <0)，直线FP 的斜率为k′，则：{x 12+9y 12=9x 22+9y 22=9，∴(x 1−x 2)(x 1+x 2)+9(y 1−y 2)(y 1+y 2)=0，∴k =y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 29(y 1+y 2)=−x 09y 0，k′=0x −2√2，∴kk′=−09(x −2√2)=−1，即：x 0=9√24∉(−3,3)，故不存在.21.(1)详见解析 (2) 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】21.试题分析:(1)首先对函数()f x 求导并化简得到导函数()'f x ,导函数的分母恒大于0,分子为含参的二次函数,故讨论分子的符号,确定导函数符号得到原函数的单调性,即分0∆≤和0∆>得到导函数分子大于0和小于0的解集进而得到函数的单调性.(2)利用第(1)可得到当01a <<时,导数等于0有两个根,根据题意即为两个极值点,首先导函数等于0的两个根必须在原函数()f x 的可行域内,把12,x x 关于a 的表达式带入()()120f x f x +>,得到关于a 的不等式,然后利用导函数讨论a 的取值范围使得()()120f x f x +>成立.即可解决该问题.(1)对函数()f x 求导可得()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x --=++,因为()()2120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时, ()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调递增,当1a ≤时,()'0f x x =⇒=,则函数()f x在区间⎛ ⎝⎭单调递减,在⎫⎪+∞⎪⎝⎭单调递增的.(2)解:(1)对函数()f x 求导可得()()24'12a f x ax x =-++ ()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x --=++,因为()()2120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时, ()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调递增,当1a <时, ()'0f x x =⇒=,则函数()f x在区间⎛ ⎝⎭单调递减,在⎫⎪+∞⎪⎝⎭单调递增的.(2)函数()f x 的定义域为1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭,由(1)可得当01a <<时,()'0f x x=⇒=,则 1a>-⇒ 12a ≠,即110,,122a ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()f x 的两个极值点,代入()()120f x f x +>可得()()[12ln 1ln 1f x f x ⎡+=++--⎣ ()()41ln 14121a a a a -⎡⎤=---⎣⎦-= ()22ln 12221a a -+--令21a t -=,令()22ln 2g t t t =+-,由110,,122a ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知: 当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, ()1,0t ∈-,当1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, ()0,1t ∈,当()1,0t ∈-时, ()()22ln 2g t t t=-+-,对()g t 求导可得()()222122'0t g t t t t -=-=<,所以函数()g t 在()1,0-上单调递减,则()()140g t g <-=-<,即()()120f x f x +<不符合题意.当()0,1t ∈时, ()22ln 2g t t t=+-,对()g t 求导可得()()222122'0t g t t t t -=-=<,所以函数()g t 在()0,1上单调递减,则()()10g t g >=,即()()120f x f x +>恒成立,综上a 的取值范围为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. 22.（1）2ρ=, 4sin cos ρθθ=+；（2）812sin ρθ=+.【解析】22.试题分析：（1）圆2:{(2x cos C y sin θθθ==为参数），利用平方法消去参数可得直角坐标方程： 224x y +=，利用互化公式可得圆C 的极坐标方程以及直线l 的极坐标方程；（2）)设,,P Q R 的极坐标分别为()()()12,,,,,ρθρθρθ，由124,2sin cos ρρθθ==+，又2OP OR OQ =⋅，即可得出.试题解析：（1）圆C 的极坐标方程2ρ=，直线l 的极坐标方程ρ＝.(2)设,,P Q R 的极坐标分别为()()()12,,,,,ρθρθρθ，因为124,2sin cos ρρθθ==+又因为2OP OR OQ =⋅，即 212ρρρ=⋅()21221612sin cos ρρρθθ∴==⨯+， .23.（1）(][),13,-∞-+∞；（2）证明见解析；【解析】23.（1）去掉绝对值符号，利用分类讨论思想求解不等式的解集即可．（2≤22≤成立，利用分析法证明求解即可．解：（1）因为f （x ）＝|x ﹣1|，所以()()10121211302112x x f x f x x x x x x x ⎧⎪-≤⎪⎪-+=--=-⎨⎪⎪-≥⎪⎩，，＜＜，，由f （2x ）﹣f （x +1）≥2得：012x x ≤⎧⎨-≥⎩，或102132x x ⎧⎪⎨⎪-≥⎩＜＜，或121 2.x x ⎧≥⎪⎨⎪-≥⎩，解得x ≤﹣1或x ∈∅或x ≥3，所以不等式的解集为：(][),13,-∞-+∞．（2）a +b ＝f （3）＝2，又a ＞0，b ＞0， ≤ 只需证22≤成立， 即证28a b +++，2成立，因为a ＞0，b ＞0()()1122a b +++≤=成立，当且仅当1a b ==时取等号， 故命题得证．。

陕西省西安地域高三数学文科八校联考试卷人教版陕师大附中 西 安 中 学 西安交大附中 西安市 83 中长安一中 西安高新一中 西安铁一中 西工大附中本试卷分第 I 卷和第 II 卷。

第 I 卷为选择题，第 II 卷为非选择题。

第Ⅰ卷（选择题共60分）参照公式：假如事件 A 、 B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)假如事件 A 、 B 互相独立，那么P(A ·B)=P(A) ·P(B)假如事件 A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰巧发生 k 次的概率P n (k) C n k P k (1 P) n k球的表面积公式 S4 R 2此中 R 表示球的半径球的体积公式V 球 4 R 3此中 R 表示球的半径3一、选择题（本大题共12 小题，每题5 分，共 60 分 . 每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1．若 sin2 α <0，且 tan α· cos α<0，则角α在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设 p 和 q 是两个简单命题，若p 是q 的充足不用要条件，则q 是 p 的（）A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件3．设 M 为非空的数集M{1，2， 3} ，且 M 中起码含有一个奇数元素，则这样的会合M 共有（）A ．6 个B ．5 个C ．4 个D ．3 个4．如图 1 所示，正三棱柱ABC — A 1B 1C 1 的底面边长为 2，高为 4，过底面的边AB 作一截面交侧棱 CC 1 于 P 点，且截面与底面成 60°角，则截面△ PAB 的面积是（ ）A ．33B ．32 22C ． 23D ． 325．若 ( x2 ) n 的睁开式的第 5 项是常数项，则正整数 n 的值x为（ ）A ． 12B ． 13C ． 14D ． 156．某学习小组共 8 名同学，此中男生 6 人女生 2 人 . 现从中抽取 3 名男生 1 名女生参加某项活动，则不一样的抽取方法共有（ ） A ． 240 种 B ．80 种 C ．70 种D ．40 种7．设 P 为△ ABC 所在平面内一点，且知足 PA PBPB PCPC PA ，则 P 是△ ABC的（）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．心里x 3, 且z 2x 4 y 获得的最小值为－ 6，则常数 m 的值为8．已知实数 x 、 y 知足ymx 0,专心 爱心 专心116 号编写1（）A．－ 2B． 0C．2D．59．已知 m、 n 为两条不一样的直线，α、β为两个不一样的平面，若m⊥α ,n ⊥β，则以下命题不正确的选项是（）．．．A．若 m//n ，则α⊥βB．若α⊥β，则m⊥ nC．若 m、 n 订交，则α、β订交D．若α、β订交，则m、n 订交10．已知函数f(x)=a x(a>0，且a≠1)，若f－1(2)<0，则函数y=f－1(x+1)的图象中可能是（）11．若椭圆x 2y21(a b0) 的左、右焦点分别为F1、 F2，线段F1F2被抛物线2的a2 b 2y =2bx焦点 F 分红 3：1 两段，则此椭圆的离心率为（）A．1B． 2 C．1D．3 223312．设a=sin15 ° +cos15 °， b=sin17 ° +cos17 °，则以下各式正确的选项是（）A．a< a 2 b 2<b B．b< a 22b2<a C．a<b<a2b2D． b<a<a2 b 2222第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共 4 小题，每题 4 分，共16 分 . 把答案填在题中横线上）13．棱长为a的正方体的内切球的体积为.14．已知圆 C：x2+y2－ 2x+4y=0，则过原点 O且与圆 C 相切的直线方程为.1( x0),15．设函数f ( x)x若 f (m)m, 则实数m的取值范围是.3 x1,2用区间形式表示）16．黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图 2 所示产的规律拼成若干个图案：专心爱心专心116 号编写2则第 n 个图案中有白色地砖块.三、解答题（本大题共 6 小题，共74 分 . 解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤）17．（本小题满分12 分）72 , cos2 7 , 求sin及tan() 的值.已知 sin()41025318．（本小题满分12 分）从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲竞赛，求：（Ⅰ）所选 3 人中恰有 1 名女生的概率；（Ⅱ）所选 3 人中起码有 1 名女生的概率 .19．（本小题满分12 分）在数列 {a n} 中， a1=2， a2=3，且 {a n· a n+1}(n ∈N*) 是以 3 为公比的等比数列，记b n=a2n－1+a2n (n ∈ N*).（Ⅰ）分别求a3、 a4、 a5、 a6的值；（Ⅱ）求证： {b n} 是等比数列 .20．（本小题满分12 分）如图 3，四棱锥P— ABCD的底面边长为 1 的正方形， PD⊥ BC，且 PD=1， PC= 2 .（Ⅰ）求证： PD⊥平面 ABCD；（Ⅱ）求二面角A— PB— D 的大小 .专心爱心专心116 号编写321．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x)a x 3 2x 23条切线 l 与直线 2x +y=0 平行 .（Ⅰ）求 a 的值及切线 l 的方程；（Ⅱ）求函数 f ( x ) 的极大值和极小值2x(a R) ，在曲线 y=f ( x ) 的全部切线中， 有且仅有一.22．（本小题满分 14 分）如图 4，在矩形 ABCD 中，已知 A （ 2，0）、 C （－ 2，2），点 P 在 BC 边上挪动，线段 OP的垂直均分线交 y 轴于点 E ，点 M 知足 EMEO EP.（Ⅰ）求点 PM 的轨迹方程；（Ⅱ）已知点 F （ 0， 1），过点 F 的直线 l 交点2M 的轨迹于 Q 、R 两点，且 QF FR, 务实数的取值范围 .专心 爱心 专心 116 号编写 4[ 参照答案 ]一、选择题（每题5 分，共 60 分）1.D2.A3.B4.C5.A6.D7.B8.B9.D 10.A11.B 12.C二、填空题（每题 4 分，共 16 分） 13 ．1a214.6三、解答题（共 74 分）y1x 15.(－∞，－ 1) ∪（ 2， +∞） 16.4n+2217． sin() 7 2 , cos2 7 ，4 1025sincos7 ，①53 分cos 2sin 27.25将①代入②，得 sin1cos5由①、③得 sin3, cos 455tansin 3 cos4②. ③5 分 ③7 分9 分3348 25 3故tan()412 分3 113 1 ( )3418．（ I ）设所选 3 人中恰有 1 名女生为事件 A ，则P( A)C 21 C 42 2 6 36 分C 63205（ II ）设所选人中起码有 1 名女生为事件 B ，则所选 3 人中没有女生为事件B .8 分P(B)C 434 110 分C 63205P(B)1 P( B)412 分519．（ I ）∵ {a· a } 是公比为n 3 的等比数列，n+1n － 1n∴ a · a =a a · 3 =2·3n n+11 2∴ a 32 326, a 4 2 329a 2a 3a 52 34 18,a 62 35276 分a 418专心 爱心 专心 116 号编写5（II ）∵ {a n a n+1} 是公比为 3 的等比数列，∴ a a =3a a ，即 a =3an －13 分n n+1 n －1 n n+1∴ a ， a ，a ， ， a， 与 a ， a ， a ， ， a ， 都是公比为3 的等比数列 .1352n －12462n∴ a 2n － 1=2· 3n －1， a 2n =3· 3n －110 分∴ bn=a 2n － 1+a 2n =5·3n －1故 {b n } 是首项为 5，公比为 3 的等比数列 .12 分20．（Ⅰ）∵ PD=CD=1， PC= 2222（3 分） ∴PD+CD=PC ，即 PD ⊥ CD.又 PD ⊥ BC.BC ∩ CD=C ∴ PD ⊥平面 ABCD （6 分）（Ⅱ）如图，连接 AC 交 BD 于 O ，则 AC ⊥ BD.∵PD ⊥平面 ABCD ，∴PD ⊥ AC.∴AC ⊥平面 PBD.（8 分）过 O 点作 OE ⊥ PB 于 E ，连接 AE ，则 AE ⊥ PB ，故∠ AEO 为二面角 A — PB — D 的平面 角.（10 分）由 Rt △ OEB ∽ Rt △ PDB ，得OE=PD OB6 . PB6∴ tan ∠ AEO=AO3, 即∠ AEO=60°（12 分）OE21．（ I ）∵切线 l 与直线 2x+y=0 平行，∴ f ′ (x)=ax 2+4x+2=－ 2，即 ax 2+4x+4=0.2 分又这样的切线 l 仅有一条，∴△ 16－ 16=0, 得 a=1.将 a=1 代入 ax 2+4x+4=0，得 x=－ 2. 进而 y=4, 即切点坐标为（－2，4） .33故 l ： y －4=2(x+2) ，即 6x － 3y+16=0.6 分3（ II ） f ′ (x)=x 2+4x+2由 f ′(x)>0，得 x< － 2－ 2 或 x>－ 2+ 2 .∴函数 f(x) 在（－∞，－ 2－ 2 ]和[－2+ 2 ， +∞ ) 上单一增，在 [ － 2－ 2 ，－ 2+ 2 ] 上单一递减 .9 分故 f(x)极大=f( － 2－ 2 )=4 2 ) ；(1+3f(x) 极小 =f( － 2+ 2 )= 4(1 － 2 ).12 分322．（ I ）依题意，设 P （t,2 ）（－ 2≤ t ≤ 2）， M （ x ，y ） .当 t=0 时，点 M 与点 E 重合，则 M=（ 0， 1）；1 分专心 爱心 专心116 号编写6当 t ≠0 时，线段 OP 的垂直均分线方程为y1t( x t).22令 x0,得 y t24,即 E(0, t24)3分44由EMEO EP 得 ( x, yt24t24t244)(0,) (t ,2)44x t4.消去 t, 得 x 2yt 24( y 1)5分24明显，点（ 0，1）合适上式。

陕西省西安市八校高三数学联考（三）试题 文 新人教A 版【会员独享】第Ⅰ卷 （选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =（ ）A. 2-B. 2C. 1-D. 1 2. 已知直角ABC ∆中，(1,1),(2,)AB AC k ==，则实数k 的值为（ ）A. 0B. 2-或0C. 2-D. 23. 已知条件:p 关于x 的不等式210x mx ++>（m R ∈）的解集为R ；条件:q 指数函数()f x (3)x m =+为增函数， 则p 是q 的（ ）A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A.23 B. 13Ｃ. 2 D. 15. 某同学忘记了自己的QQ 号，但记得QQ 号是由一个2，一个5，两个8组成的四位数，于是用这四个数随意排成一个四位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ 号最多尝试次数为（ ） A. 18 B. 24 C. 6 D. 126. 若函数21()log ()2a f x x ax =-+有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A. 2) B. 2,)+∞ C. (0,1) D. (0,1)(1,2)7. 在数列{}n a 中，已知11a =，25a =，21n n n a a a ++=-（*n N ∈），则2007a =（ ） A. 4 B. 1- C. 1 D. 58. 如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>及两条直线2212:,a a l x l c c=-=，其中22c a b =-12,l l 分别交x 轴与,C D 两点。

从1l 上一点A 发出一条光线经过椭圆的左焦点F 被x 轴反射后与2l 交于点B 。

陕西省西安地区八校2025届高三第三次测评数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是( ) A ．29B ．30C ．31D ．322．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（ ） A ．254+B ．9C ．7D ．252+3．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、，已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则2cos sin 2αα+=（ ）A ．35B ．45C ．1D ．854．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，()2xf x x m =++（m 为实数），则关于x 的不等式()212f x -<-<的解集是（ ）A ．()0,2B ．()2,2-C ．()1,1-D ．()1,35．如图，点E 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）A ．在点F 的运动过程中，存在EF //BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值6． “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是（ ）A ．165B ．325C ．10D ．1857．如图，在ABC ∆中， 13AN AC =，P 是BN 上的一点，若23mAC AP AB =-，则实数m 的值为（ ）A ．13B ．19C ．1D ．28．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i -B ．iC ．1D ．1-9．各项都是正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠，且2311,,2a a a 成等差数列，则3445a a a a ++的值为( )A．152-B．512+C．512-D．512+或512-10．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW，达到114.6GW，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（）A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B．10年来全球新增装机容量连年攀升C．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过1 311．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图（例如：2017年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占40%、27%、33%），根据该图，以下结论一定正确的是（）A．2019年该工厂的棉签产量最少B．这三年中每年抽纸的产量相差不明显C．三年累计下来产量最多的是口罩D．口罩的产量逐年增加12．已知A ，B 是函数()2,0ln ,0x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩图像上不同的两点，若曲线()y f x =在点A ，B 处的切线重合，则实数a 的最小值是（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

陕西省西安市八校2021届高考数学联考试卷(理科)(一)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知集合A ={x|x <−1或x ≥3}，则∁R A 等于( )A. {x|x <3}B. {x|x >−1}C. {x|−1≤x <3}D. ⌀2.下列函数为偶函数且在[0,+∞)上为增函数的是( )A. y =xB. y =x 2C. y =2xD. y =−x 23.下列各式中，值为的是( )A. sin15cos15B.C.D.4.将正整数排列如下：则在表中数字2013出现在( )A. 第44行第78列B. 第45行第78列C. 第44行第77列D. 第45行第77列5.双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，直线x =a 2c与两条渐近线分别交于P ，Q 两点，若△PFQ 是直角三角形，则双曲线的离心率为( )A. √2B. 2C. 2√33D. 536.把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量．设e⃗ =(A,B)是直线l 的一个方向向量，那么n ⃗ =(−B,A)就是直线l 的一个法向量．借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直线的距离．已知P 是直线l 外一点，n ⃗ 是直线l 的一个法向量，在直线l 上任取一点Q ，那么PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 在法向量n ⃗ 上的投影向量为(|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ)·n⃗⃗ |n ⃗⃗ |(θ为向量n ⃗ 与PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角)，其模就是点P 到直线l 的距离d ，即d =|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |.据此，请解决下面的问题：已知点A(−4,0)，B(2,−1)，C(−1,3)，则点A 到直线BC 的距离是 ( )A. 8B. 7C. 275D. 2157.已知直线l 经过点P(1,1)，倾斜角α=π6，设直线l 与圆x 2+y 2=4相交于A ，B 两点，则点P 与A ，B 两点的距离之积为( )A. 1B. 2C. √3+1D. 48.有如下命题：命题p ：设集合M ={x|0<x ≤3}，N ={x|0<x ≤2}，则“a ∈M ”是“a ∈N ”的充分而不必要条件；命题q ：“∃x 0∈R ，x 02−x 0−1>0”的否定是“∀x ∈R ，x 2−x −1≤0”，则下列命题中为真命题的是( )A. p ∧qB. p ∧(￢q)C. p ∨qD. p ∨(￢q)9.函数y =2sinx +cosx ，当x =φ时函数取得最大值，则cosφ=( )A. √55B. 2√55C. 2√23D. 1310. 若圆柱的底面半径是1，其侧面展开是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是( )A. 4π2B. 3π2C. 2π2D. π211. (x +1)4的展开式中x 2的系数为( )A. 4B. 6C. 10D. 2012. 函数f(x)在定义域R 内可导，f(x)=f(2−x)，当x ∈(1,+∞)时，(x −1)f′(x)<0，设a =f(log 32)，b =f(log 52)，c =f(log 25)，则( )A. c <a <bB. c <b <aC. a <b <cD. b <a <c二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若抛物线上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到轴的距离为______________ ．14. 若复数z =a 2−1+(a +1)i(a ∈R)是纯虚数，则a =_____ ；|z|=_____ ．15. 安排5个党员(含小吴)去3个不同小区(含M 小区)做宣传活动，每个党员只能去1个小区，且每个小区都有党员去宣传，其中至少安排2个党员去M 小区，但是小吴不去M 小区，则不同的安排方法数为______ ．16. 若实数x ，y 满足{x +y ≥02x −y ≥0x ≤1，则z =3x +2y 的最大值是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设复数z n =x n +i ⋅y n ，其中x n y n ∈R ，n ∈N ∗，i 为虚数单位，z n+1=(1+i)⋅z n ，z 1=3+4i ，复数z n 在复平面上对应的点为Z n ． (1)求复数z 2，z 3，z 4的值；(2)是否存在正整数n 使得OZ n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出所有满足条件的n ；若不存在，请说明理由；(3)求数列{x n ⋅y n }的前102项之和．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA =AB =2，E 为PE 中点． (Ⅰ)证明：PB//平面AEC ； (Ⅱ)证明：平面PCD ⊥平面PAD ； (Ⅲ)求EA 和平面ABCD 所成的角； (Ⅳ)求二面角E −AC −D 的正切值．19. 设F 1(−c,0)、F 2(c,0)分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个定点，同时满足如下三个条件：(1)PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0；(2)tan∠PF 1F 2=√312；(3)PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为2√3．(Ⅰ)求椭圆的离心率及椭圆方程；(Ⅱ)过焦点F 1的直线l 交椭圆于点A 、B 两点，问是否存在以线段AB 为直径的圆与y 相切，若存在，求出此时直线l 的方程，若不存在，请说明理由．20. 栀子原产于中国，喜温暖湿润、阳光充足的环境，较耐寒．叶，四季常绿；花，芳香素雅．绿叶白花，格外清丽．某地区引种了一批栀子作为绿化景观植物，一段时间后，从该批栀子中随机抽取100棵测量植株高度，并以此测量数据作为样本，得到该样本的频率分布直方图(单位：m)，其中不大于1.50(单位：m)的植株高度茎叶图如图所示．(1)求植株高度频率分布直方图中a ，b ，c 的值；(2)在植株高度频率分布直方图中，同一组中的数据用该区间的中点值代表，植株高度落入该区间的频率作为植株高度取该区间中点值的频率，估计这批栀子植株高度的平均值．21. (本题满分15分) 已知函数．(Ⅰ)若无极值点，但其导函数有零点，求的值；(Ⅱ)若有两个极值点，求的取值范围，并证明的极小值小于．22. 在平面直角坐标系中，以圆点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρ=2acosθ+2asinθ(a >0)，直线l 的参数方程为：{x =−1+√22ty =−2+√22t(l 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M ，N ．(Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(Ⅱ)设点P(−1,−2)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a 的值．23. 已知函数f(x)=|3x +2|． (1)解不等式f(x)<4−|x −1|；(2)已知2m +n =1(m,n >0)，若|3x −a|−f(x)≤1m +2n (a >0)恒成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵A={x|x<−1或x≥3}，∴∁R A={x|−1≤x<3}．故选：C．根据全集R及A，求出A的补集即可．此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：解：函数y=x的一次项系数1>0，故函数y=x在[0,+∞)上为增函数，但函数为奇函数；y=x2的图象是开口朝上且以y轴为对称轴的抛物线，故函数为偶函数且在[0,+∞)上为增函数；y=2x在[0,+∞)上为增函数，但函数为非奇非偶函数；函数y=−x2的图象是开口朝下且以y轴为对称轴的抛物线，故函数为偶函数，但在[0,+∞)上为减函数；故选B根据一次函数，二次函数，指数函数的图象和性质，逐一分析四个答案中四个函数的奇偶性及在[0,+∞)上的单调性，可得答案．本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明，熟练掌握基本初等函数的奇偶性和单调性是解答的关键．3.答案：C解析：解：A选项，sin15°×cos15°=12sin30°=14，不正确；B选项，cos2π12−sin2π12=cosπ6=√32，不正确；C选项，tan22.5∘1−tan222.5∘=12×tan45∘=12，正确；D选项，√1+cosπ62=√1+√322≠12，不正确．综上知C选项正确故选C4.答案：D解析：解：依题意可知第n行有2n−1个数字，前n行的数字个数为1+3+5+⋯+(2n−1)=n2个，∵442=1836，452=2025，且1836<2013，2025>2013，∴2013在第45行，又2025−2013=12，且第45行有2×45−1=89个数字，∴2013在第89−12=77列．故选：D．根据题意确定出第n行有2n−1个数字，根据前n行数字个数确定出数字2013所在的行，进而确定出所在的列即可．此题考查了归纳推理，弄清题中的规律是解本题的关键．5.答案：A解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于较易题．利用直线x=a2c与两条渐近线分别交于P，Q两点，若△PFQ是直角三角形，推出渐近线的夹角，然后求解离心率即可．解：因为△PFQ是直角三角形，所以，又因为直线x=a2c与两条渐近线分别交于P，Q两点，设PQ与x轴的交点为A，根据双曲线的渐近线的对称性可得FP=FQ，所以，所以△PAF是等腰直角三角形，所以PA=AF，因为双曲线的渐近线方程为y=±bax，所以P点坐标为(a 2c ,abc)，所以PA=abc ，所以abc=c−a2c，即c2−a2=ab，所以b2=ab，a=b，所以e2=c2a2=a2+b2a2=2a2a2=2，所以e=√2．故选A．6.答案：D解析：本题考查了向量的数量积、直线上向量的坐标及其运算．先求得直线BC的一个法向量，再求得AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，由题意中的公式可得点A到直线BC的距离．解：因为BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4)，故可得直线BC的一个法向量n⃗=(−4,−3)，又因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,−1)，故可得点A 到直线BC 的距离d =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=215，故选D ．7.答案：B解析：解：由已知得直线l 的参数方程为{x =1+tcosπ6y =1+tsin π6(t 为参数)，即{x =1+√32t y =1+12t(t 为参数)， 把直线的参数方程代入圆x 2+y 2=4，得(1+√32t)2+(1+12t)2=4，整理得：t 2+(√3+1)t −2=0， ∴t 1t 2=−2，则点P 到A ，B 两点的距离之积为2． 故选B先根据题意表示出直线l 的参数方程，再将直线的参数方程代入圆方程，得到一个关于t 的二次方程，最后结合参数t 的几何意义利用根与系数之间的关系即可求得距离之积．本小题主要考查圆的参数方程、参数方程的概念、一元二次方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．8.答案：C解析：解：命题p ：设集合M ={x|0<x ≤3}，N ={x|0<x ≤2}， 则“a ∈M ”是“a ∈N ”的充分而不必要条件． p 是假命题．命题q ：“∃x 0∈R ，x 02−x 0−1>0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2−x −1≤0”， 则：q 是真命题． 所以：p ∨q 是真命题． 故选：C ．首先判断出命题p 的真假，进一步判断出命题q 的真假，最后利用真值表求出结论 本题考查的知识要点：命题真假的判断，及真值表的应用．属于基础题型．9.答案：A解析：解：当x =φ时，函数f(x)=2sinx +cosx =√5(2√55sinx +√55cosx)=√5sin(x +α)取得最大值，(其中，cosα=2√55，sinα=√55)，∴φ+α=2kπ+π2，k∈z，即θ=2kπ+π2−α，k∈z，∴cosφ=cos(2kπ+π2−α)=cos(π2−α)=sinα=√55，故选：A．利用辅助角公式化简函数f(x)的解析式，再利用诱导公式求得cosθφ的值．本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的最大值，属于基础题．10.答案：A解析：解：由题意可得侧面展开图的边长为2π×1=2π，所以侧面展开图的面积为(2π)2=4π2，故这个圆柱的侧面积是4π2．故选：A．根据侧面展开图的面积就是圆柱的侧面积求解即可．本题考查了圆柱的侧面积的求法，关键是对圆柱侧面展开图的理解，属于基础题．11.答案：B解析：(x+1)4的展开式中x 2的系数为=6．12.答案：B解析：判断f(x)的单调性，比较三个对数的大小关系，根据f(x)的对称性得出答案．本题考查了函数单调性与对称性的应用，对数的大小比较，属于中档题．∵x∈(1,+∞)时，(x−1)f′(x)<0，∴f′(x)<0，∴f(x)在(1,+∞)单调递减．∵f(x)=f(2−x)，∴f(x)的图象关于x=1对称，∵0<log52<log32<1<2<log25，∴f(log25)<f(log52)<f(log32)．故选：B．13.答案：2解析：解：∵抛物线方程为y 2=4x∴焦点为F(1,0)，准线为l ：x =−1 设所求点坐标为M(x,y) 作MQ ⊥l 于Q根据抛物线定义可知M 到准线的距离等于M 、Q 的距离 即x +1=3，解之得x =2， 代入抛物线方程求得y =±4 故点M 坐标为：(2,y) 即点M 到y 轴的距离为2 故答案为：214.答案：1;2解析：解：由于z 是纯虚数，所以{a 2−1=0a +1≠0，解得a =1，所以z =2i ， 所以|z|=2， 故答案为1；2．利用纯虚数的定义：实部为0，虚部不为0列出式子，求出a ；利用复数模的公式求出复数的模． 本题考查纯虚数的定义、考查复数的模的公式．15.答案：44解析：解：根据题意，分2种情况讨论：①M 小区安排2人，需要在其他4人中选出2人安排到M 小区，将剩下3人分为2组，安排到其他2个小区，有C 42C 32A 22=36种安排方法，②M 小区安排3人，需要在其他4人中选出3人安排到M 小区，将剩下2人安排到其他2个小区，有C 43A 22=8种安排方法，则有36+8=44种不同的安排方法， 故答案为：44．根据题意，按分到M 小区的人数分2种情况讨论，求出每种情况安排方法数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．16.答案：7解析：解：由约束条件作出可行域如图，联立{x =12x −y =0，解得A(1,2)，化目标函数z =3x +2y 为y =−32x +z2，由图可知， 当直线y =−32x +z2过A 时，直线在y 轴上的截距最大， z 取最大值为3×1+2×2=7． 故答案为：7．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．17.答案：本题(18分)，第1小题(4分)，第2小题(6分)，第3小题(8分)．解：(1)z 2=(1+i)(3+4i)=−1+7i ，z 3=−8+6i ，z 4=−14−2i.…(4分) (算错一个扣(1分)，即算对一个得(2分)，算对两个得3分) (2)若OZ n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则存在实数λ，使得OZ n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故z n =λ⋅z 1， 即(x n ,y n )=λ(x 1,y 1)，…(3分)又z n+1=(1+i)z n ，故z n =(1+i)n−1z 1，即(1+i)n−1=λ为实数，…(5分)故n−1为4的倍数，即n−1=4k，n=4k+1，k∈N.…(6分)(3)因为z n+4=(1+i)4z n=−4z n，故x n+4=−4x n，y n+4=−4y n，…(2分)所以x n+4y n+4=16x n y n，…(3分)又x1y1=12，x2y2=−7，x3y3=−48，x4y4=28，x1y1+x2y2+x3y3+⋯+x100y100=(x1y1+x2y2+x3y3+x4y4)+(x5y5+x6y6+x7y7+x8y8)+⋯+(x97y97+x98y98+x99y99+x100y100)=(12−7−48+28)⋅1−16251−16=1−2100，…(6分)而x101y101=1625x1y1=12×2100，x102y102=1625x2y2=−7×2100，…(7分)所以数列{x n y n}的前102项之和为1−2100+12×2100−7×2100=1+2102.…(8分)解析：(1)利用已知条件之间求解z2，z3，z4．(2)求出z n=(1+i)n−1z1，利用复数的幂运算，求解即可．(3)通过z n+4=(1+i)4z n=−4z n，推出x n+4=−4x n，y n+4=−4y n，得到x n+4y n+4=16x n y n，然后求解数列的和即可．本题考查复数的基本运算，复数的代数形式混合运算，考查数列求和，考查计算能力．18.答案：解：(Ⅰ)证明：设BD∩AC=O，则由四边形ABCD为正方形，可得O为BD的中点，再根据E为PE中点，可得OE为△PBD的中位线，故有OE//PB．而OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB//平面AEC．(Ⅱ)证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又正方形ABCD中，AD⊥CD，且PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．再根据CD⊂平面PCD，可得平面PCD⊥平面PAD．(Ⅲ)取AD得中点H，则EH是△PAD的中位线，故有EH//PA．由PA⊥平面ABCD可得EH⊥平面ABCD，∴∠EAH为EA和平面ABCD所成的角．由PA=AB=2，可得EH=1，AH=1，∴tan∠EAH=EHAH =1，∴∠EAH=π4，即EA和平面ABCD所成的角为π4．(Ⅳ)作HM⊥AC，M为垂足，由三垂线定理可得EM⊥AC，∠EMH为二面角E−AC−D的平面角．由于HM=12DO=√22，∴tan∠EMH=EHHM=√22=√2．解析：(Ⅰ)设BD ∩AC =O ，则由题意可得OE 为△PBD 的中位线，故有OE//PB ，根据直线和平面平行的判定定理证得PB//平面AEC ．(Ⅱ)证明PA ⊥CD ，且AD ⊥CD ，证得CD ⊥平面PAD.再利用平面和平面垂直的判定定理证得平面PCD ⊥平面PAD ．(Ⅲ)取AD 得中点H ，证得∠EAH 为EA 和平面ABCD 所成的角．由条件求得tan∠EAH =EHAH =1，可得∠EAH 的值．(Ⅳ)作HM ⊥AC ，M 为垂足，可得∠EMH 为二面角E −AC −D 的平面角．再根据tan∠EMH =EH HM ，计算求的结果．本题主要考查直线和平面平行的判定定理，平面和平面垂直的判定定理，直线和平面所成的角、二面角的定义和求法，属于中档题． 19.答案：解：(Ⅰ)∵PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴△PF 2F 1为直角三角形， ∴P(c,b 2a )，∴tan∠PF 1F 2=b 2a2c=b 22ac=√312， ∵PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为2√3， ∴2c =2√3，即c =√3， ∵a 2=b 2+c 2， ∴a =2，b =1，∴椭圆的离心率为e =ca =√32，椭圆方程为x 24+y 2=1；(Ⅱ)设满足条件的直线为l ，其方程为x =my −√3，两交点坐标为A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)， 设线段AB 为直径的圆与y 相切于点D ，由{x =my −√3x 24+y 2=1，消去x 得：(m 2+4)y 2−2√3my −1=0， ∴y 1+y 2=2√3m 4+m ，y 1y 2=−14+m 2，x 1+x 2=m(y 1+y 2)−2√3=−8√34+m ，所以AB 的中点到y 轴的距离d =|x 1+x 2|2=4√34+m 2，所以弦长|AB|=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+m 2⋅√12m 2(4+m 2)2−4⋅−14+m 2=4⋅1+m 24+m 2=2d =8√34+m 2， 解得m 2=2√3−1，所以m =±√2√3−1直线方程为x =√2√3−1y −√3，或x =−√2√3−1y −√3， 即x −√2√3−1y +√3=0或x +√2√3−1y +√3=0．解析：(Ⅰ)根据题目的三个条件可得c =√3，b 22ac =√312，a 2=b 2+c 2，解得即可； (Ⅱ)由(Ⅰ)可得焦点F 1的坐标，设直线l 的方程与由、椭圆联立求出两根之和及两根之积，设A ，B 的坐标，及切点D 的坐标，由题意可得DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求出参数及D 的坐标，可得直线l 的方程． 本题主要考查圆锥曲线的方程和直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题．20.答案：解：(1)由茎叶图知，a =51000.1=0.5,b =101000.1=1．由频率分布直方图知0.5×0.5+1.45×1+1.55×3+1.65×4+c ×0.1+3×0.1+4×0.1=1， 所以c =1.5．(2)这批栀子植株高度的平均值的估计值为：(1.35×0.5+1.45×1+1.55×3+1.65×4+1.75×1.5)×0.1=1.60． 解析：(1)由茎叶图的性质能求出a ，b ，由频率分布直方图的性质能求出c ． (2)由频率分布直方图的性质能求出这批栀子植株高度的平均值的估计值．本题考查频率、平均数的求法，考查茎叶图、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.答案：解(Ⅰ)首先，--------1分---------------3分有零点而无极值点，表明该零点左右同号，故，且的由此可得----------6分(Ⅱ)由题意，有两不同的正根，故．解得：----------------8分 设的两根为，不妨设，因为在区间上，，而在区间上，，故是的极小值点.-------10分因在区间上是减函数，如能证明则更有---------------13分由韦达定理，，令其中设，利用导数容易证明当时单调递减，而，因此，即的极小值-------15分 (Ⅱ)另证：实际上，我们可以用反代的方式证明的极值均小于．由于两个极值点是方程的两个正根，所以反过来，(用表示的关系式与此相同)，这样即，再证明该式小于是容易的(注意，下略)．解析：解析：略22.答案：解：(Ⅰ)∵ρ=2acosθ+2asinθ(a >0)，∴ρ2=2aρcosθ+2aρsinθ；化为普通方程是x 2+y 2=2ax +2ay ， 即C ：(x −a)2+(y −a)2=2a 2；直线l 的参数方程{x =−1+√22ty =−2+√22t(l 为参数)， 化为普通方程是y =−2+(x +1)， 即y =x −1；(Ⅱ)把直线l 的参数方程{x =−1+√22ty =−2+√22t (l 为参数)代入C ：x 2+y 2=2ax +2ay 中， 化简得t 2−3√2t +5=−6a +2√2at ， 即t 2−√2(3+2a)t +5+6a =0；∵△=[√2(3+2a)]2−4(5+6a)>0，且a >0， 解得a >12；由根与系数的关系，得t 1+t 2=√2(3+2a)，t 1t 2=5+6a ；又∵|MN|2=|PM|⋅|PN|， ∴|t 1−t 2|2=t 1⋅t 2， 即(t 1+t 2)2=5t 1⋅t 2； ∴[√2(3+2a)]2=5(5+6a)， 整理，得8a 2−6a −7=0， 解得a =3+√658．解析：(Ⅰ)利用极坐标公式把曲线C 的极坐标方程化为普通方程， 消去参数t ，把直线l 的参数方程化为普通方程；(Ⅱ)把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程中，得到关于t 的一元二次方程， 由△>0，且|MN|2=|PM|⋅|PN|，结合根与系数的关系，求出a 的值．本题考查了直线与圆的参数方程和极坐标的应用问题，解题时应熟练地进行参数方程、极坐标与普通方程的互化，理解直线参数方程中参数的几何意义，是中档题．23.答案：解：(1)不等式：f(x)<4−|x −1|可写成，|3x +2|+|x −1|<4，用“零点分段法”解答如下： ①当x ≥1时，3x +2+x −1<4，x ∈⌀；②当−23≤x <1时，3x +2−x +1<4，解得，−23≤x <12； ③当x <−23时，−3x −2−1+x <4，解得，−54<x <−23， 综合以上讨论得，不等式的解集为：{x|−54<x <12}； (2)因为2m +1=1，且m >0，n >0， 所以，1m +2n =(1m +2n )(2m +n)=2+2+nm +4m n≥8，即1m +2n 的最小值为8，根据题意问题等价为：|3x −a|−f(x)≤8恒成立， 即|3x −a|−|3x +2|≤8对任意实数x 恒成立， 再由绝对值三角不等式得， |3x −a|−|3x +2|≤|a +2|≤8， 解得，a ∈(0,6]，所以，实数a 的取值范围为：(0,6]．解析：(1)直接运用零点分段法求解含绝对值不等式；(2)先求出1m +2n的最小值为8，再用绝对值三角不等式将问题等价为：|a+2|≤8，解出即可．本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式的应用和不等式恒成立问题的解法，考查了分类讨论与等价转化思想，属于中档题．。

2021年陕西省西安市八校高考数学联考试卷(一)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知I 为实数集，P ={x|x 2−2x <0}，Q ={y|y =2x +1,x ∈R}，则P ∩(∁I Q)=( )A. {x|0<x <1}B. {x|0<x ≤1}C. {x|x <1}D. ⌀2. 已知，函数f(x)=x 2−ax +b 在(−∞,1)是单调递减，函数g(x)=log a 1−x1+x ，当x 1，x 2∈(−1,1)且x 1+x 2>0时，g(x 1)+g(x 2)的值为( )A. 正数B. 负数C. 零D. 前面的结果都有可能3. 函数y =3−2sin 22x 的最小正周期为( )A. π2B. πC. 2πD. 4π4. 观察下列等式：√13=1，√13+23=3，√13+23+33=6，√13+23+33+43=10，…… 计算：√13+23+33+43+⋯+93的值为( )A. 37B. 45C. 55D. 665. 已知双曲线C ：x 227−y 29=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为P ，Q ，若△POQ 为直角三角形，则|PQ|=( )A. 2B. 3C. 6D. 96. 已知点A ，B 分别在直线x =1，x =3上，O 为坐标原点，且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4.当|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取到最小值时，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. 0 B. 2 C. 3 D. 67. 若直线y =x +b 与曲线y =√4−x 2有两个交点，则实数b 的取值范围是( )A. (2,2√2)B. [2,2√2)C. (−2,2√2)D. (−2√2,2√2)8. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中c =3，a =3√2，cosB =√24，则sinA =( ) A. 724B. 3√78 C. √24 D. √1449. 函数f(x)=√1−cos2x +cosx ，则f(x)的最大值是( )A. √3B. √2C. 1D. 210. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的十二条棱中，与面对角线AC 垂直且异面的棱的条数是( )A. 2B. 4C. 6D. 811.下列命题中正确的是()A. 若“p∨q”为真命题则“p∧q”为真命题B. .已知a，b，m∈R，命题“若am2<bm2，则a<b”的否命题．C. .l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l//α．D. .命题“∀x∈R，2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0”12.若函数的图象在上恰有一个极大值和一个极小值，则的取值范围是()A. B. C. D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知圆C：，圆心在抛物线上，经过点，且与抛物线的准线相切，则圆的方程为．14.已知复数z满足等式|z−1−i|=1，则|z−3|的最大值为______．15.设函数f(x)={x 2−2x+2,x≥0log2(x+2)+1,x<0，则f(f(−1))=______ ，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3)，则x1+x2+x3的取值范围是______ ．16.计算：=．设是纯虚数，其中是虚数单位，则．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为全等的正方形(边长为2)，侧视图为等腰直角三角形(直角边的长为2)，则该几何体的表面积是．已知满足，若目标函数的最小值是，则的值为．平面内两定点和，动点满足，动点的轨迹为曲线E ，给出以下命题： ①，使曲线E 过坐标原点； ②对，曲线E 与轴有三个交点；③曲线E 只关于轴对称，但不关于轴对称； ④曲线E 上与不共线的任意一点关于原点对称的另外一点为，则四边形的面积不大于 其中真命题的序号是 .(填上所有真命题的序号)三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设等比数列{a n }的每一项都为正数，且a 1+a 2=12，a 3+a 4=18．(Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)设{a n }的前n 项和为S n ，若S n >58，求n 的最小值．18. 已知四棱锥P −ABCD 中底面四边形ABCD 是正方形，各侧面都是边长为2的正三角形，M 是棱PC 的中点．建立空间直角坐标系，利用空间向量方法解答以下问题： (1)求证：PA//平面BMD ；(2)求二面角M −BD −C 的平面角的大小．19.学校组织学生参加模块测试，测试后随机抽查部分学生的成绩，成绩的频率分布直方图如图5，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，低于60分的人数是6人(1)被抽查的学生有多少人？(2)从被抽查低于60分的6人中随机选取2人，求这2人在同一分数组的概率．20. 已知椭圆W 中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e =√32，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为1．(1)求椭圆W 的标准方程；(2)椭圆上一动点P(x 0,y 0)关于直线y =2x 的对称点为P 1(x 1,y 1)，求3x 1−4y 1的取值范围． (3)设椭圆W 的左右顶点分别为A 、B ，点S 是椭圆W 上位于x 轴上方的动点，直线AS 、BS 与直线l ：x =103分别交于M 、N 两点，求线段MN 的长度的最小值．21. 已知函数f(x)=ax 2−e x (a ∈R)，f′(x)是f(x)的导数(e 为自然对数的底数)．(Ⅰ)当a =1时，求曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； (Ⅱ)若当x ≥0时，不等式f(x)≤−x −1恒成立，求实数a 的取值范围22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =sinθ+cosθy =sin2θ(θ为参数)，若以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=−√2．(Ⅰ)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(Ⅱ)求曲线C1上的动点与曲线C2上动点的最小距离．23.设(1)求不等式的解集；(2)若不等式的解集是非空集合，求实数m的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵Q={y|y=2x+1,x∈R}，∴y=2x+1>1，∴Q={y|y>1}．∵I为实数集，∴∁I Q={y|y≤1}．∵P={x|x2−2x<0}，∴P={x|0<x<2}．∴P∩(∁I Q)={x|0<x≤1}．故答案为：B．本题可以先对集合化简，再利用补集定义求出相应的补集，最后求出P∩(∁I Q)，得到本题结论．本题考查了集合的补集运算、集合的交集运算，本题难度不大，属于基础题．2.答案：B解析：解：根据题意，函数f(x)=x2−ax+b在(−∞,1)是单调递减，则有a2≥1，即a≥2，函数g(x)=log a1−x1+x ，有1−x1+x>0，解可得−1<x<1，即函数g(x)的定义域为(−1,1)，关于原点对称，又由g(−x)=log a1+x1−x =−loga a1−x1+x=−g(x)，即函数g(x)为奇函数，令t=1−x1+x =2x+1−1，则t为减函数，而y=log a t为增函数，故g(x)=log a1−x1+x定义在(−1,1)上的减函数，当x1，x2∈(−1,1)且x1+x2>0时，即x1>−x2，又由g(x)为减函数，则有g(x1)<g(−x2)=−g(x2)，则有g(x1)+g(x2)<0；故选：B．根据题意，由二次函数的性质分析可得a≥2，分析可得函数g(x)为奇函数，且在(−1,1)上是减函数，分析可得：若x1，x2∈(−1,1)且x1+x2>0时，即x1>−x2，结合g(x)的奇偶性与单调性可得g(x1)<g(−x2)=−g(x2)，变形可得g(x1)+g(x2)<0，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数g(x)=log a1−x1+x的奇偶性与单调性．3.答案：A解析：解：由题意可得：f(x)=2+cos4x，所以周期为T=2π4=π2．故选：A．先将函数运用二倍角公式化简为y=Asin(wx+φ)的形式，再利用正弦函数的性质可得答案．本题主要考查三角函数的最小正周期的求法．一般都要把三角函数化简为y=Asin(wx+φ)的形式再解题．4.答案：B解析：本题考查归纳推理，属于中档题．由√13=1，√13+23=3，√13+23+33=6，√13+23+33+43=10，……我们发现，等式左边都是从1开始，连续n个正整数的立方和的算术平方根，右边都是从1开始，连续n个正整数的和的形式．故我们可以由此推断出一般性结论．解：由已知中等式：√13=1，√13+23=3，√13+23+33=6，√13+23+33+43=10，……归纳可得：等式左边都是从1开始，连续n个正整数的立方和的算术平方根，右边都是从1开始，连续n个正整数的和的形式．故√13+23+33+43+⋯+93=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，故选：B．解析：解：由对称性，不妨设点P 在第一象限，点Q 在第四象限，∠OPQ =90°， 如图所示： ∵双曲线C ：x 227−y 29=1，∴渐近线方程为：y =√33x ，∴∠POF =30°，又∵|OF|=6，∴|PF|=3，|OP|=3√3， 由对称性可知．∠POQ =60°，∴tan60°=|PQ||OP|，∴|PQ|=3√3×√3=9， 故选：D ．由对称性，不妨设点P 在第一象限，点Q 在第四象限，∠OPQ =90°，画出图形，因为渐近线方程为：y =√33x ，所以∠POF =30°，从而求出|PF|=3，|OP|=3√3，|PQ|=3√3×√3=9．本题主要考查了双曲线的定义，是中档题．6.答案：A解析：解：如图所示， 设A(1,s)，B(3,t)． ∵|OA⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4． ∴|(1,s)−(3,t)|=|(−2,s −t)|=√(−2)2+(s −t)2=4， ∴(s −t)2=12．|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|(4,s +t)|=√16+(s +t)2≥4，当且仅当s +t =0时取等号．因此|OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取到最小值4时，s +t =0， ∴(−t −t)2=12，得到t 2=3． ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3+st =3−3=0．利用向量的坐标运算法则，及当|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取到最小值时，可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得出． 本题考查了向量的坐标运算法则、向量数量积的性质等基础知识，考查了计算能力，属于中档题．7.答案：B解析：解：曲线y =√4−x 2表示以原点为圆心，2为半径的圆，在x 轴上边的部分，如图所示，当直线与半圆相切时，b =2√2，∴直线y =x +b 与曲线y =√4−x 2有两个交点，实数b 的取值范围是[2,2√2). 故选：B ．曲线y =√4−x 2表示以原点为圆心，2为半径的圆，在x 轴上边的部分，结合图形，即可求出实数b 的取值范围．本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想，属于中档题．8.答案：D解析：解：∵在△ABC 中，c =3，a =3√2，cosB =√24，∴b 2=a 2+c 2−2accosB =(3√2)2+32−2×3√2×3×√24=18，解得b =3√2． ∵B ∈(0,π)， ∴sinB =√1−cos 2B =√144． 由正弦定理可得：asinA =bsinB ， 可得：sinA =asinB b=3√2×√1443√2=√144．故选：D．利用余弦定理可得b，再利用正弦定理即可得出．本题考查了正弦定理与余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：A解析：解：f(x)=√2sin2x+cosx=√2|sinx|+cosx=±√3sin(x+φ)≤√3，时取等号．可得f(x)的最大值是√3，当cosx=√33故选：A．f(x)=√2sin2x+cosx=√2|sinx|+cosx=±√3sin(x+φ)≤√3，即可得出最大值．本题考查了三角函数的单调性、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.答案：A解析：解：如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1的十二条棱中，与面对角线AC垂直且异面的棱有：BB1和DD1，∴与面对角线AC垂直且异面的棱的条数是2．故选：A．作出图形，列举出与面对角线AC垂直且异面的棱．本题考查满足条件的棱的条数的求法，考查长方体的结构特征等基础知识，考查数形结合思想，是基础题．11.答案：D解析：解：对于A，若“p∨q”为真命题，可得p，q至少有一个为真命题，则“p∧q”不一定为真命题，故A错；对于B，已知a，b，m∈R，命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为“若a<b，则am2<bm2”为假命题，比如m=0，逆命题不成立，由逆命题和否命题等价，可得否命题也为假命题，故B错；对于C，l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l//α或l⊂α，故C错；对于D，命题“∀x∈R，2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0”，故D对．故选：D．运用复合命题的真值表，即可判断A；由四种命题和等价命题，即可判断B；运用线面平行和垂直的判定和性质，即可判断C；由全称命题的否定为特称命题，即可判断D．本题考查命题的真假判断，主要是复合命题的真值表和四种命题的真假和关系、命题的否定和线面的位置关系的判断，考查判断能力，属于基础题．12.答案：D解析：试题分析：当且时，则有，且函数在区间上恰有一个极大值和一个极小值，则有且有，解得，故选D．考点：三角函数的极值13.答案：．解析：试题分析：抛物线的准线为，所以；又该圆经过点，所以；圆心在抛物线上，所以，联立解方程组得.所以所求圆的方程为．考点：圆与抛物线．14.答案：√5+1解析：解：|z−1−i|=1的几何意义为复平面内动点到定点(1,1)距离为1的点的轨迹，如图：由图可知，|z−3|的最大值为√(3−1)2+(0−1)2+1=√5+1．故答案为：√5+1．由题意画出图形，数形结合得答案．本题考查复数模的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．15.答案：1 (1,2)解析：解：函数f(x)={x 2−2x +2,x ≥0log 2(x +2)+1,x <0，所以f(−1)=log 21+1=1，则f(f(−1))=f(1)=1−2+2=1；作出函数f(x)的图象如图所示，因为互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)， 不妨设x 1<x 2<x 3，当x ≥0时，f(x)=x 2−2x +2=(x −1)2+1，图象的对称轴为x =1，所以x 2+x 3=2，当x =1时，f(x)=1，令log 2(x +2)+1=1，解得x =−1， 由图象可知−1<x 1<0，所以则x 1+x 2+x 3的取值范围是(1,2)． 故答案为：1；(1,2)．先求出f(−1)，再求解f(f(−1))即可；作出函数f(x)的图象，利用二次函数的对称性得到x 2+x 3=2，由对数的运算以及函数图象可得−1<x 1<0，求解即可．本题考查了分段函数的综合应用，分段函数的求值问题的关键是根据自变量的值确定使用哪一段解析式求解，分段函数问题的一般解题方法是：数形结合法以及分类讨论法，属于中档题．16.答案：【小题1】 6【小题2】1【小题3】 【小题4】【小题5】①④解析： 11、考查的对数运算性质，需熟记公式．解：，故答案为6．12、考查复数的定义，理解纯虚数的定义，需实部为0，虚部不为0．解：由题得：a²−1=0且a+1≠0解得：a=1．故答案为1．13、考查空间几何体的三视图，关键是通过观察与想象还原得出原几何体．解：通过观察得知，原几何体是一个三棱柱，面ADFC⊥面ABED，，且四边形ADFC，ABED均为全等正方形.△ABC，△DEF均为等腰三角形.如图所示：．故答案为．14、考查的线性规划.先根据不等式组作出可行域，由题意分析z=y−x的最小值为4，应该在哪个点取得，求出k．解：作出不等式组表示的可行域如下图中的三角形ABC及其内部(图中阴影部分)：由z=y−x，得y=x+z，做直线l:y=x，平移直线l，可知当l经过点B(，0)时，y=x+z截距最小，z取得最小值．故有：−4=0−().解得．故答案为．15、由平面内两定点M(0,−2)和N(0,2)，动点P(x,y)满足||⋅||=m(m≥4)，得.对选项进行分析，即可得出结论．解：由平面内两定点M(0,−2)和N(0,2)，动点P(x,y)满足||⋅||=m(m≥4)，得①(0,0)代入，可得m =4，∴①正确；②令y =0，可得x2+4=m ，∴对于任意m ，曲线E 与x 轴有三个交点，②不正确； ③曲线E 关于x 轴对称，但不关于y 轴对称，故③不正确；④曲线E 上与M 、N 不共线的任意一点G 关于原点对称的点为H ，则四边形GMHN 的面积为2S △MNG =|GM||GN|sin∠MGN ≤m ，∴四边形GMHN 的面积最大为不大于m ，④正确． 故答案为①④．21.答案：解：(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q >0，由题意，得a 1(1+q)=12，a 1q 2(1+q)=18， 联立解得a 1=13，q =12． ∴a n =13×(12)n−1．(Ⅱ)由(Ⅰ)知：S n =13(1−12n )1−12=23(1−12n )，由23(1−12n )>58，得2n >16，解得n >4． ∴n 的最小值为5．解析：(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q >0，由题意，得a 1(1+q)=12，a 1q 2(1+q)=18，联立解得a 1，q.即可得出a n ．(Ⅱ)由(Ⅰ)知：S n =23(1−12n )，由23(1−12n )>58，即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.答案：证明：(1)连结AC 、BD 交于点O ，连结OP ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ∵PA =PC ，∴OP ⊥AC ， 同理OP ⊥BD ，以O 为原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O −xyz ，P(0,0,√2),A(√2,0,0),B(0,√2,0),M(−√22,0,√22)， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,−√2),OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,0),OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,0,√22)， 设平面MBD 的法向量为n⃗ =(x,y,1) {√2y =0,−√22x +√22=0,⇒{y =0,x =1, 所以平面BMD 的法向量为n⃗ =(1,0,1)， ∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，又PA ⊄平面BMD ， ∴PA//平面BMD ．解：(2)平面ABCD 的法向量为a ⃗ =(0,0,1)， 二面角M −BD −C 的平面角为α， 则cosα=√2=√22，α=45°，∴二面角M −BD −C 的平面角45°．解析：(1)连结AC 、BD 交于点O ，连结OP ，以O 为原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O −xyz ，利用向量法能证明PA//平面BMD ．(2)求出平面ABCD 的法向量和平面MBD 的法向量，利用向量法能求出二面角M −BD −C 的平面角．本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．23.答案：解：(1)由频率分布直方图知低于60分的频率为：0.005×20+0.01×20=0.3，∴被抽查的学生有6÷0.3=20(人)．(2)由(1)知，[20,40)分数组的学生有20×(0.005×20)=2(人)，[40,60)分数组的学生有4人，记这6人分别为a1、a2，b1、b2、b3、b4(a、b表示不同分类组)，从中随机选取2人，不同的选法有a1a2、a1b1、a1b2、a1b3、a1b4、a2b1、a2b2、a2b3、a2b4、b1b2、b1b3、b1b4、b2b3、b2b4、b3b4，共15种，2人在同一分数组的选法有a1a2、b1b2、b1b3、b1b4、b2b3、b2b4、b3b4，共7种，∵不同选法等可能，∴2人在同一分数组的概率P=715．解析：本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，难度不大，属于基础题．(1)由频率分布直方图求出低于60分的频率，由此利用已知条件能求出被抽查的学生人数．(2)由(1)知，[20,40)分数组的学生有2人，[40,60)分数组的学生有4人，由此能求从被抽查低于60分的6人中随机选取2人，求这2人在同一分数组的概率．24.答案：解：(1)椭圆W中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=√32，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为1．∴ca =√32，并且2b2a=1，a2=b2+c2，解得a=2，b=1，c=√3，∴椭圆W的标准方程：x24+y2=1(2)∵点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1,∴{y0−y1x0−x1×2=−1y0+y12=2×x0+x12，解得：x1=4y0−3x05，y1=3y0+4x05．∴3x1−4y1=−5x0．∵点P(x0,y0)在椭圆C：x24+y2=1上，∴−2≤x0≤2，则−10≤−5x0≤10．∴3x1−4y1的取值范围为[−10,10]．(3)直线AS 的斜率k 显然存在，且k >0，故可设直线AS 的方程为y =k(x +2)， 从而M(103,163k)．由{y =k(x +2)x 24+y 2=1得(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−4=0． 设S(x 1,y 1)，则(−2)⋅x 1=16k 2−41+4k2得x 1=2−8k 21+4k2，从而y 1=4k1+4k 2． 即S(2−8k 21+4k 2,4k 1+4k 2)，又B(2,0)由{y =−14k ( )x −2x =103得{x =103y =−13k ，∴N(103,−13k)， 故|MN|=|16k 3+13k|，又k >0，∴|MN|=163k +13k ≥2√16k 3⋅13k =83.当且仅当16k 3=13k，即k =14时等号成立 ∴k =14时，线段MN 的长度取最小值83．解析：(1)依题意知，e =√32，椭圆的通经为1，由此可求出椭圆C 的方程．(2)点P(x 0,y 0)关于直线y =2x 的对称点为P 1(x 1,y 1，由题设条件能推出3x 1−4y 1=−5x 0.再由点P(x 0,y 0)在椭圆W ：x 24+y 2=1上，能够铁推出3x 1−4y 1的取值范围．(3)设直线AS 的方程为y =k(x +2)，从而M(103,163k).由题设条件可以求出N(103,−13k)，所以|MN|=|163k +13k|，再由均值不等式进行求解．本题考查椭圆的基本性质及其应用，考查椭圆与直线的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用．25.答案：解：(Ⅰ)当a =1时，f(x)=x 2−e x ，f′(x)=2x −e x ，则f(0)=0−e 0=−1，f′(0)=0−e 0=−1，所以切线方程为：y +1=−1(x −0)，即x +y +1=0；(Ⅱ)当x ≥0时，f(x)≤−x −1恒成立，即：ax 2−e x +x +1≤0在[0,+∞)上恒成立， 设g(x)=ax 2−e x +x +1，则g′(x)=2ax −e x +1， 令ℎ(x)=2ax −e x +1，x ≥0， 则ℎ′(x)=2a −e x ． ①当a ≤12时，2a ≤1，此时e x ≥e 0=1，则ℎ′(x)≤0，当且仅当a =12，x =0时等号成立，可知g′(x)在[0,+∞)上单调递减，则g′(x)≤g′(0)=0， 所以g(x)在[0,+∞)上单调递减，所以g(x)≤g(0)=0，即f(x)≤−x −1恒成立， 所以a ≤12满足题意; ②当a >12时，令ℎ′(x)=0，解得：x =ln2a ， 当x ∈(0,ln2a)时，ℎ′(x)>0，则g′(x)单调递增， 此时g′(x)>g′(0)=0，则g(x)在(0,ln2a)上单调递增， 所以g(x)>g(0)=0，即当x ∈(0,ln2a)时，f(x)>−x −1， 即f(x)≤−x −1不恒成立，可知a >12不合题意 综上所述，a ∈(−∞,12]．解析：本题考查了导数的几何意义和导数中的恒成立问题，属于难题．(Ⅰ)对f(x)求导，求出切线的斜率k =f′(0)和f(0)，然后用点斜式写出曲线的切线方程； (Ⅱ)构造函数g(x)=ax 2−e x +x +1，然后对a 进行分类讨论即可求解．26.答案：解：(Ⅰ)∵曲线C 1的参数方程为{x =sinθ+cosθy =sin2θ(θ为参数)，∴x 2=(sinθ+cosθ)2=1+sin2θ=1+y ，∴曲线C 1的普通方程为：y =x 2−1，x ∈[−√2,√2].…………(3分) ∵曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=−√2， ∴√22ρ(sinθ+cosθ)=−√2，∴曲线C 2的直角坐标方程x +y +2=0.………(5分) (Ⅱ)直线C 2：x +y =−2，设C 1(x 0,x 02−1)，|x 0|≤√2，则d =020√2=(x +12)2+34√2≥3√28， 当x 0=−12时取等号，满足|x 0|≤√2，所以曲线C1上的动点与曲线C2上动点的最小距离为3√28.…………(10分)解析：(Ⅰ)曲线C1的参数方程消去参数，能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程转化为√22ρ(sinθ+cosθ)=−√2，由此能求出曲线C2的直角坐标方程．(Ⅱ)直线C2：x+y=−2，设C1(x0,x02−1)，|x0|≤√2，则d=(x+12)2+34√2≥3√28，由此能求出曲线C1上的动点与曲线C2上动点的最小距离．本题考查曲线的普通方程和直角坐标方程的求法，考查两曲线上的动点的距离的最小值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．27.答案：(1)(2)解析：试题分析：(1)转化为时；当时；当时，综上可知解集为(2)函数整理为，函数值域，考点：绝对值不等式与分段函数点评：求解绝对值不等式的通常思路是分情况去掉绝对值符号，将其转化为多个一般不等式，求解一般不等式然后求其交集，。

陕西省西安市八校高三数学联考（四）试题 文 新人教A 版【会员独享】第Ⅰ卷 （选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知复数z 满足3)3i z i ⋅=，则z 等于（ ）A.34 B. 32 C. 34 D. 32 2. 下列函数中，周期为1且是奇函数的是（ ）A. sin cos y x x ππ=B. 21sin y x π=-C. sin(2)3y x ππ=+D. tan2y x π=3. 设,a b 是非零向量，若函数()()()f x xa b a xb =+⋅-的图像是一条直线，则必有（ ） A. ||||a b ≠ B. a b ⊥ C. a b ∥ D. ||||a b =4. 在等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，已知546523,23a S a S =+=+，则此数列的公比q 为（ ） A. 5 B. 2 Ｃ. 3 D. 45. 已知227x y A ==，且112x y+=，则A 的值是（ ）A. 98B. 7C. ±6. 已知函数3()f x x x =+，则0a b +>是()()0f a f b +>的（ ） A. 既非充分也非必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 充分必要条件7. 已知a 、b 均为正数，且满足2a b +=，则22S a b =++的最大值是（ ） A.92 B. 72C. 4D. 58. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.43πB.163π C.193πD. 1912π 9. 已知“正整数对”按如下规律排成一列：(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2), (4,1),,⋅⋅⋅⋅⋅⋅则第60个数对是（ ）A. (10,1)B. (7,5)C.(5,7)D. (2,10)10. 对于(1,3)x ∈. 不等式32236(6)x x x a +≥+恒成立，则实数a 的取值范围（ ）A.31[,)6-+∞ B. 22[,)3-+∞ C.31(,]6-∞- D. 22(,]3-∞-第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） （一）必做题（11~14题）11.已知函数32,2(1),2x x x x ⎧≥⎪⎨⎪-<⎩若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则数k 的取值范围是12.某程序的流程图如图所示，若使输出的结果不大于37，则输入的整数i 的最大值为13.同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖 块.14.如果点P 在平面区域22020210x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么||PQ 的最小值为 .（二）选择题（考生在A 、B 、C 三小题中选做一题，多做按所做第一题评分）15. A.（不等式选讲选做题）如果存在实数x 使不等式|1||2|x x k +--<成立，则实数k 的取值范围B.（几何证明选讲选做题）如图，O 是ABC ∆的外接圆，过C 点的切线交AB 的延长线于点D ，27CD =，3AB BC ==，则AC 的长为 .C.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线2sin ρθ=与cos 1ρθ=-（0ρ>，02θπ≤<）的交点的极坐标为三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （本小题满分12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，不等式2cos 4sin 60x C x C ++≥对一切实数x 恒成立. （Ⅰ）求角C 的最大值；（Ⅱ）若角C 取得最大值，且2a b =，求角B 的大小 17.（本小题满分12分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)；第二组[14,15)，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，第五组[17,18].右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（Ⅰ）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数； （Ⅱ）设,m n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知,[13,14)[17,18]m n ∈，求事件“||1m n ->”的概率.18.（本小题满分12分）已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE AB ∥，2AC AD CD DE ====，F 为CD 的中点. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面CDE ；（Ⅱ）求点A 到平面BCD 的距离的取值范围.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 有1a a =，2a p =（常数0p >），对任意的正整数n ，12n n S a a a =+++，且n S 满足1().2n n n a a S -=. （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）试确定数列{}n a 是否是等差数列？若是，求出其通项公式；若不是，说明理由.20.（本小题满分13分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>经过点3A ，且离心率3e =. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）问是否存在过点(1,0)B -的直线l ，使l 与椭圆C 交于,M N 两点，且以线段MN 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.21. （本小题满分14分）已知函数2()(1)2ln(1).f x x x =+-+ （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若当1[1,1]x e e∈--时，不等式()f x m <恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若关于x 的方程2()f x x x a =++在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根，求实数a 的取值范围.参考答案二、填空题11. （0,1） 12.5 13. 100 14.3215. A.(3,)-+∞3)4π三、解答题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16. （Ⅰ）由条件知，当cos 0C =时，不符合题意； 当cos 0C ≠时，有22cos 0cos 016sin 24cos 02cos 3cos 20C C C C C >>⎧⎧⇒⎨⎨∆=-≤+-≥⎩⎩ 1cos 2C ≥，角C 的最大值为3π---------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）2222222cos 3,c a b ab C a b ab b c =+-=+-==∵222222cos2a c b B ac +-=== 又203B π<<∴6B π=-----------------------------------------------------------------------------------------------12分另：由（Ⅰ）得3C π=，所以23A B π+=由2a b =得sin 2sin A B =，所以2sin()2sin ,3B B π-=1sin 2sin 2B B B +=，得tan B =∵2(0,)3B π∈，6B π=17. 解（Ⅰ）由直方图知，成绩在[14,16)内的人数为：500.16500.3827⨯+⨯=所以该班成绩良好的人数为27人--------------------------------------------------------------------------------5分 （Ⅱ）解：由直方图知，成绩在[13,14)的人数为500.063⨯=人，设为x 、y 、z 成绩在[17,18)的人数为500.084⨯=人，设为A 、B 、C 、D. 若,[13,14)m n ∈时，有,,xy xz yz 3种情况；若,[17,18)m n ∈时，有,,,,,AB AC AD BC BD CD 6种情况若,[13,14)m n ∈和[17,18)内时，ABCDx xAxBxCxDyyAyByCyDzzA zB zC zD共有12种情况。

陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A＝{1，2，3，6，9}，B＝{3x|x∈A}，C＝{x∈N|3x∈A}，则B∩C＝（）A. {1，2，3}B. {1，6，9}C. {1，6}D. {3}【答案】D【解析】【分析】先分别求出集合A，B，C，由此能求出．【详解】集合2，3，6，，6，9，18，，2，，．故选：D．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.如图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，，标准差分别为，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，从而得到，．【详解】由条形统计图得到：在这次考试各科成绩转化为了标准分，满分900分中，甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为，，则，．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查条形图、平均值、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e ix＝cosx+isinx，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】由已知可得，再由三角函数的象限符号得答案．【详解】由题意可得，，，，，则表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限．故选：B．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4.设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵∴−−=3(−−)；∴=−−.故选：C.【此处有视频，请去附件查看】5.《张丘建筑经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织布的尺数为（）A. 18 B. 20 C. 21 D. 25【答案】C【解析】由题意设从第二天开始，每一天比前一天多织尺布，则，解得，所以，故选C.6.如果对定义在R上的奇函数y＝f（x），对任意两个不相邻的实数x1，x2，所有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f （x2）+x2f（x1），则称函数y＝f（x）为“H函数”，下列函数为H函数的是（）A. f（x）＝sinxB. f（x）＝e xC. f（x）＝x3﹣3xD. f（x）＝x|x|【答案】D【解析】【分析】根据题意，不等式等价为，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案．【详解】根据题意，对于所有的不相等实数，，则恒成立，则有恒成立，即函数是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：对于A，，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，，为奇函数且在R上为增函数，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题．7.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径为（）A. B. 25 C. D. 31【答案】B【解析】【分析】将三棱柱展开，得出最短距离是6个矩形对角线的连线，相当于绕三棱柱转2次的最短路径，由勾股定理求出对应的最小值．【详解】将正三棱柱沿侧棱展开，如图所示；在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为，所以矩形的长等于，宽等于7，由勾股定理求得．故选：B．【点睛】本题考查了棱柱的结构特征与应用问题，也考查了几何体的展开与折叠，以及转化空间问题转化为平面问题，化曲为直的思想方法．8.将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g （x2）＝4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣2x2的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，不等式f（）+f（）＞f（）+f（）等价为（﹣）[f（）﹣f（）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案．【详解】将函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，得到g（x）＝sin（2x﹣+）+1＝﹣cos2x+1 的图象，故g（x）的最大值为2，最小值为0，若g（）g（）＝4，则g（）＝g（）＝2，或g（）＝g（）＝﹣2（舍去）．故有g（）＝g（）＝2，即cos2＝cos2＝﹣1，又，x2∈[﹣2π，2π]，∴2，2∈[﹣4π，4π]，要使﹣2取得最大值，则应有2＝3π，2＝﹣3π，故﹣2取得最大值为+3π＝．故选：A．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题．9.已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+3＝0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：方法一：如图，连接AC，BC，设，连接PC与AB交于点D，，是等边三角形，∴D是AB的中点，，∴在圆C：中，圆C的半径为，，，∴在等边中，，，故选C．方法二：设，则，记，令，得，，故选C．考点：圆的性质、三角函数最值、利用导数求函数最值．【思路点睛】法一、先由为等腰三角形，得出D为中点，再由为等边三角形，得出，在中，将和用表示，从而求出的值，得到的表达式，用三角函数的有界性求最值；法二：设出边AD的长x，根据已知条件表示出，再利用导数求出函数的最值．10.抛物线x2＝ y在第一象限内图象上的一点（a i，2a i2）处的切线与x轴交点的横坐标记为a i+1，其中i∈N+，若a2＝32，则a2+a4+a6等于（）A. 64B. 42C. 32D. 21【答案】B【解析】试题分析：，∴，∴过点的切线方程为，令，得，可得，又，所以．考点：1．导数的几何性质；2．等比数列．11.已知双曲线的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx﹣ay＝0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（）A. B. 2 C. D. 5【答案】C【解析】【分析】设P为直线与的交点，则OP为的中位线，求得到渐近线的距离为b，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值．【详解】，直线是线段的垂直平分线，可得到渐近线的距离为，且，，，可得，即为，即，可得．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12.已知函数，则函数g（x）＝xf（x）﹣1的零点的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得f（x），根据条件作出函数f（x）与h（x）的图象，研究两个函数的交点个数即可得到结论．【详解】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得xf（x）＝1，当x＝0时，方程xf（x）＝1不成立，即x≠0，则等价为f（x）＝，当2＜x≤4时，0＜x﹣2≤2，此时f（x）＝f（x﹣2）＝（1﹣|x﹣2﹣1|）＝﹣|x﹣3|，当4＜x≤6时，2＜x﹣2≤4，此时f（x）＝f（x﹣2）＝[﹣|x﹣2﹣3|]＝﹣|x﹣5|，作出f（x）的图象如图，则f（1）＝1，f（3）＝f（1）＝，f（5）＝f（3）＝，设h（x）＝，则h（1）＝1，h（3）＝，h（5）＝＞f（5），作出h（x）的图象，由图象知两个函数图象有3个交点，即函数g（x）的零点个数为3个，故选：B．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13.已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，点P（x，y）在抛物线C上，且x＝1，则|PF|＝_____．【答案】【解析】【分析】利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可．【详解】由，得，则；由得，由抛物线的性质可得，故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题．14.已知实数x，y满足约束条件，则z＝|﹣5x+y|的取值范围为_____．【答案】[0，11]【解析】【分析】作出约束条件表示的可行域，判断目标函数经过的点，然后求解目标函数的范围即可．【详解】作出实数x，y满足约束条件的可行域，如图所示：作直线l0：﹣5x+y＝0，再作一组平行于l0的直线l：﹣5x+y＝z，当直线l经过点A时，z＝﹣5x+y取得最大值，由，得点A的坐标为（﹣2，0），所以z max＝﹣5×（﹣2）+0＝10．直线经过B时，目标函数取得最小值，由，解得B（2，﹣1）函数的最小值为：﹣10﹣1＝﹣11．z＝|﹣5x+y|的取值范围为：[0，11]．故答案为：[0，11]．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，考查计算能力．15.在的展开式中，常数项为_____．【答案】-40【解析】【分析】根据，按照二项式定理展开，可得在的展开式中的常数项．【详解】解：∵（x﹣2）＝（x6+6x4+15x2+20+15•6•）（x﹣2），∴常数项是20•（﹣2）＝﹣40，故答案为：﹣40．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．16.如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为_____．【答案】2π【解析】【分析】设圆柱的底面圆半径为r，高为h，求出r与h的关系，再计算圆柱的体积V，从而求出体积V的最大值．【详解】解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h；则h2+r2＝R2＝3；所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π（3﹣h2）h＝π（3h﹣h3）；则V′（h）＝π（3﹣3h2），令V′（h）＝0，解得h＝1；所以h∈（0，1）时，V′（h）＞0，V（h）单调递增；h∈（1，）时，V′（h）＜0，V（h）单调递减；所以h＝1时，V（h）取得最大值为V（1）＝2π．故答案为：2π．【点睛】本题考查了半球与内接圆柱的结构特征与应用问题，也考查了圆柱的体积计算问题，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果．利用的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果．【详解】在的内角A，B，C的对边分别为，且．整理得：，利用正弦定理得：，即：，由于：，解得：．由于，所以：，整理得：，所以：．当且仅当时，的面积有最小值.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.如图1，等边△ABC中，AC＝4，D是边AC上的点（不与A，C重合），过点D作DE∥BC交AB于点E，沿DE将△ADE向上折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，如图2所示．（1）若异面直线BE与AC垂直，确定图1中点D的位置；（2）证明：无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值，并求出这个定值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出图1中点D在靠近点A的三等分点处；（2）求出平面ADE的法向量和平面ABE的法向量，利用向量法能证明无论点D的位置如何，二面角D ﹣AE﹣B的余弦值都为定值．【详解】解：（1）在图2中，取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设OA＝x，则OF＝2x，OE，∴B（2，2x，0），E（，0，0），A（0，0，x），C（﹣2，2x，0），（﹣2，2x，﹣x），（2，x﹣2，0），∵异面直线BE与AC垂直，∴8＝0，解得x（舍）或x，∴，∴图1中点D在靠近点A的三等分点处．证明：（2）平面ADE的法向量（0，1，0），（，0，﹣x），（2，x﹣2，0），设平面ABE的法向量（a，b，c），则，取a＝1，得（1，，），设二面角D﹣AE﹣B的平面角为θ，则cosθ，∴无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值．【点睛】本题考查空间中点的位置的确定，考查二面角的余弦值为定值的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，考查数形结合思想，是中档题．19.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值服从正态分布Z（μ，σ2），其中μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差s2（组数据取中间值）；①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率；②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？参考数据：＝5.1，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ，μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ，μ+2σ）＝0.9544．【答案】（1）见解析；（2）①0.9544，②863200．【解析】【分析】（1）由频率分布图求出[95，105）的频率，由此能作出补全频率分布直方图；（2）求出质量指标值的样本平均数、质量指标值的样本方差；（3）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；①由（2）知Z～N（100，104），从而求出P（79.6＜Z＜120.4），注意运用所给数据；②设这种产品每件利润为随机变量E（X），即可求得EX．【详解】（1）由频率分布直方图得：[95，105）的频率为：1﹣（0.006+0.026+0.022+0.008）×10＝0.038，补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）：质量指标值的样本平均数为：＝80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08＝100．质量指标值的样本方差为S2＝（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08＝104．（2）①由（1）知Z～N（100，104），从而P（79.6＜Z＜120.4）＝P（100﹣2×10.2＜Z＜100+2×10.2）＝0.9544；②由①知一件产品的质量指标值位于区间（79.6，120.4）的概率为0.9544，该企业的年利润是EX＝100000[0.9544×10﹣（1﹣0.9544）×20]＝863200．【点睛】本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、方差的求法，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力，属于中档题．20.已知椭圆C过点，两个焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝6，求△AOB面积的最大值．【答案】（1）；（2）9【解析】【分析】（1）由已知可设椭圆方程为（a＞b＞0），且c，再由椭圆定义求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m，由弦长求得m，可得三角形AOB的面积；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立直线方程与椭圆方程，结合根与系数的关系及弦长可得m与k的关系，再由点到直线的距离公式求出原点O到AB的距离，代入三角形面积公式，化简后利用二次函数求最值，则答案可求．【详解】解：（1）由题意，设椭圆方程为（a＞b＞0），且c，2a12，则a＝6，∴b2＝a2﹣c2＝12．∴椭圆C的标准方程为；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x＝m，得|AB|，由|AB|6，解得m＝±3，此时；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣36＝0．△＝36k2m2﹣4（3k2+1）（3m2﹣36）＝432k2﹣12m2+144．设A（，），B（，），则，．由|AB|6，整理得：，原点O到AB的距离d．∴．当时，△AOB面积有最大值为9．综上，△AOB面积的最大值为9．【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21.已知函数f（x）＝e x﹣有两个极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2，求证：x1+x2＞2．【答案】（1）（e，+∞）；（2）见解析【解析】【分析】（1）f′（x）＝e x﹣ax．函数f（x）＝e x有两个极值点⇔f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．x＝0时不满足上述方程，方程化为：a，令g（x），（x≠0）．利用导数已经其单调性即可得出．（2）由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为，x2，不妨设＜，+＞2⇔＞2﹣＞1⇔，由，因此即证明：．构造函数h（x），0＜x＜1，2﹣x ＞1．利用导数已经其单调性即可得出．【详解】（1）解：f′（x）＝e x﹣ax．∵函数f（x）＝e x有两个极值点．∴f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．x＝0时不满足上述方程，方程化为：a，令g（x），（x≠0）．g′（x），可得：x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．a＞e时，方程f′（x）＝e x﹣ax＝0有两个实数根．∴实数a的取值范围是（e，+∞）．（2）证明：由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1＜x2．证明：+＞2⇔＞2﹣＞1⇔，由，因此即证明：．构造函数h（x），0＜x＜1，2﹣x＞1．h′（x）（x﹣1），令函数u（x），（0＜x）．u′（x）．可得函数u（x）在（0，1）内单调递减，于是函数v（x）在（0，1）内单调递减．v（x）≥v（1）＝0．∴x＝1时，函数h（x）取得极小值即最小值，h（1）＝0．∴h（x）＞h（1）＝0．∴．因此+＞2成立．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.已知曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（1）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（2）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．【答案】（1）曲线C：y2＝4x，顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）8【解析】【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程；（2）直线l的参数方程（t为参数，0≤α＜π）．可得l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），得到，得到直线l新的参数方程为（t为参数）．代入抛物线方程可得t+2＝0，设A、B对应的参数分别为t1，t2，利用|AB|即可得出．【详解】（1）曲线C的极坐标方程ρ＝化为ρ2sin2θ＝4ρcosθ，得到曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．故l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），则，∴直线l的参数方程为（t为参数）．代入y2＝4x，得t+2＝0设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2＝﹣6，t1t2＝2．|AB|＝|t1﹣t2|＝＝＝8．【点睛】本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转换、直线的参数方程及其应用，考查了计算能力，属于中档题．．23.已知函数f（x）＝的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足时，求7a+4b的最小值．【答案】(Ⅰ) m≤4(Ⅱ)【解析】试题分析：（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x﹣3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知n=4，变形7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出．试题解析：(Ⅰ)由题意可知：＋－m≥0对任意实数恒成立．设函数g(x)＝＋，则m不大于函数g(x)的最小值．又＋≥＝4.即g(x)的最小值为4，所以m≤4(Ⅱ)由(Ⅰ)知n＝4，∴7a＋4b＝＝＝≥＝.当且仅当a＋2b＝3a＋b，即b＝2a＝时，等号成立．所以7a＋4b的最小值为.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．【此处有视频，请去附件查看】21页。