陕西省西安地区八校联考2020届高三数学(理科)试题

2020届陕西省西安地区八校联考数学理科试题数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上． 2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持纸面清洁，不折叠，不破损．5．若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并在答题纸上对应的题号后填写．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}10A x Z x =∈+≥，(){}lg 3B x y x ==-，则A B ⋂=（ ）． A ．{}0,1,2B ．{}13x x -≤<C ．{}0,1,3,1,2-D ．{}1,2,1,0-2．已知复数z 在复平面上对应的点为()1,2-，i 为虚数单位，则zi=（ ）． A ．2i --B ．12i -+C ．2i -D ．12i --3．函数()3234f x x x =+-的零点个数为（ ）． A ．0B ．1C ．2D ．34．若已知实数,x y 满足()22,20,13,y x x y y ≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤≤⎩则241z x y =++的最小值为（ ）．A ．2-B ．3-C ．5-D ．05．从6男4女中任选2男2女担任,,,A B C D 四种互不相同的工作，且每人担任其中的一项工作．若女甲不能担任工作C ，则不同的选派方案种数为（ ）． A ．1800B ．1890C ．2160D ．22106．已知()622a a Z a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中第1r +项是160-，则函数()af x x =是（ ）． A ．定义域为R 的奇函数 B ．在()0,+∞上递减的奇函数 C ．定义域为R 的偶函数D ．在()0,+∞上递增的偶函数7．已知点()2,3A 到抛物线()20y px p =>的准线的距离为5，则抛物线的焦点坐标为（ ）． A ．（2，0）B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．（0，2）D ．10,32⎛⎫⎪⎝⎭8．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，侧棱长为在同一球面上，则该球的表面积为（ ）．A ．20πB ．16πC ．12πD ．9．若x x ≤≤223x x+≤≤”成立的（ ）． A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件10．函数()22cos212sin 2f x x x x =+-的单调递增区间为（ ）． A ．(),26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．(),21223k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ C ．(),612k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．(),123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦11．已知双曲线C ：()2210,0x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，过1F 且垂直于x 轴的直线被双曲线C e 为双曲线的离心率），则双曲线的渐近线方程为（ ）．A ．3y x =±B ．5y x =±C ．35y x =±D ．5y x =±12．陕西关中的秦腔表演朴实，粗犷，细腻，深刻，再有电子布景的独有特效，深得观众喜爱．戏曲相关部门特意进行了“喜爱看秦腔”调查，发现年龄段与爱看秦腔的人数比存在较好的线性相关关系，年龄在[40，44]，[45，49]，[50，54]，[55，59]的爱看人数比分别是0.10，0.18，0.20，0.30，现用各年龄段的中间值代表年龄段，如42代表[40，44]．由此求得爱看人数比y 关于年龄段x 的线性回归方程为0.4188y kx =-．则年龄在[60，64]的10000人中，爱看秦腔的人数约为（ ）． A ．4200B ．3900C ．3700D ．3500第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，把答案填在答题卷中相应的横线上） 13．已知平面向量(),2a m =，()2,b m =，且//a b a -，则m =______．14．在3与156之间插入50个数，使这52个数成等差数列，则插入的50个数的和等于______．15．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为35，乙获胜的概率为25，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为______．16．金石文化，是中国悠久文化之一．“金”是指“铜”，“石”是指“石头”，“金石文化”是指在铜器或石头上刻有文字的器件．在一千多年前，有一种凸多面体工艺品，是金石文化的代表作，此工艺品的三视图是三个全等的正八边形（如图），若一个三视图（即一个正八边形）的面积是(()28dm +，则该工艺品共有______个面，表面积是______．三、解答题（本大题共7小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17．已知ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()(222a b c bc --=，2sin sin cos 2CA B =，BC 边上的中线AM ． （Ⅰ）求角A 、C 的大小； （Ⅱ）求ABC △的面积．18．已知四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为平行四边形，M 为CD 的中点，N 为PD 上一点，且12DN NP =（如图）．（Ⅰ）证明：//PB 平面AMN ；（Ⅱ）当平面PAB ⊥平面ABCD ，55566PA PB AD AB ====，120BAD ∠=︒时，求二面角B AM N --的余弦值．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，设()()22nn n f n a S =-+-．（Ⅰ）若11a =，23a =，且数列(){}f n 为等差数列，求数列(){}f n 的通项公式； （Ⅱ）若()0f n =对任意n N +∈都成立，求当n 为偶数时n S 的表达式． 20．己知函数()()2sin f x mx x m R =+∈．（Ⅰ）若()f x 在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，求m 的最大值； （Ⅱ）若函数()f x 的图像在原点处的切线也与函数()ln 1g x x x =+的图像相切，求m 的值．21．已知A ，B ，C 顺次是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点、上顶点和下顶点，椭圆E的离心率2e =12AB AC ⋅=． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若斜率为1111k k ⎛-<< ⎝⎭的直线l 过点()()0,4m m k ≠-，直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，且以PQ 为直径的圆经过点A ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xoy 中，直线l经过点()P -，其倾斜角为α，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线S的参数方程为1x ky ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（k 为参数），曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （Ⅰ）求曲线S 的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围． 23．[选修4—5：不等式选讲] 已知函数()25f x x x x =---． （Ⅰ）求不等式()238f x x ≥-的解集；（Ⅱ）若存在[]00,6x ∈，使()042f x a ≥--成立，求a 的取值范围．。

2020年高三联考理科数学试题本试卷共6页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用黑色字迹钢笔或签字笔将答案填写在答题卡上对应题目的序号下面，如需改动，用橡皮擦干净后，再选填其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U ＝R ，集合{/|1|1}A x x =-<, 1{0}xB xx-=≤,则A ∩(∁U B )＝( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(1, 2) D ． (0,2)2. 已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且（x ﹣2）i ﹣y=1，则(1)x yi -+的值为（ ） A ．4 B ． ﹣4C ． ﹣2iD ． ﹣2+2i3、已知),2(ππα∈,53sin =α,则)4tan(πα-的值等于（ ）A ．7-B ．71-C ．7D ．714. 等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为32303S x dx =⎰，则公q 的值是（ ）A. 1B.－12 C. 1或－12 D. － 1或－125．定义在R 上的偶函数f (x )在（0，＋∞)上是增函数，且f (13)＝0，则不等式()0xf x >的解集是( )A ．(0，13)B ．(13 ，＋∞)C ．(- 13，0)∪(13，＋∞)D ．(-∞，-13)∪(0，13)6．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积．．．为 A ．π12 B ． π3 C ．π34 D ．π3127．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点，若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A ．132-+ B ．132+ C ．152-+ D ．152+ 8. 已知集合M={(x,y )|y f (x )=}，若对于任意11(x ,y )M ∈，存在22(x ,y )M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={1(x,y )|y x=}； ②M={1(x,y )|y sin x =+}；③M={2(x,y )|y log x =}； ④M={2x(x,y )|y e =-}．其中是“垂直对点集”的序号是（ ） A.①② B .②④ C .①④ D .②③二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（8～13题）9．下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的 概率为10. 设31(5)nx x-的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若240M N -=，则展开式中的常数项_________．11. 下列说法：①“x ∃∈R ，23x >”的否定是“x ∀∈R ，23x ≤”；②函数sin(2)sin(2)36y x x ππ=+- 的最小正周期是π；③命题“函数()f x 在0x x =处有极值，则0()0f x '=”的否命题是真命题；④()f x 是(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，0x >的解析式是()2xf x =，则0x <时的解析式为()2xf x -=-．其中正确的说法是__________．12. 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，则向量a ，b 的夹角是钝角的概率是 ．13．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起， 每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为ij a （*,,N j i j i ∈≥），则53a 等于 ，______(3)mn a m =≥.（ ） ▲ 14．在极坐标系中，过点(3,)3π且垂直于极轴的直线方程的极坐标方程是 （请选择正确标号填空） （1）3sin 2=ρθ （2）3cos 2=ρθ （3）3sin 2=ρθ （4）3cos 2=ρθ 15. 如图，在△ABC 和△ACD 中，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ，⊙O 是以AB 为直径的圆，DC 的延长线与AB 的延长线交于点E . 若EB ＝6，EC ＝62，则BC 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分。

2020年陕西省西安市八校高考数学联考试卷（理科）（6月份）一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，4）B．（﹣1，2）C．（2，4）D．（﹣1，3）2．（5分）已知数列{a n}满足：a n+1+2a n＝0，且a2＝2，则{a n}前10项和等于（）A．B．﹣C．210﹣1D．1﹣2103．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若复数z＝a+（1﹣a）i的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限，且z•＝5，则z＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．2﹣i D．﹣2+3i4．（5分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，给出下列命题：①；②；③；④．其中的正确命题序号是（）A．②③B．①②③C．②④D．①②④5．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝e|x|•cos x B．f（x）＝ln|x|•cos xC．f（x）＝e|x|+cos x D．f（x）＝ln|x|+cos x6．（5分）设，是平面内两个不共线的向量，＝（a﹣1）+，＝b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．87．（5分）已知p：a＝±1，q：函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知圆x2+y2＝r2（r＞0）与抛物线y2＝2x交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则r等于（）A．B．C．D．9．（5分）已知sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），则cos （α+）＝（）A．B．﹣C．D．﹣10．（5分）对于函数f（x）＝cos2x+sin x cos x，x∈R，下列命题错误的是（）A．函数f（x）的最大值是B．不存在x0∈（，）使得f（x0）＝0C．函数f（x）在[，]上单调递减D．函数f（x）的图象关于点（，0）对称11．（5分）已知F2，F1是双曲线的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝，点A、B是函数f（x）图象上不同两点，则∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．（0，）D．（0，]二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+y的最小值为．14．（5分）从、、2、3、5、9中任取两个不同的数，分别记为m、n，则“log m n＞0”的概率为．15．（5分）已知点A、B、C在球心为O的球面上，若AB＝AC＝5，BC＝6，球心O到截面ABC的距离为1，则该球的表面积为．16．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若CD＝1且（a﹣b）sin A＝（c+b）（sin C﹣sin B），则△ABC面积的最大值是．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）若二面角P﹣CD﹣B为45°角，AD＝2，CD＝3，求PD与平面PCE所成角的正弦值．18．（12分）已知{a n}是各项都为正数的数列，其前n项和为S n，且a1＝1，S n+12＝S n2+1．（1）求数列{S n}的通项公式；（2）设b n＝，求{b n}的前n项和T n．19．（12分）为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据（单位：h）．根据这100个样本数据，副制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（Ⅰ）求P（0.8＜Z＜8.3）；（Ⅱ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.3）的人数为ɛ，试求E（ɛ）．附：≈2.5，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.954520．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，|AB|＝．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在与x轴不垂直的直线l，使弦AB的垂直平分线过椭圆C的右焦点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数f（x）＝ln（1+ax）﹣（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1、x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第-题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4＝0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C和直线l的极坐标方程；（Ⅱ）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2＝|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]（本小题10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）求不等式f（2x）﹣f（x+1）≥2的解集．（2）若a＞0，b＞0且a+b＝f（3），求证：．参考答案一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，4）B．（﹣1，2）C．（2，4）D．（﹣1，3）【分析】解不等式得集合A，根据交集的定义写出A∩B．解：集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{x|x＞2}，故选：C．2．（5分）已知数列{a n}满足：a n+1+2a n＝0，且a2＝2，则{a n}前10项和等于（）A．B．﹣C．210﹣1D．1﹣210【分析】通过a n+1+2a n＝0可确定数列{a n}是公比为﹣2的等比数列，进而通过a2＝2可知首项a1＝﹣1，利用等比数列的求和公式计算即得结论．解：∵a n+1+2a n＝0，∴数列{a n}是公比为﹣2的等比数列，∴a2＝（0﹣a4）＝﹣1，故选：B．3．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若复数z＝a+（1﹣a）i的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限，且z•＝5，则z＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．2﹣i D．﹣2+3i【分析】由已知求解a的范围，再由z•＝|z|2＝5列式求解a值．解：z＝a+（1﹣a）i的共轭复数＝a+（a﹣1）i，对应点的坐标为（a，a﹣1），又z•＝|z|2＝a8+（a﹣1）2＝3，解得a＝﹣1（a＜0）．故选：A．4．（5分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，给出下列命题：①；②；③；④．其中的正确命题序号是（）A．②③B．①②③C．②④D．①②④【分析】由线面垂直及线线垂直的几何特征可判断①的真假；由线面垂直的性质定理可判断②的真假；根据线面垂直的性质定理及面面平行的判定方法可判断③的真假；由面面平行的性质及几何特征可判断④的真假，进而得到答案．解：或n⊂α，故①错误；由线面垂直的性质定理可得，故②正确；由面面平行的性质及几何特征可得或m，n异面，故④错误；故选：A．5．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝e|x|•cos x B．f（x）＝ln|x|•cos xC．f（x）＝e|x|+cos x D．f（x）＝ln|x|+cos x【分析】采用排除法排除A，B，C．解：由图可知f（）＞0，故可排除A，B；对于C：f（x）＝e|x|+cos x，当x∈（0，1）时f（x）＞3，故可排除C．故选：D．6．（5分）设，是平面内两个不共线的向量，＝（a﹣1）+，＝b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【分析】利用向量共线定理推出a，b的关系，进而解出的最小值解：∵A，B，C三点共线，∴，共线，可解得，b＝2﹣2a∴＝＝故选：B．7．（5分）已知p：a＝±1，q：函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则f（﹣x）+f（x）＝lna＝0，解得a．即可判断出结论．解：函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则f（﹣x）+f（x）＝ln（﹣x+）+ln（x+）＝lna＝0，∴p是q成立的必要不充分条件．故选：B．8．（5分）已知圆x2+y2＝r2（r＞0）与抛物线y2＝2x交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则r等于（）A．B．C．D．【分析】先得C的坐标，根据ABCD为矩形得A的坐标，再代入抛物线可得．解：易得C（﹣，），则A（，），将A点坐标代入y2＝2x得r2﹣＝1，解得r＝，故选：C．9．（5分）已知sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），则cos（α+）＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】根据根与系数的关系求出sinα+cosα以及sinαcosα的值，结合α的范围联立解得sinα，cosα的值，再用两角和的余弦公式代入计算即可求出值．解：∵sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），∴sinα+cosα＝，sinαcosα＝﹣，∴cos（α+）＝cosα﹣sinα＝（cosα﹣sinα）＝×（﹣﹣）＝﹣．故选：D．10．（5分）对于函数f（x）＝cos2x+sin x cos x，x∈R，下列命题错误的是（）A．函数f（x）的最大值是B．不存在x0∈（，）使得f（x0）＝0C．函数f（x）在[，]上单调递减D．函数f（x）的图象关于点（，0）对称【分析】化简函数f（x）的解析式得f（x）＝sin（2x+）+，由三角函数的性质逐个加以判断即可得出答案．解：f（x）＝cos2x+sin x cos x，x∈R＝cos2x+sin2x+＝sin（2x+）+，所以f（x）的最大值为，故A正确，所以2x+＝+7kπ或2x+＝﹣+2kπ，k∈Z，故不管k为何整数，上式解都不在区间（，）内，C．由2kπ+≤2x+≤+2kπ，k∈Z，即f（x）在[，]上单调递减，D．把f（）＝sin n（2×+）+＝≠0，故选：D．11．（5分）已知F2，F1是双曲线的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2＝120°，利用余弦定理算出c2＝7a2，结合双曲线渐近线方程即可的结论．解：根据双曲线的定义，可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，∵△ABF2是等边三角形，即|BF8|＝|AB|，又∵|AF2|﹣|AF1|＝2a，∵△AF1F2中，|AF6|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，即4c2＝4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）＝28a2，由此可得双曲线C的渐近线方程为x＝±y＝±y，故选：D．12．（5分）已知函数f（x）＝，点A、B是函数f（x）图象上不同两点，则∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．（0，）D．（0，]【分析】当x≤0时，函数f（x）是双曲线得到渐近线的斜率k＝﹣3，当x＞0时，求函数过原点的切线，根据直线的夹角公式进行求解即可．解：当x≤0时，由y＝得y2﹣9x2＝1，（x≤8），此时对应的曲线为双曲线，双曲线的渐近线为y＝﹣3x，此时渐近线的斜率k1＝﹣3，当x＞0时，f（x）＝1+xe x﹣1，当过原点的直线和f（x）相切时，设切点为（a，6+ae a﹣1），则切线斜率k2＝f′（a）＝（a+7）e a﹣1，即y＝（1+a）e a﹣1（x﹣a）+1+ae a﹣1，即a2e a﹣1+ae a﹣1＝1+ae a﹣1，则切线和y＝﹣5x的夹角为θ，故∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（0，），故选：A．二、填空题（共4小题）.13．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+y的最小值为1．【分析】根据题意画出不等式组表示的平面区域，找出最优解，求出目标函数z的最小值．解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示；设z＝x+y，将直线l：z＝x+y进行平移，∴z最小值＝3﹣2＝1．故答案为：1．14．（5分）从、、2、3、5、9中任取两个不同的数，分别记为m、n，则“log m n＞0”的概率为．【分析】基本事件总数N＝6×5＝30，log m n＞0包含的基本事件个数M＝2×1+4×3＝14，由此能求出“log m n＞0”的概率．解：∵从、、2、4、5、9中任取两个不同的数，分别记为m、n，基本事件总数N＝6×5＝30，从5，3，5，9中取两个数，则“log m n＞0”的概率为P＝＝．故答案为：．15．（5分）已知点A、B、C在球心为O的球面上，若AB＝AC＝5，BC＝6，球心O到截面ABC的距离为1，则该球的表面积为．【分析】根据球的截面圆性质、截面ABC的距离为1，求解△ABC外接圆的半径r，构造勾股定理即可求解．解：由AB＝AC＝5，BC＝6，可知△ABC是等腰三角形，作BC的高线h，可得h＝4，那么sin B＝；可得△ABC外接圆的半径r＝，那么球的R＝＝故答案为：16．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若CD＝1且（a﹣b）sin A＝（c+b）（sin C﹣sin B），则△ABC面积的最大值是．【分析】利用正弦定理可得：a2+b2﹣c2＝ab，①，cos C＝，sin C＝，利用2＝+可得a2+b2+ab＝4，②，由①②可得ab＝4﹣c2，所以面积S＝（4﹣c2）×，再根据c2＝a2+b2﹣ab≥2ab ﹣＝ab＝（4﹣c2），得c2≥，从而可得S的最大值．解：∵，∴由正弦定理可得：，∴由余弦定理可得：cos C＝＝＝，可得：sin C＝＝，由①②得ab＝4﹣c2，S△ABC＝ab sin C＝（4﹣c2）×，∴S△ABC＝（4﹣c2）×≤（4﹣）×＝．故答案为：．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）若二面角P﹣CD﹣B为45°角，AD＝2，CD＝3，求PD与平面PCE所成角的正弦值．【分析】（1）作PC的中点G，连结FG，EG，证明四边形AEGF为平行四边形，推出AF∥平面PCE．（2）法一：证明PA⊥CD，CD⊥PD，说明∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，设D 到平面PCE的距离为h，由V P﹣DCE＝V D﹣PCE，求出h，然后求解PD与平面PCE所成角的正弦值．法二：证明PA⊥CD，CD⊥PD，说明∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，以A为原点，AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面PCE的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（1）证明：作PC的中点G，连结FG，EG，△PCD中，FG为中位线，FG ∥CD且，由AE∥CD且得四边形AEGF为平行四边形，AF∥EG，∴AF∥平面PCE……………………………（4分）∴CD⊥PD，∴∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，∴∠PDA＝45°……………………………………（8分）设D到平面PCE的距离为h，由V P﹣DCE＝V D﹣PCE得：S△PCE•h＝S△BCE•PA，（也可以得出二面角为∠PDA后，借助AF⊥平面PCD得EG⊥平面PCD，法二：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，以A为原点，AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，所以PD与平面PCE所成角的正弦值为．……………………………………（12分）18．（12分）已知{a n}是各项都为正数的数列，其前n项和为S n，且a1＝1，S n+12＝S n2+1．（1）求数列{S n}的通项公式；（2）设b n＝，求{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由等差数列的定义，以及通项公式可得所求；（2）由数列的递推式求得a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣（n≥2），又a1＝S1＝1，所以a n ＝﹣，b n＝＝＝（﹣1）n（+），分别讨论n为奇数或偶数，由裂项相消求和可得所求和．解：（1）a1＝1，S n+12＝S n2+1，所以{S n2}是首项为5，公差为1的等差数列，因为{a n}各项都为正数，（2）a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣（n≥2），b n＝＝＝（﹣1）n（+），当n为偶数时，T n＝﹣1++1﹣（+）+…﹣（+）+（+）＝．所以{b n}的前n项和T n＝（﹣1）n．19．（12分）为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据（单位：h）．根据这100个样本数据，副制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（Ⅰ）求P（0.8＜Z＜8.3）；（Ⅱ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.3）的人数为ɛ，试求E（ɛ）．附：≈2.5，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9545【分析】（Ⅰ）直接由频率分布直方图结合公式求得样本平均数和样本方差s2；（Ⅱ）（i）利用正态分布的对称性即可求得P（0.8＜X≤8.3）；（ii）由（i）知学生假期日平均数学学习时间位于（0.8，8.3）的概率为0.8186，且ξ服从二项分布，由二项分布的期望公式得答案．解：（Ⅰ）这100名学生每周平均锻炼时间的平均数═1×0.05+3×0.2+2×0.30+7×0.25+9×0.15+11×3.05＝5.8；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知X服从正态分布N（5.8，6.16），且σ＝≈2.5，（ii）由（i）知每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.7）的概率为0.8186，∴E（ξ）＝5000×0.8186＝4093．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，|AB|＝．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在与x轴不垂直的直线l，使弦AB的垂直平分线过椭圆C的右焦点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由已知列关于a，b，c的方程组，求解可得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（2）假设存在直线l，设方程为y＝kx+m，k≠0，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得AB中点坐标，写出AB的垂直平分线方程，把右焦点坐标代入，结合判别式大于0可得结论．解：（1）由已知可得，，解得a＝2，b＝1，c＝．∴椭圆C的方程为；设A（x1，y1），B（x2，y2），∴△＝324k2m2﹣36（1+9k2）（m2﹣1）＞5，即9k2+1＞m2，设AB的中点坐标为M（x0，y0），∴M（﹣，），∵弦AB的垂直平分线过E的右焦点（，0），代入9k2+1＞m2，得，∴不存在与x轴不垂直的直线l，使弦AB的垂直平分线过椭圆C的右焦点．21．（12分）设函数f（x）＝ln（1+ax）﹣（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1、x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求导得f'（x）＝，易知（1+ax）（x+2）2＞0，于是分0＜a＜1和a≥1两类讨论f'（x）与0的大小关系，即可得f（x）的单调性．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a≥1不符合题意，必有0＜a＜1，且x1、x2是方程ax2+4a﹣4＝0的两个不同实根，由函数的定义域可推出a∈（0，）∪（，1）；将f（x1）+f（x2）化简为ln（2a﹣1）2+﹣2；利用换元法构造新函数g（t）＝lnt2+﹣2，然后分﹣1＜t＜0和0＜t＜1两类讨论g（x）的单调性，并求出相应的最值即可得解．解：（Ⅰ）∵f（x）＝ln（1+ax）﹣，∴f'（x）＝﹣＝．∴（1+ax）（x+2）2＞0，于是f'（x）的正负性由ax2+4a﹣4决定．②当4＜a＜1时，令ax2+4a﹣4＞0，得x＞，∴f'（x）＞8，f（x）单调递增；综上所述，当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．∵f（x）存在两个极值点x1、x2，∵函数f（x）的定义域为（，﹣8）∪（﹣2，+∞），f（x1）+f（x2）＝ln（1+ax1）﹣+ln（1+ax2）﹣＝ln（8a﹣1）2﹣＝ln（2a﹣3）2+﹣2．设g（t）＝lnt2+﹣2，①当﹣1＜t＜5时，g（t）＝2ln（﹣t）+﹣2，∴g'（t）＝＝＜0，∴g（t）在（﹣1，0）上单调递减，即当0＜a＜时，f（x1）+f（x2）＜0，不符合题意．②当8＜t＜1时，g（t）＝2lnt+﹣2，∴g'（t）＝＝＜8，∴g（t）在（0，1）上单调递减，即当＜a＜8时，f（x1）+f（x2）＞0，符合题意．a的取值范围为（，1）．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第-题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4＝0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C和直线l的极坐标方程；（Ⅱ）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2＝|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2＝4，利用互化公式可得圆C的极坐标方程．点P在直线l：x+y﹣4＝0上，利用互化公式可得直线l的极坐标方程．（Ⅱ）设P，Q，R的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），由，又|OP|2＝|OR|•|OQ|，即可得出．解：（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2＝4，∴圆C的极坐标方程ρ＝3．点P在直线l：x+y﹣4＝0上，直线l的极坐标方程ρ＝．因为，∴ρ＝．[选修4-5：不等式选讲]（本小题10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）求不等式f（2x）﹣f（x+1）≥2的解集．（2）若a＞0，b＞0且a+b＝f（3），求证：．【分析】解法一：（1）去掉绝对值符号，利用分类讨论思想求解不等式的解集即可．（2）要证成立，只需证成立，利用分析法证明求解即可．解法二：（1）作出函数g（x）＝f（2x）﹣f（x+1）利用数形结合转化求解即可．（2）利用综合法转化求解证明成立．【解答】选修4﹣5：不等式选讲，满分（10分）．解法一：（1）因为f（x）＝|x﹣1|，所以，解得x≤﹣1或x∈∅或x≥3，所以不等式的解集为：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．……………（4分）所以要证成立，即证，因为a＞0，b＞0，所以根据基本不等式成立，解法二：（3）因为f（x）＝|x﹣1|，作出函数g（x）＝f（2x）﹣f（x+1）的图象（如下图）因为直线y＝2和函数g（x）图象的交点坐标为A（﹣1，4），B（3，2）．……………………………（4分）（2）a+b＝f（3）＝2，……………………………（4分）所以，，……………………………（8分）所以成立．……………………………（10分）。

西安市教育学会教研信息专业委会员2022届高三卷●启用前机密西安地区陕师大附中西安高级中学西安高新一中西安交大附中西安市83中西安市85中西安市一中西安铁一中西安中学西工大附中八校联考（八校顺序以校名全称按汉语拼音方案字母表顺序排列；再行增减校名时“八校联考”名称不变）2022届高三年级数学（理科）试题命题：特聘教研员文德靖审定：西铁一中广隶审校：朱景峰本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹整洁．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题无效．4．保持纸面清洁，不折叠，不破损．5．若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并在答题纸上对应第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．数据2-，0，1，2，5，6的方差是（）．A ．46B ．233C ．693D ．232．已知全集U N = （N是自然数集），集合{}41,A x x x Z =-<∈，则U A =ð（）．A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2,3C ．{}1,2D ．{}0,1,23．已知复数z 满足()()1i 51i z +=+（i 为虚数单位），则z =（）．A ．13i+B ．2i-C ．3i+D ．13i 55+4．如图，在直角AMN △中，90A =︒，B AM ∈，C MN ∈，D AN ∈，2DN =，8BM =．向AMN △中任意投掷一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD 区域内的概率是（）．A ．13B ．49C ．59D ．235．已知双曲线M ：()22108x y a a a -=>+的离心率为2，则双曲线M 的渐近线方程是（）．A ．3y x=±B ．33y x =±C ．3y x =±D ．2y =±6．如图所示算法框图，则输出的z 的值是（）．A ．82-B ．132-C ．212-D ．1327．将函数()sin cos f x x x =+的图像向左平移4π个单位，得函数()y g x =的图像．则34g π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）．A ．12B ．1C ．62-D ．1-8．一个空间几何体的三视图如右图所示，三个视图都是外轮廓为边长是4的正方形，则其表面积S =（）．A ．64315+B ．74C ．64103+D ．6486+9．若()523450123452x a a x a x a x a x a x -=+++++，则3a =（）．A ．80-B ．40-C ．40D ．8010．第十四届全国运动会开幕式，于2021年9月15日20点在西安奥体中心隆重开幕．本次盛会的观众席中有1800名是“西安铁一中”师生，这些师生中还有800名学生参加了文艺演出．开幕式之后，在这1800名师生中，按照“参加了演出”和“未参加演出”分层抽样抽取了9名师生，参加“西安电视台”举办的“弘扬十四运精神”座谈会，并且在这9人中随机抽取4人再作问卷，则4人中恰有3人是“参加了演出”的概率是（）．A ．1063B ．2063C ．15126D ．1711．如图，在正方形ABCD A B C D ''''-中，M ，N 分别是A D ''，D C ''的中点，则直线AM 与平面BND 的位置关系是（）．A ．垂直B ．平行C ．相交但不垂直D ．无法确定12．已知函数()247f x x x =-+，()()ln g x ax x a R =-∈，若对()0,x e ∀∈，1x ∃，()()2120,x e x x ∈≠，使得()()()12f x g x g x ==，则a 的取值范围是（）．A ．18,e e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．21,e e⎤⎤⎥⎥⎦⎦C ．28,e e⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中相应的横线上）13．已知向量()1,3a =-，(),4b x = ，且a b ∥，则x =________．14．已知等比数列{}n a 中，11a =，22a =．设n T 为数列{}n a 的前n 项乘积，则满足3023n T ≥的正整数n的最小值是________．15．已知抛物线C ：214y x =的焦点为F ，过F 且倾斜角为4π的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，则线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离是________．16．已知ln 2a =，ln 22b -=，()lg ln 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是________．三、解答题（本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17．（本小题满分12分）设函数()()2sin cos 102f x x x ωωωπ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期为π．（I ）求ω的值；（II ）设ABC △的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若4a =，6b c +=，()32f A =-，求ABC △的面积ABC S △．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a ，定义：“11S a =，当2n ≥时，123n n S a a a a =---⋅⋅⋅-，则()n S n N +∈叫作数列{}n a 的前n 项差”．设23n a n =-．（I ）求数列{}n a 的前n 项差n S ；（Ⅱ）若2nn b =，n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n M ．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是边长为12，60A ∠=︒的菱形，侧面BPC △是90P ∠=︒的等腰直角三角形，M 为PD 的中点，且平面BPC ⊥平面ABCD ．（I ）求线段AM 的长；（Ⅱ）求直线AM 与平面PBD 所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆S ：()222210x y a b a b +=>>的离心率22e =，左、右焦点分别为1F 、2F ，点(2,P 在椭圆S上，过2F 的直线l 交椭圆S 于A ，B 两点．（I ）求椭圆S 标准方程；（Ⅱ）求1ABF △的面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数()()()2ln 2f x ax x a R =+-∈．（I ）求()f x 的极值；（Ⅱ）若12x e≤-（e 为自然对数的底数）时()()1422f x a x ≤--恒成立，求a 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写．22．[选修4-4极坐标与参数方程]（本小题满分10分）已知极坐标系与直角坐标系的极点与原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合，有相同的单位长度．在直角坐标系中，曲线S 的参数方程为23cos 13sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线l 过点()3,1P --．（I ）求曲线S 极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线S 交于A 、B 两点，求AB 的最小值及AB 最小值时直线l 的方程．23．[选修4-5不等式选讲]（本小题满分10分）已知()315f x x x x =-+++-．（I ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）求不等式()2f x x ≥的解集．西安地区“八校”2022届高三年级联考●理数试题参考答案及评分标准一、选择题：每小题5分，共60分．题号123456789101112答案BACBACDDBABC提示：12．()()()0,f x x e ∈的值域为[)3,7，()()()10,g x a x e x'=-∈，当1a e≤时，()0g x '<，()g x 在()0,e 上单调递减．当1a e >时，由()0g x '=时得到()10,x e a=∈，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1,x e a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 在1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增．得min 1()1ln g x g a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，又()1g e ea =-，0x +→时，()g x →+∞．由题意，得1ln 3,17,1a ea a e ⎧⎪+<⎪-≥⎨⎪⎪>⎩得28a e e ≤<．选C ．二、填空题：每小题5分，共20分．13．43-；14．9；15．4；16．a b c >>．提示：16．0c <．设ln 2x <，()2xf x a b x -=-=-．∵232e e <<，∴213x <<．又()12ln 20xf x -'=+>．()f x 在2,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，得()1233224322336f x f --⨯⎛⎫>=-=⎪⎝⎭．∵31334643254⎛⎫=>⨯= ⎪⎝⎭，∴13432>⨯，∴()0f x >，得a b c >>．三、解答题：共70分．17．解：（I ）()()()22sin sin 12sin 1cos 220f x x x x x ωωωωω=--=--=->．∵()f x 的最小正周期是π，∴2ππ2ω=，得1ω=．（II ）由（I ）得()cos 22f x x =-．∴()3cos 222f A A =-=-，得1cos 22A =，又0A <<π，022A <<π．∴π23A =或5π23A =，得π6A =或5π6A =．①当π6A =时，由余弦定理得()2222π342cos 2262b c bc b c bc bc =+-=+--⨯．又6b c +=．∴2246222bc bc =--⨯，得(202bc ==-．∴((111sin 20252222ABC S bc A ==⨯⨯=△．②当5π6A =时，由余弦定理同理得(202bc =+．∴((111sin 20252222ABC S bc A ==⨯+⨯=+△．综上所述，当π6A =时，(52ABC S =-△；当5π6A =时，(52ABC S =+△．18．解：（I ）∵23n a n =-，∴11a =-，11S =-．当2n ≥时，()()()212311231233422122n n n n n n n S a a a a a a a a a -+---=---⋅⋅⋅-=-+++⋅⋅⋅+=⨯--=，满足11S =-．∴2342n n n S --=．（II ）()232nn n n c a b n =⋅=-⋅．()23124272232n n M n =-⨯-⨯-⨯+⋅⋅⋅+-⨯①∴()23412124272232n n M n +=-⨯-⨯-⨯+⋅⋅⋅+-⨯②①-②得()2341232323232232n n n M n +-=--⨯-⨯-⨯+⋅⋅⋅-⨯--⨯()()()111121222321053212n n n n n -++-=----⨯=--⋅-．∴()153210n n M n +=-⋅-．19．解：（I ）设BC 的中点为O ，连接PO ，DO ，则由题意，得6PO =，DO =OD ，OC ，OP 两两互相垂直．以O 为原点，直线OC ，OD ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．则()0,0,0O ，()0,0,6P，()D ，()6,0,0B -，()A -．得()M ．∴AM =．∴线段AM 的长为（II ）由（I ）得()12,AM =- ，()6,0,6BP =，()6PD =- ．设平面PBD 的一个法向量为(),,n x y z = ，则0,0,n BP nPD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即660,60,x z z +=⎧⎪⎨-=⎪⎩即0,0,xz z +=⎧⎪-=取1y =，得z=，x =(n = ．设直线AM 与平面PBD 所成角为θ，则2105sin cos ,35n AMn AMn AMθ⋅==．∴直线AM 与平面PBD 所成角的正弦值为210535．20．解：（I ）设椭圆S 的半焦距为()0c c >，由题意，得(22222222,2,21,c a a b c ab ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩解之得2,2,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆S 的标准方程为22184x y +=．（II ）由（I ）得()12,0F -、()22,0F ．设l ：2x my =+，代入22184x y +=，得()222440m y my ++-=设()11,A x y ，()22,B x y ．则12242m y y m +=-+，12242y y m =-+∴1222y y m -===+∴()1121221821211ABF S F F y y m =-=≤=++△．当且仅当211m +=，即0m =时，等号成立，故1ABF △的面积的最大值为21．解：（I ）()f x 的定义域为(),2-∞．()122f x a x'=--（2x <，a R ∈）．当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在(),2-∞上单调递减，()f x 无极值．当0a >时，由()0f x '=，得1122222x a a ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，当122x a <-时，()0f x '>，()f x 在1,22a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增．当1222x a -<<时，()0f x '<，()f x 在12,22a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．()f x 在122x a =-处取得极大值，()f x 无极小值．()()1241ln 202f x f a a a a ⎛⎫=-=--> ⎪⎝⎭极大值．综上所述，当0a ≤时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极大值，极大值为41ln 2a a --，无极小值．（II ）若12x e≤-（e 为自然对数的底数）时()()1422f x a x ≤--恒成立，即()()12ln 2422ax x a x +-≤--恒成立，就是()()()1122ln 2222a x x x x e ⎛⎫-≥-+≤- ⎪-⎝⎭，即()()2ln 21122222x a x x e x -⎛⎫≥+≤- ⎪-⎝⎭-恒成立．设122x t x e ⎛⎫-=≤-⎪⎝⎭，则2x t =-，1t e ≥．设()2ln 112t g t t t t e ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭．则()2321ln 11111ln t g t t t t t t t e -⎛⎫⎛⎫'=-=--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．令()10g t t e ⎛⎫'=≥⎪⎝⎭，即2111ln 0t t t ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，11ln 0t t --=，显然，1t =是方程的一个解．设()11ln t t tϕ=--，()()2110t t t tϕ'=-+>，由()0t ϕ'=得1t =，当11t e ≤<时，()0t ϕ'>，()t ϕ在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，当1t >时，()0t ϕ'<，()t ϕ在()1,+∞上单调递减．∴()()10t ϕϕ≤=（仅在1t =时等号成立），得()10g t t e ⎛⎫'≤≥⎪⎝⎭．得()g t 在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减．∴当1t e =时，()g t 取最大值221ln111212e e g e e e e ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭∴当12x e =-时，()()2ln 21222x x x -+--取最大值22e e -．∴222e a e ≥-，即222424e e e e a -≥-=.得a 的取值范围为22,4e e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．22．解：（I ）将参数方程的参数θ消去，得曲线S 的普通方程为()()22219x y ++-=，即22424x y x y ++-=．将222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上述方程，得曲线S 极坐标方程为24cos 2sin 40ρρθρθ+--=．（II ）由（I ）知在直角坐标系中曲线S 是以()2,1M -为圆心，半径为3的圆，点()3,1P --在M 内．∴当MP AB ⊥时AB 最小．∵MP ==，∴min 4AB ==．∵()11232MP k --==---，112AB MP k k =-=-．∴直线l 方程为()1132y x +=-+，即250x y ++=．∴AB 的最小值为4，AB 最小值时直线l 的方程为250x y ++=．23．解：（I ）方法一：()37,1,9,13,3,35,37, 5.x x x x f x x x x x -+<-⎧⎪-+-≤<⎪=⎨+≤≤⎪⎪->⎩当1x <-时，()10f x >；当13x -≤<时，()610f x <≤；当35x ≤≤时，()68f x ≤≤；当5x >时，()8f x >．∴()6f x ≥（3x =时，()6f x =），即()f x 得最小值是6．方法二：()315315f x x x x x x x =-+++-=-+++-．()f x 的三个零点（即每个绝对值等于零时x 的取值）为3，1-，5，且135-<<．∴当3x =时，()()min 516f x =--=．（II ）由（I ）得不等式()2f x x ≥等价于下面的不等式组①1,372,x x x <-⎧⎨-+≥⎩或②13,92,x x x -≤<⎧⎨-+≥⎩或③35,32,x x x ≤≤⎧⎨+≥⎩或④5,372,x x x >⎧⎨-≥⎩由①得1x <-，由②得13x -≤<，由③得3x =，由④7x ≥．∴不等式()2f x x ≥得解集为{}{}{}{}{}113373,7x x x x x x x x x x x <-⋃-≤<⋃=⋃≥=≤≥或．。

2020届陕西省普通高中高三上学期第二次联考试题数学（理）一、单选题1．设集合{}220M x x x =+-≤，{}11N x x =-≤，则M N =I （ ） A ．[]0,1 B ．[]0,2C ．[]2,0-D ．[]2,1-【答案】A【解析】化简集合,A B ，按照交集定义，即可求解. 【详解】{}21M x x =-≤≤，{}02N x x =≤≤，[]0,1M N ⋂=.故选:A. 【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题. 2．已知复数z 满是2()1miz m R i+=∈-且||=2z ，则m 的值为（ ） A ．2 B ．-2或2C ．3.D ．-3或3【答案】B【解析】化简复数z 为(,)a bi a b R +∈形式，再由复数模的运算列方程解得m ． 【详解】由题意知2i 2(2)i 1i 2m m m z +-++==-，因为||2z =，所以22(2)(2)44m m -++=，即24m =，解得2m =±. 故选B ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的模，属于基础题．3．下列函数中是奇函数且对任意1x ，2x ∈R （12x x ≠），不等式()()122f x f x -<恒成立的是（ ） A ．()sin 2f x x = B ．()2222x x x xf x ---=+ C ．()()2ln 1f x x =+ D ．()cos f x x x = 【答案】B【解析】逐项判断()f x 是否为奇函数，是否满足()()max min 2f x f x -<. 【详解】由题意知，符合题意的函数()f x 满足()()max min 2f x f x -<， A 选项中，当14x π=，234x π=时，()()122f x f x -=，与题意不符； B 选项中()()41211,14141x x x f x -==-∈-++，且()()f x f x -=-，符合题意；C 选项中()f x 的值域为[)0,+∞，()f x 为偶函数，故不符合题意；D 选项中()00f =，()22f ππ=，故不符合题意. 故选:B. 【点睛】本题考查函数的性质，涉及到函数的奇偶性和最值，属于基础题.4．角3πα+的终边经过点()1,2P ，则tan 112tan 112παπα⎛⎫++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭（ ） A ．2 B ．12C ．2-D ．12-【答案】C【解析】根据已知求出tan 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将所求式子分子“1”用tan 4π替换，再由两角和正切公式，即可求出结论. 【详解】由题意知tan 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1tan tan tan 12412tan 11tan tan 12412πππααπππαα⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫⎛⎫+--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ tan tan 21243πππαα⎛⎫⎛⎫=-++=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选:C. 【点睛】本题考查三角函数定义、两角和正切公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题. 5．已知函数()f x 为定义在R 上的增函数且其图象关于点(2,0)对称，若()(2)g x f x =-，则不等式(3)(12)0g x g x ++-…的解集为（ ）A ．[2,)+∞B ．[4,)+∞C ．(,4]-∞D ．[2,4]【答案】B【解析】由若()(2)g x f x =-知()g x 的图象关于原点对称，从而它是奇函数，()f x 是增函数，则()g x 是减函数，利用奇函数变形不等式为(3)(21)g x g x +≥-，再由减函数得解． 【详解】由题意知()g x 为R 上奇函数且为减函数，不等式(3)(12)0g x g x ++-≥等价于(3)(12)g x g x +≥--，即(3)(21)g x g x +≥-，故321x x +≤-，解得4x ≥.故选：B ． 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性，由函数()g x 的定义与()f x 的性质可得()g x 的性质，从而可求解函数不等式．本题关键是确定()g x 的性质． 6．函数()()2sin 24x f x x π-=-的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】用排除法求解，化简()2sin 24xf x x =-为奇函数，排除,B D ，再用4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭函数值的符号，即可得出结论.【详解】()()22sin 2sin 2=44x xf x x x π-=--，因为()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数，故排除B ，D ；又因为210444f ππ⎛⎫=< ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以排除C.故选:A. 【点睛】本题考查函数图像的识别，利用函数的性质是解题的关键，要注意选择题特殊方法的应用，减少计算量，属于基础题.7．如图为从一个半球中挖去一个长方体的三视图，其俯视图中圆的半径和正方形的边长均为2，正方形的中心与圆的圆心重合，则当正视图中矩形边a 取得最大值时，该几何体的体积为（ ）A ．1643π- B ．16423π- C ．16433π-D ．32433π-【答案】B【解析】根据三视图要使a 最大，长方体四个顶点在球面上，求出a ，根据体积公式，即可求出结论. 【详解】该几何体为半球中挖去一个长方体， 当正视图中矩形边a 取得最大值时， 矩形四个顶点在球面上，此时2222a =-=故挖去的长方体的体积为42半球的体积为14168233ππ⨯⨯=，故该几何体的体积为163π-故选:B. 【点睛】本题考查三视图求组合体的体积，注意几何体性质的应用，属于基础题. 8．已知()()sin sin cos sin 2f x x x πωϕωπϕ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（0>ω，ϕπ<）的最小正周期为π，若函数()f x 在区间2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有极小值点，则ϕ的取值范围为（ ）A ．,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由诱导公式和两角差的正弦化简()f x 为正弦函数，根据周期求出ω，求出()f x 取得最小值时x 的值，利用2,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即可求出ϕ的取值范围. 【详解】由题意知()()sin cos cos sin sin f x x x x ωϕωϕωϕ=-+=--， 因为()f x 的最小正周期为π，故2ω=， 故()()sin 2f x x ϕ=--，令222x k πϕπ-=+（k ∈Z ）得,24x k k Z ϕππ=++∈，则有22243k πϕπππ<++<， 解得52226k k πππϕπ-<<-， 令0k =得526ππϕ<<. 故选:D. 【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的性质，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题。

西安地区陕师大附中 西安高级中学 西安高新一中 西安交大附中 西安市83中西安市85中 西安市一中 西安铁一中 西安中学 西工大附中八校联考2020届高三年级数学（理科）试题本试卷共23题，共150分，共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚.3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色的签字笔描黑.5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{}|3x M y y ==，集合(){}|lg 1S x y x ==-，则下列各式正确的是（ ） A. M S M ⋃= B. M S S ⋃= C. M S = D.M S ⋂=∅【答案】A【解析】【分析】先求解出两个集合，根据两个集合的包含关系即可确定出选项.详解】{}|0M y y =>，{}|1S x x =>∴S M ⊆，∴M S M ⋃=， 故选:A.【点睛】本题考查了集合之间的关系及集合的运算，属于简单题目，解题时主要是根据两个集合中元素所满足的条件确定出两个集合，再确定出两个集合之间的包含关系.2. 若()243i z i -=-+，则z 所对应的的象限为（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】先根据()243i z i -=-+，利用复数的模和除法运算求得复数2+z i =，再利用复数的几何意义求解. 【详解】()243i z i -=-+()()()5252222i z i i i i +∴===+--+， ∴2z i =-，故选：D.【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的几何意义，属于基础题.3. 某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：C ︒）的数据，绘制了下面的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A. 最低气温与最高气温为正相关B. 10月的最高气温不低于5月的最高气温C. 最低气温低于0C ︒的月份有4个D. 月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月【答案】C【解析】【分析】由该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：C)︒的数据的折线图，得最低气温低于0C ︒的月份有3个．【详解】解：由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：C)︒的数据的折线图，得：在A 中，最低气温与最高气温为正相关，故A 正确；在B 中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B 正确；在C 中，最低气温低于0C ︒的月份有3个，故C 错误．在D 中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故D 正确；故选：C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．4. 将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（ ）A. 24种B. 28种C. 32种D. 36种【答案】B【解析】试题分析：第一类：有一个人分到一本小说和一本诗集，这种情况下的分法有：先将一本小说和一本诗集分到一个人手上，有4种分法，将剩余的2本小说，1本诗集分给剰余3个同学，有3种分法，那共有3412⨯=种；第二类：有一个人分到两本诗集，这种情况下的分法有：先两本诗集分到一个人手上，有4种情况，将剩余的3本小说分给剩余3个人，只有一种分法，那共有：414⨯=种，第三类：有一个人分到两本小说，这种情况的分法有：先将两本小说分到一个人手上，有4种情况，再将剩余的两本诗集和一本小说分给剩余的3个人，有3种分法，那共有：4312⨯=种，综上所述：总共有：1241228++=种分法，故选B.考点：1、分布计数乘法原理；2、分类计数加法原理.【方法点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.5. 函数(01)||xxa y a x =<<的图像的大致形状是（ ） A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案.【详解】根据01a <<(01)||xxa y a x =<< ,0,0x x a x y a x ⎧>∴=⎨-<⎩ 01a <<，∴x y a =是减函数，x y a =-是增函数.(01)||xxa y a x =<<在(0)+∞，上单调递减，在()0-∞，上单调递增 故选：D .【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.6. 在三棱锥P －ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠PCA ＝90°，△ABC 是边长为4的正三角形，PC ＝4，M 是AB 边上的一动点，则PM 的最小值为( )A. 23B. 27C. 47D. 43【答案】B【解析】【分析】构造△PCM ，根据面面垂直以及线面垂直的性质，△PCM 是直角三角形，根据点到直线的垂线段最短，当M 是AB 的中点时，CM 的长最小，此时PM 的长最小.【详解】如图，连接CM ，则由题意PC ⊥平面ABC ，可得PC ⊥CM ，所以PM 22PC CM +，要求PM 的最小值只需求出CM 的最小值即可.在△ABC 中，当CM ⊥AB 时，CM 有最小值，此时有CM=4=所以PM 的最小值为【点睛】本题考查了面面垂直及线面垂直的性质，考查了点到直线的距离中垂线段最短；已知面面垂直时，一般先从现有的线段中寻找平面的垂线，若图中不存在，再作辅助线. 7. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ＝若a 2sinC ＝4sinA ，(a ＋c)2＝12＋b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为( )A. B. 2 C. 3 D.【答案】A【解析】由正弦定理得24,4a c a ac ==，且2221224a c b ac +-=-=，代入面积公式得=点睛：本题主要考查中国古代数学史，考查正弦定理的应用，考查新定义公式的理解和应用.由于题目已经给出三角形的面积公式，我们只需在题目中找到公式中需要的条件，即可求出三角形的面积.在两个已知条件中，第一个应用正弦定理可以转化为边的关系，第二个可直接求值，将这两个代入三角形面积公式，即可得出结论.8. 如果22log log 32x ππ-≤，那么sin x 的取值范围为（ ） A. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 111,,1222⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D. 1,,12223⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦【答案】B【解析】【分析】 首先根据22log log 32x ππ-≤，求得x 的取值范围，进而求得sin x 的取值范围即可. 【详解】∵22log log 32x ππ-≤， ∴032x ππ<-≤， ∴5,,6336x ππππ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦， ∴1sin ,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故选：B.【点睛】本题考查了对数函数相关不等式，考查了绝对值不等式，同时考查了三角函数的值域，需要一定的计算能力，属于中档题. 9. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，左、右顶点为1A 、2A ，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段1PF ，1A 2A 为直径的两个圆的位置关系为（ ）A. 外切或外离B. 相交或内切C. 内含或外离D. 内切或外切【答案】D【解析】【分析】 设线段1PF 的中点为A ，12PF r =，分P 在双曲线的左支和P 在双曲线的右支上两种情况，结合三角形的中位线和双曲线的定义判断.【详解】设线段1PF 的中点为A ，12PF r =，则：①当P 在双曲线的左支时，如图所示：212OA PF a r ==+，∴两圆外切； ②当P 在双曲线的右支时，如图所示：212OA PF r a ==-，∴两圆内切； 故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义和两圆的位置关系，还考查了数形结合的思想，属于基础题.10. 设点12,F F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点，点P 是椭圆C 上任意一点，若使得12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个，则实数m 的值可以是（ ）A. 12B. 3C. 5D. 8【答案】B【解析】【分析】由题意，先求出a 、b 、c ，设()00,P x y ，表示出向量()()1002002,,2,PF x y PF x y =---=-- ，再整理得出m 的取值，得出答案.【详解】因为点12,F F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点； 即()()122,0,2,0F F - ，2229,5,4,2a b c c ==== 设()00,P x y()()1002002,,2,PF x y PF x y =---=--由12PF PF m⋅=可得22004x y m +=+ 又因为P 在椭圆上，即2200195x y += 所以20994m x -= 要使得12PF PF m⋅=成立的点恰好是4个，则99094m -<< 解得1<m<5所以m 的值可以是3.故选B.【点睛】本题考查了椭圆的简单性质以及平面向量的数量积运算，属于中档题.11. 如图所示，正方形ABCD 的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱锥外接球的表面积为（ ）A. 22πB. 5225πC. 16925πD. 338125π 【答案】D【解析】【分析】正方形ABCD 的边长为2，设正四棱锥边长为a ，高为h ，可得22h =，正四棱锥体积213V a h =最大时，求解a 的值，可得正四棱锥边长a 和高h 的值，即可求解正四棱锥外接球的表面积．【详解】解：由题意，正方形ABCD 的边长为2，，折成正四棱锥后， 设正四棱锥边长为a ，高为h ，可得：22h =，(0a <<． 正四棱锥体积213V a h =最大时，即V =． 由452y a =，则348y a '=-，令0y '=，可得a ， 即当a =体积取得最大值； h ∴= 正四棱锥底面正方形外接圆45r =． 正四棱锥外接球的半径R ，可得22245R R ⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得：2169250R = 正四棱锥外接球的表面积23384125S R ππ==． 故选：D ．【点睛】本题考查球的表面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．12. 若函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，且不等式()()12f x f x λ>+恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A. [)3,-+∞B. ()3,-+∞C. [),e -+∞D.(),e -+∞【答案】A 【解析】 【分析】先建立不等式组48010a a∆=->⎧⎪⎨>⎪⎩，再用a 表示出12x x ，12x x +，接着将()()12f x f x λ>+转化11ln12a aλ>-+-，最后构建新函数()()2ln 11g x x x x =-+->得到()13g λ≥=-即可解题.【详解】解：因为()22ln f x ax x x =-+，（0x >）所以()21221'220ax x f x ax x x -+=-+==有两个正根，∴48010a a∆=->⎧⎪⎨>⎪⎩， 即：102a <<，又∵2112210ax x -+=，2222210ax x -+=，1212x x a =，121x x a+=，∴()()22111212222ln 2ln ax x x ax f x f x x x λ-++-+>+=111222112ln 2ln 22x x x x x x =--++--+()121211ln 1ln12x x x x a a =-++-=-+-， 令()()2ln 11g x x x x =-+->，()1'20g x x=-<，∴()g x 在()1,+∞上单调递减， ∴()13g λ≥=-， 故选：A.【点睛】本题考查利用导函数研究不等式恒成立问题，利用导函数研究极值问题，是中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数()()()1f x x x x a =-+为奇函数，则a =______. 【答案】1. 【解析】 【分析】根据函数()()()1f x x x x a =-+为奇函数，由()()1y x x a =-+为偶函数求解. 【详解】∵函数()()()1f x x x x a =-+为奇函数， ∴函数()()1y x x a =-+为偶函数， ∴1a =. 故答案为：1【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，属于基础题. 14. 设123,,e e e 为单位向量，且()312102e e ke k =+>，若以向量12,e e 为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为__________． 【答案】32【解析】【详解】两端平方得222114k ke e =++⋅， 又121122S e e sin θ==，得1sin θ=,即12,e e 夹角为90︒,所以120e e ⋅=， 即234k =，又 0k >， 所以3k =.15. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的幻方：将1，2，…，9填入方格内使三行、三列、两条对角线的三个数之和都等于15，如图所示.一般地，将连续的正整数1，2，…，2n 填入n n ⨯个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的对角线上数的和为n N ，例如315N =，434N =，565N =，……，那么n N =______.【答案】()212n n +.【解析】 【分析】首先根据题意得到()2112n N n n =+++，再利用等差数列求和即可. 【详解】由题知：()31129153N =++⋯+=，()411216343N =+++=…，()511225653N =+++=…，……，所以()()()222211212112nN n n n n n n n ++==+++=⨯. 故答案为：()212n n +【点睛】本题主要考查等差数列的求和，熟记公式为解题关键，属于简单题. 16. 设当x θ=时，函数()3sin 4cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______. 【答案】45-. 【解析】 【分析】利用辅助角公式先对函数化简，可得()5sin()f x x ϕ=-，其中34cos ,sin 55ϕϕ==， 由题意得5sin()5θϕ-=，得2,2k k Z πθϕπ-=+∈，从而可求出cos θ的值 【详解】解：()343sin 4cos 5(sin cos )55f x x x x x =-=- 令34cos ,sin 55ϕϕ==，则()5(sin cos cos sin )5sin()f x x x x ϕϕϕ=-=-， 因当x θ=时，函数()3sin 4cos f x x x =-取得最大值，所以5sin()5θϕ-=，所以2,2k k Z πθϕπ-=+∈，所以2,2k k Z πθϕπ=++∈，所以cos cos(2),2k k Z πθϕπ=++∈ 所以4cos sin 5θϕ=-=- 故答案为：45-， 【点睛】此题考查辅助角公式的应用，属于基础题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，2121233n n S a n n n +=---，*n N ∈. ()1求数列{}n a 的通项公式；()2若()1n n n b a =-，求{}n b 的前2n 项和为2nT.【答案】()12n a n =；()2222n n T n =+.【解析】 【分析】()1证出数列n an⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为1的等差数列，进而写出数列{}n a 的通项公式；()2结合平方差公式和等差数列求和公式求出结果即可.【详解】解：()12121233n n S a n n n +=---，*n N ∈， ∴()()321112122333n n n n n n S na n n n na ++++=---=-，① 当2n ≥时，()()()111213n n n n n S n a --+=--，②由①-②得()()112211n n n n S S na n a n n -+-=---+，1222n n n a S S -=-，∴()()1121n n n na n a n n a +=--+-，111n n a a n n +-=+，∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为1的等差数列，∴()111na n n n=+⨯-=，即2n a n =，()2n ≥ 当1n =时，上式显然成立，所以2n a n =，*n N ∈.()2()()211n nn n b a n =-=-，∴()()22222221234212n n T n =-+-++--+()()()()()()21214343221221n n n n =+⨯-++⨯-+++-⨯--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()1234212n n =+++++-+22n n =+.【点睛】本题考查等差数列的通项公式的求法，结合求和公式的知识点，考查分析问题能力，运算求解能力，属于中档题.18. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵ABM DCP -与刍童1111ABCD A B C D -的组合体中AB AD =，90MAB ∠=︒.（1）证明：BD ⊥平面MAC ； （2）若1AB =，112A D =，3MA =111A A B D -23，求二面角1M AC B --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）15【解析】【分析】（1）分别证明BD AC⊥和MA BD即可；（2）建立空间坐标系，利用向量法求解.【详解】（1）∵AB AD=，∴BD AC⊥，∵90MAB∠=︒，∴MA BD，∴BD⊥平面MAC；（2）设BD AC O⋂=，棱台的高为h，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则三棱锥111A AB D-的体积为2233h=3h=∴(12,3B，22A⎛⎫⎪⎪⎝⎭，2,0,02C⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，故12,2,32B A⎛=⎝，()2,0,0CA=，设平面1ACB的法向量为(),,n x y z=，由1n B An CA⎧⋅=⎨⋅=⎩可得：223020x zx⎧=⎪⎨⎪=⎩，令3y=(0,3,2n=，取平面MAC的法向量为()0,1,0m=，则315cos,55m nm nm n⋅===，易知二面角1M AC B --的平面角为钝角，故二面角E BF C --的余弦值为15-. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查向量法求二面角的余弦值，属于中档题.19. 东方商店欲购进某种食品（保质期两天），此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产的）.根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区100天的销售量如下表：（视样本频率为概率）（1）根据该产品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为ξ，求ξ的分布列与期望（2）以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可得ξ的取值为30,31,32,33,34,35,36，计算相应的概率值即可确定分布列和数学期望；（2）分别求解当购进32份时的利润和购进33份时的利润即可确定利润更高的决策. 【详解】（1）根据题意可得()111305525P ξ==⨯=，()13331251025P ξ==⨯⨯=，()123313225510104P ξ==⨯⨯+⨯=，()11327332251010525P ξ==⨯⨯+⨯⨯=，()31221134210105550P ξ==⨯⨯+⨯=，()21235251025P ξ==⨯⨯=，()111361010100P ξ==⨯=， ξ的分布列如下：()131711213031323334353632.825254255025100E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （2）当购进32份时，利润为()()2131324314830416252525⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯ 107.5213.92 4.16125.6=++=， 当购进33份时，利润为()()()591313343248314163042410042525⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯ 77.883012.96 3.84124.68=+++=， 125.6124.68>可见，当购进32份时，利润更高.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，概率统计的预测作用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 20. 已知点F 是抛物线()220x py p =>的焦点，过F 的弦被焦点分成两段的长分别是2和6.（1）求此抛物线的方程；（2）P 是抛物线外一点，过P 点作抛物线的两条切线PA ，PB （A ，B 是切点），两切线分别交x 轴于C ，D ，直线AB 交抛物线对称轴于点Q ，求证四边形PCQD 是平行四边形. 【答案】（1）26x y =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设过F 的弦所在直线方程为：2py kx =+，其与抛物线交于()()1122,,,M x y N x y ，证明112MF NF p+=，则可求解.（2）设211,6x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,6x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据切线分别表示出直线PA 、PB 的方程，则C 、D 的坐标能表示出，联立直线PA 、PB 的方程，则P 的坐标可表示出，表示出直线AB 的方程，则Q 的坐标可表示出，最后说明CP QD =即可. 【详解】解：（1）0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设过F 的弦所在直线方程为：2py kx =+，其与抛物线交于()()1122,,,M x y N x y ， 联立222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，即2220x kpx p --=，212122,x x pk x x p +=⋅=-，所以()212122y y k x x p pk p +=++=+，2221212244x x p y y p == 不妨设122,622p pMF y NF y =+==+=， ()12122121212121111222222224p py y y y p p p p p p p MF NF p y y y y y y y y ++++++=+===⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 11112,326p MF NF p+=+==， ∴此抛物线的方程为：26x y =；（2）设211,6x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,6x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3xy '=， ∴直线PA 的方程为：()1113x y y x x -=-， 即：21136x x y x =-；令10,2x y x ==，所以1,02x C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理，直线PB 的方程为：22236x x y x =-；令20,2x y x ==，所以2,02x D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AB 的方程为：()()222112121666x x x y x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即：121266x x x x y x +=-； 令120,6x x x y ==-，所以120,6x x Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2112223636x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1212,26x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭， 212,26x x x CP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，212,26x x x QD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以CP QD =，∴四边形PCQD 是平行四边形.【点睛】以直线和抛物线的位置关系为载体，考查求抛物线的标准方程，同时考查用向量法证明四边形是平行四边形，难题. 21. 已知函数()21xf x e x ax =---.（1）当0x ≥时，若不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若0x >，证明()()21ln 1xe x x -+>.【答案】（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）见解析【解析】 【分析】（1）求出函数导数()12xf x e ax '=--，令()12xh x e ax =--，再利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，即可求解；（2）由（1）可知当12a =时，当0x >时，212xx x e >++，转化为2(e 1)ln(1)x x x -+>，进而转化为ln(1)22x x x +>+，构造新函数()ln(1)2(0)2xx x F x x =+->+，利用导数即可求解.【详解】（1）由条件得()12xf x e ax =--'，令()12xh x e ax =--，则()2xh x e a '=-.①当21a ≤时，在[]0,+∞上，()0h x '≥，()h x 单调递增∴()()0h x h ≥，即()()00f x f ''≥=，∴()f x 在[]0,+∞上为增函数，∴()()00f x f ≥=∴12a ≤时满足条件. ②当21a >时，令()0h x '=解得ln2x a =，在[]0,ln2a 上，()0h x '<，()h x 单调递减，∴当()0,ln2x a ∈时，有()()00h x h <=，即()()00f x f ''<=， ()f x 在()0,ln2a 上为减函数，∴()()00f x f <=，不合题意.综上实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． （2）由（1）得，当12a =，0x >时，212x x e x >++，即222122x x x x e x +->++=， 要证不等式()()21ln 1x e x x -+>，只需证明()21ln 1xx e x ->+，只需证明()2222ln 1x x x x +>+， 只需证()2ln 12x x x+>+， 设()()2ln 1(0)2x F x x x x =+->+，则()()()()222211212x x F x x x x x =-=++++'， ∴当0x >时，()0F x '>恒成立，故()F x 在()0,+∞上单调递增，又()00F =，∴()0F x >恒成立．∴原不等式成立．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（二）选考题.共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：()()225519x y -+-=，以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（两种坐标系取相同的单位长度）.直线l ：0θθ=与曲线C 交于A 、B 两点，其中()00,θπ∈，04cos 5θ=. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）求AB 的值.【答案】（1）210cos 10sin 310ρρθρθ--+=；（2）【解析】【分析】（1）本题首先可将圆的直角坐标方程转化为221010310x y x y +--+=，然后通过直角坐标方程与极坐标方程的互化即可得出结果；（2）本题首先可根据04cos 5θ=得出03sin 5θ=，然后联立圆的极坐标方程以及0θθ=得出214310ρρ-+=，最后通过韦达定理以及12AB ρρ=-即可得出结果.【详解】（1）因为圆C 的直角坐标方程为()()225519x y -+-=，即221010310x y x y +--+=，所以圆C 的极坐标方程为：210cos 10sin 310ρρθρθ--+=；（2）因为()00,θπ∈，04cos 5θ=，所以03sin 5θ=， 联立2010cos 10sin 310ρρθρθθθ⎧--+=⎨=⎩，可得214310ρρ-+=， 则1214ρρ+=，1231ρρ=， 故12AB ρρ=-==【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化以及极坐标方程的应用，可通过cos x ρθ=以及sin y ρθ=进行直角坐标方程与极坐标方程之间的互化，考查韦达定理的应用，是中档题.[选修4—5：不等式选讲]23. 已知0a >，0b >，且222a b +=.(1)若2214211x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围； (2)证明：()55114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭. 【答案】（1）99{|}22x x -≤≤；（2）见解析. 【解析】 分析：（1）运用乘1法和基本不等式可得21a +24b 的最小值，再由绝对值不等式的解法，即可得到所求范围；（2））变形、运用基本不等式或柯西不等式，即可得证．详解：（1）设,1121132,121,2x x y x x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=---=-≤<⎨⎪⎪-<⎪⎩由222a b +=，得()22112a b +=. 故()222222141142a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 222214142b a a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭191422⎛≥++= ⎝. 所以92112x x ≥---. 当1x ≥时，92x ≤，得912x ≤≤； 当112x ≤<时，9322x -≤，解得136x ≤，故112x ≤<； 当12x <时，92x -≤，解得92x ≥-，故9122x -≤<； 综上，9922x -≤≤. （2）()5511a b a b ⎛⎫++⎪⎝⎭5544b a a b a b =+++， ()55222222b a a b a b a b=+++-，()()2222222224a b a b a b ≥++=+=.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

陕西省西安地区八校联考2020届高三下学期高考押题卷理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}212A x x =-<-<，B 为函数()()2log 1f x x =-的定义域，则A B =（ ）.A ．{}1x x <-B ．{}3x x >C ．{}1,1x x x -或D ．{}13x x << 2．已知复数z 和虚数单位i 满足11i z+=.则z =（ ）. AB．2 C ．2 D ．123．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，95a =，108a =，则10S =（ ）. A ．55- B ．55 C ．135 D ．65-4．已知x ，y 满足约束条件22310x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）.A ．7-B ．6-C ．12-D ．35．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）.A ．24π+B ．28π+C ．44π+D ．48π+ 6．圆2220x y x +-=上的动点P 到直线30x y --=的最近距离为（ ）.AB ．2C 1D 1 7．若1x =是函数()ln x f x ae x x =+的极值点，则曲线()y f x =在（1，()1f ）处的切线方程是（ ）.A ．1y =-B ．10x y +-=C ．y e =D ．y ex =8．执行如图所示程序框图，若输入的2a =，6b =，则输出的S 是（ ）.A ．15B ．16C ．17D ．189．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线与y 轴的夹角是6π，则双曲线C 的离心率是（ ）A B C ．2 D 10．已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为( )A ．100，8B ．80，20C ．100，20D ．80，811．设函数()821,0,0x x f x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≥⎩，则当0x >时，()()f f x 的展开式中常数项是（ ）.A ．70-B ．35-C ．35D ．70 12．设向量()3sin ,sin a x x =，()cos ,sin b x x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.则函数()f x a b =⋅的最大值是（ ）A ．32B ．32-C ．12-D ．2二、填空题13．函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0>ω）的最小正周期是3π，则ω=______. 14．已知圆O 内切于边长为2的正方形，在正方形内任取一点，则该点不在圆O 内的概率是______.15．已知椭圆22194x y +=的两个焦点是1F 、2F ，点M 是椭圆上一点，且122MF MF -=，则12F F M △的面积是______.16．第二十四届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较大锐角为θ，则cos2θ=_____.三、解答题17．已知公比不等于1的等比数列{}n a 满足13223a a a +=，且32a +是2a ，4a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b a n =-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使得12470n n S +-+<成立的正整数n 的最小值.18．某单位招聘职员，共有三轮考核，每轮考核回答一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则被淘汰.已知甲选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别是45、35、25.且各轮问题能否正确回答互不影响. （1）求该选手被淘汰的概率；（2）该选手在被考核中回答问题的个数记为X ，求X 的分布列和数学期望.19．如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .（1）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（2）若120ABC ∠=︒，2AB =，ABE △，在棱BE 上确定一点P ，求使得直线CP 与平面CDE 所成角的正弦值为15时CP 的长. 20．已知F 为抛物线C ：()220x py p =>的焦点，点(),1M m 在抛物线上，且98MF =.直线l ：2y kx =+与抛物线C 交于A 、B 两点. （1）求抛物线C 的方程；（2）设O 为坐标原点，y 轴上是否存在点P ，使得当k 变化时，总有OPA OPB ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.21．已知函数()()ln 1f x x =+，()()g x xf x '=，其中()f x '是()f x 的导函数.（1）求函数()()()F x mfx g x =-（m 为常数）的单调区间； （2）若0x ≥时，()()()1f x a g x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.22．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos {55sin x ty t =+=+（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）23．已知函数()2f x m x =--，m ∈R ，且()1f x ≥的解集为{}13x x ≤≤. （1）求m 的值；（2）若,a b +∈R ，且112m a b a+=+，求3a b +的最小值.参考答案1．D【分析】解不等式212x -<-<，即可求出集合A ；根据对数函数的特点即可求出函数()()2log 1f x x =-的定义域，进而求出集合B ，再根据集合的交集运算，即可求出结果.【详解】 因为{}212A x x =-<-<， 所以{}13A x x =-<<；又函数()()2log 1f x x =-的定义域为()1,+∞, 所以{}1B x x =>； 所以{}13A B x x ⋂=<<.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，涉及对数函数定义域的求法，属于基础题.2．B【分析】 根据复数的除法运算公式，求出1122z i =+，再利用复数的模的运算公式，即可求出结果. 【详解】 因为11i z+=，所以()()111111122i z i i i i +===+--+，所以2z =. 故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的运算和复数模，属于基础题.3．A【分析】根据条件求出首项和公差，即可求出前10项和.设数列{}n a 的公差为d ，911018598a a d a a d =+=⎧∴⎨=+=⎩，解得119,3a d =-=， 1101010552a a S .故选：A.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查前n 项和的计算，属于基础题.4．B【分析】根据已知条件画出可行域，由2z x y =-可得2y x z =-，作0:2l y x =，沿着可行域的方向平移，截距最大的时候2z x y =-最小.【详解】作出可行域如图所示：由103x x y +=⎧⎨+=⎩ 可得：14x y =-⎧⎨=⎩，即()1,4A - 当2z x y =-过()1,4A -时，()min 2146z =⨯--=-，【点睛】本题主要考查了线性规划问题，关键是理解z 的几何意义，属于基础题.5．B【分析】由几何体的三视图可知，这个几何体的上部为半个圆柱，底面半径为1，高为4，下部为长方体，长、宽、高分别为4、2、1，由此能求出该几何体的体积.【详解】由几何体的三视图可知，这个几何体的上部为半个圆柱，底面半径为1，高为4， 下部为长方体，长、宽、高分别为4、2、1， 所以该几何体的体积为2114421282V ππ=⨯⨯+⨯⨯=+. 故选：B【点睛】本题主要考查了由三视图求几何体的体积，考查空间想象能力，属于中档题.6．D【分析】先求出圆心到直线30x y --=的距离，根据距离的最小值为d r -，即可求解.【详解】由圆的一般方程可得22(1)1x y -+=，圆心坐标为()1,0，半径为1，圆心到直线的距离d ==，1.故选：D.【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于较易题.7．A【分析】根据题意可知()01f '=，即可求出a 得值，再求出(1)f 的值可得切点，斜率(1)0k f '==，即可写出方程.【详解】由题意可得：()1ln xf x ae x '=++， 因为1x =是函数()ln x f x ae x x =+的极值点，所以(1)10f ae '=+=， 解得1a e=-， 所以()1ln xf x e x x e=-+，可得()11ln11f e e =-⨯+=-，切点为()1,1-，斜率(1)0k f '==， 所以切线为：1y =-故选：A【点睛】本题主要考查了曲线在某点处的切线的斜率，涉及极值点处的导函数值等于0，属于中档题. 8．B【分析】按程序框图运行即可得到正确答案.【详解】第一步：2a =，6b =，0,2612S T ==⨯=，12S =，3a =，5b =，3515T =⨯=，S T >不成立，第二步：15S =，4a =，4b =，4416T =⨯=，S T >不成立， 第三步：16S =，5a =，3b =，5315T =⨯=，S T >成立， 输出16S =， 故选：B 【点睛】本题主要考查了循环机构的程序框图，属于基础题. 9．C 【分析】求得b a 的值，再由e =可求得双曲线C 的离心率的值. 【详解】由于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线与y 轴的夹角是6π，则直线b y x a =的倾斜角为3π，tan 3b a π∴==所以，双曲线C 的离心率为2c e a =====. 故选：C. 【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线求离心率，利用公式e =计算较为方便，考查计算能力，属于基础题. 10．A 【解析】由题设中提供的直方图与扇形统计图可知样本容量是100n =，其中对四居室满意的人数为002010040800⨯⨯=，应选答案A ．11．D 【分析】根据分段函数求出()()ff x 的解析式，再利用二项式展开式的通项公式即可求出展开式的常数项. 【详解】函数()821,0,0x x f x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≥⎩， ∴当0x >时，()()()882222211f f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其展开式的通项公式为：()()82164188211rrr rr r r T C xC x x --+⎛⎫=⋅⋅-=- ⎪⎝⎭， 令1640r -=，解得4r =；∴展开式的常数项为：()4458170T C =-=.故选：D. 【点睛】本题主要考查了二项式定理.属于较易题. 12．A 【分析】根据向量的数量积公式、二倍角公式和辅角公式化简，可得()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦和三角函数的性质，即可求出结果. 【详解】 由题意可知，()21cos 213sin cos sin 2sin 22262x f x a b x x x x x π-⎛⎫=⋅=+=+=-+ ⎪⎝⎭ 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以当3x π=时，即226x ππ-=时，()f x 取最大值，()f x 最大值为113=sin 2=sin =3362222f ππππ⎛⎫⎛⎫⨯-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积，三角恒等变换与三角函数的性质，属于基础题． 13．23【分析】利用函数()sin y A ωx φ=+的 周期公式2T ωπ=，即可求出结果.【详解】 由题意可知，23ππω=，所以23ω=. 故答案为：23. 【点睛】本题主要考查了函数()sin y A ωx φ=+周期公式的应用，属于基础题. 14．44π- 【分析】计算正方形的面积和内切圆的面积后可得所求的概率 【详解】正方形的面积为4，内切圆的面积为π，设事件A 为“在正方形内任取一点，则该点不在圆O 内”， 则A 中含有的基本事件对应的面积为4π-， 故所求的概率为44π-. 故答案为：44π-. 【点睛】本题考查几何概型的概率计算，此类问题弄清楚用何种测度来计算概率是关键，本题属于基础题. 15．4根据椭圆的定义和已知条件，可求出12,MF MF 的值，再根据勾股定理，可证明12F F M △是以12MF MF ，为直角边的直角三角形，由此即可求出结果. 【详解】由椭圆的定义可知，126MF MF +=， 又122MF MF -=，联立两式 121262MF MF MF MF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，可得1242MF MF ⎧=⎪⎨=⎪⎩又12F F = 所以2221212MF MF F F +=，所以12F F M △是以12MF MF ，为直角边的直角三角形， 所以12F F M △的面积为121142422MF MF ⋅⋅=⨯⨯=. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义和简单的性质，属于基础题. 16．725-【分析】计算出直角三角形中θ的对边长，可求得sin θ的值，再利用二倍角的余弦公式可求得cos2θ的值.【详解】设直角三角形中θ的对边长为a ，则较短的直角边长为1a -， 由题意可得()141251242a a ⨯-=-=，整理得2120a a --=，1a >，解得4a =，大正方形的边长为5，4sin 5θ∴=，，因此，2247cos 212sin 12525θθ⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭. 故答案为：725-.本题考查利用二倍角的余弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.17．（1）2nn a =；（2）10.【分析】（1）借助题设条件运用等比数列的通项公式建立方程组求解；（2）借助题设条件运用等比数列和等差数列的求和公式求解n S ，代入已知条件求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为()1q q ≠，由题意得()2111221112322a a q a q a q a q a q ⎧+=⎪⎨+=+⎪⎩， 解之得122q a =⎧⎨=⎩（1q =舍去）， ∴数列{}n a 的通项公式为1222n nn a -=⨯=； （2）由（1）得2nn a =，∴2nn b n =-，∴()()212121221222n n nn n n n S +⋅-++=-=---， ∴不等式12470n n S +-+<，即24502n n +-+<，得()()1090n n +->∴10n <-（舍去），或9n >（n +∈N ），故使得12470n n S +-+<成立的正整数n 的最小值为10. 【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式以及求和公式等有关知识的综合运用．属于中档题.18．（1）101125；（2）分布列见解析；期望为5725. 【分析】（1）设“该选手能正确回答第i 轮问题”为事件()1,2,3i A i =，则“该选手被淘汰”为事件112123A A A A A A ++，再利用互斥事件、相互独立事件概率计算公式和题中所给数据，即可求出该同学被淘汰的概率．；（2）由题意X 的可能值为1，2，3，()1,2,3X i i ==表示前1i -轮均答对问题，而第i 次答错，利用独立事件求出概率，列出分布列，求出期望． 【详解】（1）设“该选手能正确回答第i 轮问题”为事件()1,2,3i A i =， “该选手被淘汰”为事件M . 则()145P A =，()235P A =，()325P A =.()()112123P M P A A A A A A =++()()()()()()112123P A P A P A P A P A P A =++ 142433555555=+⨯+⨯⨯ 101125= ∴该选手被淘汰的概率是101125（2）X 的可能取值为1，2，3.()()1115P X P A ===，()()()()121242825525P X P A A P A P A ====⨯=，()()()()1212431235525P X P A A P A P A ====⨯=.∴X 的分布列为∴()1812571235252525E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查互斥、对立、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识分析问题、解决问题的能力．19．（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）利用线面垂直和面面垂直的判定定理求解即可.（2）设EB x =，利用已知条件求出边的长度，建立空间坐标，写出点的坐标，求面CDE 的一个法向量，利用直线CP 与平面CDE 所成角的正弦值求解即可. 【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 为菱形， 所以AC BD ⊥，∵BE ⊥平面ABCD ， 所以AC BE ⊥，BD BE B ⋂=， 故AC ⊥平面BED ，又AC ⊂平面AEC ， 所以平面AEC ⊥平面BED .（2）解：设EB x =，则122x ⨯⨯=，得x . 在菱形ABCD 中，由120ABC ∠=︒，2AB =，可得AG GC ==1GB GD ==，过G 作直线l ⊥平面ABCD ，以G 为原点，直线GB 为x 轴， 直线GC 为y 轴，l 为z 轴建立空间直角坐标系G xyz -.则()0,0,0G ，()1,0,0B，()C ，()1,0,0D -，(E，()1,CD =-，(1,CE =，()1,CB =，(BE =设()BP BE λ==，（01λ≤≤）∴()1,CP CB BP =+=；设平面CDE 的一个法向量为(),,n x y z =，则有0,0,n CD n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,0,x x ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，得(3,1,n =-，∴2cos ,10n CP n CP n CP-⋅===⋅， 解得12λ=，或74λ=（舍去）.∴1,2CP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 得CP . 【点睛】本题主要考查了线面垂直和面面垂直的判定定理，以及利用空间向量求解线面角的问题.属于中档题. 20．（1）212x y =；（2）存在；P （0，2-）. 【分析】（1）根据抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离，由98MF =，即可得到9128p +=，从而求出参数p 的值，即可得解；（2）设()0,P b ，()11,A x y ，()22,B x y .联立直线与抛物线方程，消去y ，列出韦达定理，由OPA OPB ∠=∠，则直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，故其斜率互为相反数，即可得到方程，求出参数b 的值，即可得解； 【详解】解：（1）根据抛物线的定义，得9128p +=，解得14p =.∴抛物线C 的方程为212x y =. （2）在y 轴上存在点p ，使得当k 变化时，总有OPA OPB ∠=∠.理由如下： 设()0,P b ，()11,A x y ，()22,B x y .由22,1,2y kx x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去y ，得2220x ky --=.且2160k ∆=+>恒成立.∴122k x x +=，121x x =-.2112y x =，2222y x =. ∵OPA OPB ∠=∠时，直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，故其斜率互为相反数. ∴()()21121212120PA PBx y b x y b y b y b x x k k x x -+---++=== ∴22212121220x x bx x x bx ⋅-+⋅-=，即()()122120x x b x x -+=∴()202kb --⋅=，得2b =-，即点P 的坐标为（0，2-）. 所以，y 轴上存在点P （0，2-），使得当k 变化时，总有OPA OPB ∠=∠ 【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，直线与抛物线的综合应用，属于中档题.21．（1）答案见解析；（2）(],2-∞. 【分析】（1）先对函数()F x 求导，再对m 分类讨论判断函数的单调性即可得出结论；（2）由题意转化已知条件令()()()()1ln 101a xM x x x x -=+-≥+，求导，再对a 分类讨论判断函数的单调性求最值即可求出实数a 的取值范围. 【详解】（1）∵()()ln 1f x x =+，()11f x x '=+. ∴()()()()ln 11xF x mf x g x m x x =-=+-+（1x >-）， ∴()()()()22111111m x m F x x x x +-'=-=+++. 当0m ≤时，()0F x '<，()F x 在()1,-+∞上单调递减； 当0m >时，由()0F x '=，得1mx m-=>-1， 11,m x m -⎛∈⎫- ⎪⎝⎭时，()0F x '<.1,x m m -⎛⎫+∞ ⎝∈⎪⎭时，()0F x '>.()F x 在11,m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,m m -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.综上所述，当0m ≤时，()F x 的单调递减区间是()1,-+∞； 当0m >时，()F x 的单调递减区间是11,m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,m m -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）当0x ≥时，不等式()()()1f x a g x ≥-恒成立，即()()1ln 101a x x x -+-≥+恒成立， 设()()()()1ln 101a xM x x x x -=+-≥+，则()()()()()221120111a x a M x x x x x -+-'=-=≥+++， 当2a ≤时，()0M x '≥，仅当2a =，0x =时，等号成立；()M x 在[]0,+∞上递增；∴()()00M x M ≥=；()()()1f x a g x ≥-恒成立；当2a >时，由()0M x '=，得2=-x a ，当()0,2x a ∈-时，()0M x '<，()M x 在()0,2a -上递减，有()()200M a M -<=，即()0,2x a ∃∈-使()0M x <，综上所述，a 的取值范围是(],2-∞.【点睛】本题主要考查了利用函数求函数的单调区间以及利用导数求最值解决不等式恒成立问题.考查了构造函数的思想和分类讨论思想.属于中档题.22．（1）28cos 10sin 160ρρθρθ--+=；（2）),(2,)42ππ. 【详解】试题分析：（1） 先根据同角三角函数关系cos 2t ＋sin 2t=1消参数得普通方程：（x －4）2＋（y －5）2＝25 ，再根据cos ,sin x y ρθρθ==将普通方程化为极坐标方程：28cos 10sin 160ρρθρθ--+=（2）将2sin ρθ=代入28cos 10sin 160ρρθρθ--+=得cos 0tan 1θθ==或得,2,24或ππθρθρ====试题解析： （1）∵C 1的参数方程为45cos {55sin x ty t =+=+ ∴（x －4）2＋（y －5）2＝25（cos 2t ＋sin 2t ）＝25，即C 1的直角坐标方程为（x －4）2＋（y －5）2＝25，把cos ,sin x y ρθρθ==代入（x －4）2＋（y －5）2＝25，化简得：28cos 10sin 160ρρθρθ--+=.（2）C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，C 1的直角坐标方程为（x －4）2＋（y －5）2＝25， ∴C 1与C 2交点的直角坐标为（1，1），（0，2）.∴C 1与C 2交点的极坐标为),(2,)42ππ. 考点：参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程23．（1）2m =；（2）2.【分析】（1）先整理()1f x ≥，可得21x m -≤-，利用解绝对值不等式的方法去绝对值即可得出结论；（2）利用已知条件和柯西不等式求解即可.【详解】（1）()1f x ≥即21m x --≥， 得21x m -≤-，∴()121m x m --≤-≤-，得31m x m -+≤≤+∵()1f x ≥的解集是{}13x x ≤≤， 得3113m m -+=⎧⎨+=⎩， 2m =，∴2m =.（2）由（1）得1122a b a+=+，由柯西不等式得，222224⎡⎤⎡⎤⎢⎥+⋅+≥=⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 即()224a b a++=，得32a b+≥.当12a=，32b=时，等号成立.∴3a b+的最小值是2.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和柯西不等式.属于较易题.。

高三数学试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分 1.设集合()(){}380A x x x =++<，则A Z =∩A . {}83x x -<<-B . {}4,5,6,7C . {}38x x << D .{}7,6,5,4----2.若z =，则A . 2z 的实部为1B . 2z 的实部为1-C . 2z 的虛部为-D . 2z 的虚部为3.某地区7月1日至7月10日白天的平均气温的折线图如图所示，则下列判断错误的是A .从7月2日到7月5日白天的平均气温呈下降趋势B .这10天白天的平均气温的极差大于6℃C .这10天中白天的平均气温为26℃的频率最大D .这10天中白天的平均气温大于26℃的有5天 4.若函数()f x 的图象关于点()1,0对称，则A . ()1f x +为偶函数B . ()1f x -为偶函数C . ()1f x +为奇函数D . ()1f x -为奇函数 5.在平行四边形ABCD 中，7CD ED =，且BE AD DE λμ=+，则λμ+= A . 5- B . 6- C .5 D .6 6.函数()()22sin 2cos sin f x x x x =-的最小正周期为A .4π B . 2πC . πD . 34π7.若随机变量X 的分布列为则DX =A .16B .32C .18D .648.在ABC ∆中，3B π=，且ABC ∆的面积为，则ABC ∆外接圆的半径的最小值是A .B .6C .D .129.若从1，3，5，7中选取两个数，从0，2，4，6，8中选取两个数，将这四个数组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的总个数为A .1296B .1320C .1440D .1524 10.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A .12 B .1. C .32D .2 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置. 11.若1tan 2α=，则sin cos sin 2cos αααα-=- . 12.椭圆22149x y +=上一点到两焦点的距离之和为 . 13.若函数()()991log 2log 4f x x x x ⎛⎫=+->⎪⎝⎭），则()f x 的值域为 . 14.已知底面为矩形的四棱锥P ABCD -的每个顶点都在球O 的球面上， PA AD ⊥，PA AB =，PB =，且BC =.若球O 的体积为323π，则棱PB 的中点到平面PCD 的距离为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15-19题为必考题，每个试题考生都必须作答.第20，21题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分15.（12分）在递增的等比数列{}n a 中，39a =，2430a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若32log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 16.（12分）某公司销售部门对某产品在某地区的广告投入与纯利润之间的关系进行研究，记录了2020年6月份到10月份的广告费与纯利润，得到如下资料表：（1）根据6至10月份的数据，求出v 关于u 的线性回归方程；（2）该公司销售部门打算11月份对该地区投入广告费15万元，但公司决策部门规定，当纯利润预测不低于35万元时才能对该地区继续投人广告，否则终止投入广告，试判断销售部门对该地区是否继续投入广告.附：回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ni i i nii x y nxyb x nx==-∑=-∑，a y bx =-.17.（12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点E ，8BD =，6AC =，将ACD ∆沿AC 折到PAC ∆的位置使得4PD =.（1）证明：PB AC ⊥.（2）求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值. 18.（12分）已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，点,22p E ⎛⎫-⎪⎝⎭，EF =.（1）求抛物线C 的方程；（2）已知过点F 的直线l 交抛物线C 于P ，Q 两点，当E 到l 的距离最大时，求EPQ ∆的面积. 19.（12分） 已知函数()ln x f x x e=-. （1）若曲线()y f x =存在一条切线与直线y ax =垂直，求a 的取值范围. （2）证明：()23ln sin 4f x x x x <--. （二）选考题：共10分.请考生从第20，21两题中任选-题作答. 如果多做，则按所做的第一个题目计分. 20.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） x = 4cos a ，在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{4cos 44sin x y αα==-+（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3cos 4sin m ρθρθ+=. （1）求C 的极坐标方程；（2）若l 与C 相交，求m 的取值范围. 21.[选修4- 5：不等式选讲]（10分） 已知函数()3f x x a x a =-+-. （1）求不等式()1f x x a >+-的解集；（2）若()f x >对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.高三数学试卷参考答案（理科）1.D 因为{}83A x x =-<<-，所以{}7,6,5,4A Z =----∩.2.B 因为21z =--，所以2z 的实部与虚部分别为1-，-3.D 从7月2日到7月5日白天的平均气温呈下降趋势这10天白天的平均气温的极差大于6℃.这10天中白天的平均气温为26℃的频率为0. 3，比其他平均气温的频率都要大.这10天中白天的平均气温大于26℃的只有4天.故选D .4.C 因为函数()f x 的图象关于点()1,0对称，所以将()f x 的图象向左平移1个单位长度后所得图象关于原点对称，故选C .5.A 因为7CD ED =，所以6CE DE =-，则6BE BC CE AD DE =+=-，所以165λμ+=-=-.6.A ()1sin 2cos 2sin 42f x x x x ==，因为sin 4y x =的最小正周期为242ππ=，所以()f x 的最小正周期为4π. 7.D ∵100.3200.5300.116EX =⨯+⨯+⨯=，∴2222160.160.340.5140.164DX =⨯+⨯+⨯+⨯=.8.A由三角形的面积公式可得1sin 24ac B ==36ac =.由余弦定理可得222b a c =+-2cos 236ac B ac ac ac -==≥，即6b ≥，则ABC ∆外接圆的半径2sin 32bR B==⨯（当且仅当6a c ==时，等号成立）.9.A 若0被选中，则不同的四位数的个数211314433C C C A 432N ==；若0不被选中，则不同的四位数的个数2241444C C A 864N ==.故不同的四位数的总个数为4328641296+=.10.B 由三视图可知，该三棱锥的两个顶点为正方体的顶点，另外两个顶点是正方体棱的中点，其直观图如图所示.正视图的面积为1132222111222⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=，故该三棱锥的体积为一132132⨯⨯=.11. 13 1sin cos tan 1123sin 2cos tan 232αααααα---===---12.6 因为49<，所以29a =，所以椭圆22149x y +=上一点到两焦点的距离之和为26a =. 13.()0,1 因为()9922log log 1x f x x x +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，所以()f x 在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，又2119x <+<，所以()f x 的值域为()0,1.14∵PA AB =，PB =，∴PA AB ⊥，又PA AD ⊥，AD AB A =∩， ∴PA ⊥平面ABCD .∵底面ABCD 为矩形，∴侧棱PC 为球O 的直径.设球O 的半径为R ，则343233R ππ=，即2R =，又2R ==，解得2AB =.如图，过A 作AG PD ⊥于G ，取棱PA 的中点F ，连接EF .易证CD ⊥平面APD ，则CD AG ⊥，从而AG ⊥平面PCD .由等面积法可得AG ==，则F 到平面PCD PCD的距离为123AG =∵EF AB CD ∥∥，∴EF CD ∥，则E 到平面PCD PCD 的距离等于F 到平面PCD 的距离， 故棱PB 的中点到平面PCD的距离为315.解：（1）由题意可得231324113301a a q a a a q a q q ⎧==⎪+=+=⎨>⎪⎩，解得11a =，3q =.故1113n n n a a q --==.（2）由（1）可得2123n n a -=，则32log 21n n b a n ==-，故()2121135212n n n S n n +-=++++-==.16.解：（1）由表中数据可得()1101113129115u =⨯++++=， ()12325302616245v =⨯++++=，515222151351511243.16155115i i i i i u v uvb u u==-∑-⨯⨯===-⨯-∑， 24 3.11110.1a v bu =-=-⨯=-，故v 关于u 的线性回归方程为 3.110.1v u =-. （2）当15u =时， 3.11510.136.435v =⨯-=>， 所以该公司销售部门将对该地区继续投入广告. 17.（1）证明：因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥， 则BE AC ⊥，PE AC ⊥.因为BE ⊂平面PBE ，PE ⊂平面PBE ，且BE PE E =∩，所以AC ⊥平面PBE . 因为PB ⊂平面PBE ，所以PB AC ⊥.（2）解：取DE 的中点O ，连接OP ，取CD 的中点F ，连接OF . 因为8BD =，所以4DE PE ==.因为4PD =，所以PD PE =，所以PO DE ⊥.由（1）可知AC ⊥平面PBE ，所以平面PBD ⊥平面ABCD ，则PO ⊥平面ABCD .故以O 为坐标原点，OF ，OD ，OP 的方向分别为x，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.由题中数据可得()3,2,0A --，()0,6,0B -，()3,2,0C -，()0,2,0D，(0,0,P ，则()3,4,0AB DC ==-，(BP =，(0,DP =-.设平面PAB 的法向量为()111,,m x y z =，则11134060m AB x y m BP y ⎧⎪⋅=-=⎨⋅=+=⎪⎩，令4x =，得(4,3,m =-. 设平面PCD 的法向量为()222,,n x y z =，则22234020n DC x y n DP y ⎧⎪⋅=-=⎨⋅=-+=⎪⎩，令4x =，得(n =.n . DP =-2y2+2/3z2=0，设平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角为θ， 则cos m nm nθ⋅===. 18.解：（1）因为,22p E ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，EF =，=解得4p =，故抛物线C 的方程为28y x =. （2）由题意知，()2,0F ，因为直线l 过点F ， 所以当EF l ⊥时，点E 到l 的距离最大. 因为201222EF k -==---，所以直线l 的斜率为2，联立方程组()2228y x y x⎧=-⎨=⎩，消去y 得2640x x -+=. 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则126x x +=， 所以126410PQ x x p =++=+=.因为EF =，所以EPQ ∆的面积为1102⨯⨯=19.（1）解：()11f x x e'=-. 因为()f x 的定义域为()0,+∞，所以111x e e->-. 因为曲线()y f x =存在一条切线与直线y ax =垂直，所以11a e->-， 解得0a <或a e >，则a 的取值范围为()(),0,e -∞+∞∪.（2）证明： ()11e x x e x f x e'-=-=. 当()0,x e ∈时，()0f x '>；当(),x e ∈+∞时，()0f x '<. 所以()()max ln 0ef x f e e e==-=. 设函数()2ln g x x x =-，则()21212x g x x x x-'=-=.当0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时， ()0g x '<；当2x ⎛⎫∈+∞⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x '>.所以()min 11111ln ln 222222g x g ==-=+⎝⎭.因为1ln 22>=， ()min 34g x >. 因为333sin ,444x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以23ln sin 04x x x -->. 又()()max 0f x f x =≤，所以()23ln sin 4f x x x x <--. 20.解：（1）由{4cos 44sin x y αα==-+，得()22416x y ++=，即2280x y y ++=，则C 的极坐标方程为28sin 0ρρθ+=， 即8sin 0ρθ+=（或8sin ρθ=-）. （2）因为l 的极坐标方程为340x y m +-=， 所以l 的直角坐标方程为340x y m +-=.由（1）知，曲线C 表示圆心()0,4C -，半径为4的圆，则C 到l 的距离1645m d +=<， 解得364m -<<，即m 的取值范围为()36,4-.21.解：（1）由()1||f x x a >+-，得31x a ->， 则31x a -<-或31x a ->， 即31x a <-或31x a >+，故不等式()1f x x a >+-的解集为()(),3131,a a -∞-++∞∪. （2）因为()()1332f x x a x a x a a >+----=≥， 所以()f x 的最小值为2a .因为()f x >x ∈R 2a <， 又180a +≥，所以[)918,2,4a ⎛⎤∈--⋃+∞⎥⎝⎦.。