初中四边形解题方法总结

四边形动点问题解题技巧引言四边形动点问题是数学中常见的一个问题，也称为四边形运动几何问题。

它涉及到一个四边形，其中三个顶点是固定不动的，而第四个顶点在运动当中。

本文将介绍四边形动点问题的基本概念和解题技巧，以帮助读者更好地理解和解决这类问题。

基本概念在开始讨论四边形动点问题之前，我们先来了解一些基本概念：1.四边形：四边形是由四个线段连接在一起形成的几何图形。

它有四个顶点和四条边。

2.动点：动点是指在一定时间内位置发生改变的点。

在四边形动点问题中，通常涉及到一个顶点作为动点，其位置会随着时间的变化而变化。

解题技巧解决四边形动点问题的关键是要能够分析和利用几何图形的性质。

以下是一些常用的解题技巧：折线法折线法是解决四边形动点问题的常用方法之一。

具体步骤如下：1.根据题目所给条件，确定四边形的固定顶点和动点。

2.假设动点在某一时刻位于四边形的某个位置，通过分析几何性质，确定其他顶点和边的位置。

3.根据动点随时间的变化，得出四边形其他顶点和边的变化规律。

4.利用求解几何图形的方法，求出动点的运动轨迹。

5.根据题目要求，确定动点的最终位置或特性。

共线关系在解决四边形动点问题时，有时可以利用共线关系来简化求解过程。

当四边形的三个固定顶点及其对应的边共线时，可以利用相似三角形的性质来求解动点的位置。

各种特殊情况的考虑在解决四边形动点问题时，有时需要考虑一些特殊情况，如四边形退化为三角形的情况、四边形退化为直线的情况等。

针对不同的特殊情况，需要采取相应的分析方法和解题技巧。

解题示例下面通过一个具体的例子来演示如何应用解题技巧解决四边形动点问题。

例题：一个矩形的两个对角线交于点O，其中一个顶点A固定不动，另一个顶点B在矩形的一侧边上以一定速度向下移动。

求矩形的另外两个顶点C和D的运动轨迹。

解答： 1. 设矩形的高为h，宽为w，动点B的初始位置为(0, h)。

2.假设动点B的坐标为(x, y)，根据矩形的性质，可以确定顶点C和D的坐标：–顶点C的坐标为(x+w, y)；–顶点D的坐标为(x+w, y-h)。

中考重点四边形的认识与性质中考重点：四边形的认识与性质四边形是初中数学中的重点内容之一，它们有着独特的性质和特点，因此在中考中也是常常考察的内容之一。

本文将从四边形的定义、分类、性质等方面进行论述，以帮助同学们更好地掌握这一知识点。

一、四边形的定义与分类在几何学中，四边形指的是由四条边和四个顶点组成的图形。

根据四边形的性质和特点，我们可以将其分为以下几类：1. 平行四边形：具有两对平行边的四边形。

平行四边形的性质包括：对边相等、对角线互相平分。

2. 矩形：具有四个内角都是直角的平行四边形。

矩形的性质包括：对边相等、对角线相等、四个内角都是直角。

3. 正方形：具有四个边相等且四个内角都是直角的矩形。

正方形的性质包括：对边相等、对角线相等、四个内角都是直角。

4. 菱形：具有四个边相等的平行四边形。

菱形的性质包括：对边相等、对角线互相平分、相邻角互补。

5. 梯形：具有两条平行边的四边形。

梯形的性质包括：底边平行、上底和下底平行边的夹角相等。

二、四边形的性质与定理除了上述分类的性质之外，四边形还有一些重要的定理与性质，下面将逐一进行论述。

1. 钳形定理：对于一个四边形，如果它有一对对边相等且相互平行，那么这个四边形是平行四边形。

2. 同位角定理：对于平行四边形，同位角是相等的。

3. 对角线定理：对于平行四边形，它的对角线互相平分，且对角线的交点是两对对边的中点。

4. 邻补角定理：对于菱形，相邻角互补。

5. 等腰梯形的性质：对于等腰梯形，底边的两个底角相等，顶角的两个边相等。

6. 矩形的性质：对于矩形，它的对角线相等且平分，四个内角都是直角。

三、解题方法与技巧在中考中，四边形的题目通常是结合其性质与定理进行解答的。

以下是一些解题方法与技巧，供同学们参考。

1. 图形辨析：在遇到四边形的题目时，首先要准确辨析图形的类型，判断是平行四边形、矩形、正方形、菱形还是梯形。

2. 运用定理：掌握四边形的性质与定理，灵活运用于解题过程中。

初二数学-“四边形(Ⅰ)”的解题方法与技巧-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初二数学“四边形（Ⅰ）”的解题方法与技巧学习要求1．理解多边形及其有关概念，掌握多边形的内角和定理与多边形的外角和定理；2．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理，会用平行四边形的性质定理与判定定理来解决简单的几何证明和计算问题。

3．理解矩形、菱形、正方形的概念，清楚它们之间的内在关系；掌握矩形、菱形、正方形的特殊性质和判别方法，并能运用这些知识进行有关简单的证明和计算．本章学习的能力训练点是结合特殊四边形性质和判定方法以及相关问题的证明，进一步发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力．方法点拨考点1：多边形的内角和定理与多边形的外角和定理1．（n＋1）边形的内角和比n边形的内角和大（）A．180°； B．360°； C．n·180°； D．n·360°．变式演练：一个多边形除去一个内角之外，其余各内角之和是2570°，则这个内角的度数为（）A．90°； B．105°； C．130°； D．120°．2．若多边形的所有内角与它的一个外角的和为600°，求边数和内角和．变式演练：如果各角都相等的多边形的一个内角是它的外角的n倍，则这个多边形的边数是（）答案：BA．不存在； B．2n＋2； C．2n－1 ； D．以上都不对．3．如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图（1）中是一个五角星，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E．（2）图（1）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E）有无变化？如图（2），说明你的结论的正确性．（3）把图（2）中的点C 向上移动到BD 上时，五个角的和（即∠CAD ＋∠B+∠ACD ＋∠D ＋∠E ）有无变化？如图（3），说明你的结论的正确性．考点2：平行四边形的性质与判定应用1．顺次联结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是（ ） A ．平行四边形； B ．矩形； C ．菱形； D ．正方形 2．（Ⅰ）已知：如上图，ABCD 的对角线AC BD 、相交于点O ，EF 过点O 与AB CD 、分别相交于点E F 、．求证：BE DF =（Ⅱ）请写出使如下图所示的四边形ABCD 为平行四边形的条件（例如，填：AB CD ∥且AD BC ∥．在不添加辅助线的情况下，写出除上述条件外的另外四组条件，将答案直接写在下面的横线上．）(1)： ； (2)： ； (3)： ； (4)： ．变式演练：1．如图，已知ABCD 中，E 为AD 的中点，CE 的延长线交BA 的延长线于点F ．（1）求证：CD FA =；DACO BDAE CFOB（2）若使F BCF ABCD ∠=∠，的边长之间还需再添加一个什么条件？请你补上这个条件，并进行证明（不要再增添辅助线）．2．如图，在ABCD 中，E 为BC 边上一点，且AB AE =．（1）求证：ABC EAD △≌△．（2）若AE 平分DAB ∠，25EAC =∠，求AED ∠的度数．考点3：特殊平行四边形的性质与判定应用1．如图，将矩形纸片ABCD （图1）按如下步骤操作：（1）以过点A 的直线为折痕折叠纸片，使点B 恰好落在AD 边上，折痕与BC 边交于点E （如图2）；（2）以过点E 的直线为折痕折叠纸片，使点A 落在BC 边上，折痕EF 交AD 边于点F （如图3）；（3）将纸片收展平，那么∠AFE 的度数为（ ）AB CA ．60°；B ．67.5°；C ．72° ；D ．75°2．如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的角平分线于点E ，交∠BCA（1）求证：EO =FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF并证明你的结论．3．如图，在Rt ABC △中，60A =∠，点E F ，分别在AB AC ，上，沿EF 对折，使点A 落在BC 上的点D 处，且FD BC ⊥．（1） 确定点E 在AB 上和点F 在AC 上的位置；（2） 求证：四边形AEDF 是菱形．变式演练：已知：如图，在ABCD 中，E F ，分别为边AB CD ，的中点，BD是对角线，AG DB ∥交CB 的延长线于G ． （1）求证：ADE CBF △≌△；（2）若四边形BEDF 是菱形，则四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论．FD604．如图1，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O E ，是AC 上一点，连结EB ，过点A 作AM BE ⊥，垂足为M AM ，BD F 于点．（1）求证：OE OF =；(2)如图2，若点E 在AC 的延长线上，AM BE ⊥于点M ，交DB 的延长线于点F ，其它条件不变，则结论“OE OF =”还成立吗？如果成立，请给出证变式演练：如图，正方形ABCD 的边长为1，G 为CD 边上的一个动点（点G 与C ，D 不重合），以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ，连结DE 交BG 的延长线于H ．DC图E(1)求证：① BCG △≌DCE △；② BH ⊥DE ． (2)试问当点G 运动到什么位置时，BH 垂直平分DE 请说明理由．5．如图，过四边形ABCD 的四个顶点分别作对角线AC 、BD 的平行线，所围成的四边形EFGH 显然是平行四边形。

初中数学中的平行四边形解题技巧详解平行四边形是初中数学中的一个重要概念，具有广泛的应用。

在解题过程中，我们需要掌握一些基本的解题技巧。

本文将详细介绍初中数学中平行四边形的解题方法及技巧。

一、平行四边形的基本性质平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。

在解题过程中，我们首先需要掌握平行四边形的基本性质。

1. 两对对边分别平行：平行四边形的两对对边分别平行，这是平行四边形的最基本的性质。

2. 对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分。

这意味着平行四边形的对角线将平行四边形分成两个全等的三角形。

3. 同底三角形面积相等：若两个三角形有一个共同的底，且底上的高相等，则这两个三角形的面积相等。

利用这一性质，我们可以简化解题过程。

二、平行四边形解题技巧1. 判断平行四边形的条件：在解题过程中，首先要判断给定的四边形是否为平行四边形。

我们可以通过观察边的长度和夹角的关系来判断是否为平行四边形。

2. 利用平行四边形的性质：在解题过程中，我们可以利用平行四边形的性质简化问题。

例如，判断一条线段是否平行于另一条线段，可以利用平行四边形的对角线互相平分的性质。

3. 利用同底三角形的性质：在解题过程中，若需要比较两个三角形的面积，我们可以利用平行四边形的同底三角形面积相等的性质简化问题。

比如，如果需要判断两个三角形的面积大小，我们可以找到它们的共同底，并比较高的长度。

4. 应用平行四边形的周长公式：在解题过程中，如果已知平行四边形的一些边长，我们可以利用平行四边形的周长公式求解未知边长。

5. 运用平行四边形的扩充性质：平行四边形具有很多扩充性质，例如，平行四边形的对角线相等、平行四边形的同位角相等等。

在解题过程中，我们可以利用这些扩充性质进行推理和求解。

三、实例分析为了更好地理解平行四边形的解题技巧，下面我们通过一些实例进行详细分析。

例题1：已知平行四边形ABCD中，AB=5cm，BC=8cm，AC=10cm，求平行四边形的周长和对角线长度。

初中数学复习如何快速解决平行四边形与三角形计算平行四边形与三角形是初中数学中常见的几何图形，解决它们的计算问题是数学学习的基础。

本文将介绍一些快速解决平行四边形与三角形计算的方法和技巧，帮助初中生提高解题效率。

一、平行四边形的性质及计算方法平行四边形是一种具有两对对边平行的四边形，它的性质与特点决定了我们在计算时可以采取一些简便的方法。

1.1 平行四边形的性质①对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分。

②对边共线：平行四边形的对边是共线的。

③相邻角互补：平行四边形的两个相邻的内角互补，即其和等于180度。

1.2 平行四边形的计算方法根据平行四边形的性质，我们可以采取以下方法来解决计算问题。

①使用对角线性质：对于已知平行四边形的周长或面积，我们可以利用对角线把平行四边形分成两个三角形，然后利用三角形的计算方法求解。

②利用相邻角互补：对于已知平行四边形的内角度数或外角度数，我们可以利用相邻角互补的性质，通过已知角度求解其它角度。

二、三角形的性质及计算方法三角形是初中数学中最基础的几何图形，有着丰富的性质和计算方法。

2.1 三角形的性质①内角和：三角形的三个内角的和等于180度。

②外角和：三角形的三个外角的和等于360度。

③三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

2.2 三角形的计算方法根据三角形的性质，我们可以采取以下方法来解决计算问题。

①利用内角和：对于已知三角形的一个或多个内角度数，我们可以通过已知角度求解其它角度，再利用三角形的性质求解其它问题。

②使用三角形的面积公式：对于已知三角形的底和高，我们可以利用三角形的面积公式（面积=1/2 x 底 x 高）求解。

③利用三角形的边长关系：对于已知三角形的边长关系，例如等边三角形的三边相等，等腰三角形的两底角相等等，我们可以通过已知关系求解其它问题。

三、快速解决平行四边形与三角形计算问题的技巧除了基本的计算方法外，还有一些技巧可以帮助我们更快速地解决平行四边形与三角形的计算问题。

初中数学点知识归纳平行四边形的面积和周长计算初中数学点知识归纳：平行四边形的面积和周长计算平行四边形是初中数学中重要的图形之一，掌握计算平行四边形的面积和周长方法对于解题和应用数学习题具有重要意义。

本文将对如何计算平行四边形的面积和周长进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

一、平行四边形的定义平行四边形是具有相对边平行关系的四边形，其相对边两两平行，并且相对边对应的角相等。

平行四边形的特点使得我们可以运用一些特定方法来计算其面积和周长。

二、平行四边形的面积计算计算平行四边形的面积通常有两种方法：基本公式法和向量法。

下面我们将分别介绍这两种方法的具体步骤。

1. 基本公式法基本公式法利用平行四边形的底边长度和高的关系来计算面积。

具体计算步骤如下：（1）首先，找出平行四边形的底边和高。

底边可以是任意一条边，高则是从底边到与之平行的相邻边的垂直距离。

（2）使用公式：面积= 底边长度×高。

将底边长度和高代入公式，并进行乘积运算，就可以得到平行四边形的面积。

2. 向量法向量法利用平行四边形的两条邻边的向量来计算面积。

具体计算步骤如下：（1）找出平行四边形的两条邻边，并确定其向量表示。

（2）计算两条邻边向量的叉积，得到的结果就是平行四边形的面积。

需要注意的是，向量法计算的结果可能为负值，因此在计算后需要取绝对值。

三、平行四边形的周长计算计算平行四边形的周长需要知道平行四边形的边长。

对于不规则的平行四边形，可以通过计算四条边之和来得到周长。

而对于具有特殊规律的平行四边形，如矩形和正方形，可以直接利用其特殊性质进行计算。

1. 不规则平行四边形的周长计算对于不规则平行四边形，周长可以通过计算四条边之和得到。

具体计算步骤如下：（1）找出平行四边形的四条边，并确定其长度。

（2）将四条边的长度进行求和，得到的结果就是平行四边形的周长。

2. 矩形和正方形的周长计算矩形和正方形是一种特殊的平行四边形，其特点是相邻边相等且平行。

四边形角格点问题解题技巧详解与方法详解嘿，咱今儿就来唠唠四边形角格点问题！这可是个有趣又有点头疼的玩意儿呢。

你想想啊，四边形就像个四四方方的小天地，可这角格点问题就像是在这个小天地里藏了不少小秘密，等着我们去揭开。

比如说，遇到一个四边形，它的角上有点特别的情况，那咱就得好好琢磨琢磨了。

咱得先观察观察，看看这些角之间有啥关系，是不是有啥规律可循。

这就好比你找宝藏，得先留意周围的线索呀！然后呢，咱可以试着画画辅助线。

这辅助线可神奇了，就像给你打开了一扇通往解题新世界的门。

它能把那些看似杂乱无章的角啊边啊给联系起来，让你一下子豁然开朗。

再来说说具体的解题技巧。

咱可以从一些特殊的角度入手，比如直角啦、平角啦。

你想想，这些特殊的角就像是一把钥匙，说不定就能打开解题的大门呢！还有啊，利用三角形的内角和定理也是个好办法。

把四边形分割成几个三角形，那问题不就变得简单多了嘛。

还有哦，有时候咱得学会换个角度看问题。

就像你走路，有时候直走不通，那咱就绕个弯呗。

解题也是一样，别死磕一个方法，多试试几种，说不定就柳暗花明又一村了呢。

咱举个例子哈，有个四边形，它的几个角都怪怪的。

这时候咱就可以根据已知条件，慢慢分析，一步一步来。

就像走迷宫，只要方向对了，总能走出去的。

哎呀，这四边形角格点问题啊，真的是需要我们细心加耐心。

可别嫌麻烦，当你解开一道难题的时候，那成就感，啧啧，别提多棒了！总之呢，面对四边形角格点问题，咱不能怕，得鼓起勇气去挑战。

多观察，多思考，多尝试不同的方法。

就像那句话说的，办法总比困难多嘛！相信自己，咱一定能把这些难题都拿下！这就是我给大家分享的四边形角格点问题解题技巧和方法，大家可得好好记住哦！。

四边形动点问题解题技巧
四边形动点问题是指在四边形中，指定一个或多个点 (动点) 的运动方式及方向，求其余点 (定点) 在发展过程中的坐标及对应数量关系的问题。

解决四边形动点问题需要掌握以下技巧:
1. 分析题意：认真阅读题干，了解动点的运动方式、方向及限制条件，提取关键信息，确定解题方向。

2. 建立坐标系：通常是在平面直角坐标系中解决这个问题，需要将动点的位置转化为坐标，以便于应用代数方法解决问题。

3. 建立等量关系：通过分析题目中的限制条件和运动方式，建立动点和定点的等量关系，通常可以用行程问题、角度问题等来表示。

4. 列方程解题：根据等量关系，列出代数方程，求解未知数的值，然后根据题意进行画图、分析、总结。

5. 分类讨论：对于存在角度限制或速度限制等问题的题目，需要进行分类讨论，以确保解答的正确性。

6. 注意细节：在解决问题的过程中，需要注意细节，如动点的速度、方向、持续时间等因素，以免出现不必要的错误。

综上所述，解决四边形动点问题需要有清晰的思路和扎实的数学知识基础，需要善于发现问题的本质，善于运用代数方法解决问题，同时需要注意细节和分类讨论。

四边形解题技巧一、平行四边形应用举例平行四边形具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质，它们在计算、证明中都有广泛的应用，现举例说明．1．求角的度数例1 如图，ABCD中．AD=2AB，点E、A、B、F在一条直线上，且EA＝AB＝BF，求∠DOC 的度数．例2 （2007·河北）如图，若ABCD与EBCF关于BC所在直线对称，∠ABE=90°，则∠F=______．2．求线段的长例3 如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠A =120°，∠B＝60°，∠BCD＝∠150°，求AD的长．例4 (2006·河北)如图，在DABCD中，AD＝5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE、EC的长度分别为( )A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和43．求周长例5 (2006·日照)如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF= 45°，且2，求ABCD的周长．AE+AF=24．求第三边的取值范围例6 (2006·双柏)如图，在ABCD中，对角线AC和BD相交于点0，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是( )A．10<m<12 B．2<m<22 C．l<m<ll D．5<m<65．综合计算题例7 如图,ABCD的周长为210 ，BC的长为35，AE⊥BC于E，AF⊥DC，垂足为36DC延长线上的点F，AE=3．求：(1)∠D的度数；(2)AF的长．6．探索题例8 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于点F，∠AD C的平分线DG交边AB于点G，且DG与CF交于点E．请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG为等腰直角三角形，并说明理由．二、添作中位线，妙证几何题三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．这是三角形的一条很重要的性质，它包含了位置与数量两种关系．在题中，若有线段的中点，可过中点作第三边的平行线或取另一边中点构造中位线，运用中位线定理，实现线段或角的转移，从而迅速找到解题突破口，往往会使得某些看似无法解决的几何题化难为易，迎刃而解．例9 如图，在△ABC中，AB<AC，点D在AC上，且有CD=AB，E、F分别是AD和BC的中点，连结EF并延长与BA的延长线相交于点G，求证：AE=AG．例10 如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且AC=BD，E、F分别是AD、BC的中点，EF分别交AC、BD于M、N．求证：∠OMN=∠ONM.例11 如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F，郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。

初中数学知识归纳四边形的性质与计算四边形是初中数学中重要的概念之一，它具有丰富的性质和计算方法。

本文将对四边形的性质和计算进行归纳总结，供初中生学习参考。

一、四边形的性质1. 内角和定理：对于任意一个四边形，所有内角的和等于360度。

例如，四边形ABCD的内角A、内角B、内角C和内角D的和等于360度。

2. 对角线性质：a) 两对对边和相等的四边形为平行四边形。

平行四边形的对角线互相平分，并且长度相等。

例如，对于平行四边形ABCD，AC=BD。

b) 两对对边和相等且对角线相等的四边形为矩形。

矩形的对角线互相平分，并且长度相等。

例如，对于矩形ABCD，AC=BD，且AC=BD的长度也等于矩形的对角线长度。

c) 两对对边和不相等的四边形为梯形。

梯形的对角线不互相平分，但相交点到两对对边的距离相等。

例如，对于梯形ABCD，AC和BD不相等，但是交点O到边AB和边CD的距离相等。

d) 对角线相等的四边形为菱形。

菱形的对边平分，对角线相等并垂直相交。

例如，对于菱形ABCD，AC=BD，且AC和BD平分对边AB和对边CD。

3. 边长性质：a) 平行四边形的对边相等。

例如，对于平行四边形ABCD，AB=CD，AD=BC。

b) 矩形的对边相等。

例如，对于矩形ABCD，AB=CD，AD=BC。

c) 梯形的底边平行并且长度相等。

例如，对于梯形ABCD，AB∥CD，AB=CD。

d) 菱形的四条边长相等。

例如，对于菱形ABCD，AB=BC=CD=DA。

二、四边形的计算1. 周长：四边形的周长等于所有边长的和。

例如，四边形ABCD的周长等于AB+BC+CD+DA。

2. 面积：a) 平行四边形的面积等于底边长度乘以高的长度。

例如，平行四边形ABCD的面积等于底边AB乘以高的长度h。

b) 矩形的面积等于长乘以宽。

例如，矩形ABCD的面积等于长边AB乘以短边BC。

c) 梯形的面积等于上底和下底的平均值乘以高的长度。

例如，梯形ABCD的面积等于(AB+CD)乘以高的长度h再除以2。

高效利用初中数学解题技巧解决平行四边形问题在初中数学中，平行四边形是一个常见的几何形状。

解决平行四边形相关问题时，掌握一些高效的解题技巧可以帮助我们更好地理解和解决问题。

本文将介绍一些有用的技巧和方法，帮助读者更好地应对平行四边形问题。

一、平行四边形的特征在解决平行四边形问题之前，我们首先要了解平行四边形的特征。

平行四边形具有以下几个重要性质：1. 对边相等：平行四边形的对边是相等的，即两组对边分别相等。

2. 对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，即对角线把平行四边形分成两个面积相等的三角形。

3. 内角和为180度：平行四边形的内角和等于180度。

了解平行四边形的特征对于解决问题非常重要，它们将为我们提供解题的线索和方向。

二、计算平行四边形的面积解决平行四边形的问题，常常需要计算它的面积。

对于一个已知的平行四边形，可以通过两种方法来计算它的面积。

1. 方法一：通过底和高计算如果我们已知平行四边形的底和高，可以使用以下公式来计算其面积：面积 = 底 ×高。

其中，底是平行四边形的一条边，高是从底到对边的垂直距离。

2. 方法二：通过对角线计算如果我们已知平行四边形的两条对角线的长度，可以使用以下公式来计算其面积：面积 = 0.5 ×对角线1 ×对角线2。

其中，对角线1和对角线2分别是两条对角线的长度。

这两种方法可以根据问题的具体情况选择使用，但无论使用哪种方法，都要确保数据的准确性。

三、解决平行四边形的问题1. 求解边长在某些问题中，我们需要求解平行四边形的边长。

如果已知平行四边形的底和高，我们可以直接使用底 ×高的公式来计算边长。

另外，如果我们已知平行四边形的两组对边分别相等，也可以通过这个特征来求解边长，依据“对边相等”性质，我们可以设未知边长为x，然后建立方程求解。

2. 求解面积已知平行四边形的底和高时，我们可以使用底 ×高的公式来求解面积。

四边形面积最值问题解题技巧
解决四边形面积最值问题，可以使用以下技巧：
1. 首先，计算四边形的面积公式。

对于一般的四边形，可以使用海龙公式或狄利克雷公式来计算面积。

如果是特殊的四边形（如矩形、平行四边形等），则可以使用其特定的面积公式。

2. 确定四边形的类型。

不同类型的四边形有不同的性质和限制条件，因此需要根据具体情况采用不同的方法求解。

3. 利用不等式技巧。

对于某些特定的四边形类型，可以运用不等式技巧来求解其最大或最小面积。

例如，对于一个长方形，可以利用不等式“算术平均数大于等于几何平均数”来证明其最大面积出现在正方形时。

4. 画图分析。

通过画图来理解和分析四边形的性质和限制条件，可以更加直观地找到最大或最小面积。

同时，画图也可以帮助我们发现一些规律和特点，为解决问题提供思路和启示。

总之，在解决四边形面积最值问题时，需要结合具体情况选择合适的方法和技巧，充分利用已知条件和性质来求解。

同时，需要多加练习，不断提高自己的数学水平和解题能力。

初中四边形知识点总结归纳四边形作为初中数学中的重要内容，是学习几何学不可或缺的一部分。

在初中阶段，我们需要系统地学习和掌握四边形的性质、分类以及相关的定理。

本文将对初中四边形的知识点进行总结和归纳，帮助大家更好地理解和掌握这一部分知识。

1. 四边形的定义四边形是由四条线段组成的图形。

四边形的特点是有四个顶点、四条边和四个内角。

2. 四边形的分类根据边长和角度的不同，四边形可以分为以下几类：1) 矩形：具有四个右角的四边形，对边相等。

2) 正方形：具有四个相等边和四个右角的四边形。

3) 平行四边形：具有两对平行边的四边形。

4) 长方形：具有四个右角的四边形，对边相等。

5) 菱形：具有四个相等边的四边形。

6) 梯形：具有两对平行边的四边形。

7) 不规则四边形：没有特殊性质的四边形。

3. 四边形的性质1) 内角和定理：任意四边形的内角和等于360度。

2) 对角线性质：- 矩形、正方形和菱形的对角线相互平分。

- 平行四边形的对角线互相等长。

- 不规则四边形的对角线一般不相等。

3) 矩形、正方形和菱形的边长关系：正方形的边长等于矩形或菱形的长度，矩形和菱形的边长相等。

4) 平行四边形的边长关系：对边相等。

5) 梯形的特点：有一个对角线作为它的中线，两腰相等的梯形是等腰梯形。

6) 不规则四边形的特点：没有特殊性质，边长和角度都可能不相等。

4. 四边形的重要定理1) 矩形的重要定理：- 矩形的对角线相等。

- 矩形的四个角都是直角。

- 矩形的边互相垂直。

2) 正方形的重要定理：- 正方形的对角线相等且垂直。

- 正方形的对角线平分角。

- 正方形的四个角都是直角。

3) 平行四边形的重要定理：- 平行四边形的对边平行且相等。

- 平行四边形的对角线互相平分。

4) 菱形的重要定理：- 菱形的对角线互相垂直。

- 菱形的对角线平分角。

5. 解题技巧和注意事项1) 综合运用已知条件和四边形的性质来解题。

2) 注意图形的标记和注释，保持清晰易懂。

初中数学四边形求解题技巧初中数学中关于四边形的求解题目有很多，下面我将介绍一些常见的求解四边形题目的技巧和方法。

一、平行四边形的性质和求解平行四边形是指具有两组对边平行的四边形。

在求解平行四边形的问题中，我们可以利用以下性质和方法：1. 对角线等分性质：平行四边形的两条对角线互相等分。

应用技巧：利用对角线等分性质，可方便地求解平行四边形的各边长。

2. 交错角性质：平行四边形的两组对边交错相等。

应用技巧：根据交错角性质，可求解平行四边形的角度。

3. 逆用：若两组对边都平行，则是平行四边形。

应用技巧：当题目给出两组对边都平行时，可直接判定为平行四边形。

二、矩形和正方形的性质和求解矩形是指具有四个直角的四边形，而正方形是一种特殊的矩形，它具有四个相等的边和四个直角。

在求解矩形和正方形的问题中，我们可以利用以下性质和方法：1. 特殊对角线性质：矩形和正方形的对角线相等。

应用技巧：利用特殊对角线性质，可方便地求解矩形和正方形的对角线长度。

2. 邻边和对角线关系：矩形的邻边和对角线之间存在特定的关系。

应用技巧：根据邻边和对角线的关系，可求解矩形的边长和对角线长度。

3. 邻边与对角线之间的关系：正方形的邻边和对角线之间存在特定的关系。

应用技巧：根据邻边和对角线的关系，可求解正方形的边长和对角线长度。

三、菱形的性质和求解菱形是指具有四个相等边的四边形，它具有一些特殊的性质。

在求解菱形的问题中，我们可以利用以下性质和方法：1. 对角线垂直性质：菱形的对角线相互垂直。

应用技巧：利用对角线垂直性质，可方便地求解菱形的对角线长度。

2. 对角线和邻边的关系：菱形的对角线和邻边之间存在特定的关系。

应用技巧：根据对角线和邻边的关系，可求解菱形的边长和对角线长度。

四、梯形的性质和求解梯形是指具有一对平行边的四边形。

在求解梯形的问题中，我们可以利用以下性质和方法：1. 对角线平分性质：梯形的对角线互相平分。

应用技巧：利用对角线平分性质，可方便地求解梯形的对角线长度。

常用四边形的特征与边长计算方法一、四边形的定义与特征1.四边形是由四条线段首尾顺次连接而成的平面图形。

2.四边形有四条边，四个角，且内角和为360°。

3.根据四边形的边和角的性质，可以将四边形分为平行四边形、梯形、矩形、菱形和正方形等。

二、平行四边形的特征与边长计算方法1.平行四边形的对边平行且相等。

2.平行四边形的对角相等。

3.平行四边形的边长计算方法：利用相邻边的比例关系，设平行四边形的相邻两边分别为a和b，则第三边的长度可以表示为a x或b x，其中x为第三边与已知边的比例系数。

三、梯形的特征与边长计算方法1.梯形有一对平行边，称为上底和下底，平行边的长度不相等。

2.梯形的非平行边称为腰，腰的长度可以相等也可以不相等。

3.梯形的边长计算方法：利用上底、下底和腰的长度关系，设上底为a，下底为b，腰的长度为h，则梯形的周长可以表示为P=a+b+2h。

四、矩形的特征与边长计算方法1.矩形的对边平行且相等。

2.矩形的对角相等。

3.矩形的边长计算方法：利用相邻边的比例关系，设矩形的相邻两边分别为a和b，则第三边的长度可以表示为a x或b x，其中x为第三边与已知边的比例系数。

五、菱形的特征与边长计算方法1.菱形的四条边相等。

2.菱形的对角相等。

3.菱形的边长计算方法：设菱形的边长为a，则菱形的周长可以表示为P=4a。

六、正方形的特征与边长计算方法1.正方形的四条边相等。

2.正方形的四个角都是直角。

3.正方形的边长计算方法：设正方形的边长为a，则正方形的周长可以表示为P=4a。

七、特殊四边形的特征与边长计算方法1.等腰梯形的两腰相等，底角相等。

2.等边梯形的四条边都相等。

3.等腰梯形和等边梯形的边长计算方法：设梯形的上底为a，下底为b，腰的长度为h，则梯形的周长可以表示为P=a+b+2h。

以上就是关于常用四边形的特征与边长计算方法的总结，希望对你有所帮助。

习题及方法：1.习题：判断下列图形哪些是平行四边形。

平行四边形知识定位平行四边形在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，平行四边形是平面几何中最重要的图形，它的有关知识是今后我们学习特殊四边形、多边形乃至立体几何的重要基础。

平行四边形的证明性质以及应用，必须熟练掌握。

本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中平行四边形相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理一．正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．（2）表示方法：用“”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD记作 ABCD，读作“平行四边形ABCD”．2．熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的．（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）面积：①S==⨯底高ah；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形二．几种特殊四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：①一组对边平行；②一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题．（5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形．2．几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．（2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）．（3）正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450；④对称性：轴对称图形（4条）．（4）等腰梯形：①边：上下底平行但不相等，两腰相等；②角：同一底边上的两个角相等；对角互补③对角线：对角线相等；④对称性：轴对称图形（上下底中点所在直线）．3．几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等．（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形②有一组邻边相等的矩形；③对角线互相垂直的矩形．④有一个角是直角的菱形⑤对角线相等的菱形；（4）等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形①同一底两个底角相等的梯形；②对角线相等的梯形．4．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．③说明四边形ABCD的三个角是直角．（2）识别菱形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直．③ 说明四边形ABCD 的四条相等． （3）识别正方形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的一个角为直角且有一组邻边相等．② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等． ③ 先说明四边形ABCD 为矩形，再说明矩形的一组邻边相等．④ 先说明四边形ABCD 为菱形，再说明菱形ABCD 的一个角为直角． （4）识别等腰梯形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明两腰相等．② 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明同一底上的两个内角相等． ③ 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明对角线相等． 5．几种特殊四边形的面积问题① 设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则S 矩形=ab ．② 设菱形ABCD 的一边长为a ，高为h ，则S 菱形=ah ；若菱形的两对角线的长分别为a,b ，则S 菱形=12ab ． ③ 设正方形ABCD 的一边长为a ，则S 正方形=2a ；若正方形的对角线的长为a ，则S 正方形=212a ． ④ 设梯形ABCD 的上底为a ，下底为b ，高为h ，则S 梯形=1()2a b h ．例题精讲【试题来源】 【题目】如图所示．在ABCD 中，AE ⊥BC ，CF ⊥AD ，DN=BM ．求证：EF 与MN 互相平分．【答案】如下解析【解析】 证明：因为ABCD 是平行四边形，所以ADBC ，ABCD ，∠B=∠D ．又AE ⊥BC ，CF ⊥AD ，所以AECF 是矩形，从而AE=CF．所以Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以△BEM≌△DFN(SAS)，ME=NF．①又因为AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以△MAF≌△NCE(SAS)，所以 MF=NF．②由①②，四边形ENFM是平行四边形，从而对角线EF与MN互相平分．【知识点】平行四边形【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求证：AE=CF．【答案】如下解析【解析】解：作GH⊥BC于H，连接EH．因为BG是∠ABH的平分线，GA⊥BA，所以GA=GH，从而△ABG≌△HBG(AAS)，所以 AB=HB．①在△ABE及△HBE中，∠ABE=∠CBE，BE=BE，所以△ABE≌△HBE(SAS)，所以 AE=EH，∠BEA=∠BEH．下面证明四边形EHCF是平行四边形．因为AD∥GH，所以∠AEG=∠BGH(内错角相等)．②又∠AEG=∠GEH(因为∠BEA=∠BEH，等角的补角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形对应角相等)，所以∠AGB=∠GEH．从而EH∥AC(内错角相等，两直线平行)．由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四边形，所以FC=EH=AE．【知识点】平行四边形【适用场合】当堂练习【难度系数】3【试题来源】【题目】如图2-34所示．ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求证：∠EMC=3∠BEM．【答案】如下解析【解析】证明：延长EM交DC的延长线于F，连接DM．由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，所以△MCF≌△MBE(AAS)，所以M是EF的中点．由于AB∥CD及DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM为斜边的中线，由直角三角形斜边中线的性质知∠F=∠MDC，又由已知MC=CD，所以∠MDC=∠CMD，则∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．从而∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM【知识点】平行四边形【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延长线于F．求证：CA=CF．【答案】如下解析【解析】解：延长DC交AF于H，显然∠FCH=∠DCE．又在Rt△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC．因为矩形对角线相等，所以△DCB≌△CDA，从而∠DBC=∠CAD，因此，∠FCH=∠CAD．①又AG平分∠BAD=90°，所以△ABG是等腰直角三角形，从而易证△HCG也是等腰直角三角形，所以∠CHG=45°．由于∠CHG是△CHF的外角，所以∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，所以∠CFH=45°-∠FCH．②由①，②∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，于是在三角形CAF中，有CA=CF．【知识点】平行四边形【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】设正方形ABCD的边CD的中点为E，F是CE的中点(图2-36)．求证：【答案】如下解析【解析】解：如图作∠BAF的平分线AH交DC的延长线于H，则∠1=∠2=∠3，所以FA=FH．设正方形边长为a，在Rt△ADF中，所以 Rt△ABG≌Rt△HCG(AAS)，所以Rt△ABG≌Rt△ADE(SAS)，【知识点】平行四边形【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】如图2-37所示．正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G．求证：△GHD是等腰三角形．【答案】如下解析【解析】证明：因为DE BC，所以四边形BCED为平行四边形，所以∠1=∠4．又BD=FD，所以所以 BC=GC=CD．因此，△DCG为等腰三角形，且顶角∠DCG=45°，所以又所以∠HDG=∠GHD，从而GH=GD，即△GHD是等腰三角形．【知识点】平行四边形【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】如图，在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF ⊥AC于F，那么PE+PF的值为．【答案】60/13【解析】解：延长CD至M,使DM=CD,连接AM,过P作PN⊥AM,N为AM上的点.在△ACM中,AD⊥CM且CD=DM,则AD是△ACM的角平分线.则PF=PN.又在四边形ABDM中,AB平行等于DM.则为平行四边形.AM平行BD,故PE,PN在同一直线上.那么PE+PF=PE+PN=EN平行四边形ABDM面积S=ABxAD=BDxEN而BD=√(5x5+12x12)=13则EN=ABxAD/BD=5x12/13=60/13.【知识点】平行四边形【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】如图，设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，PG⊥EF于G点，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD＝PC，求证：BC⊥BD，且BC=BD【答案】如下解析【解析】证明：∵PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，∠ACB=90°，∴CEPF是矩形（三角都是直角的四边形是矩形），∴OP=OF，∠PEF+∠3=90°，∴∠1=∠3，∵PG⊥EF，∴∠PEF+∠2=90°，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A=∠ABC=45°，∴∠APE=∠BPF=45°，∴∠APE+∠2=∠BPF+∠1，即∠APG=∠CPB，∵∠BPD=∠APG（对顶角相等），∴∠BPD=∠CPB，又∵PC=PD，PB是公共边，∴△PBC≌△PBD（SAS），∴BC=BD，∠PBC=∠PBD=45°，∴∠PBC+∠PBD=90°，即BC⊥BD．故证得：BC⊥BD，且BC=BD【知识点】平行四边形【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】如图，正方形ABCD外有一点P，P在BC外侧，并在平行线AB与CD之间，若PA=，PB=，PC=，则PD=（）【答案】2【解析】解：延长AB，DC，过P分作PE⊥AE，PF⊥DF，则CF=BE，AP2=AE2+EP2，BP2=BE2+PE2，DP2=DF2+PF2，CP2=CF2+FP2，∴AP2+CP2=CF2+FP2+AE2+EP2，DP2+BP2=DF2+PF2+BE2+PE2，即AP2+CP2=DP2+BP2，代入AP，BP，CP得DP==2，【知识点】平行四边形【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，在△ADC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线，BE 和AD交于G，求证：GF∥AC．【答案】如下解析【解析】证明：连接EF．∵∠BAC=90°，AD⊥BC．∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°．∴∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C．∵BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线．∴∠ABG=∠EBD．∵∠AGE=∠GAB+∠GBA，∠AEG=∠C+∠EBD，∴∠AGE=∠AEG，∴AG=AE，∵AF是∠DAC的平分线，∴AO⊥BE，GO=EO，∵∴△ABO≌△FBO，∴AO=FO，∴四边形AGFE是平行四边形，∴GF∥AE，即GF∥AC．【知识点】平行四边形【适用场合】当堂练习题【难度系数】4习题演练【试题来源】【题目】如图，在等腰三角形ABC中，延长AB到点D，延长CA到点E，且AE=BD，连接DE．如果AD=BC=CE=DE，求∠BAC的度数．【答案】100°【解析】解：过D作DF∥BC，且使DF=BC，连CF、EF，则四边形BDFC是平行四边形，∴BD=CF，DA∥FC，∴∠EAD=∠ECF，∵AD=CE，AE=BD=CF，∴△ADE≌△CEF（SAS）∴ED=EF，∵ED=BC，BC=DF，∴ED=EF=DF∴△DEF为等边三角形设∠BAC=x°，则∠ADF=∠ABC=，∴∠DAE=180°﹣x°，∴∠ADE=180°﹣2∠DAE=180°﹣2（180°﹣x°）=2x°﹣180°，∵∠ADF+∠ADE=∠EDF=60°∴+（2x°﹣180°）=60°∴x=100．∴∠BAC=100°．【知识点】平行四边形【适用场合】随堂课后练习【难度系数】5【试题来源】【题目】如图所示，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC上任一点，DF⊥AB于F，DE ⊥AC于E，M为BC的中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论【答案】如下解析【解析】解：△MEF是等腰直角三角形．证明如下：连接AM，∵M是BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC，∴AM=BC=BM，AM平分∠BAC．∵∠MAC=∠MAB=∠BAC=45°．∵AB⊥AC，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE∥AB，DF∥AC．∵∠BAC=90°，∴四边形DFAE为矩形．∴DF=AE．∵DF⊥BF，∠B=45°．∴∠BDF=∠B=45°．∴BF=FD，∠B=∠MAE=45°，∴AE=BF．∵AM=BM∴△AEM≌△BFM（SAS）．∴EM=FM，∠AME=∠BMF．∵∠AMF+∠BMF=90°，∴∠AME+∠AMF=∠EMF=90°，∴△MEF是等腰直角三角形．【知识点】平行四边形【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．（1）求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线；（2）如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明．【答案】如下解析【解析】解：（1）证明：连接PD、PE、QD、QE．因为CE⊥AB，P是BF的中点，所以△BEF是直角三角形，且PE是Rt△BEF斜边的中线，所以PE=BF．又因为AD⊥BC，所以△BDF是直角三角形，且PD是Rt△BDF斜边的中线，所以PD=BF=PE，所以点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证，QD、QE分别是Rt△ADC和Rt△AEC斜边上的中线，所以QD=AC=QE，所以点Q也在线段DE的垂直平分线上所以直线PQ垂直平分线段DE．（2）当△ABC为钝角三角形时，（1）中的结论仍成立．如图，△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°．原题改写为：如图，在钝角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，DA与CE的延长线交于点F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．求证：直线PQ垂直且平分线段DE．证明：连接PD，PE，QD，QE，则PD、PE分别Rt△BDF和Rt△BEF的中线，所以PD=BF，PE=BF，所以PD=PE，点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证QD=QE，所以点Q在线段DE的垂直平分线上．所以直线PQ垂直平分线段DE．【知识点】平行四边形【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM=AC，N在AC上，且AN=MC，AM 与BN相交于P，求证：∠BPM=45°．【答案】如下解析【解析】解：如图，过M作ME∥AN，使ME=AN，连NE，BE，则四边形AMEN为平行四边形，∴NE=AM，ME⊥BC，∵ME=AN=CM，∠EMB=∠MCA=90°，BM=AC，∴△BEM≌△AMC，得BE=AM=NE，∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠4=90°且BE=NE，∴△BEN为等腰直角三角形，∠BNE=45°，∵AM∥NE，∴∠BPM=∠BNE=45°【知识点】平行四边形【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3。

专题六四边形与多边形【专题分析】四边形与多边形在中考中的常见考点有多边形的内角和与外角和；平行四边形的性质与判定，平行四边形中有关角及线段的相关计算；矩形的性质与判定，菱形的性质与判定，正方形的性质与判定；四边形的综合考查等．中考中四边形与多边形的考查形式多样，对平行四边形、菱形等的判定的考查也常出现开放型题目；中考中四边形与多边形所占比重约为10%～15%.【解题方法】解决四边形问题常用的数学思想就是转化思想、方程思想；常用的数学方法有分类讨论法，逆向思维法等.【知识结构】【典例精选】：如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2 340°的新多边形，则原多边形的边数为( )A．13 B．14 C．15 D．16【思路点拨】设出新多边形的边数，根据多边形内角和公式求出新的边数，新边数减1即原多边形的边数．答案：B规律方法：解答此类问题，如果题目中没有给出图形及剪法要根据题意画出图形，按照截线位置的不同分情况讨论.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是BC，BA的中点，连结DE，F在DE的延长线上，且AF＝AE.(1)求证：四边形ACEF是平行四边形；(2)若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数．【思路点拨】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE＝AE ＝BE，从而得到AF＝CE，再根据等腰三角形三线合一的性质和等边对等角可得∠F＝∠CED，再根据同位角相等，两直线平行求出CE∥AF，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；(2)根据菱形的四条边都相等可得AC ＝CE，然后求出AC＝CE＝AE，从而得到△AEC是等边三角形，即得∠CAE＝60°，然后根据直角三角形两锐角互余可得∠B的度数．【自主解答】(1)证明：如图，∵∠ACB＝90°，E是BA的中点，∴CE＝AE＝BE.∵AF＝AE，∴AF＝CE.在△BEC中，∵BE＝CE且D是BC的中点，∴ED是等腰△BEC底边上的中线和顶角平分线，∴∠1＝∠2.∵AF＝AE，∴∠F＝∠3.∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠F，∴CE∥AF.又∵CE＝AF，∴四边形ACEF是平行四边形．(2)解：∵四边形ACEF是菱形，∴AC＝CE.由(1)知，AE＝CE，∴AC＝CE＝AE，∴△AEC是等边三角形，∴∠CAE＝60°，在Rt△ABC中，∠B＝90°－∠CAE ＝90°－60°＝30°.如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连结DO并延长到点E，使OE＝OD，连结AE，BE.(1)求证：四边形AEBD是矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．【思路点拨】(1)先证四边形AEBD是平行四边形，再由等腰三角形的性质得∠ADB＝90°，即可得出结论； (2)由等腰直角三角形的性质得AD＝BD＝CD，再结合(1)中结论可得出结论．【自主解答】(1)证明：∵点O为AB的中点，∴AO＝BO.又∵OE＝OD，∴四边形AEBD是平行四边形．∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴平行四边形AEBD是矩形．(2)解：当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形．理由如下：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD＝BD＝12 BC.由(1)知四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．规律方法：牢记平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系是解决此类问题的关键，一般证明步骤为先证四边形为平行四边形，再证四边形为矩形或菱形，最后证四边形为正方形.如图①，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD＝60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点．(1)求证：△ADP≌△ECP；(2)若BP＝n·PK，试求出n的值；(3)作BM⊥AE于点M，作KN⊥AE于点N，连结MO，NO，如图②所示．请证明△MON是等腰三角形，并直接写出∠MON的度数．【思路点拨】(1)由四边形ABCD是菱形及点P是CD的中点，可证△ADP ≌△ECP ；(2)过点P 作PH ∥CE 交DE 于点H ，可得HP CE ＝DP CD ＝12，由(1)可得CE ＝AD ＝BC ，所以PK BK ＝HP BE ＝14，可得BP ＝3PK ，从而得出n ＝3；(3)过点O 作OG ⊥AE于点G ，又由BM ⊥AE ，KN ⊥AE 可得BM ∥OG ∥KN ，进而可得MG NG ＝BOOK＝1， 又点O 是线段BK 的中点，所以MG ＝NG ，进而可证△MON 是等腰三角形；假设BC ＝2，由已知条件可求得BP ＝3，AP ＝7，利用面积法可求BM ＝2217，在Rt△BMP 中，利用勾股定理可求PM ＝377，再由(2)可得PB ＝3PO ，则OG ＝13BM＝22121，MG ＝23MP ＝277，在Rt△MOG 中，求出tan∠MOG 的值，即得∠MOG 的度数，∠MON 的度数即可求．【自主解答】(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，即AD ∥BE ，∴∠DAP ＝∠CEP ，∠ADP ＝∠ECP .又∵点P 是CD 的中点，∴DP ＝CP ，∴△ADP ≌△ECP (AAS )．(2)解：如图，过点P 作PH ∥CE 交DE 于点H ，∵点P 是CD 的中点，∴HPCE＝DP DC ＝12.又由(1)知△ADP ≌△ECP ，∴AD ＝CE . ∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝BC ＝CE ， ∴BE ＝2CE .PK BK ＝HP BE ＝14，即BK ＝4PK ，∴BP ＝3PK ，即 n ＝3.(3)解：如图，过点O 作OG ⊥AE 于点G ，又∵BM ⊥AE ，KN ⊥AE ，∴BM ∥OG ∥KN .∵点O 是线段BK 的中点，∴MG NG ＝BOOK ＝1，∴MG ＝NG ，即OG 是线段MN 的中垂线．∴OM ＝ON ，即△MON 是等腰三角形．由题意得，△BPC ，△AMB ，△ABP 为直角三角形，设BC ＝2，则CP ＝1，由勾股定理，得BP ＝3，则AP ＝7，根据三角形面积公式，得BM ＝2217，由(2)得PB ＝3PO ，∴OG ＝13BM ＝22121，MG ＝23MP ＝277，tan∠MOG ＝MGOG ＝3，∴∠MOG＝60°.∴∠MON ＝120°.规律方法：菱形的四条边都相等，对角线互相垂直平分，且平分一组对角，利用菱形的性质可以解决有关线段的计算求值、推理证明等问题.【能力评估检测】一、选择题1．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是( C ) A ．四边形 B ．五边形 C ．六边形 D ．七边形2．已知四边形ABCD ，下列说法正确的是( B ) A ．当AD ＝BC ，AB ∥DC 时，四边形ABCD 是平行四边形 B ．当AD ＝BC ，AB ＝DC 时，四边形ABCD 是平行四边形 C ．当AC ＝BD ，AC 平分BD 时，四边形ABCD 是 矩形 D ．当AC ＝BD ，AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是正 方形3．如图，在平行四边形ABCD 中，过对角线BD 上一点P ，作EF ∥BC ，HG ∥AB ，若四边形AEPH 和四边形CFPG 的面积分别为S 1和S 2，则S 1与S 2的大小关系为( A )A ．S 1＝S 2B．S1＞S2C．S1＜S2D．不能确定4．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为( A )A．2 3 B. 323 C. 3 D．65．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连结EF，若EF＝3，BD＝4，则菱形ABCD的周长为( C )A．4 B．4 6 C．47 D．286．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为( C )A．45° B．55° C．60° D．75°7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A，D为圆心，以大于12AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M，N；第二步，连结MN，分别交AB，AC于点E，F；第三步，连结DE ，DF .若BD ＝6，AF ＝4，CD ＝3，则BE 的长是( D ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【解析】由作图可知MN 是AD 的垂直平分线，∴AE ＝ED ，AF ＝FD .又∵AD 平分∠BAC ，MN ⊥AD ，设AD 与MN 的交点为O ，∴△AOE ≌△AOF ，∴AE ＝AF ，AE ＝AF ＝FD ＝ED ，∴四边形AFDE 为菱形，∴ED ∥AF ，∴△BED ∽△BAC ，∴BE BA ＝BDBC .∵BD＝6，CD ＝3，AE ＝AF ＝4，∴BE 4＋BE ＝69，得BE ＝8.故选D. 8．如图，菱形ABCD 中，AB ＝4，∠B ＝60°，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，连结EF ，则△AEF 的面积是( )A ．4 3B ．3 3C ．2 3 D. 3 【解析】如图，连结AC ，BD ，则△ABC 与△ADC 都是等边三角形．∵AE ⊥BC ，AF ⊥DC ，∴BE ＝CE ，CF ＝DF . ∴S △ABE ＝S △ACE ＝S △ACF ＝S △ADF ＝14S 菱形ABCD .∵EF ∥BD ，∴△CEF ∽△CBD ，∴S △CEF S △CBD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，即S △CEF ＝18S 菱形ABCD ，则S △AEF ＝38S 菱形ABCD .∵sin 60°＝AE AB ＝32，AB ＝4，∴AE ＝2 3. 则S 菱形ABCD ＝BC ·AE ＝4×23＝83， ∴S △AEF ＝38S 菱形ABCD ＝3 3.故选B.答案: B9．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是()A．AF＝AE B．△ABE≌△AGFC．EF＝2 5 D．AF＝EF【解析】如图，由折叠得∠1＝∠2.∵AD∥BC，∴∠3＝∠1，∴∠2＝∠3，∴AE＝AF，故选项A正确；由折叠得CD＝AG，∠C＝∠G＝90°.∵AB＝CD，∴AB＝AG.∵AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△AGF(HL)，故选项B正确；设DF＝x，则GF＝x，AF＝8－x，AG＝4.在Rt△AGF中，根据勾股定理，得(8－x)2＝42＋x2，解得x＝3，∴AF＝8－x＝5，则AE＝AF＝5，∴BE＝AE2－AB2＝52－42＝3.过点F作FM⊥BC于点M，则EM＝5－3＝2.在Rt△EFM中，根据勾股定理，得EF＝EM2＋FM2＝22＋42＝20＝25，故选项C正确．∵AF＝5，EF＝25，∴AF≠EF，故选项D错误．答案: D10．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE 于点H，连结BH并延长交CD于点F，连结DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC－CF＝2HE；⑤AB＝HF.其中正确的有()A．2个 B．3个C ．4个D ．5个【解析】∵在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ， ∴∠BAE ＝∠DAE ＝45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AE ＝2AB . ∵AD ＝2AB ，∴AE ＝AD .在△ABE 和△AHD 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠DAE ，∠ABE ＝∠AHD ＝90°，AE ＝AD ，∴△ABE ≌△AHD (AAS )，∴BE ＝DH ， ∴AB ＝BE ＝AH ＝HD ，∴∠ADE ＝∠AED ＝12(180°－45°)＝67.5°，∴∠CED ＝180°－45°－67.5°＝67.5°， ∴∠AED ＝∠CED ，故①正确；∵AB ＝AH ，∴∠AHB ＝12(180°－45°)＝67.5°，∠OHE ＝∠AHB ，∴∠OHE＝67.5°＝∠AED .∴OE ＝OH .∵∠DHO ＝90°－67.5°＝22.5°， ∠ODH ＝67.5°－45°＝22.5°， ∴∠DHO ＝∠ODH ，∴OH ＝OD ， ∴OE ＝OD ＝OH ，故②正确；∵∠EBH ＝90°－67.5°＝22.5°，∴∠EBH ＝∠OHD .在△BEH 和△HDF 中，⎩⎨⎧∠EBH ＝∠DHF ＝22.5°，BE ＝HD ，∠HEB ＝∠HDF ＝45°，∴△BEH ≌△HDF (ASA )，∴BH ＝HF ，故③正确； ∵HE ＝AE －AH ＝BC －CD ，∴BC －CF ＝BC －(CD －DF )＝BC －(CD －HE )＝ (BC －CD )＋HE ＝HE ＋HE ＝2HE .故④正确；∵AB ＝AH ，∠BAE ＝45°，∴△ABH 不是等边三角形， ∴AB ≠BH ，∴即AB ≠HF ，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选C.答案: C二、填空题11．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，请添加一个条件答案不唯一，如AF＝CE(或BE＝DF，AE∥CF，∠AEB＝∠FCB，∠CFD＝∠EAD 等)，使四边形AECF是平行四边形(只填一个即可)．12．如图，矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连结DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连结AM，CN，MN，若AB＝22，BC＝23，则图中阴影部分的面积为 .【解析】由矩形的性质，易得△AEM≌△CFN，平行四边形BEMN与平行四边形DMNF全等，∴S阴影＝12S矩形ABCD＝12×22×23＝2 6.答案: 2613．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连结EF，CF.则下列结论中一定成立的是(把所有正确结论的序号都填在横线上)．①∠DCF ＝12∠BCD ； ②EF ＝CF ； ③S △BEC ＝2S △CEF ； ④∠DFE ＝3∠AEF .【解析】∵F 是AD 的中点，∴AF ＝FD .∵在▱ABCD 中，AD ＝2AB ，∴AF ＝FD ＝CD ，∴∠DFC ＝∠DCF . ∵AD ∥BC ，∴∠DFC ＝∠FCB ，∴∠DCF ＝∠BCF ，∴∠DCF ＝12∠BCD ，故①正确；如图，延长EF 交CD 的延长线于点M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A ＝∠MDF .∵F 为AD 的中点，∴AF ＝FD .在△AEF 和△DMF 中，∠A ＝∠FDM ，AF ＝DF ，∠AFE ＝∠DFM ，∴△AEF ≌△DMF ，∴FE ＝MF .∵CE ⊥ AB ，∴∠AEC ＝90°，∴∠ECD ＝∠AEC ＝90°.∵FM ＝EF ，∴CF ＝EF ，故②正确；∵EF ＝FM ，∴S △EFC ＝S △CFM ＝12S △ECM .∵MC ＞BE ，S △BEC <S △ECM ＝2S △EFC ，即S △BEC ＜2S △EFC ，故③错误；设∠FEC ＝x °，则∠FCE ＝x °，∴∠DCF ＝∠DFC ＝90°－x °，∠EFC ＝180°－2x °，∴∠DFE ＝90°－x °＋180°－2x °＝270°－3x °.∵∠AEF ＝90°－x °，∴∠DFE ＝3∠AEF ，故④正确．故答案为①②④.答案: ①②④14．(2015·杭州春蕾中学模拟)如图，边长为1的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°.连结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形ACEF ，使∠FAC ＝60°.连结AE ，再以AE 为边作第三个菱形AEGH 使∠HAE ＝60°……按此规律所作的第n 个菱形的边长是 .【解析】如图，连结DB ，交AC 于点M .∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ，AC ⊥DB .∵∠DAB ＝60°，∴△ADB 是等边三角形，∴DB ＝AD ＝1，∴BM ＝12，∴AM ＝32，∴AC ＝ 3.同理可得AE ＝3AC ＝(3)2，AG＝3AE＝33＝(3)3，按此规律所作的第n个菱形的边长为(3)n－1.答案: (3)n－1三、解答题15．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连结DE.(1)求证：DE⊥BE;(2)如果OE⊥CD，求证：BD·CE＝CD·DE.证明：(1)∵OB＝OE，∴∠OEB＝∠OBE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD.∴OD＝OE.∴∠OED＝∠ODE.在△BED中，∠OEB＋∠OBE＋∠ODE＋∠OED＝180°，∴2(∠OEB＋∠OED)＝180°.∴∠OEB＋∠OED＝90°，即∠BED＝90°.∴DE⊥BE.(2)如图，设OE交CD于点H.∵OE⊥CD于点H，∴∠CHE＝90°.∴∠CEH＋∠HCE＝90°.∵∠CED＝90°，∴∠CDE＋∠DCE＝90°.∴∠CDE＝∠CEH.∵∠OEB＝∠OBE，∴∠OBE＝∠CDE.在△CED 与△DEB 中，⎩⎨⎧ ∠CED ＝∠DEB ，∠CDE ＝∠DBE ，∴△CED ∽△DEB . ∴CE DE ＝CD DB，∴BD ·CE ＝CD ·DE . 16．在正方形ABCD 中，动点E ，F 分别从D ，C 两点同时出发，以相同的速度在直线DC ，CB 上移动．(1)如图①，当点E 自D 向C ，点F 自C 向B 移动时，连结AE 和DF 交于点P ，请你写出AE 与DF 的关系，并说明理由；(2)如图②，当点E ，F 分别移动到边DC ，CB 的延长线上时，连结AE 和DF ，(1)中的结论还成立吗？(请直接回答“是”或“否”，不需证明)(3)如图③，当点E ，F 分别在CD ，BC 的延长线上移动时，连结AE 和DF ，(1)的结论还成立吗？请说明理由；(4)如图④，当点E，F分别在DC，CB上移动时，连结AE和DF交于点P.由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的最小值．解：(1)AE＝DF，AE⊥DF.理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°.∵DE＝CF，∴△ADE≌△DCF.∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF.由于∠CDF＋∠ADF＝90°，∴∠DAE＋∠ADF＝90°.∴AE⊥DF.(2)是(证明过程与(1)中相同)．(3)成立．理由如下：由(1)同理可证，AE＝DF，∠DAE＝∠CDF.如图，延长FD交AE于点G，则∠CDF＋∠ADG＝90°.∴∠ADG＋∠DAE＝90°.∴AE⊥DF.(4)如图，由于点P在运动中保持∠APD＝90°，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧．设AD的中点为O，连结OC交弧于点P，此时CP的长度最小．在Rt△ODC中，OC＝CD2＋OD2＝22＋12＝5.∴CP＝OC－OP＝5－1.。

解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法◆类型一特殊四边形中求最值、定值问题一、利用对称性求最值【方法10】1．(2017·青山区期中)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，P，Q分别是AC，AD上的动点，连接DP，PQ，则DP＋PQ的最小值为________．第1题图第2题图2．(2017·安顺中考)如图，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为________．二、利用面积法求定值3．如图，在矩形ABCD中，点P是线段BC上一动点，且PE⊥AC，PF⊥BD，AB＝6，BC＝8，则PE＋PF的值为________．【变式题】矩形两条垂线段之和→菱形两条垂线段之和→正方形两条垂线段之和(1)(2017·眉山期末)如图，菱形ABCD的周长为40，面积为25，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE＋PF等于________．变式题(1)图变式题(2)图(2)如图，正方形ABCD的边长为1，E为对角线BD上一点且BE＝BC，点P为线段CE 上一动点，且PM⊥BE于M，PN⊥BC于N，则PM＋PN的值为________．◆类型二正方形中利用旋转性解题4．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是__________．5．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°.求证：S△AEF ＝S△ABE＋S△ADF.6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，P为正方形ABCD外一点，且BP⊥CP，连接OP.求证：BP＋CP＝2OP.参考答案与解析1. 245解析：如图，过点Q 作QE ⊥AC 交AB 于点E ，则PQ ＝PE .∴DP ＋PQ ＝DP ＋PE .当点D ，P ，E 三点共线的时候DP ＋PQ ＝DP ＋PE ＝DE 最小，且DE 即为所求．当DE ⊥AB 时，DE 最小．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝12AC ＝4，OB ＝12BD ＝3，∴AB ＝5.∵S菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝AB ·DE ，∴12×8×6＝5·DE ，∴DE ＝245.∴DP ＋PQ 的最小值为245.2．6 解析：如图，设BE 与AC 交于点P ，连接BD .∵点B 与D 关于AC 对称，∴PD ＝PB ，∴PD ＋PE ＝PB ＋PE ＝BE ，即P 为AC 与BE 的交点时，PD ＋PE 最小，为BE 的长度．∵正方形ABCD 的边长为6，∴AB ＝6.又∵△ABE 是等边三角形，∴BE ＝AB ＝6.故所求最小值为6.故答案为6.3. 245解析：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ABC ＝90°.∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝10，∴OB ＝OC ＝12AC ＝5.如图，连接OP ，∵S △OBP ＋S △OCP ＝S △OBC ，∴OB ·PF 2＋OC ·PE 2＝S △OBC ，∴5·PF 2＋5·PE 2＝S △OBC .∵S △OBC ＝14S 矩形ABCD ＝14AB ·BC ＝14×6×8＝12，∴5·PF 2＋5·PE 2＝12，∴PE ＋PF ＝245.【变式题】(1)52解析：∵菱形ABCD 的周长为40，面积为25，∴AB ＝AD ＝10，S △ABD ＝252.连接AP ，则S △ABD ＝S △ABP ＋S △ADP ，∴12×10(PE ＋PF )＝252，∴PE ＋PF ＝52.(2)22解析：连接BP，过点E作EH⊥BC于H.∵S△BPE＋S△BPC＝S△BEC，∴BE·PM2＋BC·PN2＝BC·EH2.又∵BE＝BC，∴PM2＋PN2＝EH2，即PM＋PN＝EH.∵△BEH为等腰直角三角形，且BE＝BC＝1，∴EH＝22，∴PM＋PN＝EH＝22.4．325．证明：延长CB到点H，使得HB＝DF，连接AH.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABH ＝∠D＝90°，AB＝AD.∴△ADF绕点A顺时针旋转90°后能和△ABH重合，∴AH＝AF，∠BAH ＝∠DAF.∵∠HAE＝∠HAB＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝90°－∠EAF＝90°－45°＝45°，∴∠HAE＝∠EAF＝45°.又∵AE＝AE，∴△AEF与△AEH关于直线AE对称，∴S△AEF＝S△AEH ＝S△ABE＋S△ABH＝S△ABE＋S△ADF.6．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°.将△OCP顺时针旋转90°至△OBE(如图所示)，∴OE＝OP，BE＝CP，∠OBE＝∠OCP，∠BOE＝∠COP.∵BP⊥CP，∴∠BPC＝90°.∵∠BOC＋∠OBP＋∠BPC＋∠OCP＝360°，∴∠OBP＋∠OCP＝180°，∴∠OBP＋∠OBE＝180°，∴E，B，P在同一直线上．∵∠POC＋∠POB＝∠BOC＝90°，∠BOE＝∠COP，∴∠BOE＋∠POB＝90°，即∠EOP＝90°.在Rt△EOP中，由勾股定理得PE＝OE2＋OP2＝OP2＋OP2＝2OP.∵PE＝BE＋BP，BE＝CP，∴BP＋CP＝2OP.19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．。

初二数学：四边形的折叠问题技巧四边形是几何学中重要的图形之一，它具有丰富的性质和应用。

在数学学习中，我们常常会遇到与四边形相关的问题。

其中一个有趣且常见的问题就是四边形的折叠问题。

本文将介绍四边形折叠问题的基本概念和解题技巧，帮助初中生更好地理解和解决这类问题。

什么是四边形的折叠问题？四边形的折叠问题是指给定一个四边形，在保持边长不变的情况下，把它折叠成二维平面上的一个点或一条线段。

常见的四边形包括正方形、长方形、平行四边形和梯形等。

这类问题常常涉及如何折叠和旋转四边形，并要求计算折叠后的形状、面积、体积等数值。

基本概念在解决四边形的折叠问题之前，先了解一些基本概念是很有帮助的。

1.边长：四边形的每条边的长度，通常用a、b、c和d表示。

2.对角线：连接四边形的两个非相邻顶点的线段，通常用e和f表示。

3.高度：以顶点为基点，垂直于底边或顶边的线段的长度，通常用h表示。

4.面积：四边形所围成的区域的大小，通常用S表示。

折叠技巧解决四边形折叠问题的关键在于理解形状的变化和如何利用对称性质。

下面将介绍常见四边形的折叠技巧。

正方形折叠技巧正方形是最简单的四边形之一，它的所有边长相等，对角线相等且互相垂直。

当折叠一个正方形时，我们可以沿着对角线折叠，从而使正方形折叠成一个边长等于对角线长度的等边三角形。

长方形折叠技巧长方形是另一种常见的四边形，它拥有两组相等的边长，且相邻边互相垂直。

当折叠一个长方形时，我们可以沿着较短的一组边折叠，从而使长方形折叠成一个等腰直角三角形。

平行四边形折叠技巧平行四边形具有两对平行边，对角线互相交叉，但长度不相等。

当折叠一个平行四边形时，我们可以选择沿着任意一条对角线折叠。

如果选择沿着短对角线折叠，平行四边形会折叠成一个与原平行四边形等面积的直角梯形；如果选择沿着长对角线折叠，平行四边形会折叠成一个与原平行四边形相等的直角三角形。

梯形折叠技巧梯形的特点是两边平行，而另外两边不平行。

初中数学平行四边形的性质学习技巧
学习初中数学中平行四边形的性质，可以采用以下几个学习技巧：
1.理解定义：首先，确保你完全理解平行四边形的定义。

平
行四边形是两组对边分别平行的四边形。

这个定义是理解平行四边形性质的基础。

2.掌握基本性质：平行四边形的性质包括边的性质、角的性
质和对角线的性质。

边的性质是对边平行且相等；角的性质是邻角互补，对角相等；对角线的性质是互相平分。

这些性质是解题的关键，需要熟记于心。

3.多做练习：通过大量的练习，可以加深对平行四边形性质
的理解。

可以从课本、练习册或者网上找到相关的练习
题，通过不断的练习，提高自己的解题能力。

4.归纳总结：在学习的过程中，要善于归纳总结。

可以将平
行四边形的性质整理成表格或者笔记，方便查阅和记忆。

同时，也要注意归纳解题方法和技巧，形成自己的解题思路。

5.关联其他知识：平行四边形的性质与其他数学知识有很多
关联，例如三角形的性质、全等三角形的判定等。

在学习平行四边形的过程中，可以将其与其他知识联系起来，加深理解。

6.请教他人：如果在学习中遇到困难，可以向老师、同学或
者家长请教。

他们可能会提供不同的解题思路和方法，帮助你更好地理解和掌握平行四边形的性质。

总之，学习初中数学中平行四边形的性质需要理解定义、掌握基本性质、多做练习、归纳总结、关联其他知识和请教他人。

通过不断的学习和实践，你一定能够掌握平行四边形的性质并灵活运用到解题中。