【K12学习】九年级数学竞赛几何的定值与最值辅导教案

初中数学最值问题的教案教学目标：1. 理解最值问题的概念和意义；2. 掌握解决最值问题的基本方法和技巧；3. 能够应用最值问题解决实际问题。

教学重点：1. 最值问题的概念和意义；2. 解决最值问题的基本方法和技巧。

教学难点：1. 解决实际问题的能力和思维转换。

教学准备：1. 教学课件或黑板；2. 练习题和答案。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入最值问题的概念，让学生尝试举例说明；2. 引导学生思考最值问题的意义和应用。

二、讲解（20分钟）1. 讲解最值问题的定义和分类，如最小值、最大值、平均值等；2. 介绍解决最值问题的基本方法和技巧，如列举法、图解法、代数法等；3. 通过具体例题讲解解决最值问题的步骤和思路，如确定变量、建立方程、求解等；4. 引导学生思考如何将实际问题转化为最值问题，并解决。

三、练习（15分钟）1. 分组讨论并解决给定的练习题，鼓励学生提出不同的解决方法和思路；2. 引导学生总结解题经验和技巧，互相交流和分享。

四、应用（10分钟）1. 给学生提供实际问题的情境，让学生尝试应用最值问题解决；2. 引导学生思考如何将实际问题转化为数学问题，并应用解决；3. 鼓励学生提出不同的解决方法和思路，并进行讨论和比较。

五、总结（5分钟）1. 回顾本节课的学习内容和重点；2. 强调解决最值问题的关键步骤和思维方法；3. 鼓励学生在日常生活中发现和解决最值问题。

教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够理解最值问题的概念和意义，掌握解决最值问题的基本方法和技巧，并能够应用解决实际问题。

在教学过程中，要注意引导学生思考和探索，鼓励学生提出不同的解决方法和思路，培养学生的思维能力和解决问题的能力。

同时，要注意关注学生的学习情况，及时进行反馈和指导，提高学生的学习效果。

微设计《破解中考数学压轴题（一）0107几何最值问题》学习目标：1、学会怎样通过平行线和直角三角形构造相似三角形.2、理解并会运用二次函数的性质解决几何最值问题.3、学会通过求2x的最值来求x的最值的方法.4、体会数形结合在解决压轴题中的重要作用.学习重点：1、做辅助线构造相似的过程.2、借助变量表示线段长度,建立等量关系的过程.3、运用二次函数求2x的最小值的过程.学习难点：先求2x的最小值，再求x的最小值的过程.学习过程：一、问题背景几何中最值问题是指在一定条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度，角度大小，图形面积）等的最大值或最小值。

几何最值问题近年来广泛出现在中考中，这是由于这类问题具有很强的探索性（目标不明确）。

解题时，需要运用动态思维，数形结合，特殊与一般相结合，逻辑推理与合情想象相结合等思想。

二、例题解析16．（5分）如图1，直线l1∥l2∥l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D．设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC＝90°，BD＝4，且＝，则m+n的最大值为．图11. 思路探究问题一：题中所给的已知条件有哪些呢？这些条件可以分为几大类呢？（设计意图：分析题目之前，首先让学生自主理清题目条件，并归类.）问题二：由l 1∥l 2∥l 3 ，你能想到什么？结合∠ABC ＝90° ，你会做怎样的构造？（设计意图：让学生自主通过角相等联想到三角形相似，自主想到添加辅助线的办法.） 问题三：对于条件4=n m 通常情况下怎么处理？ （设计意图：引导学生常用结论的固定处理方式．让学生联想已有结论表示出线段的长度．） 问题四：在⊿AEB ∽⊿BFC 中，能否尽可能多的表示出线段长？（引导学生二次设元，在相似三角形中表示出更多的线段．）问题五：如何能将BD=4这一条件运用到解题中？你能表示出更多的线段吗？（设计意图：引导学生作出另外两条辅助线，构造出另一组相似三角形⊿AGD ∽⊿CHD ，表示出相应的线段长．从而得到关于两个未知数的等式．） 问题六：结合原题所问，你认为怎样处理236442=--yx y 这一条件会更好？ （设计意图：引导学生分离变量，为后面求x 的最小值做好铺垫．）问题七：观察等式91022y y x -=的左边和右边，你认为怎样与求x 的最小值联系起来？ （设计意图：引导学生尝试先求2x 的最小值，再求x 的最小值.）２.解法展示解：如图2，EABCBF ABE EAB CBF ABE ABC BFC AEB Fl E l EF B ∠=∠︒=∠+∠︒=∠+∠∴︒=∠︒=∠=∠⊥则又则于点，交于点作过点9090909031 E G HDB A 1l 2l 3l 图2∵m+n=5x ∴当x 最大时，m+n 最大 .由二次函数的性质可知：当y=5时，2x 有最大值为925，则x 的最大值为 35，m+n 的最大值为325 . 3.方法小结 本题最主要的解题模型是添加了3条辅助线，构造两组三角形相似，这两个相似三角形是常见的“三垂相似型”，“8字相似型”，课件灵活运用基本图形在解决综合题中的起到关键的作用。

几何最值问题专题复习教学设计教材分析：几何中的最值问题变幻无穷,教学中如何引导学生在复杂条件变化中发现解决问题的路径,核心问题是训练学生在题目中寻找不变的已知元素,从这些已知的不变元素,运用“两点间线段最短”、“垂线段最短”、“二次函数最值””运动轨迹”等知识源,实现问题的转化与解决.教学目标：知识溯源，从知识转化角度，借助中考真题的讲解，引导学生掌握处理最值问题的基本知识源（见教学设计中的标题），明确解决最值问题的思考方向。

重点知识与命题特点最值连续多年广泛出现于中考试题中，由冷点变为热点,求相关线段、线段之和差、面积等最大与最小值.此类问题涉及的知识要点有以下方面: ①两点间线段最短；②垂线段最短；③三角形的三边关系；④ 二次函数的最值问题. ⑤ 运动轨迹中的最值问题。

命题特点侧重于在动态环境下对多个知识点的综合考查. 核心思想方法由于这类问题目标不明确，具有很强的探索性，解题时需要运用动态思维、数形结合、模型思想、特殊与一般相结合、转化思想和化归思想、分类讨论思想、函数和方程思想、从变化中寻找不变性的数学思想方法、逻辑推理与合情猜想相结合等思想方法．解这类试题关键是要结合题意，借助相关的概念、图形的性质，将最值问题化归与转化为相应的数学模型进行分析与突破。

教学过程一、问题导入我们所学的知识体系中，有哪些与最大值或最小值有关联的知识？①两点间线段最短；②垂线段最短；③三角形的三边关系；④ 二次函数的最值问题. ⑤ 运动轨迹中的最值问题。

师：我们把这些知识点称为求几何中最值的知识源.二、真题讲解 真题示例11.如图所示，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC+ED 的最小值是 【题型特征】利用轴对称求最短路线问题【示范解读】此类利用轴对称求最短路线问题一般都以轴对称图形为题设背景,如圆、正方形、菱形、等腰梯形、平面直角坐标系等.首先根据题意画出草图，利用轴对称性找出对应线段之间的相等关系，从而把所求线段进行转化，画出取最小值时特殊位置，两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的是“小河”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2），结合其他相关知识加以解决.·A 草地 河流·A·AMN C B A E D变式：设正三角形ABC的边长为2,M是AB边上的中点，P是BC 边上的任意一点，PA+PM的最小值是________,最大值是_____练习：如图所示，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作两个等边三角形APC和BPD，则线段CD的长度的最小值是。

第23讲 几何定值知识纵横几何定值，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些集合性质或位置关系不变。

解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量和变量，运用极端位置、特殊位置、直接计算等方法，先探求出定值，再给出一般情形下的证明。

例题求解【例1】 （1）如图1，圆内接ABC ∆中，CA BC AB ==，OE OD ,为圆O 的半径，BC OD ⊥于点F ，AC OE ⊥于点G ，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC ∆的面积的31. （2）如图2，若DOE ∠保持︒120角度不变，求证：DOE ∠绕着O 点旋转时，由两条半径和ABC ∆的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC ∆的面积的31．（广东省中考题）思路点拨 对于（1），连OC OA 、，则要证明ABC OAC S S ∆∆=31，只需证明OCF OAG ∆≅∆；对于（2），类比（1）的证明方法证明。

【例2】如图，⊙1O 和⊙2O 外切于点A ，BC 是⊙1O 和⊙2O 的公切线，C B ,为切点． （1）求证：AC AB ⊥；（2）过点A 的直线分别交⊙1O 和⊙2O 于点E D ,，且DE 是连心线时，直线DB 与直线EC 交于点F ．请在图中画出图形，并判断DF 与EF 是否互相垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；（3）在（2）的其他条件不变的情况下，将直线DE 绕点A 旋转（DE 不与点C B A ,,重合），请另画出图形，并判断DF 与EF 是否互相垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．（沈阳市中考题）思路点拨 按题意画出图形，充分运用角的知识证明若︒=∠90DFE ，则EF DF ⊥这一位置关系不变。

【例3】如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足，求证：不管ST 滑到什么位置，SPM ∠是一定角．（第18届加拿大数学竞赛题）思路点拨 不管ST 滑到什么位置，弧ST 及SOT ∠的度数都是定制，从探寻SPM ∠与SOT ∠的关系入手。

BA OMlAB中考复习------几何中的最值问题学习目标：知识溯源，从知识转化角度，借助中考真题的讲解，引导学生掌握处理最值问题的基本知识源（见导学案中的标题），明确解决最值问题的思考方向，掌握数学建模的核心素养。

学习重点：①两点间线段最短；②垂线段最短；③三角形的三边关系；④ 二次函数的最值问题.命题特点侧重于在动态环境下对多个知识点的综合考查.直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短.简称垂线段最短。

例1： 如图，⊙O 的半径为5，弦AB=8,M 为弦AB 上的一个动点， 求OM 最小值为2.知识点 轴对称-最短路径（1） 在直线l 同侧有A 、B 两点，请在直线l 在找一点P 使得PA+PB 最小，最小值等于线段课后思考：在直线l 异侧有A 、B 两点，请在直线l 在找一点P 使得PB 与PA差最大，最小值等于线段例2：如图所示，正方形ABCD 中AB=5cm,BE=1cm ，P 为对角线AC 上一动点，求PE+PB 的最小值3知识点 立体图形-最短路径例3：如图所示，有一圆形油罐底面圆的周长为24m ，高5m ，一只老鼠A 处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？解：由题知：AC=5m ，BC=12m 勾股定理得222AB AC BC =+AB=13(m) .变式训练：如图是一块长，宽，高分别是5cm ，3cm 和4cm 的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和AAACBA OBC EPDABEF 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是规律总结：*选讲 动点问题中的最值例4：如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB ′F ，连接B ′D ，求B ′D 最小值？5.课堂反思：6.课后作业面积的最小值？求三角形，上面两动点，且满足与为，，边长为菱形AEF EAF CD BC F E B cm ABCD ︒=∠︒=∠60,604.12.图C 为⊙O 的上一点，点AB 为直径，且AB=4cm ，∠BAC ＝20°,P是OB 上一动点，求PA ＋PC 的最小值是 ．1题 2题 3题3.如图是一块长，宽，高分别是6cm ，4cm 和3cm 的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是4.木杆AB 斜靠在墙壁上，木杆的上端A 沿墙壁NO 竖直下滑时，木杆的底端也随之沿射线OM 方向滑动，图中虚线画出木杆的中点P 随之下落的路径，其中正确的是（ ）。

教案标题：初中几何竞赛培训教案一、教学内容：1. 相似三角形的定义与性质2. 平行线分线段成比例定理3. 圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理4. 相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理5. 切割线定理二、教学重点、难点：1. 理解相似三角形的定义与性质定理2. 掌握以下定理的证明：(1) 直角三角形射影定理(2) 圆周角定理(3) 圆的切线判定定理与性质定理(4) 相交弦定理(5) 圆内接四边形的性质定理与判定定理(6) 切割线定理三、教学过程：第一讲：相似三角形的判定及有关性质1. 导入：以平行线分线段成比例定理为起点，给出相似三角形定义后，逐步讨论相似三角形的判定定理、性质定理等等。

2. 基础知识：(1) 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

(2) 推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必经过另外两个顶点。

(3) 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线必经过另外两个顶点。

3. 例题选讲：(1) 已知：线段AB，求作：线段AB的三等分点。

(2) 已知：三角形ABC，求证：三角形ABC与三角形A'B'C'相似。

第二讲：圆的相关定理及性质1. 导入：复习圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。

2. 基础知识：(1) 圆周角定理：圆周角等于它所夹弧所对圆心角的一半。

(2) 圆的切线判定定理：与圆相切的直线与圆的切点处的切线斜率等于半径的斜率。

(3) 圆的切线性质定理：圆的切线与半径垂直。

3. 例题选讲：(1) 已知：圆O，点A在圆上，求证：直线OA是圆O的切线。

(2) 已知：圆O，直线AB与圆相交于点C，求证：直线OC是圆O的切线。

第三讲：相交弦定理及圆内接四边形的性质定理与判定定理1. 导入：复习相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理。

2. 基础知识：(1) 相交弦定理：圆内任意两弦相交，交点在圆周上。

初中最值问题教案教学目标：1. 理解最值问题的概念和意义；2. 掌握解决最值问题的基本方法和技巧；3. 能够应用最值问题解决实际生活中的问题。

教学重点：1. 最值问题的概念和意义；2. 解决最值问题的方法和技巧。

教学难点：1. 解决实际生活中的最值问题。

教学准备：1. 教学课件；2. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入最值问题的概念，让学生尝试举例说明最值问题。

2. 引导学生思考最值问题的意义和应用。

二、讲解（20分钟）1. 讲解最值问题的定义和性质。

2. 介绍解决最值问题的基本方法和技巧。

3. 通过例题讲解最值问题的解题步骤和思路。

三、练习（15分钟）1. 分组讨论并解决练习题，教师巡回指导。

2. 选取部分学生的解题过程进行点评和讲解。

四、应用（10分钟）1. 让学生思考并尝试解决实际生活中的最值问题。

2. 分组讨论并展示解题过程和结果。

五、总结（5分钟）1. 回顾本节课的学习内容和重点。

2. 强调最值问题在实际生活中的应用和重要性。

教学反思：通过本节课的教学，我发现学生们对最值问题的概念和意义有了较好的理解，能够掌握解决最值问题的基本方法和技巧。

但在解决实际生活中的最值问题时，部分学生还存在一定的困难，需要进一步加强练习和指导。

在接下来的教学中，我将继续强调最值问题的概念和意义，并通过更多的练习题让学生们熟练掌握解决最值问题的方法和技巧。

同时，我也会注重培养学生们解决实际问题的能力，将最值问题与生活实际相结合，提高他们的数学应用能力。

初中几何最值问题教案教学目标：1. 了解几何最值问题的定义和意义；2. 掌握解决几何最值问题的基本方法；3. 能够应用所学的知识解决实际问题。

教学重点：1. 几何最值问题的定义和意义；2. 解决几何最值问题的基本方法。

教学难点：1. 理解和掌握特殊位置及极端位置法；2. 理解和掌握几何定理（公理）法；3. 理解和掌握数形结合法。

教学准备：1. 教学课件或黑板；2. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入话题：最值问题在实际生活中的应用，如购物时如何选择最优惠的商品等；2. 引导学生思考：如何数学化地表示最值问题；3. 引导学生思考：解决最值问题的基本思路。

二、新课讲解（20分钟）1. 讲解几何最值问题的定义和意义；2. 讲解解决几何最值问题的基本方法：a) 特殊位置及极端位置法；b) 几何定理（公理）法；c) 数形结合法。

3. 通过示例题目，讲解特殊位置及极端位置法的应用；4. 通过示例题目，讲解几何定理（公理）法的应用；5. 通过示例题目，讲解数形结合法的应用。

三、练习与讨论（15分钟）1. 学生独立完成练习题；2. 学生之间进行讨论，共同解决问题；3. 教师选取部分学生的作业进行讲解和分析。

四、总结与反思（5分钟）1. 引导学生总结本节课所学的知识点；2. 引导学生思考如何应用所学的知识解决实际问题；3. 教师进行课堂反思，总结教学效果。

教学延伸：1. 引导学生进一步学习其他解决几何问题的方法；2. 引导学生参加数学竞赛或研究项目，提高解决几何问题的能力。

教学反思：本节课通过讲解几何最值问题的定义和意义，以及解决几何最值问题的基本方法，使学生了解了最值问题的实质，并能够应用所学的知识解决实际问题。

在教学过程中，通过示例题目和练习题，让学生充分理解和掌握特殊位置及极端位置法、几何定理（公理）法和数形结合法。

同时，通过学生之间的讨论和教师的讲解，提高了学生的解题能力和合作能力。

然而，在教学过程中也存在一些不足之处。

初中几何最值教案教学目标：1. 了解几何最值问题的定义和意义；2. 掌握解决几何最值问题的基本方法和技巧；3. 能够独立解决简单的几何最值问题。

教学内容：1. 几何最值问题的定义和分类；2. 解决几何最值问题的基本方法；3. 典型几何最值问题的解析。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入概念：最值问题是指在一定的条件下，寻找某个几何量的最大值或最小值的问题。

2. 举例说明：如在平面直角坐标系中，求直线与圆的交点中，距离某一点最近的交点。

二、基本概念和性质（15分钟）1. 介绍几何最值问题的分类：长度最值、面积最值、角度最值等；2. 讲解几何最值问题的基本性质：最优解的存在性、唯一性、可达到性等；3. 通过实例讲解几何最值问题的解题思路。

三、解决几何最值问题的方法（20分钟）1. 解析法：通过解析几何知识，建立方程，求解最值；2. 构造法：通过构造辅助线，转化问题，求解最值；3. 代数法：通过代数运算，求解最值；4. 几何法：利用几何性质，直接求解最值。

四、典型问题解析（20分钟）1. 例1：求直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1的交点中，距离点A(x0,y0)最近的交点；2. 例2：在三角形ABC中，求边长BC上的线段DE的长度，使得∠AED为直角；3. 例3：已知矩形的长和宽，求矩形内切圆的半径。

五、练习与讨论（10分钟）1. 让学生独立解决几个典型的几何最值问题；2. 学生之间互相讨论，交流解题思路和方法；3. 教师进行解答和讲解，分析学生的解题错误和不足。

六、总结与反思（5分钟）1. 回顾本节课所学的内容，总结几何最值问题的解题方法和技巧；2. 学生反思自己在解题过程中的优点和不足，提出改进措施；3. 教师给予鼓励和指导，提出更高的要求。

教学评价：1. 课后作业：布置几个典型的几何最值问题，要求学生在规定时间内完成；2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思考能力和合作精神；3. 学生自评：让学生对自己的学习情况进行评价，包括掌握知识的情况、解题能力等。

课题：中考数学中的最值问题课型：复习课年级：九年级姓名：单位：教学目标：1．经历分析实际问题，建立几何模型，进而解决问题的过程；2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高法解决问题的能力．教学重、难点：重点：结合轴对称利用两点之间线段最短解决实际问题．难点：如何从实际问题中抽象出数学问题、建立几何模型，用数学知识去解决实际问题．课前准备：制作多媒体课件．教学过程：一、复习回顾、导入新课几何最值问题中线段的最小值问题，在近几年中考题中所占的比例越来越多，涉及的知识点多，具有一定的难度，我们这节课就来研究解决此类问题的方法。

一般利用轴对称的作图方法根据定理“两点之间，线段最短”，解决此类问题。

如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么处理方式：学生依次回答求线段和最小值的一般步骤：①_x0001_直线l为对称轴；画出点A的对称点A’；②_x0001_②连结对称点A’与B之间的线段，交直线l于点P，点P即为所求的点，线段A’B的长就是AP+BP的最小值。

基本图形:两点一线基本解法:利用对称性,将“折”转“直”二、合作探究，获取新知活动内容：例题展示（展示多媒体课件）例题1如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6 和8，点P是对角线AC 上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是_____________．例题2如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连结AC，由正方形对称性可知，A与C关于直线BD称．连结AE交BD于P，则PC+PE的最小值等于线段_____ 的长度，最小值等于_________例题3已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是半圆的三等分点，点N是弧BC的中点，AB上有一动点P，连接PM，PN，则PM+PN的最小值是多少？并画出点P的位置.例题4如图，已知二次函数y=ax2-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）点B（0，-5）点C．(I)求抛物线的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使三角形PAB的周长最小，求出点P的坐标。