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介质中的流动传热现象。
对多孔介质内的流动，可使用考虑非达西效应的Darcy –Brinkman -Forchheimer [1]模型进行分析；而对于多孔介质内的传热过程，能量方程可用热平衡(local thermal equilibrium,LTE)模型或非热平衡(local thermal non-equilibrium,LTNE)模型进行分析。
其中，热平衡模型被广泛用于分析多孔介质中的对流换热过程，该模型假设多孔固体骨架温度与流体温度局部相等（T s =T f ），适用于多孔固体骨架与流体局部温差不大的场合。
热平衡模型控制方程如下[2-4]：()[]()()()T T c T c c t ∇+∇=∇+-+∂∂d m p pf f ps s pf f 1λλερερερu (1)式中λm 为有效滞止导热系数[5]，λd 为热弥散导热系数。
然而，当多孔固体骨架与流体局部温差不能忽略（T s ≠T f ）时，热平衡模型便会引起较大误差，应该采用非热平衡模型。
非热平衡模型考虑多孔固体骨架与流体的对流换热，其控制方程包括流体能量方程和多孔固体骨架能量方程[3,6-9]：()()()[]()f s sf sf f d f f p pf f f pf f T T a h T T c T c t -+∇+∇=∇+∂∂λελερερu (2)()[]()[]()f s sf sf s s s ps s 11T T a h T T c t --∇-∇=-∂∂λεερSchumann 最早在1929年就考虑了非热平衡模型，但在他的研究中忽略了导热项的影响。
Quintard [10]在1998年第11届国际传热大会的主旨报告中，对在多孔介质中采用局部非热平衡模型进行理论建模做了系统分析，并在非热平衡模型中考虑了颗粒与流体间界面热阻的影响。
不少研究者已经使用非热平衡模型进行了一系列的研究。
如多孔介质中的瞬态传热Nouri-Borujerdi 等[11]、混合对流Shi 和Vafai [12]、强制对流Jiang 等[3,6-9,13-17]、双扩散多孔介质Nield 和Kuznetsov [18]等。
多孔介质流体力学多孔介质流体力学是研究多孔介质中流体流动规律的学科。
多孔介质广泛存在于自然界和人工结构中，例如土壤、岩石、过滤材料以及人体的骨骼等。
多孔介质中流体的流动行为具有复杂性和多样性，它不仅与多孔介质的结构参数有关，还与流体的性质和外部条件等因素紧密相关。
多孔介质流体力学的研究内容主要包括多孔介质的物理性质和流体流动的描述和模拟。
多孔介质的物理性质是指多孔介质的结构参数以及孔隙度、渗透率等，这些参数对流体的流动行为有重要影响。
流体流动的描述和模拟是指通过建立数学模型和方程，来描述多孔介质中流体的速度、压力、温度等场变量的分布规律。
在多孔介质流体力学中，研究者通常使用一些基本假设来简化问题。
最常用的假设是多孔介质中的流动是稳态、不可压缩、单相流动，并且流体与固体之间的相互作用可以忽略。
在这些假设的基础上，可以利用达西定律和论述连续性方程等进行分析和计算。
多孔介质流体力学的研究工具主要包括实验方法和数值模拟方法。
实验方法通过设计模型和实验装置，观察多孔介质中流体流动的实际情况，获取实验数据以验证理论模型和方程的正确性。
数值模拟方法则通过建立数学模型，利用计算机进行模拟计算，得到流体流动的定量结果。
这些方法相互结合可以更好地理解和研究多孔介质中流体流动的规律。
多孔介质流体力学在许多领域中具有重要应用价值。
在环境科学领域，多孔介质流体力学可以用于研究土壤和地下水的污染传输和治理，为环境保护和资源管理提供科学依据。
在石油工程领域，多孔介质流体力学可以用于研究油藏中的油水运移和采收技术，帮助提高油气开采效率。
在地质工程领域，多孔介质流体力学可以用于研究岩土工程中的渗透问题和基础工程设计，为工程建设提供有效的支持。
在生物医学领域，多孔介质流体力学可以用于研究人体组织中的流体流动和质量传输过程。
例如，在骨骼生长和骨质疾病研究中，多孔介质流体力学可以用于模拟骨组织中的液态循环和营养物质的输送。
此外，多孔介质流体力学也在土木工程、化学工程、能源等领域具有广泛应用。
多孔介质中darcy-forchheimer渗流数值计算多孔介质中的流体流动是一个复杂的现象，受到许多因素的影响，如孔隙率、渗透率、流体粘度等。
Darcy-Forchheimer模型是一种描述多孔介质中流体流动的数学模型，它将Darcy定律和Forchheimer方程结合在一起，以更准确地描述高流速和压力梯度下的流体流动。
在多孔介质中，Darcy定律描述了流体在孔隙介质中的稳态流动，其数学表达式为：$\mathbf{u} = - \frac{K}{\mu} \nabla p$其中，$\mathbf{u}$ 是速度矢量，$K$ 是渗透率，$\mu$ 是流体粘度，$\nabla p$ 是压力梯度。
然而，当流速较高或压力梯度较大时，Darcy定律可能无法准确描述流体流动。
这时，可以使用Forchheimer方程进行修正：$\rho \mathbf{u} = - \frac{K}{\mu} \nabla p + \mathbf{D} \mathbf{u}$其中，$\rho$ 是流体密度，$\mathbf{D}$ 是阻尼矩阵。
为了数值计算Darcy-Forchheimer模型，可以使用有限差分法、有限元法、有限体积法等数值方法。
以下是一个使用有限差分法求解Darcy-Forchheimer模型的简单示例：1. 初始化：设压力场 $p(x, y, z, 0) = p_0(x, y, z)$，速度场 $\mathbf{u}(x, y, z, 0) = \mathbf{0}$。
2. 时间迭代：对于时间步长 $\Delta t$，设 $n = 0, 1, 2, \ldots$。
1. 计算压力梯度 $\nabla p^{n+1}$。
2. 使用Forchheimer方程计算速度 $\mathbf{u}^{n+1}$。
3. 更新压力场 $p^{n+1} = p^n + \Delta t \left( -\frac{K}{\mu} \nabla p^{n+1} + \mathbf{D} \mathbf{u}^{n+1} \right)$。
第 62 卷第 3 期2023 年 5 月Vol.62 No.3May 2023中山大学学报（自然科学版）（中英文）ACTA SCIENTIARUM NATURALIUM UNIVERSITATIS SUNYATSENI多孔介质中Brinkman方程组解的连续依赖性*石金诚广州华商学院数据科学学院，广东广州 511300摘要：考虑了三维有界凸区域上带有Soret效应的Brinkman方程组的连续依赖性。
利用微分不等式，得到解的相关估计，尤其是推导出了盐浓度的四阶范数估计。
最终运用能量方法和先验估计，建立了方程组的解对Brinkman系数λ的连续依赖性。
关键词：Brinkman方程组；连续依赖性；Brinkman系数；Soret系数中图分类号：O175.29 文献标志码：A 文章编号：0529 - 6579（2023）03 - 0161 - 08Continuous dependence of solutions forthe Brinkman equations in porous mediaSHI JinchengSchool of Data Science， Guangzhou Huashang College， Guangzhou 511300， ChinaAbstract：The continuous dependence of Brinkman equations with Soret effect on a three-dimensional bounded convex domain is considered. By using differential inequality， the correlation estimates of the solution is obtained， especially the fourth-order norm estimation of salt concentration is derived. Finally，using the energy method and the prior estimation，the continuous dependence of the solution of the equations on Brinkman coefficient λ is established.Key words：Brinkman equations； continuous dependence； Brinkman coefficient； Soret coefficientStraughan et al.（1999）引入了具有Soret 效应且不可压缩的对流扩散Brinkman方程，他们在有界区域内建立了解对Soret系数的连续依赖性，有关Brinkman方程更系统的介绍见文献（Nield et al.，1992；Straughan，2008）。
中国科学G辑物理学力学天文学 2005, 35(2): 113~120 113多孔介质中考虑各向异性自然对流Brinkman模型的解析解(Ⅱ)*蔡睿贤①**苟晨华①② 张 娜①(①中国科学院工程热物理研究所, 北京100080; ②中国科学院研究生院物理学院, 北京 100080)摘要对描述多孔介质中自然对流的Darcy模型的改进形式——考虑各向异性的Brinkman模型, 给出了其基本方程的一些代数显式解析解, 这些解析解除有重要的理论意义外(例如分析各向异性非Darcy效应对对流的影响), 还可以作为标准解促进计算传热传质学的发展.关键词显式解析解多孔介质自然对流Brinkman模型各向异性多孔介质中的自然对流传热现象在能量转换和能量利用等领域中广泛存在, 对它的研究是目前传热传质学的一个重要分支[1,2]. 在其理论分析中, 早期常用多年以前的Darcy模型, 但近年对之已有很多改进以求更真实反映客观实际及更广泛反映不同的客观存在[3~7]. 其中Brinkman模型是改进模型之一, 它可以反映一些各向异性与非Darcy效应(例如非滑移界面效应). 文献[7]就曾用此模型以数值研究的方法探讨了方型空腔中的介质自然对流的各向异性与非Darcy效应, 得出了忽略这些效应会导致较大误差的结论.为更严格、准确地探讨Brinkman模型所反映的规律性, 利用近年来寻找工程热物理各学科基本控制方程解析解的经验[8~16], 本文作者在2002年推导并得出了该模型基本方程组的一些代数显式解析解[8]. 由于它们是代数显式的, 所以可以更清楚地反映过程的物理本质, 有其理论意义; 另外, 它们还可以作为标准解, 用来校验计算机程序的精确度、收敛性与稳定性, 以及用以探讨各种计算技巧例如差分格式、网格生成等, 对发展计算传热传质学也会有重要作用. 但文献[8]仅得出了考虑渗透性的各向异性的解, 本文作为续篇得出了能反映导热率各向异2004-12-24收稿, 2005-02-01收修改稿*国家自然科学基金资助项目(批准号: 50246003)和国家重点基础研究发展规划(批准号: G2000026305)资助项目** E-mail:114 中国科学 G 辑 物理学 力学 天文学 第35卷性与内热源影响的一些解.1 Brinkman 模型基本方程组对二维不可压定常层流, 除浮升力项中的密度之外, 其余热物性均为常数, 并假定固体骨架和流体之间处于局部热平衡, 无化学反应, 则有内热源的Brinkman 模型的无因次基本方程可表示为 44424224222,2K Ra Da x x y x x y y ψψθψψψ∂∂∂−−=−∂∂∂⎛⎞∂∂∂++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠ (1)22221(),,Q y x x y x y x y ψθψθθθλ∂∂∂∂∂∂⋅−⋅=++∂∂∂∂∂∂ (2) 且,u y ψ∂=∂ (3) ,v xψ∂−=∂ (4) 式中x , y 为无因次坐标, u , v 为无因次x , y 向的速度, ψ是流函数, θ 是无因次温度, K 与λ 各为各向异性的渗透率比K y /K x 及导热率比λy /λx , Ra 为Rayleigh 数, Da 为Darcy 数, Q (x , y )为内热源分布函数. 为了考虑黏性, 壁面上应有无滑移条件. 2 Brinkman 模型的解析解上述基本方程(1)及(2)是两个待求因变数ψ 与θ 相互耦合的方程组, 用常规的办法很难求得显式解析解. 本文运用一种特殊的方法名为加法分离变量法[10,12]求解, 即假定待求函数F (x , y )为两个一维函数之和: F (x , y )=X (x )+Y (y ), 而非如常规分离变量法那样认为是两个一维函数之积: F (x , y )=X (x )Y (y ). 另外, 由于本文的主要目的是求得代数显式解析解, 而非求具体问题的解, 所以边界条件是在对基本方程求得其可能有的解析解以后再行定出.若假设(,)()()x y f x g y ψ=+且, ()u g y ′=(),v f x ′=−(,)()()x y h x j y θ=+, 则方程(1)及(2)可改写为−f ″(x )−K ⋅g ″(y )=h ′Ra ⋅()x Da −[f ′′′′(x )+ g ′′′′ (y )] (1a) ()()()()g y h x f x j y ′′′′−=h ″j ″ (2a) ()/x λ+()(,).y Q x y +其中(1a)式可分离变量得到f ′′′′(x ) + f ″(x )g ′′′′ (y ) −K ·g ″(y ). (1b) ()Rah x Da ′⋅−⋅⋅0C Da ==方程(2a)可在以下几种情况下实现变量分离: ① 且 ②Const.f ′=Const.,h ′=第2期 蔡睿贤等: 多孔介质中考虑各向异性自然对流Brinkman 模型的解析解(Ⅱ) 115 Const. f ′=且., ③且, ④g =Const. 且h ′=Const., ⑤. 且 ⑥. 且 当Const g ′=Const.f =Const.j ′=Const g ′=Const.,j ′=Const h ′=Const.,j ′=0g j ′==′时. ①和⑤两种情况在文献[8]中已导出了一些结果. 以下对上述一些情况推导其对应的其他解.2.1 第一套显式解析解本节以假设⑤:1()Const g y C ′==及进行推导. 在此情况下, 方程(1b)与(2a) 可简化为3()Const j y C ′==()Rah x Da ′=f ′′′′ (x ) −f ″ (x ), (1c) 及 h ″1()C h x ′−3()().x C f x Q ′=+ (2b) 将(1c)式代入(2b)式可得f ′′′′′ 1()x C λ−f ′′′′()x −f ′′′()x Da +1C λf ″3()().a x Da C R f x Da RaQ Da λλ′+=− (5) 由(5)式可知, 对于条件⑤, 函数Q 应为Q (x ). 当与时, 常微分方程(5)可获解析解30C =0Q =567891()exp exp exp()f x C C x C C C C x λ⎞⎛⎞=++++⎟⎜⎟⎟⎜⎟⎠⎝⎠. (6)此时通过合并与()f x ()g y 的表达式可得流函数, 对其求导可得速度函数5678911exp exp exp(),C C x C C C C x C y ψλ⎞⎛⎞=+++++⎟⎜⎟⎟⎜⎟⎠⎝⎠ (7)(8) 1(),u g y C ′==61()exp().v f x C C C C x λλ⎞⎞′=−=−−⎟⎟⎟⎟⎠⎠91 (9) 由(2b), (6)式, 可得与θ 的表达式[因为当时, j (y )为常数, 故实际上θ 的表达式就是h (x )]()h x 30C = 22191141()(1)exp().a h x C C D C C x C Raθλλλ==−+ (10) 由于式中含有λ 项, 所以该解能反映导热率的各向异性. 这种各向异性在文献[8]中无法体现.当C 1=0, , 780C C −=≠682cosh C C =此解的物理图景为 在116 中国科学 G 辑 物理学 力学 天文学 第35卷两块与y 轴平行且相距δ 的无限长固壁之间的温度均匀的Brinkman 流动. y 方向流动速度为双曲余弦线, 壁面处速度为0. 实际上该解是文献[8]中第三解的特例. 若令而非, 壁面成为可渗透壁, 渗透速度或水平速度为C 1. 90C =10C =当 且, 此解描述了在两块与y 轴平行的无限长的可渗透壁之间的自然对流. 温度仅是x 的函数, 故在各壁面上温度均匀而两壁面温度不等. 10,C ≠90C ≠为了满足在x =0与x =∆处壁面无滑移条件, 取λ916C C C −=, 和, 得78C C =80C >[1911exp().v C C λλ⎞=+−⎟⎟⎠]C x (11) (11)式已满足在x =0处v =0. 为了实现在处v =0, 需设∆=x[]{}98112sinh exp()1C C C λλ⎞=−∆−⎟⎟⎠. (12) 由(10)式可知, 不应等于1Cλ, 否则温度为常数. 此外, 由(9), (10), (12)式可知, 在v 与θ 的表达式中和λ 总是成 对出现, 表明只要保持与λ的 乘积不变, v 与θ 不随或λ 的改变而变化, 只有渗透速度或水平速度随之变化且u 始终等于.1C 1C 1C 1C 当 且时, 速度与温度分布如图1所示. 当, , Da =10−4, , 且λ =1.1时, 速度与温度分布如图2所示. 当 u =C 1=50, 42,C =78 1.0,C C ==410,Da −=271.7348,Ra =150,u C ==0.01∆=1λ=4 2.11528C =78 1.07527C C ==271.7348,Ra =150u C ==0.01∆=4 2.25284,C =78 1.23077,C C ==410,Da −=271.7348,Ra =∆=0.01且时, 速度与温度分布如图3所示. 各图中实线代表速度, 虚线1.25λ=图1 当λ =1时速度分布(11)式和温度分布(10)式示意图图2 当λ =1.1时速度分布(11)式和温度分布(10)式示意图第2期 蔡睿贤等: 多孔介质中考虑各向异性自然对流Brinkman 模型的解析解(Ⅱ) 117 代表温度[其中由(12)式解出]. 3种情况虽λ 取不同值, 各壁面上的温度θ 都9C图3 当λ =1.25时速度分布(11)式和温度分布(10)式示意图 取一样.如上所述, 图1中的曲线对于u =且λ =1或任意满足, 即的u , λ 组合都适用. 这表明当λ增大时(导热率的各向异性更强), 若水平速度u 成比例降低, 温度θ 与速度v 150C =150C λ=50u λ=不变. 该解中其他参数的影响如Da , Ra 和λ (当u 给定时)等也可由(8~10)式得出. 例如, 当壁温与渗透速度或水平速度u 不变时, 随着导热率的各向异性λ 从1增加到1.25, y 向流动速度分布会发生相对显著的变化, 如图1~3所示.此外, 当Q (x )为某些函数时, (5)式也可解析求解, 故能研究内热源的影响. 例如, 当Q 为常数时, ψ 的表达(7)式或v 的表达(9)式需要分别加上212RaQx C −或1RaQx . 限于篇幅, 这些影响不再详述.2.2 第二套显式解析解本节以假设②:且2()Const f x C ′==−1()Const g y ′==C 为条件进行推导, 对内热源Q 也加以考虑. 由这些条件, (1a)式变为(13) 3()0, (),h x h x C ′==(2a)式变为j ″ (y )+Q (14) 2()C j y ′=由方程(14)可知, Q 只能是的函数: . 方程(14)的解为y ()Q Q y = ()()()()(42222exp exp exp d d .C j C y C y Q y C y y y C =+−∫∫)(15) 速度与温度分布为(16) 1(),u g y C ′==(17) 2(),v f x C ′=−=及 (42222()()exp()exp()()exp()d d .C h x j y C y C y Q y C y y y C C θ=+=+−+∫∫)3 (18) 虽然(18)式中有积分号, 仍可称其为解析解. 当然, 对(15)式积分后若能推得118 中国科学 G 辑 物理学 力学 天文学 第35卷6一个显式解析解则更好. 当为一多项式, 正弦或余弦函数时, 积分很容易. 例如: 当, 由(18)式可积得()Q y 5()Q y C y C =+ 247556222222()exp().2C C C C C C y y y C C C C C θ⎛⎞−=+++⎜⎟⎜⎟⎝⎠3+ (19) 当, 此解代表多孔介质在两块与x 轴平行的无限长的可渗透壁之间的Brinkman 自然对流, 仅存在一恒定的垂直速度或渗透速度. 温度场与内热源分布仅是y 的函数. 故壁温为常数. 当C 2 = C 4 = C 6 = 1, C 5 = 2及C 7 = −1, 温度分布如图4.10u C ==2v C =该解也可代表多孔介质在两块与y 轴平行的无限长的垂直运动壁之间的Brinkman 流动, 壁面的速度与流体一样(v =C 2), 温度场与内热源分布也仅是y 的函数, 故壁温沿运动壁可变.图4 温度分布(19)式示意图 当, (14)式变成一个积分式,可解得为20v C ==()j y (20) () d d ,j Q y y y θ==∫∫这是因为h (x )为常数.此解代表多孔介质在两块与y 轴平行的无限长的可渗透壁之间的Brinkman 自然对流, 仅存在一恒定的水平速度或渗透速度. 温度场与内热源分布仅是y 的函数. 故壁温与流体温度是y 的函数并仅由内热源Q (y )决定.1u C =当且, 此解代表在两块倾斜的无限长的固壁之间的Brinkman 流动, 其倾角为arctan 10u C =≠20v C =≠21(C ), 温度场也仅是y 的函数.值得一提的是这些解的表达式不含Ra , Da , K及λ , 因此, 适用于任意的Ra, Da, K 和λ值. 这可能要部分归因于速度为常数.2.3 第三套显式解析解本节以假设⑥为条件进行推导, 并设. 为了缩短篇幅, 采用类似于前文中的推导方法, 直接给出计算结果如下:12()()Q Q x Q y =+ ()21,C Ra C u C C y C K ⎞⎛⎞−=−−⎟⎜⎟⎟⎜⎟⎠⎝⎠8+ (21)第2期 蔡睿贤等: 多孔介质中考虑各向异性自然对流Brinkman 模型的解析解(Ⅱ) 119,v C C C x C ⎞⎛⎞=−+++⎟⎜⎟⎟⎜⎟⎠⎝⎠1742 (22)(23) 243,C x C y C θ=++, (24) 1()Q x C v = . (25) 2()Q y C u =当, 由于v (x )有两个相异的根(v =0), 此解可代表多孔介质在两块平行于y 轴的无限长固壁之间的Brinkman 自然对流. 它的情形有点类似于图1~3, 但没有水平速度, 且温度分布是线性的, 内热源分布也与速度成比例.89100,C C C ===12C C Ra =该解的其他详细描述可类似于文献[8]和2.1节的分析得到, 此处不赘, 只给出图5.图5 当C 5 = C 6 =1.0, C 7 =0, C 1=23504.02,Da =10−4, ∆ =0.01时速度分布(22)式示意图因为速度与内热源成比例且温度分布是线性的, 故此解可能特别适合于作为标准解以检验带有内热源的数值计算结果.此外, 由假设③, ④可导出的解析解实际上是文献[8]和本文中解的特例. 故此省略. 3 结论本文在作者以前给出的解[8]的基础上, 对考虑了多孔介质自然对流中黏性效应, 非Darcy 效应与各向异性效应的Brinkman 模型求出了一些新的代数显式解析解. 由此可以在理论上严格地了解这些解所反映的物理现象, 例如非Darcy 效应的影响, 各向异性导热率和渗透率的影响, 尤其各向异性导热率的影响是首次给出的. 这些解可以作为非Darcy 各向异性多孔介质自然对流的典型解, 宜利用它来探讨各种因素的影响; 另外, 还可以供计算传热传质学作为标准之用, 以校验及发展该学科.致谢 作者感谢赵天寿教授、李洪强、张向荣与赵丽的帮助.参 考 文 献1Cheng P. Heat transfer in geothermal system. Advance in Heat Transfer, 1978, 14: 1~105 2 王补宣. 多孔介质的传热传质. 清华大学学报(自然科学版)增1, 1992, 32: 5~12120中国科学G辑物理学力学天文学第35卷3 Lai F C, Kulacky F A. Non-Darcy convection from horizontal impermeable surfaces in saturated pororsmedium. Int’1 J Heat Mass Transfer, 1987, 30: 2189~2192[DOI]4 Hsu C T, Cheng P. Brinkman’s model for free convective about a flat plate in a porous medium. Int’1 JHeat Mass Transfer, 1985, 28: 683~697[DOI]5 Mckibbin R, Tyvand P A. Anisotropic modeling of thermal convection in multilayered porous media. JFluid Mechanics,1982, 118: 315~3396 Nilsen T, Storesletten L. An analytical study on natural convection in isotropic and anisotropic porouschannels. ASME TRANS. J Heat Transfer, 1990, 112: 396~4017 张靖周, 李立国, 孙仁洽. 水平空腔多孔介质自然对流各向异性和非达西效应研究. 工程热物理学报,1996, 17: 86~908 蔡睿贤, 张娜. 多孔介质中自然对流Brinkman模型的解析解. 中国科学, A辑, 2002, 32 (6):566~573[摘要][PDF]9 Cai R. Some explicit analytical solutions of unsteady compressible flow. ASME TRANS. J Fluids Engg,1998, 120: 760~76410 Cai R, Zhang N. Unsteady one-dimensional analytical solutions for bioheat transfer equations. 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流体力学中的多孔介质流动特性探究引言流体力学是研究流体运动规律和性质的科学，而多孔介质流动是流体力学中一个重要的研究方向。
多孔介质广泛存在于自然界和工程实践中，如岩石、土壤、过滤材料等。
多孔介质流动特性的研究对于地下水的开发利用、石油开采、地下水污染治理等方面具有重要的理论和实际意义。
本文将探究流体力学中的多孔介质流动特性，包括多孔介质的描述模型、多孔介质流动的基本方程以及多孔介质中的渗流和对流传质现象等。
多孔介质的描述模型多孔介质是由固态颗粒和孔隙组成的复杂材料，它的基本特征是具有大量的孔隙空间。
多孔介质的描述模型是研究多孔介质流动特性的基础。
常见的多孔介质描述模型有物理模型和数学模型两种。
物理模型物理模型是通过实验和观测来获得多孔介质内部结构和性质的模型。
通过对多孔介质进行切割、显微观察等实验手段，可以了解多孔介质的孔隙结构、孔隙连通性等特征。
数学模型数学模型是将多孔介质内部的物理过程用数学公式进行描述的模型。
数学模型可以根据多孔介质内部流体运动规律建立，例如应用连续介质力学理论建立多孔介质的渗流模型，应用Navier-Stokes方程建立多孔介质中的对流传质模型等。
多孔介质流动的基本方程多孔介质流动的基本方程是描述多孔介质流动行为的方程组。
多孔介质流动包括流体在固相颗粒内部的渗流和多孔介质中的对流传质两种情况，因此基本方程也分为两种类型。
渗流方程渗流方程描述的是多孔介质中流体的流动行为。
常用的多孔介质渗流方程是达西定律和Forchheimer方程。
达西定律达西定律是多孔介质中渗流速度与渗透压梯度之间的关系。
达西定律可以表示为：$$q = -k \ abla \\phi$$其中，q是流体在多孔介质中的流动速度，k是多孔介质的渗透系数，$\\phi$是多孔介质中的渗透压。
达西定律是多孔介质渗流的基本定律，描述了渗流速度与渗透压梯度的线性关系。
Forchheimer方程Forchheimer方程是考虑多孔介质中非线性流动影响的渗流方程。
多孔介质壁面剪切湍流速度时空关联的研究郑艺君;李庆祥;潘明;董宇红【摘要】The space-time correlations are fundamental to the turbulence theory and have a broad application. In this paper, the authors perform direct numerical simulations of turbulent channel shear flows through the lattice Boltzmann method, and then study the space-time correlations of the velocity field. What’s more, the authors investigate space-time correlations of fluctuating velocities in porous wall-bounded turbulence, basing on the lattice Boltzmann equation which containing the Darcy-Brinkman-Forhheimer acting force term. On the one hand, the two-time correlations of velocities in porous wall-bounded shear flows are calculated and discussed. On the other hand, the author analyzes the space-time correlations of velocities in different porosity numbers and Darcy numbers in detail to investigate porous wall-bounded turbulent shear flows. It is found that there are elliptic curves on the iso-correlation contours that have a uniform preference direction and share a constant aspect ratio. Also, there are obvious differences among the space-time correlations of velocities in different normal-wise positions, such as near-wall region, buffer layer, log-law region and outer layer. These findings suggest that the farther it is away from the wall, the more slender elliptic curves are in iso-correlation contours. The computed results suggest that the correlations are enhanced with the Darcy number decreasing and the porosity number increasing.%作为一个基础统计量，时空关联函数在湍流问题的研究中有着广泛的应用，是研究湍流噪声、湍流中物质扩散和大涡模拟亚格子模型等问题的重要参考。
浙江大学学报（理学版）Journal of Zhejiang University （Science Edition ）http ：///sci第48卷第1期2021年1月Vol.48No.1Jan.2021有界区域内相互作用的Forchheimer-Darcy流体方程组解的结构稳定性石金诚，李远飞*（广州华商学院数据科学学院，广东广州511300）摘要：研究了在R 3中有界区域内相互作用的Forchheimer -Darcy 流体方程组解的结构稳定性。
假设黏性流体在Ω1中满足Forchheimer 方程组，在Ω2中满足Darcy 方程组，借助于一些先验估计，构造了微分不等式，证明了对Forchheimer 系数b ，Forchheimer -Darcy 方程组的解是收敛的。
关键词：结构稳定性；Forchheimer 方程组；Darcy 方程组；界面边界条件中图分类号：O 175.29文献标志码：A文章编号：1008⁃9497（2021）01⁃057⁃07SHI Jincheng,LI Yuanfei （School of Data Science ，Huashang College Guangzhou ，Guangzhou 511300，China ）Structural stability of the Forchheimer-Darcy fluid in a bounded domain .Journal of Zhejiang University(ScienceEdition),2021,48(1):57⁃63Abstract :The structural stability for the solution of the Forchheimer fluid equations interfacing with a Darcy fluid equations in a bounded region in R 3is studied.Assumed that the viscous fluid be governed by the Forchheimer equations in Ω1,while in Ω2,the fluid satisfy the Darcy equations.With the aid of some priori bounds,we formulate a differential inequality and demonstrate the convergence result for the Forchheimer coefficient b .Key Words :structural stability;Forchheimer equations;Darcy equations;interface boundary condition0引言近年来，偏微分方程解的结构稳定性引起广泛关注。
