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《反证法和放缩法》知识清单一、反证法反证法是一种间接证明的方法。
当我们要证明一个命题成立时，如果直接证明比较困难，那就可以考虑使用反证法。
反证法的基本思路是先假设命题的结论不成立，即提出与命题结论相反的假设。
然后，从这个假设出发，通过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果。
这个矛盾可以是与已知条件矛盾、与定理或公理矛盾、或者是自相矛盾。
由于推理过程是正确的，所以产生矛盾的原因只能是假设不成立，从而证明原命题的结论是正确的。
例如，证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60 度”。
我们先假设三角形的三个内角都大于 60 度，那么三个内角之和就会大于 180 度，这与三角形内角和定理（三角形内角和为 180 度）矛盾，所以假设不成立，原命题成立。
反证法的一般步骤可以总结为：1、提出反设：假设命题的结论不成立。
2、推出矛盾：从反设出发，通过推理得出矛盾。
3、肯定结论：由于矛盾的出现，说明反设错误，从而证明原命题的结论正确。
反证法在数学证明中有着广泛的应用，尤其是在证明一些存在性、唯一性、否定性的命题时，往往能起到意想不到的效果。
二、放缩法放缩法是不等式证明中一种常用的方法。
其基本思想是将不等式中的某些项进行放大或缩小，从而使不等式变得更加简单，易于证明。
放缩的依据通常是不等式的基本性质、已知的不等式、函数的单调性等。
比如，要证明不等式＼（A ＜ B\），我们可以先将＼（A\）适当放大得到＼（A' ＼），使得＼（A' ＜ B\）易于证明；或者将＼（B\）适当缩小得到＼（B' ＼），使得＼（A ＜ B' ＼）易于证明。
常见的放缩技巧有：1、舍去或加上一些项，如：＼（＼frac{1}｛n(n ＋ 1)｝＜＼frac{1}｛n^2}＼）。
2、将分子或分母放大（或缩小），如：＼（＼frac{1}｛n} ＜＼frac{1}｛n 1}＼）（＼（n ＞ 1\））。
3、利用基本不等式进行放缩，例如：若＼（a, b\）均为正数，则＼（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼）。
《证明不等式的基本方法反证法与放缩法》证明不等式的基本方法包括反证法和放缩法。
反证法是一种常用的证明不等式的方法，它的思路是假设不等式不成立，然后通过推理推出一个矛盾的结论，从而证明原不等式的成立。
放缩法是通过对不等式进行变形、放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。
首先介绍反证法。
对于一个要证明的不等式，我们可以假设不等式不成立，即假设存在一些满足条件的变量使得不等式不成立。
然后通过对这个假设的推理，得出一个与已知条件相矛盾的结论，从而证明假设是错误的，进而证明原不等式的成立。
具体步骤如下：1.假设不等式不成立，即假设存在一些满足条件的变量使得不等式不成立。
2.根据已知条件和假设，对变量进行推理，得出结论。
3.利用这个结论推出与已知条件矛盾的结论。
4.由此可以得出假设是错误的，从而证明原不等式的成立。
举个例子来说明反证法的应用：对于不等式x+y>0，假设不等式不成立，即存在一些满足条件的x和y使得x+y≤0。
然后我们通过推理可以得到y≤-x，即y的取值范围在x的左侧。
然而，根据已知条件，对于任意的x和y，x+y的和都大于0，与假设矛盾。
因此，假设错误，原不等式成立。
接下来介绍放缩法。
放缩法是通过对不等式进行变形和放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。
放缩法的关键在于找到合适的放缩因子和放缩方法。
具体步骤如下：1.根据不等式的特点，选择合适的放缩因子和放缩方法。
2.对不等式进行变形和放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。
3.对新形式的不等式进行证明。
4.如果新形式的不等式成立，根据不等式的等价性，原不等式也成立。
举个例子来说明放缩法的应用：对于不等式(x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz，我们可以使用放缩法进行证明。
我们选择放缩因子2和放缩方法(x + y) ≥ 2√xy，可以得到(2√xy)(2√yz)(2√xz) ≥ 8xyz。
化简后得到(√xy)(√yz)(√xz) ≥ xyz，即x·y·z ≥ xyz，显然成立。
《反证法和放缩法》知识清单一、反证法反证法是一种间接证明的方法。
当我们要证明一个命题成立时，如果直接证明比较困难，就可以考虑使用反证法。
反证法的基本步骤：1、提出反设：首先假设要证明的命题不成立，也就是提出与原命题相反的假设。
2、推出矛盾：从反设出发，通过一系列的推理，得出与已知条件、定理、公理或者明显事实相矛盾的结果。
3、否定反设：由于推出了矛盾，所以说明反设是错误的，从而肯定原命题成立。
例如，要证明“在一个三角形中，最多只能有一个直角”。
我们先假设在一个三角形中可以有两个直角。
那么三角形的三个内角之和就会大于 180 度，这与三角形内角和定理（三角形的内角和等于 180 度）相矛盾。
所以假设不成立，即在一个三角形中最多只能有一个直角。
反证法在数学中的应用非常广泛，尤其是在证明一些存在性、唯一性的命题时，往往能起到意想不到的效果。
反证法的关键在于能够准确地提出反设，并通过合理的推理导出矛盾。
在导出矛盾的过程中，需要对所学的数学知识有扎实的掌握和灵活的运用。
二、放缩法放缩法是一种用于证明不等式的重要方法。
放缩的基本思路是：将不等式中的某些项进行放大或缩小，使得不等式的关系更加明显，从而达到证明的目的。
常见的放缩技巧：1、舍去或加上一些项：例如，在证明不等式时，如果某些项对证明结果影响不大，可以舍去，以达到放缩的效果。
2、放大或缩小分式的分子或分母：比如，将分式的分子放大或分母缩小，从而使分式的值变大；反之，将分子缩小或分母放大，分式的值变小。
3、利用基本不等式进行放缩：常见的基本不等式如均值不等式等，可以为放缩提供依据。
例如，要证明“当 n 为正整数时，1 ＋ 1/2 ＋ 1/3 ＋… ＋ 1/n ＜2”。
我们可以这样进行放缩：1 ＋ 1/2 ＋ 1/3 ＋ 1/4 ＋ 1/5 ＋ 1/6 ＋ 1/7 ＋ 1/8 ＋… ＋ 1/n＜ 1 ＋ 1/2 ＋（1/4 ＋ 1/4）＋（1/8 ＋ 1/8 ＋ 1/8 ＋ 1/8）＋… ＋（1/2^k ＋ 1/2^k ＋… ＋ 1/2^k）＝ 1 ＋ 1/2 ＋ 1/2 ＋ 1/2 ＋… ＋ 1/2可以发现，这样的放缩使得式子变得更加简洁，便于证明不等式。
【反证法与放缩法】一、教材分析：在证明不等式的时候，在直接证明遇到困难的时候,可以利用不等式的传递性，把要证明的不等式加强为一个易证的不等式，即欲证A>B ，我们可以适当的找一个中间量C 作为媒介，证明A>C 且C>B,从而得到A>B.我们把这种把B 放大到C(或把A 缩小到C)的方法称为放缩法.放缩是一种重要的变形手段,但是放缩的对象以及放缩的尺度不易掌握,技巧性较强,这关系到证明的成败,往往需要根据具体的题目经过多次的探索和试验才能成功,因此必须多练. 比较常用的方法是把分母或分子适当放大或缩小（减去或加上一个正数）使不等式简化易证。
二、教学目标：1、知识与技能：掌握放缩法证明数列不等式的一些常见的放缩类型及其方法。
2、过程与方法：通过例题分析和练习，让学生了解放缩法证明数列中不等式的基本方法，掌握证明数列不等式的多方面技巧，从而培养学生的数学素养，提高学生的解题能力。
培养学生发现、分析、解决问题的能力。
3、情感、态度与价值观：在知识的学习过程中，体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察，勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。
三、教学重点：会用放缩法证明问题；了解放缩法的思考过程.四、教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：在不等式的证明中，放缩法是一种综合性比较强的方法，放缩法证明数列不等式是数列中的难点内容，在近几年的高考中都有所考查，放缩法灵活多变，技巧性要求比较高，这就让同学们很困惑，在掌握了数列求和的基础上，非常有必要给同学们介绍用放缩法证明数列不等式。
同学们有一定的能力学习放缩法。
3、教具选择：多媒体六、教学方法： 启发诱导 合作探究七、教学过程1、自主导学：问题1.已知,0,0,0,,>>++>++abc ca bc ab c b a c b a 为实数，.0,0,0>>>c b a 求证：【反思】(1)此题用的证明方法有什么特点?(2)利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的 ；第二步 作出与所证不等式 假定；第三步 从条件和假定出发，应用正确的推理方法，推出 ；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立.2、合作探究（1）分组探究：复习回顾：1.直接证明的两种基本证法：综合法和分析法2.这两种基本证法的推证过程和特点：注意强调：综合法是由因导果；分析法是执果索因3、在实际解题时，两种方法如何运用？ （综合分析法）（1）通常用分析法提供思路，再由综合法写过程（2）“两边凑”4.反证法： 假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而间接证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。
反证法与放缩法
【学习目标】
1．理解反证法在证明不等式中的作用，掌握用反证法证明不等式的方法．
2．掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．
【学习重难点】
1．利用反证法、放缩法证明不等式或常规问题是本节的热点．
2．在不等式的证明中，常与数列、三角结合，将放缩法渗透其中进行考查．(难点)
自学导引
1．反证法
先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理，性质等进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质，明显成立的事实等) 的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．
想一想：哪些命题或不等式适合用反证法证明？
提示存在性命题、否定性命题、唯一性命题或结论中出现“至少”、“至多”、“全都”等字词的命题或不等式．
2．放缩法
将所需证明的不等式的值适当(或)使它由繁化简，达到证明目的．如果所要证明的不等式中含有分式，把分母放大，则相应分式的值，反之，把分母缩小，则分式的值．
试一试：用放缩法证明不等式常用的方法有哪些？
基础自测
1．实数a，b，c不全为0等价于()．A．a，b，c均不为0
B．a，b，c中至多有一个为0
C．a，b，c中至少有一个为0
D．a，b，c中至少有一个不为0
解析a，b，c不全为0，等价于“a，b，c中至少有一个不为0”．
答案 D
答案 B
3．否定“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”时正确的反设
为
()．
A．a、b、c都是奇数
B．a、b、c都是偶数
C．a、b、c中至少有两个偶数
D．a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数
解析三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a、b、c中恰有一个为偶数只包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合．
答案 D
题型一反证法证明不等式
【例1】已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.
求证：a>0，b>0，c>0.
[思维启迪] 利用反证法求证．
证明假设a、b、c不全是正数，
即至少有一个小于或等于0.
又abc>0，不妨假设a<0，则bc<0.
∵b＋c>－a>0，∴－a(b＋c)>0.
∴a(b＋c)<0，又∵bc<0，∴bc＋a(b＋c)<0.
即ab＋bc＋ca<0.
这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾．
∴假设不成立．
故a>0，b>0，c>0成立．
规律方法用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或公理相矛盾的结论，从而肯定原命题成立．
规律方法(1)用放缩法证明不等式的过程中，往往采用添项“添舍”放缩、分项放缩、函数的单调性放缩、重要不等式收缩等，放缩时要注意适度，否则不能同向传递．
[思维启迪] (1)问考查由递推关系式求通项的方法；
(2)问考查放缩法证明不等式．
(1)解∵an＋1＝2an＋1(n∈N＋)，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．
∴an＋1＝2n，即an＝2n－1(n∈N＋)．
规律方法解数列不等式综合题要注意
①数列不等式综合题难度大，内容丰富，是考察数学能力的良好载体；
②数列问题重点在数列通项上，解决问题的方法也蕴含在其中，注意考察的方式；
③注意放缩的尺度，过大过小都不能解决问题．
方法技巧用反证法证明否定性结论
【示例】已知0＜x＜2,0＜y＜2,0＜z＜2，求证：x(2－y)，y(2
－z)，z(2－x)不都大于1.
[思路分析] 由题目可获取以下主要信息：
①x，y，z范围已知；
②要证明的为否定性结论．
解答本题可用反证法加以证明．
解法一假设x(2－y)＞1且y(2－z)＞1且z(2－x)＞1均成立，
则三式相乘有：xyz(2－x)(2－y)(2－z)＞1 ①
由于0＜x＜2，∴0＜x(2－x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1.
同理：0＜y(2－y)≤1，且0＜z(2－z)≤1，
∴三式相乘得：0＜xyz(2－x)(2－y)(2－z)≤1 ②
②与①矛盾，故假设不成立．
∴x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不都大于1.
方法点评(1)当证明的结论中含有“不是”，“不都”，“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体．
(2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式①与已知相矛盾，②与假设矛盾，
③与显然成立的事实相矛盾.。
