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2.3 反证法与放缩法 课件(人教A选修4-5)

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2.3《放缩法与反证法证明不等式》课件(新人教选修4-5)

2.3《放缩法与反证法证明不等式》课件(新人教选修4-5)

课堂练习
1、当 n > 2 时，求证：log n (n 1) log n (n 1) 1
证：∵n > 2 ∴log n (n 1) 0, log n (n 1) 0
log
n (n
1) log n
(n
1)
log n
(n
1)
2
log
n (n
1) 2
log
n (n2 2
1) 2
不等式的证明
复习
• 不等式证明的常用方法: • 比较法、综合法、分析法
反证法
先假设要证明的命题不成立，以此为出发点, 结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等， 进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确， 从而间接说明原命题成立的方法。
例1.已知x，y f 0，且x y f 2.试证： 1 x ，1 y 中至少有一个小于2.
log n 2
n2
2
1
∴n > 2时, log n (n 1) log n (n 1) 1
课堂练习
• 2、若p>0,q>0,且p3+q3=2, • 求证：p+q≤2
1 a b c d 2 abd bca cdb dac
证：记m =
a b c d abd bca cdb dac
∵a, b, c, dR+
m
a
b
c
d
1
abcd abca cdab dabc
同时 m a b c d 2 ab ab cd dc
∴1 < m < 2 即原式成立
例2已知a,b是实数，求证:
则三式相乘： (1 a)b•(1 b)c•(1 c)a > 1 ① 64

高中数学 2.3反证法与放缩法课件 新人教A版选修45

高中数学 2.3反证法与放缩法课件 新人教A版选修45
栏Leabharlann 证法二 假设三式同时大于14.
目 链 接
∵0＜a＜1，∴1－a＞0，
－a
2
＋b≥
－a
b＞ 41＝12.
－b ＋c －c ＋a
1
同理
2
，
2
都大于2.
33 三式相加，得2＞2，此式矛盾，
∴原命题成立．
第十页，共16页。
变式 训练
1．若a3＋b3＝2，求证(qiúzhèng)：a＋b≤2.
分析：a＋b≤2 的反面是 a＋b>2，用反证法证．
证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法．
利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：
第一步，分清欲证不等式所涉及的条件和结论．
第五页，共16页。
第二步，做出与所证不等式______相__反的(假xi定ān．gfǎn)
第三步，从___条__件__(_t_iá_o_j_ià出n发)和(假ch定ūfā)，应用正确的推理方法， 推出________矛结盾果．
第七页，共16页。
栏 目 链 接
第八页，共16页。
题型一 反证法证明(zhèngmíng)不等式
例 1 已知 a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－
c)a 不能同时大于14.
分析：“不能同时”包含情况较多，而其否定“同时大于”仅有 栏
一种情况，因此用反证法．
目 链
1
接
证明：证法一 假设三式同时大于4，
即有(1－a)b＞14，(1－b)c＞14，(1－c)a＞14.
三式同向相乘，得(1－a)a(1－b)b(1－c)c＞614. 又(1－a)a≤1－2a＋a2＝14，
第九页，共16页。

2.3 反证法与放缩法 课件(人教A选修4-5)

2.3 反证法与放缩法 课件(人教A选修4-5)

[小问题· 大思维] 1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？
提示：用反证法证明不等式要把握三点：
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一 论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的． (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进 行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证， 就不是反证法． (3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛 盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与 已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．
y－1＝k x 1 的坐标(x，y)满足 y＋1＝k2x
，
k ＝y－1， x 1 故知 x≠0，从而 y＋1 k2＝ x . y－1 y＋1 代入 k1k2＋2＝0，得 x · x ＋2＝0， 整理后，得 2x2＋y2＝1， 所以交点 P 在椭圆 2x2＋y2＝1 上．
这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．
[通一类] 2．已知函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数，求证：y＝f(x) 在区间(a，b)上至多有一个零点．
证明：假设函数y＝f(x)在区间(a，b)上至少有两个零点，
不妨设x1，x2(x1≠x2)为函数y＝f(x)在区间(a，b)上的两个零 点，且x1＜x2，则f(x1)＝f(x2)＝0.
的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式．
[研一题]
[例1]
设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a(1－
b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1.
[精讲详析]
本题考查反证法的应用．解答本题若采用
直接法证明将非常困难，因此可考虑采用反证法从反面入手 解决．
假设 4a(1－b)＞1,4b(1－c)＞1,4c(1－d)＞1， 4d(1－a) ＞1，则有 1 1 a(1－b)＞ ，b(1－c)＞ ， 4 4 1 1 c(1－d)＞ ，d(1－a)＞ . 4 4 1 1 ∴ a1－b＞ ， b1－c＞ ， 2 2 1 1 c1－d＞ ， d1－a＞ . 2 2 a＋1－b b＋1－c 又∵ a1－b≤ ， b1－c≤ ， 2 2

2.3 反证法与放缩法 课件(人教A选修4-5)

2.3 反证法与放缩法 课件(人教A选修4-5)

z x 3 ＋(y＋ )＋(z＋ )＝ (x＋y＋z)． 2 2 2
(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端
的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，
进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证 的失败． (2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法， 利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正
[例 2]
2
已知实数 x、y、z 不全为零．求证：
2 2 2 2 2
3 x ＋xy＋y ＋ y ＋yz＋z ＋ z ＋zx＋x > (x＋ y＋ 2 z)．
[思路点拨] 解答本题可对根号内的式子进行配方
后再用放缩法证明．
[证明] ＝ ≥
x2＋xy＋y2 y2 3 2 x＋ ＋ y 2 4 y2 x＋ 2
点击下图进入创新演练
②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明
而断定原命题成立．
2．不等式的证明方法——放缩法 放缩法证明的定义： 证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值 放大
或 缩小 ，简化不等式，从而达到证明的目的．
3．放缩法的理论依据主要有 (1)不等式的传递性； (2)等量加不等量为 不等量 ； (3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．
1．不等式的证明方法——反证法 (1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，
然后由 此假设出发，结合已知条件，应用公理、定义、定
理、性质等，进行 正确的推理 ，得到和命题的条件 (或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论， 以说明 假设 不成立，从而证明原命题成立． (2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立； 假设不成立 ，从
(
)
B．a，b，c中至多有一个为0

2.3 反证法与放缩法 课件(人教A选修4-5)

2.3 反证法与放缩法 课件(人教A选修4-5)

[悟一法] (1)当证明的结论中含有“不是”，“不都”，“不存在”等 词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体． (2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形
式①与已知相矛盾，②与假设矛盾，③与显然成立的事实相
矛盾．
[通一类] 1．已知f(x)是R上的单调递增函数，且f(a)＋f(－b)＞f(－a) ＋f(b)．求证：a＜b. 证明：假设a≥b，则当a＝b时－b＝－a，
[悟一法]
(1)在证明中含有“至少”、“至多”、“最多”等字眼时，或
证明否定性命题、惟一性命题时，可使用反证法证明．在证 明中常见的矛盾可以与题设矛盾，也可以与已知矛盾，与显 然的事实矛盾，也可以自相矛盾． (2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的
假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用
[读教材· 填要点] 1．反证法 先假设 要证的命题不成立 ，以此为出发点，结合已知条 件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得 到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) 矛盾 的结论，以说明 假设 不正确，从而证明原命题成立，我 们称这种证明问题的方法为反证法． 2．放缩法 证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值 放大 或 缩小 ，简化不等式，从而达到证明的目的．我们把这种方法 称为放缩法．
c＋1－d d＋1－a c1－d≤ ， d1－a≤ ， 2 2 a＋1－b 1 b＋1－c 1 ∴ ＞ ， ＞ ， 2 2 2 2 c＋1－d 1 d＋1－a 1 ＞ ， ＞ . 2 2 2 2 将上面各式相加得 2＞2，矛盾． ∴4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不 可能都大于 1.
2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？

人教版选修A4-5数学课件：2.3 反证法与放缩法(共21张PPT)

人教版选修A4-5数学课件：2.3 反证法与放缩法(共21张PPT)
-5-
三 反证法与放缩法
探究一 探究二 思维辨析
首页
X 新知导学 D答疑解惑
INZHIDAOXUE
AYIJIEHUO
D当堂检测
ANGTANGJIANCE
1 2
1 2
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三 反证法与放缩法
探究一 探究二 思维辨析
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【例 2】 求证 2(
1 1 1 ������ + 1-1)<1+ + …+ <2 2 3 ������
������(n∈N+).
分析：观察所证不等式,中间有 n 项需裂项相消,当 k∈N+时,因为 ������ + ������ + 1>2 ������ ,所以
1 >2( ������
������ + 1 −
1
1 4
1
1 4
1 4
1
1
又 ������(1-������) ≤
以上四个式子相加 ,得 2>2,矛盾 . ∴原命题结论成立.
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三 反证法与放缩法
探究一 探究二 思维辨析
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利用放缩法证明不等式
则 a(1-b)> ,b(1-c)> ,c(1-d)> ,d(1-a)> .
1 4
∴ ������(1-������) > 2 , ������(1-������) > 2 , ������(1-������) > 2 , ������(1-������) > 2.

高中数学 第二讲 三 反证法与放缩法课件 新人教A版选修4-5


3．已知函数 y＝f(x)在 R 上是增函数，且 f(a)＋f(－b)<f(b)＋f(－ a)，求证：a<b.
证明：假设 a<b 不成立，则 a＝b 或 a>b. 当 a＝b 时，－a＝－b，则有 f(a)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)，于是 f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)，与已知矛盾． 当 a>b 时，－a<－b，由函数 y＝f(x)的单调性可得 f(a)>f(b)， f(－b)>f(－a)，于是有 f(a)＋f(－b)>f(b)＋f(－a)，与已知矛盾．故 假设不成立．∴a<b.
利用放缩法证明不等式
[例 2] 已知实数 x，y，z 不全为零．求证： x2＋xy＋y2＋ y2＋yz＋z2＋ z2＋zx＋x2>32(x＋y＋z)．
[思路点拨] 解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放 缩法证明．
[证明]
x2＋xy＋y2＝
x＋2y2＋34y2
≥
x＋2y2＝x＋2y≥x＋2y.
2．不等式的证明方法——放缩法 放缩法证明的定义： 证 明 不 等 式 时 ， 通 常 把 不 等 式 中 的 某 些 部 分 的 值放___大_ 或 缩小 ，简化不等式，从而达到证明的目的． 3．放缩法的主要理论依据 (1)不等式的传递性； (2)等量加不等量为 不等量 ； (3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．
三
反证法与放缩法
1．不等式的证明方法——反证法 (1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，然后
由 此假设 出发，结合已知ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ件，应用公理、定义、定理、性质 等，进行 正确的推理 ，得到和命题的条件(或已证明的定理、 性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立，从

人教版选修A4-5数学课件：2-3 反证法与放缩法(共21张PPT)


首页 探究一 探究二 思维辨析
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反思感悟用反证法证明不等式: (1)适用范围,凡涉及不等式为唯一性、否定性命题、存在性命题 等可考虑反证法.如证明中含“至多”“至少”“不能”等词语的不等式. (2)注意事项,在对原命题进行否定时,应全面、准确,不能漏掉任 何情况,反证法体现了“正难则反”的策略,在解题时要灵活应用.
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做一做2 若A=1+ 是 .
1 1 1 + +…+ 2 3 ������
(n∈N+),则A与n的大小关系
1 1 1 解析：A=1+ + +…+ 2 3 ������
≥
1 1 1 + +…+ ������ ������ ������三Biblioteka 反证法与放缩法-1-
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学 习 目 标 思 维 脉 络 1.理解 反证法和 放缩法的证明依 据. 2.掌握 利用反证 法和放缩法证明 不等式的方法.
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[悟一法] (1)当证明的结论中含有“不是”，“不都”，“不存在”等 词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体． (2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形
式①与已知相矛盾，②与假设矛盾，③与显然成立的事实相
矛盾．
[通一类] 1．已知f(x)是R上的单调递增函数，且f(a)＋f(－b)＞f(－a) ＋f(b)．求证：a＜b. 证明：假设a≥b，则当a＝b时－b＝－a，
c＋1－d d＋1－a c1－d≤ ， d1－a≤ ， 2 2 a＋1－b 1 b＋1－c 1 ∴ ＞ ， ＞ ， 2 2 2 2 c＋1－d 1 d＋1－a 1 ＞ ， ＞ . 2 2 2 2 将上面各式相加得 2＞2，矛盾． ∴4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不 可能都大于 1.
[精讲详析]
本题考查放缩法在证明不等式中的应用，
解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式，但我们不 能利用求和公式或其他方法求和，因此可考虑将分母适当放 大或缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式．
∵k(k＋1)＞k2＞k(k－1)， 1 1 1 ∴ ＜ 2＜ ， k kk－1 kk＋1 1 1 1 1 1 即k－ ＜ 2＜ －k(k∈N*且 k≥2)． k＋1 k k－1 分别令 k＝2,3，…，n 得 1 1 1 1 1 1 1 1 1 － ＜ ＜1－ ， － ＜ 2＜ － ， 2 3 22 2 3 4 3 2 3 … 1 1 1 1 1 n－n＋1＜n2＜n－1－n，将这些不等式相加得
∵函数y＝f(x)在区间(a，b)上为增函数，
x1，x2∈(a，b)且x1＜x2， ∴f(x1)＜f(x2)，与f(x1)＝f(x2)＝0矛盾，
∴原假设不成立．
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f(－a)，求证：a<b.
证明：假设a<b不成立，则a＝b或a>b. 当a＝b时，－a＝－b则有f(a)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)， 于是f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)与已知矛盾． 当a>b时，－a<－b，由函数y＝f(x)的单调性可得
f(a)>f(b)，f(－b)>f(－a)
于是有f(a)＋f(－b)>f(b)＋f(－a)与已知矛盾．故假设不 成立． ∴a<b.
项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，
或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从 而达到证明不等式的目的．
1 1 1 1 4．设 n 是正整数，求证： ≤ ＋ ＋„＋ ＜1. 2 n＋1 n＋2 2n
证明：由 2n≥n＋k＞n(k＝1,2，„，n)， 1 1 1 得 ≤ ＜ . 2n n＋k n 1 1 1 当 k＝1 时， ≤ ＜n； 2n n＋1 1 1 1 当 k＝2 时， ≤ ＜ ； 2n n＋2 n „ 1 1 1 当 k＝n 时， ≤ ＜ ， 2n n＋n n ∴将以上 n 个不等式相加得： 1 n 1 1 1 n ＝ ≤ ＋ ＋„＋ ＜ ＝1. 2 2n n＋1 n＋2 2n n
(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，
唯一性、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”， “至少”，“不能”等词语的不等式． (2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准 确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，
在解题时要灵活应用．
1．实数a，b，c不全为0的等价条件为 A．a，b，c均不为0
②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明
而断定原命题成立．Fra bibliotek2．不等式的证明方法——放缩法 放缩法证明的定义： 证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值 放大
或 缩小 ，简化不等式，从而达到证明的目的．
3．放缩法的理论依据主要有 (1)不等式的传递性； (2)等量加不等量为 不等量 ； (3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．
[例 2]
2
已知实数 x、y、z 不全为零．求证：
2 2 2 2 2
3 x ＋xy＋y ＋ y ＋yz＋z ＋ z ＋zx＋x > (x＋ y＋ 2 z)．
[思路点拨] 解答本题可对根号内的式子进行配方
后再用放缩法证明．
[证明] ＝ ≥
x2＋xy＋y2 y2 3 2 x＋ ＋ y 2 4 y2 x＋ 2
点击下图进入创新演练
5．设f(x)＝x2－x＋13，a，b∈[0,1]，求证：
|f(a)－f(b)|<|a－b|.
证明：|f(a)－f(b)|＝|a2－a－b2＋b| ＝|(a－b)(a＋b－1)|＝|a－b||a＋b－1| ∵0≤a≤1,0≤b≤1 ∴0≤a＋b≤2， －1≤a＋b－1≤1，|a＋b－1|≤1. ∴|f(a)－f(b)|≤|a－b|.
(
)
B．a，b，c中至多有一个为0
C．a，b，c中至少有一个为0 D．a，b，c中至少有一个不为0 解析：“不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是 “至少有一个不为0”．
答案：D
2．证明：三个互不相等的正数a、b、c成等差数列，则a， b，c不可能成等比数列． 证明：假设a，b，c成等比数列，则b2＝ac.
z x 3 ＋(y＋ )＋(z＋ )＝ (x＋y＋z)． 2 2 2
(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端
的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，
进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证 的失败． (2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法， 利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正
1．不等式的证明方法——反证法 (1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，
然后由 此假设出发，结合已知条件，应用公理、定义、定
理、性质等，进行 正确的推理 ，得到和命题的条件 (或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论， 以说明 假设 不成立，从而证明原命题成立． (2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立； 假设不成立 ，从
[例 1]
已知 f(x)＝x2＋px＋q
求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2 1 (2)|f(1)|，f|(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于 . 2
[思路点拨]
“不小于”的反面是“小于”，“至少
有一个”的反面是“一个也没有”．
[证明]
(1)f(1)＋f(3)－2f(2)
＝(1＋p＋q)＋(q＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2. 1 (2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于 . 2 则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2 而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2 矛盾 1 ∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于 . 2
又∵a、b、c成等差数列
∴a＝b－d，c＝b＋d(其中d公差)． ∴ac＝b2＝(b－d)(b＋d)．∴b2＝b2－d2. ∴d2＝0，∴d＝0.这与已知中a、b、c互不相等矛盾． ∴假设不成立．∴a、b、c不可能成等比数列．
3．已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(a)＋f(－b)<f(b)＋
y y ＝|x＋ |≥x＋ . 2 2 z 同理可得： y ＋yz＋z ≥y＋ ， 2
2 2
x z ＋zx＋x ≥z＋ ，由于 x、y、z 不全为零，故 2
2 2
上述三式中至少有一式取不到等号， 所以三式相加得： y x ＋xy＋y ＋ y ＋yz＋z ＋ z ＋zx＋x >(x＋ ) 2
2 2 2 2 2 2