高数复习笔记
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高数笔记大一基础知识点一、导数与微分在微积分中,导数和微分是非常基础的概念。
导数描述了函数在某一点上的变化率,而微分则表示函数在某一点上的近似线性变化。
1. 导数的定义对于函数f(x),在某一点x=a处的导数定义为:f'(a) = lim(x→a) [f(x) - f(a)] / (x - a)如果这个极限存在,那么函数在点x=a处是可导的。
2. 导数的计算法则- 常数法则:常数的导数为零- 幂函数法则:若f(x) = x^n,则f'(x) = nx^(n-1)- 指数函数法则:若f(x) = a^x,则f'(x) = (ln a) * a^x- 对数函数法则:若f(x) = log_a x,则f'(x) = 1 / (x * ln a)- 乘积法则:若f(x) = u(x) * v(x),则f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)- 商法则:若f(x) = u(x) / v(x),则f'(x) = [u'(x) * v(x) - u(x) *v'(x)] / [v(x)]^2- 链式法则:若f(x) = u(v(x)),则f'(x) = u'(v(x)) * v'(x)3. 微分的定义对于函数f(x),在某一点x=a处的微分定义为:df = f'(a) * dx其中,df表示函数在点x=a处的微小变化,dx表示自变量x的微小变化。
二、极限与连续极限是微积分中另一个重要的概念,它描述了函数在某一点上的值趋近于某个数的情况。
而连续则表示函数在某一区间内没有间断或跳跃。
1. 极限的定义设函数f(x)在点x=a的某一邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的ε,都存在正数δ,使得当0 < |x - a| < δ时,有|f(x) - A| < ε,则称A为f(x)当x趋于a时的极限,记作lim(x→a) f(x) = A。
大一高数笔记全部知识点第一章数列与极限1.1 数列1.1.1 数列的概念1.1.2 等差数列1.1.3 等比数列1.2 极限的概念与性质1.2.1 极限的定义1.2.2 极限存在的条件1.2.3 极限的性质1.3 极限运算法则1.3.1 无穷小量与无穷大量1.3.2 极限的四则运算第二章函数与连续2.1 函数的概念与性质2.1.1 函数的定义2.1.2 函数的性质2.2 基本初等函数2.2.1 幂函数与指数函数2.2.2 对数函数与指数对数函数2.3 函数的极限与连续性2.3.1 函数的极限2.3.2 函数的连续性第三章导数与微分3.1 导数的概念与计算方法3.1.1 导数的定义3.1.2 常用函数的导数计算3.2 微分的概念与性质3.2.1 微分的定义3.2.2 微分的性质3.3 高阶导数与导数的应用3.3.1 高阶导数的定义3.3.2 导数的应用:切线与法线第四章积分与不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.1.1 不定积分的定义4.1.2 不定积分的性质4.2 定积分的概念与性质4.2.1 定积分的定义4.2.2 定积分的性质4.3 积分的运算法则与应用4.3.1 积分的基本运算法则4.3.2 积分的应用:面积与曲线长度第五章多元函数与偏导数5.1 多元函数的概念与性质5.1.1 多元函数的定义5.1.2 多元函数的性质5.2 偏导数的概念与计算方法5.2.1 偏导数的定义5.2.2 常用函数的偏导数计算5.3 高阶偏导数与微分的应用5.3.1 高阶偏导数的定义5.3.2 微分的应用:切平面与法线以上是大一高数课程中的全部知识点。
通过学习这些知识,我们可以建立起数学的基础框架,为以后的学习打下坚实的基础。
每个知识点都有其重要性和实用性,在理解和掌握的过程中,我们要注重理论联系实际,通过例题和应用题的练习来提高解题能力。
希望同学们能够认真学习,并在课后进行适当的巩固和扩展。
加油!。
高中数学复习笔记(整顿于-8)一、 函数图象1、对称:y=f(x)与y=f(-x)关于y 轴对称,例如:x a y =与x a y -=(10≠>a a 且)关于y 轴对称y=f(x)与y= —f(x)关于x 轴对称,例如:21x y =与21x y -=关于x 轴对称y=f(x)与y= —f(-x)关于原点对称,例如:21x y =与21)(x y --=关于原点对称y=f(x)与y=f 1-(x)关于y=x 对称,例如: y=10x 与y=lgx 关于y=x 对称y=f(x)与y= —f 1-(—x)关于y= —x 对称,如:y=10x 与y= —lg(—x)关于y= —x 对称 注:偶函数图象自身就会关于y 轴对称,而奇函数图象自身就会关于原点对称,例如:2x y =图象自身就会关于y 轴对称,3x y =图象自身就会关于原点对称。
y=f(x)与y=f(a —x)关于x=2a 对称(22ax a x =-+ ) 注:求y=f(x)关于直线±x ±y ±c=0(注意此时系数要么是1要么是-1)对称方程,只需由x ±y+c=0解出x 、y 再代入y=f(x)即可,例如:求y=2x+1关于直线x-y-1=0对称方程,可先由x-y-1=0解出x=y+1,y=x-1,代入y=2x+1得:x-1=2(y+1)整顿即得:x-2y-3=02、平移:y=f(x)→y= f(ωx+φ)先向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位,再保持纵坐标不变,横坐标压缩或伸长为本来ω1倍(若y= f(ωx+φ)→ y=f(x)则先保持纵坐标不变,横坐标压缩或伸长为本来ω倍,再将整个图象向右(φ>0)或向左(φ<0)平移|φ|个单位,即与原先顺序相反) y=f(x)→y= f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+ωφωx 先保持纵坐标不变,横坐标压缩或伸长为本来|ω1|倍,然后再将整个图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|ωφ|个单位,(反之亦然)。
第一章1、映射:Y中有唯一与x对应的元素,f为x到y的映射,y称为像,x称为原像条件:x,y均为非空集合,但是y反过来对应的x不一定是唯一的可以多个x对应一个y,不可一个x对应一个y。
y中所有元素均被对应,f称为满射。
一个x对应着一个y是单射,若即是单射又是满射则是双射。
2、函数的有界性:上有界,下有界。
恒小于一个值,恒大于一个值。
有界的充要条件是即有上界又有下界(函数绝对值恒小于一正数)数列收敛的定义1数列收敛极限唯一2数列收敛,数列一定有界3从某一项开始大于零,则其极限大于零4数列收敛,子数列收敛两函数相同的条件:定义域,表达式4、函数极限:δ,函数极限定义:定义、ε5、极限运算法则无穷小加无穷小为无穷小(零是无穷小,但是无穷小不一定为零)有界函数(常数)×无穷小也是无穷小6、重要极限7、极限存在准则:单调有界有极限夹逼准则函数的保号性常见等价无穷小1、sinx~x~tanx~ln(1+x)~arcsin(x)~arctan(x)~e x-12、1-cosx~1/2x23、(1+x)a-1函数连续间断定义某一点连续(左右极限存在且相等等于该点函数值,称之为连续1、左极限等于该点函数值——左连续,右极限等于该点函数值——右连续2、闭区间连续。
右左端点处对应左右连续,开区间上连续间断点类型1、没定义2、有定义,极限不存在3、有定义,极限存在。
但是极限不等于函数值1、第一类间断点左右极限都存在(都相等但是不等于函数值——可去间断点)(极限不相等,跳跃间断点)2、第二类间断点左右极限至少有一个不存在称为第二类间断点基本初等函数必连续(三角、反三角,幂函数,指数函数,对数函数)加减乘除(分母不为零)、复合函数只要原函数连续,则连续最值定理:闭区间连续函数一定可以取到最大最小值零点定理:端点处函数值异号,开区间内存在零点(开区间使用)介值定理:闭区间连续函数,区间内比存在一点,使其函数值取到最大值最小值之间(闭区间使用,且多个函数相加存在)第二章函数导数存在就是可导可导一定连续(可以推出极限值等于函数值)不连续一定不可导函数倒数存在——函数左右导数存在且相等验证可导与否,先看是否连续,后看左右导数是否相等Secx=1/cosx cscx=1/sinx三角函数N 阶导数——sinx 求导——sin(x+n*pai/2) cosx 同理1')(!*)1()1(++-=+n nn n b ax a n b ax 乘积函数求N 阶导数隐函数求导(两侧同时对x 求导,最后解出导数)参数方程求导)(')(')()(t t f dx dy t x t f y ϕϕ===可导《=》可微=>连续第三章三个条件拉格朗日中值定理:1、拉格朗日等价形式:)(*])([')()(a b a b a f a f b f --+=-θ2、三个点,采用两次拉格朗日定理 柯西中值定理:二阶可导——一阶可导——连续 洛必达法则:(存在局限性,如果上下求导最后极限不存在,但是其极限有可能存在,洛必达法则不适用) 1、0/0型。
第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的; 则它必定存在反函数:y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1<x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( );若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( );若f(x 1)<f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( );若f(x 1)>f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性:D(f)关于原点对称 偶函数:f(-x)=f(x) 奇函数:f(-x)=-f(x)3.函数的周期性:周期函数:f(x+T)=f(x), x ∈(-∞,+∞) 周期:T ——最小的正数4.函数的有界性: |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数1.常数函数: y=c , (c 为常数)2.幂函数: y=x n, (n 为实数)3.指数函数: y=a x, (a >0、a ≠1) 4.对数函数: y=log a x ,(a >0、a ≠1) 5.三角函数: y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数:y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数: y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算(加、减、乘、除)和复合所构成的,并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限:A ynn =∞→lim 称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界. 2.函数的极限:⑴当∞→x 时,)(x f 的极限:A x f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim ⑵当0x x→时,)(x f 的极限:A x f xx =→)(lim 0左极限:A x f x x =-→)(lim 0右极限:A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件: 定理:A x f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim㈡无穷大量和无穷小量 1.无穷大量:+∞=)(limx f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。
- 1 -第一章 函数与极限第一节 函数1.区间(interval):介于某两个实数之间的全体实数构成区间.这两个实数叫做区间的端点..,,b a R b a <∈∀且}{b x a x <<开区间),(b a 记作}{b x a x ≤≤闭区间],[b a 记作ox a bo xab}{b x a x <≤}{b x a x ≤<左闭右开区间左开右闭区间),[b a 记作],(b a 记作}{),[x a x a ≤=+∞}{),(b x x b <=-∞o x aoxb注:两端点间的距离称为区间的长度.无穷区间2 邻域.0,>δδ且是两个实数与设a ,叫做这邻域的中心点a .叫做这邻域的半径δ.}{),(δδδ+<<-=a x a x a U xaδ-a δ+a δδ,}{邻域的称为点数集δδa a x x <-记作二、函数的概念1.函数的定义函——信函单值对应多值函数不是函数自变量因变量对应法则(())x )(0x f f xyDW------函数的定义域D 和函数的对应规律f 函数的值域称为派生要素。
2. 函数的两个要素w={y │y=f(x), x ∈D}xaδ- a δ+ a δδ,邻域 的去心的 点 δa) , ( δ a U记作 .}0{),(δδ<-<=a x x a U知识归纳整理- 2 -❖定义域的求法❖在实际问题中,定义域由实际问题的具体条件来确定。
(即使实际问题故意义的取值范围)。
如时光、长度、分量必须大等于0 。
❖对于数学式子表达的函数,如果给出了取值范围就不必再求。
否则,则是使解析式故意义的x的集合(使对应的函数值唯一确定)。
1. 在分式中,分母应不为0;2. 在偶次根式中,被开方数不能为负数;3. 在对数式中,真数不能为0和负数;▪ 4. 在反三角函数式中,要符合反三角函数的定义域;▪ 5. 若函数表达式中含有分式、根式、对数式、反三角函数式等,则应取各部分定义域的交集。
第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、主要内容㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数:⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的; 则它必定存在反函数:y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1<x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( );若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( );若f(x 1)<f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( );若f(x 1)>f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性:D(f)关于原点对称 偶函数:f(-x)=f(x) 奇函数:f(-x)=-f(x)3.函数的周期性:周期函数:f(x+T)=f(x), x ∈(-∞,+∞) 周期:T ——最小的正数4.函数的有界性: |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数1.常数函数: y=c , (c 为常数)2.幂函数: y=x n, (n 为实数) 3.指数函数: y=a x , (a >0、a ≠1) 4.对数函数: y=log a x ,(a >0、a ≠1) 5.三角函数: y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数:y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数: y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算(加、减、乘、除)和复合所构成的,并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、主要内容㈠极限的概念1. 数列的极限:Aynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限:⑴当∞→x 时,)(x f 的极限:⑵当0x x →时,)(x f 的极限:左极限:Ax f x x =-→)(lim 0右极限:A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件:定理:Ax f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0㈡无穷大量和无穷小量1. 无穷大量:+∞=)(lim x f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。
高数学习笔记总结,帮你快速复习数学知识高数学习笔记总结:
一、函数与极限
1. 函数的定义:函数是数学表达关系的符号,它表示两个变量之间的依赖关系。
函数的定义域和值域是函数的两个重要属性。
2. 极限的概念:极限是函数在某个点附近的变化趋势,它可以用来研究函数的特性。
极限的运算法则包括加减乘除和复合函数的极限运算法则。
3. 无穷小和无穷大的概念:无穷小是指一个函数在某个点的值趋于0,而无穷大是指一个函数在某个点的值趋于无穷大。
无穷小和无穷大是研究函数的重要工具。
二、导数与微分
1. 导数的概念:导数是函数在某一点的切线的斜率,它可以用来研究函数的单调性、极值、拐点等特性。
导数的运算法则包括求导法则和复合函数的导数法则。
2. 微分的概念:微分是函数在某一点附近的小增量,它可以用来近似计算函数的值。
微分的运算法则包括微分的基本公式和微分的链式法则。
3. 导数与微分的应用:导数和微分的应用非常广泛,例如求极值、求拐点、近似计算、优化问题等等。
三、积分与级数
1. 积分的概念:积分是定积分和不定积分的总称,它可以用来计算面积和体积等几何量。
定积分和不定积分的计算方法包括基本公式法和凑微分法等等。
2. 级数的概念:级数是无穷多个数的和,它可以用来研究函数的性质和行为。
级数的分类包括几何级数、调和级数、幂级数等等。
3. 积分与级数的应用:积分和级数的应用非常广泛,例如计算面积和体积、近似计算、信号处理等等。
高数笔记大一必备知识点1. 函数与极限- 函数定义和性质- 极限的定义和性质- 常见函数的极限求解方法2. 微分学- 导数的定义和性质- 常见函数的导数求解方法- 高阶导数与导数的应用- 极值与最值的求解方法3. 积分学- 不定积分的定义和性质- 常见函数的积分求解方法- 定积分的定义和性质- 微积分基本定理的应用4. 函数的应用- 曲线图像的分析- 函数模型的建立与应用5. 常微分方程- 常微分方程的基本概念与分类- 一阶常微分方程的解法- 高阶常微分方程的解法6. 级数- 级数的定义和性质- 常见级数的求和方法- 级数收敛与发散的判别方法7. 二重积分- 二重积分的定义和性质- 坐标变换与极坐标法的应用8. 三重积分- 三重积分的定义和性质- 坐标变换与球坐标法的应用9. 偏导数与多元函数微分学- 偏导数的定义和性质- 多元函数的全微分与求导10. 曲线积分与曲面积分- 曲线积分的定义和性质- 曲面积分的定义和性质- 根据题目使用参数化与换元法解决具体问题以上是大一学习高等数学所必备的知识点,对于每个知识点,你需要深入理解其定义、性质和基本求解方法。
在学习过程中,可以结合教材和习题集进行实际练习,掌握每个知识点的应用技巧。
尽管高等数学是一门理论与实践相结合的学科,但通过积极参与课堂讨论、与同学组队解题、与教师进行交流等实践方式,你将能更好地理解与应用这些知识点。
最后,要善于总结和整理自己的思路,形成自己的高数笔记。
这将有助于加深对知识点的理解,并为以后的学习打下坚实基础。
祝愿你在大学的高数学习中取得好成绩!。
大二高数笔记期末知识点一、函数与极限1. 函数的概念和性质- 函数的定义- 函数的定义域、值域和对应关系- 奇函数和偶函数2. 极限的概念与性质- 极限的定义与符号表示- 左极限和右极限- 极限存在的条件- 极限的四则运算- 夹逼定理3. 连续函数- 连续函数的定义- 连续函数的性质- 闭区间上连续函数的性质二、导数与微分1. 函数的导数- 导数的定义- 导数的几何意义和物理意义- 导数的求法(基本的导数公式、常见函数的导数) - 导数的四则运算和复合函数的导数2. 高阶导数- 高阶导数的定义- 高阶导数的性质3. 微分- 微分的定义- 微分近似计算- 高阶微分三、微分中值定理与应用1. 罗尔中值定理- 罗尔中值定理的条件与结论- 应用举例2. 拉格朗日中值定理- 拉格朗日中值定理的条件与结论 - 应用举例3. 柯西中值定理- 柯西中值定理的条件与结论- 应用举例4. 泰勒中值定理- 泰勒中值定理的条件与结论- 泰勒公式四、不定积分与定积分1. 不定积分- 不定积分的概念- 基本的积分法则- 常见函数的积分2. 定积分- 定积分的概念和性质 - 积分的存在性- 反常积分3. 牛顿-莱布尼茨公式 - 高阶原函数- 定积分的比较性质五、常微分方程初步1. 一阶常微分方程- 可分离变量的方程- 齐次方程- 一阶线性方程2. 二阶常微分方程- 齐次线性方程- 非齐次线性方程- 常系数二阶齐次线性方程以上为大二高数笔记期末知识点的部分内容,希望对你的学习有所帮助。
祝你期末考试顺利!。
第一章极限和连续 第一节极限 [复习考试要求]1.了解极限的概念(对极限定义等形式的描述不作要求)。
会求函数在一点处的左极限与右极限,了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
2.了解极限的有关性质,掌握极限的四则运算法则。
3.理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。
会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)。
会运用等价无穷小量代换求极限。
4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
[主要知识内容] (一)数列的极限 1.数列定义按一定顺序排列的无穷多个数称为无穷数列,简称数列,记作{x n },数列中每一个数称为数列的项,第n 项x n 为数列的一般项或通项,例如 (1)1,3,5,…,(2n-1),…(等差数列)(2)(等比数列)(3)(递增数列) (4)1,0,1,0,…,…(震荡数列) 都是数列。
它们的一般项分别为 (2n-1),。
对于每一个正整数n ,都有一个x n 与之对应,所以说数列{x n }可看作自变量n 的函数x n =f (n ),它的定义域是全体正整数,当自变量n 依次取1,2,3…一切正整数时,对应的函数值就排列成数列。
在几何上,数列{x n }可看作数轴上的一个动点,它依次取数轴上的点x 1,x 2,x 3,...x n,…。
2.数列的极限定义对于数列{x n },如果当n →∞时,x n 无限地趋于一个确定的常数A ,则称当n 趋于无穷大时,数列{x n }以常数A 为极限,或称数列收敛于A ,记作比如:无限的趋向,无限的趋向1 否则,对于数列{x n },如果当n →∞时,x n 不是无限地趋于一个确定的常数,称数列{x n }没有极限,如果数列没有极限,就称数列是发散的。
比如:1,3,5,…,(2n-1),… 1,0,1,0,… 数列极限的几何意义:将常数A 及数列的项依次用数轴上的点表示,若数列{x n }以A 为极限,就表示当n 趋于无穷大时,点x n 可以无限靠近点A ,即点x n 与点A 之间的距离|x n -A|趋于0。
高数重点知识总结1、基本初等函数:反函数(y=arctanx),对数函数(y=lnx),幂函数(y=x),指数函数(y =a x ),三角函数(y=sinx),常数函数(y=c)2、分段函数不是初等函数。
x 2+x x=lim =13、无穷小:高阶+低阶=低阶例如:lim x →0x →0xx sin x4、两个重要极限:(1)lim =1x →0x (2)lim (1+x )=ex →01x⎛1⎫lim 1+⎪=ex →∞⎝x ⎭g (x )x经验公式:当x →x 0,f (x )→0,g (x )→∞,lim [1+f (x )]x →x 0=e x →x 0lim f (x )g (x )例如:lim (1-3x )=e x →01x⎛3x ⎫lim -⎪x →0⎝x ⎭=e -35、可导必定连续,连续未必可导。
例如:y =|x |连续但不可导。
6、导数的定义:lim∆x →0f (x +∆x )-f (x )=f '(x )∆x x →x 0limf (x )-f (x 0)=f '(x 0)x -x 07、复合函数求导:df [g (x )]=f '[g (x )]•g '(x )dx例如:y =x +x ,y '=2x =2x +12x +x 4x 2+x x1+18、隐函数求导:(1)直接求导法;(2)方程两边同时微分,再求出dy/dxx 2+y 2=1,2x +2yy '=0⇒y '=-例如:解:法(1),左右两边同时求导xy dy x法(2),左右两边同时微分,2xdx +2ydy ⇒=-dx y9、由参数方程所确定的函数求导:若⎨⎧y =g (t )dy dy /dt g '(t )==,则,其二阶导数:dx dx /dt h '(t )⎩x =h (t )d (dy /dx )d [g '(t )/h '(t )]d y d (dy /dx )dt dt ===2dx dx dx /dt h '(t )210、微分的近似计算:f (x 0+∆x )-f (x 0)=∆x •f '(x 0)例如:计算sin 31︒11、函数间断点的类型:(1)第一类:可去间断点和跳跃间断点;例如:y =sin x(x=0x是函数可去间断点),y =sgn(x )(x=0是函数的跳跃间断点)(2)第二类:振荡间断点和无穷间断点;例如:f (x )=sin ⎪(x=0是函数的振荡间断点),y =数的无穷间断点)12、渐近线:水平渐近线:y =lim f (x )=cx →∞⎛1⎫⎝x ⎭1(x=0是函x 铅直渐近线:若,lim f (x )=∞,则x =a 是铅直渐近线.x →a斜渐近线:设斜渐近线为y =ax +b ,即求a =lim x →∞f (x ),b =lim [f (x )-ax ]x →∞x x 3+x 2+x +1例如:求函数y =的渐近线x 2-113、驻点:令函数y=f(x),若f'(x0)=0,称x0是驻点。
一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (9)9、函数的极限 (10)10、函数极限的运算规则 (12)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。
集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。
比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A B(或B A)。
⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。
⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作,并规定,空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论:①、任何一个集合是它本身的子集。
北师版《梯形》说课稿第一课时
梯形第一课时说课稿
——北师大版数学八年级上册说课稿
各位老师:大家好,今天我将从教材分析,教法、学法的选择,教学目标的确定,教学程序几个方面说明自已的教学设想。
教材的地位与作用:
在八年级上学期的第四章平行四边形其后我们与梯形不期而遇。
以往经验告诉我许多学生认为梯形是平行四边形的一种,那幺刚刚学过的平行四边形对马上要展开的梯形的学习有什幺帮助?反之学了梯形对四边形的进一步理解又有何作用?其实从知识结构看如果把四边形看作一树干,那幺这二者是两个树叉,而且它们又各有自已的分枝。
从知识之间的联系上来看梯形是平行四边形与三角形知识的整合,在探索它的概念、性质、基本本辅助线的过程中体现了化归的思想。
从这节在本章节的作用上看,它对整章节教学起承上启下的作用。
通过类比的思想方法循序渐进地为学生呈现出要探索的问题,符合辩证法认识事物的规律。
一、教学目标与重点:
教学目标:1、经历探索掌握梯形的有关概念,性质和五种基本辅助线。
初步体会平移,轴对称的有关知识在研究梯形性质中的运用。
2、在简单的操作活动中发展学生的说理意识,主动探讨的习惯。
3、让学生们体会数学活动充满着思考与创造的乐趣,体验与同学合作交流的愉悦。
教学重点:本节分成三个层次1、介绍梯形的概念,认识梯形的相关底,。
第2章第2章 导数与极限(一)极限1. 概念(1)自变量趋向于有限值的函数极限定义(δε-定义) Ax f ax =→)(l i m ⇔0>∀ε,0>∃δ,当δ<-<||0a x 时,有ε<-|)(|A x f 。
(2)单侧极限左极限: =-)0(a f Ax f a x =-→)(lim ⇔0>∀ε,0>∃δ,当δ<-<x a 0时,有ε<-|)(|A x f 。
右极限: =+)0(a f Ax f a x =+→)(lim ⇔0>∀ε,0>∃δ,当δ<-<a x 0时,有ε<-|)(|A x f 。
(3)自变量趋向于无穷大的函数极限定义1:0,0>∃>∀X ε,当X x >,成立()ε<-A x f ,则称常数A 为函数()x f 在x趋于无穷时的极限,记为()Ax f x =∞→lim 。
A y =为曲线()x f y =的水平渐近线。
定义2:00>∃>∀X ,ε,当X x >时,成立()ε<-A x f ,则有()Ax f x =+∞→lim 。
定义3:00>∃>∀X ,ε,当X x -<时,成立()ε<-A x f ,则有()A x f x =-∞→lim 。
运算法则:1) 1) 若()A x f =lim ,()∞=x g lim ,则()()[]∞=+x g x f lim 。
2) 2) 若()()∞≠=但可为,0lim A x f ,()∞=x g lim ,则()()∞=∙x g x f lim 。
3) 3) 若()∞=x f lim ,则()01lim=x f 。
注:上述记号lim 是指同一变化过程。
(4)无穷小的定义0>∀ε,0>∃δ,当δ<-<||0a x 时,有ε<|)(|x f ,则称函数)(x f 在a x →时的无穷小(量),即 0)(lim =→x f ax 。
高等代数复习:1、函数(1)函数的定义域(2)求函数的值域或已知函数关系求F(x)(3)函数态性:奇偶性、周期性、对称性等判别(4)单调性:定义法、导数判别法2、极限:先判别是什么类型的――0×0,∞-∞型等(1)化简:因式分解、分母有理化、恒等变形(2)重要极限(3)无穷小量代换:只能是代换因式(4)洛必达法制:只能保证分子分母的函数项可导的情况下(5)对数换底公式:0^0,∞^0,1^∞型(6)泰勒公式:当用洛必达法则使计算复杂时,0/0型(7)数列极限和函数极限的关系(8)左右极限法:分段点处或是有绝对值(9)单调有界:第一步证单调;第二步证有界;第三步求解(10)夹逼定理(11)利用积分定义:有数列是(12)确定极限中的常数(13)极限、导数、积分、级数、微分方程的综合应用3、连续;(1)讨论间断点类型(2)利用连续性求常数4、导数与微分(1)利用导数的定义、导数存在的充要条件及周期性、奇偶性结论(2)函数在某点处的切线及法线方程(3)复合函数求导(4)分段函数求导;左右导数的定义(5)含绝对值函数的求导:第一步去绝对值;第二步求导(6)含参数方程求导(7)隐含数方程求导:直接求法,公式法,微分法(8)对数微分法(9)求高阶导数5、中值定理与导数的应用(1)函数性态的判别:a)选择题1)极值:与极限保号性、微分方程、泰勒公式结合2)拐点3)单调性b)计算题1)求极值、拐点2)函数作图判别3)最值及其应用(2)方程根的证明a)至少有一个根b)有且仅有一个根c)至少有几个根:单调区间法d)有且仅有几个根(3)不等式的证明a)两边为函数:用单调性、极值、凹凸性b)两边为常数:用单调性、微分中值定理c)高阶导数:用泰勒公式d)利用凹凸性定义e)反证法6、不定积分(1)凑分法:e^x,sinx,符合求导公式形式(2)换元法(3)分部积分法(4)分段函数积分:主要讨论存在间断点的情况(5)递推公式法:换元来实现寻找其中的关系7、定义分(1)估计定积分值(2)求极限(3)求反常积分(4)求定积分:充分利用对称性,周期性(5)证明题:等式、不等式、方程根的证明8、定积分的应用(1)面积、弧长、体积的计算(2)物理应用:变力做功、液压、引力等9、空间解析几何与向量代数(1)向量代数的有关计算(2)求旋转面方程(3)求柱面方程(4)投影方程(5)求平面方程(6)求直线方程(7)综合题10、多元函数微分及其应用(1)方向导数、梯度、偏导、全微分、连续(2)求复合函数、隐函数的偏导(3)求曲线积分的切线、法平面;曲面的法线、切平面(4)求显函数、隐函数、条件极值(5)几何物理上的最值应用11、重积分(1)计算(2)应用(3)证明12、曲线积分与曲面积分(1)计算(2)应用13、无穷级数(1)正数项级数收敛性:比较、比值、根植(2)交错级数收敛性:莱氏定理;S2n与S2n+1的关系(3)常数项级数收敛性:绝对收敛;收敛的必要条件(4)幂级数收敛域、收敛半径、求和、函数的运算(5)傅立叶级数的概念相关填空、选择(6)选择题用举反例为为最佳选择方法哦(7)幂级数、傅立叶级数的展开14、微分方程(1)常规一阶、二阶、高阶、可降阶微分方程的求解;波努力方程、欧拉方程求解(2)几何物理,经济上的应用(3)综合题a)与方程根的结合b)与极值、最值、单调性结合c)与定积分结合d)与重积分结合e)与不等式结合线性代数:请参加附录线性代数概念.doc即可!!!与高等代数的结合:用方程组的形式出现概率论及数理统计:随机变量函数分布求法::定义法;公式法;全概率公式法数字特征的求解置信区间的求解,及对置信度的理解。
高数一(微积分)总复习笔录
可能考的知识点:
第一章:函数及其图形
(一)对于定义域的求法:
形如y=1/f(x),要求f(x)不等于0
对于根号f(x),要求f(x)大于等于0
对于Y=logf(x),要求f(x)大于0
对于y=arccosf(x)或y=arcsinf(x),要求f(x)大于等于负1,小于等于正1.
*值域:以定义域带进去求。
(二)判断函数的奇偶性:
奇函数:f(-x)=-f(x),关于原点对称;
偶函数:f(-x)=f(x),关于Y轴对称。
(1)两个偶函数之和或差是偶函数,两个奇函数之和或差是奇函数;
(2)两个偶函数或两个奇函数之积或商是偶函数;
(3)一个奇函数与一个偶函数之积或商是奇函数。
(三)复合函数的分解:
(四)反函数的求法:把x 从y=f(x)中反解出来即可。
* (五)经济学中常用的函数:
(1)需求函数:D=(a-P)/b;D=(a-P^2)/b;
(2)供给函数:S=aP-b;S=(aP-b)/(cP+d)。
(3)总收益函数。
(4)总成本函数:总成本=固定成本+可变成本。
(5)总利润函数:
第二章极限与连续
(一)收敛数项级数的极限计算:
1、当等比级数的公比的绝对值小于1时收敛,其和为a/(1-q);当大于1时发散;
2、荚逼定理:;
3、单调上升有上界(或单调下降有下界)的数列必有极限。
(二)函数极限:
1、定理:当x->x`时函数f(x)以A为极限的充分必要条件是f(x)在x`的左、右极限都存在并均为A。
2、极限的四则运算法则:
(三)利用无穷小量与无穷大量的运算法则求极限:
1、无穷小量:无穷小量的和、差、积也都是无穷小量。
有界变量与无穷小量的积为无穷小量。
2、两个无穷小量相除:a/b趋于0,a是比b高阶的无穷小,a趋于0的速度比b 快;
(四)利用无穷小量与无穷大量的关系求极限:
(五)利用两个重要极限求极限:
(六)利用函数的连续性求极限:
函数在一点处连续,要求在这一点有定义,函数的极限存在,并且相等.
(七)利用等价无穷小的代换求极限:
(八)连续函数的运算和初等函数的连续性:
1、连续函数的和、差、积、商仍是连续函数;
2、设函数在区间上是单调的连续函数,则其值域是一个区间,且它的反函数是区间上的单调连续函数;
3、闭区间上的连续函数必有界;
4、最值定理:闭区间上的连续函数必有最大值和最小值;
5、零点定理:设f(x)是[a,b]上的连续函数,且f(a),f(b)异号,则函数f(x)在(a,b)中至少有一个零点;
6、介值定理:闭区间上的连续函数必能取得它在区间上的最大值和最小值之间的任何值。
7、闭区间上的连续函数不一定能取到最大值,最小值。
(九)函数的间断点:
1、函数的左、右极限都存在的间断点为第一类间断点;
2、函数的左、右极限至少有一个极限不存在的点为第二类间断点;
第三章一元函数的导数与微分
(一)基本求导公式:
导数的求法:
1、利用导数的定义求导:
2、导数的四则运算法则:
3、复合求导法则:
4、对数求导法则:
5、隐函数求导法则:
(二)反函数求导法则:
(三)高阶导数:
(四)基本微分公式与微分法则:
(五)切线方程:
(六)弹性函数:
第四章微分中值定理和导数的应用
(一)利用洛必达法则求未定式。
(二)用导数分析函数的单调性:
1、函数单调性判定法:导数>0时单调增加;导数<0时单调减少。
2、求出F(x)的驻点和不可导点,在若干小区间上判定单调性。
(三)曲线的凹凸性判别方法:
f(x)的二阶导数大于0,则曲线是凹的;
f(x)的二阶导数小于0,则曲线是凸。
(四)函数的极值
求函数极值的步骤:
1、求函数f(x)导数;
2、求f(x)的导数=0的点(驻点)以及不存在的点;
3、考虑每一极值点两侧的符号。
4、极值的第二判别法:二阶导数小于零,是极大值,大于零是极小值。
(五)函数的最值
就是极值中最小的或最大的值。
(六)拐点
凹凸分界点。
(七)曲线的渐近线
y=b是水平渐近线;y=a竖直渐近线
第五章一元函数积分学
(一)基本积分公式:
(二)利用基本积分公式求不定积分:
1、凑微分法(第一积分法);
2、第二换元法
3、分部积分法:
(三)一阶线性微分议程:
齐次线性方程dy/dx+P(x)y=0的通解为:
(C为任意常数);
非齐次线性方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的通解为:
(C为任意常数);
解题步骤:
(四)定积分的基本定理、性质及其计算:
A、函数f(x)在区间[a,b]上可积的必要条件是f(x)在[a,b]上有界;
B、如果f(x)是[a,b]上的连续函数,则它在[a,b]上可积;
C、如果f(x)在[a,b]上有界,且在[a,b]上除有限个间断点外连续,则f(x)在[a,b]上可积。
(五)定积分的性质:
(六)牛顿-莱布尼茨公式:
(七)利用定积分计算旋转体体积:
(八)利用定积分计算平面图形的面积:
1、着先把平面图形画出来;求出曲线的交点;
2、然后决定积分上限、下限,同时确定被积函数,列出定积分;
3、最后计算定积分。
4、由边际函数求总函数:
(九)无穷限反常积分:。