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(完整版)高等数学笔记第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1。

函数的定义: y=f(x ）， x ∈D定义域： D(f ）, 值域: Z(f ）。

2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3。

隐函数： F(x,y ）= 04。

反函数： y=f （x) → x=φ(y ）=f —1(y ）y=f -1(x)定理:如果函数: y=f （x), D （f ）=X ， Z （f ）=Y 是严格单调增加（或减少）的； 则它必定存在反函数：y=f —1（x)， D （f —1）=Y, Z （f —1)=X 且也是严格单调增加（或减少）的。

㈡ 函数的几何特性1。

函数的单调性： y=f （x ），x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2)，则称f(x ）在D 内单调增加（ )；若f （x 1)≥f(x 2），则称f(x)在D 内单调减少( );若f(x 1）＜f （x 2)，则称f （x)在D 内严格单调增加( ）；若f(x 1)＞f （x 2)，则称f(x)在D 内严格单调减少（ ).2。

函数的奇偶性：D(f ）关于原点对称 偶函数：f(—x ）=f （x) 奇函数：f （-x ）=-f （x ） 3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x ）, x ∈(-∞，+∞) 周期：T-—最小的正数4。

函数的有界性: |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数1。

常数函数： y=c ， (c 为常数）2.幂函数： y=x n， （n 为实数）3.指数函数: y=a x， （a ＞0、a ≠1） 4.对数函数： y=log a x ,（a ＞0、a ≠1） 5。

三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6。

反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x ， y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1。

高一数学学霸笔记整理
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一、直线、圆、抛物线
（1）过点斜率为m的直线方程：y-y1=m(x-x1)
（2）过定点共线直线方程：Ax+By+C=0；A=y2-y1,B=x1-x2,C=x2y1-x1y2
（3）过定点切点直线方程：y-y1=m(x-x1)
（4）双点汇聚直线方程：y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1
（5）圆心坐标：（a,b）半径r的圆的标准方程：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2
（6）抛物线General Equation：y=ax^2+bx+c
二、不等式
（1）不等式的几何意义：
不等式表达式可以用几何形象表示，由于不等式右边或左边的算式可能带有一个系数，使得整个不等式可能反映出点，直线或曲线等几何形状，因此，不等式也有其几何意义。

（2）不等式的一般解法：
1、将不等式完全分解，分别求解各单一未知数的正解及负解；
2、将正解及负解按给定的不等式选择条件合并成一个区间或分类集合；
3、将收集的区间或集合合并成一个完整的未知数的全部正确的解答。

三、函数
（1）函数的定义：
一个变量扮演自变量，另一个变量扮演应变量，若将第一个变量对各可能取值进行及时多次实验，并分别测得每次实验第二个变量的取值得到的资料，把这种变量（变量组）既定关系叫做函数。

（2）常见函数
1、线性函数，标准方程为 y=kx+b;
2、二次函数，标准方程为y=ax^2+bx+c;
3、三次函数，标准方程为y=ax^3+bx^2+cx+d;
4、反比例函数，标准方程为y=k1/x与y=k2x的组合；
5、指数函数，标准方程为y=ab^x；
6、对数函数，标准方程为y=logax与y=log_abx的组合。

一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (9)9、函数的极限 (10)10、函数极限的运算规则 (12)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。

集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。

如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。

记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。

记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。

记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。

记作R。

集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。

集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。

⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。

⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。

⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。

记作，并规定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。

高等数学（上)重要知识点归纳第一章 函数、极限与连续一、极限的定义与性质 1、定义（以数列为例）,,0lim N a x n n ∃>∀⇔=∞→ε当N n >时，ε<-||a x n2、性质(1） )()()(lim 0x A x f A x f xx α+=⇔=→,其中)(x α为某一个无穷小。

（2)（保号性）若0)(lim 0>=→A x f xx ,则,0>∃δ当),(0δx U x o∈时，0)(>x f 。

（3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。

二、求极限的主要方法与工具 1、＊两个重要极限公式 (1)1sin lim=∆∆→∆ （2)e =◊+◊∞→◊)11(lim 2、两个准则 （1） ＊夹逼准则 （2)单调有界准则 3、＊等价无穷小替换法常用替换：当0→∆时（1)∆∆~sin (2)∆∆~tan(3)∆∆~arcsin (4)∆∆~arctan（5）∆∆+~)1ln( （6）∆-∆~1e （7）221~cos 1∆∆- （8）nn ∆-∆+~114、分子或分母有理化法5、分解因式法 6用定积分定义 三、无穷小阶的比较＊ 高阶、同阶、等价1、连续的定义＊)(x f 在a 点连续)()()()()(lim 0lim 0a f a f a f a f x f y ax x ==⇔=⇔=∆⇔-+→→∆2、间断点的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧其他震荡型（来回波动））无穷型（极限为无穷大第二类但不相等）跳跃型（左右极限存在可去型（极限存在）第一类 3、曲线的渐近线*ax x f A y A x f ax x =∞===→∞→则存在渐近线：铅直渐近线：若则存在渐近线：水平渐近线：若,)(lim )2(,)(lim )1(五、闭区间连续函数性质 1、最大值与最小值定理 2、介值定理和零点定理第二章 导数与微分一、导数的概念 1、导数的定义＊a f x f a f x a f y dy a f y ax x x a x a x -=-∆+=∆=='='→→∆→∆==)()(lim )()(lim lim |)(|002、左右导数 左导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='--→→∆-)()(limlim)(0 右导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='++→→∆+)()(limlim)(03、导数的几何意义＊k a f a x f y a x 处的切线斜率在点（曲线))(,)(|='=4、导数的物理意义加速度）速度）则若运动方程：()()()(,)(()()(t a t v t s t v t s t s s ='=''='= 5、可导与连续的关系： 连续，反之不然。

第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。

㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。

2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限:A ynn =∞→lim 称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界. 2.函数的极限：⑴当∞→x 时，)(x f 的极限：A x f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim ⑵当0x x→时，)(x f 的极限：A x f xx =→)(lim 0左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件： 定理：A x f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim㈡无穷大量和无穷小量 1．无穷大量：+∞=)(limx f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。

一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (9)9、函数的极限 (10)10、函数极限的运算规则 (12)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。

集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。

如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。

记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。

记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。

记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。

记作R。

集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。

集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。

⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。

⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。

⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。

记作，并规定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。

高数重点知识总结1、基本初等函数： 反函数 (y=arctanx)，对数函数 (y=lnx) ，幂函数 (y=x) ，指数函数 ( y a x )，三角函数 (y=sinx) ，常数函数 (y=c) 2、分段函数不是初等函数。

3、无量小：高阶 +低阶 =低阶比方： limx 2x lim x 1xxx 0x(1)limsin x11 x4、两个重要极限： 1(2) lim 1 x xe lim 1ex 0xx 0x xx 0 , f ( x) 0, g( x)f ( x)g ( x) lim f ( x) g (x)经验公式：当 x， lim 1ex x 0xx 01lim3xxe 3比方： lim 1 3x xe x 0x 05、可导必然连续，连续未必可导。

比方： y | x |连续但不可以导。

6、导数的定义： limf (xx) f ( x)f '( x)lim f (x)f (x 0 )f ' x 0x 0xxx 0xx 07、复合函数求导： df g( x)f ' g( x) ? g'( x)dx112 x2 x 1比方： yxx , y'2 xx4 x 2x x8、隐函数求导： (1)直接求导法； (2)方程两边同时微分，再求出dy/dxx 2 y 2 1比方： 解：法 (1), 左右两边同时求导 , 2x 2 yy' 0 y'xy法( 2), 左右两边同时微分 ,2xdx 2 ydy dy xdx y9、由参数方程所确定的函数求导： 若yg(t) ，则 dy dy / dtg '(t)，其二阶导数：xh(t)dxdx / dth'(t)d 2 y d dy / dxd (dy / dx)d g' (t ) / h'(t )dt dtdx 2dxdx / dth' (t )10、微分的近似计算： f ( x 0 x) f ( x 0 )x ? f '( x 0 ) 比方：计算 sin 3111、函数中止点的种类： (1) 第一类：可去中止点和跳跃中止点；比方：y sin x （ x=0x 是函数可去中止点） ， y sgn(x) （x=0 是函数的跳跃中止点）(2) 第二类：振荡中止点和无量中止点；比方：f ( x) sin1 （x=0 是函数的振荡中止点） ， y 1（x=0 是函xx数的无量中止点） 12、渐近线：水平渐近线： ylim f (x)cx铅直渐近线： 若，lim f ( x)，则 x a 是铅直渐近线 .x a斜渐近线： 设斜渐近线为 yax b, 即求 a limf ( x), b lim f ( x)axxxx比方：求函数 yx3x 2x 1的渐近线x 2113、驻点：令函数 y=f(x) ，若 f'(x0)=0 ，称 x0 是驻点。

高一数学学霸笔记纯手写高一数学学霸笔记一、函数1. 定义：函数是一种将一个集合（称为“定义域”）中的每个元素映射到另一个集合（称为“值域”）中的元素的规则。

2. 函数的表示方法：常用的表示方法有函数表达式、函数图象和函数关系式。

3. 常见函数的类型：- 一次函数：y = ax + b，其中 a 和 b 为常数，a ≠ 0。

- 二次函数：y = ax² + bx + c，其中 a、b 和 c 为常数，a ≠ 0。

- 幂函数：y = xⁿ，其中 n 为整数。

- 指数函数：y = aˣ，其中 a 为正数且不等于 1。

- 对数函数：y = logₐx，其中 a 为正数且不等于 1。

- 三角函数：sin(x)、cos(x)、tan(x) 等。

4. 函数的特性：- 奇偶性：若对任意 x，有 f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数；若对任意 x，有 f(-x) = f(x)，则函数为偶函数。

- 单调性：若对任意 x₁ < x₂，有 f(x₁) < f(x₂)，则函数为严格单调递增；若对任意 x₁ < x₂，有 f(x₁) > f(x₂)，则函数为严格单调递减。

- 周期性：若存在正数 T，使得对任意 x，有 f(x+T) = f(x)，则函数具有周期 T。

二、数列1. 数列定义：数列是按照一定顺序排列的一串数。

2. 等差数列：数列中的相邻两项之差相等，称为等差数列。

- 通项公式：aₙ = a₁ + (n-1)d，其中 aₙ 为第 n 项，a₁为首项，d 为公差。

- 前 n 项和公式：Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2，其中 Sₙ 为前 n 项和。

3. 等比数列：数列中的相邻两项之比相等，称为等比数列。

- 通项公式：aₙ = a₁r^(n-1)，其中 aₙ 为第 n 项，a₁为首项，r 为公比。

- 前 n 项和公式：Sₙ = a₁(rⁿ - 1)/(r - 1)，其中 Sₙ 为前n 项和。

导数与极限（一）极限 1. 概念（1）自变量趋向于有限值的函数极限定义（δε-定义） Ax f ax =→)(lim ⇔0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<||0a x 时，有ε<-|)(|A x f 。

（2）单侧极限左极限： =-)0(a f Ax f a x =-→)(lim ⇔0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<x a 0时，有ε<-|)(|A x f 。

右极限： =+)0(a f Ax f a x =+→)(lim ⇔0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<a x 0时，有ε<-|)(|A x f 。

（3）自变量趋向于无穷大的函数极限定义1：0,0>∃>∀X ε，当X x >，成立()ε<-A x f ，则称常数A 为函数()x f 在x 趋于无穷时的极限，记为()Ax f x =∞→lim 。

A y =为曲线()x f y =的水平渐近线。

定义2：00>∃>∀X ，ε，当X x >时，成立()ε<-A x f ，则有()Ax f x =+∞→lim 。

定义3：00>∃>∀X ，ε，当X x -<时，成立()ε<-A x f ，则有()A x f x =-∞→lim 。

运算法则：1) 1) 若()A x f =lim ，()∞=x g lim ，则()()[]∞=+x g x f lim 。

2) 2) 若()()∞≠=但可为,0lim A x f ，()∞=x g lim ，则()()∞=•x g x f lim 。

3) 3) 若()∞=x f lim ，则()01lim=x f 。

注：上述记号lim 是指同一变化过程。

（4）无穷小的定义0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<||0a x 时，有ε<|)(|x f ，则称函数)(x f 在a x →时的无穷小（量），即 0)(lim =→x f a x 。

学霸笔记————浙江省专升本《高等数学》复习全书赵伟良著不懂事长编学霸笔记——《高等数学》不懂事长的话不懂事长的话专升本培训班流行一句话“上线靠数学，二本靠英语”，主要是因为数学在专升本考试中是提升最快的一门课程。

经过赵伟良老师的8个多月的悉心辅导，小编从开始的15分考到70分，到考前模拟的99分，到4月15号正式考试的110分，衷心感谢赵伟良老师上课时候的学霸笔记。

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学霸笔记是根据赵伟良老师给2018届专升本考生的上课笔记整理而成，符合《浙江省普通专升本考试高等数学考试大纲》及本科教育对数学基础的基本要求，含浙江省历年考试真题及经典题型。

尽管小编在整理笔记的时候倾注的很多心血，在新增题型方面也做出了努力，但由于小编能力实在有限，笔记整理中难免有疏漏之处，请各位学弟学妹见谅，也希望学弟学妹可以对学霸笔记的完善提出宝贵的意见和建议，以便小编在第二版学霸笔记中完善。

不懂事长2018年5月学霸笔记——《高等数学》目录目录第1章函数、极限与连续 (3)1.1 函数的概念与性质 (3)1.1.1函数定义域的求法 (3)1.1.2函数的性质 (4)1.1.3反函数 (6)1.1.4基本初等函数 (6)1.1.5复合函数 (7)1.1.6初等函数 (8)1.2极限 (9)1.2.1数列的极限 (9)1.2.2函数的极限 (9)1.2.3极限的计算 (9)1.2.4无穷小与无穷大 (14)1.3连续 (16)1.3.1连续 (16)1.3.2间断点 (16)1.3.3闭区间上连续函数的性质 (20)学霸笔记——《高等数学》 第1章 函数、极限与连续3第1章 函数、极限与连续1.1 函数的概念与性质1.1.1 函数定义域的求法1. 分母≠02. 偶次方根被开方数≥03. 对数y =log a x （a >0且a ≠1），真数x >04 反正弦arcsin x反余弦arccos x |x |≤1或−1≤x ≤15 正切 y =tan x （x ≠kπ+π2） k ∈z （正整数）余切 y =cot x （x ≠kπ）6. 分段函数 各段函数的并集例1：求y =log x x−2+arccos 5x−13的定义域y =log x x −2+arccos 5x −13∴x x−2>0 ，x −2≠0 ，−1≤5x−13≤1 ∴x (x −2)>0，−3≤5x −1≤3 ，−2≤5x ≤4∴x <0或x >2 ，x ≠2 ，−25≤x ≤45∴−25≤x <0∴[−25，0)例2：y =log x+14−x 2的定义域y =log x+14−x 2∴{x +1>0x +1≠14−x 2>0 → {x >−1x ≠0−2<x <2∴D =(−1,0)∪(0,2)学霸笔记——《高等数学》 第1章 函数、极限与连续4例3：y =11+11+1x的定义域{11+1x≠−11+1x ≠0x ≠0→ {1x ≠−21x≠−1x ≠0→ {x ≠−12x ≠0x ≠−1∴D =(−∞,−1)∪(−1,−12)∪(−12,0)∪(0,+∞)例4：f (x )={x −1 ,x <0x ,x =0x +1 ,x >0的定义域为 R 或 (−∞，+∞)例5：设f (x )的定义域为[0，1] φ(x )=ln x −1则复合函数f [φ(x )]的定义域为 [e ，e 2]例6：设f (x )的定义域为[0，2a ]，则f (x +a )的定义域为 [−a ，a ]则f (x +a )+f (x −a 2)的定义域为 [ a2，a ]1.1.2 函数的性质1 单调性{x 1 <x 2 ,f(x 1 )<f (x 2 )，则f (x )单调递增，即f ′(x )>0x 2<x 2 ,f(x 1 )>f (x 2 )，则f (x )单调递减，即f ′(x )<0注意：1）复合函数f [φ(x )]的单调性：同增异减2）单调函数的反函数也是单调的，且单调性相同2 奇偶性（定义域关于原点对称）且{f (−x )< f (x )，偶函数，关于y 轴对称f (−x )<−f (x )，奇函数，关于原点对称注意：奇＋奇=奇 奇×奇=偶 偶＋偶=偶 偶×偶=偶 奇＋偶=非奇非偶学霸笔记——《高等数学》 第1章 函数、极限与连续5例：判断函数f (x )=ln(x +√1−x 2)的奇偶性f (x )=ln (x +√1−x 2)f (−x )=ln (−x +√1−(−x )2)=ln [(√1+x2−x)(√1+x 2+x)√1+x 2+x]=1√1+x 2+x=ln (√1+x 2+x)−1=−ln (√1+x 2+x)=−f (x )∴f (x )=ln(x +√1−x 2)为奇函数3 周期性f (x +T )=f (x ) T 为最小正周期注意：1）y =A sin (ωx +φ) ,T =2πω y =A cos (ωx +φ) ,T =2πω2) y =A tan (ωx +φ) ,T =πωy =A cot (ωx +φ) ,T =πω例：若y =3+4sin π3x ，则T=6若y =sin π3+cos π4，则T=24π4 有界性∀x ∈I ，∃M >0，s.t |f (x )|≤M 则f (x )在I 上有界例：|sin x |≤1|cos x |≤1 |arcsin x |≤π2 0≤arccos x ≤π |arctan x |<π2 0<arccot x <π学霸笔记——《高等数学》 第1章 函数、极限与连续61.1.3 反函数y =f (x ) 反解→ x =φ(x )习惯上→ y =φ(x )→ y =f −1(x )y =f (x )与y =f −1(x )关于直线y =x 对称例1：求y =√x −1的反函数y =√x −1 ∴y 2=x −1 ∴x =1+y 2∴反函数为y =1+x 2 ，x ∈[0，+∞)例2：求y =ln (x +√1+x 2)的反函数y =ln (x +√1+x 2)∴e y =x +√1+x 2 ——① 令f (x )=ln (x +√1+x 2)∴f (−x )=ln (−x +√1+(−x )2)=−f (x )即−y =ln (−x +√1+(−x )2) ∴e −y =−x +√1+(−x )2——② ∴①−②=e y −e −y =2x∴x =e y −e −y2∴所求反函数为y =e x −e −x21.1.4 基本初等函数1 幂函数 y =x u2 指数函数 y =a x3 对数函数 y =log a x学霸笔记——《高等数学》 第1章 函数、极限与连续74 三角函数 正弦sin x 正割sec x =1cos x余弦cos x 余割csc x =1sin x正切tan x 余切cot x注意：平方关系{sin 2x +cos 2x =1tan 2x +1=sec 2x cot 2x +1=csc 2x二倍角{cos 2x =cos 2x −sin 2x =2cos 2x −1=1−2sin 2x sin 2x =2sin x cos x5 反函数 arcsin x 与 sin x 互为反函数 arccos x 与 cos x 互为反函数 arc tan x 与 tan x 互为反函数 arc cot x 与 cot x 互为反函数1.1.5 复合函数y =f (u )，u =φ(x )，则y =f [φ(x )]例1：分解y =cos 2[ln (x 2−1)]y =u 2 ,u =cos v , v =ln w ,w =x 2−1例2：若f (x )=x 2 ，g (x )=2xf [g (x )]=4xg [f (x )]=2x 2f [f (x )]=x 4例3：若f (x )={1，|x |≤10，x >1则f [f (x )]= 1f (x )={1，|x |≤10，x >1∴f [f (x )]={1，|f (x )|≤10，f (x )>1= 1学霸笔记——《高等数学》第1章函数、极限与连续1.1.6初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算（加减乘除）及有限次复合，并且能用一个式子表示的函数的函数8学霸笔记——《高等数学》 第1章 函数、极限与连续91.2 极限1.2.1 数列的极限lim n→∞U n =A 或U n →A (n →∞)1.2.2 函数的极限lim n→∎f(x)=A 或f(x)→A (n →∎)1.2.3 极限的计算1 lim x→x 0f (x )=f(x 0) 直接代入（x 0有意义）20 0型a ）分解因式 约分例：lim x→1x 2−1x−1=lim x→1(x−1)(x+1)x−1=lim x→1x +1=2b )有理化例：lim √x 2−3−2=lim x→1(√x 2−3+2)(√x 2−3−2)(√x 2−3+2)=lim x→1(x−1)(√x 2−3+2)x−1=lim x→1√x 2−3+2=4c )用第一重要极限公式lim ∎→0sin ∎∎=1例：lim x→0sin 4x 3x =lim x→0sin 4x 4x ×43=43学霸笔记——《高等数学》 第1章 函数、极限与连续10d ）洛必达法则lim x→∎f (x )g (x )=lim x→∎f ′(x )g ′(x ) =lim x→∎f ′′(x )g ′′(x )例：lim x→0sin 4x 3x=lim x→04cos 4x3=43e ）用等价无穷小替换sin x ~x tan x ~x arcsin x ~x arctan x ~x ln (1+x )~xe x −1~x 1−cos x~12x 2 √1+x n−1~1n x例：lim x→0e x −1sin x =lim x→0e xcos x =1（洛必达法则） =lim x→0xx =1（等价无穷小）3∞ ∞型a ）分子分母同除以最快无穷大例1：lim x→∞3x 2−4x 2x 2+1=lim x→∞3−4x 2+1x2=32例2：lim x→∞3n +4n10n +2n =lim x→∞(310)n +(25)n 1+(15)n =0b ）利用结论limx→x 0a 0x m+⋯+a m b 0x n +⋯+b n ={∞ ,m >n a 0b 0,m =n 0 ,m <n学霸笔记——《高等数学》 第1章 函数、极限与连续11c ）洛必达法则lim x→∎f (x )g (x )=lim x→∎f ′(x )g ′(x ) =lim x→∎f ′′(x )g ′′(x )例：lim x→+∞x 2ln x =lim x→+∞2x1x=lim x→+∞2x 2=+∞4 0∙∞ 型 转化为⇒ 0型 或 ∞∞型例1：lim x→0+x ∙ln x =lim x→0+ln x1x=limx→0+1x−1x 2=lim x→0+−x =0例2：lim x→0x ∙cot x =lim x→0xtan 2x =lim x→0x2sec 22x =12例3：lim x→0x 2∙e1x 2=lim x→0e 1x 21x 2=lim x→0−2x −3∙e 1x 2−2x −3=+∞5 ∞−∞ 型 转化为⇒ 0型 或 ∞∞型(通分或有理化)例1：lim x→1(1x−1−1x 2−1)=lim x→1xx 2−1=∞例2：lim x→+∞(√x 2+x −x)=lim x→+∞[(√x 2+x−x)(√x 2+x+x)(√x 2+x+x)]=limx √x 2+x +x=lim1√1+1x+1=12学霸笔记——《高等数学》 第1章 函数、极限与连续126 1∞ 型a ）利用第二重要极限公式 (1+0)∞变形⇒ lim x→0(1+x )1x=e变形⇒ lim ∎→0(1+∎)1∎=e变形⇒ lim ∎→∞(1+1∎)∎=e例1：lim x→0(1+4x )32x=lim x→0(1+4x )14x×6=lim x→0[(1+4x )1x]6=e 6例2：lim x→∞(x−1x+1)2x=lim x→∞(1−2x+1)2x=lim x→∞(1−2x+1)−x+12×(−4)−2=lim x→∞(1−2x +1)−x+12×(−4)∙lim x→∞(1−2x +1)−2=e −4b ）利用对数恒等式1∞=e ln 1∞=e ∞ ∙ ln 1=e ∞ ∙ 0转化为⇒ 00型 或 ∞∞型例：lim x→0(cos x )1x=lim x→0e ln (cos x )1x=e lim x→01xln cos x=elim x→0−sin x cos x=e 07 00 型取对数恒等式的方法（见6 - b ）学霸笔记——《高等数学》 第1章 函数、极限与连续138 利用无穷小的性质无穷小×有界函数=无穷小lim x→0sin x x =1 lim x→∞sin xx =0lim x→0x ∙1sin x =1 lim x→∞x ∙sin 1x=1lim x→0x ∙sin 1x=0 lim x→∞sin ∎∎=1例：lim x→1(x −1)sin 1x−1=09 分段函数在分界点上的极限（讨论左右极限）例：设f (x )={x sin 1x ,x <0ln (1+x )x,x >0，讨论lim x→0f (x )是否存在。

常用数学公式速查手册（学霸版）V1你不是一个人在战斗！1/ 98我曾经想做一个学霸，就是差了那么一点点。

这些笔记都是网上搜集的，用了复制、粘贴、修改，公式我也记不全，用到的时候就查下吧。

赠人玫瑰，手有余香！我把笔记分享给大家。

希望对大家有所帮助。

！2017-5-22/ 98目录一、高等数学 (1)(一) 函数、极限、连续 (1)(二) 一元函数微分学 (5)(三) 一元函数积分学 (13)(四) 向量代数和空间解析几何 (20)(五) 多元函数微分学 (29)(六) 多元函数积分学 (35)(七) 无穷级数 (40)(八) 常微分方程 (47)二、线性代数 (52)(一) 行列式 (52)(二) 矩阵 (54)(三) 向量 (57)(四) 线性方程组 (60)(五) 矩阵的特征值和特征向量 (62)(六) 二次型 (63)三、概率论与数理统计 (66)(一)随机事件和概率 (66)(二)随机变量及其概率分布 (70)(三)多维随机变量及其分布 (72)(四)随机变量的数字特征 (75)(五)大数定律和中心极限定理 (78)(六)数理统计的基本概念 (79)(七)参数估计 (81)(八)假设检验 (84)3/ 98四、初等数学公式 (86)（一）平面几何 (91)4/ 98一、高等数学(一) 函数、极限、连续1/ 983/ 984/ 98(二) 一元函数微分学5/ 986/ 987/ 988/ 989/ 9810/ 9811/ 98(三) 一元函数积分学13/ 9814/ 9815/ 9816/ 9817/ 9818/ 98(四) 向量代数和空间解析几何20/ 9822/ 9823/ 9824/ 9825/ 9826/ 9827/ 981 28/ 98(五) 多元函数微分学29/ 9830/ 9831/ 9832/ 9833/ 9834/ 98(六) 多元函数积分学35/ 9836/ 9837 / 98(7)((,)(,))f x y D A D D f x y d f A ξησξη∃⎰⎰D中值定理）若在闭域上连续，为的面积，则在上至少一点（，），使=(,(8)二重积分的对称性原理(,)(,)x f x y y f x y σ⎰⎰D1）如果积分域D 关于轴对称，为的奇偶函数，则二重积分d10,(,)(,)2(,),(,)(,),D f y f x y f x y f x y d f f x y f x y σ-=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰关于为奇函数，即关于y 为偶函数，即 D D 1为在上半平面部分这个性质的几何意义见图(a)、(b)(,)y f x y x 2）如果积分域D 关于轴对称，为的奇偶函数，(,)f x y σ⎰⎰D则二重积分d20,(,)(,)2(,),(,)(,),D f x f x y f x y f x y d f x f x y f x y σ-=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰关于的奇函数，即关于为偶函数，即 D D 2为在右半平面部分(,),f x y x y 3）如果D 关于原点对称，同时为的奇偶函数，38/ 98Rd39/ 98(七) 无穷级数40/ 9841/ 9842/ 9843/ 9844/ 9845/ 9846/ 98。