15-2 薛定谔方程及其应用

z
4o r
在球坐标中
r
m
O
x
x r sin cos y r sin sin z r cos
y
1 2 1 1 2 8 2 m e2 (r ) 2 (sin ) 2 2 2 (E ) 0 2 2 r r r r sin r sin h 40 r
E1 e E m B Lz B 2m
七、薛定谔方程的应用三 补充说明：
氢原子的量子理论
（1）氢原子中电子的稳定状态，可以用一组量子数 （n, l, ml）表示，其定态波函数为 nlml (r , , )
nlml 2
（2）根据求得的氢原子电子定态波函数 nlml (r , , ) 2 就可求得电子出现在原子核周围的概率密度 (r , , )
说明：（1）能量、动量、波长量子化;
（2）无限深方势阱中粒子的每一个能量本征态 对应于德布罗意波的一个特定波长的驻波； （3）经典力学是量子力学在主量子数 极限情况。
n 的
——对应原理
六、薛定谔方程的应用二
1. 一维方势垒
一维方势垒
0, x 0, x a Ep ( x) Ep0 , 0 x a
3. 隧道效应的应用——STM
一维方势垒
六、薛定谔方程的应用二
3. 隧道效应的应用——STM
STM image of a double stranded DNA molecule.
一维方势垒
STM image of a protein.
六、薛定谔方程的应用二
3. 隧道效应的应用——STM Atomilism
1
o
2
3
x
a
六、薛定谔方程的应用二
2. 隧道效应
一维方势垒
六、薛定谔方程的应用二
一维方势垒
3. 隧道效应的应用——STM ( Scanning Tunneling Microscope)
G. Binnig
Rohrer
1981 发明STM， 1986 Nobel prize
六、薛定谔方程的应用二
2 nπ sin x , (0 x a ) a a
Ψ ( x, t ) ( x)e
i2πEt / h
五、薛定谔方程的应用一 一维方势阱
2. 由边界条件和归一化条件求解
nh , 势阱中粒子的动量： pn 2mEn 2a (n 1, 2,3,) h 2a 波长： n pn n
五、薛定谔方程的应用一 一维方势阱
2. 由边界条件和归一化条件求解 2 2 d 8π m 当 0 x a 时， 2 2 E ( x) 0
dx h
h En n , (n 1,2,3,) 能量 2 8ma 主量子数 能量本征值 波函数
2
2
(x)
本征波函数
0,
( x 0, x a)
利用分离变量法
(r , , ) R(r )( )( )
径向波函数
角波函数
七、薛定谔方程的应用三
1. 氢原子的薛定谔方程
d 2Φ 2 ml Φ 0 Φml ( ) 2 d
2
氢原子的量子理论
im 解是 Ae , 的单值性要求 ( ) ( 2 ) ml 0,1,2,
七、薛定谔方程的应用三 补充说明：
氢原子的量子理论
（3）用电子云形象地描绘电子出现在核周围的概率分布。
（a）径向波函数；（b）径向几率分布函数； Rnl 图形表示：（c）径向电荷密度函数。
今日作业
15－24，26，31，33
Lz Lz
Lz Lz
h
0
L
Lz 2h
L
Lz
h
Lz 0
h
2h
Lz
Lz 2h
h
七、薛定谔方程的应用三
氢原子的量子理论
3. 空间量子化能很好地解释正常塞曼 （P·Zeeman）效应
正常塞曼效应：一条光谱线在磁场中分裂成三条的现象。
E2 E1
e m L 2m
E2 E E2 E2 E
l
ml 1 d dΘ (sin ) Θlml ( ) 2 sin Θ sin d d 得 是勒让德方程，其解是勒让德多项式。为了使 0 和 时 Θ为有限，必须限定 l (l 1), l 0,1,2, l ml
1 d 2 dR 8π 2 mr 2 e2 Rnl (r ) (r ) (E ) 2 R dr dr h 4πε0 r 根据波函数满足单值、有限和连续的条件,可得
x i 2 (t )
2. 波函数的物理意义
复函数 （自由粒子在空间各点等概率）

Ψ 0e
i
2 ( Et px ) h
t 时刻粒子在空间某点附近体积元 dV 中出现的 概率与该处波函数绝对值的平方成正比。即
2 * dW Ψ (r , t ) dV Ψ (r , t )Ψ (r , t )dV
（角量子数）
（3）空间量子化（轨道角动量方向量子化）
h Lz ml 2
ml 0,1,2 l
（磁量子数）
n
3
z
l
取l 2，
Lz 2h
0, 1, 2
ml 0 ml 0, 1 ml 0, 1, 2
h h Lz 0, , 2 2 2 z
h L 6 2
Xenon on Nickel (110)
一维方势垒
D.M. Eigler, E.K. er. Positioning single atoms with a scanning tunneling microscope. Nature 344, 524-526 (1990).
Carbon Monoxide on Platinum (111)
概率密度
三、波函数
3. 波函数的标准条件:
a.

dxdydz 有限,可归一化。 dV 1 x , y , z
2 2
, , b. 及 连续。 x y z
c.
x y z 应为单值函数。
有限：粒子在任何地方出现的概率不能为无限大,所以必须有限, 这要求( r ,t)有限。
七、薛定谔方程的应用三
氢原子的量子理论 d 2 8π 2 m 1. 氢原子的薛定谔方程 2 ( E Ep ) ( x) 0 2 dx h 2 2 2 2 e2 8 m 2 2 2 ( E Ep ) 0 其中 Ep 2
x y z h
连续：概率不会在某处发生突变，所以要求波函数( r ,t)必须是
连续的。
单值：在某一时刻，空间某点只能有一个概率，所以波函数( r ,t)
必须单值。
四、薛定谔方程
薛定谔方程——微观粒子运动所遵循的方程 量子力学的动力学方程 薛定谔按照如下性质，由理论“构思”而来：
（1）遵循能量守恒定律； P2 在非相对论情况下， E 2m EP （2）由该方程得出的自由粒子的解满足德布罗意 假设； （3）方程是线性的（波函数可叠加）、单值解 （概率唯一）的； （4）体现因果性要求（由初始态可求解t时刻态）。
实例： 衰变
Ep ( x)
Ep 0
粒子在半径为 R 的放射
性核中势能很低，在核边界 上有一因库仑力而产生的较 高的势垒。
o
a x
六、薛定谔方程的应用二
2. 隧道效应
一维方势垒
ik1 x ik1 x d 2 1 8π 2 m 1 ( x) A1e B1e 2 E 1 ( x) 0 2 d2x h2 2 ( x) A2eik2 x B2e ik2 x d 2 8π m 2 E Ep0 2 ( x) 0 ik3 x 2 3 ( x) A3e dx h2 d 2 3 8π m 2 E 3 ( x) 0 d 1 d 2 2 dx h 2 2 dx x 0 dx x 0 1 (0) 2 (0) B1 A3 R T 1 2 2 d 3 d 2 A1 A1 2 (a) 3 (a) dx x a dx x a ( x)
Pdr Rnl r dr Θ sin d
2 2 0
π
2
2π
0
Φ d
2
由归一化条件，对于基态（n=1, l=0）：
玻尔半径 2 0h
a0 π me
在 r r dr内， Rnl (r ) r 2 P
2
5.29 10
11
m
4 3e a0

2r a0
r2
七、薛定谔方程的应用三
氢原子的量子理论
七、薛定谔方程的应用三
2. 解方程得到的主要结论 4 1 me （1）能量量子化 En 2 n 2 8 o h 2
氢原子的量子理论
n 1,2,
（主量子数）
（2）（轨道）角动量（大小）量子化
h L l (l 1) 2
l 0,1,2, (n 1)
正确与否，看其结果是否与实验相符！
四、薛定谔方程
一维运动自由粒子的含时薛定谔方程 Ep 0 2 2 p2 h Ψ h Ψ E Ek 2 i 2 2m 8π m x 2π t 在势场 Ep ( x, t ) 中一维运动粒子的含时薛定谔方程 2 2 h Ψ h Ψ 2 Ep ( x, t )Ψ i 2 8π m x 2π t 在恒定势场 Ep ( x)中一维运动粒子的定态薛定谔方程 定态：势能函数 Ep ( x)、粒子的能量 E ，粒子的概率 密度 ΨΨ * 均不随时间变化。
Iron on Copper (111)