2020高考人教数学(理)大一轮复习检测：第一章 第十节 函数与方程 Word版含解析

第1讲集合1.元素与集合(1)集合元素的性质:、、无序性.(2)集合与元素的关系:①属于,记为;②不属于,记为.(3)集合的表示方法:列举法、和.(4)常见数集及记法数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号2.集合间的基本关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A中的都是集合B中的元素x∈A⇒x∈BA⊆B或集合A是集合B的子集,但集合B中有一个元素不属于AA⊆B,∃x0∈B,x0∉AAB或B⫌A 相等集合A,B的元素完全A⊆B,B⊆A空集任何元素的集合,空集是任何集合的子集∀x,x∉⌀,⌀⊆A⌀3.集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于 A属于B的元素组成的集合{x|x∈A,x∈B}并集属于A属于B的元素组成的集合{x|x∈A,x∈B}补集全集U中属于A的元素组成的集合{x|x∈U,xA}4.集合的运算性质(1)并集的性质:A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B= ;A∪B= ⇔B⊆A.(2)交集的性质:A∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A B.(3)补集的性质:A∪(∁U A)=U;A∩(∁U A)= ;∁U(∁U A)= ;∁U(A∪B)=(∁U A)(∁U B);∁U(A∩B)= ∪.常用结论(1)非常规性表示常用数集:如{x|x=2(n-1),n∈Z}为偶数集,{x|x=4n±1,n∈Z}为奇数集等.(2)①一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集;②任何一个集合是它本身的子集;③对于集合A,B,C,若A⊆B,B⊆C,则A⊆C(真子集也满足);④若A⊆B,则有A=⌀和A≠⌀两种可能.(3)集合子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、2n-1个真子集、2n-1个非空子集、2n-2个非空真子集.集合元素个数:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)(常用在实际问题中).题组一常识题1.[教材改编]已知集合A={0,1,x2-5x},若-4∈A,则实数x的值为.2.[教材改编]已知集合A={a,b},若A∪B={a,b,c},则满足条件的集合B有个.3.[教材改编]设全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤3},则(∁U A)∪B= .4.[教材改编]已知集合A={-1,1},B={a,a2+2}.若A∩B={1},则实数a的值为.题组二常错题◆索引:忽视集合元素的性质致错;对集合的表示方法理解不到位致错;忘记空集的情况导致出错;忽视集合运算中端点取值致错.5.已知集合A={1,3,},B={1,m},若B⊆A,则m= .6.已知x∈N,y∈N,M={(x,y)|x+y≤2},N={(x,y)|x-y≥0},则M∩N中元素的个数是.7.已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,则实数a的值是.8.设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R},若A⫋B,则a的取值范围为.探究点一集合的含义与表示例1 (1)[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为()A.9B.8C.5D.4(2)设集合A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a},且集合A,B中有唯一的公共元素9,则实数a的值为.[总结反思] 解决集合含义问题的关键有三点:一是确定构成集合的元素;二是确定元素的限制条件;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.特别提醒:含字母的集合问题,在求出字母的值后,需要验证集合的元素是否满足互异性.变式题 (1)已知集合A={x|x=3k-1,k∈Z},则下列表示正确的是()A.-1∉AB.-11∈AC.3k2-1∈AD.-34∉A(2)[2018·上海黄浦区二模]已知集合A={1,2,3},B={1,m},若3-m∈A,则非零实数m的值是.探究点二集合间的基本关系例2 (1)[2018·武汉4月调研]已知集合M={x|x2=1},N={x|ax=1},若N⊆M,则实数a的取值集合为()A.{1}B.{-1,1}C.{1,0}D.{1,-1,0}(2)设集合M={x|x=5-4a+a2,a∈R},N={y|y=4b2+4b+2,b∈R},则下列关系中正确的是()A.M=NB.M⫋NC.N⫋MD.M∈N[总结反思] (1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系,如果集合中含有参数,需要对式子进行变形,有时需要进一步对参数分类讨论.(2)确定非空集合A的子集的个数,需先确定集合A中的元素的个数.特别提醒:不能忽略任何非空集合是它自身的子集.(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系,常用数轴法、Venn图法.变式题 (1)设x,y∈R,集合A={(x,y)|y=x},B=(x,y)=1,则集合A,B间的关系为() A.A⫋B B.B⫋AC.A=BD.A∩B=⌀(2)已知集合M={x|x≤1},N={x|a≤x≤3a+1},若M∩N=⌀,则a的取值范围是.探究点三集合的基本运算角度1集合的运算例3 (1)[2018·长沙周南中学月考]已知集合A={x|x<1},B={x|e x<1},则()A.A∩B={x|x<1}B.A∪B={x|x<e}C.A∪(∁R B)=RD.(∁R A)∩B={x|0<x<1}(2)[2018·山西大学附中5月调研]已知集合A={x|2x≤1},B={x|ln x<1},则A∪B=()A.{x|x<e}B.{x|0≤x≤e}C.{x|x≤e}D.{x|x>e}[总结反思] 对于已知集合的运算,可根据集合的交集和并集的定义直接求解,必要时可结合数轴以及Venn图求解.角度2利用集合运算求参数例4 (1)已知集合A={x∈Z|x2-4x-5<0},B={x|4x>2m},若A∩B中有三个元素,则实数m的取值范围是()A.[3,6)B.[1,2)C.[2,4)D.(2,4](2)设全集U=R,集合A={x|x>1},集合B={x|x>p},若(∁U A)∩B=⌀,则p应该满足的条件是()A.p>1B.p≥1C.p<1D.p≤1[总结反思] 根据集合运算求参数,要把集合语言转换为方程或不等式,然后解方程或不等式,再利用数形结合法求解.角度3集合语言的运用例5 (1)已知集合S={0,1,2,3,4,5},A是S的一个子集,当x∈A时,若有x-1∉A且x+1∉A,则称x为A的一个“孤立元素”,那么S的无“孤立元素”的非空子集的个数为 ()A.16B.17C.18D.20(2)对于a,b∈N,规定a*b=与的奇偶性相同与的奇偶性不同集合M={(a,b)|a*b=36,a,b∈N*},则M中的元素个数为.[总结反思] 解决集合新定义问题的关键是:(1)准确转化:解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,紧扣题目所给定义,结合题目的要求进行恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆.(2)方法选取:对于新定义问题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解.第1讲集合考试说明 1.集合的含义与表示:(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系;(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.集合间的基本关系:(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义.3.集合的基本运算:(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系及运算.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)确定性互异性(2)∈∉(3)描述法图示法(4)N N*或N+Z Q R2.任意一个元素B⊇A 至少⫋相同A=B 不含3.且且A∩B 或或A∪B 不∉∁U A4.(1)B∪A A (2)⊆(3)⌀ A ∩(∁U A)(∁U B)对点演练1.4或1[解析] 因为-4∈A,所以x2-5x=-4,解得x=1或x=4.2.4[解析] 因为(A∪B)⊇B,A={a,b},所以满足条件的集合B可以是{c},{a,c},{b,c},{a,b,c},所以满足条件的集合B有4个.3.(-∞,0)∪[1,+∞)[解析] 因为∁U A={x|x>2或x<0},B={y|1≤y≤3},所以(∁U A)∪B=(-∞,0)∪[1,+∞).4.1[解析] 由题意可得1∈B,又a2+2≥2,故a=1,此时B={1,3},符合题意.5.0或3[解析] 因为B⊆A,所以m=3或m=,即m=3或m=0或m=1,根据集合元素的互异性可知,m≠1,所以m=0或3.6.4[解析] 依题意得M={(0,2),(0,1),(1,1),(0,0),(1,0),(2,0)},所以M∩N={(1,1),(0,0),(1,0),(2,0)},所以M∩N中有4个元素.7.0或1或-1[解析] 易得M={a}.∵M∩N=N,∴N⊆M,∴N=⌀或N=M,∴a=0或a=±1.8.2≤a≤4[解析] 由|x-a|<1得-1<x-a<1,∴a-1<x<a+1,由A⫋B得-或-∴2≤a≤4.【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)根据列举法,确定圆及其内部整数点的个数;(2)因为9∈A,所以依据2a-1=9或a2=9分类求解,但要注意集合元素的互异性.(1)A(2)-3[解析] (1)当x=-1时,y=-1,0,1;当x=0时,y=-1,0,1;当x=1时,y=-1,0,1.所以集合A={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)},共有9个元素.(2)∵集合A,B中有唯一的公共元素9,∴9∈A.若2a-1=9,即a=5,此时A={-4,9,25},B={9,0,-4},则集合A,B中有两个公共元素-4,9,与已知矛盾,舍去.若a2=9,则a=±3,当a=3时,A={-4,9,5},B={-2,-2,9},B中有两个元素均为-2,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={9,-8,4},符合题意.综上所述,a=-3.变式题(1)C(2)2[解析] (1)当k=0时,x=-1,所以-1∈A,所以A错误;令-11=3k-1,得k=-∉Z,所以-11∉A,所以B错误;令-34=3k-1,得k=-11,所以-34∈A,所以D错误;因为k∈Z,所以k2∈Z,则3k2-1∈A,所以C正确.(2)由题知,若3-m=2,则m=1,此时集合B不符合元素的互异性,故m≠1;若3-m=1,则m=2,符合题意;若3-m=3,则m=0,不符合题意.故答案为2.例2[思路点拨] (1)先求出集合M={x|x2=1}={-1,1},当a=0和a≠0时,分析集合N,再根据集合M,N的关系求a;(2)把集合对应的函数化简,求出集合M,N,即可得M,N的关系.(1)D(2)A[解析] (1)∵集合M={x|x2=1}={-1,1},N={x|ax=1},N⊆M,∴当a=0时,N=⌀,成立;当a≠0时,N=,则=-1或=1,解得a=-1或a=1.综上,实数a的取值集合为{1,-1,0}.故选D.(2)集合M={x|x=5-4a+a2,a∈R}={x|x=(a-2)2+1,a∈R}={x|x≥1},N={y|y=4b2+4b+2,b∈R}={y|y=(2b+1)2+1,b∈R}={y|y≥1},∴M=N.变式题(1)B(2)a<-或a>1[解析] (1)由题意得,集合A={(x,y)|y=x}表示直线y=x上的所有点,集合B=(x,y)=1表示直线y=x上除点(0,0)外的所有点,所以B⫋A.故选B.(2)当N=⌀时,由a>3a+1得a<-,满足M∩N=⌀;当N≠⌀时,由M∩N=⌀得解得a>1.所以a的取值范围是a<-或a>1.例3[思路点拨] (1)先求出∁R A,∁R B,再判断各选项是否正确;(2)先求出A,B中不等式的解集,确定出集合A,B,再求出两集合的并集即可.(1)C(2)A[解析] (1)∵集合A={x|x<1},B={x|e x<1}={x|x<0},∴∁R B={x|x≥0},∁R A={x|x≥1}.易知A∩B={x|x<0},故A错误;A∪B={x|x<1},故B错误;A∪(∁R B)=R,故C正确;(∁R A)∩B=⌀,故D错误.故选C.(2)集合A={x|2x≤1}={x|x≤0},B={x|ln x<1}={x|0<x<e},∴A∪B={x|x<e},故选A.例4[思路点拨] (1)分别求出集合A和B,根据A∩B中有三个元素,求出实数m的取值范围;(2)根据补集、交集和空集的定义即可得出p满足的条件.(1)C(2)B[解析] (1)集合A={x∈Z|x2-4x-5<0}={0,1,2,3,4},B={x|4x>2m}=,∵A ∩B中有三个元素,∴1≤<2,解得2≤m<4,∴实数m的取值范围是[2,4).(2)∵全集U=R,集合A={x|x>1},集合B={x|x>p},∴∁U A={x|x≤1},又(∁U A)∩B=⌀,∴p≥1.例5[思路点拨] (1)按照S的无“孤立元素”的非空子集所含元素个数的多少分类讨论,可得出结果;(2)根据定义分情况讨论满足条件的点(a,b)的个数,从而得出M中的元素个数.(1)D(2)41[解析] (1)根据“孤立元素”的定义知,单元素集合都含“孤立元素”.S的无“孤立元素”且含2个元素的子集为{0,1},{1,2},{2,3},{3,4},{4,5},共5个;S的无“孤立元素”且含3个元素的子集为{0,1,2},{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},共4个;S的无“孤立元素”且含4个元素的子集为{0,1,2,3},{0,1,3,4},{0,1,4,5},{1,2,3,4},{1,2,4,5},{2,3,4,5},共6个;S的无“孤立元素”且含5个元素的子集为{0,1,2,3,4},{1,2,3,4,5},{0,1,2,4,5},{0,1,3,4,5},共4个;S的无“孤立元素”且含6个元素的子集为{0,1,2,3,4,5},共1个.故S的无“孤立元素”的非空子集有5+4+6+4+1=20(个).(2)由a*b=36,a,b∈N*知,若a和b一奇一偶,则a×b=36,满足此条件的有1×36=3×12=4×9,故点(a,b)有6个;若a和b同奇同偶,则a+b=36,满足此条件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=18+18,共18组,故点(a,b)有35个.所以M中的元素个数为41.【备选理由】例1考查对两集合之间关系以及元素与集合之间关系的理解;例2考查集合的运算及集合子集个数的计算;例3考查集合的运算;例4为根据集合运算求参数问题,重点关注区间端点的取值情况.例1[配合例2使用] [2018·陕西黄陵中学三模]已知集合M={x|y=(-x2+2x+3,x∈N},Q={z|z=x+y,x∈M,y∈M},则下列运算正确的是 ()A.M∩Q=⌀B.M∪Q=ZC.M∪Q=QD.M∩Q=Q[解析] C由-x2+2x+3>0,得-1<x<3,∵x∈N,∴x=0,1,2,∴M={0,1,2}.∵Q={z|z=x+y,x∈M,y∈M},∴Q={0,1,2,3,4},∴M∩Q=M,M∪Q=Q,故选C.例2[配合例3使用] [2018·佛山南海中学模拟]已知集合A={x∈N|x2-2x≤0},B={x|-1≤x≤2},则A∩B的子集的个数为()A.3B.4C.7D.8[解析] D∵A={x∈N|x2-2x≤0}={0,1,2},B={x|-1≤x≤2},∴A∩B={0,1,2},∴A∩B的子集的个数为23=8,故选D.例3[配合例3使用] 设集合A={x||x-1|≥2},B={x|y=lg(-x-3)},则A∩B=()A.(-4,+∞)B.[-4,+∞)C.(-∞,-3)D.(-∞,-3)∪[3,+∞)[解析] C由|x-1|≥2,得x-1≥2或x-1≤-2,即x≥3或x≤-1.由-x-3>0,得x<-3,所以A∩B={x|x≥3或x≤-1}∩{x|x<-3}={x|x<-3},故选C.例4[配合例4使用] 已知集合A={x|y=-},B={x|a≤x≤a+1},若A∪B=A,则实数a的取值范围为()A.(-∞,-3]∪[2,+∞)B.[-1,2]C.[-2,1]D.[2,+∞)[解析] C要使函数y=-有意义,则4-x2≥0,据此可得A={x|-2≤x≤2}.若A∪B=A,则集合B是集合A的子集,据此有-求解不等式组可得,实数a的取值范围为[-2,1].第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题(1)命题的概念:数学中把用语言、符号或式子表达的,能够判断的陈述句叫作命题.其中的语句叫作真命题,的语句叫作假命题.(2)四种命题及其相互关系图1-2-1特别提醒:若两个命题互为逆否命题,则它们有相同的真假性.2.充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q,则p是q的条件.(2)如果q⇒p,则p是q的条件.(3)如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作p⇔q,则p是q的条件.常用结论1.充要条件的两个结论:(1)若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,则p是r的充分不必要条件;(2)若p是q的充分不必要条件,则q是p的充分不必要条件.2.充分、必要条件与集合的关系使p成立的对象构成的集合为A,使q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分条件A⊆Bp是q的必要条件B⊆Ap是q的充分不必要条件A⫋Bp是q的必要不充分条件B⫋Ap是q的充要条件A=B题组一常识题1.[教材改编]对于下列语句:①垂直于同一直线的两条直线必平行吗?②作△ABC∽△A'B'C'.③x2+2x-3<0.④四边形的内角和是 6 °.其中是命题的是.(填序号)2.[教材改编]有下面4个命题:①集合N中最小的数是1;②若-a不属于N,则a属于N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;④x2+1=2x的解集可表示为{1,1}.其中真命题的个数为.3.[教材改编]命题“若整数a不能被2整除,则a是奇数”的逆否命题是.4.[教材改编]“点P(x,y)在第一象限”是“x+y>1”的条件.题组二常错题◆索引:命题的条件与结论不明确;含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况;真、假命题的推理考虑不全面;对充分必要条件判断错误.5.命题“若a2+b2=0,a,b∈R,则a=b=0”的逆否命题是.6.已知命题“对任意a,b∈R,若ab>0,则a>0”,则它的否命题是.7.若命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是.8.条件p:x>a,条件q:x≥2.①若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是;②若p是q的必要不充分条件,则a的取值范围是.9.已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q的条件.探究点一四种命题及其相互关系例1 (1)对于命题“单调函数不是周期函数”,下列说法正确的是()A.逆命题为“周期函数不是单调函数”B.否命题为“单调函数是周期函数”C.逆否命题为“周期函数是单调函数”D.以上都不正确(2)给出以下四个命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题;④若ab是正整数,则a,b都是正整数.其中为真命题的是.(写出所有真命题的序号)[总结反思] (1)求一个命题的其他三种命题时,需注意:①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写为“若p,则q”的形式;②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.(2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例.(3)当不易直接判断一个命题的真假时,根据互为逆否命题的两个命题同真同假,可转化为判断其等价命题的真假.变式题 (1)已知命题p:正数a的平方不等于0,命题q:若a不是正数,则它的平方等于0,则q是p的()A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.否定(2)以下关于命题的说法正确的是.(填写所有正确说法的序号)①“若log2(a+1)>1,则函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内是增函数”是真命题;②命题“若a≠0,则a(b+1)≠0”的否命题是“若a=0,则a(b+1)=0”;③命题“若x,y都是偶数,则(x+1)(y+1)是偶数”的逆命题为真命题;④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.探究点二充分、必要条件的判定例 2 (1)[2018·北京卷]设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)“函数f(x)=a+ln x(x≥e)存在零点”是“a<-1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[总结反思] 充分条件、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法.三种不同的方法适用于不同的类型:定义法适用于定义、定理的判断问题;集合法多适用于命题中涉及参数的取值范围的推断问题;等价转化法适用于条件和结论中带有否定性词语的命题.变式题 (1)[2018·深圳一模]已知数列{a n}是等比数列,则“a2>a1”是“数列{a n}为递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)“α=”是“sin 2α-cos 2α=1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件探究点三充分、必要条件的应用例3 方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是 ()A.0<a≤1B.a<1C.a≤1D.0<a≤1或a<0[总结反思] 充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上,解题时通常把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.解题过程中要注意检验区间端点值.变式题 (1)下面四个条件中,使a>b成立的必要而不充分条件是 ()A.a-1>bB.a+1>bC.|a|>|b|D.a3>b3(2)[2018·衡阳4月调研]已知p:实数m满足m2+12a2<7am(a>0),q:方程-+-=1表示焦点在y轴上的椭圆,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围为.第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件考试说明 1.理解命题的概念;2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系;3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.【课前双基巩固】知识聚焦1.真假判断为真判断为假2.(1)充分(2)必要(3)充要对点演练1.④[解析] ①是疑问句,不是命题;②是祈使句,不是命题;③不能判断真假,不是命题;④是命题.2.0[解析] ①为假命题,集合N中最小的数是0;②为假命题,如a=不满足;③为假命题,如a=0,b=1,则a+b=1,比2小;④为假命题,所给集合中的元素不满足互异性.3.若整数a不是奇数,则a能被2整除[解析] 以原命题结论的否定作条件、原命题条件的否定作结论得出逆否命题.4.既不充分也不必要[解析] 取x=,y=,知充分性不成立;取x=-1,y=3,知必要性不成立.故为既不充分也不必要条件.5.若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0[解析] “若p,则q”的逆否命题为“若q,则p”,又a=b=0的实质为a=0且b=0,故其否定为a≠0或b≠0.6.对任意a,b∈R,若ab≤0,则a≤0[解析] “对任意a,b∈R”是大前提,在否命题中不变,又因为ab>0,a>0的否定分别为ab≤0,a≤0,所以原命题的否命题为“对任意a,b∈R,若ab ≤0,则a≤0”.7.[-3,0][解析] 由已知可得ax2-2ax-3≤0恒成立.当a=0时,-3≤0恒成立;当a≠0时,得解得-3≤a<0.故-3≤a≤0.8.①a≥2②a<2[解析] ①因为p是q的充分不必要条件,所以{x|x>a}⫋{x|x≥2},则a 的取值范围是a≥2.②因为p是q的必要不充分条件,所以{x|x≥2}⫋{x|x>a},则a的取值范围是a<2.9.充分不必要[解析] 依题意有p⇒r,r⇒s,s⇒q,∴p⇒r⇒s⇒q.又∵r⇒/p,∴q⇒/p.故p是q的充分不必要条件.【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)根据四种命题的构成判断即可.(2)对于①②,按照要求写出相应的逆命题、否命题,再判断真假;对于③,可直接利用原命题与逆否命题的等价性判断原命题的真假;对于④,直接判断.(1)D(2)①③[解析] (1)根据四种命题的构成可知,选项A,B,C均不正确.故选D.(2)①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然为真命题;②否命题为“不全等的三角形的面积不相等”,而不全等的三角形的面积也可能相等,故为假命题;③原命题为真,所以它的逆否命题也为真,故③为真命题;④ab是正整数,但a,b 不一定都是正整数,例如a=-1,b=-2,故④为假命题.所以答案是①③.变式题(1)B(2)①②④[解析] (1)“正数a的平方不等于0”即“若a是一个正数,则它的平方不等于0”,其否命题为“若a不是正数,则它的平方等于0”,所以选B.(2)①正确,由log2(a+1)>1,得a+1>2,所以a>1,所以f(x)=log a x在其定义域内是增函数.②正确,由命题的否命题的定义知,该说法正确.③不正确,原命题的逆命题为“若(x+1)(y+1)是偶数,则x,y都是偶数”,是假命题,如(3+1)×(4+1)=20为偶数,但x=3,y=4.④正确,两者互为逆否命题,因此两命题等价.例2[思路点拨] (1)将已知等式两边同时平方,可得出向量a,b的关系,从而得出结论;(2)通过研究单调性,求出函数存在零点的充要条件为a≤-1,从而得出结论.(1)C(2)B[解析] (1)将|a-3b|=|3a+b|两边平方,得a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2.∵a,b 均为单位向量,∴a·b=0,即a⊥b.反之,由a⊥b可得|a-3b|=|3a+b|.故为充分必要条件. (2)因为f'(x)=>0,所以若函数f(x)=a+ln x(x≥e)存在零点,则f(e)≤0,即a≤-1,因此“函数f(x)=a+ln x(x≥e)存在零点”是“a<-1”的必要不充分条件,故选B.变式题(1)B(2)A[解析] (1)当a1=-1,a2=2,公比q=-2时,虽然有a1<a2,但是数列{a n}不是递增数列,所以充分性不成立;反之,当数列{a n}是递增数列时,必有a1<a2,因此必要性成立.故选B.(2)由sin 2α-cos 2α=1得sin-=,所以2α-=2kπ+6,k∈Z或2α-=2kπ+6,k∈Z,即α=kπ+,k∈Z或α=kπ+,k∈Z,所以“α=”是“sin 2α-cos 2α=1”的充分而不必要条件,故选A.例3[思路点拨] 直接法,分情况讨论;特例法,结合选项取特殊值验证.C[解析] 方法一(直接法):当a=0时,x=-,符合题意.当a≠0时,若方程的两根为一正一负,则-⇒⇒a<0;若方程的两根均为负,则--⇒⇒0<a≤1.综上所述,所求充要条件是a≤1.方法二(排除法):当a=0时,原方程有一个负实根,可以排除A,D;当a=1时,原方程有两个相等的负实根,可以排除B.所以选C.变式题(1)B(2)[解析] (1)“a>b”不能推出“a-1>b”,故选项A不是“a>b”的必要条件,不满足题意;“a>b”能推出“a+1>b”,但“a+1>b”不能推出“a>b”,故满足题意;“a>b”不能推出“|a|>|b|”,故选项C不是“a>b”的必要条件,不满足题意;“a>b”能推出“a3>b3”,且“a3>b3”能推出“a>b”,故是充要条件,不满足题意.故选B. (2)由a>0,m2-7am+12a2<0,得3a<m<4a,即p:3a<m<4a,a>0.由方程-+-=1表示焦点在y轴上的椭圆,可得2-m>m-1>0,解得1<m<,即q:1<m<.因为p是q的充分不必要条件,所以或解得≤a≤,所以实数a的取值范围是.【备选理由】例1考查对命题真假的判断,是一个开放式命题,答案不唯一,有利于学生发散思维;例2强化了充分、必要条件的判断方法和余弦定理、基本不等式的应用;例3主要考查了充要条件的判断;例4是以简单不等式的方式考查充分、必要条件的应用.例1[配合例1使用][2018·北京通州区三模]能够说明“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a2>ab>c2”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为.[答案] 1,0,-1(此题答案不唯一)[解析] 当a=1,b=0,c=-1时,满足a>b>c,不满足a2>ab>c2,∴命题是假命题.故答案可以为1,0,-1.例2[配合例2使用][2018·武汉4月调研]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知条件p:a≤,条件q:A≤,那么p是q成立的 ()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析] A由条件p:a≤,知cos A=-≥-=-≥6-=,当且仅当b=c=a时取等号,又A∈(0,π),∴0<A≤,∴A≤,即q成立.取A=,C=,B=6,满足条件q,但是a>.∴p是q成立的充分而不必要条件.故选A.例3[配合例2使用] [2018·莆田六中三模]在等比数列{a n}中,a2=-2,则“a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根”是“a8=-1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析] C因为a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根,所以a4a12=1,因此=1,又因为a2=-2<0,所以a8<0,即a8=-1.从而“a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根”是“a8=-1”的充要条件,故选C.例4[配合例3使用][2018·南昌模拟]在实数范围内,使得不等式>1成立的一个充分而不必要条件是()A.x>0B.x<1C.0<x<1D.0<x<[解析] D∵>1,∴-<0,∴0<x<1.∵ ⫋(0,1),∴0<x<为不等式>1成立的一个充分而不必要条件,故选D.第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.简单的逻辑联结词命题中的、、叫作逻辑联结词,分别表示为、、.2.全称量词与存在量词(1)短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫作,用符号“”表示.(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作,用符号“”表示.(3)含有一个量词的命题的否定:全称命题p:∀x∈M,p(x),它的否定是.特称命题q:∃x0∈M,q(x0),它的否定是.常用结论1.否命题是把原命题的条件与结论都否定,命题的否定只需否定命题的结论.2.记忆口诀:(1)“p或q”,有真则真;(2)“p且q”,有假则假;(3)“非p”,真假相反.3.命题p∧q的否定是(p)∨(q);命题p∨q的否定是(p)∧(q).题组一常识题1.[教材改编]命题p:x∈R,x2+1≥0,命题q:函数y=ax2+x的图像是抛物线,则p∨q是命题,p∧(q)是命题,(p)∨(q)是命题,(p)∧(q)是命题.(以上各空填“真”或“假”)2.[教材改编]命题“∃x0∈R,log2x0+2<0”的否定是.3.[教材改编]命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是.4.[教材改编]在一次驾照考试中,甲、乙两名学员各试驾一次.设p是“甲试驾成功”,q是“乙试驾成功”,则“两名学员至少有一人没有试驾成功”可表示为.题组二常错题◆索引:全称命题或特称命题的否定出错;不会利用真值表判断命题的真假;复合命题的否定中出现逻辑联结词错误;判断命题真假时忽视对参数的讨论.5.命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是.6.已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是.(填序号)①(p)∨q;②p∧q;③(p)∧(q);④(p)∨(q).7.已知命题“若ab=0,则a=0或b=0”,则其否命题为.8.已知p:∀x∈R,ax2+4x+1>0,则p:.若p是假命题,则实数a的取值范围是.探究点一含逻辑联结词的命题及其真假例1 (1)在一次射击训练中,甲、乙两位运动员各射击一次.设命题p是“甲击中目标”,q 是“乙击中目标”,则命题“两位运动员都没有击中目标”可表示为 ()A.(p)∨(q)B.p∨(q)C.p∨qD.(p)∧(q)(2)[2018·福建三明5月质检]已知函数f(x)=cos2x+.命题p:f(x)的图像关于点-对称,命题q:f(x)在区间-上为减函数,则()6A.p∧q为真命题B.(p)∧q为假命题C.p∨q为真命题D.(p)∨q为假命题[总结反思] 判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤:(1)判断复合命题的结构;(2)判断构成复合命题的每个简单命题的真假;(3)依据“‘或’:一真即真;‘且’:一假即假;‘非’:真假相反”作出判断即可.变式题 (1)[2018·太原三模]设命题p:函数y=sin 2x的最小正周期为π,命题q:函数y=cos x的图像关于直线x=对称,则下列结论正确的是()A.p为假命题B.q为假命题C.p∨q为假命题D.p∧q为假命题(2)已知命题p:方程e x-1=0有实数根,命题q:不等式x2-x+1≤0有解,则p∧q,p∨q,(p)∨q,p∧(q)这四个命题中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4探究点二全称命题与特称命题例2 (1)命题p:对任意x∈R,都存在m>1,使得mx>e x成立,则p为()A.对任意x∈R,都存在m>1,使得mx≤e x成立B.对任意x∈R,不存在m>1,使得mx>e x成立C.存在x0∈R,对任意m>1,都有mx0≤ 成立D.存在x0∈R,对任意m>1,都有mx0>成立(2)[2018·大同质检]下列说法正确的是()A.命题“∃x0∈R且x0≠1,-<0”的否定是“∀x∈R,-≥0”B.∀x>0,ln(x+1)>0C.∀φ∈R,函数f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数D.∀x∈R,2x>x2[总结反思] (1)全称命题与特称命题的否定:①改写量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写.②否定结论:对原命题的结论进行否定.(2)全称命题与特称命题真假的判断方法:命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假变式题 [2018·西安质检]已知命题p:∃x0∈R,log2(+1)≤0,则()A.p是假命题;p:∀x∈R,log2(3x+1)≤0B.p是假命题;p:∀x∈R,log2(3x+1)>0C.p是真命题;p:∀x∈R,log2(3x+1)≤0D.p是真命题;p:∀x∈R,log2(3x+1)>0探究点三根据命题的真假求参数的取值范围例 3 (1)已知命题p:∃x0∈[1,e],ln x0-a≥0,若p是真命题,则实数a的取值范围是()A.(-∞,0)B.(0,1)C.(1,e)D.(1,+∞)(2)已知命题p:∃x0∈R,m+1≤0,命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0,若p∧q为真命题,则实数m的取值范围是()A.(-∞,-2)B.[-2,0)C.(0,2)D.(-2,0)[总结反思] 根据命题真假求参数的方法步骤:(1)根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况);(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围;(3)根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.变式题 (1)若命题“∀x∈(0,+∞),x+≥m”是假命题,则实数m的取值范围是.(2)设p:∃x0∈,g(x0)=log2(t+2x0-2)有意义,若p为假命题,则t的取值范围为.。

第1节函数及其表示最新考纲 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段).知识梳理1.函数与映射的概念函数映射两个集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B 的一个映射记法函数y＝f(x)，x∈A映射：f：A→B2.函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.[微点提醒]1.函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射.2.直线x ＝a (a 是常数)与函数y ＝f (x )的图象有0个或1个交点.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数.( ) (2)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B .( ) (3)f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数.( )(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( )解析 (1)错误.函数y ＝1的定义域为R ，而y ＝x 0的定义域为{x |x ≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.(2)错误.值域C ⊆B ，不一定有C ＝B . (3)错误.f (x )＝x －3＋2－x 中x 不存在.(4)错误.若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.(必修1P25B2改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析 A 中函数定义域不是[－2，2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0，2]. 答案 B3.(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( )A.y ＝(x ＋1)2B.y ＝3x 3＋1 C.y ＝x 2x＋1D.y ＝x 2＋1解析 对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应法则分别对应相同，是相等函数；对于C ，函数y ＝x 2x＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域x ∈R 不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数. 答案 B4.(2019·珠海期中)已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)＝( ) A.15lg 2 B.12lg 5 C.13lg 2 D.12lg 3 解析 令x 5＝2，则x ＝215， ∴f (2)＝lg 215＝15lg 2.答案 A5.(2019·河南、河北两省重点高中联考)函数f (x )＝4－4x＋ln(x ＋4)的定义域为________.解析 要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧4－4x≥0，x ＋4>0，解得－4<x ≤1.答案 (－4，1]6.(2018·福州调研)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)，则a ＝________. 解析 由题意知点(－1，4)在函数f (x )＝ax 3－2x 的图象上，所以4＝－a ＋2，则a ＝－2. 答案 －2考点一 求函数的定义域【例1】 (1)(2019·湘潭模拟)函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)的定义域为________. (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为________. 解析 (1)要使函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)有意义，则1－x 2≥0，tan x －1>0，且x ≠k π＋π2(k ∈Z ). ∴－1≤x ≤1且π4＋k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，可得π4<x ≤1.则函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，1. (2)因为y ＝f (x )的定义域为[0，2]，所以要使g (x )有意义应满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1.所以g (x )的定义域是[0，1).答案 (1)⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，1 (2)[0，1)规律方法 1.求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f [g (x )]的定义域可由不等式a ≤g (x )≤b 求出.(2)若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域. 【训练1】 (1)(2019·深圳模拟)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A.(－2，1)B.[－2，1]C.(0，1)D.(0，1](2)设函数f (x )＝lg(1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为( ) A.(－9，＋∞) B.(－9，1) C.[－9，＋∞)D.[－9，1)解析 (1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0，ln x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤1，x >0且x ≠1.∴函数的定义域是(0，1).(2)易知f [f (x )]＝f [lg(1－x )]＝lg[1－lg(1－x )]，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－lg （1－x ）>0，解得－9<x <1. 故f [f (x )]的定义域为(－9，1). 答案 (1)C (2)B 考点二 求函数的解析式【例2】 (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (x )＝________；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________；(3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，则f (x )＝________.解析 (1)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1). (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝2ax ＋a ＋b ＝x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1中，将x 换成1x ，则1x换成x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝2f (x )·1x－1，由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f （x ）·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.答案 (1)lg2x －1(x >1) (2)12x 2－32x ＋2 (3)23x ＋13规律方法 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数f [g (x )]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x ).【训练2】 (1)(2018·成都检测)已知函数f (x )＝ax －b (a >0)，且f [f (x )]＝4x －3，则f (2)＝________.(2)若f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，则f (x )＝________. 解析 (1)易知f [f (x )]＝a (ax －b )－b ＝a 2x －ab －b ，∴a 2x －ab －b ＝4x －3(a >0)，因此⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 所以f (x )＝2x －1，则f (2)＝3. (2)因为2f (x )＋f (－x )＝3x ，①所以将x 用－x 替换，得2f (－x )＋f (x )＝－3x ，② 由①②解得f (x )＝3x . 答案 (1)3 (2)3x 考点三 分段函数 多维探究角度1 分段函数求值【例3－1】 (2018·江苏卷)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________.解析 因为函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，所以函数f (x )的最小正周期是4.因为在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，所以f (15)＝f (－1)＝12，因此f [f (15)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22. 答案22角度2 分段函数与方程、不等式问题【例3－2】 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A.1B.78 C.34 D.12(2)(2017·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________.解析 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ， 若52－b <1，即b >32时， 则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝4， 解得b ＝78，不合题意舍去.若52－b ≥1，即b ≤32，则252－b＝4，解得b ＝12. (2)当x ≤0时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝(x ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1，原不等式化为2x ＋32>1，解得－14<x ≤0，当0<x ≤12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1，原不等式化为2x＋x ＋12>1，该不等式恒成立，当x >12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋2x －12，又x >12时，2x ＋2x －12>212＋20＝1＋2>1恒成立，综上可知，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞. 答案 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞规律方法 1.根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 提醒 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.【训练3】 (1)(2019·合肥模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x >2，x 2＋2，x ≤2，则f [f (1)]＝( ) A.－12B.2C.4D.11(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)由题意知f (1)＝12＋2＝3， 因此f [f (1)]＝f (3)＝3＋13－2＝4.(2)当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a <12.答案 (1)C (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12[思维升华]1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同.2.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识.3.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、构造解方程组法.4.分段函数问题要用分类讨论思想分段求解. [易错防范]1.复合函数f [g (x )]的定义域也是解析式中x 的范围，不要和f (x )的定义域相混.2.易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A ，B 若不是数集，则这个映射便不是函数.3.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论.基础巩固题组 (建议用时：35分钟)一、选择题1.函数f (x )＝2x－1＋1x －2的定义域为( ) A.[0，2)B.(2，＋∞)C.[0，2)∪(2，＋∞)D.(－∞，2)∪(2，＋∞)解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x－1≥0，x －2≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ≠2，所以函数的定义域为[0，2)∪(2，＋∞).答案 C2.(2019·郑州调研)如图是张大爷晨练时离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )解析 由y 与x 的关系知，在中间时间段y 值不变，只有D 符合题意. 答案 D3.(2016·全国Ⅱ卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( ) A.y ＝x B.y ＝lg x C.y ＝2xD.y ＝1x解析 函数y ＝10lg x的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y ＝x ，y ＝2x的定义域均为R ，排除A ，C ；y ＝lg x 的值域为R ，排除B ；D 中y ＝1x的定义域、值域均为(0，＋∞).答案 D4.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A.3B.6C.9D.12解析 根据分段函数的意义，f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋2＝3.又log 212>1， ∴f (log 212)＝2(log 212)－1＝2log 26＝6，因此f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.答案 C5.(2019·西安联考)已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m ，5]的值域是[－5，4]，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，－1) B.(－1，2] C.[－1，2]D.[2，5]解析 f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4. 当x ＝2时，f (2)＝4.由f (x )＝－x 2＋4x ＝－5，得x ＝5或x ＝－1.∴要使f (x )在[m ，5]上的值域是[－5，4]，则－1≤m ≤2. 答案 C6.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) A.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310C.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410D.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510解析 代表人数与该班人数的关系是除以10的余数大于6，即大于等于7时要增加一名，故y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310.答案 B7.设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A.2B.4C.6D.8解析 由已知得0<a <1，则f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2a ， 所以a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2(4－1)＝6.答案 C8.(2019·上饶质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为( )A.(1，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 当a ＝0时，显然不成立.当a >0时，不等式a [f (a )－f (－a )]>0等价于a 2－2a >0，解得a >2.当a <0时，不等式a [f (a )－f (－a )]>0等价于－a 2－2a <0，解得a <－2.综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞).答案 D二、填空题9.函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________.解析 要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x>0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x>0，x ≠0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1. ∴f (x )的定义域为(0，1].答案 (0，1]10.已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1x f (－x )＝2x (x ≠0)，则f (－2)＝________.解析 令x ＝2，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12f (－2)＝4，①令x ＝－12，可得f (－2)－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1②联立①②解得f (－2)＝72.答案 7211.下列四个结论中，正确的命题序号是________.①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0，表示同一函数； ②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个；③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，若x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数的定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域和对应关系均分别对应相同，所以f (x )与g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1. 答案 ②③12.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为________. 解析 由题意知，若x ≤0，则2x ＝12，解得x ＝－1； 若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝212或x ＝2－12. 故x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22 能力提升题组(建议用时：15分钟)13.具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.下列函数： ①y ＝x －1x ；②y ＝ln 1－x 1＋x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A.①②B.①③C.②③D.①解析 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f (x )＝ln 1－x 1＋x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ln x －1x ＋1≠－f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x ).所以满足“倒负”变换的函数是①③.答案 B14.(2019·河南八市联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋λ，x <1（λ∈R ），2x ，x ≥1， 若对任意的a ∈R 都有f [f (a )]＝2f (a )成立，则λ的取值范围是( )A.(0，2]B.[0，2]C.[2，＋∞)D.(－∞，2) 解析 当a ≥1时，2a ≥2.∴f [f (a )]＝f (2a )＝22a＝2f (a )恒成立.当a <1时，f [f (a )]＝f (－a ＋λ)＝2f (a )＝2λ－a ∴λ－a ≥1，即λ≥a ＋1恒成立，由题意λ≥(a ＋1)max ，∴λ≥2，综上，λ的取值范围是[2，＋∞).答案 C15.已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是________. 解析 根据题意知x >0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝log 2x ，则f (x )＝log 21x ＝－log 2x .答案 f (x )＝－log 2 x16.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <1，x 3＋x ，x ≥1，则f [f (x )]<2的解集是________. 解析 当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，则f [f (x )]<2解集为∅.当x<1时，f(x)＝2e x－1<2.所以f[f(x)]<2等价于f(x)<1，则2e x－1<1，得x<1－ln 2. 故f[f(x)]<2的解集为(－∞，1－ln 2).答案(－∞，1－ln 2)。

第八节函数与方程知识点一函数的零点1．定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使_f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x ∈D)的零点．2．函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得_f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( × )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( × )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点．( √ ) (4)f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，恒有h (x )<f (x )<g (x )．( √ )2．(必修1P92A 组第5题改编)函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致范围是( B )A ．(1,2)B ．(2,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1和(3,4) D ．(4，＋∞)解析：易知f (x )在(0，＋∞)上为增函数，由f (2)＝ln2－1<0，f (3)＝ln3－23>0，得f (2)·f (3)<0.故选B.3．(必修1P88例1改编)函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是( B ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：由f ′(x )＝e x＋3>0，所以f (x )在R 上单调递增，又f (－1)＝1e －3<0，f (0)＝1>0，因此函数f (x )有且只有一个零点．知识点二二分法1．二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且_f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间[a，b]，验证_f(a)f(b)<0，给定精确度ε；第二步，求区间(a，b)的中点x1；第三步，计算f(x1)；①若_f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；②若_f(a)f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；③若_f(x1)f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))；第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步．温馨提示：用二分法求一个方程的近似解时，选择的区间可大可小，在同一精确度下，最好在满足|a－b|<ε的同时，再保证区间(a，b)的两个端点a，b在精确度ε下的近似值相同．这样所选的区间不同，但所得结果相同．4．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(A)5．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.600 0)＝0.200f(1.587 5)＝0.133f(1.575 0)＝0.067f(1.562 5)＝0.003f(1.556 2)＝－0.029f(1.550 0)＝－0.060据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(保留三位有效数字)为1.56.解析：由题意知，函数零点在区间(1.556 2，1.562 5)内，又零点近似值保留三位有效数字，故零点近似值为1.56.1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．2．函数零点存在定理是零点存在的一个充分不必要条件．3．“对勾”函数模型f (x )＝x ＋ax (a >0)在区间(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在区间(－a ，0)和(0，a )上单调递减．考向一 函数零点的判断与求解方向1 判断函数零点所在区间【例1】 (1)设x 0是方程⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＝x 的解，则x 0所在的范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 (2)设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)(2)函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围．作图如下：可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)．故选B.【答案】 (1)D (2)B 方向2 判断函数零点的个数【例2】 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0(2)(2019·天津河东一模)函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 (1)解法1：由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f (x )共有2个零点． 解法2：函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．(2)由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y 1＝|x －2|(x >0)，y 2＝ln x (x >0)的图象，如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2. 【答案】 (1)B (2)C(1)解方程法：所对应方程f (x )＝0有几个不同的实数解就有几个零点. (2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断.(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数.1．(方向1)(2019·河南十校联考)命题p ：－72<a <1，命题q ：函数f (x )＝2x －1x ＋a 在(1,2)上有零点，则p 是q 的( C )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意得函数f (x )＝2x －1x ＋a 在(1,2)上单调递增，又函数f (x )在(1,2)上有零点，∴f (1)f (2)＝(1＋a )72＋a <0， 解得－72<a <－1.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－1⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，1， ∴p 是q 的必要不充分条件．故选C.2．(方向2)(2019·南宁摸底联考)设函数f (x )＝ln x －2x ＋6，则f (x )零点的个数为( B )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：解法1：令f (x )＝0，则ln x ＝2x －6，令g (x )＝ln x ，h (x )＝2x －6(x >0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数f (x )零点的个数，容易看出函数f (x )零点的个数为2，故选B.解法2：函数f (x )＝ln x －2x ＋6的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝1x －2＝1－2x x ，令f ′(x )＝0，得x ＝12，当0<x <12时，f ′(x )>0，当x >12时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(0，12)上单调递增，在(12，＋∞)上单调递减．因为f (1e 10)＝－4－2e 10<0，f (12)＝5－ln2>0，f (e 2)＝8－2e 2<0，所以函数f (x )在(1e 10，12)，(12，e 2)上各有一个零点，所以函数f (x )的零点个数为2，故选B. 考向二 函数零点的应用方向1 二次函数的零点问题【例3】 函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎪⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103【解析】 当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (3)<0时，函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有且仅有一个零点，即⎝ ⎛⎭⎪⎫54－a 2·(10－3a )<0，解得52<a <103；当⎩⎪⎨⎪⎧12<a2<3，Δ＝a 2－4≥0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，f (3)>0时，函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有一个或两个零点，解得2≤a <52；当a ＝52时，函数的零点为12和2，符合题意；当a ＝103时，函数的零点为13或3，不符合题意．综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103. 【答案】 D方向2 求参数的取值范围【例4】 (2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0，＋∞) C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)【解析】 函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1，故选C. 【答案】 C方向3 由函数零点探求函数的特征【例5】 (2019·石家庄质量检测)已知M 是函数f (x )＝e x 2－3x ＋134－8cos[π(12－x )]在x ∈(0，＋∞)上的所有零点之和，则M 的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12【解析】函数f (x )＝e x 2－3x ＋134 －8cos[π(12－x )]在(0，＋∞)上的所有零点之和，即e x 2－3x ＋134＝8sinπx在(0，＋∞)上的所有实数根之和，即e(x －32)2＋1＝8sinπx在(0，＋∞)上的所有实数根之和．令g (x )＝e (x －32)2＋1，h (x )＝8sinπx ，易知函数g (x )＝e (x －32)2＋1的图象关于直线x ＝32对称，函数h (x )＝8sinπx 的图象也关于直线x ＝32对称，作出两个函数的大致图象，如图所示．由图象知，两个函数的图象有4个交点，且4个交点的横坐标之和为6，故选B.【答案】 B已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法：(1)直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.1．(方向1)已知函数f (x )＝2mx 2－x －1在区间(－2,2)上恰有一个零点，则m 的取值范围是( D )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38，18B.⎝⎛⎭⎪⎫－38，18 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－38，18 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－18，38 解析：当m ＝0时，函数f (x )＝－x －1有一个零点x ＝－1，满足条件．当m ≠0时，函数f (x )＝2mx 2－x －1在区间(－2,2)内恰有一个零点，需满足①f (－2)·f (2)<0或②⎩⎨⎧f (－2)＝0，－2<14m <0或③⎩⎨⎧f (2)＝0，0<14m <2.解①得－18<m <0或0<m <38； ②无解，解③得m ＝38. 综上可知－18<m ≤38.故选D.2．(方向2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x >a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( D )A ．[－1,1)B ．[0,2]C ．[－2,2)D ．[－1,2)解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x >a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a ，因为g (x )有三个不同的零点，所以2－x ＝0在x >a 时有一个解，由x ＝2得a <2；由x 2＋3x ＋2＝0得x ＝－1或x ＝－2，则由x ≤a 得a ≥－1.综上，a 的取值范围为[－1,2)．故选D.3．(方向3)(2019·惠州市调研考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1，x ≥0，－ln (－x )，x <0，若函数f (x )的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k 的取值范围是( D )A ．(－∞，0)B ．(0，12) C ．(0，＋∞)D ．(0,1)解析：依题意，函数f (x )的图象上存在关于原点对称的点，如图，可作出函数y ＝－ln(－x )(x <0)的图象关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象，使得它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可，当直线y ＝kx －1与y ＝ln x 的图象相切时，设切点为(m ，ln m )，又y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，则⎩⎨⎧km －1＝ln m ，k ＝1m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，k ＝1，可得切线的斜率为1，结合图象可知k ∈(0,1)时，函数y ＝ln x 的图象与直线y ＝kx －1有2个交点，即函数f (x )的图象上关于原点对称的点有2对，故选D.用换元法解决复合函数的零点问题关于复合函数方程f (g (x ))＝a 的零点个数问题，可先换元解套t ＝g (x )，则f (t )＝a ，g (x )＝t ，从而先由f (t )＝a 确定t 的解(或取值范围)，再由g (x )＝t 并数形结合确定x 的解的个数．典例 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg (－x )|，x <0，x 3－6x ＋4，x ≥0，若关于x 的函数y ＝f 2(x )－bf (x )＋1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围为( )A ．(2,8)B ．[2，174) C ．(2，174]D ．(2,8]【分析】 本题应先求方程t 2－bt ＋1＝0的根，设为t 1，t 2，再根据t 1＝f (x )，t 2＝f (x )的解的个数确定函数y ＝f 2(x )－bf (x )＋1的零点个数．已知函数y ＝f 2(x )－bf (x )＋1有8个不同的零点，先确定两个实数t 的范围，再转化为一元二次方程t 2－bt ＋1＝0根的分布问题来解决．【解析】 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg (－x )|，x <0，x 3－6x ＋4＝(x －2)(x 2＋2x －2)，x ≥0，作出f (x )的简图，如图所示．由图象可得，f (x )在(0,4]上任意取一个值，都有四个不同的x 值与之对应．再结合题中函数y ＝f 2(x )－bf (x )＋1有8个不同的零点，可得关于t 的方程t 2－bt ＋1＝0有两个不同的实数根t 1，t 2，且0<t 1≤4,0<t 2≤4，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4>0，0<b2<4，0－b ×0＋1>0，42－4b ＋1≥0，解得2<b ≤174.【答案】 C归纳总结 本题结合图象可知，一元二次方程t 2－bt ＋1＝0的两个根0<t 1≤4,0<t 2≤4，结合二次函数图象的特点可知，对称轴0<b2<4，且Δ>0，另外t ＝0时的函数值为正，t ＝4时的函数值非负．当涉及二次方程根的分布问题时，一般结合图象从判别式、对称轴位置以及特殊点函数值的符号来讨论．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x 的方程3f2(x)＋2af(x)＋b＝0的不同实根的个数是(A)A．3 B．4C．5 D．6解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由极值点定义可得，x1，x2为3x2＋2ax＋b ＝0①的两根，观察到方程①与3f2(x)＋2af(x)＋b＝0结构完全相同，可得3f2(x)＋2af(x)＋b＝0的两根为f1(x)＝x1，f2(x)＝x2，其中f(x1)＝x1.若x1<x2，可判断出x1是极大值点，x2是极小值点，且f2(x)＝x2>x1＝f(x1)，所以y＝f1(x)的图象与y＝f(x)的图象有两个交点，而y＝f2(x)的图象与y＝f(x)的图象有一个交点，共计3个交点(如图(1)所示)；若x1>x2，可判断出x1是极小值点，x2是极大值点，且f2(x)＝x2<x1＝f(x1)，所以y＝f1(x)的图象与y＝f(x)的图象有两个交点，而y＝f2(x)的图象与y＝f(x)的图象有一个交点，共计3个交点(如图(2)所示)．综上所述，共有3个交点．故选A.。

第一章 集合与常用逻辑用语第1节 集合及其运算考点一 集合的基本概念(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( A )A ．9B ．8C ．5D ．4解析：本题主要考查集合的含义与表示．由题意可知A ＝{(－1,0)，(0,0)，(1,0)，(0，－1)，(0,1)，(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}，故集合A 中共有9个元素，故选A.(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( D )A.92B.98 C ．0 D ．0或98解析：若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根，当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的取值为0或98.1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义．常见的集合的意义如下表：2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．3．集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．(1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( B )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：a ∈{1,2,3}，b ∈{4,5}，则M ＝{5,6,7,8}，即M 中元素的个数为4，故选B.(2)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则log 2 018⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋52的值为0 .解析：因为3∈A ，所以，m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3.此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)．当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32，log 2 018⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋52＝log 2 0181＝0.考点二 集合间的基本关系角度1 两集合间基本关系的判断(2019·西安一模)已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M ，且a ≠b }，则集合M 与集合N 的关系是( B )A ．M ＝NB ．N MC ．M ⊆ND ．M ∩N ＝∅解析：因为M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M ，且a ≠b }，所以N ＝{－1,0}，于是N M .角度2 利用集合间关系求参数(2019·郑州调研)已知集合A ＝{x |x 2－5x －14≤0}，集合B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为(－∞，4] .解析：A ＝{x |x 2－5x －14≤0}＝[－2,7]．当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为(－∞，4]．【条件探究】 若将本典例中的集合A 改为A ＝{x |x 2－5x －14>0}，其他条件不变，则m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞) .解析：A ＝{x |x 2－5x －14>0}＝{x |x <－2或x >7}．当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1＜2m －1，m ＋1≥7或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＜2m －1，2m －1≤－2. 解之得m ≥6.综上可知，实数m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．(2)要确定非空集合A 的子集的个数，需先确定集合A 中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(1)(2019·烟台调研)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k π4＋π4，k ∈Z ，集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π8－π4，k ∈Z ，则( B ) A ．M ∩N ＝∅B ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∪N ＝M解析：由题意可知，M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝(2k ＋4)π8－π4，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝2n π8－π4，n ∈Z ， N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝2k π8－π4或x ＝(2k －1)π8－π4，k ∈Z ， 所以M ⊆N ，故选B.(2)已知集合A ＝{y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ . 解析：因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2， 所以y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，2. 又因为A ⊆B ，所以1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34.考点三 集合的基本运算角度1 集合的交、并、补运算(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x <1}，则( A )A ．A ∩B ＝{x |x <0}B ．A ∪B ＝RC ．A ∪B ＝{x |x >1}D ．A ∩B ＝∅ 解析：本题主要考查集合的表示方法和集合交集、并集的概念和运算，还考查了指数函数的性质．∵3x ＜1＝30，∴x ＜0，∴B ＝{x |x ＜0}，∴A ∩B ＝{x |x ＜0}，A ∪B ＝{x |x ＜1}，故选A.(2)(2019·河西五市二模)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg(x －1)}，B ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋5}，则A ∩(∁U B )＝( D )A ．[1,2]B ．[1,2)C ．(1,2]D ．(1,2) 解析：由题意得A ＝{x |y ＝lg(x －1)}＝(1，＋∞)，B ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋5}＝[2，＋∞)，则∁U B ＝(－∞，2)，故A ∩(∁U B )＝(1,2)．角度2 利用集合运算求参数(2019·邯郸二模)已知集合A ＝{x ∈Z |x 2－4x －5<0}，B ＝{x |4x >2m }，若A ∩B 有三个元素，则实数m 的取值范围是(C )A ．[3,6)B ．[1,2)C ．[2,4)D ．(2,4] 解析：集合A ＝{x ∈Z |x 2－4x －5＜0}＝{0,1,2,3,4}，B ＝{x |4x ＞2m }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞m 2，∵A ∩B 有三个元素，∴1≤m 2＜2，解得2≤m ＜4，∴实数m 的取值范围是[2,4)．1.解决集合的基本运算问题一般应注意以下几点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用．集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn 图．2．根据集合运算结果求参数，主要有以下两种形式：(1)用列举法表示的集合，直接依据交、并、补的定义求解，重点注意公共元素；(2)由描述法表示的集合，一般先要对集合化简，再依据数轴确定集合的运算情况，特别要注意端点值的情况．(1)设集合U ＝R ，A ＝{x |2x (x －2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( B )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x ＜2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}解析：A ＝{x |2x (x －2)＜1}＝{x |x (x －2)＜0}＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |1－x ＞0}＝{x |x ＜1}，则∁U B ＝{x |x ≥1}，阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x ＜2}．(2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( D )A ．[－1,2)B ．[－1,3]C ．[2，＋∞)D ．[－1，＋∞)解析：由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}．又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2；②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1＜m ＋1，解得－1≤m ＜2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)．考点四 集合的新定义问题 (1)(2019·合肥模拟)对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝x 2－3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－2x ，x ∈R }，则A ⊕B ＝( C )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，0 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－94∪(0，＋∞) 解析：因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ≥－94，B ＝{y |y ＜0}， 所以A －B ＝{y |y ≥0}，B －A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪ y ＜－94， A ⊕B ＝(A －B )∪(B －A )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ≥0或y ＜－94.故选C. (2)已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意实数对(x 1，y 1)∈M ，都存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪y ＝1x ； ②M ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }；③M ＝{(x ，y )|y ＝e x －2}；④M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}．其中是“垂直对点集”的序号是( C )A ．①④B ．②③C ．③④D ．②④解析：记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由x 1x 2＋y 1y 2＝0得OA ⊥OB .对于①，对任意A ∈M ，不存在B ∈M ，使得OA ⊥OB .对于②，当A 为点(1,0)时，不存在B ∈M 满足题意．对于③④，对任意A ∈M ，过原点O 可作直线OB ⊥OA ，它们都与函数y ＝e x －2及y ＝sin x ＋1的图象相交，即③④满足题意，故选C.解决集合新定义问题的着手点(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．(1)设集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{－1,1,2,3}，定义A #B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫z ⎪⎪⎪z ＝x y ，x ∈A ，y ∈B ，则A #B 中元素的个数是( B ) A ．5B ．7C ．10D ．15 解析：因为x ∈A ，所以x 可取－1,0,1；因为y ∈B ，所以y 可取－1,1,2,3.则z ＝x y 的结果如下表所示：故A #B 中元素有－1，－12，－13，0，13，12，1，共7个，故选B.(2)若数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1<a 2<…<a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与a j a i两数中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”．则( B )A ．{1,3,4}为“权集”B ．{1,2,3,6}为“权集”C ．“权集”中元素可以有0D ．“权集”中一定有元素1解析：对于A ，由于3×4与43均不属于数集{1,3,4}，故A 不正确；对于B ，选1,2时，有1×2属于{1,2,3,6}，同理取1,3，取1,6，取2,3时也满足，取2,6时，有62属于{1,2,3,6}，取3,6时，有63属于{1,2,3,6}，所以B 正确；由“权集”定义知1≤a 1＜a 2＜…＜a n 且a j a i需要有意义，故不能有0，故C 不正确；如集合{2,4}，符合“权集”定义，但不含1，所以D 不正确.1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( B )A ．{x |－1<x <2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x <－1}∪{x |x >2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}解析：本题主要考查集合的基本运算及一元二次不等式的解法．化简A ＝{x |x ＜－1或x ＞2}，∴∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.2．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( C )A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2} 解析：本题考查集合的运算．∵A ＝{x |x ≥1}，B ＝{0,1,2}，∴A ∩B＝{1,2}，故选C.3．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( C )A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}解析：本题主要考查集合的运算．∵A ∩B ＝{1}，∴1∈B ，∴1－4＋m ＝0，∴m ＝3.由x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3.∴B ＝{1,3}．经检验符合题意，故选C.4．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( B )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：集合A 表示单位圆上的所有的点，集合B 表示直线y ＝x 上的所有的点．A ∩B 表示直线与圆的公共点，显然，直线y ＝x 经过圆x 2＋y 2＝1的圆心(0,0)，故共有两个公共点，即A ∩B 中元素的个数为2.5．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( D )A.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 解析：因为A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}＝{x |1＜x ＜3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＞32，所以A ∩B ＝{x |1＜x ＜3}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＞32＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪32＜x ＜3.故选D. 6．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)·(x －2)<0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( C )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3} 解析：由(x ＋1)(x －2)＜0⇒－1＜x ＜2，又x ∈Z ，∴B ＝{0,1}，∴A ∪B ＝{0,1,2,3}．故选C.第2节命题及其关系、充分条件与必要条件考点一四种命题及其相互关系(1)(2019·青岛调研)下列命题：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题；②“全等三角形的面积相等”的逆命题；③“若a＞1，则ax2－2ax＋a＋3＞0的解集为R”的逆否命题；④“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是(A)A．③④B．①③C．①②D．②④解析：对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，为假命题；对于③，当a＞1时，Δ＝－12a＜0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确，故选A.(2)给出以下五个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；④若ab是正整数，则a，b都是正整数；⑤若f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减． 其中为真命题的是①③ .(写出所有真命题的序号)解析：①命题“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，显然①为真命题；②否命题为“不全等三角形的面积不相等”，但不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题为真，所以它的逆否命题也为真，故③为真命题；④若ab 是正整数，则a ，b 不一定都是正整数，例如a ＝－1，b ＝－3，故④为假命题；⑤构造函数f (x )＝x ，g (x )＝－x ，则f (x )－g (x )＝2x ，显然f (x )－g (x )单调递增，故⑤为假命题．1.判断命题真假的2种方法(1)直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．(2)间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假．2．谨防3类失误(1)如果原命题是“若p ，则q ”，则否命题是“若綈p ，则綈q ”，而命题的否定是“若p ，则綈q ”，即否命题是对原命题的条件和结论同时否定，命题的否定仅仅否定原命题的结论(条件不变)．(2)对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写．(3)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．(1)已知集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 2，k ∈Z ，记原命题：“x ∈P ，则x ∈Q ”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( C )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：因为P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k ＋12，k ∈Z ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝2k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 2，k ∈Z ， 所以P Q ，所以原命题“x ∈P ，则x ∈Q ”为真命题，则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x ∈Q ，则x ∈P ”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.(2)以下关于命题的说法正确的有②④ (填写所有正确命题的序号)．①“若log 2a ＞0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”； ③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价． 解析：①不正确．由log 2a ＞0，得a ＞1，∴f (x )＝log a x 在其定义域内是增函数．②正确．由命题的否命题定义知，该说法正确．③不正确．原命题的逆命题为：“若x ＋y 是偶数，则x ，y 都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4为偶数，但1和3均为奇数．④正确．两者互为逆否命题，因此两命题等价．考点二 充分必要条件的判定角度1 用定义法判断充分、必要条件若p ：φ＝π2＋k π，k ∈Z ，q ：f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p 是q 的( A )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：若φ＝π2＋k π，k ∈Z ，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＋k π＝cos(ωx ＋k π)＝⎩⎪⎨⎪⎧cos ωx ，k 为偶数，－cos ωx ，k 为奇数， 所以函数f (x )是偶函数；若f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则φ＝π2＋k π，k ∈Z .角度2 用集合法判断充分、必要条件“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：由ln(x ＋1)＜0，得0＜x ＋1＜1，即－1＜x ＜0，由于{x |－1＜x ＜0}⊆{x |x ＜0}，故“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件． 角度3 用等价转化法判断充分、必要条件给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要不充分条件，则p 是綈q 的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为綈p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒綈p 但綈pA ⇒/q ，其逆否命题为p ⇒綈q 但綈qA ⇒/p ，所以p 是綈q 的充分不必要条件．角度4 充分与必要条件的探求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( A )A ．a ＜0B ．0＜a ＜12 C.12＜a ＜1 D ．a ≤0或a ＞1解析：因为函数f (x )的图象过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)的图象与直线y ＝a 无交点．数形结合可得a ≤0或a ＞1，即函数f (x )有且只有一个零点的充要条件是a ≤0或a ＞1，应排除D ；当0＜a ＜12时，函数y＝－2x ＋a (x ≤0)有一个零点，即函数f (x )有两个零点，应排除B ；同理，排除C.故选A.1.充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．2．把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面(1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；(2)注意问题的形式，看清“p 是q 的……”还是“p 的……是q ”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．(1)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的( A )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2.∴当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉＜0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线． 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件．(2)“log 2(2x －3)＜1”是“4x ＞8”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由log 2(2x －3)＜1⇒0＜2x －3＜2⇒32＜x ＜52，4x ＞8⇒2x ＞3⇒x ＞32，所以“log 2(2x －3)＜1”是“4x ＞8”的充分不必要条件，故选A.考点三 充分必要条件的应用已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为[0,3] .解析：由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3. 所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．【结论探究1】 本典例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？并说明理由．解：由典例知P ＝{x |－2≤x ≤10}．若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在．【结论探究2】 本典例条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由典例知P ＝{x |－2≤x ≤10}．∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴P 是S 的充分不必要条件，∴P ⇒S 且SA ⇒/P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10， ∴m ≥9，则m 的取值范围是[9，＋∞)．根据充要条件求解参数范围的方法及注意点(1)解决此类问题的方法：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)解决此类问题的注意点：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误．(1)已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2＋x ＜a 2－a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( C )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C ．[－1,2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，12∪[2，＋∞) 解析：由4x －1≤－1，即4x －1＋1≤0， 化简，得x ＋3x －1≤0，解得－3≤x ＜1； 由x 2＋x ＜a 2－a ，得x 2＋x －a 2＋a ＜0，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，即p 是q 的必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．设f (x )＝x 2＋x －a 2＋a ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)＝－a 2＋a ＋6＞0，f (1)＝－a 2＋a ＋2≥0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜3，－1≤a ≤2， 所以－1≤a ≤2.(2)(2019·辽宁沈阳月考)圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx －3有公共点的充分不必要条件是( B )A ．k ≤－22或k ≥2 2B ．k ≤－2 2C ．k ≥2D ．k ≤－22或k >2解析：若直线与圆有公共点，则圆心(0,0)到直线kx －y －3＝0的距离d ＝|－3|k 2＋1≤1，即k 2＋1≥3，∴k 2＋1≥9，即k 2≥8，∴k ≥22或k ≤－22，∴圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx －3有公共点的充分不必要条件是k ≤－22，故选B.1．(2018·北京卷)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：本题主要考查平面向量的数量积的应用以及充分、必要条件的判断．|a －3b |＝|3a ＋b |⇔|a －3b |2＝|3a ＋b |2⇔a 2－6a ·b ＋9b 2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2⇔2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，又∵|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝0⇔a ⊥b ，故选C.2．(2018·天津卷)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( A ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题主要考查解不等式和充分、必要条件的判断．由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12得－12＜x －12＜12，解得0＜x ＜1. 由x 3＜1得x ＜1.当0＜x ＜1时能得到x ＜1一定成立；当x ＜1时，0＜x ＜1不一定成立．所以“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件． 3．(2017·浙江卷)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：解法一：S 4＋S 6＞2S 5等价于(S 6－S 5)＋(S 4－S 5)＞0，等价于a 6－a 5＞0，等价于d ＞0，故选C.解法二：∵S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，∴S 4＋S 6－2S 5＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d －2(5a 1＋10d )＝d ，即S 4＋S 6＞2S 5等价于d ＞0，故选C.4．(2014·福建卷)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( A )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 解析：当k ＝1时，l ：y ＝x ＋1，由题意不妨令A (－1,0)，B (0,1)，则S △AOB ＝12×1×1＝12，所以充分性成立；当k ＝－1时，l ：y ＝－x ＋1，也有S △AOB ＝12，所以必要性不成立．5．(2018·北京卷)能说明“若f (x )＞f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是f (x )＝sin x ，x ∈[0,2](答案不唯一) .解析：根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0,2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f (x )min ＝f (0)即可，除所给答案外，还可以举出f (x )＝⎩⎨⎧ 0，x ＝0，1x ，0＜x ≤2等．第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断(1)(2019·山西临汾一中等五校联考)已知命题p ：∀x ≥4，log 2x ≥2；命题q ：在△ABC 中，若A ＞π3，则sin A ＞32.则下列命题为真命题的是( B )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．(綈p )∨q解析：∀x ≥4，log 2x ≥log 24＝2，所以命题p 为真命题；A ＝2π3＞π3，sin A ＝32，所以命题q 为假命题，故p ∧(綈q )为真命题，故选B.(2)(2019·郑州调研)命题p ：函数y ＝log 2(x －2)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝13x＋1的值域为(0,1)．下列命题是真命题的为(B)A．p∧q B．p∨qC．p∧(綈q) D．綈q解析：由于y＝log2(x－2)在(2，＋∞)上是增函数，∴命题p是假命题．由3x＞0，得3x＋1＞1，所以0＜13x＋1＜1，所以函数y＝13x＋1的值域为(0,1)，故命题q为真命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为假命题，綈q 为假命题．1.判断含有逻辑联结词命题真假的步骤2．含逻辑联结词命题真假的5种等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(綈p)∧(綈q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(綈p)∨(綈q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真．(5)綈p真⇔p假；綈p假⇔p真．(1)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中是真命题的是( A )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∧(綈q ) 解析：取a ＝c ＝(1,0)，b ＝(0,1)，显然a ·b ＝0，b ·c ＝0，但a ·c ＝1≠0，∴p 是假命题．又a ，b ，c 是非零向量，由a ∥b 知a ＝x b ，由b ∥c 知b ＝y c ，∴a ＝xy c ，∴a ∥c ，∴q 是真命题．综上知p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题．又∵綈p 为真命题，綈q 为假命题．∴(綈p )∧(綈q )，p ∧(綈q )都是假命题．(2)(2019·深圳联考)已知命题p ：不等式ax 2＋ax ＋1＞0的解集为R ，则实数a ∈(0,4)，命题q ：“x 2－2x －8＞0”是“x ＞5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( D )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．(綈p )∧q 解析：命题p ：当a ＝0时，有1＞0恒成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ＜0，解之得0＜a ＜4. ∴实数a ∈[0,4)，因此p 假，綈p 是真命题．命题q ：由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此“x 2－2x －8＞0”是“x ＞5”的必要不充分条件，q 为真命题．故(綈p )∧q 为真命题．考点二 全称命题与特称命题角度1 全称、特称命题的否定(2016·浙江卷)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( D )A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2解析：原命题是全称命题，其否定应为特称命题．其否定形式应为∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2，故选D.角度2 全称、特称命题的真假判断下列命题中为假命题的是( B )A ．∃α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin βB ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃x 0∈R ，x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且为常数)D ．∀a ＞0，函数f (x )＝(ln x )2＋ln x －a 有零点解析：当α＝0，β＝π2时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，A 为真命题；当φ＝π2时，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 是偶函数，B 为假命题；对于三次函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，当x →－∞时，y →－∞，当x →＋∞时，y →＋∞，又该函数的图象在R 上连续不断，故∃x 0∈R ，x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0，C 为真命题；当f (x )＝0时，(ln x )2＋ln x －a ＝0，则有a ＝(ln x )2＋ln x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋122－14≥－14，所以∀a ＞0，函数f (x )＝(ln x )2＋ln x －a 有零点，D为真命题．综上可知选B.1.对全(特)称命题进行否定的方法(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．提醒：对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．2．全(特)称命题真假的判断方法(1)(2019·陕西师大附中二模)若命题p：对任意的x∈R，都有x3－x2＋1＜0，则綈p为(D)A．不存在x0∈R，使得x30－x20＋1＜0B．存在x0∈R，使得x30－x20＋1＜0C．对任意的x∈R，都有x3－x2＋1≥0D．存在x0∈R，使得x30－x20＋1≥0解析：命题p：对任意的x∈R，都有x3－x2＋1＜0的否定为綈p：存在x0∈R，使得x30－x20＋1≥0，故选D.(2)下列四个命题：其中真命题是(D) A．p1，p3B．p1，p4 C．p2，p3D．p2，p4考点三 由命题的真假求参数的取值范围已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，则实数m 的取值范围为[2，＋∞) .解析：依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是真命题时，则有Δ＝m 2－4＜0，－2＜m ＜2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. 所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)．【条件探究】 本典例中的条件q 变为：存在x 0∈R ，x 20＋mx 0＋1＜0，其他不变，则实数m 的取值范围为[0,2] .解析：依题意，当q 是真命题时，Δ＝m 2－4＞0，所以m ＞2或m ＜－2.由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2≤m ≤2，得0≤m ≤2，所以m 的取值范围是[0,2]．【结论探究】 本典例条件不变，若p 且q 为假，p 或q 为真，则实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪[0,2) .解析：若p 且q 为假，p 或q 为真，则p ，q 一真一假．当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2； 当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2＜m ＜2，所以0≤m ＜2. 所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2)．根据命题的真假求参数取值范围的策略1．全称命题可转化为恒成立问题，特称命题可转化为存在性问题．2．根据含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．(1)(2019·广东汕头模拟)已知命题p ：关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0有实根；命题q ：a ＞0.若“綈(p ∨q )”是假命题，“p ∧q ”是假命题，则实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪(0,2) .解析：当命题p 为真时，有Δ＝a 2－4≥0，解得a ≤－2或a ≥2.∵“綈(p ∨q )”是假命题，∴p ∨q 是真命题．又“p ∧q ”是假命题，∴p ，q 一个为真命题，一个为假命题．①当p 真q 假时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－2或a ≥2，a ≤0，解得a ≤－2； ②当p 假q 真时，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜2，a ＞0，解得0＜a ＜2. 综上可得实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪(0,2)．(2)(2019·洛阳模拟)已知p ：∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，2x ＜m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫45，1 . 解析：由2x ＜m (x 2＋1)，可得m ＞2x x 2＋1， 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x 2＋1max ＝45，故当p 为真时，m ＞45；函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1＝(2x ＋1)2＋m －2， 令f (x )＝0，得2x ＝2－m －1，若f (x )存在零点，则2－m －1＞0，解得m ＜1， 故当q 为真时，m ＜1.若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫45，1.1．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p ：∃n ∈N ，n 2＞2n ，则綈p 为( C ) A ．∀n ∈N ，n 2＞2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2n C ．∀n ∈N ，n 2≤2n D ．∃n ∈N ，n 2＝2n解析：根据特称命题的否定为全称命题，知綈p ：∀n ∈N ，n 2≤2n ，故选C.2．(2015·浙江卷)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( D )A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )＞nB ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )＞nC ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)＞n 0D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)＞n 0解析：“f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定为“f (n )∉N *或f (n )＞n ”，全称命题的否定为特称命题，故选D.3．(2019·广东汕头一模)已知命题p ：关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根；命题q ：∀x ＞0,2x －a ＞0.若“綈p ”和“p ∧q ”都是假命题，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－2,1]C ．(1,2)D ．(1，＋∞) 解析：方程x 2＋ax ＋1＝0无实根等价于Δ＝a 2－4＜0，即－2＜a＜2；∀x ＞0,2x －a ＞0等价于a ＜2x 在(0，＋∞)上恒成立，即a ≤1.因“綈p ”是假命题，则p 是真命题，又因“p ∧q ”是假命题，则q 是假命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜2，a ＞1，得1＜a ＜2，所以实数a 的取值范围是(1,2)，故选C.4．(2019·广东七校联考)已知命题p ：∃a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－14，函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋a x ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上单调递增；命题q ：函数g (x )＝x ＋log 2x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上无零点．则下列命题中是真命题的是( D ) A ．綈p B ．p ∧q C ．(綈p )∨qD ．p ∧(綈q )解析：设h (x )＝x ＋a x ＋1.易知当a ＝－12时，函数h (x )为增函数，且h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝16＞0，则此时函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上必单调递增，即p 是真命题；∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12＜0，g (1)＝1＞0，∴g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫12，＋∞上有零点，即q 是假命题，根据真值表可知p ∧(綈q )是真命题，故选D.第二章 函数、导数及其应用第1节 函数及其表示考点一 求函数的定义域(1)(2019·长沙模拟)函数f (x )＝2－2x＋1log 3x 的定义域为( B )A ．{x |x ＜1}B ．{x |0＜x ＜1}C ．{x |0＜x ≤1}D ．{x |x ＞1}解析：要使函数有意义，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧2－2x≥0，x ＞0，log 3x ≠0，∴0＜x ＜1，故选B.(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( B )A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)可知－1＜u ＜0，即－1＜2x ＋1＜0，得－1＜x ＜－12.【条件探究】 若典例(2)中条件变为：“函数f (x －1)的定义域为(－1,0)”，则结果如何？解：因为f (x －1)的定义域为(－1,0)，即－1＜x ＜0，所以－2＜x－1＜－1，故f (x )的定义域为(－2，－1)，则使函数f (2x ＋1)有意义，需满足－2＜2x ＋1＜－1，解得－32＜x ＜－1.所以所求函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1. 【结论探究】 若典例(2)中条件不变，求函数g (x )＝f (2x ＋1)＋f (3x ＋1)的定义域．解：函数f (3x ＋1)有意义，需－1＜3x ＋1＜0，解得－23＜x ＜－13，又由f (2x ＋1)有意义，解得－1＜x ＜－12，所以可知g (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－12.1.已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f (x )是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．2．抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．(1)(2019·唐山模拟)已知函数f (x )的定义域为(－1,1)，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f (x －1)的定义域为( C ) A ．(－2,0) B ．(－2,2)C ．(0,2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0解析：由题意得⎩⎨⎧－1＜x 2＜1，－1＜x －1＜1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜2，0＜x ＜2，∴0＜x ＜2， ∴函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f (x －1)的定义域为(0,2)，故选C.(2)函数f (x )＝2x 21－x＋lg(3x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1.解析：要使函数f (x )＝2x 21－x ＋lg(3x ＋1)有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，解得－13＜x ＜1，所以函数f (x )＝2x 21－x＋lg(3x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1.考点二 求函数的解析式(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求函数f (x )的解析式． (2)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式．(4)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )的解析式． 解：(1)由于f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2， 故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2， x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (2)令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x ＞0，所以t ＞1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1，x ∈(1，＋∞)．(3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R . (4)由f (－x )＋2f (x )＝2x ，① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，② ①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋1－2－x3. 故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x 3，x ∈R .1.求函数解析式的四种方法2．谨防求函数解析式的2种失误(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题．求出解析式后要标注x 的取值范围．(2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．如已知f (x )＝x ＋1，求函数f (x )的解析式，可通过换元的方法得f (x )＝x 2＋1，函数f (x )的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．(1)(2019·合肥模拟)已知函数f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3x ，则f (x )的解析式为f (x )＝－x －2x (x ≠0)．解析：由题意知函数f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3x ，即f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，用1x 代换上式中的x ，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f (x )＝3x ，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f (x )＝3x，解得f (x )＝－x －2x (x ≠0)．(2)甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (min)的关系．则函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈(30，40)，110x －2，x ∈[40，60].解析：当x ∈[0,30]时，设y ＝k 1x ＋b 1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝0，30k 1＋b 1＝2，解得⎩⎨⎧k 1＝115，b 1＝0，即y ＝115x .当x ∈(30,40)时，y ＝2； 当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4，解得⎩⎨⎧k 2＝110，b 2＝－2，即y ＝110x －2.。

课时作业11函数与方程一、选择题lnx , x>0,1. 函数f(x) = o 门的零点个数是(D )I -x (x + 2), x <0A . 0B . 1C . 2D . 3解析：当x>0时，令f(x) = 0可得x = 1;当x < 0时，令f(x) = 0 可得x =- 2或x = 0•因此函数的零点个数为3•故选D.22. 方程In(x + 1)-x = 0(x>0)的根存在的大致区间是(B ) A . (0,1) B . (1,2) C . (2, e)D . (3,4)2解析：令 f(x) =ln(x + 1)--,贝S f(1) = ln(1 + 1)-2 = In2 — 2<0, f(2)=In3- 1>0,所以函数f(x)的零点所在大致区间为(1,2).故选B.3.已知函数f(x) = Iog 3x + 2x —a 在区间(1,2)内有零点，贝S 实数a的取值范围是(C )A . (— 1，— Iog 32)C . (Iog 32,1)(0, Iog 52) (1, Iog 34)f(1) f(2)<0，即(1- a) (Iog 32 - a)<0，解得 Iog 32<a<1，故选 C.4 .关于x 的方程|x 2- 2x|= a 2+ 1(a>0)的解的个数是(B )B. 2 C . 3解析：T 单调函数f(x) = Iog 3x + 2—a x在区间(1,2)内有零点，二解析：Ta>0,「.a 2 + 1>1.而 y =|x 2— 2x|的图象如图所示，「• y =|x 2 —2x|的图象与y = a 2+ 1的图象总有2个交点，即方程|x 2— 2x| = a 2 +1(a>0)的解的个数是2.5. (2019广东七校联合体联考)若函数f(x)= 2x +a 2x — 2a 的零点 在区间(0,1)上，贝S 实数a 的取值范围是(C )( nA. —3 2丿 B . (— X, 1) 1C. 2，+3D . (1 ,+3 )解析：易知函数f(x)的图象连续，且在(0,1)上单调递增."(0)^1) 2 1=(1 — 2a)(2 + a 2— 2a)<0,解得 a>26 .已知函数f(x)= lnx — ax 2 + ax 恰有两个零点，则实数a 的取值 范围为(C )A . ( — X , 0)B . (0,+x )C . (0,1)U (1,+工)D . ( — X , 0) U {1}解析：由题意，显然x = 1是函数f(x)的一个零点，取a =— 1,仅有一个零点，不符合题意，排除 A 、D ;取a = 1,则f(x) = lnx — x 21— 2x 2 + x (1 + 2xX1— X )则 f(x)= lnx + x 2— x,f ‘ (x) = 2x 2 — x +1x>0恒成立.则f(x)x+ x, f‘ (x) = 3 = 3 , f‘ (x)= 0 得x= 1,贝S f(x)在(0,1)上递增，在(1, +3 )上递减，f(x)max = f(1) = 0,即f(x)仅有一个零点，不符合题意，排除B，故选C.二、填空题x+ 3, x w 1,7. 已知f(x)= 2 c q 彳则函数g(x) = f(x) —g的零点_—x + 2x+ 3, x>1,个数为2.解析：函数g(x) = f(x) —e的零点个数即为函数y= f(x)与y= e的图象的交点个数.作出函数图象可知有2个交点，即函数g(x)=f(x)—e x有2个零点.8. 若函数f(x) = x2+ ax+ b的两个零点是一2和3,则不等式af(—2x)>0的解集是$国二2<x<K解析：行&) = x2+ ax+ b的两个零点是一2, 3.•••—2,3是方程x2+ax+ b= 0的两根，—2 + 3 = —a, 由根与系数的关系知I— 2X 3 = b.a=—1,/.f(x) = x2—x —6.b= —6,T不等式af(—2x)>0,即—(4x2+ 2x—6)>0? 2x2+ x—3<0,解集为x| —3<x<1 .1og2X—1 X>1 ,9. 已知函数f(x) = 3贝S函数f(x)的零点个数为I x —3x + 1, x w 1,3.解析：解法1：当x>1时，由log2(x—1) = 0得x= 2,即x= 2为函数f(x)在区间(1 ,+ X)上的一个零点；当x< 1时，Tf(x) = x3—3x + 1 ,「.f' (x) = 3x2—3,由f' (x) = 0 得x=—1 或x= 1 ,v 当x< —1时，f‘ (x)>0,当一1 w x< 1 时，f‘ (x)w0,「・x=— 1 为函数f(x) = x3—3x+ 1 在(—X, 1］上的极大值点，T f( —1) = 3>0, f(1) = —1<0,且当x^ —X时，f(x)T —x,「.函数f(x) = x3—3x+ 1 在(一x, 1］上有两个不同的零点.综上，函数f(x)的零点个数为3.解法2：当x>1时，作出函数y= log2(x—1)的图象如图1所示，当x w 1时，由f(x) = x3—3x+ 1 = 0得，x3= 3x—1,在同一个平面直角坐标系中分别作出函数y= x3和y= 3x—1的图象如图2所示，由图1,2可知函数f(x)的零点个数为3.10. 定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)= 2 0佰+ log2 015X,则在R上，函数f(x)零点的个数为3.解析：因为函数f(x)为R上的奇函数，( 1 " 所以f(0)= 0,当x>0 时，f(x) = 2 0佰+ log2 015X在区间0, 2015 内存在一个零点，又f(x)为增函数,因此在(0,+乂)内有且仅有一个零点.根据对称性可知函数在(-乂，0)内有且仅有一个零点,从而函数f(x)在R上的零点个数为3.三、解答题x 111. 已知函数f(x) = X3—X2+2 + 4.证明：存在X o € 0, 2 J,使f(x o) = x o.11111 1证明：令g(x) = f(x) —x.Tg(0) = 4 卜吃丿—2=—8,7(。

2020版高考数学大一轮精准复习精练2.7 函数与方程挖命题【考情探究】分析解读函数与方程思想是中学数学最重要的思想方法之一,因为函数图象与x轴的交点的横坐标就是函数的零点,所以可以结合常见的二次函数、对数函数、三角函数等内容进行研究.本节内容在高考中分值为5分左右,属于难度较大的题.在备考时,注意以下几个问题:1.结合函数与方程的关系求函数的零点;2.结合零点存在性定理或函数的图象,对函数是否存在零点进行判断;3.利用零点(方程实根)的存在性求有关参数的取值或取值范围是高考中的热点问题.破考点【考点集训】考点函数的零点与方程的根1.函数f(x)=2x+log2|x|的零点个数为( )A.0B.1C.2D.3答案C2.已知函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是.答案(0,3)3.函数f(x)=当a=0时,f(x)的值域为;当f(x)有两个不同的零点时,实数a的取值范围为.答案[-4,+∞);(-∞,-1)∪[0,3)炼技法【方法集训】方法1判断函数零点所在区间和零点个数的方法1.已知函数f(x)=①当m=0时,函数f(x)的零点个数为;②如果函数f(x)恰有两个零点,那么实数m的取值范围为.答案①3②[-2,0)∪[4,+∞)方法2函数零点的应用2.已知函数f(x)=有两个不同的零点,则实数a的取值范围是( )A.[-1,0)B.(1,2]C.(1,+∞)D.(2,+∞)答案C3.已知f(x)=(1)当a=1时,f(x)=3,则x= ;(2)当a≤-1时,若f(x)=3有三个不等的实数根,且它们成等差数列,则a= .答案(1)4 (2)-过专题【五年高考】A组自主命题·天津卷题组1.(2015天津文,8,5分)已知函数f(x)=函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为( )A.2B.3C.4D.5答案A2.(2012天津,4,5分)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是( )A.0B.1C.2D.3答案BB组统一命题、省(区、市)卷题组1.(2018课标Ⅰ,9,5分)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是( )A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)答案C2.(2017课标Ⅲ,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a=( )A.-B.C.D.1答案C3.(2018课标Ⅲ,15,5分)函数f(x)=cos在[0,π]的零点个数为.答案34.(2018江苏,19,16分)记f'(x),g'(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R,满足f(x0)=g(x0)且f'(x0)=g'(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.(1)证明:函数f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”;(2)若函数f(x)=ax2-1与g(x)=ln x存在“S点”,求实数a的值;(3)已知函数f(x)=-x2+a,g(x)=.对任意a>0,判断是否存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”,并说明理由.解析本题主要考查利用导数研究初等函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力以及逻辑推理能力.(1)证明:∵函数f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,∴f'(x)=1,g'(x)=2x+2,∵f(x)=g(x)且f'(x)=g'(x),∴此方程组无解.∴f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”.(2)∵f(x)=ax2-1,g(x)=ln x,∴f'(x)=2ax,g'(x)=,设x0为f(x)与g(x)的“S点”,由f(x0)=g(x0)且f'(x0)=g'(x0),得即(*)解得ln x0=-,即x0=,则a==.当a=时,x0=满足方程组(*),即x0为f(x)与g(x)的“S点”,因此,a的值为.(3)f'(x)=-2x,g'(x)=,x≠0,f'(x0)=g'(x0)⇒b=->0⇒x0∈(0,1),f(x0)=g(x0)⇒-+a==-⇒a=-,令h(x)=x2--a=,x∈(0,1),a>0,设m(x)=-x3+3x2+ax-a,x∈(0,1),a>0,则m(0)=-a<0,m(1)=2>0⇒m(0)·m(1)<0,又m(x)的图象在(0,1)上连续,∴m(x)在(0,1)上有零点,∴h(x)在(0,1)上有零点.∴对任意a>0,存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”.思路分析本题是新定义情境下运用导数研究函数零点问题,前两问只需按新定义就能解决问题,第三问中先利用f'(x0)=g'(x0)对x0加以限制,然后将f(x0)=g(x0)转化成a=-,从而转化为研究h(x)=,x∈(0,1),a>0的零点存在性问题,再研究函数m(x)=-x3+3x2+ax-a,x∈(0,1),a>0,由m(0)<0,m(1)>0可判断出m(x)在(0,1)上存在零点,进而解决问题.C组教师专用题组1.(2017山东,10,5分)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是( )A.(0,1]∪[2,+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,]∪[2,+∞)D.(0,]∪[3,+∞)答案B2.(2015安徽,2,5分)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )A.y=cos xB.y=sin xC.y=ln xD.y=x2+1答案A3.(2014山东,8,5分)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( )A. B. C.(1,2) D.(2,+∞)答案B4.(2013课标Ⅱ,10,5分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( )A.∃x0∈R,f(x0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f'(x0)=0答案C5.(2011天津,8,5分)对实数a和b,定义运算“⊗”:a⊗b=设函数f(x)=(x2-2)⊗(x-x2),x∈R.若函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是( )A.(-∞,-2]∪B.(-∞,-2]∪C.∪D.∪答案B【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共45分)1.(2018天津蓟州一中模拟,8)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=当函数y=f(x-1)--k(x-2)(其中k>0)的零点个数取得最大值时,实数k的取值范围是( )A.(0,6-)B.(6-,2-)C.D.答案C2.(2017天津五校联考(1),8)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)+2x-a有三个零点,则实数a的取值范围是( )A.(0,+∞)B.(-∞,-1)C.(-∞,-3)D.(-3,0)答案C3.(2017天津河东二模,8)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围是( )A.[-1,1)B.[-1,2)C.[-2,2)D.[0,2]答案B4.(2018天津耀华中学二模,8)已知函数f(x)=函数g(x)=f(1-x)-kx+k-恰有三个不同的零点,则k的取值范围是( )A.(-2-,0]∪B.(-2+,0]∪C.(-2-,0]∪D.(-2+,0]∪答案D5.(2018天津和平三模,8)定义在R上的函数f(x)=且f(x+1)=f(x-1),g(x)=,函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-3,1)∪(1,5]上的所有零点为x1,x2,…,x n,则x i等于( )A.2B.4C.6D.8答案D6.(2018天津河西二模,8)已知函数f(x)+2=,当x∈(0,1]时,f(x)=x2.若在区间(-1,1]内,g(x)=f(x)-t(x+1)有两个不同的零点,则实数t的取值范围是( )A. B. C. D.答案D7.(2018天津河西一模,8)已知函数f(x)=(x∈R),若关于x的方程f2(x)-mf(x)+m-1=0恰好有4个不相等的实根,则m的取值范围是( )A. B. C. D.答案D8.(2019届天津河西期中,8)已知定义域为(0,+∞)的单调递增函数f(x)满足:∀x∈(0,+∞),有f(f(x)-ln x)=1,则方程f(x)=-x2+4x-2的解的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案D9.(2018天津滨海新区七校联考,8)已知函数f(x)=若函数y=f(f(x)-a)-1有三个零点,则实数a的取值范围是( )A.∪(2,3]B.∪(2,3]∪C.∪[2,3)∪D.∪(2,3]答案B二、填空题(每小题5分,共10分)10.(2019届天津一中第一次月考,14)已知函数f(x)=其中m<-1,对于任意x1∈R且x1≠0,均存在唯一实数x2,使得f(x2)=f(x1),且x1≠x2,若关于x的方程|f(x)|=f(m)有4个不相等的实数根,则a的取值范围是.答案(-2,-1)11.(2017天津河西二模,14)已知函数f(x)=则函数y=f[f(x)]+1的所有零点构成的集合为.答案。

2020版高考数学大一轮精准复习精练高考专题二函数概念与基本初等函数【真题典例】2.1 函数的概念及表示挖命题【考情探究】分析解读 1.理解函数的概念,应把重点放在构成它的三要素上,并会根据定义判断两个函数是不是同一个函数.2.掌握函数的三种表示方法,即图象法、列表法、解析法.3.掌握分段函数及其应用,在解决分段函数问题时,要注意分段函数是一个函数,而不是几个函数,要会求其值域.4.分段函数图象的作法是高考的热点.5.本节在高考中分值约为5分,属中等难度题.破考点 【考点集训】考点一 函数的有关概念及表示1.函数f(x)=的定义域为( )A.[0,+∞)B.[1,+∞)C.(-∞,0]D.(-∞,1] 答案 A2.函数f(x)=的定义域为. 答案 {x|x ≥0且x ≠1}考点二 分段函数3.某市家庭煤气的使用量x(m 3)和煤气费f(x)(元)满足关系式f(x)=已知某家庭今年前三个月的煤气使用量和煤气费如下表:若四月份该家庭使用了20m的煤气,则煤气费为( )A.11.5元B.11元C.10.5元D.10元答案A4.若函数f(x)=则f= ;方程f(-x)=的解是.答案-2;-或1炼技法【方法集训】方法1求函数定义域的方法1.已知函数f(2-x)=,则函数f()的定义域为( )A.[0,+∞)B.[0,16]C.[0,4]D.[0,2]答案B2.已知函数f(x)的定义域是[-1,2],则y=f(x)+f(-x)的定义域是( )A.[-1,1]B.[-2,2]C.[-1,2]D.[-2,1]答案A方法2确定函数解析式的方法3.甲、乙两地相距500km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度v不能超过120km/h.已知汽车每小时的运输成本为元,则全程运输成本y与速度v的函数关系是y= ,当汽车的行驶速度为km/h时,全程运输成本最小.答案18v+(0<v≤120);100方法3分段函数问题的解题策略4.已知函数f(x)=则方程f(1+x2)=f(2x)的解集是.答案[0,+∞)5.已知函数f(x)=则满足f(f(a))=|2f(a)-1|的实数a的取值范围为.答案a≤1或a≥4过专题【五年高考】A组自主命题·天津卷题组1.(2018天津文,14,5分)已知a∈R,函数f(x)=若对任意x∈[-3,+∞), f(x)≤|x|恒成立,则a的取值范围是.答案2.(2014天津,14,5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为.答案(0,1)∪(9,+∞).B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一函数的有关概念及表示1.(2014江西,3,5分)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=( )A.1B.2C.3D.-1答案A2.(2018江苏,5,5分)函数f(x)=的定义域为.答案[2,+∞)3.(2016江苏,5,5分)函数y=的定义域是.答案[-3,1]考点二分段函数1.(2015课标Ⅱ,5,5分)设函数f(x)=则f(-2)+f(log212)=( )A.3B.6C.9D.12答案C2.(2018浙江,15,6分)已知λ∈R,函数f(x)=当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是.答案(1,4);(1,3]∪(4,+∞)3.(2017课标Ⅲ,15,5分)设函数f(x)=则满足f(x)+f>1的x的取值范围是.答案4.(2015浙江,10,6分)已知函数f(x)=则f(f(-3))= ,f(x)的最小值是.答案0;2-3C组教师专用题组考点一函数的有关概念及表示(2015浙江,7,5分)存在函数f(x)满足:对于任意x∈R都有( )A.f(sin2x)=sin xB.f(sin2x)=x2+xC.f(x2+1)=|x+1|D.f(x2+2x)=|x+1|答案D考点二分段函数1.(2015山东,10,5分)设函数f(x)=则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是( )A. B.[0,1] C. D.[1,+∞)答案C2.(2014福建,7,5分)已知函数f(x)=则下列结论正确的是( )A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)答案D3.(2014上海,18,5分)设f(x)=若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为( )A.[-1,2]B.[-1,0]C.[1,2]D.[0,2]答案D4.(2018江苏,9,5分)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)=则f(f(15))的值为.答案5.(2014浙江,15,4分)设函数f(x)=若f(f(a))≤2,则实数a的取值范围是.答案(-∞,]6.(2014四川,12,5分)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时,f(x)=则f= .答案1【三年模拟】选择题(每小题5分,共10分)1.(2019届天津南开中学统练(1),8)已知函数f(x)=e x+a·e-x+2(a∈R,e为自然对数的底数),若函数y=f(x)与y=f(f(x))的值域相同,则a的取值范围是( )A.a<0B.a≤-1C.0<a≤4D.a<0或0<a≤4答案A2.(2018天津南开三模,8)已知f(x)=a,b,c,d是互不相同的正数,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则abcd的取值范围是( )A.(18,24)B.(18,25)C.(20,25)D.(21,24)答案D。