高等数学多元函数微分学习题集锦.pdf

第8章 测试题1.),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数且在),(00y x 处有极值是 0),(00=y x f x 及0),(00=y x f y 的（ ）条件．A ．充分B ．充分必要C ．必要D ．非充分非必要2.函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂及z y ∂∂在点(,)x y 存在且连续是 (,)f x y 在该点可微分的（ ）条件．A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件3. 设(,)z f x y =的全微分dz xdx ydy =+，则点（0，0） 是（ ）A 不是(,)f x y 连续点B 不是(,)f x y 的极值点C 是(,)f x y 的极大值点D 是(,)f x y 的极小值点4. 函数22224422,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在（0，0）处（ C ）A 连续但不可微B 连续且偏导数存在C 偏导数存在但不可微D 既不连续，偏导数又不存在5.二元函数22((,)(0,0),(,)0,(,)(0,0)⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩x y x yf x y x y 在点(0,0)处( A). A ．可微,偏导数存在 B ．可微,偏导数不存在C ．不可微,偏导数存在D ．不可微,偏导数不存在6.设),(),,(y x v v v x f z ==其中v f ,具有二阶连续偏导数. 则=∂∂22y z( ). (A)222y v v f y v y v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂； (B)22y vv f∂∂⋅∂∂；(C)22222)(y v v fy v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂； (D)2222y v v f y v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂.7.二元函数33)(3y x y x z --+=的极值点是( ).(A) (1,2)； (B) (1.-2)； (C) (-1,2)； (D) (-1,-1). 8.已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且223(,)(0,0)(,)lim 1()x y f x y xy x y →-=+，则下述四个选项中正确的是（ ）.A ．点(0,0)是(,)f x y 的极大值点B ．点(0,0)是(,)f x y 的极小值点C ．点(0,0)不是(,)f x y 的极值点D ．根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点10.设函数(,)z z x y =由方程z y z x e -+=所确定，求2z y x ∂∂∂ 11.设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求 z z x y x y ∂∂-∂∂ 12.设222x y z u e ++=，而2sin z x y =，求u x ∂∂11.设(,,)z f x y x y xy =+-，其中f 具有二阶连续偏导数，求 2,z dz x y ∂∂∂.13.求二元函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值14.22在椭圆x +4y =4上求一点，使其到直线2360x y +-=的距离最短.第8章测试题答案1.A2.A3.D4.C5.A6.C7.D8.C 8. ()()3(1)z y z y e e ---9. 2122z z x y x y f f x y y x∂∂-=-∂∂ 10.2222(12sin )x y z u xe z y x++∂=+∂11.123123231113223233 ()(),()()dz f f yf dx f f xf dyzf f x y f f x y f xyf x y=+++-+∂=+++-+-+∂∂12.极小值11(0,)f ee-=-13. r h==14. 83(,)55。

第八章 多元函数微分法及其应用第 一 节 作 业一、填空题：.sin lim .4.)](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos),,(.21)1ln(.102222322====-=+=+++-+-=→→x xyx x f x x x x y x y x f yx z z y x f y x x y x z ay x ψϕψϕ则设的定义域为函数的定义域为函数二、选择题（单选）： 1. 函数yx sin sin 1的所有间断点是:(A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）；(B) x=y=n π(n=1,2,3,…)；(C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)；(D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。

答：（ ）2. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222222y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处：（A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。

答：（ ） 三、求.42lim 0xy xy ay x +-→→四、证明极限2222200)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。

第 二 节 作 业一、填空题：.)1,(,arcsin)1(),(.2.)1,0(,0,0),sin(1),(.122=-+==⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x f yxy x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设二、选择题（单选）：.42)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2)(:,2222222y x y x y x y y x y D ey x y C y y x B y A z z ++++⋅+⋅+⋅⋅=等于则设答：（ ）三、试解下列各题：.,arctan .2.,,tan ln .12yx zx y z yzx z y x z ∂∂∂=∂∂∂∂=求设求设四、验证.2222222222r zr y r x r z y x r =∂∂+∂∂+∂∂++=满足第 三 节 作 业一、填空题：.,.2.2.0,1.0,1,2.1====∆-=∆=∆===dz e z dz z y x y x xyz xy 则设全微分值时的全增量当函数二、选择题（单选）：1. 函数z=f(x,y)在点P 0（x 0,y 0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的：（A ）充分条件； （B ）充要条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。

第九章 多元函数微分学§9.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()D y x P ∈,，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以()y x f z ,=，D 称为定义域。

二元函数()y x f z ,=的图形为空间一卦曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。

例如 221y x z --=，1:22≤+y x D ， 此二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是 xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。

2．三元函数与n 元函数()z y x f u ,,= ()Ω∈z y x ,,空间一个点集称为三元函数()n x x x f u ,,21 = 称为n 元函数它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。

条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。

二、二元函数的极限设函数),(y x f 在区域D 内有定义，),(000y x P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的0>ε，总存在0>δ，当),(y x P 满足δ<-+-=<20200)()(0y y x x PP 时，恒有ε<-A y x f ),(成立。

则记以()A y x f y y x x =→→,lim 0或()()()A y x f y x y x =→,lim00,,。

称当()y x ,趋于()00,y x 时，()y x f ,的极限存在，极限值A ，否则称为极限不存在。

值得注意：这里()y x ,趋于()00,y x 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于()00,y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。

(((x 2 + y 2 ≤ 1, x+ y }(1- (t + 4) 2 解：令 t=xy ， lim = lim= lim 2=- t →0 t →0习题 8-11. 求下列函数的定义域：(1) z =解： x -x - y ；y ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ D ={x, y ) y ≥ 0, x ≥ y }x(2) z = ln( y - x) +；1 - x2 - y 2解： y - x ≥ 0, x ≥ 0,1 - x 2 - y 2 ⇒ D ={ x , y ) y > x ≥ 0 且 x2+ y 2 < 1}(3) u = R 2 - x 2 - y 2- z 2 +1x 2 + y 2+ z 2 - r 2(R > r > 0) ；解： 0 ≤ R 2 - x 2 - y 2 - z 2，0 < x 2 + y 2 + z 2 - r 2 ⇒⇒ D = {x , y , z ) r 2< x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2}(4) u = arccoszx 2 + y 2。

解：z2 2 ≠ 0 ⇒ D = {x, y ) z ≤x 2 + y 2 且 x 2 + y 2≠ 02. 求下列多元函数的极限:：(1) lim ln( x + e y )x →1 x 2 + y 2y →0；解： limx →1y →0ln( x + e y ) x 2 + y 2 = ln(1+ 1)1= ln 2(2) lim 2 - xy + 4x →0xy y →0；1- 2 - xy + 4 2 t + 4 1 x →0xy t 1 4 y →01 / 28x →0 y →0x →0lim x +y = , m 不同时,极值也不同,所以极限不存在 。

(3) lim sin xyx →0x y →5；sin xy sin xy解： lim = 5lim = 5x →0 x 5xy →5y →01 - cos( x2 + y 2 ) (4) lim( x 2 + y 2 )e x 2 y 2；x →0 y →0解：Q 1 - cos( x 2 + y 2 ) = 2(sinx 2 + y 2 2)2 ,∴ l im x →0 y →01 - cos( x2 + y 2 ) 1= 2 ⋅ ⋅ 0 = 0( x 2 + y 2 )e x 2 y 2 2(5) lim( x 2 + y 2 ) xy 。

第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答一、选择题1. 极限lim x y x yx y→→+00242= （提示：令22y k x =） （ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0或12 2、设函数f x y x y y xxy xy (,)sin sin=+≠=⎧⎨⎪⎩⎪1100，则极限lim (,)x y f x y →→0= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于23、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000，则(,)f x y （ A ）（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，200(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件5、设u y x =arctan ，则∂∂u x = （ B ）(A)xx y 22+(B) -+y x y 22 (C) yx y 22+(D)-+xx y 226、设f x y yx(,)arcsin=，则f x '(,)21= （ A ） （A ）-14（B ）14 （C ）-12 （D ）127、设yxz arctan=，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）（A ）22v u v u -- （B ）22v u u v -- （C ）22v u v u +- （D ）22v u uv +-8、若f x x x x f x x x x (,),(,)'232612=+=+，则f x x y '(,)2= （ D ） (A) x +32(B) x -32(C) 21x + (D) -+21x 9、设z y x =，则()(,)∂∂∂∂z x zy+=21 （ A ） (A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 110、设z xye xy =-，则z x x x'(,)-= （ D ） (A)-+2122x x e x () (B)2122x x e x ()- (C)--x x e x ()122 (D)-+x x e x ()12211、曲线x t y t z t ===24sin ,cos ,在点(,,)202π处的法平面方程是 （C ）(A) 242x z -=-π (B) 224x z -=-π (C) 42y z -=-π (D) 42y z -=π12、曲线45x y y z ==,,在点(,,)824处的切线方程是 （A ）(A)842204x z y --=-= (B)x y z +==+122044 (C) x y z -=-=-85244 (D)x y z -=-=351413、曲面x z y x z cos cos +-=ππ22在点ππ2120,,-⎛⎝ ⎫⎭⎪处的切平面方程为 （D ）（A ）x z -=-π1 （B ）x y -=-π1 （C ）x y -=π2 （D ）x z -=π214、曲面x yz xy z 2236-=在点(,,)321处的法线方程为 （A ） （A ）x y z +=--=--58531918 （B ）x y z -=-=--3823118（C ）83180x y z --= （D ）831812x y z +-=15、设函数z x y =-+122，则点 (,)00是函数 z 的 （ B ） （A ）极大值点但非最大值点 （B ）极大值点且是最大值点 （C ）极小值点但非最小值点 （D ）极小值点且是最小值点 16、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在P x y 000(,)处，有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（ C ）（A ）点P 0是函数z 的极大值点 （B ）点P 0是函数z 的极小值点 （C ）点P 0非函数z 的极值点 （D ）条件不够，无法判定 17、函数f x y z z (,,)=-2在222421x y z ++=条件下的极大值是 （ C ）(A) 1 (B) 0 (C)-1 (D) -2 二、填空题 1、极限limsin()x y xy x→→0π= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：π 2、极限limln()x y x y e x y→→++01222=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：ln23、函数z x y =+ln()的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：x y +≥14、函数z xy=arcsin 的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-≤≤11x ，y ≠0 5、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫⎭⎪22，则f kx ky (,)= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：k f x y 2⋅(,)6、设函数f x y xy x y (,)=+，则f x y x y (,)+-= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：222x y x-（22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-Q ）7、设f x y x y x y A x y (,)ln()//=-⋅+<+≥⎧⎨⎩11212222222，要使f x y (,)处处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-ln28、设f x y x y x y x y Ax y (,)tan()(,)(,)(,)(,)=++≠=⎧⎨⎪⎩⎪22220000，要使f x y (,)在（0，0）处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：1 9、函数221x y z x +=-的间断点是 .答：直线10x -=上的所有点10、函数f x y x y yx (,)cos =-122的间断点为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：直线y x =±及x =011、设z x y y =-+sin()3，则∂∂z xx y ===21_________ .答：3cos512、设f x y x y (,)=+22，则f y (,)01= _________ .答：113、设u x y z x y z(,,)=⎛⎝ ⎫⎭⎪，则)3,2,1(d u =_________ .答：38316182d d ln d x y z --14、设u x x y =+22，则在极坐标系下，∂∂ur= _________ .答：0 15、设u xy y x =+，则∂∂22u x = _________.答：23yx16、设u x xy =ln ，则∂∂∂2u x y = ___________ .答：1y17、函数y y x =()由12+=x y e y 所确定，则d d y x = ___________ .答：22xye xy - 18、设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，则∂∂zy= _______ .答：2112xyz xy --19、由方程xyz x y z +++=2222所确定的函数z z x y =(,)在点（1，0，－1）处的全微分d z = _________ .答：d d x y -220、曲线x t y t z t ===23213,,在点(,,)1213处的切线方程是_________.答：x y z -=-=-12221321、曲线x te y e z t e t t t ===232222,,在对应于 t =-1点处的法平面方程是___________. 答：01132=+--e y x 22、曲面xe y e z e ey z x ++=+223321在点(,,)210-处的法线方程为_________ . 答：e ze y x 22212=-+=- 23、曲面arctan y xz 14+=π在点(,,)-210处的切平面方程是_________.答：y z +=2124、设函数z z x y =(,)由方程123552422x xy y x y e z z +--+++=确定，则函数z的驻点是_________ .答：（－1，2） 27、函数z x y x y =----2346122的驻点是_________.答：（1，1）25、若函数f x y x xy y ax by (,)=+++++22236在点 (,)11-处取得极值，则常数a =_________， b =_________.答：a =0，b =426、函数f x y z x (,,)=-22在x y z 22222--=条件下的极大值是_______答：-4 三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z = (2)ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-解：(1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.42、求极限limsin x y y xxy →→+-0211.解：lim sin x y y xxy →→+-0211=⋅++→→lim sin ()x y y x xy xy 00211= 43、求极限lim sin()x y x y x yxy →→-+0023211. 解：原式=lim ()sin()x y x y x y x y xy →→-++0232211=-++⋅→→limsin()x y x y xy xy 002111=-124、求极限lim x y xxye xy→→-+0416 . 解：lim x y xxye xy→→-+00416=++-→→lim ()x y x xye xy xy 00416= -85、设u x y y x =+sin cos ，求 u u x y ,. 解：u y y x x =-sin sinu x y x y =+cos cos6、设z xe ye y x =+-，求z z x y ,. 解：z e ye x y x =--z xe e y y x =+-7、设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，试求∂∂∂∂z x zy,（其中x y +≠0）. 解一：原式两边对x 求导得yz x x zxz y ∂∂∂∂+++=0，则∂∂z x z y y x =-++同理可得：∂∂z y z x y x =-++ 解二：xy xz F F y z xy y z F F x z x y y x ++-=-=++-=-=∂∂∂∂, 8、求函数z x xy y x y =-++-+23243122的极值.解：由z x y z x y x y=-+==-+-=⎧⎨⎩43403430，得驻点(,)-10074334>=--==yy yxxy xx z z z z D z xx =>40，函数z 在点(,)-10处取极小值z (,)-=-101.9、设z e x y =+32，而x t y t ==cos ,2，求d d z t. 解：d d (sin )()zte t e t x y x y =-+++3223232=-++(sin )3432t t e x y10、设z y xy x =ln()，求∂∂∂∂z x z y,. 解：z y y xy xy x x x =⋅+ln ln 1 z xy xy yy y x x =+-11ln() 11、设u a x a x yz a =->+ln ()0，求d u . 解：∂∂u x a a ax x yz =-+-ln 1，∂∂u y a z a x yz =⋅+ln ，∂∂u zya a x yz =+ln d (ln )d ln (d d )u a a ax x a a z y y z x yz x yz =-+++-+112、求函数z x y e xy =++ln()22的全微分.解：∂∂∂∂z x x ye x y e z y y xe x y e xyxyxyxy=+++=+++222222,[]d ()d ()d z x y ex ye x y xe y xyxy xy =+++++12222 四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？ 解：设水池的长、宽、高分别为x y z ,,米.水池底部的单位造价为a .则水池造价()S xy xz yz a =++44 且 xyz =128令 ()L xy xz yz xyz =+++-44128λ由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=01280440404xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ得 x y z ===82由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数22128),(y xy x y x C +-=（元）.商品的限额为42=+y x ，求最小成本. 解：约束条件为042),(=-+=y x y x ϕ，构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-，解方程组160240420x y F x y F x y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-++=⎨⎪'=+-=⎩，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为8043)17,25(=C （元）.3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元， 求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx，解得唯一驻点（120，80）.又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得0105.332>⨯=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元. 五、证明题 1、设)11(yx e z +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂.证明： 因为2)11(1x e xzy x ⋅=∂∂+-, 2)11(1ye y z y x ⋅=∂∂+-, 所以 z e e yz y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+-2、证明函数nx ey tkn sin 2-=满足关系式22x y k t y ∂∂=∂∂ 证明：因为nx e kn kn nx e ty tkn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx nex y tkn cos 2-=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222--=∂∂, nx e kn xyk t kn sin 2222--=∂∂,所以22x y k t y ∂∂=∂∂.3、设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅.证明：y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .。

（完整版）多元函数微分法及其应⽤习题及答案第⼋章多元函数微分法及其应⽤(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z 2，xy z2 ，则在D 上，xy zy x z =22。

(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的条件。

2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xyy x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4．设()xy x z ln =，求y x z 23及23y x z。

5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。

6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。

7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。

8．曲线??=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾⾓是多少？9．求⽅程1222222=++c11．设()y x f z ,=是由⽅程y z z x ln =确定的隐函数，求xz，y z ??。

12．设x y e e xy =+，求dxdy 。

13．设()y x f z ,=是由⽅程03=+-xy z e z确定的隐函数，求xz，y z ??，y x z 2。

14．设y ye z x cos 2+=，求全微分dz 。

15．求函数()222ln y x z ++=在点()2,1的全微分。

第六章多元函数微分学[单选题]1、设积分域在D由直线所围成，则=（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]2、（）．A、9B、4C、3D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]3、设，则=（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】首先设出，然后求出最后结果中把用次方代换一下就可以得到结果．[单选题]4、设则（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】本题直接根据偏导数定义得到. [单选题]5、设，=（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】对x求导，将y看做常数，．[单选题]6、设，则= （）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]7、A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]8、函数的定义域为（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】，，综上满足：.[单选题]9、（）．A、0B、﹣1C、1D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]10、设，则（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]11、函数的确定的隐函数，则=（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】方程左右两边求导，，.[单选题]12、设，则在(0,0)处（）．A、取得极大值B、取得极小值C、无极值D、无法判定是否取得极值【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】故，故取得极小值[单选题]13、设，则=（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]14、设z=x^2/y,x=v-2u,y=u+2v，则（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]15、设函数z=ln(x2+y2)，则=( )A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]16、设函数，则＝（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】参见教材P178～179。

- 1 -第八章多元函数微积分习题一一、填空题1. 设f(x,y)=x-3y. ，则f(2,-1)=_______,f(-1,2)=________x2+y2_______. 2. 已知f(x,y)=2x2+y2+1，则f(x,2x)=__________二、求下列函数的定义域并作出定义域的图形 1.z=3. z=y-x 2. z=-x+-y 4-x2-y24. z=log2xy习题二一、是非题1. 设z=x+lny，则2∂z1=2x+ （）∂xy2. 若函数z=f(x,y)在P(x0,y0)处的两个偏导数fx(x0,y0)与fy(x0,y0)均存在，则该函数在P点处一定连续（）3. 函数z=f(x,y)在P(x0,y0)处一定有fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0) （）xy⎧,x2+y2≠0⎪4. 函数f(x,y)=⎨x2+y2在点(0,0)处有fx(0,0)=0及⎪0,x2+y2=0⎩fy(0,0)=0 （）5. 函数z=x2+y2在点(0,0)处连续，但该函数在点(0,0)处的两个偏导数zx(0,0),zy(0,0)均不存在。

（）二、填空题- 2 -1. 设z=lnx∂z∂z，则=___________;∂x∂yy2x=2y=1=___________;2. 设f(x,y)在点(a,b)处的偏导数fx(a,b)和fy(a,b)均存在，则limh→0f(a+h,b)-f(a,b-2h)=_________.h2xy+sin(xy);x2+ey三、求下列函数的偏导数：1. z=x3y-y3x+1;2. z=3. z=(1+xy)y;4. z=lntanx; y5. u=xy2+yz2+zx2∂2z∂2z∂2z四、求下列函数的2,和：∂x∂y2∂x∂y3241. z=x+3xy+y+2;2. z=xy五、计算下列各题1. 设f(x,y)=e-sinx(x+2y),求fx(0,1),fy(0,1);∂2z2. 设f(x,y)=xln(x+y)，求2∂x六、设z=ln(x+y)，证明：x1313∂2z,2x=1∂yy=2∂2z,x=1∂x∂yy=2.x=1y=2∂z∂z1+y=. ∂x∂y3习题三一、填空题2xy_____. 1．z=xy+e在点(x,y)处的dz=__________ 2．z=xx+y_____. 在点(0,1)处的dz=__________- 3 -3．设z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全增量为∆z，全微分为dz，则f(x,y)在点(x0,y0) 处的全增量与全微分的关系式是__________________.二、选择题1．在点P处函数f(x,y)的全微分df存在的充分条件为（）A、f的全部二阶偏导数均存在B、f连续C、f的全部一阶偏导数均连续D、f连续且fx,fy均存在2．使得df=∆f的函数f为（）A、ax+by+c(a,b,c为常数)B、sin(xy)C、e+eD、x2+y22三、设z=xy，当∆x=0.1,∆y=0.2时，在(1,2)点处，求∆z和dz。

一、 计算题 81.已知)ln(xy z=，求yz x z ∂∂∂∂,.解：111(ln ln )2ln ln 12ln()z x y x x x x y x xy ∂∂=+=∂∂+=同理)ln(21xy y y z =∂∂.82.已知)(cos )sin(2xy xy z +=，求yzx z ∂∂∂∂,.（中等难度）解：cos()2cos()[sin()][cos()sin(2)]zxy y xy xy y x y xy xy ∂=+-∂=-由对称性可知：)]2sin()[cos(xy xy x yz-=∂∂. 83.已知yx z tan ln =，求y z x z ∂∂∂∂,.（中等难度）解：y x y y y x yx xz2csc 21sec tan12==∂∂， y x y x y x y x yx yz 2csc 2sec tan1222-=-⋅=∂∂. 84.已知yxy z )1(+=，求yz x z ∂∂∂∂,.（中等难度）解：121)1()1(--+=+=∂∂y y xy y y xy y xz， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++∂∂=∂∂+xy x y xy e y y z xy y 1)1ln()1ln( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=xy x y xy xy y 1)1ln()1(. 85. 设y e z x cos sin =，求在点（2，π）处的偏导数. （中等难度） 解：因为y e yzy x e xzx x sin ,cos cos sin sin -=∂∂=∂∂ 所以sin 2sin 2(2,)sin 2(2,)cos 2cos cos 2,sin 00z e e x z e yπππ∂==-∂∂=-=∂86. 已知xyx z sin=，求yz x z ∂∂∂∂,.解x y xy x x y x x z cos sin 212-=∂∂，==∂∂x yx x y z cos x y xcos 1. 87.已知)cos(),(x y e y x f y x -=+，求yz x z ∂∂∂∂,.（中等难度）xz ∂∂='-=+x y x x y e ])cos([+-+)cos(x y e y x )1()]sin([-⋅--+x y e y x)]sin()[cos(x y x y e y x -+-=+yz ∂∂='-=+y y x x y e ])cos([+-+)cos(x y e y x 1)]sin([⋅--+x y e y x)]sin()[cos(x y x y e y x ---=+.88. 已知yxy x y x f a r c s i n)1(),(-+=，求yz x z ∂∂∂∂,.（中等难度）解：由于[(1)arcsin ]x z x x y x y ∂'=+-∂x x y xy x ]arcsin)1[()('-+'=2111(1)21112()y y y x x yy y y x y x =+-⋅⋅--=+-[(1)arcsin ]y z x x y y y∂'=+-∂()(1)arcsin (1)(arcsin)y y y x x y yx y y ''=+-'+-2221arcsin 1(1)()211arcsin2()x y x y y y xxyx x y y y y x y x =⋅+-⋅-⋅--=-⋅⋅-.89.已知⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,222222y x y x y x xy z ，求yz x z ∂∂∂∂,.（高难度）解：当022≠+y x时=232232322222)()()(y x y y x y x y x y +=+-+当022=+y x时0lim )0,0()0,0(lim00)0,0(=∆-=∆-∆+=∂∂→∆→∆x x z x z xzx x 因此⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=∂∂0,00,)(222223223y x y x y x x y z ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=∂∂0,00,)(222223223y x y x y x y x z.同理得. 90.已知z y x u )a r c t a n (-=，求zu y u x u ∂∂∂∂∂∂,,.（中等难度）解；x z y x y x z x u 21)(1)(-+-=∂∂-，xz y x y x z y u 21)(1)(-+--=∂∂-，xz y x y x y x z u 2)(1)ln()(-+--=∂∂. 91. 已知zy x u ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，求zu y u x u ∂∂∂∂∂∂,,.解11111,,ln z z z z z z zux z x z xy y y y u x x z z yy yu x xz y y--++⎛⎫⎛⎫∂=⋅=⋅ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭∂⋅=-⋅=-∂⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭92.已知22444y x y x z -+=，求2222,yzx z ∂∂∂∂，yx z∂∂∂2.（中等难度） 解：由于y x y yz xy x x z 232384,84-=∂∂-=∂∂ 于是22222222812,812x y y z y x x z -=∂∂-=∂∂，xy yx z162-=∂∂∂. 93.已知x y z arctan =，求2222,y z x z ∂∂∂∂，yx z∂∂∂2.（中等难度） 解：由于=∂∂+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∂∂y zy x y x y xy xz ,1122222,1112222yx xx xy +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+于是2222222222)(2,)(2y x xyy z y x xy x z +-=∂∂+=∂∂，222222222222)()(2)(y x x y y x y y x y x z +-=+-+-=∂∂∂.94.已知x y z =，求2222,yzx z ∂∂∂∂，y x z ∂∂∂2.（中等难度）解：由于1,ln -=∂∂=∂∂x x xy yz y y x z 于是222222)1(,ln --=∂∂=∂∂x x y x x yz y y x z )1ln (1ln 112+=+=∂∂∂--y x y yy y xy y x z x x x 95.已知)sin(y x x z +=，求2222,yz x z ∂∂∂∂，y x z∂∂∂2.（中等难度）解：由于)cos(,)cos()sin(y x x yz y x x y x x z +=∂∂+++=∂∂于是22cos()cos()sin()(cos()sin(),zx y x y x x y x x y x y ∂=+++-+∂=+-+ )sin(22y x x yz+-=∂∂ )sin()cos(2y x x y x yx z+-+=∂∂∂. 96.已知)l n (y x x z +=，求2222,yzx z ∂∂∂∂，yx z ∂∂∂2.（中等难度） 解：由于yx xy z yx xy x x z +=∂∂+++=∂∂,)ln( 于是222222212,()()()z x y x x yx x y x y x y z xy x y ∂+-+=+=∂+++∂=-∂+，=∂∂∂y x z222)()(1y x y y x x y x +=+-+.97.已知)arcsin(xy z =，求2222,y z x z ∂∂∂∂，yx z∂∂∂2.（中等难度）解：由于22)(1,)(1xy xy z xy y x z -=∂∂-=∂∂，于是222222211y x xy y x y x z --⋅--=∂∂3223)1(y x xy -22y z ∂∂,)1()(1)2()(11213223222y x y x xy y x xy x -=--⋅-⋅-==--+-=∂∂∂22222222211221yx y x x y y x yx z322)1(1y x -98. 已知zy x u e u xyz∂∂∂∂=3,求.（中等难度）解：xyzxyz xyz xyz xyz xyz xyz xyze xyz zxye xyz e z y x uxyz ze xyze e z yx u yze x u ++++=∂∂∂∂+=+=∂∂∂=∂∂）（）（）（）（，11132）（22231z y x xyz e xyz ++= 99. 设），（，其中求，v u yx zyxx xy z ϕϕ∂∂∂+=2),()sin(有二阶偏导数.解 记yx v x u ==,，有yxy y x z 1)cos(21ϕϕ'+'+=∂∂ 212222222cos()sin()()11()()z xxy xy xy x y yxy y yϕϕϕ∂''=-+⋅-∂∂'''+-⋅+⋅⋅-223221221)sin()cos(ϕϕϕ''-'-''--=yxy y x xy xy xy 100. 求函数yx y x z -+=的全微分.解 因为 ,)(2)()1)(()(,)(2)()()(2222y x x y x y x y x y z y x y y x y x y x x z -=--+--=∂∂--=-+--=∂∂且它们是连续的，故由全微分公式得].[)(2)(2)(2222ydy xdx y x dyy x xdx y x y dz --=-+--=.101.求函数yxxy z +=的全微分.解：因为,,12y x x y z y y xz -=∂∂+=∂∂ 且它们是连续的，故由全微分公式得dy yx x dx y y dz )()1(2-++=. 102.求函数xy ez =的全微分.解：因为,1,2xyx ye x y z e xy x z =∂∂-=∂∂且它们是连续的，故由全微分公式得dy e x dx e xy dz x yx y 12+-=.103. 求函数22yx y z +=的全微分.解：因为32223222222223222221(),2(),()z xy y x y x x y y x y yx y z x yx y x y -∂=-+=-∂++-+∂==∂++且它们是连续的，故由全微分公式得.2332222223222()()()()xyx dz dx dyx y x y xydx xdy x y =-+++=--+104. 求函数yzxu =的全微分.解：因为x yx zux zx yuyzx xuyz yz yz ln ,ln ,1=∂∂=∂∂=∂∂-且它们是连续的，故由全微分公式得1ln ln yz yz yz du yzx dx zx xdy yx xdz -=++105. 求函数)(222z y x e u x ++=的全微分（中等难度） 解xx x xez y x e u 2)(222+++=')2(222x z y x e x +++=x y ye u 2='，xz ze u 2='，且它们连续，故由全微分公式得++++=dx x z y x e du x )2[(222ydy2]2zdz +.106. 设dz ez xy求,sin =解：sin sin sin sin cos cos xy xy xydz e d xy e xyd xy exy ydx xdy ===+（）（）（）注：此题也用dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=求出.即求全微分的一般方法：一种是先求yzx z ∂∂∂∂,，再写出dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=；另一种是直接利用全微分的四则运算法则及微分形式的不变性来求全微分. 107. 已知yx v y x u uv v u z sin ,cos ,22==-=，求''yx z z ,.（中等难度）解 ：因为),sin 2(sin 2222y y x v uv z u-=-=' );2sin (cos 2222y y x uv u z v-=-=' .cos ,sin ,sin ,cos y x v y v y x u y u y x y x ='='-='='故x v x u x v z u z z ''+''='y y y x y y y x sin )2sin (cos cos )sin 2(sin 2222-+-=[])sin (cos cos sin )sin (cos 2sin 2y y y y y y y x -+-=)sin (cos 2sin 232y y y x -=y v y u y v z u z z ''+''='2222(sin 2sin )(sin )(cos sin 2)(cos )x y y x y x y y x y =--+-[]y y y y y y x cos )2sin (cos sin )sin 2(sin 223-+--=[])cos (sin 2sin )cos (sin 333y y y y y x +-+=)2sin 231)(cos (sin 3y y y x -+=108.已知xyy x z )(22+=，求yz x z ∂∂∂∂,.（中等难度）解：设,w z u=而.,22xy w y x z =+=y z z x wz axww u x z z u x u w w ⋅+=∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂∴-ln )2(1)ln()()(222221222y x y x y y x y x xy xy ++++=-x z z y wz yw w u y z z u y u w w ⋅+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂-ln )2(1)ln()()(222221222y x y x x y x xy xy xy ++++=-109.设22vu z +=，而y x v y x u -=+=,，求yz x z ∂∂∂∂,.（中等难度）解：z z u z v x u x v x∂∂∂∂∂=+=∂∂∂∂∂x v u v u 4)(21212=+=⋅+⋅z z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=+=∂∂∂∂∂y v u v u 4)(2)1(212=-=-⋅+⋅110.设22ln v u z =，而y x v yx u 23,-==，求y z x z ∂∂∂∂,.解：z z u z v x u x v x∂∂∂∂∂=+=∂∂∂∂∂222212ln 323ln(32)(32)u u v y v x x x y y x y y ⋅+⋅=-+-z z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=+=∂∂∂∂∂2222322ln ()(2)22ln(32)(32)x u u v y v x x x y y x y y ⋅-+⋅-=----111.设yx ez 2-=，而3,sin t y t x ==，求dtdz.解： dz z dx z dy dt u dt v dt∂∂=+=∂∂ =2223)2(cos t e t e y x yx ⋅-⋅+--=)6(cos )6(cos 22sin 222t t et t et t yx -=---112. 设)arcsin(y x z -=，而34,3t y t x ==，求dtdz.解：d z d t∂∂=+=∂∂22212)(113)(11t y x y x ---+--=232)43(1)41(3t t t ---.113. 设)arctan(xy z =，而xey =，求dxdz.（中等难度）解：x z dx dz ∂∂=y z ∂∂+dx dy =221y x y ++221y x x +xe =xx e x x e 221)1(++.114. 求函数)](ln[2)(22y x ez y x ++=+的一阶偏导数. （高难度）解 令y x v euy x +==+2,2，则)ln(2v u z +=.由于,22v u uu z +=∂∂,12vu v z +=∂∂ 而x xve x uy x 2,2=∂∂=∂∂+.应用复合函数求偏导数的公式得⋅+=∂∂v u u x z 222y x e +x vu 212⋅++ =u vu (22+)2x e y x ++； 同理可得⋅+=∂∂vu uy z 22y e y x 22⋅+v u ++21 =u vu 4(12+)12++y x ye . 115. 求复合函数()xye y xf u ,22-=的一阶偏导数，其中f具有连续的一阶偏导数. （高难度）解：221212()()2xy x xy x y e u f f x x xf ye f ⎛⎫∂-∂'''=⋅+⋅⎪∂∂⎝⎭''=+. 221212()()2xy y xy x y e u f f y y yf xe f ⎛⎫∂-∂'''=⋅+⋅⎪∂∂⎝⎭''=-+ 116.求复合函数⎪⎭⎫⎝⎛=y x x y f u 2,的二阶偏导数，其中f具有连续的二阶偏导数. （高难度）解21222122f xy f x y xy f x y f u x '+'-=⋅'+⎪⎭⎫⎝⎛-⋅'='，22122111f x f x x f x f u y '+'=⋅'+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅'=' 1221111223222122222221112221243(2)2[(2)]22[2]4242xx x x y u f xyf x y y y f f f xy yf x x x y xy f f xy x y y yf f x y f f yf x x x'-⎛⎫'''''=+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫''''''=+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫''''+-+⋅ ⎪⎝⎭''''''''=-+++1222111122222212231112221232(2)11[]212[]122xy y y y u f xyf x y f f f x xf x x x xy f f x x y f yf x yf f xf x x'-⎛⎫'''''=+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫''''''=-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫''''++⋅ ⎪⎝⎭''''''''=-++-+ 2212111222212241112222111()()()1()12yy y y u f x f f f x x x x x f f x x f xf x f x''''''''''=+=⋅+⋅''''+⋅+''''''=++ 117. 求yx y x z 2422)3(++=的一阶偏导数.（中等难度） 解: 设可得则.,24,322v u z y x v y x u =+=+=1ln ,6242v v z zv u u u u vu u v v x y x y x y-∂∂=⋅=⋅∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂，，，，, 则1224212242221224212242226ln 46(42)(3)4(3)ln(3),2ln 22(42)(3)2(3)ln(3).v v x y x y v v x y x y zv u x u u x x y x y xx y x y zv u y u u y x y x y yx y x y -+-+-+-+∂=⋅⋅+⋅⋅=++∂+++∂=⋅⋅+⋅⋅=++∂+++118.设),,(,y x u u xy z ϕ=+=.求22x z ∂∂，y x z∂∂∂2.（中等难度）解:y x uy x z xu x z x u y x z ∂∂∂+=∂∂∂∂∂=∂∂∂∂+=∂∂2222221，， 119.sin cos y z x x t y t dz dt===，而，，求 解：1cos ln sin y y dz z dx z dydt x dt y dxyx t x x x -∂∂=⋅+⋅∂∂=+-（）1cos 12cos 1cos ln sin sin cos sin ln .y y t t yx t x x t t t t x --+=-=⋅-⋅（）（）120. 已知dxdzx v x u e z v u 求32,sin ,===-.解：322sin 222cos 6u v u vx xx x dz e u e v dx ex x ---''=⋅+⋅-⋅=⋅-（）（）121.已知dxdz x y y x y x z ，求322-=+-=解：22221x x xy x y x y x y y dz dx x y '=''-+--+∴=+，（）（）（）（）（）2219123）（）（---=x x x 221312）（---=x x x 122.求由方程yz z x ln =所确定的隐函数),(y x fz =的一阶偏导数.,yzx z ∂∂∂∂（中等难度）解：令yz z x z y x F ln ),,(-=，则22211,(),1x y z y z F F z z y y x y x z F z z y z -''==-=+'=--⋅=-，故,12z x z zz x z F F x z z x +=+--=''-=∂∂.)(122z x y z zz x y F F y z z y +=+--=''-=∂∂123. 求由06333=-+++xyz z y x 所确定的函数),(y x f z =在点（1，2，－1）的偏导数. （中等难度） 解 设=),,(z y x F 6333-+++xyz z y x ，则yz x F x +='23，xz y F y +='23， xy z F z +='23，所以51,33)1,2,1(22-=∂∂++-=∂∂-x zxy z yz x x z 511,33)1,2,1(22-=∂∂++-=∂∂-yz xy z xz y y z .124．yz z x ln =所确定的函数),(y x f z =，求y x zy z x z ∂∂∂∂∂∂∂2,,.（中等难度）解 ： 令yz z x z y x F ln ),,(-=，则z zx F y F z F z y x 1,1,12--='='=' 于是y z z x z z z x z F F x z z x ln11112+=+=---=''-=∂∂，)ln 1(yzy z F F y zz y +=''-=∂∂，22211ln 11ln 1ln 1ln z z z x y y x y y z z z y y y z z y y y ⎡⎤⎢⎥∂∂∂∂⎛⎫==⎢⎥ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎛⎫∂-⋅- ⎪∂⎝⎭==⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭125.0),(=--bz y az x F 所确定的函数),(y x f z =，求.,yz x z ∂∂∂∂ 解： .,)()(211211F b F a F b F a F F x z'+''=-⋅'+-⋅''-=∂∂ .)()(212212F b F a F b F a F F y z'+''=-'+-''-=∂∂二、解答题 126. 求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值.解: 解方程组 ⎩⎨⎧=--='=-='024),(024),(y y x f x y x f yx , 得驻点2,2-==y x . 因为(2,2)20,(2,2)20,(2,2)0,xxyy xyA f C fB f ''''=-=-<=-=-<''=-=因此， 042<-=-AC B，故（2，-2）为极值点，又由于0<A ，所以（2，-2）为极大值点，其极大值为8)2(2)22(4)2,2(22=---+=-f .127. 求函数)2(),(22y y x e y x f x ++=的极值.解: 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+='=+++='0)22(),(0)1422(),(222y e y x f y y x e y x f x y x x , 得驻点 1,21-==y x . 因为 11(,1)20,(,1)20,221(,1)0,2xxyy xyA f e C f eB f ''''=-=>=-=>''=-=因此， 0422<-=-e AC B，故（21，-1）为极值点，又由于0>A ，所以（21，-1）为极小值点，其极小值为2)1,21(ef -=-.128 求函数y x xy z 2050++=的极值. （中等难度）解 ：由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-='=-='02005022y x z x y z y x 得驻点（5，2）(5,2)(5,2)3(5,2)(5,2)(5,2)3210040,5401,530xx xyyyA z xB zC z y B AC ''===>''''=====∴-=-<故点（5，2）为z 的极小值点，极小值z （5，2）=30 129.求函数xyy x y x z arctan3222+++-=的极值. 解：由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++-='=+-++='03203122222222y x xy x y z yx y y x x z y x 得驻点（1，1）22222)(6y x xy y x z xx +++-=''，22222)(233y x xy y x z xy +++-=''，22222)(6y x xy y x z yy +--='' 在点（1，1）处∴>+=-049412AC B 无极值. 130.求函数byax y xy x z 3322--++=的极值. （中等难度） 解 求导得b y x z a y x z y x 32,32-+='-+='，解方程组⎩⎨⎧=-+=-+032032b y x a y x 得驻点)2,2(a b b a --.由于 2,1,2=''==''==''=yy xy xx z C z B z A ，故0,0412><-=-=-A AC B .所以当ab b a x --=2,2时，z取得极小值)(322b a ab --.131.求22yx z +=在约束条件1=+bya x 下的极值. （中等难度） 解 约束条件可写成0=-+ab ay bx作拉格朗日函数)(),,(22ab ay bx y x y x F -+++=λλ解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+='=+='=+='00202ab ay bx F a y F b x F y x λλλ 得驻点222b a ab x +=，222b a b a y +=，222b a a +-=λ根据所给函数的几何特征可知点（222b a ab +，222b a b a +）为函数z 的极小值点，极小值为2222b a b a +.132. 求xyz =在约束条件1=+y x 下的极值. （中等难度） 解 约束条件可写成01=-+y x作拉格朗日函数)1(),,(-++=y x xy y x F λλ解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+='=+='=+='0100y x F x F y F yx λλλ得驻点 21=x ， 21=y ， 21-=λ 根据02)21,21(<-=''xxf 可知点（21，21）为函数z 的极大值点，极大值为4121121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=z . 133.求二元函数)4(),(2y x y x y x f z --==在由直线x y x ,6=+轴和y 轴所围成的闭区域D 上的极值，最大值与最小值.（高难度）解 由极值存在的必要条件解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---='=---='0)4(0)4(2222y x y x x z y x y x xy z y x 得驻点（2，1）， 又06)268()1,2(2)1,2(<-=--=''=y xy y z A xx，2(2,1)(2,1)2(2,1)(2,1)2(834)4,28,1648320xy yyB z x x xyC z x B AC ''==--=-''==-=--=-=-<因此在点（2，1）处取得极大值4.322440(06)0(06)(,)0,6,6,(,)212(06).62400, 4.(1224)240x x x y y x f x y x y y x f x y z x x x z x x x x z x ===≤≤=≤≤=+==-=-≤≤'=-===''=-=>在边界和上在边界上代入中得由得所以点（4，2）是边界上的极小值点，极小值为－64. 比较得最大值为4，最小值为－64. 三、应用题 134.从斜边之长为l 的一切直角三角形中，求有最大周界的直角三角形.解：设直角三角形的两直角边之长分别为y x ,，则周长为)0,0(l y l x l y x s <<<<++=则本题是在222l y x =+下的条件极值，令函数λλ+++=l y x y x F ),,()(222l y x -+⎪⎩⎪⎨⎧=-+='=+='=+='0021021222l y x F y F x F y x λλλ得驻点 ll y x 21,2-===λ，由于驻点唯一，根据问题性质可知这种最大周界的直角三角形一定存在，所以斜边之长为l 的一切直角三角形中，周界最大的是等腰直角三角形. 135.在半径为a的半球内，内接一长方体，问各边长多少时，其体积最大？（中等难度）解 设长方体的长、宽、高分别为z y x 、、（单位） 则其体积，xyz V=因为长方体内接于半球内，易知z y x ，，满足约束方程222241a z y x -++）（=0 作拉格朗日函数[),,(λλ+=xyz y x F 222241a z y x -++）（] 解 方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++='=+='=+='=+='0)(410202022222a z y x F z xy F y xz F x yz F z y x λλλλ 得驻点a z a y x33,332===，由于驻点唯一，根据问题的实际所求的最大值点就是（a a a 33,332,332），最大体积值为934=V （立方单位）.136.要造一个容积等于定k数的长方形无盖水池，应如何选择水池的尺寸方可使表面积最小. （中等难度） 解： 长、宽、高分别为z y x ,,，那么k xyz =.要使表面积最小.，也就是要三元函数zx yz xy S 22++=)0,0,0(>>>z y x在约束条件k xyz =下取得最小值.作拉格朗日函数)(22),,,(k xyz yz xz xy z y x F -+++=λλ解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-='=++='=++='=++='00220202k xyz F xy y x F xz y x F yz z y F z yx λλλλ得33332,221,2kk z k y x -====λ 由问题本身可知S 一定有最小值，所以表面积最小的水池的长和宽都应为,23k ，高为3221k .137.将周长为p 2的矩形绕它的一边旋转构成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才可以使圆柱体的体积最大？（中等难度）解：设矩形的边长分别为y x ,，矩形绕y 旋转，则旋转所成圆柱体的体积为y x V 2π=在条件p y x =+下的条件极值由p y x =+得x p y -=故)0(),(2p x x p x V <<-=π由于2)(2x x p x dx dVππ--==)32(x p x -π 令0=dx dV 得驻点为p x 32= 由于驻点唯一，由题意可知这种圆柱体一定有最大值，所以当矩形的边长分别为3,32pp 时，绕短边旋转所得到的圆柱体体积最大.138. 某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x （万尾），乙种鱼放养y （万尾），收获时两种鱼的收获量分别为xy x )3(βα--和)0()24(>>--βααβy y x ，求使产鱼总量最大的放养数.解： 设产鱼总量为z ，则xy y x y x z βαα224322---+=.解方程组⎩⎨⎧=--='=--='02440223x y z y x z y x βαβα得驻点)2(234,223(2222βαβαβαβα----又2222,2,4,4(2)0xx xy yy A z B z C z B AC αβααβ''''''==-==-==-∴-=--<且0<A ，因此z 在)2(234,223(2222βαβαβαβα----）处取得极大值.由于是实际问题，且有唯一极值，此时必取得最大值. 即)2(2342232222βαβαβαβα----和分别为所求甲和乙两种鱼的放养数. 139.在椭圆4422=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短.（高难度）.解： 设),(y x P 为椭圆4422=+y x 上任意一点，则该点到直线0632=-+y x 的距离为的最小值，作的最小值即求求2,13632d d y x d -+=22212361344F x y x y x y λλ=--++-（，，）（）（），由拉格朗日乘数法，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+='=+-+='=+-+='04408)632(13602)632(13422y x F y y x F x y x F y x λλλ解得53,58,53,582211-=-===y x y x于是1311,131),(),(2211==y x y x dd由问题的实际意义知最短距离是存在的，故)53,58(即为所求的点.140.假设某企业在两个相互分割的市场上出售一种产品，两个市场的需求函数分别是221112,218Q P Q P -=-=；其中1P 和2P 分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元/吨），21Q Q 和分别表示该产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数是Q Q C，其中52+=表示该产品在两个市场的销售总量，即21Q Q Q +=.（1）如果企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润.（2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小. （高难度） 解： （1）由题意知，总利润函数为510162)52(2122212211-++--=+-+=-=Q Q Q Q Q Q P Q P C R L 解方程组.710.540102016421212211====⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=∂∂=+-=∂∂P P Q Q Q Q LQ Q L，从而，得因为驻点（4，5）唯一，且实际问题一定存在最大值，故最大值必在驻点处达到，即当5,421==Q Q 时利润最大，最大利润为52（万元）.（2）实行无价格差别策略时，062,2121=--=Q Q P P 从而作拉格朗日函数)6,2(),(),,(212121--+=Q Q Q Q L Q Q F λλ)62(51016221212221--+-++--=Q Q Q Q Q Q λ令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=∂∂=-+-=∂∂=++-=∂∂062010202164212211Q Q F Q Q F Q Q Fλλλ 解之得62,4,52121=====P P Q Q ，从而λ即当）价格6(4,52121====P P Q Q 时可获得最大利润49（万元）.由以上结论知，实行价格差别策略所得到利润要大于实行价格无差别策略所获得的利润.141.某一化工厂需造大量的表面涂以贵重质料的桶，桶的形状为无盖的长方形，容积为2563m .问桶的长、宽、高各为多少米时，可使所用涂料最节省？（中等难度） 解： 设桶的长、宽、高分别为z y x ,,，那么256=xyz .（如图 6.13）要涂料最省就是要底面与侧面积之和最小，也就是要三元函数zx yz xy S 22++= （1）在约束条件256=xyz （2）下取得最小值. 从（1），（2）中消去z ，得.0,0,512512>>++=y x yx xy S （3） 从而把问题简化成求二元函数（3）的无条件最小值. 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-='=-='0512051222y x S x y S y x 得驻点（8，8） 又因为(8,8)(8,8)(8,8)3(8,8)(8,8)310242,1,10242xxxy yy A S B S x C S y ''''=====''===从而有,032><-=-A AC B ，所以当8==y x 时，S 有极小值，此时 464256==z .故当4,8===z y x 时，S 取得极小值，也是最小值，即所用涂料最省. 四、证明题 142.,arcsin y x x y z =求证：.0=∂∂+∂∂yzy x z x 证明：因为22211arcsin yx y x yy x xy z x -⋅+-=',arcsin 222xy x y y xx y -+-= 2221arcsin 1yx y xxy y x x z x--⋅+-=',arcsin 122x y y y y xx ---=,arcsin 22xy y y xx y z y z x yx -+-='+'.0arcsin 22=--+xy y yxx y143.),(22y x f z +=f是可微函数，求证：0=∂∂-∂∂yz x x z y.（中等难度） 证明.由,2)(22x y x f x z +'=∂∂,2)(22y y x f yz +'=∂∂代入0=∂∂-∂∂yz x x z y后即证. 144. 方程0,=⎪⎭⎫⎝⎛x z x y f 确定z 是x 、y 的函数,0),(≠'v u f v 求证：z yz y x z x=∂∂+∂∂（ 证明：令xzv z y u==,，由 0=∂∂⋅'+∂∂⋅'xv f x u f v u ，即 0)(22=-⋅∂∂⋅'+∂∂⋅-⋅'xzx x zf x uz y f v u ，得u v v f zy f x f x z xz '-''=∂∂221. 又由0=∂∂⋅'+∂∂⋅'y vf y u f v u ，即 012=∂∂⋅⋅'+∂∂⋅-⋅'yz x f z yz y z f v u ，得u v v f zy f x f z yz '-''-=∂∂211，代入后即证. 145. 设函数)(x f 有二阶导数，)(y g 有一阶导数，且)]([),(y g x f y x F +=，求证：222x F y F y x F x F ∂∂⋅∂∂=∂∂∂⋅∂∂.（中等难度）证明：),(,,222x Fy y x F y g f y F f x F f x F ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂'⋅'=∂∂''=∂∂'=∂∂代入222xF y F y x F x F ∂∂⋅∂∂=∂∂∂⋅∂∂后即证.146.设)(u xF xy z+=，而)(,u F xyu =为可导函数，证明：.xy z yzy x z x +=∂∂+∂∂ 证明：)()()()(u F xy u F y x u u F x u F y x z '-+=∂∂'++=∂∂)()(u F x yu u F x x y z '+=∂∂'+=∂∂. 147.设)(22y x f yz-=，其中)(u f 为可导函数，证明：.112yzy z y x z x =∂∂+∂∂. 证明：)(2)(222u f f xy u f x f y x z '-='-=∂∂ )(2)(1)()2()(222u f f y u f u f y f y u f y z '+=-'-=∂∂ 148.设zy x z y x 32)32sin(2-+=-+，证明：1=∂∂+∂∂yzx z .（中等难度）. 证明：设),(y x z z =为yx ,的函数，方程z y x z y x 32)32sin(2-+=-+两边分别对yx ,求偏导得：xzx z z y x ∂∂-=∂∂-⋅-+31)31()32cos(2及yz y z z y x ∂∂-=∂∂-⋅-+32)32()32cos(2因此31=∂∂x z ， 32=∂∂y z 从而：1=∂∂+∂∂yz x z 149.设),(),,(),,(y x z z z x y y z y x x ===都是由方程0),,(=z y x F 所确定的具有连续偏导数的函数，证明：1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂xz z y y x .（中等难度）. 证明：由隐函数的求导公式得：487．在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势t E E ωsin 0=,在时刻0=t 时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E , ω为常数).解. 设)(t i i =,由回路电压定律t E dtdiLRi ωsin 0=+, 即t L E L R dt di ωsin 0=+∴⎰+⎰⎰=-]sin [)(0C dt te LE e t i t dt LR L Rω=⎰+-]sin [0C dt te L E ett L R LR ω=)cos sin (2220t L t R L R E Cet LR ωωωω-++-将0|0==t i 代入通解得2220L R LE C ωω+=∴)cos sin ()(2220t L t R Le L R E t i t LR ωωωωω-++=-488. 设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系 解：.物体重力为mg w =, 阻力为kv R -=,其中g 是重力加速度, k 是比例系数.由牛顿第二定律得kv mg dt dvm-=,从而得线性方程gv m kdt dv =+, 0|0==t v ∴⎰--+=+⎰⎰=t mkdt dt Ce g k mC dt ge e v kmmk ][, 将0|0==t v 代入通解得g k m C -=∴ )1(tm k e g k m v --=, 再积分得122C ge kmgt k m S t mk++=-,将0|0==t S 代入求得gk m C 221-=∴ )1(22-+=-t m ke g k m gt k m S489. 如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰,又设鱼雷的速度为02v , 求鱼雷的航行曲线方程.解：设鱼雷的航行曲线方程为)(x y y =, 在时刻t , 鱼雷的坐标巍巍),(y x P , 敌舰的坐标为),1(0t v Q .因鱼雷始终对准敌舰, 故x yt v y --=1'0, 又弧OP 的长度为⎰=-xtv dx y 0022'1,从以上两式消去tv 0得''121''')1(2y y y y x -+=--, 即2'121'')1(y y x +=-根据题意, 初始条件为0)0(=y , 0)0('=y令p y =', 原方程化为2121')1(p p x +=-,它是可分离变量得方程, 解得21)1(112--=++x C p p , 即21)1('1'12--=++x C y y将0)0('=y 代入上式得11=C , 故21)1('1'2--=++x y y而21)1(''1'1'122--=-+=++x y y y y ,得2121)1()1(21'x x y -+-=-积分得22321)1(31)1(C x x y +-+--=, 将0)0(=y 代入上式得322=C ,所以鱼雷的航行曲线为32)1(31)1(2321+-+--=x x y490．根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系 )(ddL L A k x -=，（其中0,0>>A k ）, 若不做广告, 即0=x 时纯利润为0L , 且A L <<00, 试求纯利润L 与广告费x之间的函数关系.解：依题意得)(L A k dx dL-=,00|L L x ==, 解可分离变量得微分方程, 得通解kx Ce A L -+=, 将00|L L x ==代入通解, 得A L C -=0, 所以纯利润L 与广告费x 之间的函数关系为kxe A L A x L --+=)()(.491．在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y ,国民储蓄S 和投资I 均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy 的31. 设0=t 时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.解：依题意:y S 101=, dt dy I ⋅=31, 解之得通解t Ce y 103=, 将5|0==t y 代入通解得5=C , 所以国民收入函数为t ey 1035=492．试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型. 解：设在某一时刻t , 商品的价格为)(t p ,因供需差价, 促使价格变动. 对新的价格,又有新的供需差, 如此不断地调节价格, 就构成了市场价格形成的动态过程.假设价格)(t p 的变化率dt dp与需求和供给之差成正比. 记需求函数为),(r p f , 供给函数为)(p g , 其中r 为参数. 于是得微分方程)](),([p g r p f k dt dp-=,0)0(p p =, 其中0p 为0=t 时商品的价格, k 为正常数.若需求供给函数均为线性函数,b kp r p f +-=),(, d cp p g +=)(, 则方程为)()(d b k p c k k dt dp-++=,0)0(p p =, 其中d c b k ,,,均为正常数, 其解为c k db ec kd b p t p t c k k +-++--=+-)(0)()(下面对所得结果进行讨论:(1) 设p 为静态均衡价格, 则应满足0)(),(=-p g r p f , 即d p c b p k +=+-,则c k db p +-=, 从而价格函数p e p p t p c k k +-=+-)(0)()(,取极限:pt p t =∞→)(lim .它表明: 市场价格逐步趋于均衡价格. 若初始价格p p =0 , 则动态价格就维持在均衡价格p 上, 整个动态过程就变为静态过程.(2) 由于tc k k e c k k p p dt dp)(0)()(+-+-=, 所以当p p >0时, 0<dt dp , )(t p 单调下降向p 靠拢,这说明: 初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低, 逐渐接近均衡价格; 而当初始价格低于均衡价格时, 动态价格会逐渐增高, 逐渐接近均衡价格.xy F F y x -=∂∂，yz F F z y-=∂∂，zx F F x z-=∂∂.所以x zz y y x ∂∂⋅∂∂⋅∂∂)(xy F F -=)(y z F F -1)(-=-z x F F . 150.设),(v u Φ，具有连续的偏导数，证明由方程),(=--Φbz cy az cx ，所确定的函数),(y x f z =满足：c yzb x z a=∂∂+∂∂. 证明：由于),(y x f z =，故由方程0),(=--Φbz cy az cx 两边分别对y x ,求偏导得：021=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-Φ'+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-Φ'x z b x z a c ，021=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-Φ'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-Φ'y z b c y z a 由此整理得211Φ'+Φ'Φ'=∂∂b a c x z，212Φ'+Φ'Φ'=∂∂b a c y z，故=∂∂+∂∂y z b x z a c b a c b ac =Φ'+Φ'Φ'+Φ'2121.。