平面体系几何组成分析

简单铰。
y
Ⅱ
A•
A• Ⅰ
(a)
o
x
(b)
y Ⅱ
Ⅰ
(c)
o
x
(d)
上面四图中，(a)、(b)图中A点为虚铰，(c)、(d)图中虚铰位置在无穷远处。
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2.2.4 必要约束和多余约束
必要约束——影响体系自由度数目增减的约束。
多余约束——不影响体系自由度数目增减的约束。
A
B
A
C
B
(a)
(b)
图（a）中，三根链杆均为必要约束。 图（b）中，横杆为必要约束，三根竖杆可任意去掉一根，为多余约束， 去掉后剩下的两根为必要约束。
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2.3 结构的几何组成规则
可以证明，铰接三角形为最基本的几何不变体系，且无多余约束。
C
A
B
2.3.1 点和刚片的组成规则
规则Ⅰ（二元体规则）——一点与刚片间用两根不共线的链杆相连，可
A，
有两个独立坐标 x、y，故一个点在平面内有两个自由度。
图（b）所示为平面内一个刚片由位置 A B 变为位置 A B 的情形，
这个刚片可以有 x 方向的移动（x）和 y 方向的移动（y），还可以有转
动（），由于一个刚片在平面内有三种独立的运动方式（x、y、三个独
立坐标），故一个刚片在平面内有三个自由度。
联结 n 个刚片的复铰，其作用相当于（ n -1）个简单铰。
3、固定端支座或简单刚性联结的约束作用
B
一个固定端支座相当于三个约束。
AⅠB
Ⅱ
一个刚性联结限制了三个自由度，
A
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故一个刚性联结相当于三个约束。
C
2.2.3 瞬铰（虚铰） 从微小运动来看，两根不共线的链杆的作用相当于在其交点处的一个
第二章 静定结构基本知识
2.1 几何组成分析的概念
2.1.1 几何组成分析的概念 一、几何不变体系——在不考虑材料变形的前提下，体系受到荷载作用后，
几何形状和空间位置保持不变的体系。 见图2-1及下图。
二、几何可变体系——在不考虑材料变形的前提下，体系受到荷载作用后， 载作用后，几何形状和空间位置可变的体系。
(b)
1、拆除二元体，不影响体系的几何不变性，应先拆除，使体系简化。 2、扩大刚片法。 3、当体系仅用不共点的三根支杆与地基相连时，可先去掉这三根支杆，
由体系内部几何可变性确定整体几何可变性。
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2.4 几何组成分析举例
例2-1. 试对下图(a)所示桁架作几何组成分析。
A3 D
7
2
4
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2.2.2 约束——减少体系自由度的装置。能减少一个自由度的装置称为 一个约束。
1、可动铰支座或链杆的约束作用
y
A
B
Ⅱ B A Ⅰ
o
x
一个可动铰支座（或一根链杆）相当于一个约束，即一个可动铰支座
（或一根链杆）限制一个自由度。 2、铰支座或简单铰的约束作用
简单铰——联结两个刚片的铰。
杆相连，可组成几何不变体系，且无多余约
束。（见下图） •
Ⅱ
Ⅱ
Ⅱ
Ⅰ
(a)几何不变体系
Ⅰ
(b)几何不变体系
Ⅰ
(c)几何可变体系
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2.3.3 规则Ⅲ（三刚片规则）
三刚片间用不共线的三个铰依次两两相连，可组成几何不变体系，
且无多余约束。
B
Ⅱ Ⅲ
Ⅰ
•A
Ⅱ
C•
Ⅲ
(a)
Ⅰ
几何组成分析的一些规律如下：
2.2 自由度和约束
2.2.1 自由度——确定体系运动位置所需的独立坐标数目。
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y
y y o
y
A•(x+ x, y+ y)
A(x, y)
yA
•
yA
x
x
x
o
B'
A +
B A
xA
xA
x
(a)
(b)
图（a）所示为平面内一点A 的运动情况，A 点在平面内可沿水平
方向（x 轴）移动，又可沿竖直方向（y 轴）移动，一个点由A
6
1
5
B
C
F 去二元体
8
E
A3 D
2
4
6
1
5
E
B
C
(a)
(b)
A3 去二元体
D
A
去二元体
A 去二元体
2
2
ห้องสมุดไป่ตู้
4
1
1
B
C
B
C
B
(c)
(d)
(e)
解：利用去二元体法进行分析如图(b)、 (c)、 (d)、 (e)所示。
最后只剩下一个基础，当然是一个刚片，故原结构是一个几何不变
体系，且无多余约束。
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C
组成几何不变体系，且无多余约束。
二元体——由两根不在同一直线上的链杆连
A
B
Ⅰ
接一个新结点的装置。
在一刚片上增加一个二元体，仍为一几何不变体系。二元体的增加不
影响原体系的几何组成性质。
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2.3.2 两刚片的组成规则 规则Ⅱ（二刚片规则）——两刚片间用一个铰和一根不过该铰的链杆相 连，或用三根不全平行也不汇交于一点的链
几何不变体系。
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Ⅰ
(a)
Ⅱ
(b)
将图(b) 所示结构看作刚片Ⅰ，将基础看作刚片Ⅱ，如图(a) 所示。 由二刚片规则，可得原结构为一个无多余约束的几何不变体系。
例2-4（图有错）
见图2-1及下图。
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2.1.2 几何组成分析的目的 1、判断体系是否几何不变，从而决定其是否可用作结构。 2、研究几何不变体系的组成规律。 3、区分静定结构与超静定结构，以便采用不同的计算方法。 2.1.3 刚片的概念 刚片——几何不变的平面刚体。
（或：在几何组成分析中，体系中的几何不变部分。）
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例2-3. 试对下图(a)所示的体系进行几何组成分析。
(a)
去二元体
(b)
去二元体
(c)
(d)
去二元体
去二元体
去二元体
(e)
(f)
(g)
解：先分析基础以上部分，如图(b) 所示。
由去二元体法进行分析如图 (c)、 (d)、 (e)、 (f)、 (g) 所示。
图(g) 所示为一铰接三角形，故图(b) 所示结构为一个无多余约束的
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y
Ⅱ A
Ⅰ
o
x
y Ⅱ
Ⅰ
o
x
一个铰支座相当于两个约束。
一个简单铰相当于两个约束。
一个铰支座（或一个简单铰）可用两根链杆等效替换。
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*复铰——同时联结两个以上刚片的一个铰。
A
Ⅲ Ⅰ
Ⅱ
如图，若刚片Ⅰ位置已确定，则刚片Ⅱ、Ⅲ只能绕 A 点转动，各减少 两个自由度。故联结三个刚片的复铰起两个简单铰的作用。
例2-2. 分析下图(a)所示多跨梁的几何组成。
1A
B
2
3
(a)
去二元体 1 A
2
C
DE
4
BC
3
(b)
F
5
D E 去二元体 1 A Ⅰ B
C
4
2
3
Ⅱ
(c)
解：先利用去二元体法进行分析如图(b)、 (c) 所示。 将 ABC 梁看作刚片Ⅰ，将基础看作刚片Ⅱ，如图(c) 所示。
由二刚片规则，可得图(c) 所示结构为一个无多余约束的几何不变体系。 故原结构是一个几何不变体系，且无多余约束。