第一章计数原理1. 2 排列与组合1. 2. 1 排列第1课时羽E列及須E列数公式教材整理/排列的概念阅读教材P9,完成下列问题.1•一般地，从〃个不同元素中任取个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从〃个不同元素中取出应个元素的一个排列.2.两个排列相同的含义为：组成排列的元素相同,并且元素的排列顺序也相同.。
微体验。
判断(正确的打“J”,错误的打“X”)⑴两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列.()(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题.()(3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组,共有多少种分组方案属于排列问题.()【解析】(1)X因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺序相同.(2)7因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺序”有关，属于排列问题.(3)X因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题.(4)7因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同，结果不同.结果与顺序有关，故属于排列问题.(5)J因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题.【答案】(1)X (2)V (3)X (4)7 (5)7 教材整理2排列数与排列数公式阅读教材Pio〜Pii，完成下列问题.0微体验。
1. Aj= ______ ,民二 _______【解析】A；=4X3=12；A 冷3X2X1=6.【答案】12 6心•5! _ ------- 【解析］誥【笞案】！4X3X2 1 5X4X3X2X1=5-3.由1,2,3这三个数字组成的三位数分别是____ .【解析】用树形图表示为2—33——21——3<3——11——2K2——1由“树形图”可知组成的三位数为123,132,213,231,312,321,共6个.【答案】123,132,213,231,312,321排列的概念【例1】判断下列问题是否为排列问题.⑴北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信.【精彩点拨】判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时, 是否与顺序有关.若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题.【解】(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的, 不存在顺序问题，所以不是排列问题.(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题.(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.(6)人给B写信与B给人写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题.所以在上述各题中，(2)(5)(6)属于排列问题.规律方袪1.解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关” •2.判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换兀素的"位置"（这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定），看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题.1.判断下列问题是否是排列问题.⑴从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(3)某商场有四个大门，若从一个门进去,购买物品后再从另一个门岀来，不同的岀入方式共有多少种?【解】（1）由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题.（2）因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题.⑶因为从一门进，从另一门岀是有顺序的，所以是排列问题.综上，⑴、（3）是排列问题，（2）不是排列问题.寒型2/ 排列的列举问题—厶----------------------- - ---------------------------【例2】写出下列问题的所有排列.⑴从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)写岀从4个元素a, b, c, d中任取3个元素的所有排列.【精彩点拨】⑴直接列举数字.(2)先画树形图，再结合树形图写岀.【解】⑴所有两位数是 12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43, 共有12个不同的两位数.(2)由题意作树形图，如图.故所有的排列为:abcj abd, acb, acd, adb^ adc, bac,bad, be a, bedbda^ bdc, cab, cad, cba, cbd, eda, edb, dab, dac, dba, dbc, de a deb 共有 24 个.IO a规律方进在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式.在操作中先将元素按一定顺序排出,然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏, 然后按树形图写岀排列.劇踪i训I练.2.⑴北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有_____ 种机票.(2)A, B, C, D四名同学排成一排照相，要求自左向右，人不排第一, B不排第四，共有种不同的排列方法.【解析】⑴列岀每一个起点和终点情况，如图所示./南京 /天津/北京北京f南京广州f天津南京f北京天津f广州\天津\北京 \广州 \南京故符合题意的机票种类有：北京f广州，北京f南京，北京f天津，广州一南京、广州一天津、广州f北京，南京f天津，南京f北京，南京f广州，天津f北京，天津一广州，天津一南京，共12种.(2)因为人不排第一，排第一位的情况有3类(可从B, C, D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图.A-B-D /A—B—C//h_D / /k_CC—B D—BD—A、' C—A\ D—B—A ' C_ B—A 所以符合题意的所有排列是：BADC, BACD, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CBAD, CBDA, CDBA, DABC, DBAC, DBCA, DCBA 14 ft.【笞案】(1)12 (2)14空型型_________ 排列数公式的推导及应用上---------------- —- ------------------------- ［探究问题］1.两个同学从写有数字1,2,3,4的卡片中选取卡片进行组数字游戏.从这4个数字中选岀2个或3个分别能构成多少个无重复数字的两位数或三位数？【提示】从这4个数字中选出2个能构成A=4X3=12个无重复数字的两位数;若选出3个能构成A：=4X3X2=24个无重复数字的三位数.2.由探究1知A：=4X3=12, A：=4X3X2=24,你能否得出兀的意义和A汹值？【提示】圧的意义：假定有排好顺序的2个空位，从〃个元素如, 力2，…'偽中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列;反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此, 所有不同的填法的种数就是排列数肚由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n~l)种填法，所以A^n(n-l).3.你能写岀A；：的值吗？有什么特征？若m=n呢？【提示】A；；-/2（n-l）（M-2）—（M-m+l）（m>圧N+,加勺）.（1）公式特征：第一个因数是弘后面每一个因数比它前面一个少1, 最后一个因数是n-m+1,共有也个因数；（2）全排列：当n=m时，即〃个不同元素全部取出的一个排列. 全排列数：AJ=n（n-1）（«-2）- —-2-1 =n!（叫做〃的阶乘）. 另外，我们规定0! =1.所以 A ；：=浓〃—1）（〃—2）…（〃—加+1）=(2)证明:A 角—A ；；』〃?AT.【精彩点拨】第⑴题可直接运用排列数公式，也可采用阶乘式；第n I(2)题首先分析各项的关系，利用A^-z-r 进行变形推导.算计\u/ ■4>+>>+>5+13>0—>050AI10AZ50>+>『+5一 5X9一 +9 一 6X9一 =A T AU 10勻''><10一 —一0 一 ——4X10一 ——j (lll-U)\uu：V-l+u：VVi他—屮爲\uIII \U (以_[+从 | (lll-ll)1- H uiW-【+")i (屮) =紳—七v.••⑺规律方袪排列数的计算方法1.排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意:连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数, 而正整数（因式）的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用.2.应用排列数公式的阶乘形式时，一般写岀它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量.3. 求3AA4AJ 中的兀得X 2-19X +78=0,解得%i=6, %2=13・xW8,由题意知]_]<9解得xW8.所以原方程的解为x=6・【解】 原方程3AL4AJ 可化为3X8! (8—%)4X9! (10—%3X8! 4X9X8! (8—x)! (10_x)(9_x)(8_x)!'化间'詞圖團雛I I1.从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题（）A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】因为加法和乘法满足交换律，所以选岀两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题.而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题.【答案】B2.4X5X6X…X®—1)X〃等于()A. B. A/C. nl -4!D. A/【解析】4X5X6X…X@-1)X〃中共有“―4+1=〃—3个因式, 最大数为弘最小数为4,故4 X5X6X・・・xm—l)X〃=AT.【答案】D3.5本不同的课外读物分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有_____ 种•【解析】利用排列的概念可知不同的分配方法有Ah 120种.【答案】1204.Ap6A汁5Aj= ________ .【解析】原式二A2—A2+AA A A5X4X3X2X1=120. 【答案】1205.将玫瑰花、月季花、莲花各一束分别送给甲、乙、丙三人，每人一束，共有多少种不同的分法？请将它们列岀来.【解】按分步乘法计数原理的步骤：第一步，分给甲，有3种分法；第二步，分给乙有2种分法；第三步，分给丙，有1种分法.故共有3X2X1=6种不同的分法.列岀这6种分法，如下:点击右图进入…Thank you for watching !。
