二次函数与等腰三角形、直角三角形的综合

特殊图形存在性问题一、等腰三角形1、情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为等腰三角形。

2、思想：分类讨论（1）A为顶点：AB=AP（以A为圆心、AB长为半径画圆）（2）B为顶点：AB=BP（以B为圆心、AB长为半径画圆）（3）P为顶点：PA=PB（AB中垂线）【注】：1.利用两圆一线，找到符合要求的点，如P在抛物线对称轴上，在x轴上等；然后将问题转化为，求线段等长。

2.求线段等长：两点间距离（最笨的方法）；向坐标轴做垂线，构造一线三等角例1.如图，抛物线y=−x2+2x+3y=−x2+2x+3与y轴交于点C，点D(0,1)，点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为______．练习1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B 两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于C(0,−3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．练习2、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△DBO∽△EBC；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．练习4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交A(−1,0),B(−3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)，其顶点为D．(1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a(x−h)2+k的形式；(2)动点M从点D出发，沿抛物线对称轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t，连接OM,BM，当t为何值时，△OMB为等腰三角形？练习5.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n （m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E 两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，与x轴交于点A（5，0），第一象限的点C（m，4）在抛物线上，y轴上有一点B（0，10）．（Ⅰ）求抛物线的解析式及它的对称轴；（Ⅱ）点P（0，n）在线段OB上，点Q在线段BC上，若OP＝2BQ，且P A＝QA．求n 的值；（Ⅲ）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19-红桥一模25．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．(17河北一模)25(10分）如图，己知抛物线y=x2+bx+c图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3），抛物线与x轴的另一个交点为C．（1）求这个抛物线的解析式：（2）若抛物线的对称轴上有一动点D，且△BCD为等腰三角形（CB≠CD），试求点D的坐标；二、直角三角形1.情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为直角三角形2.思想：分类讨论（1）A为顶点：∠A（过A做垂线）（2）B为顶点：∠B（过B做垂线）（3）P为顶点：∠C（AB为直径的圆）【注】1.等腰直角三角形，只需在两直线上上下找与AB等长以及过O做AB垂线与圆交点即可例1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过矩形OABC的顶点A，B与x 轴交于点E，F且B，E两点的坐标分别为B(2，32)E(−1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线上是否存在点Q，使△QBF为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习1.如图，抛物线y=x2+bx+3顶点为P，且分别与x轴、y轴交于A、B两点，点A在点P的右侧，tan∠ABO=13(1)求抛物线的对称轴和PP的坐标．(2)在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D，使△ABD为直角三角形？如果存在，求点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．例2.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于AB两点，与y 轴相交与点C，且点B与点CC 的坐标分别为(3,0)，C(0,3)，点M是抛物线的顶点．(1)求二次函数的关系式(2)在MB上是否存在点P，过点P作PD⊥x轴于点D,OD=m,使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由练习2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−13x+2交x轴点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E(−1,0)，并与直线相交于A、B两点．(1)求抛物线的解析式（关系式）；(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；(3)除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．（18东丽-一模）25.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，1）、（1，2），过点A、B分别作y轴的垂线，垂足为D、C，得到正方形ABCD，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，点P为第一象限内抛物线上一点（不与点A重合），过点P分别作x轴y轴的垂线，垂足为E、F，设点P的横坐标为m，矩形PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为l．（1）直接写出抛物线所对应的函数表达式．（2）当矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分时，求m的值．（3）当m＜2时，求L与m之间的函数关系式．（4）设线段BD与矩形PFOE的边交于点Q，当△FDQ为等腰直角三角形时，直接写出m的取值范围．三、平行四边形存在性问题类型一：1.情景：一直平面内三点A、B、C，求一点P使四边形ABCP为平行四边形2.思想：分类讨论（1）以AC为对角线：ABCP1（2）以AB为对角线：ACBP3（3）以BC为对角线：ACP2B【注】找到P点后，用平行四边形的判定定理，求等长线段，或利用等角度、平行线求坐标即可。

二次函数与三角形的综合-中考数学函数考点全突破一、考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。

这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。

一解决此类题目的基本步骤与思路1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3.根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。

例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。

注意事项：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。

4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。

5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。

6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。

二、二次函数问题中三角形面积最值问题（一）例题演示1.如图，已知抛物线(a为常数，且a＞0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．(1)求抛物线的函数表达式；(2)P为直线BD下方的抛物线上的一点，连接PD、PB,求△PBD面积的最大值．DBOAyxC解答：(1)抛物线令y＝0，解得x＝－2或x＝4，∴A(－2，0)，B(4，0)．∵直线经过点B(4，0)，∴，解得，∴直线BD解析式为：当x＝－5时，y＝3，∴D(－5，3)∵点D(－5，)在抛物线上，∴，∴．∴抛物线的函数表达式为：．(2)设P(m,)∴∴△BPD面积的最大值为．【试题精炼】2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且．（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）.（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；HF解答：1）A（－1，0）∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4∴，∴.∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a（2）过点E作EH∥y轴，交直线l于点H设E（x，ax2－2ax－3a），则H（x，ax＋a）.∴∴.∴△ADE的面积的最大值为，∴，解得.∴抛物线的函数表达式为.【中考链接】3.如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；解答：（1）令x=0代入y=﹣3x+3，∴y=3，∴B（0，3），把B （0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，∴3=a+4，∴a=﹣1，∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）令y=0代入y=﹣x2+2x+3，∴0=﹣x2+2x+3，∴x=﹣1或3，∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，∴S=DM•BE+DM•OE=DM（BE+OE）=DM•OB=××3==（m﹣）2+∵0＜m＜3，∴当m=时，S有最大值，最大值为；二、二次函数问题中直角三角形问题（一）例题演示如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．解答：（1）依题意得：，解得，∴抛物线解析式为.把B（，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得，解得，∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；（2）设P（，t），又∵B（－3，0），C（0，3），∴BC2=18，PB2=（+3）2+t2=4+t2，PC2=（）2+（t－3）2=t26t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2－6t+10解得：t=；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2－6t+10=4+t2解得：t=4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2－6t+10=18解得：，.综上所述P的坐标为（，）或（，4）或（，）或（，）．【试题精炼】如图，二次函数（其中a，m是常数，且a>0，m>0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，－3)，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代数式表示a；（2）)求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接CF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）以线段GF、AD、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.【解析】试题分析：（1）将C点代入函数解析式即可求得.（2）令y=0求A、B的坐标，再根据，CD∥AB，求点D的坐标，由△ADM∽△AEN,对应边成比例，将求的比转化成求比，结果不含m即为定值.（3）连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G..过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH中根据同角的同一个三角函数相等，可求OG（用m表示），然后利用勾股定理求GF和AD（用m表示），并求其比值，由（2）是定值，所以可得AD∶GF∶AE=3∶4∶5，由此可根据勾股定理逆定理判断以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，直接得点G的横坐标.试题解析：解：（1）将C （0，-3）代入函数表达式得，∴.（2）证明：如答图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N.由解得x1=－m，x2=3m．∴A(－m，0)，B(3m，0).∵CD∥AB，∴点D的坐标为（2m，－3）．∵AB平分∠DAE．∴∠DAM=∠EAN．∵∠DMA=∠ENA=900，∴△ADM∽△AEN,∴.设点E的坐标为（x,）,∴,∴x=4m.∴为定值.（3）存在，如答图2，连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G.由题意得：二次函数图像顶点F的坐标为（m，-4），过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH 中,∵tan∠CGO＝,tan∠FGH＝,∴=．∴OG=“3m,“由勾股定理得，GF=，AD=∴.由（2）得，∴AD∶GF∶AE=3∶4∶5．∴以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.考点：1.二次函数综合题；2.定值和直角三角形存在性问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.二次函数的性质；5.勾股定理和逆定理；6相似三角形的判定和性质；7.锐角三角函数定义.【中考链接】如图所示，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C的坐标为（－1，0）．B点在抛物线y＝x2＋x－2的图像上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点的横坐标为－3．(1)求BC所在直线的函数关系式．(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解答：（1）∵C点坐标为（-1,0），∴BD=CO=1．∵B点的横坐标为-3，∴B点坐标为（-3,1）设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b，则有，解得∴BC所在直线的函数关系式为y=x．（2）①若以为AC直角边，点C为直角顶点，如图所示，作CP1⊥AC，因为BC⊥AC，所以点P1为直线BC与对称轴直线的交点，即点P1的横坐标为-。

二次函数中等腰直角三角形 -回复
您好，关于二次函数中等腰直角三角形，我们可以通过以下步骤来解决：
1. 二次函数一般式：$y=ax^2+bx+c$。

2. 因为中位线长度为右腰，所以这个中位线对应的$x$可以用平移的方法求出：设中位线长度为$t$，则该中位线对应的$x$值为$-\frac{b}{2a}+t$。

3. 由直角三角形性质可知，斜边的平方等于直角腰的平方和，即$(\frac{t}{2})^2+(at^2+c)^2=(\frac{t}{2}+b)^2$。

4. 将第3步中的方程式化简后解出$t$，再带回第2步中的式子，求出该中位线对应的$x$值。

5. 根据对称性，可以得出第二条中位线的长度与第一条中位线相等，且对应的$x$值也相等。

6. 根据中位线长度与底边长度相等的定义，可以得出三角形的底边长度为$2\times(\frac{t}{2}+b)$。

7. 最终，我们就可以得出该等腰直角三角形的底边长、两条直角边长及其顶点的坐标。

希望以上解释能够解决您的问题，任何疑问，请随时追问。

_ Q_ G_P_ O二次函数中的动点问题 三角形的存在性问题一、技巧提炼1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用形式〔1〕、【一般式】抛物线上任意三点时，通常设解析式为，然后解三元方程组求解； 〔2〕、【顶点式】抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为求解；2、二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴是否有交点，可以用方程ax 2+bx+c = 0是否有根的情况进展判定；判别式ac b 42-=∆ 二次函数与x 轴的交点情况一元二次方程根的情况 △ ＞ 0与x 轴交点 方程有的实数根△ ＜ 0 与x 轴交点 实数根 △ ＝ 0与x 轴交点方程有的实数根3、抛物线上有两个点为A 〔x 1，y 〕，B 〔x 2，y 〕 (1)对称轴是直线2x 21x x +=(2)两点之间距离公式： 两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 那么由勾股定理可得：221221)()(y y x x PQ -+-=练一练：A 〔0，5〕和B 〔－2，3〕，那么AB ＝。

4、 常见考察形式1〕A 〔1,0〕，B 〔0，2〕，请在下面的平面直角坐标系 坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形； 总结：两圆一线方法规律:平面直角坐标系中一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线〞：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；2〕A 〔-2,0〕，B 〔1，3〕，请在平面直角坐标系中坐标轴 上找一点C ，使△ABC 是直角三角形；总结： 两线一圆方法规律{平面直角坐标系中一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆〞：分别过线段的两个端点作线段的垂线，再以线段为直径作圆； 5、求三角形的面积：〔1〕直接用面积公式计算；〔2〕割补法；〔3〕铅垂高法； 如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽〞〔a 〕，中间的 这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高〞〔h 〕． 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

等腰三角形直角三角形存在性问题典例1，如图,二次函数的图象与x轴交于点A、B两点,且A 点坐标为,与y轴交于点.(1)求出这个二次函数的解析式;(2)直接写出点B的坐标为(3)在x轴是否存在一点P,使是等腰三角形?假设存在,求出满足条件的P 点坐标;假设不存在,请说明理由;(4)在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q,使得四边形ABQC的面积最大?假设存在,请求出Q点坐标及面积的最大值;假设不存在,请说明理由.答案详解解:(1)的图象经过,,,,所求解析式为:,答:这个二次函数的解析式是.(2)解:,故答案为:.(3)解:在中,,,,,①当时在x轴的负半轴),;②当时在x轴的正半轴),;③当时在x轴的正半轴),;④当时在x轴的正半轴),在中,设,那么解得:,;答:在x轴存在一点P,使是等腰三角形,满足条件的P点坐标是或或或.(4)解:如图,设Q点坐标为,因为点Q在上,即:Q点坐标为,连接OQ,,,,,Q点坐标为,答:在第一象限中的抛物线上存在一点Q,使得四边形ABQC的面积最大,Q点坐标是,面积的最大值是.解析:(1)因为的图象经过,,代入求出c、a的值,即可得到答案;(2)把代入求出x的值,即可得到答案;(3)在中根据勾股定理求出AC,根据等腰三角形的性质求出,①当时在x轴的负半轴),;②当时在x轴的正半轴),;③当时在x轴的正半轴),;④当时在x 轴的正半轴),,即可得出答案;(4)设Q点坐标为,因为点Q在上,得出Q点坐标为,连接OQ,根据,代入求出即可.此题主要考察对用待定系数法求二次函数的解析式,等腰三角形的判定,三角形的面积,二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的最值等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进展计算是解此题的关键.题型较好,综合性强.练习：如图,抛物线与x轴交于点和点,与y 轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使为等腰三角形?假设存在,请求出符合条件的点P的坐标;假设不存在,请说明理由.答案详解解:(1)由题知:解得:所求抛物线解析式为:;(2)抛物线解析式为:,其对称轴为,设P点坐标为,当时,,,①当时,,解得,点坐标为:;②当时,,解得,点坐标为:或;③当时,由勾股定理得:,解得,点坐标为:综上所述存在符合条件的点P,其坐标为或或或;解析:(1)抛物线过A、B两点,可将两点的坐标代入抛物线的解析式中,用待定系数法即可求出二次函数的解析式;(2)可根据(1)的函数解析式得出抛物线的对称轴,也就得出了M点的坐标,由于C是抛物线与y 轴的交点,因此C的坐标为,根据M、C的坐标可求出CM的距离.然后分三种情况进展讨论:①当时,P位于CM的垂直平分线上.求P点坐标关键是求P的纵坐标,过P作轴于Q,如果设,那么直角三角形CPQ中,OM的长,可根据M的坐标得出,,因此可根据勾股定理求出x的值,P点的横坐标与M的横坐标一样,纵坐标为x,由此可得出P的坐标.②当时,根据CM的长即可求出P的纵坐标,也就得出了P的坐标(要注意分上下两点).③当时,因为C的坐标为,那么直线必垂直平分PM,因此P的纵坐标是6,由此可得出P的坐标;此题主要考察了二次函数的综合知识,要注意的是(2)中,不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下,要分类进展求解,不要漏解.典例2，练习：如图，在平面直角坐标系中，抛物线〔〕与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线〔〕经过，两点，，，且。

专题06 二次函数与等腰三角形有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数之等腰三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的等腰三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。

【解题思路】等腰三角形的存在性问题【方法1 几何法】“两圆一线”（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．注意：若有重合的情况，则需排除．以点C1 为例，具体求点坐标：过点A作AH⊥x轴交x轴于点H，则AH=1，又32121131311==-=∴=HC AC ，()03211，坐标为故点-C类似可求点 C 2 、C 3、C 4 ．关于点 C 5 考虑另一种方法．【方法2 代数法】点-线-方程表示点：设点C 5坐标为(m ,0)，又A （1,1）、B （4,3），表示线段：11-m 225+=）（AC 94-m 225+=）（BC 联立方程：914-m 1-m 22+=+）（）（，623m =解得：，），坐标为（故点06232C总结：【典例分析】【考点1 等腰角形的存在性】【典例1】（2020•泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A （﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由．【变式11】（2022•澄海区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x＝1．点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC 于点Q．（1）求抛物线及直线BC的表达式；（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-2】（2022•荣昌区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c （a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线y＝ax2+x+c沿射线BC平移，B，C的对应点分别为M，N，当以点A，M，N为顶点的三角形是以MN为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【典例2】（2020•贵港）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC 交于点M，连接PC．当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．【变式2-1】（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【变式2-1】（2021•大渡口区自主招生）如图，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B 两点，与y轴相交于点C，直线y＝x﹣3经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点M，连接PC．①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．专题06 二次函数与等腰三角形有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数之等腰三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的等腰三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。

专题1 二次函数与等腰三角形问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈，动态几何问题是近年来中考的热点问题，以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题，动态问题的解答，一般要将动态问题转化为静态问题，抓住运动过程中的不变量，利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题，将几何问题转化为代数问题。

在动态问题中，动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型，可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合，也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合，从而产生数与形的完美结合.解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类.在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB ＝AC ，②BA ＝BC ，③CA ＝CB 三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快． 几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC 的∠A （的余弦值）是确定的，夹∠A 的两边AB 和AC 可以用含x 的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB ＝AC ，直接列方程；②如图2，如果BA ＝BC ，那么1cos 2AC AB A =∠；③如图3，如果CA ＝CB ，那么1cos 2AB AC A =∠．图1 图2 图3代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x 的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．222222222()(y ),()(y ),()(y )A B A B A C A C B C B C AB x x y AC x x y BC x x y =-+-=-+-=-+-，然后根据分类：AB=AC，BA=BC，CA=CB列方程进行计算.【例1】（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．【例2】（2022•河池）在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y 轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；（2）如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF ＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；（3）若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】（2022•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【例4】（2022•贺州）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得S△BCM＝S△BCP？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．1．（2022春•丰城市校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．2．（2022•岚山区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点，且点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P在BC上方的抛物线上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线，垂足为E，交BC于点D，过点P作BC的垂线，垂足为Q，若△PQD≌△BED，求m的值；（3）如图2，将直线BC沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点M，交y轴于点N．过点P作x轴的垂线，交直线MN于点D，是否存在一点P，使△BMD是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的m 的值；若不存在，请说明理由．3．（2022•淮阴区校级一模）如图，抛物线y＝2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）点D是抛物线对称轴上一动点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D的坐标；（3）将抛物线在BC下方的图象沿BC折叠后与y轴交于点E，求点E的坐标；（4）若点N是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点M在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，直接写出直线AN的关系式．4．（2022•仁寿县模拟）如图，直线y＝kx+n（k≠0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点C，且C（﹣1，0），A（4，0）．（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）若M点为x轴上一动点，当△MAB是以AB为腰的等腰三角形时，求点M的坐标．（3）若点P是抛物线上A，B两点之间的一个动点（不与A，B重合），则是否存在一点P，使△P AB的面积最大？若存在求出△P AB的最大面积；若不存在，试说明理由．5．（2022•徐汇区模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0），点P为线段AB上的点，且点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式；（2）过P作y轴的平行线交抛物线于M，当△PBM是MP为腰的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）若顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内（不含边界），求m的取值范围．6．（2022•沭阳县模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A的坐标；（2）如图2，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴交线段AC于E点，连接EO、AD，记△ADC的面积为S1，△AEO的面积为S2，求S1﹣S2的最大值及此时点D的坐标；（3）如图3，连接CB，并将抛物线沿射线CB方向平移2个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线与y轴的交点，当△AMN为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标．7．（2022春•北碚区校级期末）如图，已知点（0，）在抛物线C1：y＝x2+bx+c上，且该抛物线与x轴正半轴有且只有一个交点A，与y轴交于点B，点O为坐标原点．（1）求抛物线C1的解析式；（2）抛物线C1沿射线BA的方向平移个单位得到抛物线C2，如图2，抛物线C2与x轴交于C，D 两点，与y轴交于点E，点M在抛物线C2上，且在线段ED的下方，作MN∥y轴交线段DE于点N，连接ON，记△EMD的面积为S1，△EON的面积为S2，求S1+2S2的最大值；（3）如图3，在（2）的条件下，抛物线C2的对称轴与x轴交于点F，连接EF，点P在抛物线C2上且在对称轴的右侧，满足∠PEC＝∠EFO．①直接写出P点坐标；②是否在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，若存在，请直接写出H点的坐标；若不存在请说明理由．8．（2022•兴宁区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A、B，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y ＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，且．（1）求抛物线的解析式；（2）点M（t，0）是x轴上的一个动点，点N是抛物线对称轴上的一个动点，当DN＝2t，△MNB的面积为时，求出点M与点N的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．9．（2022•沈阳模拟）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于B点，与x轴交于A，C两点，直线BC 的解析式为y＝﹣x+m．（1）求m与b的值；（2）P是直线BC上方抛物线上一动点（不与点B，C重合），连接AP交BC于点E，交OB于点F．①是否存在最大值？若存在，求出的最大值．并直接写出此时点E的坐标；若不存在，说明理由．②当△BEF为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．10．（2022•永昌县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，C是抛物线与y轴的交点，P是该抛物线上一动点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上求一点M，使得△MAC是以AM为底的等腰三角形；求出点M的坐标．（3）设（1）中的抛物线顶点为D，对称轴与直线BC交于点E，过抛物线上的动点P作x轴的垂线交线段BC于点Q，使得D、E、P、Q四点组成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2021•无为市三模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C．（1）求抛物线的对称轴；（2）当△ABC为等边三角形时，求a的值；（3）直线l：y＝kx+b经过点A，并与抛物线交于另一点D（4，3），点P为直线l下方抛物线上一点，过点P分别作PM∥y轴交直线l于点M，PN∥x轴交直线l于点N，记W＝PM+PN，求W的最大值．12．（2021•广东模拟）如图，抛物线y＝x2+bx﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴为直线x＝﹣，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？如果存在，请直接写出点E的坐标，如果不存在，请说明理由．13.（2021•建华区二模）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）设该抛物线的顶点为点H，则S△BCH＝；（3）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求ME 长的最大值及点M的坐标；（4）在（3）的条件下：当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2021•重庆模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线AC与y轴交于点C，与抛物线交于点D，OA＝OC．（1）求该抛物线与直线AC的解析式；（2）若点E是x轴下方抛物线上一动点，连接AE、CE．求△ACE面积的最大值及此时点E的坐标；（3）将原抛物线沿射线AD方向平移2个单位长度，得到新抛物线：y1＝a1x2+b1x+c1（a≠0），新抛物线与原抛物线交于点F，在直线AD上是否存在点P，使以点P、D、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．x115．（2021•玄武区二模）已知二次函数y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；（2）二次函数的图象与y轴交于点A，顶点为B，将二次函数的图象沿y轴翻折，所得图象的顶点为B1，若△ABB1是等边三角形，求m的值．16.（2021•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；（3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，请直接写出点M的横坐标．17.（2021•绥化）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0），点B（1，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD．直线y＝经过点A，且与y 轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点N是抛物线上的一点，当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标；（3）点F为线段AE上的一点，点G为线段OA上的一点，连接FG，并延长FG与线段BD交于点H （点H在第一象限），当∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG时，求出点F的坐标．18.（2021•宿迁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，若点P在第四象限，点Q在P A的延长线上，当∠CAQ＝∠CBA+45°时，求点P的坐标；（3）如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH 为等腰三角形时，求线段PH的长．19.（2021•怀化）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．20.（2021•南充）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．。

重难点01 二次函数与几何图形的综合练习中考数学中《二次函数与几何图形的综合练习》部分主要考向分为九类：一、二次函数与几何变换的综合（选择性考，10~12分）二、二次函数与直角三角形的综合（选择性考，10~12分）三、二次函数与等腰三角形的综合（选择性考，10~12分）四、二次函数与相似三角形的综合（选择性考，10~12分）五、二次函数与四边形的综合（选择性考，10~12分）六、二次函数与最值的综合（选择性考，10~12分）七、二次函数与新定义的综合（选择性考，10~12分）八、二次函数与圆的综合（选择性考，10~12分）九、二次函数与角的综合（选择性考，10~12分）因为二次函数是大多数中考压轴题的几何背景，所以，训练二次函数与其他几何图形的综合问题非常必要，只要自己见过一定量的题型，才能再遇到对应类型的压轴题时不至于新生畏惧。

所以，本专题就常见的中考数学中二次函数的几种结合类型的压轴题进行训练，希望大家在训练中摸索方法，掌握技能，练就心态！考向一：二次函数与几何变换的综合1．（2023•武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值；（3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P 的坐标及的最大值；（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．考向二：二次函数与直角三角形的综合1．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M （0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．（1）当m＝1时，求点D的坐标；（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．2．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于B（4，0），C（﹣2，0）两点，与y轴交于点A（0，﹣2）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．考向三：二次函数与等腰三角形的综合1．（2023•青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．2．（2023•娄底）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），交y轴于点C．（1）求b，c的值．（2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点．①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考向四：二次函数与相似三角形的综合1．（2023•乐至县）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大值；（3）点Q是线段AO上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交y轴于点N．是否存在点P，使△ABQ与△BQN相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2．（2023•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C （0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．考向五：二次函数与四边形的综合1．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．【初步理解】（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中，为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号）【尝试应用】（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为点B．若OB＝OA，求b的值．【拓展延伸】（3）如图，函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．3．（2023•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式．（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．考向六：二次函数与最值的综合1．（2023•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接AP，AQ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．（3）当∠P AQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2，当h2﹣h1＝m时，直接写出m的值．2．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．考向七：二次函数与新定义的综合1．（2023•南通）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k 为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）动点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．2．（2023•宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是（填写序号）；（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．①求实数a的值；②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是、；（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．考向八：二次函数与圆的综合1．（2023•湘西州）如图（1），二次函数y＝ax2﹣5x+c的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（b，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求二次函数的解析式和b的值．（2）在二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接CE，作以CE为直径的圆．点E′是圆在x轴上方圆弧上的动点（点E′不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE，使点E移动到点E′，线段AE的对应线段为A′E′，连接E′C，A′A，A′A的延长线交直线E′C于点N，求的值．2．（2023•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，c＝﹣1，且该二次函数的图象过点（2，0），求b的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，点D在⊙O上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE，且线段DE交y轴正半轴于点F，．①求证：．②当点E在线段OB上，且BE＝1．⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac＝﹣a2﹣b2，求2a+b的值．考向九：二次函数与角的综合1．（2023•无锡）已知二次函数y＝（x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4，）和点C （﹣1，）．（1）请直接写出b，c的值；（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y＝（x2+bx+c）图象上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．①求EF的最大值；②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．2．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D（3，0），过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当＝时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF＝∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（建议用时：150分钟）1．（2023•宜兴市一模）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则∠ACB＝°；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ∥y轴交BC 于Q，若△NQM是以NQ为腰的等腰三角形，则线段NC的长为．2．（2023•越秀区一模）如图，抛物线与H：交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：①无论x取何值，y2总是负数；②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的是．（填写正确的序号）3．（2023•晋州市模拟）如图所示，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（15，8），点M是横轴正半轴上的一个动点，⊙P经过原点O，且与AM相切于点M．（1）当AM⊥x轴时，点P的坐标为；（2）若点P在第一象限，设点P的坐标为（x，y），则y关于x的函数关系式为（不用写出自变量x的取值范围）；（3）当射线OP与直线AM相交时，点M的横坐标t的取值范围是．4．（2024•道里区模拟）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2当最大值时，求点D的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CD、BD，将△BCD沿BC翻折，得到△BCF（点D和点F为对应点），直线BF交y轴于点P，点S为BC中点，连接PS，过点S作SP的垂线交x轴于点R，在对称轴TH上有一点Q，使得△PQB是以PB为直角边的直角三角形，求直线RQ的解析式．5．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2023•东莞市一模）抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连结BC，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）x轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．7．（2024•碑林区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2．（1）求二次函数表达式；（2）点E是线段AB（包含A，B）上的动点，过点E作x轴的垂线，交二次函数图象于点P，交直线AM于点N，若以点P，N，A为顶点的三角形与△AOM相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2024•镇海区校级模拟）若二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2的图象关于点P（1，0）成中心对称图形，我们称y1与y2互为“中心对称”函数．（1）求二次函数y＝x2+6x+3的“中心对称”函数的解析式；（2）若二次函数y＝ax2+2ax+c（a＞0）的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式；（3）二次函数y1＝ax2+bx+c（a＜0）的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若AB＝2BP，且四边形AMDN 为矩形，求b2﹣4ac的值．9．（2024•雁塔区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（1，0），与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接OP，是否存在点P，使得∠OPD＝2∠CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．10．（2024•长沙模拟）若两条抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，并满足y1﹣kx1＝y2﹣kx2，其中k为常数，我们不妨把k叫做这两条抛物线的“依赖系数”．（1）若两条抛物线相交于A（﹣2，2），B（﹣4，4）两点，求这两条抛物线的“依赖系数”；（2）若抛物线1：y＝2ax2+x+m与抛物线2：y＝ax2﹣x﹣n相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中a＞0，求抛物线1与抛物线2的“依赖系数”；（3）如图，在（2）的条件下，设抛物线1和2分别与y轴交于C，D两点，AB所在的直线与y轴交于E点，若点A在x轴上，m≠0，DA＝DC，抛物线2与x轴的另一个交点为点F，以D为圆心，CD为半径画圆，连接EF，与圆相交于G点，求tan∠ECG．11．（2023•嘉善县一模）“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐标系内的两点，我们将|a﹣c|+|b﹣d|称作P，Q间的“L型距离”，记作L（P，Q），即L（P，Q）＝|a﹣c|+|b﹣d|．已知二次函数y1的图象经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标为A（﹣1，0），B（0，3），点C在直线x＝2上运动，且满足L（B，C）≤BC．（1）求L（A，B）；（2）求抛物线y1的表达式；（3）已知y2＝2tx+1是该坐标系内的一个一次函数．①若D，E是y2＝2tx+1图象上的两个动点，且DE＝5，求△CDE面积的最大值；②当t≤x≤t+3时，若函数y＝y1+y2的最大值与最小值之和为8，求实数t的值．12．（2023•任城区二模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；13．（2023•姑苏区校级二模）探究阅读题：【阅读】在大自然里，有很多数学的奥秘，一片美丽的心形叶片，一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．（如图1和图2）【探究任务1】确定心形叶片的形状如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式和顶点D的坐标．【探究任务2】研究心形叶片的尺寸如图3，心形叶片的对称轴直线y＝x+2与坐标轴交于A、B两点，直线x＝6分别交抛物线和直线AB于点E、F点，点E、E′是叶片上的一对对称点，EE′交直线AB与点G，求叶片此处的宽度EE′．【探究任务3】研究幼苗叶片的生长小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分．如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究任务1中的二次函数，已知直线PD与水平线的夹角为45°，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点D′时，叶尖Q落在射线OP上，如图5所示，求此时幼苗叶子的长度和最大宽度．。

等腰直角三角形与二次函数综合等腰直角三角形与二次函数综合：一、等腰直角三角形的概念1、定义：等腰直角三角形是指有三条直角的三角形，三角形的三条边都是相等的，角度分别为90°、45°、45°。

2、构造：等腰直角三角形一般都用穿孔牌、直尺和圆规，先将所要构造等腰三角形的直角点标定在牌上，再用直尺在其它两点上把水平线和斜线各画出一条，之后再穿孔后，在孔上接上转角尺，将它的测好的角度画出来，就可以得到等腰直角三角形了。

3、性质：两边相等，另一边90°；任意一内角为45°；外接圆为半圆；中央角度是钝角；其角平分线两根等长；边长比其他边和它的半周长的比值为2：1；高等于底；腰等于斜边。

二、二次函数的概念1、定义：二次函数指的是一元二次方程。

它由一个变量的一次、二次项和一个不定系数组成。

2、标准式：二次函数的标准式为：y=ax^2+bx+c3、图像：直线、曲线，如抛物线、圆、双曲线等。

三、等腰直角三角形与二次函数的综合1、应用实例：当等腰直角三角形的高就等于该等腰三角形对应的二次函数y=ax^2+bx+c的变量x时，那么可以写成 a*x^2+b*x+c=x,代入后会得出a+b=1、2c=1-b，这样就可以求出这个二次函数的解。

2、绘制及特性：等腰直角三角形与二次函数的综合，给出了一个由等腰直角三角形组成的二次函数图像，表现为y轴和x轴之间的一个对称曲线，抛物线可分为上凸曲线和下凹曲线，其中上凸曲线的二次项为正，下凹曲线的二次项为负，曲线的性质也不相同，其实现实中一般都是上凸曲线。

3、在实际应用中，等腰直角三角形和二次函数都被广泛应用于数学、物理和技术等诸多领域，如计算力学中的运动、电力学中的容性模型、工程设计中的三维运动等，还有各种求解运动轨迹的场合也会使用到等腰直角三角形和二次函数的综合。

二次函数与直角三角形有关的问题知识解读【专题说明】二次函数之直角三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的直角三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。

【解题思路】直角三角形的存在性问题1.找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点2.方法：（1）以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1（2）以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者三条边分别表示之后，利用勾股定理求解下面主要介绍2种常用方法：【方法1 几何法】“两线一圆”（1）若∠A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C；（2）若∠B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C；（3）若∠C 为直角，以AB 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角）如何求得点坐标？以C2为例：构造三垂直．），坐标为（故代入得：坐标得、由，易证0213232222C C C BN AM B A N MB BN AM BN AMB ===∆≈∆()），坐标为（，，坐标为故或故又即代入得：设，，坐标得、由求法相同，如下：易证、040231a ,4a ,3ab ,3ab 1N a,31,4333333343C C C C C C C C C C b b M BN AM B A NBM N AMNB AM ==+=======∆≈∆【方法2 代数法】点-线-方程23m 20352235110,m 135-m 1-m 35-m 11-m 22222122111=+=+=+=+==，解得：）代入得方程（，，，）表示线段：（）；，（）、，（），又坐标为（）表示点：设（：不妨来求下）（）（）（）（BC C C C A AB B A【典例分析】【方法1 勾股定理】【典例1】（2021秋•建华区期末）抛物线y＝x2+bx+c经过A、B（1，0）、C（0，﹣3）三点．点D为抛物线的顶点，连接AD、AC、BC、DC．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形？若存在，请你直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过B（1，0）、C（0，﹣3），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3．（4）在y轴上存在点E，使△ADE为直角三角形，理由如下：∵抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴D（﹣1，﹣4），设E点坐标为（0，m），∴AE2＝m2+9，DE2＝m2+8m+17，AD2＝20，当∠EAD＝90°时，有AE2+AD2＝DE2，∴m2+9+20＝m2+8m+17，解得m＝，∴此时点E的坐标为（0，）；当∠ADE＝90°时，DE2+AD2＝AE2，m2+8m+17+20＝m2+9，解得m＝﹣，∴此时点E的坐标为（0，﹣）；当∠AED＝90°时，AE2+DE2＝AD2，m2+9+m2+8m+17＝20，解得m＝﹣1或m＝﹣3，∴此时点E的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）．【变式1-1】（2022•灞桥区校级模拟）如图，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）连接BC，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使△BCE是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），将点C（0，3）代入y＝a（x﹣1）（x﹣3），∴3a＝3，∴a＝1，∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点为（2，﹣1）；（2）存在一点E，使△BCE是直角三角形，理由如下：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，设E（2，t），∵△BCE是直角三角形，∴BE⊥CE，∵B（3，0），C（0，3），∴BC＝3，BE＝，CE＝，①当BC为斜边时，∴18＝（）2+（）2，解得t＝，∴E点坐标为（2，）或（2，）；②当BE为斜边时，∴18+（）2＝（）2，解得t＝5，∴E点坐标为（2，5）；③当CE为斜边时，∴18+（）2＝（）2，解得t＝﹣1，∴E点坐标为（2，﹣1）；综上所述：E点坐标为（2，）或（2，）或（2，5）或（2，﹣1）【变式1-2】（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△P AB为直角三角形，请求出点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）如图2中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M．则N（﹣1.0）．M（﹣1，﹣4）；∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，∴AN＝NP1＝3，∴P1（﹣1，3），当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），∴PJ＝AB＝2，∴12+（n+2）2＝（2）2，解得n＝﹣2或﹣﹣2，∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．【方法2 构造“K”字型利用相似作答】【典例2】（2022•碑林区校级四模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c 交x轴于点A（﹣5，0），B（﹣1，0），交y轴于点C（0，5）．（1）求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标．（2）将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2，点E为抛物线C2上一点若△DOE是以DO为直角边的直角三角形，求点E的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣5，0），B（﹣1，0），C（0，5）代入y＝ax2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2+6x+5，∵y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，∴顶点D（﹣3，﹣4）；（2）设抛物线C2上任意一点（x，y），则（x，y）关于y轴对称的点为（﹣x，y），∵点（﹣x，y）在抛物线C1上，∴抛物线记作C2的解析式为y＝x2﹣6x+5，设E（t，t2﹣6t+5），过点D作DG⊥x轴交于点G，过点E作EH⊥x轴交于点H，∵∠DOE＝90°，∴∠GOD+∠HOE＝90°，∵∠GOD+∠GDO＝90°，∴∠HOE＝∠GDO，∴△GDO∽△HOE，∴＝，∵DG＝4，GO＝3，HE＝﹣t2+6t﹣5，OH＝t，∴＝，∴t＝4或t＝，∴E（4，﹣3）或E（，﹣）．【变式2-1】（2022•济南）抛物线y＝ax2+x﹣6与x轴交于A（t，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx﹣6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式和t，k的值；（2）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；【解答】解：（1）将B（8，0）代入y＝ax2+x﹣6，∴64a+22﹣6＝0，∴a＝﹣，∴y＝﹣x2+x﹣6，当y＝0时，﹣t2+t﹣6＝0，解得t＝3或t＝8（舍），∴t＝3，∵B（8，0）在直线y＝kx﹣6上，∴8k﹣6＝0，解得k＝，∴y＝x﹣6；（2）作PM⊥x轴交于M，∵P点横坐标为m，∴P（m，﹣m2+m﹣6），∴PM＝m2﹣m+6，AM＝m﹣3，在Rt△COA和Rt△AMP中，∵∠OAC+∠P AM＝90°，∠APM+∠P AM＝90°，∴∠OAC＝∠APM，∴△COA∽△AMP，∴＝，即OA•MA＝CO•PM，3（m﹣3）＝6（m2﹣m+6），解得m＝3（舍）或m＝10，∴P（10，﹣）；【变式2-2】（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．（1）求线段AC的长；（2）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．【解答】解：（1）针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝3或x＝﹣1，∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AC＝＝；（2）由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，设M（m，m2﹣2m﹣3），∵△BCM为直角三角形，∴①当∠BCM＝90°时，如图1，过点M作MH⊥y轴于H，则HM＝m，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠HCM＝90°﹣∠OCB＝45°，∴∠HMC＝45°＝∠HCM，∴CH＝MH，∵CH＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，∴﹣m2+2m＝m，∴m＝0（不符合题意，舍去）或m＝1，∴M（1，﹣4）；②当∠CBM＝90°时，过点M作M'H'⊥x轴，同①的方法得，M'（﹣2，5）；③当∠BMC＝90°时，如图2，Ⅰ、当点M在第四象限时，过点M作MD⊥y轴于D，过点B作BE⊥DM，交DM的延长线于E，∴∠CDM＝∠E＝90°，∴∠DCM+∠DMC＝90°，∵∠DMC+∠EMB＝90°，∴∠DCM＝∠EMB，∴△CDM∽△MEB，∴，∵M（m，m2﹣2m﹣3），B（3，0），C（0，﹣3），∴DM＝m，CD＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，ME＝3﹣m，BE＝﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m+3，∴，∴m＝0（舍去）或m＝3（点B的横坐标，不符合题意，舍去）或m＝（不符合题意，舍去）或m＝，∴M（，﹣），Ⅱ、当点M在第三象限时，M（，﹣），即满足条件的M的坐标为（1，﹣4）或（﹣2，5）或（，﹣），或（，﹣）．。

专题：二次函数中等腰三角形存在性问题类型一、等腰三角形存在性问题以(,)A A A x y 、(,)B B B x y 为三角形的边，在x 轴上找一点P 使得△PAB 为等腰三角形（二定一动）一.找法：画圆和作垂直平分线①以A 为圆心，线段AB 为半径画圆，与x 轴交点即为1P 、2P 点；（AB=AP ）②以B 为圆心，线段AB 为半径画圆，与x 轴交点即为3P 、4P 点；（AB=BP ）③作线段AB 的垂直平分线，与x 轴交点即为5P 点；（AP=BP ）二、算法：利用两点距离公式进行计算 公式：22()()A B A B AB x x y y =-+- ，设(,)p p P x y ，分三种情况：①AB=AP 时 2222()()()()A B A B A P A P x x y y x x y y -+-=-+-可得1P 、2P ，（特殊情况可能是一个点，例如2P 与B 重合）②AB=BP 时2222()()()()A B A B B P B P x x y y x x y y -+-=-+-可得3P 、4P ，（特殊情况可能是一个点，例如3P 与A 重合）③AP=BP 时2222()()()()A P A P B P B P x x y y x x y y -+-=-+-可得5P 、例题1、如图，已知二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于点A 、B 两点，其中A 点坐标为（-3,0），与y 轴交于点C ，点D （-2，-3）在抛物线上.（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线的对称轴上是否存在动点Q ，使得△BCQ 为等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.1、（2021·云南九年级一模）如图所示，抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()1,0A -，点()4,0B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点M 是线段OB 上不与点O 、B 重合的点，过点M 作DM x ⊥轴，交抛物线于点D ，交BC 于点E ．（1）求抛物线的表达式；（2）过点D 作DF BC ⊥，垂足为点F ．设M 点的坐标为(),0M m ，请用含m 的代数式表示线段DF 的长，并求出当m 为何值时DF 有最大值，最大值是多少？（3）试探究是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．2、（八中2020级初三第三次月考）如图在平面直角坐标系中，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于A （-4,0），B （1,0），交y 轴于C （0,3）（1）求此抛物线解析式；（2）如图1，点P 为直线AC 上方抛物线上一点，过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，再过点Q 作QR//AC 交y 轴于点R ，求PQ+QR 的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，点E 在抛物线上，横坐标为-3，连接AE ，将线段AE 沿直线AC 平移，得到线段''A E ，连接'CE ，当△''A E C 为等腰三角形时，只写写出点'A 的坐标。

专题13函数与等腰三角形综合问题【例1】在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C．（1）求抛物线的对称轴；（2）当△ABC为等边三角形时，求a的值；（3）直线l：y＝kx+b经过点A，并与抛物线交于另一点D（4，3），点P为直线l下方抛物线上一点，过点P分别作PM∥y轴交直线l于点M，PN∥x轴交直线l于点N，记W＝PM+PN，求W的最大值．【例2】．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与轴交于C（0，﹣1）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AC，BC，过O点的直线l∥BC，点E，D分别为直线l和抛物线上的点，试探究第一象限是否存在这样的点E，D，使△BDE为等腰直角三角形？若存在，请求出所有的E点的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．（1）求b、c的值．（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【例4】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．【例5】如图1，平面直角坐标系xOy中，A（4，3），反比例函数y=kx（k＞0）的图象分别交矩形ABOC的两边AC，AB于E、F两点（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D两点重合．（1）AE＝（用含有k的代数式表示）；（2）如图2，当点D恰好落在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长度；（3）若折叠后，△ABD是等腰三角形，求此时点D的坐标．1．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（4，﹣4），B（﹣2，m），交y轴于点C（0，﹣4）．直线BO与抛物线相交于另一点D，连接AB，AD，点E是线段AB上的一动点，过点E作EF∥BD交AD于点F．（1）求二次函数y＝x2+bx+c的表达式；（2）判断△ABD的形状，并说明理由；（3）在点E的运动过程中，直线BD上存在一点G，使得四边形AFGE为矩形，请判断此时AG与BD 的数量关系，并求出点E的坐标；（4）点H是抛物线的顶点，在（3）的条件下，点P是平面内使得∠EPF＝90°的点，在抛物线的对称轴上，是否存在点Q，使得△HPQ是以∠PQH为直角的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．在x轴上有一动点E （m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值．3．如图，已知抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（0，2），交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC．（1）直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；（2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当△MCE是等腰三角形时，求点M的坐标；（3）点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将△PCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点P′处．求当点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标．4．如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F1：y＝a（x﹣）2+与x轴交于点A（﹣，0）和点B，与y轴交于点C．（1）求抛物线F1的表达式；（2）如图2，将抛物线F1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F2，若抛物线F1与抛物线F2相交于点D，连接BD，CD，BC．①求点D的坐标；②判断△BCD的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，抛物线F2上是否存在点P，使得△BDP为等腰直角三角形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过点C的直线l与抛物线交于另一点E（4，a），抛物线的顶点为点Q，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求直线CE的解析式．（2）如图2，P为直线CE下方抛物线上一动点，直线CE与x轴交于点F，连接PF，PC．当△PCF的面积最大时，求点P的坐标及△PCF面积的最大值．（3）如图3，连接CD，将（1）中抛物线沿射线CD平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点H，在直线QH上是否存在点G，使得△DQG为等腰三角形？若存在，求出点G的坐标．6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积．（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．（1）求A、B两点的横坐标；（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．9．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y 轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q．（1）如图1，连接AC，BC．若点P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴交BC于点E，作PF⊥BC于点F，过点B作BG∥AC交y轴于点G．点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接PH，HK．当△PEF的周长最大时，求PH+HK+KG的最小值及点H的坐标．（2）如图2，将抛物线沿射线AC方向平移，当抛物线经过原点O时停止平移，此时抛物线顶点记为D′，N为直线DQ上一点，连接点D′，C，N，△D′CN能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B 三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标；②当△OPC为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．11．如图，开口向上的抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且AC⊥BC，其中x1，x2是方程x2+3x﹣4＝0的两个根．（1）求点C的坐标，并求出抛物线的表达式；（2）垂直于线段BC的直线l交x轴于点D，交线段BC于点E，连接CD，求△CDE的面积的最大值及此时点D的坐标；（3）在（2）的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PDE是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12．抛物线y ＝ax 2+bx +3过点A （﹣1，0），点B （3，0），顶点为C ．（1）求抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）如图1，点P 在抛物线上，连接CP 并延长交x 轴于点D ，连接AC ，若△DAC 是以AC 为底的等腰三角形，求点P 的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点E 是线段AC 上（与点A ，C 不重合）的动点，连接PE ，作∠PEF ＝∠CAB ，边EF 交x 轴于点F ，设点F 的横坐标为m ，求m 的取值范围．13．如图，直线y ＝﹣x +4与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过B ，C 两点，与x 轴另一交点为A ．点P 以每秒√2个单位长度的速度在线段BC 上由点B 向点C 运动（点P 不与点B 和点C 重合），设运动时间为t 秒，过点P 作x 轴垂线交x 轴于点E ，交抛物线于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P 作y 轴垂线交y 轴于点N ，连接MN 交BC 于点Q ，当MQ NQ =12时，求t 的值； （3）如图②，连接AM 交BC 于点D ，当△PDM 是等腰三角形时，直接写出t 的值．14．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN 有最大值，最大值是多少？15．如图，在直角坐标系xOy中，反比例函数y=1x（x＞0）的图象与直线y＝kx+b交于点A（m，2）、B（4，n）．连接OA、OB．（1）求直线y＝kx+b的解析式；（2）若点C是y轴上的点，当△AOC为等腰三角形时，请直接写出点C的坐标；（3）求△AOB的面积．16．在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在y=√33x的图象上运动（不与O重合），连接AP．过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ．（1）求线段AP长度的取值范围；（2）试问：点P运动的过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．（3）当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．17．已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（﹣2，0）和C（0，94），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）若点P在抛物线上，且S△PBDS△CBD=m，试确定满足条件的点P的个数．18．如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．（1）求A、B两点的横坐标；（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．19．如图：一次函数y=−34x+3的图象与坐标轴交于A、B两点，点P是函数y=−34x+3（0＜x＜4）图象上任意一点，过点P作PM⊥y轴于点M，连接OP．（1）当AP为何值时，△OPM的面积最大？并求出最大值；（2）当△BOP为等腰三角形时，试确定点P的坐标．20．已知一次函数y＝﹣3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C（3，0）．（1）如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y 轴于点F．①求点E的坐标；②△AOB与△FOD是否全等，请说明理由；（2）如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P 的坐标．。

专题23 二次函数抛物线与三角形的综合（原卷版）第一部分 典例剖析+针对训练类型一 二次函数与直角三角形的综合1．（2022秋•利川市期末）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3交x 轴于点A （4，0）和点B （﹣1，0），交y 轴于点C ．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为直线AC 下方抛物线上一动点，连接PA ，PC ，求△ACP 面积的最大值；（3）如图2直线l 为该抛物线的对称轴，在直线l 上是否存在一点M 使△BCM 为直角三角形，若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．针对训练1．（2022秋•渝中区期末）抛物线y =12x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣2，0）和B （4，0），与y 轴交于点C ，连接BC ．点P 是线段BC 下方抛物线上的一个动点（不与点B ，C 重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于M ，交x 轴于N ，设点P 的横坐标为t ．（1）求该抛物线的解析式；（2）用关于t 的代数式表示线段PM ，求PM 的最大值及此时点M 的坐标；（3）过点C 作CH ⊥PN 于点H ，S △BMN ＝9S △CHM ，①求点P 的坐标；②连接CP ，在y 轴上是否存在点Q ，使得△CPQ 为直角三角形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．类型一 二次函数与等腰三角形的综合典例2（2021秋•重庆期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．针对训练1．（2022秋•代县期末）综合与探究如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC．（1）求抛物线和直线BC的函数解析式．（2）D是直线BC上方抛物线上一点，求△BDC面积的最大值及此时点D的坐标．（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以点P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2022秋•宁陵县期中）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．类型三二次函数与等腰直角三角形的综合典例3（2022秋•洛川县校级期末）已知抛物线L₁：y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣5，0），B（﹣1，0）两点．（1）求抛物线L1的表达式；（2）平移抛物线L1得到新抛物线L2，使得新抛物线L2经过原点O，且与x轴的正半轴交于点C，记新抛物线L2的顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求出点P的坐标．针对训练1．（2022秋•铁西区校级期末）已知：如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与坐标轴分别交于点A （0，6），B （6，0），C （﹣2，0），点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式．（2）当△PAB 的面积最大时，求点P 的坐标．（3）过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作PE ∥x 轴交抛物线于点E ，连接DE ，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？请直接写出点P 的坐标．第二部分 专题提优训练1．（2022秋•渝中区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣33，0），B （3，0），与y 轴的交点为C ，且tan ∠CAO =233．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点D 为AB 的中点，过点D 作AC 的平行线交y 轴于点E ，点P 为抛物线上第二象限内的一动点，连接PC ，PD ，求四边形PDEC 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）将该抛物线y ＝ax 2+bx +c 向左平移得到抛物线y '，使y '经过原点，y '与原抛物线的交点为F ，点M 为抛物线y '对称轴上的一点，若以点F ，B ，M 为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．2．（2022秋•鞍山期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过（0，2），（﹣2，2）两点．（1）若抛物线C1：y＝ax2+bx+c经过（1，0），求抛物线解析式；（2）抛物线C1：y＝ax2+bx+c与直线y＝x+2有M，N两个交点，O为坐标原点，若△MNO是以MN为腰的等腰三角形，请直接写出a的值；（3）直线y＝x+2分别与抛物线C1：y＝ax2+bx+c，抛物线C2：y＝﹣ax2﹣bx+c恰好有三个公共点，若其中一个公共点是另外两个公共点连接线段的中点，求a的值．3．（2022秋•前郭县期末）如图，抛物线y＝ax2﹣ax﹣12a经过点C（0，4），与x轴交于A，B两点，连接AC，BC，M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（1）直接写出a的值以及A，B的坐标：a＝ ，A（ ， ），B（ ， ）；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设M点的坐标为M（m，0），试求PQ+2PN的最大值；（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2022•台山市校级一模）如图，抛物线y＝ax2+x+6的图象与直线y＝kx+b有唯一交点A（﹣1，4）．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）若抛物线与x轴的交点分别为点M、N，抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PA+PM的值最小？如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由．（3）直线y＝kx+b与x轴交于点B，点Q是x轴上一动点，请你写出使△QAB是等腰三角形的所有点Q 的横坐标．5．（2022秋•通州区期末）如图，抛物线y1＝ax2﹣2x+c的图象与x轴交点为A和B，与y轴交点为D（0，3），与直线y2＝﹣x﹣3交点为A和C．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线y2＝﹣x﹣3上是否存在一点M，使得△ABM是等腰直角三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形EFGH与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标x E的取值范围．6．（2022秋•临湘市期末）如图，抛物线y=―12x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点F是第一象限抛物线上的一个动点，当点F运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF 的最大面积及此时F点的坐标．7．（2022•甘井子区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A在x轴上．P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上两点，若x1＜x2＜m，则y1＞y2；若x1＞x2＞m，则y1＞y2，且当y的绝对值为1时，△APQ为等腰直角三角形（其中∠PAQ＝90°）．（1）求抛物线的解析式；（用含有m的式子表示）（2）当m＞0，x1＜m，x2＞m，过点Q作QF⊥x轴，若y1•y2＝1，探究∠PAO与∠AQF之间数量关系；（3）直线x＝m+1（1≤m≤3）交抛物线y＝ax2+bx+c于点D，将抛物线y＝ax2+bx+c以直线x＝m+1为对称轴向右翻折得到新抛物线，直线y＝kx经过点D，交原抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴于点E，交新抛物线于另一点H，问△EAH的面积是否存在最大值或最小值，若存在，求出面积最值和m的值，若不存在，请说明理由．。