动点--二次函数与等腰三角形存在性问题

动点问题—二次函数中等腰三角形存在性问题

方法总结：

假设结论成立；

当所给条件中没有说明哪条边是等腰三角形的底、哪条是腰时，要对其进行分类讨论，假设某两条边相等，等到三种情况；

设未知量，求边长，在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标，并用所设点坐标表示出假设相等的两条边的长或第三边的长；

④计算求解，根据等腰三角形的性质或利用勾股定理或相似三角形的性质列等量关系式，根据等量关系式求解即可。

典型例题：

例1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．

例2.如图，抛物线y=﹣

2

2

1

x

+n

mx 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x

轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

动点问题题型方法归纳

动点问题 知识点： 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点 1、（2009年齐齐哈尔市）直线3 6 4 y x =-+ 与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点 Q的运动时间为t秒，OPQ △的面积为S，求出S与t之间的函数关系式； （3）当 48 5 S= 时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．

提示：第（2）问按点P到拐点B所有时间分段分类； 第（3）问是分类讨论：已知三定点O、P、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP为边、OQ为边，②OP为边、OQ为对角线，③OP为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2、（2009年衡阳市）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60o． （1）求⊙O的直径； （2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切； （3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速 度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为 )2 )( (<

二次函数-平行四边形存在性问题

专题：二次函数中的平行四边形存在性问题 类型一：已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足） 1.已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A (-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C． ⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式； ⑶坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由． 类型：已知两个定点，再找两个点构成平行四边形 1．已知，如图抛物线2 3(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于C 点，与x 轴交于A、B 两点，A 点在B 点左侧。点B 的坐标为(1，0),OC=30B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值： (3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上。是否存在以A、C、E、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

2、练习如图，抛物线：c bx x y ++=22 1与x 轴交于A、B（A 在B 左侧），顶点为C（1，﹣2）。（1）求此抛物线的关系式；并直接写出点A、B 的坐标； （2）求过A、B、C 三点的圆的半径； （3）在抛物线上找点P，在y 轴上找点E，使以A、B、P、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点P、E 的坐标。 1．如图，抛物线2 23y x x =--与x 轴交A、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A、C 两点，其中C 点的横坐标为2． （1）求A、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行 四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．

全等三角形之动点问题(综合测试)(人教版)(含答案)

全等三角形之动点问题（综合测试）（人教版） 一、单选题（共10道，每道10分） 1?如图，在长方形ABCD中，BC=8cm, AC=10cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿 AC方向向点C运动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿CB方向向点B运动，当P, Q两点中其中一点到达终点时，两点同时停止运动，连接PQ?设点P的运动时间为t秒， 当t为（）时，△ PQC是以PQ为底的等腰三角形. A D A.5 B.- 10 C.4 D.- 答案：D 解题思路：

点只。速度已知，可判断此题为动点问题，按照动点间题 的解决方法解抉； ① 研究基本图形，标注： g ② 研究动点运动状态.包括起点、终点、状态转折点、速度、 时间范围， 如图； ③ 表达线段长，建等式. 点P 已走路程AP=2t,则CP=10-2/； 点Q 已走路程CQ=t. ^PQC 是以尸。为底的等腰三角形, 可知CP=CQ r 即 10-2t=t r 故选D. 试题难度：三颗星知识点：动点问题 2?已知：如图，在 △ ABC 中，AB=AC=18, BC=12,点D 为AB 的中点.点 P 在线段 BC 上以每 秒 3个单位的速度由B 点向C 点运动，同时点 Q 在线段CA 上以每秒a 个单位的速度由C 点向 A 点匀速运动，连接 DP, QP.设点P 的运动时间为t 秒，解答下列问题： 0

t的取值范围为（） —y J C.0W￡W12 D.0W（W18 答案：A 解题思路： 根据题意列动点运动的路线图为乂 （3/s）P\B 45>C F秒 （￡Z/S）O:C----- A 对应的F的取值范围为OGW 4?故选A. 试题难度：三颗星知识点：动点问题 3.（上接第2题）（2）若某一时刻△ BPD与厶CQP全等，则t的值与相应的 A.t=2，CQ=9 B.t=1, CQ=3或t=2，CQ=9 C.t=1，CQ=3或t=2，CQ=6 D.t=1，CQ=3 答案：B 解题思路： ①要使△ BPD^2ACOP, 则需BD^CP且 .”=1 "：C0 = 3 ②要使△ BPD^i^CPQ, 则需BD^CQ且BP=CP f gp|9 = CG ^3r=12-3r .\t-2 "\CQ = 9 综上z=l?口2=3或戶2, CQ=9. 故选B. 试题难度：三颗星知识点：动点问题 4.(上接第2, 3题)(3)若某一时刻△ BPM A CPQ贝U a=( ) CQ的长为（） （1）根据点P的运动，对应的

动点问题、存在性问题小结

动点问题和存在性问题小结训练 一、基础训练 1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为X=﹣．下列结论中， 正确的是（） A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b 2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论： ① b2-4ac>0；② 2a+b<0；③ 4a-2b+c=0；④ a：b：c= －1：2：3. 其中正确的是( ) (A) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D)①④ 3.已知二次函数的图象过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的关系式． 4.已知一个二次函数当x = 8时,函数有最大值9,且图象过点（0，1）,求这个二次函数的关系式． 5.已知二次函数的图象过（3，0）、（2，-3）二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式． 6.某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系． （1）试求y与x之间的函数关系式； （2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？ 7.如图，在平面直c bx ax y+ + =2角坐标系中，抛物线c bx ax y+ + =2经过 A（-2，-4），O（0，0），B(2,0)三点. (1)求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线对称轴上一点，求AM+OM的最小值． （3）在此抛物线上是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(完整版)二次函数与三角形的存在性问题的解法

二次函数与三角形的存在性问题 一、预备知识 1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ） (1)线段对称轴是直线2x 2 1x x += (2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-= 中点公式：已知两点 ()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++222121y y ,x x 。 2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y += 如果这两天两直线互相垂直，则有121-=?k k 3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2 （1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2 （2）当k1≠k2， ，L1与L2相交 （3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直 二、三角形的存在性问题探究： 三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形 （一）三角形的性质和判定： 1、等腰三角形 性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。 判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。 2、直角三角形 性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形 性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。 判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形 4、等边三角形 性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。 判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

全等三角形经典培优之动点问题(讲义及答案)

三角形全等之动点问题（讲义） ?课前预习 已知：如图，AB=18 cm，动点P从点A出发，沿AB以2 cm/s的速度向点B 运动，动点Q从点B出发，沿BA以1 cm/s的速度向点A运动．P，Q两点 同时出发，当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动．设点P运动的时间 为t秒，请解答下列问题： （1）AP=_______，QB=_______（含t的式子表达）； （2）在P，Q相遇之前，若P，Q两点相距6 cm，则此时t的值为_______． ?知识点睛 由点（___________）的运动产生的几何问题称为动点问题． 动点问题的解决方法： 1.研究_____________； 2.分析_____________，分段； 3.表达_____________，建等式． ?精讲精练 1.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点E为边AD上一点，且 AE=7．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC A E D 向点C运动，连接AP，DP．设点P运动时间为t秒． （1）当t=1.5时，△ABP与△CDE是否全等？请说明理由； （2）当t为何值时，△DCP≌△CDE． B C P A E D B C

2. 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，AD =12，BC =24，动 点P 从点A 出发以每秒1个单位的速度沿AD 向点D 运动，动点Q 从点C 出发以每秒2个单位的速度沿CB 向点B 运动，P ，Q 同时出发，当点P 停止运动时，点Q 也随之停止，连接PQ ，DQ ．设点P 运动时间为x 秒，请求出当x 为何值时，△PDQ ≌△CQD ． Q P D C B A D C B A

中考数学二次函数存在性问题 及参考答案

中考数学二次函数存在性问题 及参 考答案
一、二次函数中相似三角形的存在性问题 1.如图，把抛物线 向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位，得到抛物线 . 所得抛物线与 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 轴交于点 C，顶点为 D. （1）写出 的值；（2）判断△ACD 的形状，并说明理由； （3）在线段 AC 上是否存在点 M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在， 说明理由.
2.如图，已知抛物线经过 A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点 O，顶点为 C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且 A、O、D、E 为顶点的四边形是平行 四边形，求点 D 的坐标； （3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点 P 作 PM x 轴，垂足为 M，是否存在点 P， 使得以 P、M、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明 理由．
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二、二次函数中面积的存在性问题 3.如图，抛物线 与双曲线 相交于点 A，B．已知点 B 的坐标为（－2，－2），点 A 在第一象限内，且 tan∠AOX＝4．过点 A 作直线 AC∥ 轴，交抛物线于另一点 C． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积； （3）在抛物线上是否存在点 D，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点 D 的坐标；若不存在，请你说明理由．
4.如图，抛物线 y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形 ABCD 的四个顶点，梯形的底 AD 在 x 轴上， 其中 A（－2,0），B（－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3 分） （2）点 M 为 y 轴上任意一点，当点 M 到 A、B 两点的距离之和为最小时，求此时点 M 的坐
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八年级数学全等三角形之动点问题

八年级数学全等三角形之动点问题（全等三角形）拔高练习 解答题(本大题共8小题，共120分) 1.(本小题15分)如图，在等边△ABC的顶点A、C处 各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由 A向B和由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬 行到D、E处，请问（1）在爬行过程中，CD和BE始 终相等吗？ （2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”， 改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件 不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变．请 利用图（2）情形，求证：∠ CQE =60°； （3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行， 连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图（3），则爬行过程中， DF始终等于EF是否正确． 核心考点:运动变化型问题 2.(本小题15分)如图，已知△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒得速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CQP？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ 核心考点:正数和负数 3.(本小题15分)如图，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP. (1)请你通过观察，测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系； (2)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； (3)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ.你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

二次函数的存在性问题(面积)及答案

图12-2 x C O y A B D 1 1 二次函数的存在性问题(面积问题) 1、[08云南双柏]已知：抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB

特殊平行四边形动点及存在性问题(压轴题)复习课程

特殊平行四边形动点及存在性问题(压轴题)

特殊平行四边形中的动点及存在性问题 【例1】正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为 。 【练习1】如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA =3，OB =4，D 为边OB 的中点. （1）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标； （2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标. 【例2】 如图，在平面直角坐标系中,矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为（10，0），（0，4）,点D 是OA 的中点,点P 在BC 上运动,当三角形△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，P 的坐标为 ； 【练习2】如图，在平面直角坐标系中，AB ∥OC ，A （0，12），B （a ，c ），C （b ，0），并且a ，b 满 足16b =．一动点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；动点Q 从点O 出发在线段OC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，点P 、Q 分别从点A 、O 同时出发，当点P 运动到点B 时，点Q 随之停止运动．设运动时间为t （秒） （1）求B 、C 两点的坐标； （2）当t 为何值时，四边形PQCB 是平行四边形？并求出此时P 、Q 两点的坐标； （3）当t 为何值时，△PQC 是以PQ 为腰的等腰三角形？并求出P 、Q 两点的坐标． x

【例3】（1）如图，矩形ONEF 的对角线相交于点M ，ON 、OF 分别在x 轴和y 轴上，O 为坐标原点，点E 的坐标为（4，3），则点M 的坐标为 ； （2）在直角坐标系中，有A （-1，2），B （3，1），C （1，4）三点，另有一点D 与点A 、B 、C 构成平行四边形的顶点，求点D 的坐标． 【练习3】如图，四边形ABCD 为矩形，C 点在x 轴上，A 点在y 轴上，D 点坐标是（0，0），B 点坐标是（3，4），矩形ABCD 沿直线EF 折叠，点A 落在BC 边上的G 处，E 、F 分别在AD 、AB 上，且F 点的坐标是（2，4）． （1）求G 点坐标； （2）求直线EF 解析式； （3）点N 在x 轴上，直线EF 上是否存在点M ，使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M 点的坐标；若不存在，请说明理由． 【例4】在Rt △ABC 中，∠B =90°，AC =60cm ，∠A =60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm /s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm /s 的速度运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D ，E 运动的时间是ts （0

(完整版)二次函数中的存在性问题(答案)

二次函数中的存在性问题姓名 1．已知抛物线y=﹣x2+x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及点C．（1）求直线和抛物线解析式； （2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由． 3．已知直线y=x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）在直线CA上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．

4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），过点A的直线y=kx+1交抛物线于点C（2，3）． （1）求直线AC及抛物线的解析式； （2）若直线y=kx+1与抛物线的对称轴交于点E，以点E为中心将直线y=kx+1顺时针旋转90°得到直线l，设直线l与y轴的交点为P，求△APE的面积； （3）若G为抛物线上一点，是否存在x轴上的点F，使以B、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C． （1）求直线BC的解析式； （2）求抛物线的顶点及对称轴； （3）若点Q是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ是否存在最小值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由； （4）若点P是直线BC上方的一个动点，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出点P的坐标及此时△PBC 的面积；若不存在，说明理由．

动点存在性问题

第一讲动点存在性问题 一．考情分析 二．知识回顾 1、题型分类 在中考中，存在性问题一般分为四类： 1.是否存在三角形（等腰三角形、直角三角形）； 2.是否存在四边形（平行四边形、直角梯形和等腰梯形）； 3.是否存在三角形与已知三角形相似或者全等； 4.是否存在三角形与已知三角形的面积之间有数量关系。 2、方法归纳 在解决动点存在性问题时，一般先假设其存在，得到方程，如果有解，则存在，反之，则不存在。而在列方程时，一般要用到特殊三角形以及特殊平行四边形的性质、相似、解直角三角形等知识点，需要注意的是，列方程时，一定要遵循：用两种不同的方法表示同一个量，否则，将会得到“1=1”之类的恒等式。 对于是否存在三角形，一般按顶点分为三类情况。 而对于是否存在平行四边形则有两种形式的题目：如果已知三个定点，就有三种情况，一般利用平移坐标法即可求出答案；如果只有两个定点就应该按与边平行以及与对角线平行两种情况考虑了。 对于等腰梯形，就应该考虑腰长在下底边上的投影了。 对于是否存在三角形与已知三角形相似或者全等，则与是否存在三角形一样，分三类情况，当然，如果有一个角是一个定角（比如直角），则就分为两类情况。

类型一：是否存在三角形（等腰三角形、直角三角形） （A ）【典型例题1】如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝16，DC ＝12，AD ＝21。动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。设运动的时间为t （秒）。当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？ （C ）【典型例题2】如图2，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，. （1）求点到的距离； （2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设. ①当点在线段上时（如图3），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由； ②当点在线段上时（如图4），是否存在点，使为等腰三角形？若存在， 请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由. （B ）【典型例题3】如图，已知直线1 12y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线 21 2y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。 学习心得 A B Q C P D 图1

二次函数的存在性问题(面积问题)

二次函数的存在性问题(面积问题) [08湖北荆州]已知：如图，R t △AOB 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的正半轴和y 轴的负 半轴上，C 为OA 上一点且OC ＝OB ，抛物线y=(x －2)(x －m )－(p-2)(p-m)（m 、p 为常数且m+2≥2p>0）经过A 、C 两点． （1）用m 、p 分别表示OA 、OC 的长； （2）当m 、p 满足什么关系时，△AOB 12220.(1)0 2)()(2)()0 )(2)0,222020 2,1(2),2 11 (2) 2211 (2)22 1 (2) 1 2(2)1 2 2()2 AOB AOB AO y x x m p p m x p x m p x p x m p m p m p p OA m p OC P OC OB S OA OB S OA OB P m p P m P m p m S =-----=---+=∴==+-+>>∴+->>∴=+-===∴==+-=-+++∴=-=+?-令得：（整理得：（当时，. B 最大 [08湖北荆州]如图，等腰直角三角形纸片AB C 中，AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90o，直角边AC 在x 轴上，B 点在第二象限，A （1，0），AB 交y 轴于E ，将纸片过E 点折叠使BE 与EA 所在直线重合，得到折痕EF （F 在x 轴上），再展开还原沿EF 剪开得到四边形BCFE ，然后把四边形BCFE 从E 点开始沿射线EA 平移，至B 点到达A 点停止.设平移时间为t （s ），移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE 与△AEF 重叠的面积为S. （1）求折痕EF 的长； （2）是否存在某一时刻t 使平移中直角顶点C 经过抛物线243y x x =++的顶点？若存在， 求出t 值；若不存在，请说明理由； （3）直接写出．．．．S 与t 的函数关系式及自变量t 25.145101ABC BE EA FE EA Rt AC BC CAB EF EA A OA OE AE EF ∴⊥=∴∠=?∴=∴===∴=（）折叠后与所在直线重合又中（，） ，折痕 ∥BA 交Y 轴于P ， 2（）存在.设CP 413 POC C CP AC OA OC OP ==∴==则为等腰直角三角形，直角顶点在射线上移动 ，

全等三角形之动点问题(简单题)

一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题 1.如图,Rt△ABC在直线l上，且∠ABC= 90°，BC=6cm,AC= 10cm. (1)求AB的长; (2)若有一动点P从点B出发，以2cm/s的速度在直线l上运动,则当t为何值时,△ACP为等腰三角形? 二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题 2、如图，射线MB上MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P 从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t. 求：(1)△PAB为等腰三角形的t值; (2)△PAB为直角三角形的t值; (3) 若AB=5且∠ABM=45。，其他条件不变，直接写出△PAB为直角三角形的t值 三、全等三角形：因动点产生的全等三角形问题 3.如图，已知△ABC中，∠B=∠C,AB=AC=10 cm,BC=8 cm,D为AB的中点.点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动. (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1 s后，△BPD与△CQP是否全等?请说明理由; (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等? 四、三角形面积：因动点产生的三角形面积问题 4.△ABC中，AB=6cm,BC=8cm,∠B=90°, P从A沿AB向B以1cm/s的速度移动，Q从B沿BC向C以2cm/s的速度移动。 (1)如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2?; (2)如果P、Q分别从A、B同时出发，点P到B点后，又继续沿BC向C移动,点Q到达C后，又继续沿CA向A移动,在这一整个移动过程中，是否存在点P、Q,使△PBQ的面积等于9cm2?若存在，试确定P、Q的位置;若不存在，请说明理由。

二次函数(存在性问题)

函数图象中点的存在性问题（强化训练） 切入点一：利用基本图形来作图(充分利用图形的特殊性质)，并描述作图方法 切入点二：做好数据准备，计算尽量利用相似、数形结合（交轨法） 切入点三：紧扣不变量，善于使用前题所采用的方法或结论 切入点四：在题目中寻找多解的信息(不重不漏) 1.1因动点产生的平行四边形问题 1. 如图1，直线L：y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线G：y=ax2+bx+c 与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2． （1）该抛物线G的解析式为； （2）将直线L沿y轴向下平移个单位长度，能使它与抛物线G只有一个公共点； （3）若点E在抛物线G的对称轴上，点F在该抛物线上，且以点A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形，求点E与点F坐标并直接写出平行四边形的周长． （4）连接AC，得△ABC．若点Q在x轴上，且以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点Q 的坐标．

2. 在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax2-2ax+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），AB=4，与y轴交于点C，且过点（2，3）． （1）求此二次函数的表达式； （2）若抛物线的顶点为D，连接CD、CB，问抛物线上是否存在点P，使得∠PBC+∠BDC=90°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点K为抛物线上C关于对称轴的对称点，点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、K、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

中考数学专题复习教案 全等三角形中动点问题-word文档

A B C D E F 个性化辅导授课案 教师: 学生: 日期: 星期: 时段: 课题 全等三角形的动点问题分析讲解 学情分析 .动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路。动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论 教学目标 考点分析 思路： 1.利用图形想到三角形全等，相似及三角函数 2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度（动点怎么动） 3.结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据 4.分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏 5.动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路 6.动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论 教学 重点 难点 利用熟悉的知识点解决陌生的问题 教学方法 教师引导，自主思考 教学过程 三角形与动点问题 1、如图，在等腰△ACB 中，AC ＝BC ＝5，AB ＝8，D 为底边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，则DE ＋DF ＝ ． 2、在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.

3、如图，将边长为1的等边△OAP按图示方式，沿x轴正方向连续翻转2019次，点P依次落 在点P1，P2，P3，P4，…，P2019的位 置．试写出P1，P3，P50，P2019的坐标．4、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE．连接DE、DF、EF． （1）求证：△ADF≌△CEF （2）试证明△DFE是等腰直角三角形 5、如图，在等边ABC ?的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1各单位的速度油A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D,E处，请问 （1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？ （2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，，求证：? CQE = ∠60

专题06 动点折叠类问题中图形存在性问题(解析版)

专题06 动点折叠类问题中图形存在性问题 一、基础知识点综述 动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目. 而从其中延伸出的折叠问题，更能体现其解题核心——动中求静，灵活运用相关数学知识进行解答，有时需要借助或构造一些数学模型来解答. 实行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目往往出现在选择、填空题的压轴部分，题型繁多，题意新颖，具有创新力. 其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力. 要求学生具备：运动观点；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；转化思想等等. 存在性问题 主要有等腰三角形存在性、直角三角形存在性、特殊落点存在性等问题，常用的数学解题模型有“一线三直角”等模型，作图方法是借助圆规化动为静找落点. 解题思路：分析题目→依据落点定折痕→建立模型→设出未知数列方程求解→得到结论. 解题核心知识点： 折叠性质； ①折叠前后图形大小、形状不变；②折痕是折叠前后对应点连线的垂直平分线； 勾股定理； 相似图形的性质、三角函数等. ★等腰三角形存在性问题 解题思路：依据圆规等先确定落点，再确定折痕； ★直角三角形存在性问题 解题思路：依据不同直角顶点位置分类讨论，作出图形求解. 二、精品例题解析 题型一：折叠问题中等腰三角形存在性问题 例1.（2019·金水区校级模拟）如图，∠AOB=90°，点P为∠AOB内部一点，作射线OP，点M在射线OB 上，且OM= ，点M与点M’关于射线OP对称，且直线MM’与射线OA交于点N，当△ONM’为等腰三角形时，ON的长为.

-几何图形在二次函数中的存在性问题探解

---几何图形在二次函数中的存在性问题探解 二次函数是初中数学的重要内容，更是中考的重要考点之一，它以丰富的知识内涵，深远的知识综合，深厚的数学思想，灵活的解题方法，奇趣的知识背景等深深吸引着命题老师，更深刻启迪着每位同学.下面就把几何图形在二次函数中的存在性问题介绍给大家，供学习时借鉴. 一、.三角形的存在性 1.1 等腰三角形的存在性 例1 （2017年淮安）如图1-1，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y=2x +bx+c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ． （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值（图1-2、1-3供画图探究）． 分析： 第一问考查的是待定系数法确定函数的解析式，思路有几个待定系数，解答时就需要确定几个点的坐标； 第二问探析等腰三角形的存在性，解答时，要做到一先一后，先清楚动点的位置与特点，后对等腰三角形进行科学分类，一是按边分类，一是按角分类； 第三问探求三角形面积的最大值，这是二次函数的看家本领，只需将三角形的面积适当分割，恰当表示，最后将三角形面积最大问题转化为二次函数的最值问题求解即可. 解： （1）因为直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，所以B （3，0），C （0，3）， 所以{c =39a+3b+c =0，解得{c =3b =4-，所以抛物线解析式为y=2x ﹣4x+3； （2）因为y=2x ﹣4x+3=2(x 2)-﹣1，所以抛物线对称轴为x=2，顶点P （2，﹣1）， 设M （2，t ），因为△CPM 为等腰三角形，如图2所示， ①当MC=PC 时，过C 作CQ ⊥对称轴,垂足为Q ，则Q(2,3),所以QP=MQ=3-(-1)=4,所以M 到x 轴的距离8-1=7，所以1M 的坐标(2,7)； ②当MP=MC 时，作PC 的垂直平分线交对称轴于点M ，所以222(t+1)2+(t-3)=，解得t=32,所以2M 的坐标(2, 32 )；

二次函数存在性问题总结

已知，抛物线322 --=x x y 交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C. １、线段最值 ①线段和最小 点P 是抛物线对称轴上一动点，当点P 坐标为多少时,PA+PC 值最小． A B C O x y ②线段差最大 点Q 是抛物线对称轴上一动点,当点Q 坐标为多少时,|QA －QC|值最大． A B C O x y ③线段最值 连接ＢC,点M 是线段ＢC 上一动点，过点M 作ＭN/／y 轴,交抛物线于点Ｎ，求线段MN 的最大值及点N 的坐标. A B C O x y N M 变式① 点N 是第四象限内抛物线上一动点,连接BN 、CN,求BCN S ?的最大值及点Ｎ的坐标 A B C O x y N

变式② 点Ｎ是第四象限内抛物线上一动点，求点Ｎ到线段BC 的最大距离及点Ｎ的坐标 A B C O x y N M 2、等腰三角形的存在性问题 点D 为抛物线322 --=x x y 的顶点，连接BC ，点P 是直线B Ｃ上一动点，是否存在点P,使△PAD 为等腰三角形,若存在，求出点P 的坐标，若不存在,说明理由. A B C O x y D ３、菱形的存在性问题 点Ｄ为抛物线322 --=x x y 的顶点，连接BC 点P 是直线BC 上一动点，点Q 为坐标平面内一点，是否存在以A 、Ｄ、Ｐ、Q 为顶点的四边形是菱形,若存在,求出点P 坐标，若不存在,说明理由． A B C O x y D ４、平行四边形的存在性问题 点D 为抛物线322 --=x x y 的顶点，点M 是抛物线上一动点，点N 为直线ＢC 上一动点,是否存在以O 、D 、Ｍ、N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M 坐标，若不存在,说明理由. A B C O x y D 5、直角三角形的存在性问题

全等三角形之动点问题

全等三角形之动点问题（一） 1.已知:如图,线段AB的长为18厘米,动点P从点A出发,沿AB以2厘米/秒的速度向点B运动,动点Q从点B出发,沿BA以1厘米/秒的速度向点A运动.P,Q两点同时出发,当点P到达点B时,点P,Q同时停止运动.设点P运动的时间为t 秒,用t表示线段PQ的长度为_____;若P,Q两点相距6厘米,则经过的时间t=______. 2、已知:如图,在等边△ABC中,AB=8,D为边BC上一点,且BD=6.动点P从点C 出发沿CA边以每秒2个单位的速度向点A运动,连接AD,BP,设点P运动 的时间为t秒.若△BPA≌△ADB,则t的值为 3、已知:如图,在长方形ABCD中,AB=DC=6,AD=BC=12,点E为边AD上一点,且AE=10. 动点P从点B出发,沿BC边向终点C以每秒2个单位的速度运动,连接AP,DP,设点P 运动的时间为t秒.若运动到某一时刻,△DCP≌△CDE,则t的值为 4、已知:如图,在△ABC中,AB=AC=18,BC=12,点D为AB的中点.点P在线段BC上 以每秒3个单位的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由C点向A点 以每秒a个单位的速度匀速运动.设运动时间为t秒,若某一时刻△BPD与△CQP全等 ,求t的值与相应的点Q的运动速度a 5、如图，在等边ABC 的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1各单位的速度油A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D,E处，请问 （1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？

（2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，，求证：? CQE = ∠60 （3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确 6、在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E (1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE (2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE (3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明 7.如下图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上，BE=6厘米． （1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；