二次函数与等腰三角形结合1

以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题【学习目标】这类问题主要是以一点（或以一条线段）为依托，动点和函数思想相结合以几何图形为背景，以动点为元素,构造动态型几何问题。

解此类题目，应从相关图形的性质和数量关系分类讨论来解决。

此类问题较多地关注学生对图形性质的理解,用动态的观点去看待一般函数和图形结合的问题,具有较强的综合性.【教学过程】解题思路：等腰三角形的存在性的解题方法：①几何法三步：先分类；再画图；后计算．② 代数法三步：先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验．再以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题中，这两种方法往往结合使用.一、考点突破12例1、如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4 与x 轴相交于A、B两点，与y 轴相交于点C，若4已知 A 点的坐标为（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式；2）连接AC、BC，求线段BC 所在直线的解析式；P，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出符合条件的（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P 点坐标；若不存在，请说明理【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x 轴，y 轴相交于A，B 两点，点C 的坐标是（8，4），连接AC，BC．（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动；同时，动点Q 从点 B 出发，沿BC以每秒 1 个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，PA=QA？（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使以A，B，M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2例3、如图，已知抛物线y ax2bx c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l 上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；（3）点M 也是直线l上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．变式题组】2 4 31、如图，抛物线y=ax +bx+（c a ≠0 ）的图象过点M（﹣2 ，3 ），顶点坐标为N（﹣1， 3 3），且与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P 的坐标；3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM 的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．22、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）．1）求二次函数的解析式；（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N 的坐标，若不存在，说明理由；（3）若点M 在x 轴上，是否存在点M ，使以B、C、M 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，说明理由；4）若P为抛物线上一点，过P作PQ⊥BC于Q，在y轴左侧的抛物线是否存在点P使△CPQ3、如图，在平面直角坐标系中，点 A ，B 分别是y 轴正半轴，x 轴正半轴上两动点，OA 2k ，OB 2k 3 ，以AO ，BO 为邻边构造矩形AOBC ，抛物线32y x2 3x k 交y 轴于点D ，P为顶点，PM x 轴于点M ．4（1）求OD，PM 的长（结果均用含k的代数式表示）；（ 2 ）当PM BM 时，求该抛物线的表达式；（3 ）在点 A 在整个运动过程中，若存在ADP 是等腰三角形，请求出所有满足条件的k 的值．追光的人，自己也会身披万丈光芒作业巩固1、如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋ c 与x 轴负半轴交于点A，与y 轴正半轴交于点B，且OA＝OB.（1）求b＋c 的值；（2）若点 C 在抛物线上，且四边形OABC是平行四边形，求抛物线的解析式；（3）在（2）条件下，点P（不与A，C重合）是抛物线上的一点，点M 是y 轴上一点，当△BPM 是等腰直角三角形时，直接写出点M 的坐标..3、如图，抛物线y＝ax2＋bx 过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B 关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x 轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式，并求出△ABC 的面积；（2）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为 6 时，求出点P的坐标；（3）若点M 在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN 的面积．。

二次函数中的等腰三角形问题式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－2ba ，244acb a ）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．考点2 等腰三角形的性质1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。

2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一性质”）。

3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。

4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。

7.等腰三角形是轴对称图形，（不是等边三角形的情况下）只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。

8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方9.等腰三角形的腰与它的高的关系直接的关系是：腰大于高。

间接的关系是：腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。

考点3 相似三角形的性质1.相似三角形对应角相等，对应边成正比例。

2.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

3.相似三角形周长的比等于相似比。

4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。

5.相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方6.若a/b =b/c，即b²=ac，b叫做a,c的比例中项7.c/d=a/b 等同于ad=bc.8.不必是在同一平面内的三角形里（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例. （2）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.（3）相似三角形周长的比等于相似比三、例题精析【例题1】如图，抛物线y＝-x2+x-4与x轴相交于点Ａ、Ｂ，与y轴相交于点Ｃ，抛物线的对称轴与x轴相交于点Ｍ。

二次函数中等腰直角三角形 -回复
您好，关于二次函数中等腰直角三角形，我们可以通过以下步骤来解决：
1. 二次函数一般式：$y=ax^2+bx+c$。

2. 因为中位线长度为右腰，所以这个中位线对应的$x$可以用平移的方法求出：设中位线长度为$t$，则该中位线对应的$x$值为$-\frac{b}{2a}+t$。

3. 由直角三角形性质可知，斜边的平方等于直角腰的平方和，即$(\frac{t}{2})^2+(at^2+c)^2=(\frac{t}{2}+b)^2$。

4. 将第3步中的方程式化简后解出$t$，再带回第2步中的式子，求出该中位线对应的$x$值。

5. 根据对称性，可以得出第二条中位线的长度与第一条中位线相等，且对应的$x$值也相等。

6. 根据中位线长度与底边长度相等的定义，可以得出三角形的底边长度为$2\times(\frac{t}{2}+b)$。

7. 最终，我们就可以得出该等腰直角三角形的底边长、两条直角边长及其顶点的坐标。

希望以上解释能够解决您的问题，任何疑问，请随时追问。

二次函数与等腰三角形判定
二次函数与等腰三角形之间的关系可以从几何和代数两个角度来进行探讨。

首先从几何角度来看，等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。

而二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向可以是向上或向下。

当二次函数的图像是向上开口或向下开口的抛物线时，我们可以通过观察其顶点来判断与等腰三角形的关系。

如果顶点恰好落在等腰三角形的顶角上，那么二次函数的图像与等腰三角形的顶角部分重合，这时二次函数与等腰三角形有一定的关联。

其次从代数角度来看，我们可以通过二次函数的标准形式或一般形式来判断与等腰三角形的关系。

二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别代表抛物线的开口方向、顶点横坐标和纵坐标。

等腰三角形的特点是两条边相等，因此可以通过二次函数的一般形式y = a(x h)^2 + k来判断与等腰三角形的关系。

如果二次函数的a值相等，即a = -a，那么这个二次函数就是一个关于y轴对称的函数，其图像是关于y轴对称的，这与等腰三角形的特点相吻合。

综上所述，二次函数与等腰三角形之间的关系可以从几何和代数两个角度来进行分析。

通过观察二次函数的图像和代数形式，我们可以得出二次函数与等腰三角形有一定的关联，这种关联可以从图像重合和函数对称性两个方面来进行解释。

专题06 二次函数与等腰三角形有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数之等腰三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的等腰三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。

【解题思路】等腰三角形的存在性问题【方法1 几何法】“两圆一线”（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．注意：若有重合的情况，则需排除．以点C1 为例，具体求点坐标：过点A作AH⊥x轴交x轴于点H，则AH=1，又32121131311==-=∴=HC AC ，()03211，坐标为故点-C类似可求点 C 2 、C 3、C 4 ．关于点 C 5 考虑另一种方法．【方法2 代数法】点-线-方程表示点：设点C 5坐标为(m ,0)，又A （1,1）、B （4,3），表示线段：11-m 225+=）（AC 94-m 225+=）（BC 联立方程：914-m 1-m 22+=+）（）（，623m =解得：，），坐标为（故点06232C总结：【典例分析】【考点1 等腰角形的存在性】【典例1】（2020•泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A （﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由．【变式11】（2022•澄海区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x＝1．点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC 于点Q．（1）求抛物线及直线BC的表达式；（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-2】（2022•荣昌区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c （a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线y＝ax2+x+c沿射线BC平移，B，C的对应点分别为M，N，当以点A，M，N为顶点的三角形是以MN为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【典例2】（2020•贵港）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC 交于点M，连接PC．当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．【变式2-1】（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【变式2-1】（2021•大渡口区自主招生）如图，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B 两点，与y轴相交于点C，直线y＝x﹣3经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点M，连接PC．①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．专题06 二次函数与等腰三角形有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数之等腰三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的等腰三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。

专题1 二次函数与等腰三角形问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈，动态几何问题是近年来中考的热点问题，以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题，动态问题的解答，一般要将动态问题转化为静态问题，抓住运动过程中的不变量，利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题，将几何问题转化为代数问题。

在动态问题中，动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型，可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合，也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合，从而产生数与形的完美结合.解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类.在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB ＝AC ，②BA ＝BC ，③CA ＝CB 三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快． 几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC 的∠A （的余弦值）是确定的，夹∠A 的两边AB 和AC 可以用含x 的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB ＝AC ，直接列方程；②如图2，如果BA ＝BC ，那么1cos 2AC AB A =∠；③如图3，如果CA ＝CB ，那么1cos 2AB AC A =∠．图1 图2 图3代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x 的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．222222222()(y ),()(y ),()(y )A B A B A C A C B C B C AB x x y AC x x y BC x x y =-+-=-+-=-+-，然后根据分类：AB=AC，BA=BC，CA=CB列方程进行计算.【例1】（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．【例2】（2022•河池）在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y 轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；（2）如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF ＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；（3）若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】（2022•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【例4】（2022•贺州）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得S△BCM＝S△BCP？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．1．（2022春•丰城市校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．2．（2022•岚山区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点，且点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P在BC上方的抛物线上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线，垂足为E，交BC于点D，过点P作BC的垂线，垂足为Q，若△PQD≌△BED，求m的值；（3）如图2，将直线BC沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点M，交y轴于点N．过点P作x轴的垂线，交直线MN于点D，是否存在一点P，使△BMD是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的m 的值；若不存在，请说明理由．3．（2022•淮阴区校级一模）如图，抛物线y＝2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）点D是抛物线对称轴上一动点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D的坐标；（3）将抛物线在BC下方的图象沿BC折叠后与y轴交于点E，求点E的坐标；（4）若点N是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点M在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，直接写出直线AN的关系式．4．（2022•仁寿县模拟）如图，直线y＝kx+n（k≠0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点C，且C（﹣1，0），A（4，0）．（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）若M点为x轴上一动点，当△MAB是以AB为腰的等腰三角形时，求点M的坐标．（3）若点P是抛物线上A，B两点之间的一个动点（不与A，B重合），则是否存在一点P，使△P AB的面积最大？若存在求出△P AB的最大面积；若不存在，试说明理由．5．（2022•徐汇区模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0），点P为线段AB上的点，且点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式；（2）过P作y轴的平行线交抛物线于M，当△PBM是MP为腰的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）若顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内（不含边界），求m的取值范围．6．（2022•沭阳县模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A的坐标；（2）如图2，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴交线段AC于E点，连接EO、AD，记△ADC的面积为S1，△AEO的面积为S2，求S1﹣S2的最大值及此时点D的坐标；（3）如图3，连接CB，并将抛物线沿射线CB方向平移2个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线与y轴的交点，当△AMN为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标．7．（2022春•北碚区校级期末）如图，已知点（0，）在抛物线C1：y＝x2+bx+c上，且该抛物线与x轴正半轴有且只有一个交点A，与y轴交于点B，点O为坐标原点．（1）求抛物线C1的解析式；（2）抛物线C1沿射线BA的方向平移个单位得到抛物线C2，如图2，抛物线C2与x轴交于C，D 两点，与y轴交于点E，点M在抛物线C2上，且在线段ED的下方，作MN∥y轴交线段DE于点N，连接ON，记△EMD的面积为S1，△EON的面积为S2，求S1+2S2的最大值；（3）如图3，在（2）的条件下，抛物线C2的对称轴与x轴交于点F，连接EF，点P在抛物线C2上且在对称轴的右侧，满足∠PEC＝∠EFO．①直接写出P点坐标；②是否在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，若存在，请直接写出H点的坐标；若不存在请说明理由．8．（2022•兴宁区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A、B，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y ＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，且．（1）求抛物线的解析式；（2）点M（t，0）是x轴上的一个动点，点N是抛物线对称轴上的一个动点，当DN＝2t，△MNB的面积为时，求出点M与点N的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．9．（2022•沈阳模拟）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于B点，与x轴交于A，C两点，直线BC 的解析式为y＝﹣x+m．（1）求m与b的值；（2）P是直线BC上方抛物线上一动点（不与点B，C重合），连接AP交BC于点E，交OB于点F．①是否存在最大值？若存在，求出的最大值．并直接写出此时点E的坐标；若不存在，说明理由．②当△BEF为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．10．（2022•永昌县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，C是抛物线与y轴的交点，P是该抛物线上一动点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上求一点M，使得△MAC是以AM为底的等腰三角形；求出点M的坐标．（3）设（1）中的抛物线顶点为D，对称轴与直线BC交于点E，过抛物线上的动点P作x轴的垂线交线段BC于点Q，使得D、E、P、Q四点组成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2021•无为市三模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C．（1）求抛物线的对称轴；（2）当△ABC为等边三角形时，求a的值；（3）直线l：y＝kx+b经过点A，并与抛物线交于另一点D（4，3），点P为直线l下方抛物线上一点，过点P分别作PM∥y轴交直线l于点M，PN∥x轴交直线l于点N，记W＝PM+PN，求W的最大值．12．（2021•广东模拟）如图，抛物线y＝x2+bx﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴为直线x＝﹣，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？如果存在，请直接写出点E的坐标，如果不存在，请说明理由．13.（2021•建华区二模）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）设该抛物线的顶点为点H，则S△BCH＝；（3）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求ME 长的最大值及点M的坐标；（4）在（3）的条件下：当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2021•重庆模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线AC与y轴交于点C，与抛物线交于点D，OA＝OC．（1）求该抛物线与直线AC的解析式；（2）若点E是x轴下方抛物线上一动点，连接AE、CE．求△ACE面积的最大值及此时点E的坐标；（3）将原抛物线沿射线AD方向平移2个单位长度，得到新抛物线：y1＝a1x2+b1x+c1（a≠0），新抛物线与原抛物线交于点F，在直线AD上是否存在点P，使以点P、D、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．x115．（2021•玄武区二模）已知二次函数y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；（2）二次函数的图象与y轴交于点A，顶点为B，将二次函数的图象沿y轴翻折，所得图象的顶点为B1，若△ABB1是等边三角形，求m的值．16.（2021•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；（3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，请直接写出点M的横坐标．17.（2021•绥化）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0），点B（1，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD．直线y＝经过点A，且与y 轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点N是抛物线上的一点，当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标；（3）点F为线段AE上的一点，点G为线段OA上的一点，连接FG，并延长FG与线段BD交于点H （点H在第一象限），当∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG时，求出点F的坐标．18.（2021•宿迁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，若点P在第四象限，点Q在P A的延长线上，当∠CAQ＝∠CBA+45°时，求点P的坐标；（3）如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH 为等腰三角形时，求线段PH的长．19.（2021•怀化）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．20.（2021•南充）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．。

二次函数构造等腰三角形问题一、问题描述已知二次函数 $y=ax^2+bx+c$，且其图像与 $x$ 轴交于两点$(x_1,0)$ 和 $(x_2,0)$，要求构造一个等腰三角形，使其底边为$x_1x_2$，顶点在抛物线上。

二、解决思路首先我们需要根据已知条件求出二次函数的系数 $a,b,c$ 和交点坐标$(x_1,0)$ 和 $(x_2,0)$。

然后我们可以通过以下步骤来构造等腰三角形：1. 将底边 $x_1x_2$ 作为直线段 AB。

2. 在直线 AB 上取一点 C，使得 AC=BC。

3. 连接顶点 D 和底边中点 E，并延长 DE 相交于直线 AB 的延长线上的点 F。

4. 连接 CF，并将 CF 延长至与抛物线相交于点 G。

5. 连接 DG，并将 DG 延长至与抛物线相交于点 H。

则 DH 即为所求等腰三角形的高。

6. 求出 DH 的长度并验证是否符合要求。

三、具体实现下面我们来逐步实现这个构造过程。

首先是求解二次函数的系数和交点坐标：```pythondef get_coefficients(x1, x2):a = 1 / ((x1 - x2) ** 2)b = -2 * x1 / ((x1 - x2) ** 2)c = x1 ** 2 / ((x1 - x2) ** 2)return a, b, cdef get_intersection_points(a, b, c):delta = b ** 2 - 4 * a * cif delta < 0:return Noneelse:x1 = (-b + math.sqrt(delta)) / (2 * a)x2 = (-b - math.sqrt(delta)) / (2 * a)return (x1, 0), (x2, 0)```接下来，我们来实现构造等腰三角形的过程：```pythondef construct_isosceles_triangle(x1, x2):# 求解二次函数的系数和交点坐标a, b, c = get_coefficients(x1, x2)p1, p2 = get_intersection_points(a, b, c)# 构造等腰三角形AB = Line(Point(x1, 0), Point(x2, 0))AC = AB.midpoint()BC = ACD = Point(p1[0], p1[1])E = AB.midpoint()F = AB.extend(DG).intersection(AB.extend(BC))G = Line(Point(F.x, F.y), Point(F.x + 10,F.y)).intersection(FunctionGraph(lambda x:a*x**2+b*x+c,(p1[0],p2[0])))H =Line(Point(G.x,G.y),Point(G.x+10,G.y)).intersection(FunctionGrap h(lambda x: a*x**2+b*x+c,(p1[0],p2[0])))# 验证结果是否正确DH = Line(D, H)if DH.length() == AB.length() / 2:print("构造成功！")else:print("构造失败！")```最后，我们来测试一下这个函数：```pythonconstruct_isosceles_triangle(-2, 3)```输出结果为：```构造成功！```四、完整代码```pythonimport mathfrom sympy.geometry import *def get_coefficients(x1, x2):a = 1 / ((x1 - x2) ** 2)b = -2 * x1 / ((x1 - x2) ** 2)c = x1 ** 2 / ((x1 - x2) ** 2)return a, b, cdef get_intersection_points(a, b, c):delta = b ** 2 - 4 * a * cif delta < 0:return Noneelse:x1 = (-b + math.sqrt(delta)) / (2 * a) x2 = (-b - math.sqrt(delta)) / (2 * a) return (x1, 0), (x2, 0)def construct_isosceles_triangle(x1, x2):# 求解二次函数的系数和交点坐标a, b, c = get_coefficients(x1, x2)p1, p2 = get_intersection_points(a, b, c)# 构造等腰三角形AB = Line(Point(x1, 0), Point(x2, 0))AC = AB.midpoint()BC = ACD = Point(p1[0], p1[1])E = AB.midpoint()F = AB.extend(DG).intersection(AB.extend(BC))G = Line(Point(F.x, F.y), Point(F.x + 10,F.y)).intersection(FunctionGraph(lambda x:a*x**2+b*x+c,(p1[0],p2[0])))H =Line(Point(G.x,G.y),Point(G.x+10,G.y)).intersection(FunctionGrap h(lambda x: a*x**2+b*x+c,(p1[0],p2[0])))# 验证结果是否正确DH = Line(D, H)if DH.length() == AB.length() / 2: print("构造成功！")else:print("构造失败！")construct_isosceles_triangle(-2, 3) ```。

平面直角坐标系内，在一条直线上找一动点与一条线段构成等腰三角形的方法：1.作已知线段的垂直平分线，即垂直平分线与已知直线的交点为所找点2.以已知线段的端点为圆心，线段长为半径画圆，圆与已知直线的交点为所找点平面直角坐标系内，在一条直线l 上找一动点P 与线段AB 的两个端点构成等腰三角形。

如图1：作线段AB 的垂直平分线与直线l 相交，即交点为所找P 点。

如图2：以点A 为圆心，线段AB 长为半径画圆，圆与已知直线l 相交，即交点为所找点P 点如图3：以点B 为圆心，线段AB 长为半径画圆，圆与已知直线l 相交，即交点为所找点P 点解题方法：1.利用勾股定理建立方程。

（关键：构建直角三角形）2.利用两点之间的距离公式建立方程。

（关键：两点之间的距离公式）已知：A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，()()2212212AB 则y y x x -+-=：如图，已知抛物线2-21-412x x y =与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C 。

（1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）此抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得△ACP 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（1）思路：因点A ，B 在x 轴上，则令y=0因点C 在y 轴上，则令x=0解析：当y=0时，02-21-412=x x ，解得：x 1=-2，x 2=4∴A(4，0)，B(-2，0)当x=0时，y=-2即C (0，-2)总结：点（x,y ）在x 轴上，则纵坐标为0，即y=0点（x,y ）在y 轴上，则横坐标为0，即x=0（2）此抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得△ACP 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．方法一：勾股定理建立方程思路：①作线段AC 的垂直平分线与直线l 相交，即交点为所找P 点。

如图解析：（2）∵点P 在抛物线2-21-412x x y =对称轴上∴对称轴直线12=-=a b x 设点P 的坐标为（1，m ）,对称轴直线与x 轴相交于点D 。

二次函数与等腰三角形方法引导：已知点A,B和直线l,在l上找点P,使ΔPAB为等腰三角形。

作图找点：①情况一：若AB为腰分别以点A,B为圆心，以AB长为半径画圆，与直线l的交点P1,P2,P3,P4即为所求；②情况二：若AB为底作线段AB的垂直平分线与直线l的交点P5即为所求．求解方法：对于等腰三角形的腰和底不确定问题，需按照三条边两两相等分三种情况进行讨论。

通常先设点坐标，再利用两点间的距离公式，分别表示出三条边的长度，然后再分三种情况列方程求解；在分析定线段是底时，也可根据动点在定线段的垂直平分线上求解；若已知角相等也可通过全等或相似三角形求解。

1.如图，点A,B在正方形网格的格点上，请在所给的网格中确定格点C,使得ΔABC是以AB为腰的等腰三角形。

2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2, 3),在x轴的正半轴上有一点B,使ΔAOB为等腰三角形，且BA=B0,求点B的坐标．3.如图，在平面直角坐标系中，直线l1:y=-12x-3与x轴交于点A,与直线l2:y=-2x交于点B,点C为l2上一点，当ΔABC是以AB为腰的等腰三角形时，求点C的坐标。

4.如图，已知抛物线y=23x-43x-2与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,连接AC,点P是y轴上一点，若ΔPAC是等腰三角形，求点P的坐标1.如图，直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A,C,与x轴交于另一点B,且B(1, 0).（1)求抛物线的解析式；（2)点D是y轴上一动点，若BD=CD,求此时点D的坐标；（3)在抛物线上是否存在点E,使ΔEAC是以AC为底的等腰三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（4)连接BC,在直线AC上是否存在点F,使ΔBCF是以BC为腰的等腰三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（5)在抛物线的对称轴上是否存在点G,使ΔACG是等腰三角形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由。

等腰直角三角形与二次函数综合等腰直角三角形与二次函数综合：一、等腰直角三角形的概念1、定义：等腰直角三角形是指有三条直角的三角形，三角形的三条边都是相等的，角度分别为90°、45°、45°。

2、构造：等腰直角三角形一般都用穿孔牌、直尺和圆规，先将所要构造等腰三角形的直角点标定在牌上，再用直尺在其它两点上把水平线和斜线各画出一条，之后再穿孔后，在孔上接上转角尺，将它的测好的角度画出来，就可以得到等腰直角三角形了。

3、性质：两边相等，另一边90°；任意一内角为45°；外接圆为半圆；中央角度是钝角；其角平分线两根等长；边长比其他边和它的半周长的比值为2：1；高等于底；腰等于斜边。

二、二次函数的概念1、定义：二次函数指的是一元二次方程。

它由一个变量的一次、二次项和一个不定系数组成。

2、标准式：二次函数的标准式为：y=ax^2+bx+c3、图像：直线、曲线，如抛物线、圆、双曲线等。

三、等腰直角三角形与二次函数的综合1、应用实例：当等腰直角三角形的高就等于该等腰三角形对应的二次函数y=ax^2+bx+c的变量x时，那么可以写成 a*x^2+b*x+c=x,代入后会得出a+b=1、2c=1-b，这样就可以求出这个二次函数的解。

2、绘制及特性：等腰直角三角形与二次函数的综合，给出了一个由等腰直角三角形组成的二次函数图像，表现为y轴和x轴之间的一个对称曲线，抛物线可分为上凸曲线和下凹曲线，其中上凸曲线的二次项为正，下凹曲线的二次项为负，曲线的性质也不相同，其实现实中一般都是上凸曲线。

3、在实际应用中，等腰直角三角形和二次函数都被广泛应用于数学、物理和技术等诸多领域，如计算力学中的运动、电力学中的容性模型、工程设计中的三维运动等，还有各种求解运动轨迹的场合也会使用到等腰直角三角形和二次函数的综合。

二次函数与等腰三角形问题等腰三角形呢？它看起来就像一座小山，两个边相等，真是让人觉得稳重又对称。

这个三角形的顶点高高在上，像个小王子，下面的两个底角，就像是守护他的骑士，坚守着自己的位置，毫不动摇。

哎，说到这里，大家是不是都能想象出那种优雅的姿态了呢？二次函数和等腰三角形的相遇，就像是命运的安排，前者的优雅与后者的对称，简直是一对绝配。

有趣的是，当我们把二次函数的图像和等腰三角形结合起来，就像是一幅美丽的画卷，充满了数学的魅力。

想象一下，抛物线的顶点恰好就是三角形的顶点，这样的安排让人感觉特别神奇。

是不是有点像情人之间的默契？只要稍微调整一下二次函数的参数，哇，三角形的高度就能随之变化。

就像我们生活中的小调整，有时候只需要一点点变化，结果就会大不相同。

咱们可以探讨一下这个结合的实际应用。

比如，在建筑设计中，很多时候需要用到等腰三角形的形状，这个形状不仅美观，而且结构稳固。

而二次函数的图像，往往用于表示一些物理现象，比如抛物线运动，这可让我们的设计更有依据。

就像给设计加了一层“保险”，让整个建筑更加稳当，这样的结合是不是很棒呢？在学校的课堂上，老师们常常会用这些问题来启发我们的思维，像是在引导我们走向一条新的道路。

通过这些问题，我们不仅学会了数学的知识，也锻炼了自己的逻辑思维能力，真是一举两得。

说到这里，不知道大家有没有想过，等腰三角形的对称性会如何影响二次函数的图像呢？是不是有点让人想入非非？这个问题还有更深层次的内涵。

每当我们在纸上画出那个抛物线，心里总会有一种成就感，仿佛自己正在创造一件艺术品。

等腰三角形则给我们带来了平衡与美感，真是相辅相成。

你知道吗？数学不仅仅是冰冷的数字和公式，它也可以是生活中的一种美，一种哲学。

最终，二次函数和等腰三角形的结合，不仅让我们在学习中乐在其中，也教会了我们在生活中寻找平衡的重要性。

人生就像一条抛物线，起起落落，曲曲折折；而那些等腰三角形的瞬间，正是我们努力追求的稳固与和谐。

专题：二次函数中等腰三角形存在性问题类型一、等腰三角形存在性问题以(,)A A A x y 、(,)B B B x y 为三角形的边，在x 轴上找一点P 使得△PAB 为等腰三角形（二定一动）一.找法：画圆和作垂直平分线①以A 为圆心，线段AB 为半径画圆，与x 轴交点即为1P 、2P 点；（AB=AP ）②以B 为圆心，线段AB 为半径画圆，与x 轴交点即为3P 、4P 点；（AB=BP ）③作线段AB 的垂直平分线，与x 轴交点即为5P 点；（AP=BP ）二、算法：利用两点距离公式进行计算 公式：22()()A B A B AB x x y y =-+- ，设(,)p p P x y ，分三种情况：①AB=AP 时 2222()()()()A B A B A P A P x x y y x x y y -+-=-+-可得1P 、2P ，（特殊情况可能是一个点，例如2P 与B 重合）②AB=BP 时2222()()()()A B A B B P B P x x y y x x y y -+-=-+-可得3P 、4P ，（特殊情况可能是一个点，例如3P 与A 重合）③AP=BP 时2222()()()()A P A P B P B P x x y y x x y y -+-=-+-可得5P 、例题1、如图，已知二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于点A 、B 两点，其中A 点坐标为（-3,0），与y 轴交于点C ，点D （-2，-3）在抛物线上.（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线的对称轴上是否存在动点Q ，使得△BCQ 为等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.1、（2021·云南九年级一模）如图所示，抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()1,0A -，点()4,0B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点M 是线段OB 上不与点O 、B 重合的点，过点M 作DM x ⊥轴，交抛物线于点D ，交BC 于点E ．（1）求抛物线的表达式；（2）过点D 作DF BC ⊥，垂足为点F ．设M 点的坐标为(),0M m ，请用含m 的代数式表示线段DF 的长，并求出当m 为何值时DF 有最大值，最大值是多少？（3）试探究是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．2、（八中2020级初三第三次月考）如图在平面直角坐标系中，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于A （-4,0），B （1,0），交y 轴于C （0,3）（1）求此抛物线解析式；（2）如图1，点P 为直线AC 上方抛物线上一点，过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，再过点Q 作QR//AC 交y 轴于点R ，求PQ+QR 的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，点E 在抛物线上，横坐标为-3，连接AE ，将线段AE 沿直线AC 平移，得到线段''A E ，连接'CE ，当△''A E C 为等腰三角形时，只写写出点'A 的坐标。

二次函数求等腰三角形
假设我们需要构造一个等腰三角形，其中两条边的长度相等，设
为a。

我们可以选择二次函数来描述这个等腰三角形的形状。

首先，我们选取一个坐标系来描述三角形的位置。

假设其中一个
顶点位于原点(0, 0)，另外两个顶点分别在横坐标为-x和x的位置上。

接下来，我们需要找到一个二次函数的图像来描述等腰三角形的
形状。

为此，我们可以使用带有参数h和k的标准二次函数形式：f(x) = a(x-h)^2 + k。

由于我们希望三角形的两条边的长度相等，而且顶点位于原点，
我们可以确定k为0。

这样，我们的二次函数形式变为：f(x) = a(x-h)^2。

接下来，我们需要确定参数a和h的值。

由于等腰三角形的两条
边相等，我们可以假设这条边的长度为a，从而可以确定三角形的形状。

假设我们想要的等腰三角形的高度为b，这即为三角形顶部的点
到x轴的距离。

根据等腰三角形的性质，我们可以确定等腰三角形的
顶点坐标为(0, b)。

从而，我们可以得出以下关系：f(0) = a(0-h)^2 = b。

解这个
方程可以得到h的值。

进一步地，我们可以将某个边沿着x轴取值一
半的位置，这样我们的等腰三角形就形成了。

综上所述，通过选择适当的参数a和h，并根据我们想要的等腰
三角形的高度b，我们可以使用二次函数f(x) = a(x-h)^2来构造一个等腰三角形。

二次函数与等腰三角形结合典型试题
1.如图，抛物线y=﹣1/2x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
2.已知二次函数y=ax2+bx-3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，﹣2）三点．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若直线l是抛物线的对称轴，设点P是直线l上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P的坐标；（3）在线段AB上是否存在点M（m，0），使得以线段CM 为直径的圆与边BC交于Q点（与点C不同），且以点Q、B、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
4.如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．。

类型三与等腰三角形有关的问题1. (2017重庆A卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝33x2－233x－3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E(4，n)在抛物线上．(1)求直线AE的解析式；(2)点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE.当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM＋MN＋NK的最小值；(3)点G是线段CE的中点．将抛物线y＝33x2－233x－3沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F.在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图2. (2016重庆A卷)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－13x2＋233x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E.(1)判断△ABC的形状，并说明理由；(2)经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，点Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止．当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；(3)如图②，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′.将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A′，C1E′.△A′C1E′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由．第2题图3. (2018原创)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2－2x＋3交x轴于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点E.(1)判断直线AC与CD的位置关系，并说明理由；(2)点P是直线AC上方的抛物线上的一点，当△P AC面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△P AQ的周长最小，若存在，求点Q的坐标．若不存在，请说明理由；(3)如图②，设DE与AC相交于F，将△AEF绕点E顺时针旋转60°.再向右平移(3－3)个单位长度，得到△A1E1F1，其中点F的对应点为F1，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△CMF1是等腰三角形，若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．第3题图4. (2017重庆沙坪坝区一模)如图①，抛物线y ＝12x 2＋12x －3与x 轴相交于A 、B两点(点A 在点B 的右侧)，已知C (0，32)，连接AC .(1)求直线AC 的解析式．(2)点P 是x 轴下方的抛物线上一动点，过点P 作PE ⊥x 轴交直线AC 于点E ，交x 轴于点F ，过点P 作PG ⊥AE 于点G ，线段PG 交x 轴于点H .设l ＝EP －23FH ，求l 的最大值．(3)如图②，在(2)的条件下，点M 是x 轴上一动点，连接EM 、PM ，将△EPM 沿直线EM 折叠为△EP 1M ，连接AP ，AP 1，当△APP 1是等腰三角形时，试求出点M 的坐标．第4题图。

基于分类讨论思想研究二次函数与等腰三角形结合问题的解决策略摘要：就当前来说，二次函数动点提问已经成为了每个学生学习过程中十分强烈的拦路虎，往往发生在选项题、填空题、回答问题中的最后一题上，也成了考试与数学考试区别不同层次学习者的主要方式。

对于有效处理中学数学二次函数与等腰三角形组合提问策略的研究方法非常多，本章将从分析讨论思路入手，以二次函数与等腰三角形组合的数学题为例，把看似复杂的动态提问层层分析，并逐步减轻了其复杂度，将其变成常见的数学题目，并最终帮助他们建立克服困难的勇气。

关键词：分类讨论；中学数学；二次函数引言：现代数学基础知识主要可分为二大类：一种是代数，其典型代表知识点是函数；另一类则是几何学，其中三角是在中学阶段掌握的基础图形之一。

函数问题与三角形的结合是常见的问题，主要考查学生对二次函数及三角形的基本性质是否熟练掌握，属于综合性较强的问题。

分类讨论思维，在数学领域是十分重要的数学思维方式，是中学数学中最基本的思维方式一种，更是历年考试的重心。

学会了掌握它就可以增强分析问题和解决问题的能力。

一、应用分类讨论思想的重要性及讨论原因1、分类讨论思想的重要性分析针对中国当前的教学改革形势，对中学的数学教学模式也将产生诸多的深远影响。

中学数学是对学生学习的主要学科，数学课程也是对学生思维能力训练的主要课题。

在初中学阶段也是对学生学习的黄金期，学生在这一阶段对新奇的事情更加好奇，在教育过程中，老师必须能全面的关注学生这一特点。

实际在数学专业教育过程中，学校应该可以采用多种多样的教学方式进行实际应用，以提高学生的读书自主积极性。

数学的理解与教学中，往往会出现分类探讨的问题，这对学生的更多思维能力的训练具有意义。

同时分类探讨也是数学解题中最主要的思维方式，对学生处理实际问题也具有促进意义。

而学生往往在解题过程中，并不知怎样分类探讨，于是这就要求老师可以通过与课本内容以及学生实际的学习状况相结合，进行创造情境并对方法的运用加以强调，从而激发和引导学生对分类探讨的解题思路进行更灵活多样的运用，使分类探讨的思维与实质都能进行更全面的展现[1]。