高等数学同步练习题

2023-2024学年全国高中数学同步练习考试总分：45 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ）1. 如图正方体的棱长为，线段上有两个动点、，且，则下列结论中错误的是（ ）A.平面B.C.三棱锥体积为定值D.与面积相等2. 已知长方体中，，，分别是线段，的中点，若是在平面上的射影，点在线段上，，则 A.B.C.D.3. 如图，一个四棱柱形容器中盛有水，在底面中，，＝，＝，侧棱＝，若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点，那么当底面水平放置时，水面高为（ ）ABCD −A 1B 1C 1D 12B 1D 1E F EF =1EF //ABCDAC ⊥BEA −BEF △BEF △AEF ABCD −A 1B 1C 1D 1AB =2BC =2A =2A 1EF A 1D 1CC 1E ′E BDD 1B 1F ′BB 1F //BC F ′||=E ′F ′()215−−−√15215−−−√10430−−−√15430−−−√10ABCD AB //CD AB 3CD 1AA 14A B A 1B 1AD BC B 1C 1A 1D 1ABCDB.C. D.4. 在棱长为的正方体中，为线段的中点，在平面中取一个点，连接，，则 的最小值为( )A.B.C.D.5. 直三棱柱的底面是以为直角的等腰直角三角形，且＝＝，在面对角线上存在一点使到和到的距离之和最小，则这个最小值是（ ）A.B. C. D.6. 如图，已知棱长为的正方体，是正方形的中心，是内（包括边界）的动点．满足＝，则点的轨迹长度是（ ）A.B.C.D.32ABCD −A 1B 1C 1D 1E AB 1ABCD F EF FC 1|EF|+|F |C 122–√23–√14−−√33–√ABC −A 1B 1C 1C AC CC 11BC 1P P B 1P A 21+4ABCD −A'B'C'D'M BB'C'C P △A'C'D PM PD P 11−−√214−−√211−−√14−−√7. 已知长方体中，底面的长，宽，高，点，分别是，的中点，点在上底面中，点在上，若，则长度的最小值是（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）8. 已知正四棱柱的底面边长为，侧棱＝，为上底面上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ）A.若＝，则满足条件的点有且只有一个B.若，则点的轨迹是一段圆弧C.若平面，则长的最小值为D.若平面，且，则平面截正四棱柱的外接球所得平面图形的面积为9. 如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱上的一动点，过点，，作该正方体的截面，则该截面可能是（ ）A.平行四边形B.等腰梯形C.五边形D.六边形ABCD −A 1B 1C 1D 1ABCD AB =4BC =4A =3A 1M N BC C 1D 1P A 1B 1C 1D 1Q N A 1PM =13−−√PQ −25–√325–√−2655–√355–√ABCD −A 1B 1C 1D 12AA 11P A 1B 1C 1D 1PD 3P PD =3–√P PD //ACB 1DP 2PD //ACB 1PD =3–√BDP ABCD −A 1B 1C 1D 19π4ABCD −A 1B 1C 1D 1AB =2E BC F A 1D 1A E FA.平面B.C.平面D.异面直线与所成的角为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ）11. 如图，正方体 的棱长为，，分别为线段，上的点，且，，则平面截该正方体的面所得的线段的长度为________．12. 在如图所示的正方体中，，分别是棱和上的点，若，，则________.13. 如图，正方体的棱长为，，分别为线段，上的点，且，．则平面 截该正方体的面所得的线段的长度为________．BD //CB 1D 1A ⊥BDC 1A ⊥C 1CB 1D 1AD CB 160∘ABCD −A 1B 1C 1D 13E F AB BC BE =AB 35FC =2BF EFC 1ABB 1A 1ABCD −A 1B 1C 1D 1M N AA 1AB M ⊥MN C 1=M A 1AA 125=AN AMABCD −A 1B 1C 1D 13E F AB BC BE =AB 35FC =2BF EFC 1ADD 1A 114. 如图，棱长为的正方体中，为线段上的动点，则下列结论正确的序号是________．①②平面平面③的最大值为④的最小值为．15. 长方体中，，，，点是中点，点，，则长度最小值为________．1ABCD −A 1B 1C 1D 1P B A 1D ⊥PC 1D 1P ⊥D 1A 1APA 1∠APD 190∘AP +PD 12+2–√−−−−−−√ABCD −A 1B 1C 1D 1AB =1BC =2A =3A 1M BC P ∈AC 1Q ∈MD |PQ |参考答案与试题解析2023-2024学年全国高中数学同步练习一、 选择题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ）1.【答案】D【考点】棱柱的结构特征空间中直线与平面之间的位置关系【解析】在中，由，得平面；在中，由平面，得；在中，由，，得三棱锥体积为定值；在中，与底都是，但高不相等，故面积不相等．【解答】解：在中：∵正方体的棱长为，线段上有两个动点、，∴，平面，平面，∴平面，故正确；在中：如图，正方体中，，，，∴平面．又平面，∴，故正确；在中：∵，∴，设，则平面，，∴三棱锥体积，∴三棱锥体积为定值，故正确；在中：，，∴与面积不相等，故错误．故选：．2.【答案】DA EF //BD EF //ABCDB AC ⊥BD B 1D 1AC ⊥BE C EF =1=1S △BEF A −BEF D △BEF △AEF EF A ABCD −A 1B 1C 1D 12B 1D 1E F EF //BD BD ⊂ABCD EF ⊂ABCD EF //ABCD A B AC ⊥BD AC ⊥BB 1BD ∩B =B B 1AC ⊥B D B 1D 1BE ⊂B D B 1D 1AC ⊥BE B C EF =1=×EF ×B =×1×2=1S △BEF 12B 112AC ∩BD =O AO ⊥BEF AO ==124+4−−−−√2–√A −BEF V =××AO =×1×=13S △BEF 132–√2–√3A −BEF C D =×EF ×B =×1×2=1S △BEF 12B 112=××1=S △AEF 123–√3–√2△BEF △AEF D D此题暂无解析【解答】解：过点作，垂足为，取的中点，连接，如图所示，则.故选.3.【答案】B【考点】棱柱的结构特征点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】CE E ⊥E ′B 1D 1E ′BB 1F ′FF ′=E ′F ′+B 1E ′2B 1F ′2−−−−−−−−−−−−√=(−+B 1D 1D 1E ′)2B 1F ′2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=(−×+(5–√15–√12)212)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=(+(95–√10)212)2−−−−−−−−−−−−√=430−−−√10D此题暂无解析【解答】解：将正方体补成如图所示长方体，点关于平面的对称点为，连接交平面于一点.即为所求点，使得最小，其最小值为.连接，，由题意可得，，所以，，所以是直角三角形，，所以.即的最小值为.故选.5.【答案】D【考点】棱柱的结构特征点、线、面间的距离计算ACBCD −A 1B 1C 1D 1C 1ABCD C 2EC 2ABCD F F ||+||EF −→−FC 1−→−|E |C 2AC 2B 1C 2||=4A 1A 2|A |=||=2B 1A 2C 22–√|A |=2C 23–√=2B 1C 25–√△AB 1C 2∠A =B 1C 290∘|E |==C 2|A +(|A |C 2|212B 1)2−−−−−−−−−−−−−−−−√14−−√|EF|+|F |C 114−−√C此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】D【考点】棱柱的结构特征【解析】满足＝的点的轨迹是过的中点，且与垂直的平面，根据是内（包括边界）的动点，可得点的轨迹是两平面的交线．在中点，在等分点，利用余弦定理，求出即可．【解答】满足＝的点的轨迹是过的中点，且与垂直的平面，∵是内（包括边界）的动点，∴点的轨迹是两平面的交线．在中点，在等分点时，＝，，满足＝∴＝，＝∴．7.【答案】C【考点】棱柱的结构特征【解析】取的中点，则为直角三角形，即点在以为圆心，半径为的圆在正方形内的弧上，长度的最小值等于圆心到的距离减去半径，【解答】取的中点，则为直角三角形，∵，∴，即点在以为圆心，半径为的圆在正方形内的弧上，长度的最小值等于圆心到的距离减去半径，PM PD P MD MD P △A'C'D P ST T S 4ST PM PD P MD MD P △A'C'D P ST T S 4SD 32–√SM ==3+242−−−−−√2–√SD SM SD 32–√TD 22–√ST ==18+8−2×3×2×2–√2–√12−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√14−−√B 1C 1O △POM P O 2A 1B 1C 1D 1PQ N A 12B 1C 1O △POM PM =13−−√OP =2P O 2A 1B 1C 1D 1PQ N A 12又的面积．∴，∴长度的最小值是．二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）8.【答案】A,B,D【考点】棱柱的结构特征【解析】由题意画出图形，求出与上底面点的最大值判断；由，求得为定值判断；找出满足平面的的轨迹，求出长的最小值判断；由已知求出正四棱住的外接球的半径，进一步求出大圆面积判断．【解答】如图∵正四棱柱的底面边长为，∴，又侧棱＝，∴，则与重合时＝，此时点唯一，故正确；∵，＝，则，即点的轨迹是一段圆弧，故正确；连接，，可得平面平面，则当为中点时，有最小值为，故错误；由知，平面即为平面，平面截正四棱柱的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为，面积为，故正确．9.【答案】A,B,C【考点】棱柱的结构特征【解析】无【解答】△NO A 1S =×N ×d =612A 1d =65–√5PQ −265–√5D A PD =3–√PD 1B PD //ACB 1P DP C D ABCD −A 1B 1C 1D 12=2B 1D 12–√AA 11D ==3B 1(2+2–√)212−−−−−−−−−−√P B 1PD 3P A PD =∈(1,3)3–√DD 11P =D 12–√P B DA 1DC 1D //A 1C 1ACB 1P A 1C 1DP =(+2–√)212−−−−−−−−−√3–√C C BDP BDD 1B 1BDP ABCD −A 1B 1C 1D 1=12++222212−−−−−−−−−−√329π4D即与重合时，取 的中点，截面为矩形；当时，截面为平行四边形；当时，截面为五边形；当，即与重合时，截面为等腰梯形．故选．10.【答案】A,B,C【考点】异面直线及其所成的角空间中直线与平面之间的位置关系棱柱的结构特征【解析】由，得到平面；由，，得到；异面直线与角为；由，，得到平面．【解答】解：连接，,如图：在选项中，∵，平面，平面，∴平面，故正确；在选项中，∵是正方形，∴，∵为正方体，∴，∵，∴平面，∴，故正确；在选项中，∵是正方形，∴，∵为正方体，∴，∵，∴平面，∵，∴，同理，，∵，∴平面，故正确；在选项中，∵，∴是异面直线与所成角，∵是正方形，∴，∴异面直线与角为，故错误．故选．三、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ）F A 1B 1C 1AEGA 10<F ≤1A 1AEGF 1<F <2A 1AEGHF F =2A 1F D 1AEGF ABC BD //B 1D 1BD //CB 1D 1AC ⊥BD C ⊥BD C 1A ⊥BD C 1AD CB 145∘A ⊥C 1B 1D 1A ⊥C C 1B 1A ⊥C 1CB 1D 1AC A 1C 1A BD //B 1D 1BD ⊂CB 1D 1⊂B 1D 1CB 1D 1BD //CB 1D 1A B ABCD AC ⊥BD ABCD −A 1B 1C 1D 1C ⊥BD C 1AC ∩C =C C 1BD ⊥ACC 1A 1A ⊥BD C 1B C A 1B 1C 1D 1⊥A 1C 1B 1D 1ABCD −A 1B 1C 1D 1C ⊥C 1B 1D 1∩C =A 1C 1C 1C 1⊥B 1D 1A C A 1C 1A ⊂平面A C C 1A 1C 1A ⊥C 1B 1D 1A ⊥C C 1B 1∩C =B 1D 1B 1B 1A ⊥C 1CB 1D 1C D AD //BC ∠BCB 1AD CB 1BCC 1B 1∠BC =B 145∘AD CB 145∘D ABC11.【答案】【考点】点、线、面间的距离计算棱柱的结构特征【解析】【解答】解：连接交的延长线于点，连接交于点，设平面与棱的交点为，连接，，则五边形即为平面截该正方体所得的截面，平面截该正方体的面所得的线段为．设直线与直线的交点为，在线段上取一点，使,易证得四边形为平行四边形，，，，由，得，所以，则，由，得，所以，于是得.故答案为：.12.【答案】61−−√5F C 1B B 1I IE AA 1H EFC 1A 1D 1G GC 1GH EF GH C 1EFC 1EFC 1ABB 1A 1EH GH AD J AD K DK =2AK JK G D 1K =GJ D 1=F ==C 1C +C F 2C 21−−−−−−−−−−√13−−√AE =AB ×=2565BE =AB ×=3595BC//B 1C 1==BI IB 1BF B 1C 113=BI BB 112BI =32BI//AH ==BI AH BE AE 32AH ==12BI 3EH ==A +A E 2H 2−−−−−−−−−−√61−−√561−−√525【考点】点、线、面间的距离计算棱柱的结构特征【解析】此题暂无解析【解答】解：因为在正方体中，平面，平面，平面，所以.因为，，所以平面.因为平面，所以，所以.因为，，，所以，，所以，所以.故答案为：.13.【答案】【考点】点、线、面间的距离计算棱柱的结构特征【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，连接交的延长线于点，连接交于点，设平面 与棱的交点为，连接，，⊥C 1B 1A B A 1B 1MN ⊂A B A 1B 1⊂C 1B 1A B A 1B 1⊥MN C 1B 1M ⊥MN C 1∩M =C 1B 1C 1C 1MN ⊥M C 1B 1M ⊂B 1M C 1B 1M ⊥MN B 1∠AMN +∠M =A 1B 190∘=M A 1AA 125A =A 1A 1B 1∠M +∠M =A 1B 1A 1B 190∘=M A 1B A 125∠M =∠AMN A 1B 1△M ∽△ANM A 1B 1==AN AM M A 1B A 12525213−−√3F C 1BB 1I IE AA 1H EFC 1A 1D 1G GC 1GH则五边形，即为平面截该正方体所得的截面，平面截该正方体的面，所得的线段为线段，由，得，，由，得，.由，得，所以，所以，由，得，所以， ．由平面平面，平面平面，平面平面，得，又，所以，所以，所以，所以．所以．故答案为：．14.【答案】①②④【考点】棱柱的结构特征【解析】对于①，利用线面垂直的判定定理可证面，而平面，故可判断①正确；对于②，平面，而平面，就是平面，故平面平面，EF GH C 1EFC 1EFC 1ADD 1A 1GH BE =AB 35AE =AB ×=2565BE =AB ×=3595FC =2BF BF =1FC =2BC//B 1C 1=BI IB 1BF B 1C 1=13=BI BB 112BI =32BI//AH ==BI AH BE AE 32AH ==12BI 3H =2A 1ABCD//A 1B 1C 1D 1EF ∩C 1ABCD =EF EF ∩C 1=G A 1B 1C 1D 1C 1EF//GC 1AB//D 1C 1∠FEB =∠GC 1D 1==G D 1D 1C 1BF BE 59G =D 153G =A 143GH ==+A 1H 2A 1G 2−−−−−−−−−−−√213−−√3213−−√3D ⊥C 1BC A 1D 1P ⊂D 1DC D 1C 1⊥D 1A 1AB A 1B 1AB A 1B 1AP A 1P ⊥D 1A 1AP A 1从而可判定②正确；对于③，当时，为钝角，故可判断③错误；对于④，将面与面沿展成平面图形，线段即为的最小值，通过解三角形可求得，可判断④正确．【解答】解：对于①，∵平面，平面，∴，又，，∴面，平面，∴，故①正确对于②，∵平面即为平面，平面 即为平面，且平面，∴平面平面，∴平面平面，故②正确；对于③，在中，由余弦定理可知，当时，为钝角，故③错误；对于④，将面与面沿展成平面图形，线段即为的最小值，在中，利用余弦定理解三角形得，故④正确．故答案为：①②④．15.【答案】【考点】点、线、面间的距离计算棱柱的结构特征【解析】以为坐标原点，，，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，求出，两点的坐标，利用向量法，求出当为和的公垂线时的坐标，代入两点之间距离公式，可得答案．【解答】解：以为坐标原点，，，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，∵，，，∴，，，，，则，0<P <A 12–√2∠APD 1A B A 1BC A 1D 1B A 1AD 1AP +PD 1AA 1D 1A =D 12+2–√−−−−−−√⊥A 1D 1DC D 1C 1D ⊂C 1DC D 1C 1⊥D A 1D 1C 1B ⊥D A 1C 1∩B =A 1D 1A 1A 1D ⊥C 1BC A 1D 1P ⊂D 1DC D 1C 1D ⊥P C 1D 1P D 1A 1BC D 1A 1AP A 1AB A 1B 1⊥D 1A 1AB A 1B 1BC ⊥D 1A 1AB A 1B 1P ⊥D 1A 1AP A 1△AP D 10<P <A 12–√2∠APD 1A B A 1BC A 1D 1B A 1AD 1AP +PD 1△AA 1D 1A =D 12+2–√−−−−−−√23–√3A AB AD AA 1x y z P Q PQ AC 1MD PQ A AB AD AA 1x y z AB =1BC =2A =3A 1A(0,0,0)B(1,0,0)C(1,2,0)(1,2,3)C 1M(1,1,0)D(0,2,0)=(1,2,3)AC 1−→−=(1,−1,0)DM −→−λ=(λ,2λ,3λ)−→−−→−设，则点的坐标为，，设，点的坐标为，，则，由且得：，解得：，此时．故答案为：．=λ=(λ,2λ,3λ)AP −→−AC 1−→−P (λ,2λ,3λ)λ∈[0,1]=μ=(μ,−μ,0)DQ −→−DM −→−Q (μ,2−μ,0)μ∈[0,1]=(u −λ,2−μ−2λ,−3λ)PQ −→−⊥PQ −→−AC 1−→−⊥PQ −→−DM −→−{u −λ+2(2−μ−2λ)+3(−3λ)=0u −λ−(2−μ−2λ)=0 λ=29μ=89P ==Q min (λ−μ+(2λ−2+μ+9)2)2λ2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√23–√323–√3。

高等数学同步测试卷高等数学是大学本科阶段的一门重要课程，对于理工科和经济管理类专业的学生来说尤为重要。

为了评估学生对高等数学知识的掌握程度，提高教学质量，学校通常会组织同步测试卷。

本文将根据任务名称提供一份高等数学同步测试卷的相关内容需求，让我们一起来完成这个任务。

一、选择题1. 设函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1，求f(2)的值。

2. 已知函数y = e^x，求y的导数。

3. 设函数y = sin(2x + π/6)，求y的周期。

4. 计算极限lim(x→1) [(x^2 - 1) / (x - 1)]。

5. 求不定积分∫(x^3 + 3x^2 - 2x + 1)dx。

二、填空题1. 设函数y = 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5，求y的导数。

2. 计算定积分∫[0, 2] (2x + 1)dx。

3. 求曲线y = 2x^2的切线方程。

4. 求极限lim(x→∞) [x^2 / (e^x + 1)]。

5. 求函数y = ln(x^2 - 1)的导数。

三、计算题1. 求函数y = 3x^2 - 4x + 1的极值点和极值。

2. 计算定积分∫[1, 3] (2x^2 + 3x - 1)dx。

3. 求曲线y = x^3 - 2x^2的拐点。

4. 求函数y = e^x - 2x的最小值。

5. 求函数y = ln(x^2 + 2x + 2)的反函数。

四、证明题1. 证明：若函数y = f(x)满足条件f'(x) > 0，则函数f(x)在其定义域上单调递增。

2. 证明：若函数y = f(x)满足条件f''(x) < 0，则函数f(x)在其定义域上凹。

3. 证明：若函数y = f(x)满足条件f'(x) = 0，则函数f(x)在其定义域上可能有极值点。

4. 证明：若函数y = f(x)满足条件f(x) = f(-x)，则函数f(x)是偶函数。

5. 证明：若函数y = f(x)满足条件f'(x) = 0，则函数f(x)在其定义域上可能有拐点。

高一数学同步练习题一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个选项不是实数集R的子集？A. 自然数集NB. 整数集ZC. 有理数集QD. 无理数集2. 函数f(x) = 2x^2 - 5x + 3在x=1处的导数值是：A. 1B. 4C. 6D. 93. 集合{1,2,3}与集合{3,4,5}的交集是：A. {1,2}B. {3}C. {1,2,3,4,5}D. 空集4. 根据韦达定理，二次方程x^2 - 4x + 4 = 0的两个根之和是：A. 2B. 4C. -4D. 05. 函数y = sinx和y = cosx在x=π/4处的值相等，这个说法是：A. 正确B. 错误二、填空题（每题2分，共10分）6. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x在x=1处的值是________。

7. 集合A = {x | x < 5}，B = {x | x > 3}，则A∪B表示的集合是________。

8. 已知函数y = 3x - 2，当x增加1时，y的增量是________。

9. 函数y = √x的定义域是________。

10. 若sinα = 1/√2，则cosα的值是________。

三、解答题（共75分）11. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点，并说明极值。

（10分）12. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求其在区间[0,5]上的最大值和最小值。

（15分）13. 利用导数求函数y = lnx - x^2在区间(0, +∞)上的最大值。

（15分）14. 解不等式：x^2 - 4x + 3 ≤ 0，并用区间表示解集。

（15分）15. 证明：对于任意实数x，不等式e^x ≥ x + 1恒成立。

（20分）四、附加题（10分，可选做）16. 已知函数f(x) = x^2 + 2x + 3，求其图像的对称轴和顶点坐标。

答案：1-5: D, B, B, B, A6: 07: R（实数集）8: -59: [0, +∞)10: ±√2/211-16: 略（根据题目要求，解答题和附加题的答案需要根据具体解题过程给出，这里略过。

高一数学同步试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，不是一次函数的是（）A. y = 2x + 1B. y = 3x^2C. y = 5x - 4D. y = 72. 若a，b，c为实数，且a + b + c = 0，则下列等式正确的是（）A. a^2 + b^2 + c^2 = 0B. ab + bc + ca = 0C. a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + caD. ab + bc + ca = 13. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点是（）A. 1B. 3C. 1或3D. 无实数解4. 已知向量a = (3, 4)，向量b = (-4, 3)，则向量a与向量b的点积为（）A. -1B. 0C. 1D. 55. 一个等差数列的前三项依次为2，5，8，那么第10项是（）A. 20B. 23C. 26D. 296. 圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，则圆心坐标是（）A. (3, 4)B. (-3, 4)C. (3, -4)D. (-3, -4)7. 函数y = log_2(x)的定义域是（）A. (0, +∞)B. (-∞, 0)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)8. 已知等比数列{a_n}的公比q > 0，且a_1a_5 = 16，a_3 = 4，则a_4是（）A. 2B. 4C. 8D. 169. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2在区间[1, 3]上是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减10. 抛物线y = x^2 - 4x + 5的顶点坐标是（）A. (2, 1)B. (2, -1)C. (-2, 1)D. (-2, -1)二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，若f(a) = 2，则a的值为______。

参考答案与提示第7章 多元函数微分学及其应用7.1 多元函数的概念1、(1) }1,),{(22y x x y y x -≤>(2)}0,),,({22222≠+≥+y x z y x z y x (3)不存在 (4)连续 3、(1) 0 (2) 07.2 偏导数与全微分1、(1))sin(xy y - (2)yx xyy x x +++)ln( (3))cos()sin(xy ye xy (4) 223yx x + (5) )2(2x y x e xy -- (6) dy xe dx xe y y----2)232( (7) dx 2 (8) 0.25e 2、(1) 11+-=z y x y x f 1ln -+=z y z y y zy x x y x f y y x f z y z ln =(2)xyy xy z yx ++=1)1(2]1)1[l n()1(xy xy xy xy z y y ++++= 3、023=∂∂∂yx z 2231y y x z -=∂∂∂ 7.3 多元复合函数求导法1、(1) z xy xyf 2)(2或 (2) 212f xe f y xy '+'- (3) 12+'ϕx(4) t t t 232423-+ (5) xx e x x e 221)1(++(6) dy xy x dx y xy )2()2(22-+-2、(1) 321f yz f y f u x '+'+'= 32f xz f x u y '+'= 3f xy u z '=(2) 223221111f yx f y f xy f ''-'-''+' (3) f x f ''+'242 f xy ''4 (4) )cos ()(cos sin 333132321y x y x y x e f f x f e f e f x y +++''+''+'+''+''- 7.4 隐函数求导法1、2)cos()cos(2x xy x xy y xy -- 2、z x 2sin 2sin - zy 2s i n 2s i n -3、3232)1(22---z x z z z 4、)(211F F z F x '+'' )(212F F z F y '+'' 5、(1) )31(2)61(z y z x ++- z x31+(2))21)(1()12(21122112g yv f x g f g yv f u g f '-'--''-''+'' )21)(1()1(2112111g yv f x g f f u f x g '-'--'''-'-'7.5 多元函数微分学的几何应用1、(1) 213141-=-=-z y x (2) 422+=++πz y x (3) 223 (4) 12124433-=-=-z y x 2、2164±=++z y x 3、46281272-=-=+z y x 4、2,5-=-=b a7.6 方向导数与梯度1、(1)32 (2) 21(3) 5 (4) }2,2,1{92-2、)(2122b a ab + 3、3 4、}1,4,2{211- 217.7 多元函数极值及其求法1、极小值：2)21,41(21--=--ef2、最大值4)1,2(=z ，最小值64)2,4(-=z 。

高等数学同步练习题 第一部分 函数1.求下列函数的定义域： (1)1)1ln(12++-=x x y ； (2) ][1a x y +=.2.讨论下列哪些函数相同： (1) x ln 2与2ln x ； (2)2x 与x ；(3) x 与x x sgn . 3.讨论下列函数奇偶性：(1) )1ln(2x x y ++=； (2) xe x y 2=； 4. (1) 设52)2(2+-=+x x xf ，求)2(-x f ； (2) 设x e f x=+)1(，求)(x f ； (3)设221)1(xx x x f +=+，求)(x f . 5.设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011)(x x x x f ，x e x g =)(，求)]([x g f 和)]([x f g 并作出这两个函数的图形。

第二部分 一元微分学一、求导数1. 若函数)(x f 在a 可导，计算(1)ah a f h f ah --→)()(lim;(2)hh a f a f h )()(lim--→;(3)ha f h a f h )()2(lim-+→;(4)hh a f h a f h 2)()2(lim+-+→.2. 求导数: (1) x y =;(2) 53x x y =.(3) xy 1=(4) 531xxy =3. 求下列曲线在指定点的切线及法线方程 (1) )1,1(1在点xy =处;(2) )21,3(cos π在点xy =处.(3) 求2x y =在点)0,1(-处的切线4. 若函数)(x f 在a 处可导，计算)]()1([lim a f na f n n -+∞→. 5. 如果)(x f 为偶函数，且)(x f '存在，证明0)0(='f .6. 计算函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0001)(1x x e x x f x 在点x =0的左右导数.7. 计算函数⎩⎨⎧<+≥=cx b ax cx x x f 2)(在c 的右导数，当a 、b 取何值时，函数)(x f 在c 处不连续、连续及可导？8. 已知)(,00sin )(x f x xx x x f '⎩⎨⎧≥<=求.9. 求下列函数的导数: (1) 6324-+=x x y ;(2) 5123+-=x x y ;(3) xx x y 133++=; (4) )21)(1(23x x y ++=;(5) 221x x y +=;(6) x x x y cos sin +=;(7) x x y ln =; (8) x x x y cot tan -=; (9) x xy 4=; (10) x e x y 2=;(11) x x y arcsin =; (12) x xy arctan =;(13) xxx x y sin sin +=;(14) x x y arccos 2=;(15) xxy ln =;(16) 11+-=x x y ;(17) 143522-+-=x x x y .10. 求下列函数的导数:(1) 22)32(-=x y ;(2) 22a x y -=;(3) xxy -+=11; (4) x x x y ++=;(5) x x y 3cos sin 2+=; (6) )tan(b ax y +=; (7) x x y 3cos 2sin =;(8) x y 5cot 2=;(9) x y sin ln =;(10) x y 2cos ln =;(11) xa x a x x y 2222)ln(+-++=; (12) 54+=x e y ;(13) xae y =; (14) 2)(arcsin x y =; (15) )1arctan(2+=x y ; (16) xxx y )1(+=;(17) x x x y sin 1ln -=;(18) x x y cos )(sin =;(19) 211xy -=.11. 设函数)(x f 和)(x g 可导，且0)()(22≠+x g x f ，试求函数)()(22x g x f y +=的导数.12. 设)(),(x g x f 可导，求下列函数y 的导数dxdy(1) )(2x f y =(2) )(cos )(sin 22x g x f y +=13. 求下列各题的二阶导数: (1) 21xx y -=;(2) t e y tsin -=;(3) 21arcsin xx y -=;(4) 113+=x y ;(5) )1ln(2x x y ++= .14. 设)(x f ''存在，求下列函数y 的二阶导数22dx yd .(1) )(xef y -=;(2) )](ln[x f y =.15. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式: (1) )1(1-=x x y ;(2) x x y ln =;(3) x y 2sin =.16.求由下列方程所确定的隐函数y 的导数xy d d (1) )cos(y x y +=(2) y xe y -=1(3) 0=-xyyx17.求由下列方程所确定的隐函数y 的二阶导数22d d xy(1) 122=+-y xy x ;(2); 22ln arctany x xy+= (3); )tan(y x y +=. 18.已知y x xy b a e = 证明0)(2)ln (2='-''-y y a y .19.求由下列参数方程所确定的函数y 的导数(1) ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2)1(11t t y t x ;(2) ⎩⎨⎧==tb y ta x 33sin cos .20.求由下列参数方程所确定的函数y 的二阶导数22d d xy(1) ⎩⎨⎧+=+-=23)1ln(t t y t t x ;(2) 存在且不等于零设)()()()(t f t f t f t y t f x ''⎩⎨⎧-'='=21.求下列函数的微分dy (1) x x y sin 2= (2) x x x y -=ln (3) x y tan ln =(4) 21arcsin x y -=22． 计算下列函数)(x y y =的导数.dx dy： ⑴ ⎰+=x dt t y 02;)1cos(⑵ ⎰+=20;)1ln(x dt t y⑶ ⎰--=1;xtdt te y⑷ ⎰=x xt dt e y cos sin ;2⑸ ⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎰⎰tt udu y duu x 00sin )cos 1(;⑹ ⎪⎩⎪⎨⎧==⎰402cos sin 2ty du u x t ;⑺.0cos 0=+⎰⎰xyy ttdt dt e二、求极限1.计算下列各极限：(1) 15lim 3+-→x x x ；(2)；15865lim 223+-+-→x x x x x(3)； hx h x h 220)(lim -+→(4)；)1113(lim 31xx x ---→ (5)； 121lim 22---∞→x x x x(6)；31lim 2+++∞→x x x x(7); 157134lim 32-++-∞→x x x x x(8); xx x 1sinlim 2→ (9); ∑=∞→nk n nk12lim(10); ))1(1321211(lim +++⋅+⋅∞→n n n Λ 2计算下列各极限：(1) 203050)3()12()52(lim +++∞→x x x x ;(2) 11sin 11lim 22-++-∞→x x x x x ;(3) 134lim2+--∞→x x x ;(4) xx x x 11lim--+→;(5) 1lim21--→t t t t ;3.如果 51lim21=-++→xbax x x ，求a 与b 的值。

学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________2023-2024学年全国高中数学同步练习考试总分：73 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）1. 下列关于函数的说法中，正确的是（ ）A.函数是奇函数B.其图象关于直线对称C.其图象关于点对称D.函数在区间上单调递增2. 车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数（）给出，的单位是辆/分，的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )A.B.C.D.3. 已知函数，），若的图象的任何一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（ ）A.B.C.f (x)=2sin(x −)π4f (x −)π4x =π2(,0)π4f (x)(−,)π2π2F(t)=50+4sin t 20≤t ≤20F(t)t [0,5][5,10][10,15][15,20]f(x)=2sin(ωx −)(ω>π612x ∈R f (x)x (3π,4π)ω(,)∪[,]12238976(,]∪[,]12172417182924[,]∪[,]5923891112,]∪[,]11171723D. 4. 已知 为上的偶函数，且，， ，若为上的增函数，则的解集为( )A.B.C.D. 5. 设函数，已知在有且仅有个零点，下述四个结论：① 的周期可能为②在 有且仅有个对称轴；③在 单调递增；④的取值范围是）其中所有正确结论的编号是（ ）A.①②B.②③C.①④D.③④6. 函数的图象与其对称轴在轴右侧的交点从左到右依次记为，，，，，，在点列中存在三个不同的点，，，使得是等腰直角三角形.将满足上述条件的值从小到大组成的数列记为，则( )A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）7. 函数的部分图像如图中实线所示，图中的，是圆与图像的两个交点，其中在轴上，是图像与轴的交点，则下列说法中正确的是( )[,]∪[,]1118172417182324g(x)R g(1)=0h (x)=1+2−12x f (x)=g(x)h (x)f (x)(0,+∞)f (x)<0(−∞,−1)∪(1,+∞)(−1,0)∪(0,1)(−1,0)∪(1,+∞)(−∞,−1)∪(0,1)f (x)=sin(ωx +)(ω>0)π5f (x)[0,2π]3f (x)π;f (x)(0,2π)3f (x)(0,)π7ω[,751910f(x)=sin ωx(ω>0)y A 1A 2A 3⋯A n ⋯{}A n A k A t A p △A k A t A p ω{}ωn =ω20194033π24035π24037π24039π2f (x)=sin(ωx +φ)M N C f (x)M y C f (x)xA.函数的一个周期为B.函数的图像关于点成中心对称C.函数在上单调递增D.圆的面积为8. 若函数，则函数在下列区间单调递减的是( )A.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）9. 若在区间上是增函数，则的取值范围是________.10. 设当时，函数取得最大值，则________．11. 已知函数，且，对不同的，若y =f (x)56f (x)(,0)43f (x)(−,−)1216C π3136y =3sin(−2x)(x ∈[0,π])π6[0,]π3[,]π35π6[,π]5π6[,]π22π3f (x)=2sin ωx +1(ω>0)[−,]π22π3ωx =θf(x)=sin x +2cos x cos θ=f (x)=2sin(2x +φ),0<φ<π2f (a)=f (b)=0,∈[a,b]x 1x 2f ()=f ()f (+)=–√，有，则________.四、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ） 12. 已知.求函数在上的单调递减区间；求函数在上的值域；求不等式在上的解集． 13. 已知函数．求的最小正周期；求在上的最大值及取得最大值时的集合；若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 14. 已知函数（1）求的最小正周期；（2）求的最大值，以及此时的取值集合；（3）求的单调递增区间．15. 已知函数图象与函数的图象的对称轴完全相同．（1）求函数的单调递增区间；（2）当函数的定义域为时，求函数的值域．f ()=f ()x 1x 2f (+)=x 1x 23–√φ=f (x)=sin(−2x)π6(1)R (2)[0,]π2(3)f (x)<−12[−π,π]f (x)=2(+x)−cos 2x sin 2π43–√(1)f (x)(2)f (x)x ∈[,]π4π2x (3)−2+m <f (x)<2+m x ∈[,]π4π2m f(x)=3cos(+)+3x 2π6f(x)f(x)x f(x)f(x)=4cos(wx +)(w >0)π4g(x)=2sin(2x +φ)+1f(x)f(x)[−，]π6π3f(x)参考答案与试题解析2023-2024学年全国高中数学同步练习一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）1.【答案】C【考点】余弦函数的周期性余弦函数的对称性余弦函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】由知， ，正确，故选．2.【答案】C【考点】正弦函数的单调性【解析】由，，解得 ，得到函数＝的增区间，即为所求．【解答】解：本题即求函数的增区间，由，，解得 ，，f (x)=2sin(x −)π4f ()=0π4C C 2kπ−≤≤2kπ+π2t 2π2k ∈z4kπ−π≤t ≤4kπ+πF(t)50+4sin t 2F(t)=50+4sin t 22kπ−≤≤2kπ+π2t 2π2k ∈Z 4kπ−π≤t ≤4kπ+πk ∈Z 50+4sin t故函数的增区间为，，结合所给的选项，只有选项中的区间是，的子区间.故选.3.【答案】C【考点】正弦函数的奇偶性和对称性正弦函数的图象【解析】先利用正弦函数的周期性、图象的对称性求得的范围，再根据，且，分类讨论，求得的具体范围．【解答】解：．函数 ，），若的图象的任何一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间 ，则 ，故错误；．由的图象的任何一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，可得且，解得，当时，，不符合，当时，，符合题意，当时，，符合题意，当时，，不符合，故正确，错误．故选．4.【答案】D【考点】F(t)=50+4sint 2[4kπ−π,4kπ+π]k ∈Z C [4kπ−π,4kπ+π]k ∈Z C ωkπ+≤3ωπ−kπ+π+≥4ωπ−k ωAB f(x)=2sin(ωx −)(ω>π612x ∈R f (x)x (3π,4π)⋅≥4π−3π,122πω<ω≤1,12AB CD f (x)x (3π,4π)kπ+≤3ωπ−,π2π6kπ+π+≥4ωπ−,k ∈Z π2π6≤ω≤,k ∈Z 3k +293k +512k =0≤ω≤29512<ω≤112k =1≤ω≤5923k =2≤ω≤891112k =3≤ω≤119149<ω≤112C D C其他不等式的解法函数奇偶性的性质函数奇偶性的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴，∴，∴，∵为上的增函数，且，∴的解集为.故选.5.【答案】D【考点】正弦函数的单调性正弦函数的周期性正弦函数的定义域和值域正弦函数的图象正弦函数的对称性【解析】,根据题意可知,解得,即可得,当时 在 有且仅有个对称轴, 在单调递增,逐一判断即可.【解答】解:,则,在有且仅有个零点,∴，则,④正确;g(x)=g(−x)h(x)=+−12x −12x 2−12x =+12x −12x h(−x)=1+2−12−x =+−12−x −12−x 2−12−x ==−h(x)+12x1−2x f(−x)=g(−x)h(−x)=−g(x)h(x)=−f(x)f (x)(0,+∞)g(1)=0f (x)<0(−∞,−1)∪(0,1)D ωx +∈[,2πω+]π5π5π53π≤2πω+<4ππ5≤ω<751910T =∈(,]2πω20π1910π72πω+>π57π2f (x)(0,2π)4f (x)(0,)π7x ∈[0,2π]ωx +∈[,2πω+]π5π5π5f (x)[0,2π]33π≤2πω+<4ππ5≤ω<751910=∈(,]2π20π10π由,可知①错误;当时 在 有且仅有个对称轴,故②错误;当 时,, ,显然 在 上单调递增,故③正确.故选.6.【答案】C【考点】正弦函数的对称性两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：由，，得，，由题意得，，，，，即，，，，，由是等腰直角三角形，得，即，得，同理是等腰直角三角形，得，得，同理是等腰直角三角形，得，得，，510T =∈(,]2πω20π1910π72πω+>π57π2f (x)(0,2π)4x ∈(0,)π7ωx +∈(,+)π5π5ωπ7π5+∈(,)ωπ7π52π533π70f (x)(0,)π7D ωx =kπ+π2k ∈Z x =(2k +1)π2ωk ∈Z x =π2ω3π2ω5π2ω⋯(2n −1)π2ω(,1)A 1π2ω(,−1)A 23π2ω(,1)A 35π2ω(,−1)A 47π2ω⋯△A 1A 2A 3⋅=−1k A 1A 2k A 2A 3⋅=−12πω−2πω=ω1π2△A 1A 4A 7⋅=−1k A 1A 4k A 4A 7=ω23π2△A 1A 6A 11⋅=−1k A 1A 6k A 6A 11=ω35π2⋯=ωn (2n −1)π2=(2×2019−1)π则.故选.二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）7.【答案】B,D【考点】正弦函数的周期性由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的对称性正弦函数的单调性两点间的距离公式【解析】首先利用函数的图象的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的单调区间和函数的对称轴即圆的半径．【解答】解：根据函数的图像与圆的关系，得到点为点和点的对称中心，所以点的横坐标，即.，函数的最小正周期为，故选项错误；，函数的图像对称中心的横坐标为：，当时，函数关于点成中心对称，故选项正确；，由于，则，函数在上单调递增，在上不是单调递增，故选项错误；，，所以，当时，，解得，所以，==ω2019(2×2019−1)π24037π2C C C M N C x==+023213C (,0)13A T =2(+)=11316A B f (x)k ⋅×1+=+1213k 213(k ∈Z)k =2f(x)(,0)43B C =T 414−−=−>−161451212f(x)(−,−)51216(−,−)12512CD ω==2π2π1f (x)=sin(2πx +φ)x =−16f (−)=016φ=+2kππ3(k ∈Z)f (x)=sin(2πx ++2kπ)=sin(2πx +)π3π3(0)=–√当时， ，所以，所以，所以圆的面积为，故选项正确．故选．8.【答案】A,C【考点】正弦函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以，因为，，所以，，所以单调递减区间为，，分别取，与的交集得.故选．三、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）9.【答案】【考点】正弦函数的单调性【解析】此题暂无解析x =0f (0)=3–√2M(0,)3–√2|CM|==+()132()3–√22−−−−−−−−−−−−−−√3136−−−√C π×=()3136−−−√231π36D BD y =3sin(−2x)(x ∈[0,π])π6y =−3sin(2x −)π62kπ−≤2x −≤2kπ+π2π6π2k ∈Z kπ−≤x ≤+kππ6π3k ∈Z [kπ−,+kπ]π6π3k ∈Z k =01x ∈[0,π]AC AC (0,]34【解答】解：由，得的增区间是因为在上是增函数，所以所以且，又，得所以的范围为.故答案为：．10.【答案】【考点】正弦函数的定义域和值域【解析】把化简为一个角的正弦函数即可求解．【解答】解：∵.设，，即.当时，函数取得最大值，即 ， ，∴.故答案为：.11.【答案】2kπ−≤ωx ≤2kπ+,k ∈Z π2π2f (x)[−,+](k ∈Z).2kπωπ2ω2kπωπ2ωf (x)[−,]π22π3[−,]⊆[−,]π22π3π2ωπ2ω−≥−π2π2ω≤2π3π2ωω>00<ω≤.34ω(0,]34(0,]3425–√5f(x)f(x)=sin x +2cos x=(sin x +cos x)5–√5–√525–√5cos α=5–√5sin α=25–√5f(x)=sin(x +α)5–√x =θf(x)=sin x +2cos x =sin(x +α)5–√θ+α=+2kππ2k ∈Z cos θ=cos(+2kπ−α)=sin α=π225–√525–√5π【考点】正弦函数的定义域和值域正弦函数的周期性【解析】由题意得到，代入，求解即可.【解答】解：∵，.∵对不同的， ，若 ，有，则 ，即，又，在一个周期内或，得（舍去）或，即，则.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ）12.【答案】解：因为.令，解得：，，即函数的单调递减区间为，．∵，∴．∵，∴在上的值域为．由得，，π32(+)=π−2φx 1x 2sin[2(+)+φ]=x 1x 23–√2f (a)=f (b)=0∴b −a ==T 2π2x 1∈[a,b]x 2f ()=f ()x 1x 2f (+)=x 1x 23–√2sin[2(+)+φ]=x 1x 23–√sin[2(+)+φ]=x 1x 23–√22sin(2+φ)=2sin(2+φ)x 1x 22+φ=2+φx 1x 22+φ+2+φ=πx 1x 2=x 1x 22(+)=π−2φx 1x 2sin[2(+)+φ]=sin(π−2φ+φ]x 1x 2=sin(π−φ)=sin φ=3–√2φ=π3π3(1)f (x)=sin(−2x)=−sin(2x −)π6π62kπ−≤2x −≤2kπ+π2π6π2kπ−≤x ≤kπ+π6π3k ∈Z f (x)[kπ−,kπ+]π6π3k ∈Z (2)0≤x ≤π2−≤−2x ≤5π6π6π6−1≤sin(−2x)≤π612f (x)[0,]π2[−1,]12(3)sin(−2x)<−π612sin(2x −)>π6122kπ<2x −<+2kπ(k ∈Z)5π∴，∴．又，故不等式的解集为.【考点】正弦函数的单调性正弦函数的定义域和值域【解析】无无无【解答】解：因为.令，解得：，，即函数的单调递减区间为，．∵，∴．∵，∴在上的值域为．由得，，∴，∴．又，故不等式的解集为.13.【答案】解：由题意知，函数，化简得，，+2kπ<2x −<+2kπ(k ∈Z)π6π65π6+kπ<x <+kππ6π2x ∈[−π,π][−,−]∪[,]5π6π2π6π2(1)f (x)=sin(−2x)=−sin(2x −)π6π62kπ−≤2x −≤2kπ+π2π6π2kπ−≤x ≤kπ+π6π3k ∈Z f (x)[kπ−,kπ+]π6π3k ∈Z (2)0≤x ≤π2−≤−2x ≤5π6π6π6−1≤sin(−2x)≤π612f (x)[0,]π2[−1,]12(3)sin(−2x)<−π612sin(2x −)>π612+2kπ<2x −<+2kπ(k ∈Z)π6π65π6+kπ<x <+kππ6π2x ∈[−π,π][−,−]∪[,]5π6π2π6π2(1)f (x)=2(+x)−cos 2x sin 2π43–√f (x)=1−cos(+2x)−cos 2x π23–√=1+sin 2x −cos 2x =2sin(2x −)+13–√π3(x)=2sin(2x −)+1π故，则的最小正周期为．由可得，∵，，当，且时，，则，此时．若不等式在上恒成立，由可知函数在上，，，解得：,故实数的取值范围为．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值正弦函数的周期性三角函数的最值【解析】(Ⅰ)利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后利用周期公式求解即可．(Ⅱ)求出相位的范围，利用正弦函数的最值求解即可．(Ⅲ)求出函数的最值，然后转化求解的范围即可．【解答】解：由题意知，函数，化简得，，故，则的最小正周期为．由可得，∵，，当，且时，f (x)=2sin(2x −)+1π3f(x)T ==π2π2(2)(1)f (x)=2sin(2x −)+1π3x ∈[,]π4π2∴2x −∈[,]π3π62π32x −=π3π2x =5π12sin(2x −)=1π3f =3(x)max x ∈{}5π12(3)−2+m <f (x)<2+m x ∈[,]π4π2(2)f (x)x ∈[,]π4π2f =3(x)max f =2(x)min ∴{2+m >3,−2+m <2,1<m <4m (1,4)m (1)f (x)=2(+x)−cos 2x sin 2π43–√f (x)=1−cos(+2x)−cos 2x π23–√=1+sin 2x −cos 2x =2sin(2x −)+13–√π3f (x)=2sin(2x −)+1π3f(x)T ==π2π2(2)(1)f (x)=2sin(2x −)+1π3x ∈[,]π4π2∴2x −∈[,]π3π62π32x −=π3π2x =5π12∈{}5π，则，此时．若不等式在上恒成立，由可知函数在上，，，解得：,故实数的取值范围为．14.【答案】解：（1）由的解析式为，可得它的最小正周期 ．（2）根据可得，当 时，函数取得最大值为，此时，，，解得 ，．故当取得最大值时，的取值集合为．（3）令 ，，可得 ，故的单调递增区间为，．【考点】余弦函数的单调性余弦函数的定义域和值域三角函数的周期性及其求法【解析】（1）由的解析式根据函数的周期等于，求得它的最小正周期．（2）当 时，函数取得最大值为，此时，，，由此求得当取得最大值时，的取值集合．（3）令 ，，求得的范围，即可求得的单调递增区间．【解答】解：（1）由的解析式为，可得它的最小正周期 ．（2）根据可得，当 时，函数取得最大值为，此时，，，解得 ，．故当取得最大值时，的取值集合为．sin(2x −)=1π3f =3(x)max x ∈{}5π12(3)−2+m <f (x)<2+m x ∈[,]π4π2(2)f (x)x ∈[,]π4π2f =3(x)max f =2(x)min ∴{2+m >3,−2+m <2,1<m <4m (1,4)f(x)f(x)=3cos(+)+3x 2π6T ==4π2π12f(x)=3cos(+)+3x 2π6cos(+)=1x 2π6f(x)6(+)=2kπx 2π6k ∈z x =4kπ−π3k ∈z f(x)x {x |x =4kπ−,k ∈z}π32kπ−π≤(+)≤2kπx 2π6k ∈z 4kπ−≤x ≤4kπ−7π3π3f(x)[4kπ−,4kπ−]7π3π3k ∈z f(x)y =A sin(ωx +∅)2πωcos(+)=1x 2π6f(x)6(+)=2kπx 2π6k ∈z f(x)x 2kπ−π≤(+)≤2kπx 2π6k ∈z x f(x)f(x)f(x)=3cos(+)+3x 2π6T ==4π2π12f(x)=3cos(+)+3x 2π6cos(+)=1x 2π6f(x)6(+)=2kπx 2π6k ∈z x =4kπ−π3k ∈z f(x)x {x |x =4kπ−,k ∈z}π3kπ−≤x ≤4kπ−7π（3）令 ，，可得 ，故的单调递增区间为，．15.【答案】解：（1）由题意可得，∴，∴，令，，可得，故函数的增区间为，．（2）∵，∴．∴当时，函数取得最小值为 （ ）． 当时，函数取得最大值为，故函数的值域为．【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换余弦函数的定义域和值域【解析】（1）由周期求出，得到函数，令，，求得的范围，即可求得函数的单调递增区间．（2）由，可得，由此求得函数的值域【解答】解：（1）由题意可得 ，∴，∴，令，，可得，故函数的增区间为，．（2）∵，∴．∴当时，函数取得最小值为 （ ）． 当时，函数取得最大值为，故函数的值域为．2kπ−π≤(+)≤2kπx 2π6k ∈z 4kπ−≤x ≤4kπ−7π3π3f(x)[4kπ−,4kπ−]7π3π3k ∈z ==π2πω2π2ω=2f(x)=4cos(ωx +)=4cos(2x +)π4π42kπ−π≤2x +≤2kππ4k ∈z kπ−≤x ≤kπ−5π8π8[kπ−,kπ−]5π8π8k ∈z x ∈[−,]π6π3−≤2x +≤π12π411π122x +=−π411π12f(x)=4cos(2x +)π44cos =4cos 11π12+2π3π4=4cos cos −4sin sin =−(+)2π3π42π3π46–√2–√2x +=0π4f(x)=4cos(2x +)π44[−−,4]6–√2–√ωf(x)=4cos(2x +)π42kπ−π≤2x +≤2kππ4k ∈z x f(x)x ∈[−,]π6π3−≤2x +≤π12π411π12f(x)=4cos(2x +)π4==π2πω2π2ω=2f(x)=4cos(ωx +)=4cos(2x +)π4π42kπ−π≤2x +≤2kππ4k ∈z kπ−≤x ≤kπ−5π8π8[kπ−,kπ−]5π8π8k ∈z x ∈[−,]π6π3−≤2x +≤π12π411π122x +=−π411π12f(x)=4cos(2x +)π44cos =4cos 11π12+2π3π4=4cos cos −4sin sin =−(+)2π3π42π3π46–√2–√2x +=0π4f(x)=4cos(2x +)π44[−−,4]6–√2–√。

高等数学同步测试题# 高等数学同步测试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \) 的最小值出现在 \( x \) 的哪个值上？- A. \( x = 0 \)- B. \( x = 2 \)- C. \( x = 4 \)- D. \( x = -2 \)2. 以下哪个选项是 \( e^x \) 的导数？- A. \( e^{-x} \)- B. \( e^x \)- C. \( x \cdot e^x \)- D. \( \ln(e^x) \)3. 曲线 \( y = x^3 - 3x^2 + 2x \) 在 \( x = 1 \) 处的切线斜率是多少？- A. 0- B. 1- C. 2- D. 34. 以下哪个级数是收敛的？- A. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)- B. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)- C. \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n} \)- D. \( \sum_{n=1}^{\infty} n \)5. 以下哪个积分是正确的？- A. \( \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C \)- B. \( \int e^x dx = e^x + C \)- C. \( \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C \)- D. 所有选项都是正确的二、填空题（每题2分，共10分）6. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是 ______ 。

7. 函数 \( y = \ln(x) \) 的二阶导数是 ______ 。

8. 圆 \( x^2 + y^2 = 4 \) 在第一象限的弧长是 ______ 。

高等数学同步训练习题上一、极限1. 计算下列极限：- \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)- \( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} \)- \( \lim_{x \to 2} (x^2 - 4) \)2. 判断下列函数在 \( x \to 0 \) 时是否存在极限，并求出极限值（如果存在）：- \( f(x) = x^2 \sin \frac{1}{x} \)- \( g(x) = \frac{\sin x}{x} \)二、导数与微分1. 求下列函数的导数：- \( f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x + 7 \)- \( g(x) = \sin x + \cos x \)2. 利用导数判断下列函数在 \( x = 1 \) 处的单调性：- \( h(x) = x^2 - 2x + 1 \)- \( k(x) = e^x - x \)三、积分1. 计算下列不定积分：- \( \int x^2 dx \)- \( \int \frac{1}{x} dx \)2. 解下列定积分：- \( \int_{0}^{1} x^3 dx \)- \( \int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx \)四、级数1. 判断下列级数的收敛性：- \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)- \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)2. 求下列级数的和（如果收敛）：- \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \)- \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \)五、多元函数微分1. 求下列多元函数的偏导数：- \( f(x, y) = x^2 y + y^3 \)- \( g(x, y) = \ln(x^2 + y^2) \)2. 求下列多元函数在给定点处的方向导数：- \( h(x, y) = xy + x^2 + y^2 \) 在点 \( (1, 1) \) 处沿向量 \( \vec{v} = (1, -1) \) 的方向导数六、常微分方程1. 解下列一阶微分方程：- \( \frac{dy}{dx} = x - y \)- \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \)2. 解下列二阶常系数线性微分方程：- \( y'' - 2y' + y = 0 \)- \( y'' + 4y' + 4y = 0 \)结束语通过完成上述习题，同学们可以加深对高等数学基本概念的理解，并提高解决实际问题的能力。

参考答案与提示第7章 多元函数微分学及其应用7.1 多元函数的概念1、(1) }1,),{(22y x x y y x -≤>(2)}0,),,({22222≠+≥+y x z y x z y x (3)不存在 (4)连续 3、(1) 0 (2) 07.2 偏导数与全微分1、(1))sin(xy y - (2)yx xyy x x +++)ln( (3))cos()sin(xy ye xy (4) 223yx x + (5) )2(2x y x e xy -- (6) dy xe dx xe y y ----2)232( (7) dx 2 (8) 0.25e 2、(1) 11+-=z y x y x f 1ln -+=z y z y y zy x x y x f y y x f z y z ln =(2)xyy xy z yx ++=1)1(2 ]1)1[l n()1(xy xy xy xy z yy ++++= 3、023=∂∂∂yx z 2231y y x z -=∂∂∂ 7.3 多元复合函数求导法1、(1) z xy xyf 2)(2或 (2) 212f xe f y xy '+'- (3) 12+'ϕx(4) t t t 232423-+ (5) xx ex x e 221)1(++ (6) dy xy x dx y xy )2()2(22-+-2、(1) 321f yz f y f u x '+'+'= 32f xz f x u y '+'= 3f xy u z '=(2) 223221111f yx f y f xy f ''-'-''+' (3) f x f ''+'242 f xy ''4 (4) )cos ()(cos sin 333132321y x y x y x e f f x f e f e f x y +++''+''+'+''+''- 7.4 隐函数求导法1、2)cos()cos(2x xy x xy y xy -- 2、z x 2sin 2sin - zy 2s i n 2s i n -3、3232)1(22---z x z z z 4、)(211F F z F x '+'' )(212F F z F y '+'' 5、(1) )31(2)61(z y z x ++- z x31+(2))21)(1()12(21122112g yv f x g f g yv f u g f '-'--''-''+'' )21)(1()1(2112111g yv f x g f f u f x g '-'--'''-'-'7.5 多元函数微分学的几何应用1、(1) 213141-=-=-z y x (2) 422+=++πz y x (3) 223(4) 12124433-=-=-z y x 2、2164±=++z y x 3、46281272-=-=+z y x 4、2,5-=-=b a7.6 方向导数与梯度1、(1)32 (2) 21(3) 5 (4) }2,2,1{92-2、)(2122b a ab + 3、3 4、}1,4,2{211- 21 7.7 多元函数极值及其求法1、极小值：2)21,41(21--=--ef2、最大值4)1,2(=z ，最小值64)2,4(-=z 。