微积分同步练习

《微积分》同步练习一及其参考答案（一）、选择题1．()()x g x f '>'是()()x g x f >的（D ）．A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 解：如取 ()x x f 2=，()4+=x x g ，()1,0∈x 则()()12='>='x g x f ，但()().x g x f < 反之，如取()2=x f ，()1=x g ，()+∞∞-∈,x 则()()x g x f >，但()()x g x f '='. 2．设()x x x f ln =，则()x f （A ）．A. 在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0内单调减少B. 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1e 内单调减少C. 在()+∞,0内单调减少D. 在()+∞,0内单调增加 解：（一）()+∞=,0D （二）()x x f ln 1+='； （三）令()ex x f 101=⇒='.定义域内无不可导点. （四）列表判断：x （)1,0e⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1e y ' — + y ↓ ↑ 根据上表知应选A.3．设()x f 在[]b a ,上连续，且()()b f a f =，但()x f 不恒为常数，则在()b a ,内（A ）． A. 必有最大值或最小值 B. 既有最大值又有最小值 C. 既有极大值又有极小值 D. 至少存在一点ξ，使().0='ξf 解：根据基本结论知：()x f 在[]b a ,上连续，则()x f 在[]b a ,上必可取到最大值和最小值.又因为()()b f a f =，故()x f 的最大值与最小值不可能都在端点处取到（否则，()x f 在[]b a ,上必恒为常数），即()x f 在()b a ,内必有最大值或最小值.4．设()x f 在[]b a ,上有()0<'x f ，()0>''x f ，则曲线()x f y =在[]b a ,上（A ）． A. 沿x 轴正向下降向上凹 B. 沿x 轴正向下降向下凹 C. 沿x 轴正向上升向上凹 D.沿x 轴正向上升向下凹 5．曲线1123+-=x x y 在()2,0内（B ）．A. 上凹且单调增加B. 上凹且单调减少C. 下凹且单调增加D. 上凹且单调减少 解：（一）()+∞∞-=,D（二）()()2231232-+=-='x x x y ，x y 6=''； （三）令2,2021=-=⇒='x x y .无不可导点.令003=⇒=''x y ； （四）列表判断：x （)2,-∞- （)0,2- （)2,0 ()+∞,2 y ' + — — +y '' — —+ +y ↑⋂ ↓⋂ ↓⋃ ↑⋃ 根据上表知应选B. （二）、填空题6．设()x f 在()b a ,内可导，则()0<'x f 是在()b a ,内单调_________减少的，在________充分条件.7．函数()x f 在0x 处可导，()x f 在0x 取得极值的________必要条件是()________0.0='x f8．当()x f 的二阶导数存在，()00=''x f 是曲线在()()00,x f x 为拐点的________必要条件.9．若在一个区间，曲线总在它的每一点的切线上方，则曲线在这个区间是上凹的． 10．函数()4011≤≤+-=x x x y 在________0=x 取得最小值；在________4=x 取得最大值.解： （一）2)1(2+='x y ； （二）令0='y ，无解；在1-=x 处不可导（舍去）；比较()10-=y ，()534=y 得最小值为()10-=y ，最大值为()534=y . 11．若曲线()3b ax y -=在()()3,1b a -处为拐点，则b a ,应满足关系是.________b a =解：()23b ax a y -='；()b ax a y -=''26.根据题意知()01=''y 即 ()062=-b a a 所以.b a = 12．函数x x y 4+=的单调减少区间为()________0,2-，()________2,0. 解：（一）()()+∞⋃∞-=,00,D ； （二）()22)2(241xx x x y -+=-='； （三）令2,2021=-=⇒='x x y .在定义域内无不可导点. （四）列表判断：x （)2,-∞- （)0,2- （)2,0 ()+∞,2 y ' + — —+y ↑ ↓ ↓ ↑ （三）解答与证明题13．研究下列函数的单调性． （1）x x y arctan -=解：函数的定义域().,+∞∞-=D 因为当()+∞∞-∈,x 时，01112>+-='x y ， 所以x x y arctan -=在()+∞∞-,是单调增加的.（2）())0)11(>+=x xy x函数的定义域().,0+∞=D在x xy )11(+=两边取对数得)11l n (ln xx y +=，即 []x x x y ln )1ln(ln -+= ①① 两边关于x 求导得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++='x x x x y y 111)11l n (.1x x +-+=11)11l n ( 故 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⎪⎭⎫⎝⎛+='x x x y x11)11ln(11. ② 由不等式)0()1ln(11><+<+x x x x 知，当()+∞∈,0x 时，0>'y .所以x xy )11(+=在()+∞,0是单调增加的.（3）()21ln x x y ++=. 解：()'++++='22111xx xx y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+++++=)1(121111222x x x x 函数的定义域().,+∞∞-=D 因为当()+∞∞-∈,x 时，0112>+='xy ，所以()21ln x x y ++=在()+∞∞-,是单调增加的. （4）342x x y -=. 解：（一）()+∞∞-=,D（二）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-='23464223x x x x y（三）令()23,00321===⇒='x x x x f .无不可导点. （四）列表判断：x （)0,∞- ⎪⎭⎫⎝⎛23,0⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,23 y ' — — + y ↓ ↓ ↑所以342x x y -=在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-23,上单调减少；在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,23上单调增加.（5）32)1(x x y -=.解：（一）()+∞∞-=,D ；（二）3313252.35.32)1(xx x x x y -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+='-； （三）5201=⇒='x y ，在02=x 处不可导； （四）列表判断：x （)0,∞- ⎪⎭⎫⎝⎛52,0⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,52 y ' + — + y ↑ ↓ ↑所以32)1(x x y -=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡52,0上单调减少；在)0,∞-和⎪⎭⎫⎝⎛+∞,52单调增加.（6） xx y ln =解：（一）()()+∞⋃=,11,0D ； （二）xx y 2ln 1ln -='； （三）e x y =⇒='0；定义域内无不可导点； （四）列表判断：x ()1,0 ()e ,1 ),(+∞e y ' — — + y ↓ ↓ ↑所以xxy ln =在()1,0和()e ,1上单调减少；在[)+∞,e 上单调增加. 14．证明下列不等式（1）当0>x 时，xxx +>+1)1ln(.证明：原命题等价于()()01ln 1>-++x x x . 令()()()[)+∞∈-++=,0,1ln 1x x x x x f ，则()()()+∞∈>+=-++++=',0,0)1ln(111).1(1ln x x xx x x f . 所以，()()()[)+∞∈-++=,0,1ln 1x x x x x f 单增.故当0>x 时()()()()00arctan 1ln 1=>-++=f x x x x f ，即：当0>x 时，()xx x +>+11ln . （2）当0>x 时，21arctan π>+x x .证明：令()21arctan π-+=x x x f ，[)+∞∈,0x .则 ()().,0,011122+∞∈<-+='x x x x f 所以，()21arctan π--=x x x f 在[)+∞,0上单增.故当0>x 时()()0lim 21arctan =>--=+∞→x f x x x f x π，即：21arctan π>+x x .（3）当0>x 时，x x <arctan ；当0<x 时，x x >arctan .（或x x <arctan ）； 证明：令()x x x f -=arctan ，. 则 ()().,,01112+∞∞-∈<-+='x xx f 所以，()x x x f -=arctan 在()+∞∞-,上单增. 故（i ）当0>x 时，()()00=<f x f ，即：x x <arctan . （ii ）当0<x 时，()()00=>f x f ，即：x x >arctan .（4）当0>x 时，221)1ln(1x x x x +>+++.证明：令()221)1ln(1x x x x x f +-+++=，[)+∞∈,0x . 则 ()()01ln 1ln 2=>++='x x x f ，[)+∞∈,0x .所以，()221)1ln(1x x x x x f +-+++=在[)+∞,0上单增. 故当0>x 时()()001)1ln(122=>+-+++=f x x x x x f ，即221)1ln(1x x x x +>+++.（5）当20π<<x 时，x x x 2tan sin >+.证明：令()x x x x f 2tan sin -+=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx .则 ()2s e c c o s 2-+='x x x f ，.2,0⎪⎭⎫ ⎝⎛∈πx .()xxx x x x x f 32c o s s i n 2s i n t a n .s e c 2s i n+-=+-='' ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1c o s 2s i n 3x x 0>，.2,0⎪⎭⎫⎝⎛∈πx 所以()x f '在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π单增，故当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx 时，()()00='>'f x f ，从而()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π单增.所以当20π<<x 时，()()00=>f x f ，即x x x 2tan sin >+.15．求下列函数的极值（1）21x xy +=解法一：（一）()+∞∞-=,D ； （二）()()()()2222211111x x x x x y +-+=+-='；（三）1,1021=-=⇒='x x y ；无不可导点； （四）列表判断：x ()1,-∞- 1- ()1,1- 1 ),1(+∞y ' — 0 + 0 —y ↓ 极小21-↑ 极大21↓从上表可见，极小值为()211-=-y ；极大值为()211=y .解法二：第（一）、（二）、（三）步同解法一.（四）()()4253222124611x x x x x x y ++--='⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=''.因为 ()0211>=-''y ，所以()211-=-y 为极小值. 因为 ()0211<-=''y ，所以()211=y 为极大值.（2）2332x x y -= 解：（一）()+∞∞-=,D ；（二）()16662-=-='x x x x y ；（三）1,0021==⇒='x x y ；无不可导点； （四）列表判断：x ()0,∞- 0 ()1,0 1 ),1(+∞y ' + 0 — 0 + y ↑ 极大0 ↓ 极小1- ↑从上表可见，极小值为()11-=y ；极大值为()00=y . 解法二：第（一）、（二）、（三）步同解法一. （四）612-=''x y 。

综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2xC ．)2(-x xD ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 （2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 （1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C（2）设y x =lg2，则d y =（ ）． A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d xx 答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题（1）函数y x =-312()的单调增加区间是 ． 答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）． A ．x sin B ．xe C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。

微积分练习题带答案微积分是数学的分支之一，它研究的是函数的变化规律。

在微积分中，经常会出现各种各样的练习题，这些练习题有助于我们加深对微积分概念和原理的理解。

在这篇文章中，我们将分享一些微积分练习题，并附带答案，希望对你的学习有所帮助。

1. 求函数f(x) = 2x^3 - x^2 + 3x - 5的导数。

答案：f'(x) = 6x^2 - 2x + 32. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数。

答案：g'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)3. 求函数h(x) = ln(x^2)的导数。

答案：h'(x) = 2/x4. 求函数i(x) = ∫(0到x) t^2 dt的导数。

答案：i'(x) = x^25. 求函数j(x) = ∫(x到1) t^2 dt的导数。

答案：j'(x) = -x^26. 求函数k(x) = ∫(0到x) e^t * sin(t) dt的导数。

答案：k'(x) = e^x * sin(x)7. 求函数l(x) = e^(-x)的不定积分。

答案：∫ e^(-x) dx = -e^(-x) + C (C为常数)8. 求函数m(x) = 1/(x^2+1)的不定积分。

答案：∫ 1/(x^2+1) dx = arctan(x) + C (C为常数)9. 求函数n(x) = 2x * cos(x^2)的不定积分。

答案：∫ 2x * cos(x^2) dx = sin(x^2) + C (C为常数)10. 求函数o(x) = ∫(1到x) e^(t^2) dt的原函数。

答案：o(x) = ∫(1到x) e^(t^2) dt + C (C为常数)以上是一些微积分练习题及其答案。

通过解答这些题目，我们可以巩固对微积分概念和原理的理解，并提升解题能力。

微积分是应用广泛的数学工具，在物理、工程、经济等领域都有重要的应用，掌握微积分对于进一步深入学习这些领域十分必要。

微积分练习题及答案微积分练习题及答案微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化规律和求解各种问题的方法。

在学习微积分的过程中，练习题是非常重要的，它能够帮助我们巩固知识、提高技能。

下面，我将为大家提供一些微积分的练习题及其答案，希望能够对大家的学习有所帮助。

一、求导练习题1. 求函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1的导数。

答案：f'(x) = 3x^2 + 4x - 32. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数。

答案：g'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)3. 求函数h(x) = ln(x^2 + 1)的导数。

答案：h'(x) = (2x) / (x^2 + 1)二、定积分练习题1. 计算定积分∫[0, 1] (x^2 + 1) dx。

答案：∫[0, 1] (x^2 + 1) dx = (1/3)x^3 + x ∣[0, 1] = (1/3) + 1 - 0 = 4/32. 计算定积分∫[1, 2] (2x + 1) dx。

答案：∫[1, 2] (2x + 1) dx = x^2 + x ∣[1, 2] = 4 + 2 - 1 - 1 = 43. 计算定积分∫[0, π/2] sin(x) dx。

答案：∫[0, π/2] sin(x) dx = -cos(x) ∣[0, π/2] = -cos(π/2) + cos(0) = 1三、微分方程练习题1. 求解微分方程dy/dx = 2x。

答案：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。

2. 求解微分方程dy/dx = e^x。

答案：对方程两边同时积分，得到y = e^x + C，其中C为常数。

3. 求解微分方程d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = 0。

答案：设y = e^(mx)，代入方程得到m^2 + 2m + 1 = 0，解得m = -1。

.Word 资料第二章 极限与连续 §2.1 数列极限1. 写出下列数列的通项，考察n →∞时通项的变化趋势，用极限的形式表示其结果：（1） sin ,sin 2,,sin ,n πππK K ； （2） 1111,,,,242n -⎛⎫-- ⎪⎝⎭K K2. 求下列数列极限： （1）n ；（2）3322lim ln(21)2ln ln 3n n n n n →∞⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦；（3）设0,1a a >≠，1,2,;n x n =K 求n n x ∞→lim ；（4）设101,,1,2,nkn k q x qn =≤≤==∑K ，求n n x ∞→lim ；（5）1,2,;n x n n ==K 求n n x ∞→lim ；（6）,1,2,;n x n ==K 求n n x ∞→lim ；（7）()()223sin ,1,2,;2cos n n n x n n n -==+K 求n n x ∞→lim .3. 设0,1,2,,,i a i k >=K 求()112lim ;n n n n kn a a a→∞+++K4. 设2221212n nx n n n n=++++++L ，求lim ;n n x →∞5.设n x =++L lim ;n n x →∞§2.2 函数极限1. 由函数xy e -=的图形考察极限lim ;lim ;lim ;x x xx x x e e e ---→+∞→-∞→+∞2. 由函数arctan y x =的图形考察极限lim arctan ;lim arctan ;x x x x →+∞→-∞limarctan ;x x →∞3. 求下列函数极限：（1）(2lim 2;x x →-∞+ （2）232037lim ;235x x xx x x →+--（3）2lim x -→ （4）x →（5）()7815(34)lim;51x x x x →∞-+ （6）3113lim .11x x x →⎛⎫-⎪--⎝⎭4. 设1,0()0,01,1x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<-⎩，讨论极限0lim ()x f x →是否存在.5.设1()ln ,1x f x a x x <≤=+>⎪⎩，且极限1lim ()x f x →存在，求实数a 的值.§2.3 函数极限的性质及运算法则1、 利用夹逼定理求极限03lim 2x x x →⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其中3x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示3x 的取整函数。

高等数学微积分练习题集2(含答案)1．求抛物线2x y =与直线02=--y x 之间的最短距离。

2．求点)8,2(到抛物线x y 42=的最短距离。

3．求过点31,1,2(的平面，使它与三个坐标面在第一卦限内所围成的立体体积最小。

4．计算二重积分dxdy xy I D ⎰⎰=2，其中D 是由直线2,==x x y 及双曲线1=xy 所围成的区域。

5．计算二重积分dxdy e I D y ⎰⎰-=2，其中区域D 由y 轴，直线x y y ==,1所围成。

6．求dxdy y xy I D ⎰⎰+=31，其中D 由2,1,0x y y x ===所围成。

7．求dy e dx x I x y ⎰⎰-=11022。

8．求dxdy y x I D ⎰⎰+=)(，其中D 为224,x y xy ==及1=y 所围成的区域。

9．求σd y x I D⎰⎰+=)|(|，其中D 为：1||||≤+y x 。

10．求dxdy y x I D⎰⎰--=221，其中D ：y y x ≤+22。

11．求dxdy y x x I D ⎰⎰--=)2(22，其中D ：1)1(22≤+-y x 。

12．设{}x y x y x D ≤+=22),(，求dxdy x D ⎰⎰。

13．计算二重积分dxdy yx y x D ⎰⎰++--222211，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一卦限内的闭区域。

14．求ds y x c ⎰+)(，其中c 是以)0,0(O ，)0,1(A ，)1,0(B 为顶点的三角形边界。

15．设L 是半圆周24y x -=上由点)2,0(A 到点)2,0(-B 之间的一段弧。

计算⎰++L ds y x )1(。

16．计算ds y x L ⎰+22，其中L 为圆周222a y x =+（0>a ）。

17．计算曲线积分⎰+L ds y x 22，其中L 为圆周x y x =+22。

18．计算曲线积分：dy y x dx y x I L )653()42(-++--=⎰，其中L 是从点)0,0(O 到点)2,3(A 再到点)0,4(B 的折线段。

精品 "正版〞资料系列 ,由本公司独创 .旨在将 "人教版〞、〞苏教版 "、〞北师 大版 "、〞华师大版 "等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和 检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月 ,是当前最|新版本的教材资源 .包含本课对应 内容 ,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最|正确选择 .微积分根本定理一、选择题1．以下积分正确的选项是( )[答案] AA.214B.54 C.338D.218[答案] A[解析] ⎠⎛2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4d x ＝⎠⎛2－2x 2d x ＋⎠⎛2－21x 4d x＝13x 3| 2－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x －3| 2－2 ＝13(x 3－x －3)| 2－2 ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫8－18－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－8＋18＝214.故应选A.3.⎠⎛1－1|x |d x 等于( )A.⎠⎛1－1x d xB.⎠⎛1－1d xC.⎠⎛0－1(－x )d x ＋⎠⎛01x d xD.⎠⎛0－1x d x ＋⎠⎛01(－x )d x[答案] C[解析] ∵|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≥0)－x (x <0)∴⎠⎛1－1|x |d x ＝⎠⎛0－1|x |d x ＋⎠⎛01|x |d x＝⎠⎛0－1(－x )d x ＋⎠⎛01x d x ,故应选C.4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(0≤x <1)2－x (1≤x ≤2) ,那么⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56D ．不存在[答案] C[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x取F 1(x )＝13x 3 ,F 2(x )＝2x －12x 2,那么F ′1(x )＝x 2,F ′2(x )＝2－x ∴⎠⎛02f (x )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2×1－12×12＝56.故应选C.5.⎠⎛ab f ′(3x )d x ＝( )A ．f (b )－f (a )B ．f (3b )－f (3a ) C.13[f (3b )－f (3a )]D ．3[f (3b )－f (3a )][答案] C[解析] ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤13f (3x )′＝f ′(3x ) ∴取F (x )＝13f (3x ) ,那么⎠⎛abf ′(3x )d x ＝F (b )－F (a )＝13[f (3b )－f (3a )]．故应选C.6.⎠⎛03|x 2－4|d x ＝( )A.213B.223 C.233D.253[答案] C[解析] ⎠⎛03|x 2－4|d x ＝⎠⎛02(4－x 2)d x ＋⎠⎛23(x 2－4)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －13x 3| 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x | 32＝233.A ．－32B ．－12C.12D.32[答案] D[解析] ∵1－2sin2θ2＝cos θ8．函数F (x )＝⎠⎛0x cos t d t 的导数是( )A ．cos xB ．sin xC ．－cos xD ．－sin x[答案] A[解析] F (x )＝⎠⎛0x cos t d t ＝sin t | x0＝sin x －sin0＝sin x .所以F ′(x )＝cos x ,故应选A.9．假设⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝0 ,那么k ＝( )A ．0B ．1C ．0或1D ．以上都不对[答案] C[解析] ⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)| k 0＝k 2－k 3＝0 ,∴k ＝0或1.10．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最|大值0 ,无最|小值B ．有最|大值0和最|小值－323C ．有最|小值－323 ,无最|大值D ．既无最|大值也无最|小值 [答案] B[解析] F (x )＝⎠⎛0x (t 2－4t )d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2| x 0＝13x 3－2x 2(－1≤x ≤5)．F ′(x )＝x 2－4x ,由F ′(x )＝0得x ＝0或x ＝4 ,列表如下：x (－1,0) 0 (0,4) 4 (4,5) F ′(x ) ＋－0 ＋F (x )极大值极小值可见极大值F (0)＝0 ,极小值F (4)＝－3.又F (－1)＝－73 ,F (5)＝－253∴最|大值为0 ,最|小值为－323.二、填空题 11．计算定积分： ①⎠⎛1－1x 2d x ＝________②⎠⎛23⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －2x 2d x ＝________③⎠⎛02|x 2－1|d x ＝________ ④⎠⎛0－π2|sin x |d x ＝________[答案] 23；436；2；1[解析] ①⎠⎛1－1x 2d x ＝13x 3| 1－1＝23.②⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫3x －2x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x | 32＝436.③⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x | 21＝2.[答案] 1＋π213．(2021·陕西理 ,13)从如下图的长方形区域内任取一个点M (x ,y ) ,那么点M 取自阴影局部的概率为________．[答案] 13[解析] 长方形的面积为S 1＝3 ,S 阴＝⎠⎛013x 2dx ＝x 3| 10＝1 ,那么P ＝S 1S 阴＝13. 14．f (x )＝3x 2＋2x ＋1 ,假设⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立 ,那么a ＝________.[答案] －1或13[解析] 由F (x )＝x 3＋x 2＋x ,F (1)＝3 ,F (－1)＝－1 , ∴⎠⎛1－1f (x )d x ＝F (1)－F (－1)＝4 ,∴2f (a )＝4 ,∴f (a )＝2. 即3a 2＋2aa ＝－1或13.三、解答题15．计算以下定积分： (1)⎠⎛052x d x ；(2)⎠⎛01(x 2－2x )d x ；(3)⎠⎛02(4－2x )(4－x 2)d x ；(4)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x .[解析] (1)⎠⎛052x d x ＝x 2| 50＝25－0＝25.(2)⎠⎛01(x 2－2x )d x ＝⎠⎛01x 2d x －⎠⎛012x d x＝13x 3| 10－x 2| 10＝13－1＝－23. (3)⎠⎛02(4－2x )(4－x 2)d x ＝⎠⎛02(16－8x －4x 2＋2x 3)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫16x －4x 2－43x 3＋12x 4| 20＝32－16－323＋8＝403.(4)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2－3x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x －3ln x | 21＝72－3ln2.16．计算以下定积分：[解析] (1)取F (x )＝12sin2x ,那么F ′(x )＝cos2x＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32＝14(2－3)． (2)取F (x )＝x 22＋ln x ＋2x ,那么F ′(x )＝x ＋1x＋2.∴⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2d x ＝⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋2d x ＝F (3)－F (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫92＋ln3＋6－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4＋ln2＋4＝92＋ln 32. (3)取F (x )＝32x 2－cos x ,那么F ′(x )＝3x ＋sin x17．计算以下定积分： (1)⎠⎛0－4|x ＋2|d x ；(2)f (x )＝,求⎠⎛3－1f (x )d x 的值．[解析] (1)∵f (x )＝|x ＋2|＝∴⎠⎛0－4|x ＋2|d x ＝－⎠⎛－4－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛0－2(x ＋2)d x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x | －2－4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x | 0－2＝2＋2＝4.(2)∵f (x )＝∴⎠⎛3－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1f (x )d x ＋⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x | 21 ＝12＋12＝1. 18．(1)f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ,求f (a )的最|大值；(2)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) ,且f (－1)＝2 ,f ′(0)＝0 ,⎠⎛01f (x )d x ＝－2 ,求a ,b ,c的值．[解析] (1)取F (x )＝23ax 3－12a 2x 2那么F ′(x )＝2ax 2－a 2x ∴f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x＝F (1)－F (0)＝23a －12a 2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －232＋29∴当a ＝23时 ,f (a )有最|大值29.(2)∵f (－1)＝2 ,∴a －b ＋c ＝2① 又∵f ′(x )＝2ax ＋b ,∴f ′(0)＝b ＝0② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x取F (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx那么F ′(x )＝ax 2＋bx ＋c∴⎠⎛01f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋12b ＋c ＝－2③解①②③得a ＝6 ,b ＝0 ,c ＝－4.。

微积分同步练习59页word§8.1向量及其线性运算（1）、（2）、（3）、（4）一、设2,2u a b c v a b c =-+=++r r r r r r r r ，试用,,a b c r r r 表示24u v -r r．二、,,a b c r r r 为三个模为1的单位向量，且有0a b c ++=r r r r 成立，证明：,,a b c r r r可构成一个等边三角形．三、把△ABC 的BC 边四等分，设分点依次为123D D D 、、，再把各分点与点A 连接，试以AB c BC a ==u u u r u u u r r r 、表示向量12D A D A u u u u r u u u u r 、和3D A u u u u r．四、已知两点()11,2,3M 和()21,2,1M --，试用坐标表示式表示向量12M M u u u u u u u r 及123M M -u u u u u u u r ．五、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？并画出前两个：()1,1,1A ，()2,1,1B -，()2,3,4C ---，()3,4,5D --．六、指出下列各点的位置，观察其所具有的特征，并总结出一般规律：)0,4,3(A ，)3,0,4(B ，)0,0,1(-C ，)0,8,0(D ．七、求点(),,x y z 关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标．§8.1向量及其线性运算（5）§8.2数量积向量积一、试证明以三点()()()10,1,64,1,92,4,3A B C -、、为顶点的三角形是等腰直角三角形．二、设已知两点()()124,0,3M M 和，计算向量12M M u u u u u u u r的模、方向余弦和方向角，并求与12M M u u u u u u u r方向一致的单位向量．三、设234,4223m i j k n i j k p i j k =++=-+=-++u r r r r r r r r r r r r 及，求232a m n p =+-r r r r在x 轴上的投影及在z 轴上的分向量．四、已知,,a b c r r r为三个模为1的单位向量，且0a b c ++=r r r r ，求a b b c c a ++r r r r r r g g g 之值．五、已知23,a i j k b i j k c i j =++=--=+r r r r r r r r r r r和，计算：()()()1a b c a c b -r r r r r r gg ； ()()()2a b b c +?+r r r r ； ()()3a b c ?r r rg ．六、设()()2,1,3,1,2,1a b =-=--r r，问λμ和满足何关系时，可使a b λμ+r r 与z 轴垂直？七、已知()1,2,3OA =u u u r ，()2,1,1OB =-u u u r，求△AOB 的面积．§8.3曲面及其方程一、一动点与两定点()()1,2,33,0,7和等距离，求这动点的轨迹方程．二、方程2222460x y z x y z ++-+-=表示什么曲面？三、将xoz 平面上的双曲线224936x z -=分别绕x 轴及z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．四、指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形？ 1.24y x =+； 222.326x y -=．五、说明下列旋转曲面是怎样形成的？2221.226x y z ++=； ()2222.z a x y +=+．六、指出下列方程所表示的曲面：2221.22x y z+-=；2222.33x y z--=；223.345x y z+=．§8.4空间曲线及其方程§8.5平面及其方程(1)一、填空题：1．曲面22x y +-209z =与平面3z =的交线圆的方程是，其圆心坐标是，圆的半径为．2．曲线222221(1)(1)1x y x y z ?+=??+-+-=??在yoz 面上的投影曲线为．3．螺旋线cos x a θ=,sin y a θ=,z b θ=在yoz 面上的投影曲线为．4．上半锥面z （01z ≤≤）在xoy 面上的投影为，在xoz面上的投影为，在yoz 面上的投影为．二、选择题：1．方程22149x y y z ?+==?在空间解析几何中表示．（Ａ）、椭圆柱面（Ｂ）、椭圆曲线（Ｃ）、两个平行平面（Ｄ）、两条平行直线2．参数方程cos sin x a y a z b θθθ=??=??=?的一般方程是．（Ａ）、222x y a += (B)、cos z x a b = (C)、sin z y a b = (D)、cos sinz x a b z y a b ?==??3．平面20x z -=的位置是．（Ａ）、平行xoz 坐标面。