(广东专用)高考数学大一轮复习 第九章 第1讲 直线方程和两直线的位置关系训练 理
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第1讲 直线方程和两直线的位置关系
一、选择题
1．已知直线l 的倾斜角α满足条件sin α＋cos α＝1
5，则l 的斜率为( )
A.43
B.34 C ．－43 D ．－34 解析 α必为钝角，且sin α的绝对值大，故选
C. 答案 C
2．经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π
4，则y ＝( )．
A ．－1
B ．－3
C ．0
D ．2 解析 由2y ＋1－ －3 4－2＝2y ＋4
2＝y ＋2，
得：y ＋2＝tan 3π
4＝－1.∴y ＝－3.
答案 B
3．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是
( )．
A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3
B.⎝ ⎛⎭⎪
⎫π6，π2
C.
⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，π2
D.⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤π6，π2
解析 如图，直线l ：y ＝kx －3，过定点P (0，－3)，又
A (3,0)，∴k PA ＝
33，则直线PA 的倾斜角为π
6
，满足条件的直线l 的倾斜角的范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，π2.
答案 B
4．过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( )． A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0
D ．x －2y ＋5＝0
解析 由题意可设所求直线方程为：x －2y ＋m ＝0，将A (2,3)代入上式得2－2×3＋m ＝0，即m ＝4，所以所求直线方程为x －2y ＋4＝0. 答案 A
5．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R)，则直线l 的倾斜角α的范围是( )．
A ．[0，π) B.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫π4，π2
C. ⎣⎢
⎡⎦⎥⎤π4
，3π4
D.⎣⎢
⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2
，3π4
解析 (直接法或筛选法)当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π
2；
当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1
cos θ.
∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， ∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． ∴tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4.
综上知，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4
，3π4.
答案 C
6．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋
n ＝ ( )． A ．4
B ．6
C.
34
5
D.36
5
解析 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧
3＋n 2＝2×7＋m
2
－3，n －3m －7＝－1
2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝3
5，n ＝31
5.故m ＋n ＝34
5
.
答案 C 二、填空题
7．若A (－2,3)，B (3，－2)，C (1
2，m )三点共线，则m 的值为________．
解析 由k AB ＝k BC ，即－2－33＋2＝m ＋212－3，得m ＝1
2
.
答案 12
8．直线过点(2，－3)，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程是________．
解析 设直线方程为为x a －y a ＝1或y ＝kx 的形式后，代入点的坐标求得a ＝5和k ＝－3
2.
答案 y ＝－32x 或x 5－y
5
＝1
9．已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________. 解析 由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝3
5.
答案 35
10．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2
a 的值为________．
解析 由题意得，36＝－2a ≠－1
c ，∴a ＝－4且c ≠－2，
则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c
2
＝0，
由两平行线间的距离，得
21313
＝
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪c 2＋113
，
解得c ＝2或c ＝－6，所以c ＋2
a
＝±1. 答案 ±1 三、解答题
11．已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，O 为原点，是否存在使△ABO 面积最小的直线l ？若存在，求出；若不存在，请说明理由． 解 存在．理由如下．
设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，则A ⎝
⎛⎭
⎪⎫2－1k
，0，B (0,1－2k )，
△ AOB 的面积S ＝12(1－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋ －4k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥1
2(4＋4)＝4.
当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－1
2
时，等号成立，
故直线l 的方程为y －1＝－1
2
(x －2)，即x ＋2y －4＝0.
12．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．
解 (1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)
＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴
|10＋5λ－5|
2＋λ 2＋ 1－2λ
2
＝3.解得λ＝2或λ＝1
2. ∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.
(2)由⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x ＋y －5＝0，
x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，
如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离， 则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)． ∴d max ＝|PA |＝10.
13．已知直线l 过点P (2,3)，且被两条平行直线l 1：3x ＋4y －7＝0，l 2：3x ＋4y ＋8＝0截得的线段长为d . (1)求d 的最小值；
(2)当直线l 与x 轴平行，试求d 的值．
解 (1)因为3×2＋4×3－7>0,3×2＋4×3＋8>0，所以点P 在两条平行直线l 1，l 2外． 过P 点作直线l ，使l ⊥l 1，则l ⊥l 2，设垂足分别为G ，H ，则|GH |就是所求的d 的最小值．由两平行线间的距离公式，得d 的最小值为|GH |＝|8－ －7 |
32＋4
2
＝3. (2)当直线l 与x 轴平行时，l 的方程为y ＝3，设直线l 与直线l 1，l 2分别交于点A (x 1,3)，
B (x 2,3)，则3x 1＋12－7＝0,3x 2＋12＋8＝0，所以3(x 1－x 2)＝15，即x 1－x 2＝5，所以d
＝|AB |＝|x 1－x 2|＝5.
14．已知直线l 1：x －y ＋3＝0，直线l ：x －y －1＝0.若直线l 1关于直线l 的对称直线为l 2，求直线l 2的方程．
解 法一 因为l 1∥l ，所以l 2∥l ， 设直线l 2：x －y ＋m ＝0(m ≠3，m ≠－1)． 直线l 1，l 2关于直线l 对称， 所以l 1与l ，l 2与l 间的距离相等．
由两平行直线间的距离公式得|3－ －1 |2＝|m － －1 |2，
解得m ＝－5或m ＝3(舍去)． 所以直线l 2的方程为x －y －5＝0.
法二 由题意知l 1∥l 2，设直线l 2：x －y ＋m ＝0(m ≠3，m ≠－1)． 在直线l 1上取点M (0,3)，
设点M 关于直线l 的对称点为M ′(a ，b )，
于是有⎩⎪⎨⎪⎧
b －3a ×1＝－1，a ＋02－b ＋3
2－1＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝4，
b ＝－1，
即M ′(4，－1)．
把点M ′(4，－1)代入l 2的方程，得m ＝－5， 所以直线l 2的方程为x －y －5＝0.。
