初中函数图象的四种变换

函数图象变换和零点一、函数图像1、平移变换Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x )h 左移→y =f (x +h)； 2）y =f (x ) h右移→y =f (x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ； 2）y =f (x ) h下移→y =f (x )-h 。

2、对称变换Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴y →y =f (-x ) Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴x →y = -f (x ) Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y =f (x ) 原点→y = -f (-x ) Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。

y =f (x ) xy =→直线x =f (y )Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y =f (x )ax =→直线y =f (2a -x )。

3、翻折变换Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到4、伸缩变换Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y =f (x )ay ⨯→y =af (x )Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到。

函数图像变换与旋转一.平移变换：1.y=f （x ）→y=f(x±a )(a>0) 原图像横向平移a 个单位（左+右-）2.y=f （x ）→y=f(x)±b(b>0) 原图像纵向平移b 个单位（上+下-）3.若将函数y=f （x ）的图像右移a ，上移b 个单位，得到函数y=f （x-a ）+b二．对称变换：1.y=f （x ）→y=f(-x) 原图像与新图像关于y 轴对称；对比：若f=（-x ）=f （x ） 则函数自身的图像关于y 轴对称；2.y=f （x ）→y=-f(x) 原图像与新图像关于x 轴对称；3.y=f （x ）→y=-f(-x) 原图像与新图像关于原点对称；对比：若f （-x ）=-f （x ） 则函数自身的图像关于原点对称；4.y=f （x ）→y=f -1（x ） 原图像与新图像关于直线y=x 对称；5.y=f （x ）→y=f -1（-x ） 原图像与新图像关于直线y=-x 对称；6.y=f （x ）→y=f（2a-x ） 原图像与新图像关于直线x=a 对称；7.y=f （x ）→y=2b-f （x ） 原图像与新图像关于直线y=b 对称；8.y=f （x ）→y=2b-f （2a-x ） 原图像与新图像关于点（a ，b ）对称； 三．翻折变换：1. y=f （x ）→y=f(|x|)的图像在y 轴右侧（x>0）的部分与y=f （x ）的图像相同，在y 轴的左侧部分与其右侧部分关于y 轴对称；2. y=f （x ）→y=|f(x)|的图像在x 轴上方部分与y=f （x ）的图像相同，其他部分图像为y=f （x ）图像下方部分关于x 轴的对称图像；3. y=f （x ）→y=f(|x+a|)变换步骤：法1:先平移|a|个单位（左+右-）保留直线x=a 右边图像，后去掉直线x=a 左边图像并作关于直线x=a 对称图像y=f （x ）→y=f(x+a )→y=f(|x+a|)法2:先保留y 轴右边图像，去掉y 轴左边图像，并作关于y 轴对称图像，后平移|a|个单位（左+右-）y=f （x ）→y=f(|x|)→y=f(|x+a|)四．伸缩变换：1.y=f （x ）→y=af(x)（a>0） 原图像上所有点的纵坐标变为原来的a 倍，横坐标不变；2.y=f （x ）→y=f(ax)（a>0） 原图像上所有的横坐标变为原来的1a ，纵坐标不变；五．对称性：1.函数自身对称性之轴对称：（1）.若f （x ）=f （2a-x ）（或f （a+x ）=f （a-x ）或f （-x ）=f （2a+x ））则函数自身关于直线x=a 对称；（2）.若y=f （x ）的图像关于直线x =a+b 2对称 等价于f （a+mx ）=f （b-mx ）等价于 f （a+b-mx ）=f （mx ）；2.函数自身对称性之中心对称：（1）.若f （mx+a ）=-f （b-mx ），则函数自身关于点（a+b 2，0）对称； （2）.若f （mx+a ）+f （b-mx ）=c ，则函数自身关于点（a+b 2，c 2）对称； （3）.若f(a+x)+f(a-x)=2b （或f （x ）+f(2a-x)=2b 或f （-x ）+f(2a+x)=2b则函数自身关于点（a,b ）对称；3.不同函数之间的对称性：（1）.函数y=f （a+x ），y=f （b-x ）的图像关于直线x =b−a 2对称；推论：函数y=f(a+x)与f(a-x)的图像关于直线x=0对称；函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a 对称；函数y=f(-x)与y=f(2a+x)的图像关于直线x=-a 对称；特例：函数y=f （a+x ），y=f （a-x ）的图像关于直线x=0对称；（2）.函数y=f （a+x ），y=-f （b-x ）的图像关于点（b−a 2，0）对称；特例：函数y=f （a+x ）与y=-f （a-x ）关于原点中心对称4.抽象函数的对称性：（1）.性质一：若函数y=f(x)关于直线x=a 轴对称，则以下三个时式子成立切等价： f(a+x)=f(a-x); f(2a-x)=f(x); f(2a+x)=f(-x)；（2）.性质二：若函数y=f(x)关于点（a ，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价： f(a+x)=-f(a-x); f(2a-x)=-f(x); f(2a+x)=-f(-x);易知，y=f （x ）为偶（或奇）函数分别为性质一（或二）当a=0时的特例；六．周期性；1.f （x+a ）=f （x ） 周期：|a|2.f （x+a ）=-f （x ） 周期：2|a|3.f （x+a ）=±1f （x ）（或−11+f (x )） 周期：2|a| 4.f （x+a ）=f （x-a ） 周期：2|a|5.f （x+a ）=-f （x-a ） 周期：4|a|6.f （x+a ）=1−f （x ）1+f （x ）（或1+f （x ）1−f （x ）） 周期：4|a|7.f(x+2a)=f(x+a)-f(x) 周期：6|a|8.若p>0,f(px)=f(px-p 2) 周期：p 2 七．对称性与周期性：1.若y=f （x ）的图像关于直线x=a ，x=b 对称（a 不等于b ），则f （x ）是周期函数， 且周期T=2|a-b|；特例：若y=f （x ）是偶函数且其图像关于直线x=a 对称，则周期T=2|a|；2.若y=f （x ）关于点（a ，0），（b ，0）对称，则f （x ）是周期函数，且周期T=2|a-b|；3.若y=f （x ）的图像关于直线x=a ，对称中心（b ，0）对称（a 不等于b ）则f （x ）为周 期函数，且周期T=4|a-b|；特例；若y=f （x ）是奇函数且其图像关于直线x=a 对称，则周期T=4|a|；综上：若函数的图像同时具备两种对称性，两条对称轴或两个对称中心，或一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数。

三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换①平移变换：(h>0)Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x)h 左移→y=f(x+h)；2）y=f(x) h 右移→y=f(x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x) h 上移→y=f(x)+h ；2）y=f(x) h下移→y=f(x)-h 。

②对称变换：Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； y=f(x) 轴y →y=f(-x)Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y=f(x) 轴x →y= -f(x)Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y=f(x) 原点→y= -f(-x)Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。

y=f(x) x y =→直线x=f(y)Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x)。

③翻折变换：Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到④伸缩变换：Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y=f(x)ay ⨯→y=af(x)Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标压缩(1)a >或伸长（01a <<）为原来的1a倍得到。

y y
y y
x
x
x
x
A
B
C
D
解析：由f(x)g(x)是偶函数否定A、D， 当x→±∞时，f(x)g(x) →－∞，故选C.
2、画函数图象，由图象求解析式
例2 已知函数y=f (x)是在R上以2为周期的奇函数，在区 间［0,1）上的图象如下图所示，并已知该区间上图象是 一个二次函数的图象的一部分，点(1,1)是其顶点.试作出 y=f (x)在区间［－2,2］上的图象，并求该区间上的解析式.
. .
-1
-1
-1
.
1
2
.
X
-2
. . . . .
1 -1 1 -1
2
2
X
C
D
分析：根据y=F(x)= xf `(x)的图象，得F(1)＝ f `(1)＝0， F（－1）＝ － f `(－ 1)＝0， ∴ f `(1)＝ f `(－ 1)＝0， ∴ x＝1和x= － 1是f (x)的极值点.故选C. Y 提问：本例除了从图形获取有效信息： 2 .1 f `(1)＝ f `(－ 1)＝0之外， .-2 -1. .1 还能获取什么有效信息？ -1. ［注：如1＜x<2时，xf `(x)＞0，∴ f `(x) ＞0，
（1）f(x-1)=(x-1)2 （2）f(x+1)=(x+1)2 （3）f(x)+1=x2+1 （4）f(x) -1=x2-1
y=f(x+1) 1 -1 O y=f(x)-1-1 1 y=f(x-1)
x
函数图象的平移变换：
左右平移 （a>0） 上下平移 (a>0)
y=f(x) y=f(x) y=f(x) y=f(x)