函数图像及其变换

函数图象变换和零点一、函数图像1、平移变换Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x )h 左移→y =f (x +h)； 2）y =f (x ) h右移→y =f (x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ； 2）y =f (x ) h下移→y =f (x )-h 。

2、对称变换Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴y →y =f (-x ) Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴x →y = -f (x ) Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y =f (x ) 原点→y = -f (-x ) Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。

y =f (x ) xy =→直线x =f (y )Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y =f (x )ax =→直线y =f (2a -x )。

3、翻折变换Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到4、伸缩变换Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y =f (x )ay ⨯→y =af (x )Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到。

第1课时函数的图像与图像变换【学习目标】1.掌握基本的描点作图法2.掌握图像变换及其规律【知识梳理】一、描点法作图方法步骤：（1）确定函数的定义域；（2）化简函数的解析式；（3）讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值（甚至变化趋势）：（4）描点连线，画出函数的图象.二、函数图象的变换1•平移变换①水平平移：〉=加如）（4>0）的图彖，可由y=Ax）的图彖向左（+）或向虫一）平移a个单位而得到.②竖直平移：y=J（x）±b（b>0）的图彖，可由y=J[x）的图彖向上（+）或向上（一）平移b 个单位而得到.2. 对称变换⑴®y=f（—x）与y=fix）的图象关于y轴对称.②y=~f（x）与y=・几¥）的图彖关于x轴对称.®>'=与y=/U）的图彖关于原点对称.（2）由对称变换可利用y=f（x）的图象得到）=加）|与y=f（\x\）的图象.①作出y=/U）的图彖，将图彖位于*轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y=\f[x）\的图象;②作出y=/U）在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图彖，即得y=fi\x\）的图象.3. 伸缩变换®y=a/（x）（a>Q）的图象，可将y=/U）图彖上每点的纵坐标伸时）或缩（«<1时）到原来的a 倍，横坐标不变.®y=j[ax）（a>Q）的图象，可将y=/U）的图彖上每点的横坐标伸（a<l时）或缩（a>l时）到原来的吕倍，纵坐标不变.4. 翻折变换①作为y=/U）的图彖，将图彖位于*轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y=\f[x）\的图象;②作为y=M在y轴上及y轴右边的图彖部分，并作y轴右边的图彖关于y轴对称的图象,即得y=fl\x\）的图象.【预习自测】同一坐标系中用描点作图法画出卜列各组函数的图彖：X(1)y=2X,y=2'r(2)y=2x9y=-2v:y=log2x,y=log1x(3)y=2v,y=-T x11 •2 ■I•2・1-/・2012(4)y=2v ,y=23y=2r-111・2 •111・2 1 Ol 2-/ -•2 -2V +1,y =2XJ >2yX第1课时函数的图像与图像变换课后-:拓展案1【课后拓展】L.J1-定义运算圖说洛则函数心吨的图象是(2. ________________________________________________________ 若关于x的方程|x|=Q—x只有一个解，则实数a的取值范围是3•如下图所示，向高为的水瓶A、E、C、D同时以等速注水，注满为止.5. 已知函数/(x)=|x12—4x+3|.1若水量V与水深"函数图象是下图的(a),则水瓶的形状是:2若水深h与注水时间/的函数图象是下图的(b),则水瓶的形状是:⑶若注水时间t与水深h的函数图象是下图的(c),则水瓶的形状是:(4) __________________________________________________________ 若水深与注水时间t的函数的图象是图中的(d),则水瓶的形状是・(1) 求函数几。

函数的图象变换函数图象的基本变换：(1)平移；(2)对称；(3)伸缩。

由函数y = f (x)可得到如下函数的图象1． 平移：(1)y = f (x + m) (m>0)：把函数y =f (x)的图象向左平移m 的单位（如m<0则向右平移-m 个单位）。

(2)y = f (x) + m (m>0)：把函数y =f (x)的图象向上平移m 的单位（如m<0则向下平移-m 个单位）。

2． 对称：✧ 关于直线对称(Ⅰ) (1)函数y = f (-x)与y = f (x)的图象关于y 轴对称。

(2)函数y = -f (x)与y = f (x)的图象关于x 轴对称。

(3)函数y = f (2a -x)与y = f (x)的图象关于直线x = a 对称。

(4)函数y = 2b -f (x)与y = f (x)的图象关于直线y = b 对称。

(5)函数)x (f y 1-=与y = f (x)的图象关于直线y = x 对称。

(6)函数)x (f y 1--=-与y = f (x)的图象关于直线y = -x 对称。

(Ⅱ)(7)函数y = f (|x|)的图象则是将y = f (x)的y 轴右侧的图象保留，并将y =f (x)右侧的图象沿y 轴翻折至左侧。

（留正去负，正左翻（关于y 轴对称））；(8)函数y = |f (x)|的图象则是将y = f (x)在x 轴上侧的图象保留，并将y = f (x)在x 轴下侧的图象沿x 轴翻折至上侧。

(留正去负，负上翻；)一般地：函数y = f (a+mx)与y = f (b -mx)的图象关于直线m2a b x -=对称。

✧ 关于点对称(1) 函数y = - f (-x)与y = f (x)的图象关于原点对称。

(2) 函数y = 2b -f (2a -x)与y = f (x)的图象关于点(a,b)对称。

3． 伸缩(1) 函数y = f (mx) (m>0)的图象可将y = f (x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的m 1倍得到。

函数的图像和变换函数是数学中非常重要的概念，它描述了一种映射关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。

在数学函数的图像和变换中，我们将探讨不同类型的函数以及它们在平面直角坐标系中的图像和变换。

一、常见的函数类型1. 线性函数：线性函数是最简单的函数类型，它的表达式可以写为y=ax+b，其中a和b为常数。

线性函数的图像是一条直线，斜率a决定了直线的斜率方向和倾斜程度，常数b决定了直线与y 轴的交点。

2. 幂函数：幂函数是由形如y=x^n的表达式定义的函数，其中n为常数。

当n为正数时，幂函数的图像呈现递增或递减的曲线，曲线的陡峭程度取决于n的大小。

当n为负数时，曲线则在x轴正方向和y轴正方向之间交替。

3. 指数函数：指数函数由形如y=a^x的表达式定义，其中a为常数且大于0且不等于1。

指数函数的图像是一条通过点(0,1)的递增曲线，沿着x轴正方向迅速上升。

4. 对数函数：对数函数是指满足y=log_a(x)的函数，其中a为正实数且不等于1。

对数函数的图像是一条递增曲线，曲线的陡峭程度由底数a的大小决定。

5. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

这些函数的图像是关于坐标轴对称的波动曲线。

二、函数的图像变换函数的图像可以通过一系列变换实现形状、位置或大小的改变。

以下是常见的函数图像变换：1. 平移：通过在函数表达式中加上常数c，可以使得函数图像沿着x轴或y轴平移。

例如，对于线性函数y=x+1，如果我们在函数表达式中加上常数1，则函数图像整体上移1个单位。

2. 反转：通过对函数表达式中的x或y取相反数，可以使函数图像在x轴或y轴方向上发生反转。

例如，对于线性函数y=x，如果我们将函数表达式中的x替换为-x，则函数图像将在y轴上对称。

3. 缩放：通过在函数表达式中乘以常数d，可以实现函数图像的缩放。

如果d大于1，则函数图像会在坐标轴方向上拉伸；如果d介于0和1之间，则会在坐标轴方向上收缩。

函数的图像及其变换(完整版)
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晴。

函数图像的变换及应用函数图像的变换指的是通过对函数图像进行一系列的操作，使得原函数图像在坐标系中发生平移、伸缩、翻折等变化，从而得到新的函数图像。

这些变换可以通过改变函数的参数或者利用一些特定的变换公式来实现。

函数图像的变换有很多种，下面列举几种常见的变换及其应用：1. 平移变换：平移变换是将函数图像在坐标系上沿着横轴或者纵轴方向进行移动。

对于函数y=f(x)，平移变换可以表示为y=f(x-a)+b，其中a表示横向平移的距离，b表示纵向平移的距离。

平移变换的应用场景有很多，例如对于温度变化的曲线图，可以通过平移变换来调整图像在时间轴上的位置，实现对曲线的观察和比较。

2. 伸缩变换：伸缩变换是改变函数图像的尺度，使得函数图像的宽度或者高度发生变化。

对于函数y=f(x)，伸缩变换可以表示为y=a*f(bx)，其中a控制纵向的伸缩比例，b控制横向的伸缩比例。

伸缩变换可以用来调整图像的大小，使得函数曲线更加清晰或者适应特定的分析需求。

3. 翻折变换：翻折变换是将函数图像沿着坐标轴进行翻转。

对于函数y=f(x)，翻折变换可以表示为y=-f(x)（沿着x轴翻折）或者y=f(-x)（沿着y轴翻折）。

翻折变换可以用来分析函数的对称性质，例如判断函数是否关于x轴或者y轴对称。

4. 拉伸变换：拉伸变换是通过改变函数图像的形状来实现对函数的变换。

拉伸变换可以是横向拉伸或者纵向拉伸。

对于函数y=f(x)，横向拉伸可以表示为y=f(cx)，纵向拉伸可以表示为y=c*f(x)，其中c是大于1的常数。

拉伸变换可以用来调整图像的形状，使得函数曲线更加符合实际情况或者更容易进行分析。

5. 压缩变换：压缩变换与拉伸变换相反，是通过改变函数图像的形状来实现对函数的变换。

压缩变换可以是横向压缩或者纵向压缩。

对于函数y=f(x)，横向压缩可以表示为y=f(x/c)，纵向压缩可以表示为y=(1/c)*f(x)，其中c是大于1的常数。

压缩变换可以用来调整图像的形状，使得函数曲线更加符合实际情况或者更容易进行分析。