函数y=sin(ωx+φ)的图象的三种变换

三角函数图形的变换1、正弦与余弦函数图象的变换2、由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换):先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换:先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

作y =sin x （长度为2π的某闭区间）的图象 得y =sin(x +φ) 的图象得y =sin ωx 的图象 得y =sin(ωx +φ) 的图象 得y =sin(ωx +φ) 的图象 得y =Asin(ωx +φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R 上沿x 轴平 移|φ|个单位 横坐标 伸长或缩短 横坐标伸 长或缩短沿x 轴平 移|ωϕ|个单位 纵坐标伸 长或缩短纵坐标伸 长或缩短【经典例题】图像变换一：左右平移1、把函数R x x y ∈=,sin 图像上所有的点向左平移4π个单位，所得函数的解析式为 _________2、把函数R x x y ∈=,cos 图像上所有的点向右平移5π个单位，所得函数的解析式为 _________图像变换二：纵向伸缩3、对于函数R x x y ∈=,s i n 3的图像是将R x x y ∈=,sin 的图像上所有点的______(“横”或”纵”)坐标______（伸长或缩短）为原来的______而得到的图像。

《函数y=Asin(ωx+φ)的图象（第二课时）》教案师：结合信息技术动态演示=1ω时，动点G 的轨迹以及动点G 对应的函数解析式．我们知道，动点M 在单位圆1O 上以单位角速度（即=1ω）按逆时针方向运动，如果动点M 以1Q 为起点（此时π=6），经过x s 后运动到点P ，那么点P 的纵坐标就等于πsin +6x （），所以以,x y （）为坐标描点G ，点G 的轨迹对应的函数解析式是π=sin +6y x （）．问题4：若取=2ω，动点1M 以1Q 为起点，在单位圆1O 上以角速度=2ω按逆时针方向运动，经过x s 后运动到点1P ，那么点1P 的纵坐标是什么？生：点1P 的纵坐标就等于πsin 2+6x （）． 追问：此时，以,x y （）为坐标描点H ，点H 的轨迹对应的函数解析式是什么？生：点H 的轨迹对应的函数解析式是π=sin 2+6y x （）．师：结合信息技术动态演示=2ω时，动点H 的轨迹．问题5：函数π=sin 2+6y x （）与π=sin +6y x （）的图象之间存在怎样的变换关系？你能从质点的匀速圆周运动规律和函数图象上点的坐标变化的角度进行解释吗？生：思考、交流．师：引导学生分析，学生遇到困难时进行点拨．师生分析：如图，从匀速圆周运动的变化规律看，在单位圆上，两个动点都以1Q 为起点，以=1ω和=2ω的不同角速度绕单位圆逆时针方向运动，到达同一位置P 时，=2ω时的运动时间始终是=1ω时运动时间的12．对应地，设,G x y （）是函数π=sin +6y x （）图象上的一点，那么1,2K x y （）就是函数π=sin 2+6y x （）图象上的相应点．问题6：如上我们找到了两个函数图象上任意点的变化，那么如何从函数π=sin +6y x （）的图象得到函数π=sin 2+6y x （）的图象？生：思考，交流．师：引导学生理解图象变换的本质是图象上点的变换．总结：函数π=sin 2+6y x （）的图象是把函数πsin()6y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到的．并且π=sin 2+6y x （）的周期为π，是π=sin +6y x （）的周期的12．问题7：如果ω取12，3，13时，对应的函数π=sin +6y ωx （）的图象与π=sin +6y x （）的图象之间存在怎样的变换关系？生：仿照上面的研究过程分析、交流． 师：以1=2ω为例，动点的转速是=1ω时的12，以1Q 为起点，到达点P 的时间是=1ω时的2倍，所以把π=sin +6y x （）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），就得到1π=sin +26y x （）的图设计意图：引导学生类比参数 ，ω对函数=sin +y ωx φ（）图象影响的研究过程，明确参数0A A （＞）对函数=sin +y A ωx φ（）图象影响的研究思路．结合筒车模型，引导学生理解A 的实际意义，为后面的探索做好准备．问题10：若取=2A ，设射线1OQ 与以1O 为圆心、2为半径的圆交于点1T ，如果单位圆上以1Q 为起点的动点M ，以=2ω的转速经过x s 后到达圆周上的点P ，那么点P 的纵坐标是πsin 2+6x （），相应地，动点1M 在以1O 为圆心、2为半径的圆上，以1T 为起点，=2ω的转速经过x s 后到达圆周上的点T ，那么点T 的纵坐标是什么？师：借助信息技术演示．生：点T 的纵坐标就等于π2sin 2+6x （）． 追问：此时，以,x y （）为坐标描点H ，点H 的轨迹对应的函数解析式是什么？生：点H 的轨迹对应的函数解析式是π=2sin 2+6y x （）． 问题11：函数π=2sin 2+6y x （）与π=sin 2+6y x （）的图象之间存在怎样的变换关系？你能从质点的匀速圆周运动规律和函数图象上点的坐标变化的角度进行解释吗？生：借助前面的研究过程，分析、交流．师：在学生困难的地方进行点拨，借助信息技术动态演示，引导学生得出一般性的结论．师生分析：如图，从匀速圆周运动的变化规律看，在以1O 为圆心，半径分别为1和2的圆上，两个动点分别以1Q 和1T 为起点，=2ω的转速经过x s 后分别到达圆周上的点P 和点T ，易得点T 的纵坐标是点P 的纵坐标的2倍．对应地，设,K x y （）是函数π=sin 2+6y x （）图象上的一点，那么,2N x y （）就是函数π=2sin 2+6y x （）图象上的相应点．问题12：如上我们找到了两个函数图象上任意点的变化，那么如何从函数π=sin 2+6y x （）的图象得到函数π=2sin 2+6y x （）的图象？ 生：思考，交流．总结：函数π=2sin 2+6y x （）的图象是把函数π=sin 2+6y x （）的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到的．问题13：如果A 取12，3，13时，对应的函数π=sin 2+6y A x （）的图象与π=sin 2+6y x （）的图象之间存在怎样的变换关系？你能给出0A A （＞）的变化对函数=sin +y A ωx φ（）图象影响的一般化结论吗？ 生：仿照上面的研究过程分析、交流．师：借助信息技术动态演示，引导学生总结一般性的论．师生总结：以1=2A 为例，把函数π=sin 2+6y x （）的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12（横坐标不变），就得到1π=sin 2+26y x （）的图象． 一般地，函数=sin +y A ωx φ（）的图象，可以看作是把函数=sin +y ωx φ（）的图象上所有点的纵坐标伸长（当1A ＞时）或缩短（当课后篇巩固提升合格考达标练1.函数y=sin(2x-π3)在区间[-π2,π]上的简图是()x=0时,y=sin(-π3)=-√32<0,故可排除B,D;当x=π6时,sin(2×π6-π3)=sin0=0,排除C.2.要得到函数y=sin(x-π3)的图象,只需将函数y=sin(x+π6)的图象()A.向右平移π3个单位长度B.向左平移π3个单位长度C.向右平移π2个单位长度D.向左平移π6个单位长度y=sin[(x-π2)+π6]=sin(x-π3),所以应将函数y=sin(x+π6)的图象向右平移π2个单位长度.3.(2021天津高一联考)为了得到函数y=sin2x+π4的图象,只需把函数y=sin2x+π6的图象上所有的点()A.向左平移π12个单位长度B.向右平移π12个单位长度C.向左平移π24个单位长度D.向右平移π24个单位长度解析由题得函数y=sin 2x+π4=sin 2x+π24+π6,故要得到函数y=sin 2x+π4的图象,只需将函数y=sin 2x+π6的图象向左平移π24个单位长度即可,故选C . 4.某同学用“五点法”画函数y=A sin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2在一个周期内的简图时,列表如下:2则根据表格可得出A= ,ω= ,φ=.3 -π4A=2,T=34π-π12=2πω,∴ω=3,∴ωx+φ=3x+φ.∵当x=π12时,3x+φ=π4+φ=0,∴φ=-π4.5.把函数f (x )=cos (2x -π6)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,得到函数g (x )的图象,则g (x )的最小正周期是 .g (x )=cos (4x -π6),故最小正周期T=2π4=π2.6.(2021天津河西高一期末)将函数y=2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度,再将图象上每个点的横坐标和纵坐标都变为原来的12倍,则所得图象的函数解析式为 .答案y=sin 4x+π6解析将函数y=2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度,可得y=2sin 2x+π6的图象;再将图象上每个点的横坐标和纵坐标都变为原来的12倍,则所得图象的函数解析式为y=sin 4x+π6.7.(2021吉林公主岭高一期末)已知函数f (x )=2sin 2x+π6+1.(1)用“五点法”画出它在一个周期内的闭区间上的图象(完成横、纵坐标列表); (2)写出函数y=f (x )图象的对称中心坐标及对称轴的方程.列表如下:描点连线作图如下:(2)由图象可得对称中心的坐标为kπ2−π12,1,k ∈Z ,对称轴方程为x=kπ2+π6,k∈Z .等级考提升练8.已知函数f(x)=sinωx+π4(ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=cos ωx的图象,只要将y=f(x)的图象()A.向左平移π8个单位长度B.向右平移π8个单位长度C.向左平移π4个单位长度D.向右平移π4个单位长度解析函数f(x)的最小正周期为π,则ω=2ππ=2,所以f(x)=sin2x+π4.f(x)=sin2x+π4=cosπ2-2x+π4=cosπ4-2x=cos2x-π4=cos2x-π8.要想得到函数g(x)=cos 2x=cos2x-π8+π8的图象,只需把函数f(x)的图象向左平移π8个单位长度即可.故选A.9.(2021甘肃天水高一期末)为了得到函数y=√2sin2x+π4的图象,只要把函数y=√2cos 2x图象上所有的点()A.向左平移π8个单位长度B.向右平移π8个单位长度C.向左平移π4个单位长度D.向右平移π4个单位长度解析只要把函数y=√2cos 2x=√2sin2x+π2图象上所有的点向右平移π8个单位长度,可得函数y=√2sin2x+π4的图象,故选B.10.如图为一半径是2米的水轮,水轮圆心O 距离水面1米,已知水轮每分钟旋转5圈,水轮上的点P 到水面的距离y (单位:米)与时间x (单位:秒)满足函数关系y=A sin(ωx+φ)+1A>0,ω>0,|φ|<π2,则( )A.ω=π6,A=2 B.ω=2π15,A=1 C.ω=π6,A=3 D.ω=2π15,A=2T=605=2πω,可得ω=π6,由图可知y 的最大值为3,sin(ωx+φ)=1时取得最大值,∴3=A+1,解得A=2.11.将函数y=sin 2x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=f (x )的图象,则( )A.y=f (x )的图象关于直线x=π8对称 B.f (x )的最小正周期为π2 C.y=f (x )的图象关于点π2,0对称D.f (x )在-π3,π6上单调递增解析函数y=sin 2x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,可得y=sin x ,即f (x )=sin x.根据正弦函数的图象及性质可知,对称轴x=π2+k π,k ∈Z ,所以A 错误;最小正周期T=2π,所以B 错误;对称中心坐标为(k π,0),k ∈Z ,所以C 错误.单调递增区间为2k π-π2,π2+2k π,k ∈Z ,所以f (x )在-π3,π6上单调递增.故选D .12.(多选题)(2021江苏苏州高一期末)为了得到函数y=cos 2x+π4的图象,只要把函数y=cos x 图象上所有的点( )A.向左平移π4个单位长度,再将横坐标变为原来的2倍 B .向左平移π4个单位长度,再将横坐标变为原来的12倍 C .横坐标变为原来的12倍,再向左平移π8个单位长度D .横坐标变为原来的12倍,再向左平移π4个单位长度解析把函数y=cos x 图象上所有的点向左平移π4个单位长度,得到y=cos x+π4的图象;再将横坐标变为原来的12倍,得到y=cos 2x+π4的图象.或把函数y=cos x 图象上所有的点横坐标变为原来的12倍,得到y=cos 2x 的图象;再向左平移π8个单位长度,可得y=cos 2x+π4的图象.故选BC .13.(多选题)要得到y=cos 2x 的图象C 1,只要将y=sin 2x+π3的图象C 2( ) A.向左平移π12个单位长度 B.向右平移11π12个单位长度C .先作关于x 轴对称的图象C 3,再将图象C 3向右平移5π12个单位长度 D .先作关于x 轴对称的图象C 3,再将图象C 3向左平移π12个单位长度解析对于A,将y=sin 2x+π3的图象C 2向左平移π12个单位长度,可得y=sin 2x+π12+π3=sin 2x+π2=cos 2x 的图象C 1,故选项A 正确;对于B,将y=sin 2x+π3的图象C 2向右平移11π12个单位长度,可得y=sin [2(x -11π12)+π3]=sin 2x -3π2=cos 2x 的图象C 1,故选项B 正确; 对于C,先作C 2关于x 轴对称的图象,即y=-sin 2x+π3的图象C 3,再将图象C 3向右平移5π12个单位长度,得到y=-sin [2(x -5π12)+π3]=-sin 2x -π2=cos 2x 的图象C 1,故选项C 正确;对于D,先作C 2关于x 轴对称的图象,即y=-sin 2x+π3的图象C 3,再将图象C 3向左平移π12个单位长度,得到y=-sin [2(x +π12)+π3]=-sin 2x+π2=-cos 2x 的图象,故选项D 不正确.14.已知函数f (x )=sin (ωx +π4)(ω>0)的最小正周期为π,为了得到g (x )=sin (12x +π4)的图象,只需将y=f (x )的图象上 .4倍,纵坐标不变f (x )的最小正周期为π,∴2πω=π.∴ω=2.∴f (x )=sin (2x +π4).又g (x )=sin (12x +π4)=sin [2×(14x)+π4],∴只需将y=f (x )的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到g (x )=sin12x+π4的图象. 15.已知f (x )=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤π2在0,4π3上单调,且f π3=0,f4π3=2,则f (0)= .1 由题意知14·2πω=4π3−π3,所以ω=12.由f4π3=0,得12×4π3+φ=2k π+π2,k ∈Z , 所以φ=-π6+2k π,k ∈Z . 又因为|φ|≤π2,所以φ=-π6, 即f (x )=2sin12x -π6, 则f (0)=2sin -π6=-1.16.将函数f (x )=sin(ωx+φ)ω>0,-π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y=sin x 的图象.(1)求函数f (x )的解析式;(2)当x ∈[0,3π]时,方程f (x )=m 有唯一实数根,求m 的取值范围.将y=sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y=sin (x +π6)的图象,保持纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,可得y=sin (12x +π6)的图象,故f (x )=sin (12x +π6).(2)令2kπ+π2≤12x+π6≤2kπ+3π2(k∈Z),则4kπ+2π3≤x≤4kπ+8π3(k∈Z).又x∈[0,3π],所以x∈[0,2π3],f(x)单调递增,x∈[2π3,8π3],f(x)单调递减,x∈[8π3,3π],f(x)单调递增,所以f(x)max=1,f(x)min=-1,当x=0时,m=12,当x=3π时,m=-√32.故使方程f(x)=m有唯一实数根的m的取值范围为m∈(-√32,12)∪{-1,1}.新情境创新练17.某同学用“五点作图法”画函数f(x)=A sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:2(1)请将上表数据补充完整,并写出函数f(x)的解析式;(2)将f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度,得到g(x)的图象.若g(x)图象的一个对称中心为5π12,0,求θ的最小值.根据表中已知数据,可得A=5,{π3ω+φ=π2,5π6ω+φ=3π2,解得ω=2,φ=-π6.数据补全如下表:211函数解析式为f(x)=5sin2x-π6.(2)由(1)知f(x)=5sin2x-π6,则g(x)=5sin2x+2θ-π6.因为函数y=sin x图象的对称中心为(kπ,0),k∈Z,令2x+2θ-π6=kπ,k∈Z,解得x=kπ2+π12-θ,k∈Z.由于函数y=g(x)的图象关于点5π12,0成中心对称,所以令kπ2+π12-θ=5π12,k∈Z,解得θ=kπ2−π3,k∈Z.由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值π6.。

专题60 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及变换1．φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响2．ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响3．A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响4．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)：(1)A 越大，函数的最大值越大，最大值与A 是正比例关系．(2)ω越大，函数的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．(3)φ大于0时，函数y ＝A sin ωx 的图象向左平移⎪⎪⎪⎪φω个单位长度得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，φ小于0时，函数y ＝A sin ωx 的图象向右平移⎪⎪⎪⎪φω个单位长度得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，即“加左减右”．5．由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤6．由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象， 其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．(2)y ＝sin x ――――→周期变换y ＝sin ωx ――――→相位变换y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋φω＝sin(ωx ＋φ)――――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)． 题型一 用“五点法”作函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象1．用“五点法”画函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)在一个周期内的简图时，五个关键点是⎝⎛⎭⎫－π6，0，⎝⎛⎭⎫π12，2，⎝⎛⎭⎫π3，0，⎝⎛⎭⎫712π，－2，⎝⎛⎭⎫5π6，0，则ω＝________.[解析]因为周期T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，所以2πω＝π，所以ω＝2. 2．用“五点法”作出函数y ＝32sin ⎝⎛⎭⎫13x －π3的简图． [解析]函数y ＝32sin ⎝⎛⎭⎫13x －π3的周期T ＝2π13＝6π，先用“五点法”作它在长度为一个周期上的图象． 列表如下：利用该函数的周期性，把它在一个周期上的图象分别向左、右扩展，从而得到函数y ＝32sin ⎝⎛⎭⎫13x －π3的简图(图略)．3．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3.(1)在给定的坐标系内，用“五点法”作出函数f (x )在一个周期内的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)求f (x )的最大值和此时相应的x 的值．[解析] (1)列表：x 2＋π3 0 π2 π 3π2 2π x －2π3π3 4π3 7π3 10π3 f (x )2－2作图：(2)由2k π－π2≤x 2＋π3≤2k π＋π2，得4k π－5π3≤x ≤4k π＋π3，k ∈Z.所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤4k π－5π3，4k π＋π3，k ∈Z. (3)当x 2＋π3＝π2＋2k π，即x ＝π3＋4k π(k ∈Z)时，f (x )max ＝2.4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )[解析]当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32<0，排除B ，D.当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝sin0＝0，排除C ，故选A. 5．函数y ＝2sin πx －11－x(－2≤x ≤4)的所有零点之和为________． [解析]函数y ＝2sin πx －11－x (－2≤x ≤4)的零点即方程2sin πx ＝11－x的根， 作函数y ＝2sin πx 与y ＝11－x的图象如下：由图可知共有8个公共点所以原函数有8个零点．y ＝2sin πx －11－x ＝2sin π(1－x )－11－x ，令t ＝1－x ，则y ＝2sin πt －1t ，t ∈[－3,3]，该函数是奇函数，故零点之和为0.所以原函数的零点之和为8.题型二 三角函数图象之间的变换1．已知函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54，该函数的图象可由y ＝sin x ，x ∈R 的图象经过怎样的变换得到？ [解析]解法一：步骤：①把函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度，可以得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象； ②把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可以得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象；③把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象上各点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，可以得到函数y ＝12sin(2x ＋π6)的图象；④再把得到的函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向上平移54个单位长度，就能得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54的图象． 解法二：步骤：①把函数y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，而纵坐标不变，得到函数y ＝sin2x 的图象；②把函数y ＝sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，可以得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象； ③把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象上各点的纵坐标缩短到原来的12，而横坐标不变，可以得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象； ④再把得到的函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向上平移54个单位长度，就能得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54的图象． 2．将y ＝sin x 的图象怎样变换可得到函数y ＝2sin(2x ＋π4)＋1的图象？[解析]法一：(先伸缩法)①把y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y ＝2sin x 的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得y ＝2sin 2x 的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位，得y ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8的图象； ④将所得图象沿y 轴向上平移1个单位，得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1的图象． 法二：(先平移法)①将y ＝sin x 的图象沿x 轴向左平移π4个单位，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象；③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象；④将所得图象沿y 轴向上平移1个单位，得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1的图象． 3．有下列四种变换方式：①向左平移π4个单位长度，再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变)；②横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π8个单位长度；③横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π4个单位长度；④向左平移π8个单位长度，再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变)．其中能将正弦函数 y ＝sin x 的图象变为 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象的是( ) A ．①和② B ．①和③ C ．②和③D ．②和④[解析] ①向左平移π4个单位长度，再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，则正弦函数 y ＝sin x 的图象变为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象；②横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π8个单位长度，正弦函数 y ＝sin x 的图象变为 y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象；③横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π4个单位长度，正弦函数 y ＝sin x 的图象变为 y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象；④向左平移π8个单位长度，再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，正弦函数 y ＝sin x 的图象变为 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8的图象，因此①和②符合题意，故选 A.4．把函数y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度后所得图象的解析式为( )A ．y ＝sin x －π3B ．y ＝sin x ＋π3C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 [解析]根据图象变换的方法，y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度后得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象． 5．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6向左平移π6个单位，可得到函数图象是( ) A ．y ＝sin2x B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3[解析] 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6向左平移π6个单位，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，故选C. 6．将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝cos2xB ．y ＝1＋cos2xC ．y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 D ．y ＝cos2x －1[解析]将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos2x .[答案] B7．函数y ＝cos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为________．[解析]函数y ＝cos x 纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍y ＝cos 12x .所以ω＝12.8．把函数y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈RB ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈R C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，x ∈R [解析]把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．[答案] C 9．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20 [解析] 函数y ＝sin x 的图象上的点向右平移π10个单位长度可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10的图象；横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10的图象，所以所求函数的解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10.[答案] C 10．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向左平移π8个单位长度，所得到的图象对应的函数是( ) A ．奇函数 B.偶函数 C ．既是奇函数也是偶函数 D.非奇非偶函数[解析]y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8，向左平移π8个单位长度后为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8＋π8＝sin 2x ，为奇函数． 11．将函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π3个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为________．[解析]y ＝－2cos 2x －3 [y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π3个单位长度，得y ＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π3 ＝2cos(2x ＋π)＝－2cos 2x ，再向下平移3个单位长度得y ＝－2cos 2x －3的图象．12．由y ＝3sin x 的图象变换到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位，后者需向左平移________个单位．[解析]y ＝3sin x ―――――→向左平移π3个单位y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3――――――――――→横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3， y ＝3sin x ――――――――→横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ――――――――→向左平移2π3个单位y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3.] 13．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，则所得的函数解析式是________．[解析]y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π8 [y ＝sin3x ＋π4――――――――――→向右平移π8个单位长度y ＝sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π8＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π8 ―――――――――――――――→各点的横坐标扩大到原来的3倍纵坐标不变y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π8，故所得的函数解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π8. 14．把函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移π6个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得图象的函数解析式为y ＝sin x ，则( )A ．ω＝2，φ＝π6B ．ω＝2，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π3[解析]将函数y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得解析式为y ＝sin2x 的图象，再向右平移π6个单位长度，得解析式为y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，所以ω＝2，φ＝－π3.故选B.15．要得到函数y ＝sin 12x 的图象，只需将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的图象向右平移________个单位． [解析]由于y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π2，故要得到y ＝sin 12x 的图象，只要将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的图象向右平移π2个单位． 16．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位[解析] 由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin4⎝⎛⎭⎫x －π12得，只需将y ＝sin4x 的图象向右平移π12个单位即可，故选B. 17．要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位[解析]因为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x －π4＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8， 所以将y ＝sin 2x 的图象向左平移π8个单位，得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 18．为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)B ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)[解析]先将y ＝2sin x ，x ∈R 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈R 的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象．[答案] C 19．为了得到函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6，x ∈R 的图象，只需将函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R 的图象上的所有点( ) A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变[解析]函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变， 得到y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图象．20．把函数y ＝f (x )的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝3cos x B ．f (x )＝3sin x C ．f (x )＝3cos x ＋3D ．f (x )＝sin 3x[解析]y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3――――――→纵坐标伸长到原来的32倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3――――――→横坐标缩短到原来的12倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ――――――→向左平移π6个单位y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝3cos x ． 21．为了得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5(x ∈R)的图象，只需把函数y ＝3sin(x ＋π5)(x ∈R)的图象上所有的点的( ) A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变[解析]y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π5，x ∈R 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5， 故选B.22．要得到函数 y ＝3sin 2x 的图象，可将函数 y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象( ) A ．沿 x 轴向左平移π8个单位长度 B ．沿 x 轴向右平移π8个单位长度C ．沿 x 轴向左平移π4个单位长度D ．沿 x 轴向右平移π4个单位长度[解析]由于函数 y ＝3sin 2x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝3cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4， 所以将函数 y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象沿 x 轴向右平移π8个单位长度，即可得到函数 y ＝3sin 2x 的图象．23．把函数 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的图象适当变换就可以得到 y ＝sin(－3x )的图象，这种变换可以是( ) A ．向右平移π4个单位长度 B ．向左平移π4个单位长度C ．向右平移π12个单位长度D ．向左平移π12个单位长度[解析]因为 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12， 所以将 y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12的图象向左平移π12个单位长度能得到 y ＝sin (－3x )的图象． 24．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω＞0)的相邻两个零点的距离为π2，要得到y ＝f (x )的图象，只需把y ＝cos ωx 的图象( )A ．向右平移π12个单位B ．向左平移π12个单位C ．向右平移π6个单位D ．向左平移π6个单位[解析]由已知得2πω＝2×π2，故ω＝2.y ＝cos 2x 向右平移π12个单位可得y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π12＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象． 25．函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位长度(φ＞0)得到的图象恰好关于x ＝π6对称，则φ的最小值是________．[解析]函数y ＝s i n 2x 的图象向右平移后得到y ＝s i n [2(x －φ)]的图象，而x ＝π6是对称轴，即2⎝⎛⎭⎫π6－φ＝k π＋π2(k ∈Z)，所以φ＝－k π2－π12(k ∈Z)．又φ＞0当k ＝－1时，φ取得最小值5π12. 26．为了得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π4的图象，可以将函数y ＝sin x2的图象( ) A ．向左平移π2个单位长度 B ．向左平移π4个单位长度C ．向右平移π2个单位长度D ．向右平移π4个单位长度[解析]y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π4＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫x 2－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π2，故选A. 27．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. [解析] y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象，再对每一点横坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象即为f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，f ⎝⎛⎭⎫π6＝22.28．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9 [解析]将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后得到y ＝cos ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π3，所得图象与原图象重合， 所以cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π3ω＝cos ωx ，则－π3ω＝2k π(k ∈Z)，得ω＝－6k (k ∈Z)．又因为ω>0，所以ω的最小值为6，故选C.29．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象上所有的点向左平移π2个单位长度．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )A ．4B ．6C ．8D ．12[解析]解法一：逐项代入检验，对B 选项，f (x )＝sin(6x ＋φ)图象向左平移π2个单位得：y ＝sin ⎣⎡⎦⎤6⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋φ＝sin(6x ＋φ＋π)＝－sin(6x ＋φ)的图象． 解法二：y ＝f (x )的图象向左平移π2后得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2ω＋φ，其图象与原图象重合，有π2ω＝2k π，即ω＝4k ，k ∈Z ，故选B. 30．若将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋5π6(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的图象重合，则ω的最小值为________．[解析]y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋5π6的图象向右平移π3个单位长度后得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π3＋5π6，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋5π6－ωπ3，故5π6－ωπ3＋2k π＝π4(k ∈Z)，即ωπ3＝7π12＋2k π，解得ω＝74＋6k (k ∈Z)，∵ω>0，∴ω的最小值为74. 31．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是________．[解析]函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度得到函数f (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π4(其中ω＞0)， 将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，所以ωπ2＝k π(k ∈Z )，解得ω＝2k (k ∈Z)，故得ω的最小值是2. 32．为得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，可将函数y ＝sin x 的图象向左平移 m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度(m ，n 均为正数)，则|m －n |的最小值是( )A.π3B.2π3C.4π3D.5π3[解析]由题意可知，m ＝π3＋2k 1π，k 1为非负整数，n ＝－π3＋2k 2π，k 2为正整数，∴|m －n |＝⎪⎪⎪⎪2π3＋2(k 1－k 2)π，∴当k 1＝k 2时，|m －n |min ＝2π3. 33．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R.(1)利用“五点法”画出函数f (x )在一个周期⎣⎡⎦⎤π2，9π2上的简图．(2)先把f (x )的图象上所有点向左平移π2个单位长度，得到f 1(x )的图象；然后把f 1(x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到f 2(x )的图象；再把f 2(x )的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13倍(横坐标不变)，得到g (x )的图象，求g (x )的解析式．[解析] (1)列表取值：描出五个关键点并用光滑连线连接，得到一个周期的简图．(2)将f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4图象上所有点向左平移π2个单位长度得到f 1(x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π2－π4＝3sin 12x 的图象． 把 f 1(x )＝3sin 12x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到f 2(x )＝3sin 14x 的图象，把f 2(x )＝3sin 14x 的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13倍(横坐标不变)得到g (x )＝sin 14x 的图象．所以g (x )的解析式g (x )＝sin 14x .34．已知函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，其图象向左平移π6个单位长度后，关于y 轴对称． (1)求函数f (x )的解析式；(2)说明其图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到的．[解析] (1)将函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)图象上的所有点向左平移π6个单位长度后，所得图象的函数解析式为y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ. 因为图象平移后关于y 轴对称，所以2×0＋π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋π6(k ∈Z )，因为φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以φ＝π6.所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)将函数y ＝sin x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，所得图象的函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，即得函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象． 35．设ω＞0，若函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位长度后与原图象重合，求ω的最小值． [解析]将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位长度后， 所得图象的函数解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －4π3＋π3＋2＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－4ωπ3＋2. 因为平移后的图象与原图象重合，所以有4ωπ3＝2k π(k ∈Z )，即ω＝3k2(k ∈Z )，又因为ω＞0，所以k ≥1，故ω＝3k 2≥32.故ω的最小值为32.36．已知函数f (x )＝2sin ωx ，其中常数ω＞0.(1)若y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围； (2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a ＜b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．[解析] (1)因为ω＞0，根据题意有⎩⎨⎧－π4ω≥－π2，2π3ω≤π2⇒0＜ω≤34.所以ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，34. (2)由f (x )＝2sin 2x 可得，g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1， g (x )＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ， 即g (x )的零点相邻间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.。

通过以上四种形式的讨论和研究，得出形如y=Asin(ωx+φ)+k与y=sinx函数的图象间的关系。

1振幅变换：
y=Asinx与y=sinx图象的关系
纵坐标伸缩,横坐标不变。

纵坐标伸长A倍（A>0）
纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）。

例题1
要得到函数y= 2 sin x 的图象，只需将y= sinx 图象
纵坐标扩大到原来的2倍。

2、周期变换：
y=sinωx与y=sinx图象的关系
纵坐标不变,横坐标伸缩。

例题2
要得到函数y=sin3x 的图象，只需将y=sinx 图象
横坐标缩小到原来的1/3倍
3、平移变换：
(1)相位变换
y=sin(x+φ)与y=sinx图象的关系
左右平移，左加右减。

例题3
要得到函数y=sin（x + π/3）的图象，只需将y=sinx 图象
向左平移π/3个单位。

(2)上下平移
y=sinx+K与y=sinx图象的关系。