函数图像的三种变换

函数图象变换和零点一、函数图像1、平移变换Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x )h 左移→y =f (x +h)； 2）y =f (x ) h右移→y =f (x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ； 2）y =f (x ) h下移→y =f (x )-h 。

2、对称变换Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴y →y =f (-x ) Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴x →y = -f (x ) Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y =f (x ) 原点→y = -f (-x ) Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。

y =f (x ) xy =→直线x =f (y )Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y =f (x )ax =→直线y =f (2a -x )。

3、翻折变换Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到4、伸缩变换Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y =f (x )ay ⨯→y =af (x )Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到。

三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换①平移变换：(h>0)Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x)h 左移→y=f(x+h)；2）y=f(x) h 右移→y=f(x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x) h 上移→y=f(x)+h ；2）y=f(x) h下移→y=f(x)-h 。

②对称变换：Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； y=f(x) 轴y →y=f(-x)Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y=f(x) 轴x →y= -f(x)Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y=f(x) 原点→y= -f(-x)Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。

y=f(x) x y =→直线x=f(y)Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x)。

③翻折变换：Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到④伸缩变换：Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y=f(x)ay ⨯→y=af(x)Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标压缩(1)a >或伸长（01a <<）为原来的1a倍得到。

总结词
当函数图像在y轴方向上伸缩时，其形状和位置会发生变化，但对称性保持不变。
详细描述
沿y轴伸缩是指保持x轴不变，只改变y轴的长度。当y增大时，整个函数图像向上平移；当y减小时， 整个函数图像向下平移。这种变换不会改变函数的值，只是改变了图像在y轴上的位置。
同时沿x轴和y轴伸缩
总结词
当函数图像在x轴和y轴方向上都发生 伸缩时，其形状和位置会发生变化， 但对称性保持不变。
03
伸缩变换
沿x轴伸缩
总结词
当函数图像在x轴方向上伸缩时，其 形状和位置会发生变化，但对称性保 持不变。
详细描述
沿x轴伸缩是指保持y轴不变，只改变x 轴的长度。当x增大时，整个函数图像 向右平移；当x减小时，整个函数图像 向左平移。这种变换不会改变函数的 值，只是改变了图像在x轴上的位置。
沿y轴伸缩
详细描述
旋转角度的大小对函数图像的形状和位置有 直接影响。例如，当一个正弦函数图像顺时 针旋转90度时，它将变成一个余弦函数图像 ；而当它逆时针旋转90度时，它将变成一个 正切函数图像。此外，旋转角度也会影响图 像的位置，例如，当图像逆时针旋转30度时 ，图像上的所有点都会沿着顺时针方向移动
30度。
旋转变换实例
总结词
旋转变换是指函数图像绕原点旋转的过程。
详细描述
旋转变换可以通过将直角坐标转换为极坐标 来实现。例如，函数$y = f(x)$的图像绕原 点逆时针旋转$theta$角度后，新的函数可 以表示为$y = f(rcostheta), x = rsintheta$。
复合变换实例
总结词
复合变换是指同时进行平移、伸缩和旋转变换的过程 。
与顺时针旋转相反，如果函数图像按照逆时针方向旋转 ，那么图像上的每一个点都会沿着顺时针方向移动。例 如，如果一个函数图像是关于x轴对称的，那么当它逆时 针旋转90度时，原来的对称轴将变成垂直轴，而原来的y 轴将变成水平轴。

函数图像的三种变换一 、平移变换函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种： 沿水平方向左右平行移动比如函数()y f x =与函数()(0)y f x a a =->，由于两函数的对应法则相同，x a -与x 取值范围一样，函数的值域一样。

以上三条决定了函数的形状相同，只是函数的图象在水平方向的相对位置不同，如何将函数()y f x =的图象水平移动才能得到函数()y f x =的图象呢？因为对于函数()y f x =上的任意一点（11,x y ），在()y f x a =-上对应的点为11(,)x a y +，因此若将()y f x =沿水平方向向右平移a 个单位即可得到()(0)y f x a a =->的图象。

同样，将()y f x =沿水平方向向左平移a 个单位即可得到()(0)y f x a a =+>的图象。

沿竖直方向上下平行移动比如函数()y f x =与函数()(0)y f x b b =+>，由于函数()y f x =函数()(0)y b f x b -=>中函数y 与y b -的对应法则相同，定义域和值域一样，因此两函数形状相同，如何将函数()y f x =的图象上下移动得到函数()y b f x -=的图象呢？因为对于函数()y f x =上的任意一点（11,x y ），在()(0)y b f x b -=>上对应的点为11(,)x y b +，因此若将()y f x =沿竖直方向向上平移a 个单位即可得到()(0)y b f x b -=>的图象。

同样，将()y f x =沿竖直方向向下平移a 个单位即可得到()(0)y b f x b +=>的图象。

据此，可以推断()y f x a b =±±(0,0)a b >>为水平方向移动a 个单位，“左加右减”，竖直方向移动b 个单位，“上加下减”。

(2)如图数图象的三种变换函数的图象变换是高考中的考查热点之一，常见变换有以下3种：一、平移变换例1设fx)=X2，在同一坐标系中画出：(1)y=fx),y=fx+1)和y=f(x-1)的图象，并观察三个函数图象的关系；(2)y=fx),y=fx)+1和y=f(x)-1的图象，并观察三个函数图象的关系.解(1)如图点评观察图象得：y二fx+1)的图象可由y二fx)的图象向左平移1个单位长度得到；y二fx-1)的图象可由y二fx)的图象向右平移1个单位长度得到；y二fx)+1的图象可由y二fx)的图象向上平移1个单位长度得到；y二fx)-1的图象可由y二fx)的图象向下平移1个单位长度得到.二、对称变换_例2设fx)=x+1,在同一坐标系中画出y=fx)和y=f(—x)的图象，并观察两个函数图象的关系.解画出y二fx)二x+1与y二f(-x)二-x+1的图象如图所示.由图象可得函数y二x+1与y二-x+1的图象关于y轴对称.小点评函数y二fx)的图象与y二f(-x)的图象关于y轴对称;函数y二fx)的图象与y二-fx)的图象关于x轴对称；函数y二fx)的图象与y二-f(-x)的图象关于原点对称.三、翻折变换例3设fx )=x +l ,在不同的坐标系中画出y =fx )和y =|fx )1的图象，并观察两个函数图象的关系.解y 二fx )的图象如图1所示，y 二|fx )l 的图象如图2所示.点评要得到y 二fx )l 的图象,把y 二fx )的图象中x 轴下方图象翻折到x 轴上方，其余部分不变.例4设fx )=x +1,在不同的坐标系中画出y =fx )和y =f(\x\)的图象，并观察两个函数图象的关系.解如下图所示.点评要得到y 二f (\x \)的图象，先把y 二fx )图象在y 轴左方的部分去掉，然后把y 轴右边的对称图象补到左方即可.小结：y €f(x)——,y =f x )\将x 轴下方图象翻折上去y €f(x)——留y 轴右侧图象,y =f (\x \).并作其关于y 轴对称的图象—如图:y+y=f(x)四函数图象自身的对称性 1•函数y =f(x)的图象关于直x =a 2b对称…f (a +x )€f (b -x )…f (a +b -x)=f(x)2•函数y =f(x)的图象关于点(a,b)对称…2b -f(x)=f(2a -x)…f (x )€2b —f (2a —x )…f(a +x)+f(a -x)=2b3.若f(x)€-f (-x),则f(x)的图象关于原点对称，若f(x)=f(-x),则f(x)的图象关于y 轴对称。

（ 0,1 ）和（ 0,1 ） （ 2,0 ）和（ 2， 2 ）
三﹑对称变换
y
(-x,y) .
(-x,-y) .
(y,x) . .(x,y)
x
.(x,-y)
函数图象对称变换的规律:
1. y f ( x) y f ( x)
关于x轴对称
2. y f ( x) y f ( x)
函数图象变换的应用:
①作图﹑② 识图﹑ ③用图
(2)方程 f(x)－a＝x 的根的个数等价于 y＝f(x)与 y＝x－a 的交点的个数，所以可以借助图像进行分析．
规范解答 解
2 x－2 －1， x∈－∞，1]∪[3，＋∞ f(x)＝ 2 －x－2 ＋1， x∈1，3
作出图像如图所示．
[2 分]
(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)， 递减区间为(－∞，1]，[2,3]． [4 分] (2)原方程变形为 |x2－4x＋3|＝x＋a， 于是，设 y＝x＋a，在同一坐标系下再作出 y＝x＋a 的图 像．如图． 则当直线 y＝x＋a 过点(1,0)时，a＝－1； [6 分]
a a
1 x
a

a ax a a a
x

ax a ax
1 y 1
a a a
x

a
x
x
a a
f (1 x)
所以，函数y=f(x)的图象关于点（1/2,1/2）对称
（2）由对称性知f(1-x)+f(x)=1,所以 f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)=3。
对称变换是指两个函数图象之间的对称关系,而”满足 f(x)= f(2a-x)或f(a+x)= f(a-x)有y=f(x)关于直线x=a对称”是 指一个函数自身的性质属性,两者不可混为一谈.

函数图像的变换优秀课件
平移变换—水平平移
f(x+2)=(x+2)2
y f(x)=x2
-2 O
f(x-2)=(x-2)2
2
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
平移变换—水平平移
小结：
y=f(x) 沿 x轴
y=f(x+a) 当a>0时，向左平移 a个单位 当a<0时，向右平移
|a|个规单律位：左加右减
平移变换—竖直平移 y=x2 +1
1 1 , 1 0,1 2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
-1
y (1) x 2
-2
-3
y
4
y log2x
3
y log2x1
-4 -3 -2 -1
2
1,1
1
4,2 4,1
1,0
x 0 1 2 1 , 1 3 4
-1 2 1,1
ylog2x1
-2 1 , 2 2
（x,y)换成（x,-y)
1、 y f (x) 关于y轴对称 yf(x) 3、y f (x) 关于原点对称 yf(x)
（x,y)换成（-x,y)
（x,y)换成（-x,-y)
三、适应练习Ⅰ
1、y x2 与 y x2 的图像关于______x__轴_____对称；
2、 f (x)2x1 与g(x)21x的图像关于_____y__轴______对称；
y f(x)=x2
1
O -1
y=x2 -1 x
平移变换—竖直平移
小结：
y=f(x)沿 y轴 y =f(x) +a
当a>0时，向上平移a个单位 当a<0时，向下平移|a|个单 位

函数图像的变换规律函数图像的变换是数学中的重要概念，它描述了函数在坐标平面上的图像如何发生移动、伸缩和翻转等变化。

这些变换规律不仅在数学中有广泛应用，也在物理、经济等其他领域有着重要的意义。

本文将从平移、伸缩和翻转三个方面介绍函数图像的变换规律，并通过实例加以说明。

一、平移变换平移变换是指函数图像在坐标平面上沿着横轴或纵轴方向移动的操作。

对于一般的函数y=f(x)，如果将x坐标增加或减少一个常数a，那么对应的函数图像将向左平移a个单位；类似地，如果将y坐标增加或减少一个常数b，函数图像将向上或向下平移b个单位。

例如，考虑函数y=x^2的图像。

如果将x坐标增加2个单位，那么函数图像将向左平移2个单位；如果将y坐标减少3个单位，函数图像将向下平移3个单位。

这种平移变换可以用以下公式描述：平移后的函数图像：y=f(x-a)或y-a=f(x)二、伸缩变换伸缩变换是指函数图像在坐标平面上沿着横轴或纵轴方向发生扩张或压缩的操作。

对于一般的函数y=f(x)，如果将x坐标乘以一个常数m，那么对应的函数图像将在横轴方向上缩放为原来的1/m倍；类似地，如果将y坐标乘以一个常数n，函数图像将在纵轴方向上缩放为原来的1/n倍。

例如，考虑函数y=sin(x)的图像。

如果将x坐标乘以2，那么函数图像在横轴方向上缩放为原来的1/2倍；如果将y坐标乘以3，函数图像在纵轴方向上扩张为原来的3倍。

这种伸缩变换可以用以下公式描述：伸缩后的函数图像：y=f(mx)或y=1/n*f(x)三、翻转变换翻转变换是指函数图像在坐标平面上关于某一直线对称的操作。

对于一般的函数y=f(x)，如果将x关于直线x=a进行对称，那么对应的函数图像将在直线x=a处翻转；类似地，如果将y关于直线y=b进行对称，函数图像将在直线y=b处翻转。

例如，考虑函数y=1/x的图像。

如果将x关于直线x=1进行对称，那么函数图像将在直线x=1处翻转；如果将y关于直线y=2进行对称，函数图像将在直线y=2处翻转。

高中数学中常用的函数变换与像变化函数变换是高中数学中的重要内容之一，它可以通过对基本函数进行不同的操作，得到新的函数。

函数变换在解决实际问题、简化运算和推导函数性质等方面起着重要的作用。

而像变化则是函数变换的一种具体形式，它描述了函数图像在坐标平面上的移动、拉伸、压缩和翻转等几何变化。

本文将介绍高中数学中常用的函数变换，包括平移、反射、伸缩和旋转等，并探讨它们对函数图像的像变化产生的影响。

一、平移变换平移变换是将函数图像沿着坐标轴的方向上下左右移动一定的距离，变换后的函数图像与原图像形状相同。

假设有函数y=f(x)，如果将它沿x轴方向平移h个单位，得到的新函数为y=f(x-h)；如果将它沿y轴方向平移k个单位，得到的新函数为y=f(x)-k。

注意，当h和k为正数时，图像向右或向上平移；当h和k为负数时，图像向左或向下平移。

二、反射变换反射变换是将函数图像关于坐标轴进行对称，变换后的函数图像与原图像形状相同，只是位置发生了变化。

具体而言，对于函数y=f(x)，沿x轴进行反射得到的新函数为y=-f(x)；沿y轴进行反射得到的新函数为y=f(-x)；关于原点进行反射得到的新函数为y=-f(-x)。

反射变换改变了函数图像的正负号和坐标轴的位置。

三、伸缩变换伸缩变换是将函数图像在横轴和纵轴方向上进行拉伸或压缩，变换后的函数图像与原图像在形状上相似，但尺寸发生了改变。

对于函数y=f(x)，如果在横轴上方向上进行伸缩（或压缩），得到的新函数为y=f(kx)，其中k为正数，表示伸缩的比例；如果在纵轴上方向进行伸缩（或压缩），得到的新函数为y=k*f(x)，其中k为正数，表示伸缩的比例。

伸缩变换改变了函数图像的形状和尺寸。

四、旋转变换旋转变换是将函数图像按照一定角度绕坐标原点旋转，变换后的函数图像与原图像在形状上相似，但位置和方向改变了。

对于函数y=f(x)，如果按逆时针方向旋转α角度（0≤α≤360°），得到的新函数为y=f(x*cosα-x*sinα)。

的图像可由y＝f(x)的图像向上平移b个单位 而得到．总之， 对于平移变换，记忆口诀为：左加右减，上加下减．
(2)对称变换 y＝f(－x)与y＝f(x)的图像关于 y轴 y＝－f(x)与y＝f(x)的图像关于 x轴 对称； 对称； 对称；
y＝－f(－x)与y＝f(x)的图像关于 原点
y＝|f(x)|的图像可将y＝f(x)的图像在x轴下方的部分
AD，当点C落在X轴上时，h′＝CF，显然AD＝CF，即 当“中心点”M位于最高处时，“最高点”与X轴的距离 相等，选项B不符，故选A.
【答案】 A
·高中总复习（第1轮）·理科数学 ·全国版
立足教育 开创未来
► 探究点3 判断、证明函数的单调性 题型三：函数图象的应用及对称问题 3. 已知f(x)=| x2 -4x+3|. (1)求f(x)的单调区间; (2)求m的取值范围， 使方程f(x)=mx有4个不同实根.
方法二 y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像分别由y＝f(x) 与y＝f(－x)的图像同时向右平移一个单位而得，又y＝f(x) 与y＝f(－x)的图像关于y轴对称． ∴y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于直线x＝1对 称．
【答案】 (1)g(x)＝－ln(x－1) (2)D
变式
(1)已知函数 f(2x＋1)是奇函数， 则函数 y＝f(2x) )
【解析】 如图所示，不妨设正三角形ABC的边长 为a，记“中心点”M与X轴的距离为h，记“最高点”与 X轴的距离为h′.由图可知，当三段弧的中点落在X轴上 时，h最小，此时h＝MD；当点A、B、C落在X轴上时， h最大，h＝MC，故“中心点”M的位置先低后高，呈周 期性变化，排除选项C与D.当点D落在X轴上时，h′＝

函数图像的变换函数图像的变换1、平移变换函数y = f(x)的图像向右平移a个单位得到函数y = f(x - a)的图像;向上平移b个单位得到函数y =f(x)+ b 的图像 ;左平移a个单位得到函数y = f(x + a)的图像;向下平移b个单位得到函数y =f(x)- b 的图像(a ，b&gt;0)。

2、伸缩变换函数 y = f(x)的图像上的点保持横坐标不变纵坐标变为原来的k倍(01时，伸)得到函数 y = k f(x)的图像;函数 y = f(x)的图像上的点保持纵坐标不变横坐标变为原来的1/k倍(01时，缩)得到函数y = f(k x)的图像(k&gt;0，且 k &ne;1)。

3、对称变换(1)函数y = f(x)的图象关于y轴对称的图像为 y =f(-x);关于x轴对称的图像为y =-f(x);关于原点对称的图像为y =-f(-x)。

(2)函数y = f(x)的图象关于x=a对称的图像为y =f(2a-x);关于y=b对称的图像为y =2b-f(x);关于点(a，b)中心对称的图像为y =2b-f(2a-x)。

(3)绝对值问题①函数 y =f(x)x轴及其上方的图像保持不变，把下f(bx)=f(2a -bx)成立，则函数 f(x)的图像关于x=a对称;(b&ne;0)(3)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(a + x)=-f(a -x)成立，则函数 f(x)的图像关于点(a,0)对称;(4)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(bx)=-f(2a -bx)成立，则函数 f(x)的图像关于(a,0)对称;(b&ne;0)(5)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(a + x)=2b -f(a -x)成立，则函数 f(x)的图像关于点(a,b)对称;(6)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(x)=2b -f(2a -x)成立，则函数 f(x)的图像关于(a,b)对称。

函数图象的几种常见变换⑪ 平移变换：左右平移---“左加右减”（注意是针对x 而言）；上下平移----“上加下减”(注意是针对()f x 而言).⑫翻折变换：()|()|→f x f x ；“下沿X 轴翻折到上面”()(||)→f x f x .“右往左翻折—沿Y 轴”⑬对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.②证明图像1C 与2C 的对称性,即证1C 上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在2C 上,反之亦然.③函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0x =(y 轴)对称；函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于直线0y =(x 轴)对称；④若函数()y f x =对x R ∈时，()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-恒成立,则()y f x =图像关 于直线x a =对称；⑤若()y f x =对x R ∈时,()()f a x f b x +=-恒成立,则()y f x =图像关于直线2a b x +=对称；⑥函数()y f a x =+,()y f b x =-的图像关于直线2b a x -=对称(由a x b x +=-确定)；⑦函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于直线2a b x +=对称；⑧函数()y f x =,()y A f x =-的图像关于直线2A y =对称(由()()2f x A f x y +-=确定)；⑨函数()y f x =与()y f x =--的图像关于原点成中心对称；函数()y f x =,()y n f m x =--的图像关于点22(,)m n对称；⑩函数()y f x =与函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称；曲线1C ：(,)0f x y =,关于y x a =+,y x a =-+的对称曲线2C 的方程为(,)0f y a x a -+=(或(,)0f y a x a -+-+=；曲线1C ：(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线2C 方程为：(2,2)0f a x b y --=. 9.函数的周期性：⑪若()y f x =对x R ∈时()()f x a f x a +=-恒成立,则 ()f x 的周期为2||a ；⑫若()y f x =是偶函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为2||a ；⑬若()y f x =奇函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为4||a ；⑭若()y f x =关于点(,0)a ,(,0)b 对称,则()f x 的周期为2||a b -；⑮()y f x =的图象关于直线x a =,()x b a b =≠对称,则函数()y f x =的周期为2||a b -；⑯()y f x =对x R ∈时,()()f x a f x +=-或1()()f x f x a +=-,则()y f x =的周期为2||a ；。

函数图像的变换有四种主要情况，它们分别是平移、缩放、翻转和旋转。

1. 平移（Translation）：平移是指将函数图像沿着坐标轴的方向移动一定的距离。

平移可以分为水平平移和垂直平移两种情况。

水平平移表示在x 轴方向上移动函数图像，垂直平移表示在y 轴方向上移动函数图像。

平移可以使函数图像的位置发生变化，但不改变其形状。

2. 缩放（Scaling）：缩放是指根据比例因子将函数图像在x 轴和y 轴方向上进行拉伸或压缩。

缩放可以分为水平缩放和垂直缩放两种情况。

水平缩放会改变函数图像在x 轴上的横向长度，垂直缩放会改变函数图像在y 轴上的纵向长度。

缩放会改变函数图像的形状和大小。

3. 翻转（Reflection）：翻转是指将函数图像关于某个轴进行对称操作。

常见的翻转有关于x 轴的翻转和关于y 轴的翻转。

关于x 轴的翻转会使函数图像在x 轴上下翻转，而关于y 轴的翻转会使函数图像在y 轴左右翻转。

翻转会改变函数图像的对称性和方向。

4. 旋转（Rotation）：旋转是指将函数图像绕一个旋转中心点
进行旋转角度的变换。

旋转可以使函数图像在平面上发生旋转，改变其角度和位置。

旋转可以是顺时针旋转或逆时针旋转。

这些函数图像变换情况可以单独或组合使用，可以通过改变函数的参数或对函数表达式进行修改来实现。

它们在数学和图形学中被广泛应用，用于研究和描述函数的性质和图像的变化。

函数图象的变换资料编号:20190725一、函数图象的平移变换在平面直角坐标系中,函数图象的平移变换分为上下平移变换和左右平移变换两种.图象变换后,函数的解析式也发生了有规律的变化. （1）上下平移变换将函数的图象沿轴方向向上或向下平移个单位长度,得到函)(x f y =y ()0>b ()0<b b 数的图象,即遵循“上加下减”的原则. b x f y +=)(（2）左右平移将函数的图象沿轴方向向左或向右平移个单位长度,得到函)(x f y =x ()0>a ()0<a a 数的图象,即遵循“左加右减”的原则.)(a x f y +=例1. 将函数的图象向上和向下平移2个单位长度,画出平移后的函数的图象.x y =解:函数,即函数.x y =()()⎩⎨⎧<-≥=00x x x x y 将函数的图象向上平移2个单位长度,得到函数的图象,如图（1）所示;将x y =2+=x y 函数的图象向下平移2个单位长度,得到函数的图象,如图（2）所示.x y =2-=x y图图1图图图2图例2. 将函数的图象向左平移1个单位长度,画出平移后的函数的图象. x y 1=解:将函数的图象向左平移1个单位长度,得到函数的图象,如图（3）所示.x y 1=11+=x y图图3图说明:在图（3）中,反比例函数的图象无限趋近于轴和轴,但不相交.因此把轴和xy 1=x y x 轴叫做双曲线的两条渐近线.所以,函数的图象的两条渐近线分别是轴y x y 1=11+=x y x 和直线.1-=x 例3. 将函数的图象向右平移1个单位长度,画出平移后的函数的图象. 221)(x x f =解:将函数的图象向右平移1个单位长度,得到函数的图象,如图221)(x x f =()2121)(-=x x f （4）所示.图图4图1)2二、函数图象的对称变换在同一平面直角坐标系中,下列函数图象的对称关系为: （1）函数与函数的图象关于轴对称; )(x f y =)(x f y -=x （2）函数与函数的图象关于轴对称;)(x f y =)(x f y -=y（3）函数与函数的图象关于原点对称（即关于原点成中心对称）. )(x f y =)(x f y --=根据以上两个函数图象的对称关系,作出其中一个函数的图象,可以作出相应的另一个函数的图象.例4. 已知函数的图象如图（5）所示,画出函数的大致图象.)(x f y =)1(x f y -=图图5图解:∵ ,∴先作出函数的图象关于轴对称的函数()[]1)1(--=-=x f x f y )(x f y =y 的图象,如图（6）所示,再把函数的图象向右平移1个单位长度,即可得)(x f y -=)(x f y -=到函数的图象,如图（7）所示.)1(x f y -=图图6图图图7图三、函数图象的翻折变换在同一平面直角坐标系中,通过对函数图象的翻折变换,可以得到函数)(x f y =)(x f y =和的图象.)(x f y =（1）要作出函数的图象,可先作出函数的图象,然后保留轴上及其上方)(x f y =)(x f y =x的图象,把轴下方的图象翻折到轴上方即可;x x （2）要作出函数的图象,可先作出函数的图象,然后保留轴上及其右侧)(x f y =)(x f y =y 的图象,把轴右侧的图象翻折到轴左侧即可.y y 例5. 画出函数的大致图象. 132+-=x x y 解: ()1521512132+-=+-+=+-=x x x x x y 先作出函数然后把函数向左平移1个单位长度,得到函数,5的图象x y -=的图象xy 5-=的图象,再把函数的图象向上平移2个单位长度,即可得到函数15+-=x y 15+-=x y 的大致图象,如图（8）所示.132+-=x x y图图8图说明:在图（8）中,直线和直线是函数的图象的两条渐近线. 1-=x 2=y 132+-=x x y 例6. 作出函数的大致图象.322--=x x y 解:先作出函数的图象,然后把轴下方的图象翻折到轴上方即可得到函数322--=x x y x x 的图象,如图（9）所示.322--=x x y图图9图3说明:事实上,函数为绝对值函数,可化为分段函数:322--=x x y . ()()⎩⎨⎧<<-++-≥-≤--=--=3132313232222x x x x x x x x x y 或例7. 作出函数的大致图象.322--=x x y 解:先作出函数的图象,然后保留其在轴上及其右侧的图象,把轴右侧的图322--=x x y y y 象翻折到轴左侧即可得到函数的图象,如图（10）所示.y 322--=x x y x 3图图9图说明:事实上,.()()⎩⎨⎧<-+≥--=--=03203232222x x x x x x x x y 习题1. 若方程有四个互不相等的实数根,则实数的取值范围是________. m x x =+-342m 提示:根据数形结合思想,构造两个函数:和常数函数,将方程的根的个342+-=x x y m y =数转化为两个函数图象的交点个数问题.习题2. 将函数的图象向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度,所()3122-+=x y 得的图象对应的函数解析式为________________.习题3. 画出函数的图象,并根据图象指出函数的值域.1322--+=x x x y。

函数图像的三种变换一 、平移变换函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种： 沿水平方向左右平行移动比如函数()y f x =与函数()(0)y f x a a =->，由于两函数的对应法则相同，x a -与x 取值范围一样，函数的值域一样。

以上三条决定了函数的形状相同，只是函数的图象在水平方向的相对位置不同，如何将函数()y f x =的图象水平移动才能得到函数()y f x =的图象呢？因为对于函数()y f x =上的任意一点（11,x y ），在()y f x a =-上对应的点为11(,)x a y +，因此若将()y f x =沿水平方向向右平移a 个单位即可得到()(0)y f x a a =->的图象。

同样，将()y f x =沿水平方向向左平移a 个单位即可得到()(0)y f x a a =+>的图象。

沿竖直方向上下平行移动比如函数()y f x =与函数()(0)y f x b b =+>，由于函数()y f x =函数()(0)y b f x b -=>中函数y 与y b -的对应法则相同，定义域和值域一样，因此两函数形状相同，如何将函数()y f x =的图象上下移动得到函数()y b f x -=的图象呢？因为对于函数()y f x =上的任意一点（11,x y ），在()(0)y b f x b -=>上对应的点为11(,)x y b +，因此若将()y f x =沿竖直方向向上平移a 个单位即可得到()(0)y b f x b -=>的图象。

同样，将()y f x =沿竖直方向向下平移a 个单位即可得到()(0)y b f x b +=>的图象。

据此，可以推断()y f x a b =±±(0,0)a b >>为水平方向移动a 个单位，“左加右减”，竖直方向移动b 个单位，“上加下减”。

函数图像的变换及应用函数图像的变换指的是通过对函数图像进行一系列的操作，使得原函数图像在坐标系中发生平移、伸缩、翻折等变化，从而得到新的函数图像。

这些变换可以通过改变函数的参数或者利用一些特定的变换公式来实现。

函数图像的变换有很多种，下面列举几种常见的变换及其应用：1. 平移变换：平移变换是将函数图像在坐标系上沿着横轴或者纵轴方向进行移动。

对于函数y=f(x)，平移变换可以表示为y=f(x-a)+b，其中a表示横向平移的距离，b表示纵向平移的距离。

平移变换的应用场景有很多，例如对于温度变化的曲线图，可以通过平移变换来调整图像在时间轴上的位置，实现对曲线的观察和比较。

2. 伸缩变换：伸缩变换是改变函数图像的尺度，使得函数图像的宽度或者高度发生变化。

对于函数y=f(x)，伸缩变换可以表示为y=a*f(bx)，其中a控制纵向的伸缩比例，b控制横向的伸缩比例。

伸缩变换可以用来调整图像的大小，使得函数曲线更加清晰或者适应特定的分析需求。

3. 翻折变换：翻折变换是将函数图像沿着坐标轴进行翻转。

对于函数y=f(x)，翻折变换可以表示为y=-f(x)（沿着x轴翻折）或者y=f(-x)（沿着y轴翻折）。

翻折变换可以用来分析函数的对称性质，例如判断函数是否关于x轴或者y轴对称。

4. 拉伸变换：拉伸变换是通过改变函数图像的形状来实现对函数的变换。

拉伸变换可以是横向拉伸或者纵向拉伸。

对于函数y=f(x)，横向拉伸可以表示为y=f(cx)，纵向拉伸可以表示为y=c*f(x)，其中c是大于1的常数。

拉伸变换可以用来调整图像的形状，使得函数曲线更加符合实际情况或者更容易进行分析。

5. 压缩变换：压缩变换与拉伸变换相反，是通过改变函数图像的形状来实现对函数的变换。

压缩变换可以是横向压缩或者纵向压缩。

对于函数y=f(x)，横向压缩可以表示为y=f(x/c)，纵向压缩可以表示为y=(1/c)*f(x)，其中c是大于1的常数。

压缩变换可以用来调整图像的形状，使得函数曲线更加符合实际情况或者更容易进行分析。

总结词
水平平移是指函数图像在水平方向上移动一定的距离。
详细描述
水平平移不改变函数的值，只是改变了图像的位置。对于函数y=f(x)，若图像向 右平移a个单位，则新的函数为y=f(x-a)；若图像向左平移a个单位，则新的函 数为y=f(x+a)。
垂直平移
总结词
垂直平移是指函数图像在垂直方向上移动一定的距离。
函数图象的变换
• 函数图象变换概述 • 平移变换 • 伸缩变换 • 翻折变换 • 旋转变换 • 应用实例
01
函数图象变换概述
函数图象变换的定义
01
函数图象变换是指通过平移、伸 缩、翻转等几何变换操作，改变 函数图象的位置、形状和大小。
02
这些变换操作可以通过代数表达 式或矩阵变换来实现，使得函数 图象在坐标系中按照特定的规则 进行移动、旋转和缩放。
详细描述
当函数图像在y轴方向上伸缩时，其形状和大小会发生变化，但x轴上的比例保持不变。例如，将函数y=f(x)的图 像在y轴方向上放大2倍，得到新的函数y=2f(x)。
斜向伸缩
要点一
总结词
斜向伸缩是指同时沿x轴和y轴方向对函数图像进行放大或 缩小。
要点二
详细描述
当函数图像在x轴和y轴方向上同时伸缩时，其形状和大小 会发生变化，x轴和y轴上的比例都会改变。例如，将函数 y=f(x)的图像在x轴方向上放大2倍，在y轴方向上放大3倍 ，得到新的函数y=3f(2x)。
逆时针旋转
总结词
当函数图像按照逆时针方向旋转时，其形状和大小也不会发生变化，同样只是位置发生 了移动。
详细描述
与顺时针旋转相反，当函数图像按照逆时针方向旋转一定的角度时，每个点的坐标同样 会发生变化，但方向是远离原点。同样地，这种变化也可以用三角函数的性质来描述。