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函数图象变换和零点一、函数图像1、平移变换Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x )h 左移→y =f (x +h)； 2）y =f (x ) h右移→y =f (x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ； 2）y =f (x ) h下移→y =f (x )-h 。
2、对称变换Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴y →y =f (-x ) Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴x →y = -f (x ) Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y =f (x ) 原点→y = -f (-x ) Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。
y =f (x ) xy =→直线x =f (y )Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y =f (x )ax =→直线y =f (2a -x )。
3、翻折变换Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到4、伸缩变换Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y =f (x )ay ⨯→y =af (x )Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到。
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换①平移变换：(h>0)Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x)h 左移→y=f(x+h)；2）y=f(x) h 右移→y=f(x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x) h 上移→y=f(x)+h ；2）y=f(x) h下移→y=f(x)-h 。
②对称变换：Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； y=f(x) 轴y →y=f(-x)Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y=f(x) 轴x →y= -f(x)Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y=f(x) 原点→y= -f(-x)Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。
y=f(x) x y =→直线x=f(y)Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x)。
③翻折变换：Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到④伸缩变换：Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y=f(x)ay ⨯→y=af(x)Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标压缩(1)a >或伸长（01a <<）为原来的1a倍得到。
函数图像的三种变换一 、平移变换函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种： 沿水平方向左右平行移动比如函数()y f x =与函数()(0)y f x a a =->，由于两函数的对应法则相同，x a -与x 取值范围一样，函数的值域一样。
以上三条决定了函数的形状相同，只是函数的图象在水平方向的相对位置不同，如何将函数()y f x =的图象水平移动才能得到函数()y f x =的图象呢？因为对于函数()y f x =上的任意一点（11,x y ），在()y f x a =-上对应的点为11(,)x a y +，因此若将()y f x =沿水平方向向右平移a 个单位即可得到()(0)y f x a a =->的图象。
同样，将()y f x =沿水平方向向左平移a 个单位即可得到()(0)y f x a a =+>的图象。
沿竖直方向上下平行移动比如函数()y f x =与函数()(0)y f x b b =+>，由于函数()y f x =函数()(0)y b f x b -=>中函数y 与y b -的对应法则相同，定义域和值域一样，因此两函数形状相同，如何将函数()y f x =的图象上下移动得到函数()y b f x -=的图象呢？因为对于函数()y f x =上的任意一点（11,x y ），在()(0)y b f x b -=>上对应的点为11(,)x y b +，因此若将()y f x =沿竖直方向向上平移a 个单位即可得到()(0)y b f x b -=>的图象。
同样，将()y f x =沿竖直方向向下平移a 个单位即可得到()(0)y b f x b +=>的图象。
据此，可以推断()y f x a b =±±(0,0)a b >>为水平方向移动a 个单位，“左加右减”，竖直方向移动b 个单位，“上加下减”。
(2)如图数图象的三种变换函数的图象变换是高考中的考查热点之一，常见变换有以下3种：一、平移变换例1设fx)=X2，在同一坐标系中画出：(1)y=fx),y=fx+1)和y=f(x-1)的图象，并观察三个函数图象的关系；(2)y=fx),y=fx)+1和y=f(x)-1的图象，并观察三个函数图象的关系.解(1)如图点评观察图象得：y二fx+1)的图象可由y二fx)的图象向左平移1个单位长度得到；y二fx-1)的图象可由y二fx)的图象向右平移1个单位长度得到；y二fx)+1的图象可由y二fx)的图象向上平移1个单位长度得到；y二fx)-1的图象可由y二fx)的图象向下平移1个单位长度得到.二、对称变换_例2设fx)=x+1,在同一坐标系中画出y=fx)和y=f(—x)的图象，并观察两个函数图象的关系.解画出y二fx)二x+1与y二f(-x)二-x+1的图象如图所示.由图象可得函数y二x+1与y二-x+1的图象关于y轴对称.小点评函数y二fx)的图象与y二f(-x)的图象关于y轴对称;函数y二fx)的图象与y二-fx)的图象关于x轴对称；函数y二fx)的图象与y二-f(-x)的图象关于原点对称.三、翻折变换例3设fx )=x +l ,在不同的坐标系中画出y =fx )和y =|fx )1的图象，并观察两个函数图象的关系.解y 二fx )的图象如图1所示，y 二|fx )l 的图象如图2所示.点评要得到y 二fx )l 的图象,把y 二fx )的图象中x 轴下方图象翻折到x 轴上方，其余部分不变.例4设fx )=x +1,在不同的坐标系中画出y =fx )和y =f(\x\)的图象，并观察两个函数图象的关系.解如下图所示.点评要得到y 二f (\x \)的图象，先把y 二fx )图象在y 轴左方的部分去掉，然后把y 轴右边的对称图象补到左方即可.小结：y €f(x)——,y =f x )\将x 轴下方图象翻折上去y €f(x)——留y 轴右侧图象,y =f (\x \).并作其关于y 轴对称的图象—如图:y+y=f(x)四函数图象自身的对称性 1•函数y =f(x)的图象关于直x =a 2b对称…f (a +x )€f (b -x )…f (a +b -x)=f(x)2•函数y =f(x)的图象关于点(a,b)对称…2b -f(x)=f(2a -x)…f (x )€2b —f (2a —x )…f(a +x)+f(a -x)=2b3.若f(x)€-f (-x),则f(x)的图象关于原点对称，若f(x)=f(-x),则f(x)的图象关于y 轴对称。
函数图像的变换规律函数图像的变换是数学中的重要概念，它描述了函数在坐标平面上的图像如何发生移动、伸缩和翻转等变化。
这些变换规律不仅在数学中有广泛应用，也在物理、经济等其他领域有着重要的意义。
本文将从平移、伸缩和翻转三个方面介绍函数图像的变换规律，并通过实例加以说明。
一、平移变换平移变换是指函数图像在坐标平面上沿着横轴或纵轴方向移动的操作。
对于一般的函数y=f(x)，如果将x坐标增加或减少一个常数a，那么对应的函数图像将向左平移a个单位；类似地，如果将y坐标增加或减少一个常数b，函数图像将向上或向下平移b个单位。
例如，考虑函数y=x^2的图像。
如果将x坐标增加2个单位，那么函数图像将向左平移2个单位；如果将y坐标减少3个单位，函数图像将向下平移3个单位。
这种平移变换可以用以下公式描述：平移后的函数图像：y=f(x-a)或y-a=f(x)二、伸缩变换伸缩变换是指函数图像在坐标平面上沿着横轴或纵轴方向发生扩张或压缩的操作。
对于一般的函数y=f(x)，如果将x坐标乘以一个常数m，那么对应的函数图像将在横轴方向上缩放为原来的1/m倍；类似地，如果将y坐标乘以一个常数n，函数图像将在纵轴方向上缩放为原来的1/n倍。
例如，考虑函数y=sin(x)的图像。
如果将x坐标乘以2，那么函数图像在横轴方向上缩放为原来的1/2倍；如果将y坐标乘以3，函数图像在纵轴方向上扩张为原来的3倍。
这种伸缩变换可以用以下公式描述：伸缩后的函数图像：y=f(mx)或y=1/n*f(x)三、翻转变换翻转变换是指函数图像在坐标平面上关于某一直线对称的操作。
对于一般的函数y=f(x)，如果将x关于直线x=a进行对称，那么对应的函数图像将在直线x=a处翻转；类似地，如果将y关于直线y=b进行对称，函数图像将在直线y=b处翻转。
例如，考虑函数y=1/x的图像。
如果将x关于直线x=1进行对称，那么函数图像将在直线x=1处翻转；如果将y关于直线y=2进行对称，函数图像将在直线y=2处翻转。
高中数学中常用的函数变换与像变化函数变换是高中数学中的重要内容之一，它可以通过对基本函数进行不同的操作，得到新的函数。
函数变换在解决实际问题、简化运算和推导函数性质等方面起着重要的作用。
而像变化则是函数变换的一种具体形式，它描述了函数图像在坐标平面上的移动、拉伸、压缩和翻转等几何变化。
本文将介绍高中数学中常用的函数变换，包括平移、反射、伸缩和旋转等，并探讨它们对函数图像的像变化产生的影响。
一、平移变换平移变换是将函数图像沿着坐标轴的方向上下左右移动一定的距离，变换后的函数图像与原图像形状相同。
假设有函数y=f(x)，如果将它沿x轴方向平移h个单位，得到的新函数为y=f(x-h)；如果将它沿y轴方向平移k个单位，得到的新函数为y=f(x)-k。
注意，当h和k为正数时，图像向右或向上平移；当h和k为负数时，图像向左或向下平移。
二、反射变换反射变换是将函数图像关于坐标轴进行对称，变换后的函数图像与原图像形状相同，只是位置发生了变化。
具体而言，对于函数y=f(x)，沿x轴进行反射得到的新函数为y=-f(x)；沿y轴进行反射得到的新函数为y=f(-x)；关于原点进行反射得到的新函数为y=-f(-x)。
反射变换改变了函数图像的正负号和坐标轴的位置。
三、伸缩变换伸缩变换是将函数图像在横轴和纵轴方向上进行拉伸或压缩，变换后的函数图像与原图像在形状上相似，但尺寸发生了改变。
对于函数y=f(x)，如果在横轴上方向上进行伸缩（或压缩），得到的新函数为y=f(kx)，其中k为正数，表示伸缩的比例；如果在纵轴上方向进行伸缩（或压缩），得到的新函数为y=k*f(x)，其中k为正数，表示伸缩的比例。
伸缩变换改变了函数图像的形状和尺寸。
四、旋转变换旋转变换是将函数图像按照一定角度绕坐标原点旋转，变换后的函数图像与原图像在形状上相似，但位置和方向改变了。
对于函数y=f(x)，如果按逆时针方向旋转α角度（0≤α≤360°），得到的新函数为y=f(x*cosα-x*sinα)。
函数图像的三种变换
函数在中学数学及大学数学中都是极其重要的内容，函数思想是解决函数问题的理论源泉; 函数的性质是解决函数问题的基础，而函数的图象则是函数性质的具体的直观的反应。
在高中阶段函数图象的变化方式主要有以下三种：
一 、平移变换
函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种：
1、 沿水平方向左右平行移动
比如函数)(x f y =与函数)0)((>-=a a x f y ，由于两函数的对应法则相同，x a x 与-取值范围一
样，函数的值域一样。
以上三条决定了函数的形状相同，只是函数的图象在水平方向的相对位置不同，如何将函数)(x f y =的图象水平移动才能得到函数)0)((>-=a a x f y 的图象呢？因为对于函数)(x f y =上的任意一点（11,y x ），在)(a x f y -=上对应的点为),(11y a x +，因此若将)(x f y =沿水平方向向右平移a 个单位即可得到)0)((>-=a a x f y 的图象。
同样，将)(x f y =沿水平方向向左平移a 个单位即可得到
)0)((>+=a a x f y 的图象。
2、沿竖直方向上下平行移动
比如函数)(x f y =与函数)0()(>+=b b x f y ，由于函数)(x f y =函数)0)((>=-b x f b y 中函数
y 与b y -的对应法则相同，定义域和值域一样，因此两函数形状相同，如何将函数)(x f y =的图象上下
移动得到函数)(x f b y =-的图象呢？因为对于函数)(x f y =上的任意一点（11,y x ），在)0)((>=-b x f b y 上对应的点为),(11b y x +，因此若将)(x f y =沿竖直方向向上平移a 个单位即可得到)0)((>=-b x f b y 的图象。
同样，将)(x f y =沿竖直方向向下平移a 个单位即可得到)0)((>=+b x f b y 的图象。
函数图象的平移变化可以概括地总结为：
（1）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>-=-b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图
象沿水平方向向右平移a 个单位，然后再沿竖直方向向上平移b 个单位即可。
（2）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>+=+b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向左平移a 个单位，然后再沿竖直方向向下平移b 个单位即可。
（3）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>+=-b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向左平移a 个单位，然后再沿竖直方向向上平移b 个单位即可。
（4）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>-=+b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向右平移a 个单位，然后再沿竖直方向向下平移b 个单位即可。
函数图象的平移的实质是有变量本身变化情况所决定的。
3、例题讲解
例1. 为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象上所有的点（ ）
A. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
分析 把函数x y 2=的图象向右平移3个单位，然后再向下平移1个单位，就得到函数123-=-x y 的图象。
故，本题选A 例2 把函数的图象向右平移1单位，再向下平移1个单位后，所得图象对应的函数
解析式是（ ）．
（A ） （B ） （C ）
（D ）
分析 把已知函数图象向右平移1个单位，
即把其中自变量
换成
，得
.
再向下平移1个单位，即得，
故本题选C ．
二、对称变换
图象的对称性是函数在对称区间上值域具有不同特点的直观反应，函数图象的对称性反应在两个方面，一是两个函数图象间的对称情况，二是一个函数图象本身的对称情况。
两个函数图象间的对称情况有两种形式：一是两图关于某条直线对称，二是两图象关于某点呈中心对称。
1、一般地，函数)(x a f y +=与)(x b f y -=的图象关于直线2
a b x -=对称。
证明：在函数)(x a f y +=的图象上任取一点M （00,y x ），则M 关于支线2
a b x -=的对称点为'M
（00,y x a b --）。
∵M(00,y x )在直线)(x a f y +=上，∴00)(y x a f =+，∴
)]([0x a b b f ---=)(0x a f +=0y ，'
M （00,y x a b --）在函数)(x b f y -=上，同理，在函
数)(x b f y -=上任意取一点M ，关于直线2
a b x -=的对称点也在函数
)(x a f y +=的图象上。
上
述结论得证。
2、两个函数图象间的常见的轴对称情况有以下几种情况：对于函数)(x f ：
（1） 关于
y 轴对称的函数解析式为)(x f y -=；
（2） 关于x 轴对称的函数解析式为
)(x f y -=；
（3） 关于x y =轴对称的函数解析式为)()(1y f x x f y ==-或；
（4） 关于
x y -=轴对称的函数解析式为)()(1y f x x f y -=---=-或。
一般地，函数)(x f y =的图象关与点),(b a P 对称的函数图象的解析式为)2(2x a f b y --=对
称。
证明：不妨设),('''
y x M
为)(x f y =的图象上任一点，则)(''x f y =，此点关于点),(b a P 的
对称点为)2,2(''
y b x a M --，满足)2(2x a f b y --=，∴)(x f y =的图象关于点),(b a P 对
称的函数解析式为
)2(2x a f b y --=。
例如：关于原点对称的函数解析式为)(x f y --=。
3、一个函数图象自身的对称情况有两种表现形式：一是轴对称图象；一是中心对称图象。
4、如果一个函数满足
x R a x a f x a f ,),()(∈+=-取到定义域内任一数，则此函数的图象关于
a x = 是轴对称图形。
5、一般地，对于函数)(x f y =在定义域内满足),()(x b f x a f -=+则函数)(x f y =的图象
关于直线2
b
a x
+=
对称。
证明：在函数
)(x f y =上任取一点)
,(00y x M ，则
M
关于直线
2
b a x +=
的对称点为
),(00'y x b a M -+，且)(00x f y =。
∵
00000)()(()]([)(y x f x b b f x b a f x b a f ==--=-+=-+
∴点'
M 在)(x f y =的图象上，
∴函数
)(x f y =的图象关于直线2
b
a x +=
对称。
函数图象呈中心对称图形的函数都是奇函数或由奇函数经过平移后的函数，其对称中心有两种情况，一是对称中心在函数图象上，如函数
R x x y ∈=,3；二是对称中心不在函数图象上，如函数,
1x
y =如
何确定一个函数的对称中心，可以通过为上面的两种形式，如求函数2
3
-+=x x y 的对称中心，可以把函
数转化为2
51-=
-x y 的形式，可以发现它是由函数x y 5=右平移两个单位，然后向上平移1个单位得
到的，因此所求函数的对称中心为（2，1）点。
函数本身的对称性与函数的其他性质有密切的联系。
若一个函数的图象关于
y
轴对称，则其定义域与值域之间存在多对一的映射关系，其对称点为
),(),(y x y x -→；图象关于原点对称的函数其定义域与值域之间存在一一对应的关系，其点的对称特点
为),(),(y x y x --→。
图象关于y 轴对称的函数单调性一般具有双重性，图象关于原点对称的函数单调性一般具有单一性。
图象关于y 轴对称的函数为偶函数，图象关于原点对称的函数为奇函数。
6.例题讲解 例3 作函数
1
1
+=
x y 的图象． 分析 已知函数的定义域为R ，且显然为偶函数．又当0≥x 时，11+=
x y ，它的图象可由x
y 1
=
1的图象向左平移个单位，并截取所得图象在的部分，最后再作所得图形关于轴对称的图形，
即将所要求的函数图象（如图）．
三、伸缩变换
在中学阶段伸缩变换的实质是函数图象的周期及振幅的改变，其主要内容集中在三角函数部分。
在
一些抽象的函数中也存在这种变换，如：已知直线1=x
是函数)2(x f y =图象的一条对称轴，求函数
)3(x f -图象的一条对称轴。
