十字相乘法综合应用共22页文档

1、完全平方式是二次三项式的特殊形式，同样可以用十字相乘法分解因式， 1682+-x x 的十字相乘式是2、能把二次三项式2422--x x 分解因式的十字相乘式是 （ ）3、分解因式: 1492++m m4、分解因式: 2292-+m m5、分解因式: 1892+-m m6、分解因式: 2292--m m7、分解因式: 20122-+-b b8、分解因式: 1452+--a a9、分解因式:302-+x x 10、分解因式:24112++y y11、分解因式: 38212+-a a12、分解因式:2292+-n n13、根据公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++，求下列各式中指定字母的值． （１）若)6)(3(92++=++x x m x x ，则____;=m （２）若)2)(1(2++=++x x n mx x ，则______;____,==n m （3） 若)3)(2(2--=--x x n mx x ，则.__________,==n m14、如果5,4=-=+mn n m ，那么关于x 的二次三项式n m mnx x ---2分解因式的结果是 （ ）Ａ．)4)(1(--x x Ｂ．)4)(1(++x xＣ．)4)(1(-+x x Ｄ．)4)(1(+-x x15、用十字相乘法将下列关于x 的二次三项式分解因式：（１）mn x n m x 3)3(2+++； （２）1222---a ax x ．16、分解因式: 281122+-ab b a17、分解因式: 65242-+ab b a18、分解因式:1224-+y y19、分解因式:8224--m m20、分解因式:2142244--y x y x21、分解因式: 22936--a a22、分解因式:20)()(2-+-+n m n m23、分解因式:20)()(2-+++n m n m24、分解因式:6)(5)(2++++n m n m25、分解因式:4)(5)(2++-+n m n m26、分解因式:20)2(9)2(222+-+-x x x x27、分解因式:3)3(4)3(222++-+m m m m28、分解因式:24)(10)(222--+-x x x x29、分解因式:24)10)((22----x x x x30、分解因式:22127y xy x +-31、分解因式:22127y xy x ++32、分解因式: 22187y xy x --33、分解因式: 22187y xy x -+34、分解因式：2232816ab b a a+-35、分解因式：43222611yxyyx--36、分解因式：zxyyzxzx22365+-37、分解因式：223424273xaxaa---38、分解因式:2 2403yxyx--39、分解因式:2 2338baba-+40、分解因式:234283ttt--41、分解因式:sss12423+--42、分解因式:22224)3(4)3(yyyy+-+-43、分解因式:532445yyxyx-+-44、分解因式:1322+-xx45、分解因式:1322++xx46、分解因式:6242--yy47、分解因式:6242-+yy48、分解因式:221522++mm49、分解因式:221522+-mm50、分解因式:2 26nmnm--51、分解因式:2 26nmnm-+52、分解因式:2265zyzy---53、分解因式:25 252++-xx54、分解因式:2216924nmmn--55、分解因式:613522+-mnnm56、分解因式:2 23024yaya--57、分解因式: 222410b ab a--58、把m m x m m mx ++++-222)1(分解因式．59、分解因式：2312123x x x-+60、分解因式：y xy y x 6752-+61、分解因式：xy y x y x 67523--62、分解因式：n n n x x x615912--++63、分解因式:25724--x x64、分解因式:611724-+x x65、分解因式: 4224257y y x x -+66、分解因式: 42246117y y x x --67、分解因式:3)()(22----b a b a68、分解因式:3)()(22-+++n m n m69、分解因式:3)2(8)2(42++-+y x y x70、分解因式:3168)2(42++--y x y x71、分解因式: 222215228d c abcd b a+-72、分解因式: 42248102mb b ma ma+-73、把多项式n n n b b a b a5324257912-+-分解因式，并注明每一步因式分解所用的方法． 74、分解因式: 2592aa -+75、分解因式: 1832--x x76、分解因式:22152y ay a --77、分解因式:2210116y xy x ++-78、若34-x 是多项式a x x++542的一个因式，则a 是 （ ） Ａ．－８ Ｂ．－６ Ｃ．８ Ｄ．６79、已知012)1)((2222=--++y x y x ，求22y x +的值． 80、因式分解的四种基本方法是_____、_____、_____、_____。

专题04 十字相乘法【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如pq x q p x +++)(2型的二次三项式的因式分解.2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)4. 掌握好简单的分组分解法.【要点梳理】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++,若存在pq c p q b =⎧⎨+=⎩ ,则()()2x bx c x p x q ++=++要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时,要先从常数项c 的正、负入手,若0c >,则p q 、同号(若0c <,则p q 、异号),然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号（2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时,要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能),然后看这两个整数之和能否等于b ,直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中,如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积,即12a a a =,常数项c 可以分解成两个因数之积,即12c c c =,把1212a a c c ，，，排列如下： 按斜线交叉相乘,再相加,得到1221a c a c +,若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ,即1221a c a c b +=,那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积,即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端,凑中间” （2）二次项系数a 一般都化为正数,如果是负数,则提出负号,分解括号里面的二次三项式,最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体,若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时,可考虑分步处理的方法,即把这个多项式分成几组,先对各组分别分解因式,然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组,然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点二项、二项①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组四项三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式分组分解法六项三项、二项、一项可化为二次三项式要点四、添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项）,使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的方法方法方法技巧性,在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项,在反复尝试中熟练掌握方法方法方法技巧和方法.【典型例题】类型一、十字相乘法例1、分解因式： 22(1)(6136)x a x a a ++--+【参考参考参考答案与解析】解：原式＝()()()212332x a x a a ++--- ()()()()23322332x a x a x a x a =--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-++-【总结升华】将a 视作常数,就以x 为主元十字相乘可解决.举一反三：【变式】分解因式：23345xy y x y ++--【参考参考参考答案】解：原式2(34)35(35)(1)y x y x y x y =+-+-=+-+例2、分解因式：【思路点拨】该题可以先将()2a a -看作一个整体进行十字相乘法分解,接着再套用一次十字相乘.【参考参考参考答案与解析】解： 因为()()()22221214a a a a a a ----=--所以：原式＝[－2][ －12]＝22(2)(12)a a a a ---- ＝()()()()1234a a a a +-+-【总结升华】十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便,大家一定要熟练掌握.举一反三：【变式】分解因式：222(3)2(3)8x x x x ----；【参考参考参考答案】解：原式()()223432x x x x =---+ ()()()()4112x x x x =-+--例3、分解下列因式(1)22(1)(2)12x x x x ++++-(2)22(33)(34)8x x x x +-++-【参考参考参考答案与解析】解：（1）令21x x t ++=,则原式222(1)1212(4)(3)(5)(2)t t t t t t x x x x =+-=+-=+-=+++- 2(2)(1)(5)x x x x =+-++（2）令23x x m +=,原式2(3)(4)820(5)(4)m m m m m m =-+-=+-=+- 222(35)(34)(4)(1)(35)x x x x x x x x =+++-=+-++【总结升华】此两道小题结构都非常有特点,欲分解都必须先拆开,再仔细观察每个式子中都存在大量相同的因式→整体性想法.整体性思路又称换元法,这与我们生活中搬家有些类似,要先将一些碎东西找包,会省许多事.类型二、分组分解法例4、分解因式：222332x xy y x y -++-+【思路点拨】对完全平方公式熟悉的同学,一看见该式,首先想到的肯定是式子中前三项恰好组成2()x y -,第4、5项→3()x y -.【参考参考参考答案与解析】解：原式2()3()2x y x y =-+-+(1)(2)x y x y =-+-+【总结升华】①熟记公式在复杂背景下识别公式架构很重要；②我们前面练习中无论公式、配方、十字相乘一般都只涉及单一字母,其实代数式学习是一个结构的学习,其中任一个字母均可被一个复杂代数式来替代,故有时要有一些整体性认识的想法.举一反三：【变式1】分解因式：（1）22a b ac bc-++（2）225533a b a b--+（3）23345xy y x y ++--【参考参考参考答案】解：（1）原式()()()()()a b a b c a b a b a b c =+-++=+-+；（2）原式()()()()()()()225353553a b a b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-；（3）原式233453(1)(1)(5)(1)(35)xy x y y x y y y y x y =++--=+++-=++-.【变式2】分解因式：．2242244241a b c ab ac bc ++--+-【参考参考参考答案】解：2242244241a b c ab ac bc ++--+-=()()()2222444241a b ab ac bc c +-+-++-=()()()()222222211b a c b a c c -+-++-=．()()222121b a c b a c -++-+-类型三、拆项或添项分解因式例5、阅读理解：对于二次三项式x 2+2ax +a 2可以直接用公式法分解为（x +a ）2的形式,但对于二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2,就不能直接用公式法了．我们可以在二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2中先加上一项a 2,使其成为完全平方式,再减去a 2这项,使整个式子的值不变,于是又：x 2+2ax ﹣8a 2=x 2+2ax ﹣8a 2+a 2﹣a 2=（x 2+2ax +a 2）﹣8a 2﹣a 2=（x +a ）2﹣9a 2=[（x +a ）+3a ][（x +a ）﹣3]=（x +4a ）（x ﹣2a ）像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．（1）请认真阅读以上的添（拆）项法,并用上述方法将二次三项式：x 2+2ax ﹣3a 2分解因式．（2）直接填空：请用上述的添项法将方程的x2﹣4xy+3y2=0化为（x﹣ ）•（x﹣ ）=0并直接写出y与x的关系式．（满足xy≠0,且x≠y）（3）先化简﹣﹣,再利用（2）中y与x的关系式求值．【参考参考参考答案与解析】解：（1）x2+2ax﹣3a2=x2+2ax+a2﹣4a2=（x+a）2﹣4a2=（x+a+2a）（x+a﹣2a）=（x+3a）（x﹣a）；（2）x2﹣4xy+3y2=x2﹣4xy+4y2﹣y2=（x﹣2y）2﹣y2=（x﹣2y+y）（x﹣2y﹣y）=（x﹣y）（x﹣3y）；x=y或x=3y；故参考参考参考答案为：y；3y（3）原式===﹣,若x=y,原式=﹣2；若x=3y,原式=﹣23．【总结升华】此题考查了因式分解﹣添（拆）项法,正确地添（拆）项是解本题的关键．【稳固练习】一.选择题1.如果多项式能因式分解为,那么下列结论正确的是 ( ).22mx nx --()()32x x p ++A.＝6B.＝1C.＝-2D.＝3m n p mnp 2. 若,且,则的值为( ).()2230x a b x ab x x +++=--b a <b A.5B.－6C.－5D.63. 将因式分解的结果是( ).()()256x y x y +-+-A. B.()()23x y x y +++-()()23x y x y +-++C.D. ()()61x y x y +-++()()61x y x y +++-4．把多项式1+a +b +ab 分解因式的结果是（ ）A ．（a ﹣1）（b ﹣1）B ．（a +1）（b +1）C ．（a +1）（b ﹣1）D ．（a ﹣1）（b +1）5. 对运用分组分解法分解因式,分组正确的是( )224293x x y y +--A. B.22(42)(93)x x y y ++--22(49)(23)x y x y -+-C. D. 22(43)(29)x y x y -+-22(423)9x x y y +--6．如果有一个因式为,那么的值是（ ）3233x x x m +-+()3x +m A. －9 B.9C.－1D.1二.填空题7.分解因式： ．2242y xy x --+=8. 分解因式：= ．224202536a ab b -+-9．分解因式的结果是__________.5321x x x -+-10. 如果代数式有一因式,则的值为_________．a 11．若有因式,则另外的因式是_________.3223a a b ab b --+()a b -12. 分解因式：（1）；（2）3)32(2-+-+k x k kx mnm x m n x -+-+22)2(三.解答题13. 已知,, 求的值.0x y +=31x y +=2231213x xy y ++14. 分解下列因式：（1）()()128222+---a a a a （2）32344xy xy x y x y-++（3）42222459x y x y y --（4）43226a a a +-15.先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法,其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax +by +bx +ay =（ax +bx ）+（ay +by ）=x （a +b ）+y （a +b ）=（a +b ）（x +y ）2xy +y 2﹣1+x 2=x 2+2xy +y 2﹣1=（x +y ）2﹣1=（x +y +1）（x +y ﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后,可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x 2+2x ﹣3=x 2+2x +1﹣4=（x +1）2﹣22=（x +1+2）（x +1﹣2）=（x +3）（x ﹣1）请你仿照以上方法,探索并解决下列问题：（1）分解因式：a 2﹣b 2+a ﹣b ；（2）分解因式：x 2﹣6x ﹣7；（3）分解因式：a 2+4ab ﹣5b 2．【参考参考参考答案与解析】一.选择题1. 【参考参考参考答案】B ；【解析】,()()()223233222x x p x p x p mx nx ++=+++=--∴,解得.22,32p p n =-+=-1n =2. 【参考参考参考答案】B ；【解析】,由,所以.()()23065x x x x --=-+b a <6b =-3. 【参考参考参考答案】C ；【解析】把看成一个整体,分解.()x y +()()()()25661x y x y x y x y +-+-=+-++4. 【参考参考参考答案】B ；【解析】解：1+a +b +ab=（1+a ）+b （1+a ）=（1+a ）（1+b ）．故选：B ．5. 【参考参考参考答案】B ；【解析】A 各组经过提取公因式后,组与组之间无公因式可提取,所以分组不合理.B 第一组可用平方差公式分解得,与第二组有公因式可提取,所以分组合理,C 与D 各组均()()2323x y x y +-23x y -无公因式,也不符合公式,所以无法继续进行下去,分组不合理.6. 【参考参考参考答案】A ；【解析】由题意当时,代数式为零,解得.3x =-9m =-二.填空题7. 【参考参考参考答案】．()()22x y x y -+--【解析】解：===．2242y xy x --+()2224y xy x -+-()24x y --()()22x y x y -+--8. 【参考参考参考答案】；()()256256a b a b -+-- 【解析】原式()224202536a ab b =-+- ()()()22256256256a b a b a b =--=-+--9. 【参考参考参考答案】；()()()22111x x x x +--+ 【解析】原式.()()()()()()()23222321111111x x x x x x x x x =-+-=-+=+--+10.【参考参考参考答案】16；【解析】由题意当时,代数式等于0,解得.4x =16a =11.【参考参考参考答案】；()()a b a b -+ 【解析】.()()322322a a b ab b a a b b a b --+=---()()2a b a b =-+12.【参考参考参考答案】；；()()31kx k x +-+()()x m x m n --+ 【解析】；()()2(23)331kx k x k kx k x +-+-=+-+.()()()()22(2)x n m x m mn x m x m n x m x m n +-+-=---=--+⎡⎤⎣⎦三.解答题13.【解析】解： ()()22231213334x xy y x y x y y ++=+++ 由,解得0x y +=31x y +=12y =所以,原式.21301412⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭14.【解析】解：（1）原式；()()()()()()22261223a a a a a a a a =----=+-+-（2）原式；()()()()222244222xy y x x xy x y xy x y x y ⎡⎤=-++=+-=++-+⎣⎦（3）原式；()()()()()()2422222245949123231y x x y x x y x x x =--=-+=+-+（4）()()()4322222626232a a a a a a a a a +-=+-=-+.15.【解析】解：（1）原式=（a +b ）（a ﹣b ）+（a ﹣b ）=（a ﹣b ）（a +b +1）；（2）原式= x 2﹣6x +9-16=（x -3）2﹣16=（x -3+4）（x -3-4）=（x +1）（x ﹣7）；（3）原式= a 2+4ab ﹣5b 2= a 2+4ab +4b 2﹣9b 2= （a +2b ）2﹣9b 2=（a +2b ﹣3b ）（a +2b +3b ）=（a ﹣b ）（a +5b ）．知识改变命运。

相乘法十字相乘法摘要：1.十字相乘法的定义和原理2.十字相乘法的计算步骤和实例演示3.十字相乘法在数学中的应用和优势4.十字相乘法与其他乘法方法的比较5.如何在日常生活中运用十字相乘法正文：十字相乘法是一种简单且实用的乘法方法，它可以帮助我们快速进行两位数与两位数的乘法计算。

这种方法的应用范围广泛，从数学课堂到日常生活都有涉及。

下面我们将详细介绍十字相乘法的定义、计算步骤、应用实例以及与其他乘法方法的比较。

1.十字相乘法的定义和原理十字相乘法是指将两个两位数分别写在一个矩形的四个角上，然后通过横向和纵向的乘法计算，得出这两个两位数的乘积。

这个方法的原理在于利用了乘法的交换律和结合律，将乘法运算拆分成四个较小的乘法运算，从而简化计算过程。

2.十字相乘法的计算步骤和实例演示以两个两位数12和15为例，使用十字相乘法进行计算：1.将12和15分别写在矩形的四个角上，形成一个十字形。

2.分别计算横向和纵向的乘积：- 12 × 5 = 60（写在矩形下方）- 12 × 1 = 12（写在矩形左边）- 1 × 15 = 15（写在矩形上方）- 1 × 6 = 6（写在矩形右边）3.将这四个乘积相加，得到最终结果：60 + 12 + 15 + 6 = 93。

因此，12 × 15 = 93。

3.十字相乘法在数学中的应用和优势十字相乘法不仅在简单的乘法计算中具有优势，还可以应用于更复杂的数学题目，如因式分解、解方程等。

它的优势在于将乘法运算拆分成更小的部分，使得计算过程更简洁、易懂。

4.十字相乘法与其他乘法方法的比较与其他乘法方法相比，十字相乘法具有以下优势：- 易于理解：通过图形化的方式进行乘法计算，更加直观易懂。

- 计算速度快：相较于列竖式计算，十字相乘法减少了乘数的抄写次数，提高了计算速度。

- 适用范围广：不仅适用于简单的两位数乘法，还可以应用于更复杂的数学题目。

高中十字相乘法
【实用版】
目录
1.十字相乘法的概念
2.十字相乘法的应用
3.十字相乘法的优点
4.十字相乘法的局限性
正文
十字相乘法是高中数学中的一种重要方法，它是一种用来解决二次方程的工具。

十字相乘法的基本思想是将二次方程的系数用十字的形式排列，然后通过相乘得到一个新的二次方程，这个新的二次方程的解就是原二次方程的解。

十字相乘法在解决二次方程时非常有用，它可以帮助我们快速地找到方程的解。

例如，如果我们要解决方程 x^2 + 3x - 10 = 0，我们可以使用十字相乘法来找到它的解。

首先，我们将方程的系数用十字的形式排列，然后相乘，得到一个新的二次方程：(x+5)(x-2) = 0。

这个新的二次方程的解就是原方程的解，即 x = -5 或 x = 2。

十字相乘法不仅适用于一元二次方程，也适用于多元二次方程。

例如，如果我们要解决方程 x^2 + y^2 - 4x - 6y + 11 = 0，我们也可以使用
十字相乘法来找到它的解。

首先，我们将方程的系数用十字的形式排列，然后相乘，得到一个新的二次方程：(x-2)^2 + (y-3)^2 = 0。

这个新的
二次方程的解就是原方程的解，即 x = 2，y = 3。

虽然十字相乘法在解决二次方程时非常有用，但它也有一些局限性。

首先，它只适用于二次方程，对于三次或更高次的方程，它并不能提供有效的解决方案。

其次，它只适用于实数域，对于复数域，它并不能提供有效的解决方案。

总的来说，十字相乘法是一种非常有用的解决二次方程的工具，它可以帮助我们快速地找到方程的解。