2019年中考数学知识点过关培优训练：相交弦定理(圆)(附答案)

知识点过关培优训练：相交弦定理（圆）•选择题如图，？0的两条弦AB CD相交于点E, AC和DB的延长线交于点P,下列结论中成立的如图，正方形ABC呐接于O O,点P在劣弧AB上,连接DP,交AC于点Q若QP= QO1.2.3.A. PC?CA= PE P BDC. CECD= BE?BAB.D.如图，在O O 中，弦AC BD交于点E,连结ABC.CE?AE= BE?EDPE?PD= PC?PACD在图中的“蝴蝶”形中，若AE=£如图，O O的弦AB CD相交于点P,若AP= 6,BP= 8, CP= 4，贝U CD长为( )B. 24C.12D.不能确定4.BA. 167.如图，O 0的直径AB 与弦CD 交于点，AE= 6, BE= 2, CD= 2 '一|，则/ AED 的度数是（）&如图，点 P 为弦AB 上的一点，连接」0P 过点P 作PC!OP PC 交O O 于C,且O 0的半径为3.若AP= 4, PB= 1,贝U 0P 的长是（）AB= 2, BC= 3,点 E 为 BC 上一点，且 BE= 1,延C.亏6.如图，O 0的弦ABCD 相交于点P,若AF^= 3, D- 3 V 2 ~2BF ^ 4, Cl 2，贝U CD 长为（C. D.不能确定B. 60°C. 45°D. 36°5.如图，矩形 ABCD^O 0的内接四边形,B. 5 A.B. 12A.BB. 2 !C. 7D.-A. 29.如图，AB 为O O 的直径，AB= 10cm 弦CDL AB 垂足为E ,且AE EB= 2 ： 3,则AC=（ ）O O 于D,贝y CD 的长为（ ）B. 4cmC. 一 T cm10.如图，O O 的直径AB= 8,弧人*弧BC ,E 为OB 上一点，/ AEG 60°, CE 的延长线交11.如图在一次游园活动中有个投篮游戏，活动开始时四个人 A B 、C D 在距篮筐 P 都是5米处站好，篮球放在 AC 和BD 的交点O 处，已知取篮球时 A 要走6米，B 要走3米，C B. 3米 C. D. 5米12.如图，已知AB 为O O 的直径，C 为O O 上一点, CDL AB 于 D, AD= 9, BD= 4,以 C 为圆4 7要走2米，则D 要走A. 2米B. 9 PQ 交CD 于E ,则PE ?EQ 的值是（ ）C. 6D. 27O 相交于P, Q 两点，弦 A. 2413•如图，在O 0中，弦BC DE交于点P,延长BD EC交于点A BC= 10, Bl 2CR若型AD='，则DP的长为3 ----------14.如图，O0中两条弦AB CD相交于点P,已知PA= 3,PB= 4,PC= 2,那么PD长为____________15.如图，O 0的弦AB CD相交于点E，若AE DE= 3: 5,贝U AC BD= ___________16.如图，O O中弦AB CD相交于点P,已知AP= 3, BP= 2, CP= 1,贝U DP= _________17.已知弦AB和弦CD相交于O O内一点P, AP= 8, BP= 3, ____ PD= PC贝U CD= .18. _______________________________________________________________________ 在O O中，弦AB CD相交于点E , AE= 2cm BE= 6cm DE= 3cm 贝U CE= ______________ cm 学以致用：点P是直径为10的O Q中一点且PQ= 2,过点P作弦HK则线段PH与线段PK的积等于19.O 0的直径AB垂直弦CD于P,且P是半径0B的中点，CD= 6cm,则直径AB的长是cm20.如图，O 0的弦AB CD相交于点E ,若CE BE= 2: 3,贝U AE DE=B21.如图，弦AB与CD相交于O O内一点P, PO PD(1)试说明：△ PA3A PDB(2)设PA= 4, PB= 3, CD= 8，求PC PD的长.22•如图，在O O中，弦AD BC相交于点E,连接OE已知AD= BC, ADLCB(1)求证：AB= CD(2)如果O O的直径为10, DE= 1,求AE的长.23.如图，已知圆O弦AB CD相交于点M(1)求证：AM?MB= CMMD24.已知G是厶ABC的重心，过A G的圆与BG切于G CG的延长线交圆于D,求证：AG=GC?GD25•如图,(1)已知：P为半径为5的O O内一点，过P点最短的弦长为8，则0圧_____________(2)在(1)的条件下，若O 0内有一异于P点的Q点，过Q点的最短弦长为6,且这两条弦平行，求PQ的长.(3)在(1 )的条件下，过P点任作弦MN AB试比较PM?PN与PA?PB的大小关系，且写出比较过程•你能用一句话归纳你的发现吗？(4)在(1 )的条件下，过P点的弦CD=^，求PC PD的长.26•已知：如图所示，BC为圆0的直径，A、F是半圆上异于B C的一点，D是BC上的一点，BF 交AH于点E, A是弧BF的中点，AHL BC(1)求证：AE= BE；(2)如果BE?EF= 32, AD= 6, 求DE BD的长.27.如图1,在直角坐标系中，点A的坐标为(1 , 0),以OA为边在第四象限内作等边△ AOB点C为x轴的正半轴上一动点 (001)，连接BC,以BC为边在第四象限内作等边△ CBD直线DA交y轴于点E.(1)试问△ OBCf A ABD全等吗？并证明你的结论;(2)随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标;若有变化，请说明理由;(3)如图2,以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G,设AC= m AF= n，用含n的代数式表示m£GO副團X3•选择题 1 解」：•••/ P =Z P,Z A=Z D,•••△ PAB^A PDC•巴=坐 • _ ，• PB ?PD= PC ?PA 故选：D.72 .解:EC F = AC- AE= =由相交弦定理得，AE?EO DE?BE 则19• BD= DE^BE=., 故选：B.3.解：T AF ?BP= CF ?DP• PD="・,CP••• AP= 6 , BP= 8 , CP= 4 ,• PD= 12 ,• CD= PGPD= 12+4= 16. 故选：A.4.解：如图，设O O 的半径为r , QO= m 贝U QP= m QC= r +mQA= r - m2_ 2 即(r - m (r +m =m?QD 所以 QD= •丄卫连接DO 由勾股定理，得 Q D = D O +Q O,2 2即 一 f : ■ID解得参考答案在O O 中，根据相交弦定理，得QA ?QC= QF ?QD故选：A.6.解：T AP ?BF — CF P DPAF — 3, BF — 4, CF — 2,・ PD= 6,• CD= P （+PD= 2+6— 8.故选：C.7.解：连接 OD 过圆心 O 作OH L CD 于点H.故选: D.5.解：•••四边形 ABC ［是矩形，•••/ B = 90°,二AE =冷工:丁忙壬』为7 — 1心7, •/ BC= 3, BE= 1,「. CE= 2,由相交弦定理得：AE ?EF = BE ?CE.* BE ・CE_1X2 2^5・・ EF — , — ■------ , AE - V5 5 所以,•••DH= CH^—CD （垂径定理）；T CD= _I,•- DH= 1 !.又••• AE= 6, BE= 2,••• OA= OD= 4 （O O的半径）;•••OF 2;•••在Rt△ ODH中, OH= '|j|R ||：亠=：.一,_|=二（勾股定理）;在Rt △ OEH中, sin / OEH = ,OE 2•••/ OE H 45°,即/ AED= 45°.故选：C.&解：延长CP交圆于一点D,连接OC•/ PC! OP••• PC H PD••• P C=PA?PB••• AP= 4, PB= 1,pC= 4X 1,• PC H 2,•••OP=甘］匚：_兀=¥亍-;=「.故选：C.a9.解：T CD£ AB • CE= DE•••CE= AE?BE•/ AB= 10cm,且AE EB= 2：3 ,• AE= 4 cm, EB= 6cm•- CE= 2 「cm,二AC=甘比'CL 、m； I, I ：=么厂! ：cm故选：D.10.【解」答】解：连接OC OD过点o作0甩CD于点F.••• AB是O O的直径，C为弧AB的中点，•••/ AOC=Z B0& 90°（等弧所对的圆心角相等）；又••• 0是圆心，OFL CD•CF= DF=±CD （垂径定理）；在Rt △ OEC中,•••/ AEC= 60°,OCE= 30°（直角三角形的两个锐角互余）;•••在Rt△ OCF中, CF= OC cos30 ° ;又AB= 8,• OC= 4;• - CD= 2CF= 4'故选：D.11.解：根据题意得：A B C、D在以P为圆心，半径是5米的圆上.:.O/?OC= O^OD 即6 X2 = 3X OD解得OD= 4.故选：C.12 .解：延长DC交O C于M延长C□交O O于N.•••CD= AD?DB AD= 9, BD= 4,•- CD= 6.在O O O C中，由相交弦定理可知，PE?EQ= DE?EM= CE?EN 设CE= x，贝U DE= 6 - x, EN= 6 - x+6贝卩(6 - x)，(x+6)= x (6 - x+6),解得x= 3.所以，CE= 3, DE= 6- 3 = 3, EM= 6+3= 9.所以PE?EQ= 3X 9 = 27.故选：D..填空题（共8小题）13.解：如图，作CH/ DE交AB于H.设DP= 2a.••• PD// CH卫=坐=型=2■■===:CH= 3a,••• BD AD= 2：3,二AH AD= 2：3,•••CH/ DE匹=鲤=2=，g 9DE=：a,Q R• Pj a- 2a= : a,•/ BC= 10, BP PC= 2: 1,••• PB= , PG= 3 3•/ PB ?PG= PD ?PE• a = （负根已经舍弃）3 • PD= 2a = 一 旦 3故答案为二L ；314. 解：•••两条弦 AB CD 相交于点P ,••• PD ?PC= PA ?PB2X 6= 3X CE故答案为6.15.解：•••弦 AB CD 相交于点E , • C =Z B ,/ A =Z D,• △ ACEo ^ DBE.些=塑=丄•， 故答案为：3: 5.16.解：由相交弦定理得,AP ?BP= CP ?DP则DP= = 6, CP故答案为：6.17•解：•••弦 AB 和弦CD 相交于O 0内一点P ,• PA?PB= PC ?PD而 AP= 8, BP= 3, PD= PC• PC = 8X 3= 24,• PC = 2 7,• CD= 2PC = 4 7.故答案为4 ~.18•解：T AE ?BE= CRDE• PD=6.•••CE= 4;如图，过P点的直径为MN••• PQ= 2,•PM= QM- PQ= 5- 2= 3, PN= QN+PQ= 5+2 = 7,•/ PH?PK= PM?PN•PH?PK= 3 X 7= 21 .故答案为4; 21.K19.解：T ・：AB为O O的直径，ABL CD CD= 6cm•CF= PD= 3cm,T P是半径OB的中点，•••设PB= x,贝U AF= 3x,由相交弦定理得，CF?FD= AF?FB即 3 X 3= 3x?x，解得x= _cm•AF= 3 cm PB= cm•直径AB的长是3 _+ _= 4 _cm.20•解：TO O的弦AB CD相交于点E ,•AE?BE= CE?DE•AE DE= CE BE= 2: 3,故答案为：2: 3.三•解答题(共7小题)21. (1 )证明：由圆周角定理得，/ A=Z D, / C=Z B,(2)解：由相交弦定理得到，PA?PB= PC?PD即3X4 = PCX( 8- PC,解得，PO 2或6,则PD= 6或2,•PC= 2 或6, PD= 6 或2.22. (1)证明：如图，T AD= BC•「=丨,•「-丨J —,即上,•AB= CD(2)如图，过0作0吐AD于点F,作OGL BC于点G连接OA OC则AF= FD, BG= CG••• AD= BC•AF= CG-、 i 人i fAF=CG在Rt △ AOF与Rt△ COGK ・,0A=0C•Rt △ AO耳Rt △ CO( HL,•OF= OG•四边形OFEG^正方形，•OF= EF.设OF= EF= x,贝U AF= FD= x+1,在直角△ OAF K.由勾股定理得到：■' x2+ (x+1) 2= 52, 解得x= 5.则AF= 3+1 = 4,即AE= AF+3= 7.23.解：(1)vZ A=Z C,Z D=Z B,•△ ADMb^ CBM•如卫•^ -",即AM?MB= CM?MD•••OM L CD在Rt △ OMC中,•/ OC= 3, OM= 2•••CD= CW「| “::'-'.，由（1）知AM?MB= CMMD•AM?MB=匚？d! ■= 5.24.证明：延长GP至F,使PF= PG 连接AD BF, CF,•/ G是厶ABC的重心，•Ad 2GP BP= PC,•/ PF= PG ,•四边形GBF（是平行四边形，•GF= 2GP•AG= GF••• BG/ CF,•/ 1 = Z 2•••过A、的圆与BG切于G,•/ 3=Z D,又/ 2=Z 3 ,•/ 1 = Z 2 = Z 3=Z D,•A、D F、C四点共圆，• GA?GF= GC?GD即G A=G(?GD25•解：(1)连接OP过点P作CDL OP于点P,连接OD根据题意，得CD= 8, OD= 5•根据垂径定理，得PD= 4,根据勾股定理，得0P= 3;(2)根据平行线的性质和垂线的性质，知OP、Q三点共线.根据(1)的求解方法，得OQ= 4,贝U PQ= 1或7;(3)连接AM BN•••/ A=Z N,Z M=Z B,•••△ APE NPB…：畀.」即PM?PN= PA?PB(4)作直径AB根据相交弦定理，得PC?PD= PA?PB-( 5 - 3) (5+3)16, 又CD=,9R OR设PC= x，贝U PD)= - x,则有x ( - x)= 16,解得x= 3或x = —.即PC= 3 或一，PD=.或3.cBOCODP0 —「=丨26•解：（1）连接AB•/ BC 是直径，且BC 丄AH二 1 1 ；••• A 是丨：的中点,•••/ BAE=Z ABE••• AE=BE(2)易知 DH= AD= 6;••• AE= 6 - DE EH=6+DE由相交弦定理，得： AE ?EH= BE ?EF, 即: (6 - DE ( 6+DE = 32,解得 DE= 2; Rt △ BDE 中, BE= AE= AD - DE= 4, DE= 2;由勾股定理，得：BD=J.-» ; H -= 2 :-•27•解：(1)两个三角形全等.•••△ AOBA CBD都是等边三角形,•••OBA F Z CBDb60°,•••/ OBA/ ABC=/ CBD/ ABC 即/OBC=Z ABD•/ OB= AB BC= BD,△ OBC^ ABD；(2 )点E位置不变.•••△OBH ABD•/ BAO Z BOC= 60°,/ OAE= 180° - 60°- 60°= 60°;在Rt △ EOA中, EO= OA?tan60 ° = _,或/ AEO= 30°，得AE= 2,•OE=—•••点E的坐标为(0, 一)；(3)T AC= m AF= n,由相交弦定理知又••• OC是直径，• OE是圆的切线，OE= EGEF,在Rt△ EOA中, AE=—厂=2, ('')2=( 2 - —) (2+n)n2即2n +n - 2m- mn= 0解得m= .n+21 ?m= n?AG 即AG=工n。

中考数学专题练习圆的圆心角、弧、弦的关系（含解析）2019中考数学专题练习-圆的圆心角、弧、弦的关系（含解析）一、单选题1.如图，已知AB是⊙O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，，那么的度数是（）A.B.C.D.2.如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC．那么与的数量关系是（）A. =B. ＞C. 30°D. 22.5°5.如图，已知⊙O的半径等于1cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且==，则四边形ABCD的周长等于（）A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 7cm6.如图，A，B是⊙O的直径，C、D在⊙O上，，若∠DAB=58°，则∠CAB=（）A. 20°B. 22°C. 24°D. 26°7.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接BC、BD、AC，下列结论中不一定正确的是（）A. ∠ACB=90°B. OE=BEC. BD=BCD. △BDE∽△CAE8.如图所示，M是弧AB的中点，过点M的弦MN 交AB于点C，设⊙O的半径为4cm，MN=4 cm，则∠ACM的度数是（）A. 45°B. 50°C. 55°D. 60°9.如图，AB是⊙O的直径，= = ，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（）A. 51°B. 56°C. 68°D. 78°10.如图，在⊙O中，已知=，则AC与BD的关系是（）A. AC=BDB. AC＜BDC. AC＞BDD. 不确定二、填空题11.如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=35°，则∠AOE=________°．12.已知，半径为4的圆中，弦AB把圆周分成1：3两部分，则弦AB长是________ ．13.圆的一条弦分圆成4：5两部分，则此弦所对的圆心角等于________．14.如图，⊙O中，已知弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，则∠AOC=________度．15.在⊙O中，弦AB∥CD，则∠AOC________∠BOD．16.如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为底边向外作高为AC，BC长的等腰△ACM，等腰△BCN，，的中点分别是P，Q．若MP+NQ=12，AC+BC=15，则AB的长是________ ．17.如图所示，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠AOE，则∠DOE=36 度，的度数为________ 度．18.如图，AB是⊙O的直径，如果∠COA=∠DOB=60°，那么与线段OA相等的线段有________ ，与相等的弧有________ ．三、解答题19.已知：如图所示，AD=BC。

中考数学知识点过关培优易错难题训练∶圆与相似含答案解析一、相似1．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∵B（2，t）在直线y=x上，∴t=2，∴B（2，2），把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=2x2﹣3x（2）解：如图1，过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，∵点C是抛物线上第四象限的点，∴可设C（t，2t2﹣3t），则E（t，0），D（t，t），∴OE=t，BF=2﹣t，CD=t﹣（2t2﹣3t）=﹣2t2+4t，∴S△OBC=S△CDO+S△CDB= CD•OE+ CD•BF= （﹣2t2+4t）（t+2﹣t）=﹣2t2+4t，∵△OBC的面积为2，∴﹣2t2+4t=2，解得t1=t2=1，∴C（1，﹣1）（3）解：存在．设MB交y轴于点N，如图2，∵B（2，2），∴∠AOB=∠NOB=45°，在△AOB和△NOB中∴△AOB≌△NOB（ASA），∴ON=OA= ，∴N（0，），∴可设直线BN解析式为y=kx+ ，把B点坐标代入可得2=2k+ ，解得k= ，∴直线BN的解析式为y= x+ ，联立直线BN和抛物线解析式可得，解得或，∴M（﹣，），∵C（1，﹣1），∴∠COA=∠AOB=45°，且B（2，2），∴OB=2 ，OC= ，∵△POC∽△MOB，∴ = =2，∠POC=∠BOM，当点P在第一象限时，如图3，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥x轴于点H，∵∠COA=∠BOG=45°，∴∠MOG=∠POH，且∠PHO=∠MGO，∴△MOG∽△POH，∴ = = =2，∵M（﹣，），∴MG= ，OG= ，∴PH= MG= ，OH= OG= ，∴P（，）；当点P在第三象限时，如图4，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥y轴于点H，同理可求得PH= MG= ，OH= OG= ，∴P（﹣，）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（﹣，）【解析】【分析】（1）根据已知抛物线在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t），可求出点B的坐标，再将点A、B的坐标分别代入y=ax2+bx，建立二元一次方程组，求出a、b 的值，即可求得答案。

2019年中考数学知识点过关培优训练：弦切角定理（圆）一．选择题1．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°2．如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（）A．97°B．104°C．116°D．142°3．点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝70°，点C是⊙O上的点（不与点A、B重合），则∠ACB等于（）A．70°B．55°C．70°或110°D．55°或125°4．如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A＝70°，∠B＝60°，则的度数为何（）A．50°B．60°C．100°D．120°5．如图，AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，切点为B，点C在⊙O上，若∠CBE＝40°，则∠A的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．如图，直线AD与△ABC的外接圆相切于点A，若∠B＝60°，则∠CAD等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°7．如图，△ABC内接于⊙O，BD切⊙O于点B，AB＝AC，若∠CBD＝40°，则∠ABC等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC．AT是⊙O的切线，∠BAT＝55°，则∠D等于（）A．110°B．115°C．120°D．125°9．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCN互余的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．已知：如图，E是相交两圆⊙M和⊙N的一个交点，且ME⊥NE，AB为外公切线，切点分别为A，B 连接AE，BE，则∠AEB的度数为（）A．145°B．140°C．135°D．130°二．填空题11．已知，如图，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，点A 的坐标为（，0），⊙M的切线OC与直线AB交于点C．则∠ACO＝度．12．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，则∠B等于度．13．如图PA切⊙O于点A，∠PAB＝30°，则∠AOB＝度，∠ACB＝度．14．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，且∠BAC＝35°，则∠P＝度．15．如图，已知直线CD与⊙O相切于点C，AB为直径．若∠BCD＝35°，则∠ABC的大小等于度．16．如图四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，PD切⊙O于D，与BA延长线交于P点，已知∠BCD＝130°，则∠ADP＝．17．已知：如图，在⊙O中，AB是直径，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°，过D点的切线PD 与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为．18．如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径．已知∠APB＝70°，则∠ACB 的度数为°．19．如图，已知AD为⊙O的切线，⊙O的直径是AB＝2，弦AC＝1，则∠CAD＝度．20．如图，△ABC内接于圆⊙O，CT切⊙O于C，∠ABC＝100°，∠BCT＝40°，则∠AOB＝度．三．解答题21．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，过A作AD⊥CD，D为垂足．（1）求证：∠DAC＝∠BAC；（2）若AC＝6，cos∠BAC＝，求⊙O的直径．22．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD切⊙O于点C，且∠DAC＝∠BAC．（1）试说明：AD⊥CD；（2）若AD＝4，AB＝6，求AC．23．如图，PA为圆的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线交AB于点D，交AC于点E．求证：（1）AD＝AE；（2）AB•AE＝AC•DB．24．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝13，BC＝24，PA是⊙O的切线，A为切点，割线PBD过圆心，交⊙O于另一点D，连接CD．（1）求证：PA∥BC；（2）求⊙O的半径及CD的长．25．如图，已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过D作⊙O的切线与AC的延长线交于点E．（1）求证：BC∥DE；（2）若AB＝3，BD＝2，求CE的长；（3）在题设条件下，为使BDEC是平行四边形，△ABC应满足怎样的条件（不要求证明）．26．如图，△ABC内接于⊙O，AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D，BE与AC相交于点F，且CB＝CE．求证：（1）BE∥DG；（2）CB2﹣CF2＝BF•FE．参考答案1．解：连接BC，∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，∴BD＝DC，∵∠ACE＝25°，∴∠ABC＝25°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，∴∠D＝50°．故选：A．2．解：∵BD是圆O的直径，∴∠BAD＝90°，又∵AC平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF＝45°，∵直线ED为圆O的切线，∴∠ADE＝∠ABD＝19°，∴∠AFB＝180°﹣∠BAF﹣∠ABD＝180°﹣45°﹣19°＝116°．故选：C．3．解：如图，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴∠OAP＝∠O BP＝90°，∵∠P＝70°，∴∠AOB＝110°，∴∠ACB＝55°，当点C在劣弧AB上，∵∠AOB＝110°，∴弧ACB的度数为250°，∴∠ACB＝125°．故选：D．4．解：∵∠A＝70°，∠B＝60°，∴∠C＝50°．∵此圆与直线BC相切于C点，∴的度数＝2∠C＝100°．故选：C．5．解：∵AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，∠CBE＝40°，∴∠A＝∠CBE＝40°．故选：B．6．解：∵DA与△ABC的外接圆相切于点A，∴∠CAD＝∠B＝60°．（弦切角定理）故选：B．7．解：∵BD切⊙O于点B，∴∠DBC＝∠A＝40°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠ABC＝（180°﹣40°）÷2＝70°．故选：D．8．解：如图，连接AC，由弦切角定理知∠ACB＝∠BAT＝55°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠CAB＝55°，∴∠B＝180°﹣2∠ACB＝70°，∴∠D＝180°﹣∠B＝110°．故选：A．9．解：∵直线MN切⊙O于C点，∴∠BCN＝∠BAC，∠ACM＝∠D＝∠B，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCN+∠ACM＝90°，∠B+∠BCN＝90°，∠D+∠BCN＝90°．故选：C．10．解：连接AM，BN，∵∠BAE＝∠AME，∠ABM＝∠BNE，∴∠B AE+∠ABE＝（∠AME+∠BNE），∵MA⊥AB，NB⊥A B，∴MA∥NB，∴∠AMN+∠BNM＝180°．∵∠MEN＝90°，∴∠EMN+∠ENM＝90°，∴∠AME+∠BNE＝180°﹣90°＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝×90°＝45°，∴∠AEB＝180°﹣45°＝135°．故选：C．二．填空题（共10小题）11．解：∵AB＝2，OA＝，∴cos∠BAO＝＝，∴∠OAB＝30°，∠OBA＝60°；∵OC是⊙M的切线，∴∠BOC＝∠BAO＝30°，∴∠ACO＝∠OBA﹣∠BOC＝30°．故答案为：30．12．解：∵PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，∴∠A＝∠PCB＝35°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴35°+∠B＝90°，解得∠B＝55°．故答案为：55．13．解：由弦切角定理知，∠C＝∠BAP＝30°；由圆周角定理知，∠AOB＝2∠C＝60°．14．解：连接OB；∵PA、PB都是⊙O的切线，且切点为A、B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB+∠P＝180°；在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝180°﹣2∠BAC；∴∠P＝2∠BAC＝70°．15．解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵直线CD与⊙O相切，∴∠A＝∠BCD，∵∠BCD＝35°，∴∠A＝35°，∴∠ABC＝55°．故答案为：55°．16．解：连接BD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°，∴∠BAD＝50°，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠40°∵PD切⊙O于D，∴∠ADP＝∠ABD＝40°，故答案为：40°．17．解：连接BD，则∠ADB＝90°，又∠BCD＝130°，故∠DAB＝50°，所以∠DBA＝40°；又因为PD为切线，故∠PDA＝∠ABD＝40°，即∠PDA＝40°．18．解：∵PA、PB分别是⊙O的切线，∴PA＝PB；∵∠APB＝70°，∴∠PBA＝（180°﹣∠APB）＝55°，∵PB切⊙O于B，∴∠ACB＝∠PBA＝55°．19．解：∵AB是圆的直径，∴∠C＝90°；又AB＝2，AC＝1，∴∠B＝30°，∵AD为⊙O的切线，∴∠CAD＝∠B＝30°．20．解：∵CT切⊙O于C∴∠BAC＝∠BCT＝40°；在△ABC中，∠BAC＝40°，∠ABC＝100°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣40°﹣100°＝40°，∴∠AOB＝2∠ACB＝2×40°＝80°．三．解答题（共6小题）21．证明：（1）连接BC，OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵直线CD与⊙O相切于点C，∴∠ACD＝∠B，∠OCD＝90°，∵AD⊥CD，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BAC；（2）∵cos∠BAC＝，∴＝，∵AC＝6，∴AB＝10，故⊙O的直径为10．22．（1）证明：连接OC；∵CD切⊙O于点C，∴OC⊥CD，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠OCA，∵∠DAC＝∠BAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，∴AD⊥CD；（2）解：连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在△ADC与△ACB中，，∴△ADC∽△ACB，∴＝，即AC2＝AD•AB，∵AD＝4，AB＝6，∴AC＝＝2．23．证明：（1）∵∠ADE＝∠APD+∠PAD，∠AED＝∠CPE+∠C，又∠APD＝∠CPE，∠PAD＝∠C．∴∠ADE＝∠AED．∴AD＝AE．（2）∵∠APB＝∠CPA，∠PAB＝∠C，∴△APB∽△CPA，得．∵∠APE＝∠BPD，∠AED＝∠ADE＝∠PDB，∴△PBD∽△PEA，得．∴．∴AB•AE＝AC•DB．24．（1）证明：∵PA是⊙O的切线，∴∠PAB＝∠2．又∵AB＝AC，∴∠1＝∠2，∴∠PAB＝∠1．∴PA∥BC．（2）解：连接OA交BC于点G，则OA⊥PA；由（1）可知，PA∥BC，∴OA⊥BC．∴G为BC的中点，∵BC＝24，∴BG＝12．又∵AB＝13，∴AG＝5．设⊙O的半径为R，则OG＝OA﹣AG＝R﹣5，在Rt△BOG中，∵OB2＝BG2+OG2，∴R2＝122+（R﹣5）2，∴R＝16.9，OG＝11.9；∵BD是⊙O的直径，∴DC⊥BC．又∵OG⊥BC，∴OG∥DC．∵点O是BD的中点，∴DC＝2OG＝23.8．25．（1）证明：连接CD；∵DE是圆O的切线，∴∠CDE＝∠CBD．∵∠CBD＝∠DAC，∴∠CDE＝∠DAC．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∴∠CDE＝∠BAD．∵∠BAD＝∠BCD，∴∠CDE＝∠BCD．∴BC∥DE．（2）解：如图，连接CD；∵AD平分∠BAC，∴＝．∴∠BCD＝∠CBD．∴BD＝CD＝2．∵BC∥DE，∴∠E＝∠ACB＝∠ADB．又由（1）中已证得∠CDE＝∠BAD，∴△ABD∽△DCE．∴AB：BD＝CD：CE．∴CE＝BD•CD÷AB＝．（3）解：应该是∠BAC＝2∠ACB．26．证明：（1）∵CB＝CE，∴∠E＝∠CBE．∵CG为⊙O切线，∴∠BCD＝∠E．∴∠CBE＝∠BCD．∴BE∥DG．（2）∵∠A＝∠E，∴∠A＝∠CBE．∵∠ACB＝∠ACB，∴△CBF∽△CAB，．∴CB2＝CF•AC＝CF•（CF+AF）＝CF2+CF•AF．即CB2﹣CF2＝AF•CF．由相交弦定理，得AF•CF＝BF•FE．∴CB2﹣CF2＝BF•FE．。

【初中数学】圆的相交弦定理、切割线定理和割线定理补充知识点一、相交弦定理1、相交弦在圆的内部相交的两条弦，称为相交弦.2、相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等。

几何语言：弦AB和CD相交于⊙O内一点P，那么PA·PB=PC·PD. 3、相交弦定理的证明证明：连接AC、BD由圆周角定理推论得：∠C=∠B，∠A=∠D∴△ACP∽△DBP∴ PA：PD=PC：PB二、切割线定理1、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

几何语言：BC是⊙O的一条割线，PA是⊙O的一条切线，切点为A，则：PA²=PB·PC。

2、切割线定理的证明证明：如图，连接AB，AC∵ PA是圆O的切线，由弦切角定理可得∴∠PAC=∠B∵∠APB=∠CPA∴△APC∽△BPA∴ PA：BP=PC：PA三、割线定理1、割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

几何语言：从⊙O一点P引圆的两条割线AB、CD，则：PA·PB=PC·PD.2、割线定理证明证明：如图，连接AD、BC，由圆周角定理推论，得：∠D=∠B∵∠BPC=∠DPA∴△BPC∽△DPA∴ PB：PD=PC：PA∴ PA·PB=PC·PD四、例题例1、如图，在⊙O中，弦AB=CD，AB⊥CD于点E，已知CE·ED=3,BE =1，求⊙O的直径。

解：作OH⊥AB于H，OG⊥CD于G，连接OA由相交弦定理得：CE·ED=AE·EB∴ 3=AE×1∴ AE=3∴ AB=AE+EB=3+1=4∴ AB=CD=4∴ AH=HB=2∴ HE=HB-EB=2-1=1∵ AB=CD，AB⊥CD∴ OH=OG∴四边形OGEH为正方形∴ OH=HE=1由勾股定理得，OA=,∴⊙O的直径为,例2、如题图,⊙O的弦AB,CD相交于点E,过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P,若PA=6，AE=9，PC=3, CE:ED=2:1 ，求BE的值。

中考数学 几何专题：圆（含答案）1.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC ＝30°，点P 在线段OB 上运动.设∠ACP ＝x ，则x 的取值范围是________.2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，F 是CG 的中点，延长AF 交⊙O 于E ，CF ＝2，AF ＝3，则EF 的长为________.3.如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，它们相交于点P .连接AD ，BD ，已知AD ＝BD ＝4，PC ＝6，那么CD 的长为________.4.如图，圆内接四边形ABCD 中的两条对角线相交于点P ，已知AB ＝BC ，CD ＝12BD ＝1.设AD ＝x ，用x 的代数式表示P A 与PC 的积：P A ·PC ＝__________.5.如图，ADBC 是⊙O 的内接四边形，AB 为直径，BC ＝8，AC ＝6，CD 平分∠ACB ，则AD ＝( )A ．50B ．32C ．5 2D ．4 2第4题图第5题图第6题图6.如图，在△ABC 中，AD 是高，△ABC 的外接圆直径AE 交BC 边于点G ，有下列四个结论：①AD 2＝BD ·CD ；②BE 2＝EG ·AE ；③AE ·AD ＝AB ·AC ；④AG ·EG ＝BG ·CG .其中正确结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7.如图，正△ABC 内接于⊙O ，P 是劣弧»BC上任意一点，P A 与BC 交于点E ，有如下结论：①P A ＝PB ＋PC ；②111AP PB PC=+；③P A ·PE ＝PB ·PC .其中正确结论的个数是( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个8. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，延长AD ，BC 交于点M ，延长AB ，DC 交于点N ，∠M ＝20°，∠N ＝40°，则∠A 的大小为（）第3题图第2题图第1题图AACDABAA ．35°B ．60°C ．65°D ．70°第7题图第8题图第9题图9. 如图，已知⊙O 的内接四边形ABCD 中，AD ＝CD ，AC 交BD 于点E .求证：(1)AD DEBD AD； (2) AD ·CD －AE ·EC ＝DE 2；10. 如图，已知四边形ABCD 外接圆⊙O 的半径为5，对角线AC 与BD 交于点E ，且AB 2＝AE •AC ，BD ＝8，求△ABD 的面积.11. 如图，已知⊙O 的内接△ABC 中，AB ＋AC ＝12，AD ⊥BC 于D ，AD ＝3. 设⊙O 的半径为y ，AB 的长为x .(1) 求y 与x 之间的函数关系式；(2) 当AB 的长等于多少时，⊙O 的面积最大？并求出⊙O 的最大面积.ACBBC12. 如图，已知半圆⊙O 的直径AB ＝4，将一个三角板的直角顶点固定在圆心O 上.当三角板绕着O 点转动时，三角板的两条直角边与半圆周分别交于C ，D 两点，连接AD ，BC 交于点E .(1) 求证：△ACE ∽△BDE ； (2) 求证：BD ＝DE ； (3) 设BD ＝x ，求△AEC 的面积y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.（广东省中考试题）13.如图1，⊙O 中AB 是直径，C 是⊙O 上一点，∠ABC ＝45°，等腰直角三角形DCE 中，∠DCE 是直角，点D 在线段AC 上. (1) 证明：B ，C ，E 三点共线；(2) 若M 是线段BE 的中点，N 是线段AD 的中点，证明：MN ＝2OM ； (3) 将△DCE 绕点C 逆时针旋转α(0°＜α＜90°)后，记为△D 1CE 1(如图2).若M 1是线段BE 1的中点，N 1是线段AD 1的中点，M 1N 1＝2OM 1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由.14.如图所示，ABCD 为⊙O 的内接四边形，E 是BD 上的一点，∠BAE ＝∠DAC .求证：(1)△ABE ∽△ACD ； (2) AB ·DC ＋AD ·BC ＝AC ·BD .E 1图1图215.如图1，已知⊙M 与x 轴交于点A ，D ，与y 轴正半轴交于点B ，C 是⊙M 上一点，且A （－2,0），B （0，4），AB ＝BC .(1) 求圆心M 的坐标；(2) 求四边形ABCD 的面积；(3) 如图2，过C 点作弦CF 交BD 于点E ，当BC ＝BE 时，求CF 的长.16.如图，AB ，AC ，AD 是⊙O 中的三条弦，点E 在AD 上，且AB ＝AC ＝AE .求证：(1) ∠CAD ＝2∠DBE ；(2) AD 2－AB 2＝BD ·DC .17. 如图，已知以直角梯形ABCD 中，以AB 为直径的圆与CD 相切，求证：以CD 为直径的圆与AB 相切．18. 已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，切线DE AC ⊥，垂足为点E ．求证：（1）ABC ∆是等边三角形；（2）13AE CE =．19. 如图，点P 在O e 的直径BA 的延长线上，2AB PA =，PC 切O e 于点C ，连结BC ．（1）求P ∠的正弦值；（2）若O e 的半径2cm r =，求BC 的长度．20. 如图，O e 的半径10cm OC =，直线l CO ⊥，垂足为H ，交⊙O 于A B ，两点，16cm AB =，直线l 平移多少厘米时能与⊙O 相切？参考答案PCC1.30°≤x≤90°2.43.84.－14x 2＋x 5.C 6.B 7.B 提示：其中①③正确.9．提示：(1)连结BM ，证明Rt △CEN ≌Rt △BMN ．(2)连结BD 、BE 、AC ，证明△BED ∽△FEB ．(3)结论仍成立．10．连结AM ，过M 作MD ⊥AC ，交直线AC 于点D ，则Rt △AMH ≌Rt △AMD ，Rt △MHB ≌Rt △MDC ．11．(1)连结OA ，OC ，则Rt △OFC ≌RtOGC ≌Rt △OGA ．∴123OFC OAC ABC OFCG S S S S ∆∆∆===四边形．(2)连结OA ，OB ，OC ，由△AOC ≌△COB ≌△BOA ，得∠OCB ＝∠OAC ，∵∠AOC ＝∠AOE ＋∠EOC ＝120°，∠DOE ＝∠COF ＋∠COE ＝120°，∴∠AOE ＝∠COF ，∵∠OAC ＝∠OCB ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△OAG ≌△OCF ，故13AOC ABC OFCG S S S ∆∆==四边形．12．如图，过点O 作直线OP ⊥BC ，分别交BC ，KL ，AD 于点P ，H ，N ，则ON ⊥AD ，OH ⊥KL ，连结DO ，LO ，在Rt △NDO 中，ON 4==，OP ＝PN －ON ＝2，设HL ＝x ，则PH ＝KL ＝2x ，OH ＝OP ＋PH ＝2＋2x ． 在Rt △HOL 中，x 2＋ (2x ＋2)2＝52，解8、B13⑴略.⑵如图，连结ON ，AE ，BD ，并延长BD 交AE 于点F ，可证明△BCD ≌△ACE ，BF ⊥AE ，∴ON ∥＝ 12BD ，OM ∥＝ 12AE ，∴OM ＝ON ，OM ⊥ON ，故MN ＝2OM. ⑶结论成立，证明略.14提示：由△ABE ∽△ACD ，△ADE ∽△ACB 分别得AB·DC ＝AC·BE ，AD·BC ＝AC·DE ，两式作加法得AB·DC ＋AD·BC ＝AC·BD.15⑴连结BM ，OA ＝2，OB ＝4，在Rt △BOM 中，(r －2)2＋42＝r 2，∴r ＝5，即AM ＝5，OM ＝3，∴M(3，0). ⑵连结AC 交BM 于G ，则BM ⊥AC 且AG ＝CG ，可证△AMG ≌△BMO.∴AG ＝OB ＝4，AC ＝8，OM ＝MG ＝3，BG ＝BM －GM ＝2，AD ＝10，CD ＝6.∴S四边形ABCD ＝S △ACD ＋S △ABC ＝12AC·CD ＋12AC·BG ＝12×8×6＋12×8×2＝32. ⑶∵BC ＝BE ，∴∠BCE ＝∠BEC.又∠BCE ＝∠BCA ＋∠ACF ，∠BEC ＝∠BDC ＋∠DCF ，且∠BCA ＝∠BDC ，∴∠ACF ＝∠DCF ＝12∠ACD ＝45°，∴△ADF 为等腰直角三角形.AF ＝DF ＝5 2.作DT ⊥CF 于T ，CT ＝DT ＝32，TF ＝DF 2－DT 2＝42，∴CF ＝CT ＋TF ＝7 2.16. ⑴连结BC ，∵AB ＝AC ，∴∠2＝∠5，∵AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ，即∠2＋∠3＝∠4＋∠5，∴∠3＝∠4，∴∠DAC ＝∠DBC ＝∠4＋∠3＝2∠4，即∠DAC ＝2∠DBE.⑵延长DA 至点G ，使AG ＝AE ＝AC ，则∠DAC ＝2∠G ，而由⑴知∠DAC ＝2∠DBE.∴∠DBE ＝∠G.又∠BDE ＝∠GDC ，∴△BDE ∽△GDC ，得BD DG ＝DEDC ，即DG·DE ＝BD·DC.∴(AD ＋AG)(AD －AE)＝BD·DC.∵AB ＝AE ＝AG ，∴(AD ＋AB)(AD －AB)＝BD·DC ，故AD 2－AB 2＝BD·DC.17. 【答案】如图，设'O e 切CD 于O ，由切线的性质及平行线等分线段定理可知O 为CD 中点，过O 作OE AB ⊥于E ，由弦切角定理可知12∠=∠，同时在Rt AOB ∆中，OE AB ⊥，易证得23∠=∠ ∴13∠=∠于是可证得AOD AOE ∆∆≌， ∴OE OD =，∴以CD 为直径的圆与AB 相切．18. 【答案】（1）连结OD 得OD AC ∥∴BDO A ∠=∠又由OB OD =得OBD ODB ∠=∠∴OBD A ∠=∠∴BC AC =又∵AB AC =∴ABC ∆是等边三角形 （2）连结CD ，则CD AB ⊥∴D 是AB 中点∵1124AE AD AB ==∴3EC AE =∴13AE CE =19. 【答案】（1）连结OC ，因为PC 切O e 于点C ，∴PC OC ⊥又直径2AB AP =∴12OC AO AP PO ===，∴30P ∠=︒，∴1sin 2P ∠=（或：在1sin 22OC OC Rt POC P PO PO ∆∠===，）（2）连结AC ，由AB 是直径．∴90ACB ∠=︒，∵903060COA ∠=︒-︒=︒ 又OC OA =，∴CAO △是正三角形∴2CA r ==，∴CB ==20.【答案】解法1：如图，连结OA ，延长CO 交⊙O 于D ，∵l OC ⊥∴OC 平分AB ．∴8AH =．在Rt △AHO 中，6OH = ∴416CH cm DH cm ==，答：直线AB 向左移4cm ，或向右平移16cm 时与圆相切． 解法2：设直线AB 平移时能与圆相切，()22210810x -+=解得12164x x ==， ∴4cm 16cm CH DH ==，．cm x。

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的长．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF•DA，据此解答即可．【详解】（1）如图所示，连接OD．∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴BD CD=，∴OD⊥BC．又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM．又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线．（2）连接BE．∵E为内心，∴∠ABE=∠CBE．∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即∠BED=∠DBE，∴BD=DE．又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴DF DBDB DA=，即DB2=DF•DA．∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF•DA=12，∴DB=DE=23．【点睛】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．2．如图AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，过点C作⊙O的切线CM，延长BC到点D，使CD=BC，连接AD交CM于点E，若⊙OD半径为3，AE=5，（1）求证：CM⊥AD；（2）求线段CE的长.【答案】（1）见解析；（2）5【解析】分析：（1）连接OC，根据切线的性质和圆周角定理证得AC垂直平分BD，然后根据平行线的判定与性质证得结论；（2）根据相似三角形的判定与性质证明求解即可.详解：证明：（1）连接OC∵CM切⊙O于点C，∴∠OCE=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CD=BC，∴AC垂直平分BD，∴AB=AD，∴∠B=∠D∵∠B=∠OCB∴∠D=∠OCB∴OC∥AD∴∠CED=∠OCE=90°∴CM⊥AD.（2）∵OA=OB，BC=CD∴OC=12AD∴AD=6∴DE=AD-AE=1易证△CDE～△ACE∴CE DEAE CE∴CE2=AE×DE∴CE=5点睛：此题主要考查了切线的性质和相似三角形的判定与性质的应用，灵活判断边角之间的关系是解题关键，是中档题.3．已知，如图：O1为x轴上一点，以O1为圆心作⊙O1交x轴于C、D两点，交y轴于M、N两点，∠CMD的外角平分线交⊙O1于点E，AB是弦，且AB∥CD，直线DM的解析式为y=3x+3．（1）如图1，求⊙O1半径及点E的坐标．（2）如图2，过E作EF⊥BC于F，若A、B为弧CND上两动点且弦AB∥CD，试问：BF+CF 与AC之间是否存在某种等量关系？请写出你的结论，并证明．（3）在（2）的条件下，EF交⊙O1于点G，问弦BG的长度是否变化？若不变直接写出BG 的长（不写过程），若变化自画图说明理由．【答案】（1）r=5 E（4，5）（2）BF+CF=AC （3）弦BG的长度不变，等于2【解析】分析：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1，可以证到∠ECD=∠SME=∠EMC=∠EDC，从而可以证到∠EO1D=∠EO1C=90°．由直线DM的解析式为y=3x+3可得OD=1，OM=3．设⊙O1的半径为r．在Rt△MOO1中利用勾股定理就可解决问题．（2）过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．由AB∥DC可证到BD=AC，易证四边形O1PFQ是矩形，从而有O1P=FQ，∠PO1Q=90°，进而有∠EO1P=∠CO1Q，从而可以证到△EPO1≌△CQO1，则有PO1=QO1．根据三角形中位线定理可得FQ=12BD．从而可以得到BF+CF=2FQ=AC．（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．易证EF∥BD，则有∠GEB=∠EBD，从而有BG=ED，也就有BG=DE．在Rt△EO1D中运用勾股定理求出ED，就可解决问题．详解：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1．∵ME平分∠SMC，∴∠SME=∠EMC．∵∠SME=∠ECD，∠EMC=∠EDC，∴∠ECD=∠EDC，∴∠EO1D=∠EO1C．∵∠EO1D+∠EO1C=180°，∴∠EO1D=∠EO1C=90°．∵直线DM的解析式为y=3x+3，∴点M的坐标为（0，3），点D的坐标为（﹣1，0），∴OD=1，OM=3．设⊙O1的半径为r，则MO1=DO1=r．在Rt△MOO1中，（r﹣1）2+32=r2．解得：r=5，∴OO1=4，EO1=5，∴⊙O1半径为5，点E的坐标为（4，5）．（2）BF+CF=AC．理由如下：过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．∵AB∥DC，∴∠DCA=∠BAC，∴AD=BC BD∴，=AC，∴BD=AC．∵O1P⊥EG，O1Q⊥BC，EF⊥BF，∴∠O1PF=∠PFQ=∠O1QF=90°，∴四边形O1PFQ是矩形，∴O1P=FQ，∠PO1Q=90°，∴∠EO1P=90°﹣∠PO1C=∠CO1Q．在△EPO1和△CQO1中，111111EO P CO QEPO CQOO E O C∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EPO1≌△CQO1，∴PO1=QO1，∴FQ=QO1．∵QO1⊥BC，∴BQ=CQ．∵CO1=DO1，∴O1Q=12 BD，∴FQ=12BD．∵BF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ，∴BF+CF=BD=AC．（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．∵DC是⊙O1的直径，∴∠DBC=90°，∴∠DBC+∠EFB=180°，∴EF∥BD，∴∠GEB=∠EBD，∴BG=ED，∴BG=DE．∵DO1=EO1=5，EO1⊥DO1，∴DE=52，∴BG=52，∴弦BG的长度不变，等于52．点睛：本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，综合性比较强，有一定的难度．而由AB∥DC证到AC=BD是解决第（2）小题的关键，由EG∥DB证到BG=DE是解决第（3）小题的关键．4．如图1，在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD﹣DE运动，到点E停止，点P在AD上以5cm/s的速度运动，在DE上以1cm/s的速度运动，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN．设点P的运动时间为t（s）．（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为_____cm．（用含t的代数式表示）（2）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．（3）如图2，若点O在线段BC上，且CO=1，以点O为圆心，1cm长为半径作圆，当点P 开始运动时，⊙O的半径以0.2cm/s的速度开始不断增大，当⊙O与正方形PQMN的边所在直线相切时，求此时的t值．【答案】（1）t﹣1；（2）S=﹣38t2+3t+3（1＜t＜4）；（3）t=103s．【解析】分析：（1）根据勾股定理求出AB，根据D为AB中点，求出AD，根据点P在AD上的速度，即可求出点P在AD段的运动时间，再求出点P在DP段的运动时间，最后根据DE段运动速度为1c m/s，即可求出DP；（2）由正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形，可知点P在DE上，求出DP=t﹣1，PQ=3，根据MN∥BC，求出FN的长，从而得到FM的长，再根据S=S梯形FMHD+S矩形DHQP，列出S与t的函数关系式即可；（3）当圆与边PQ相切时，可求得r=PE=5﹣t，然后由r以0.2c m/s的速度不断增大，r=1+0.2t，然后列方程求解即可；当圆与MN相切时，r=CM=8﹣t=1+0.2t，从而可求得t的值．详解：（1）由勾股定理可知：AB22AC BC．∵D、E分别为AB和BC的中点，∴DE=12AC=4，AD=12AB=5，∴点P在AD上的运动时间=55=1s，当点P在线段DE上运动时，DP段的运动时间为（t﹣1）s ．∵DE 段运动速度为1c m/s ，∴DP =（t ﹣1）cm ．故答案为t ﹣1．（2）当正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，有一种情况，如下图所示．当正方形的边长大于DP 时，重叠部分为五边形，∴3＞t ﹣1，t ＜4，DP ＞0，∴t ﹣1＞0，解得：t ＞1，∴1＜t ＜4．∵△DFN ∽△ABC ，∴DN FN =AC BC =86=43． ∵DN =PN ﹣PD ，∴DN =3﹣（t ﹣1）=4﹣t ， ∴4t FN -=43，∴FN =344t -（）， ∴FM =3﹣344t -（）=34t ， S =S 梯形FMHD +S 矩形DHQP ， ∴S =12×（34t +3）×（4﹣t ）+3（t ﹣1）=﹣38t 2+3t +3（1＜t ＜4）． （3）①当圆与边PQ 相切时，如图：当圆与PQ 相切时，r =PE ，由（1）可知，PD =（t ﹣1）cm ，∴PE =DE ﹣DP =4﹣（t ﹣1）=（5﹣t ）cm ．∵r 以0.2c m/s 的速度不断增大，∴r =1+0.2t ，∴1+0.2t =5﹣t ，解得：t =103s ． ②当圆与MN 相切时，r =CM ．由（1）可知，DP =（t ﹣1）cm ，则PE =CQ =（5﹣t ）cm ，MQ =3cm ，∴MC =MQ +CQ =5﹣t +3=（8﹣t ）cm ，∴1+0.2t =8﹣t ，解得：t =356s ． ∵P 到E 点停止，∴t ﹣1≤4，即t ≤5，∴t =356s （舍）． 综上所述：当t =103s 时，⊙O 与正方形PQMN 的边所在直线相切． 点睛：本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了勾股定理、相似三角形的性质和判定、正方形的性质，直线和圆的位置关系，依据题意列出方程是解题的关键．5．如图，在ABC ∆中，90,BAC ∠=︒ 2,AB AC ==AD BC ⊥，垂足为D ，过,A D 的⊙O 分别与,AB AC 交于点,E F ，连接,,EF DE DF ．（1）求证：ADE ∆≌CDF ∆；（2）当BC 与⊙O 相切时，求⊙O 的面积．【答案】(1)见解析;(2)24π.【解析】 分析：（1）由等腰直角三角形的性质知AD =CD 、∠1=∠C =45°，由∠EAF =90°知EF 是⊙O 的直径，据此知∠2+∠4=∠3+∠4=90°，得∠2=∠3，利用“ASA”证明即可得；（2）当BC 与⊙O 相切时，AD 是直径，根据∠C =45°、AC 2可得AD =1，利用圆的面积公式可得答案．详解：（1）如图，∵AB =AC ，∠BAC =90°，∴∠C =45°．又∵AD ⊥BC ，AB =AC ，∴∠1=12∠BAC =45°，BD =CD ，∠ADC =90°．又∵∠BAC =90°，BD =CD ，∴AD =CD ．又∵∠EAF =90°，∴EF 是⊙O 的直径，∴∠EDF =90°，∴∠2+∠4=90°．又∵∠3+∠4=90°，∴∠2=∠3．在△ADE 和△CDF 中．∵123C AD CD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADE ≌△CDF （ASA ）．（2）当BC 与⊙O 相切时，AD 是直径．在Rt △ADC 中，∠C =45°，AC =2，∴sin ∠C =AD AC ，∴AD =AC sin ∠C =1，∴⊙O 的半径为12，∴⊙O 的面积为24π． 点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、与圆有关的位置关系等知识点．6．如图．在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，AB =30cm ，点P 在AB 上，AP =10cm ，点E 从点P 出发沿线段PA 以2c m/s 的速度向点A 运动，同时点F 从点P 出发沿线段PB 以1c m/s 的速度向点B 运动，点E 到达点A 后立刻以原速度沿线段AB 向点B 运动，在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作正方形EFGH ，使它与△ABC 在线段AB 的同侧，设点E 、F 运动的时间为t （s ）（0＜t ＜20）．（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与△ABC 重叠部分的面积为S ．①试求S 关于t 的函数表达式；②以点C 为圆心，12t 为半径作⊙C ，当⊙C 与GH 所在的直线相切时，求此时S 的值． 【答案】（1）t=2s 或10s ；（2）①S=2229? (02)75050(210)240400?(1020)t t t t t t t t ⎧<≤⎪⎪-+-<≤⎨⎪-+<<⎪⎩；②100cm 2．【解析】试题分析：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2；如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10；（2）分四种切线讨论a、如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2．b、如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN．c、如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN．d、如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH．分别计算即可；②分两种情形分别列出方程即可解决问题．试题解析：解：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意得：AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10．综上所述：t=2s或10s时，点H落在AC边上．（2）①如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（3t）2﹣12（5t﹣10）2=﹣72t2+50t﹣50．如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（20﹣t）2﹣12（30﹣3t）2=﹣72t2+50t﹣50．如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH，S=（20﹣t）2=t2﹣40t+400．综上所述：S=2229?(02)75050(210)240400?(1020)t tt t tt t t⎧<≤⎪⎪-+-<≤⎨⎪-+<<⎪⎩．②如图7中，当0＜t≤5时，12t+3t=15，解得：t=307，此时S=100cm2，当5＜t＜20时，12t+20﹣t=15，解得：t=10，此时S=100．综上所述：当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值为100cm2点睛：本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，属于中考压轴题．7．已知：如图，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，∠APB是平分线分别交BC，AB于点D、E，交⊙O于点F，∠A=60°，并且线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+23 =0的两根（k为常数）．（1）求证：PA•BD=PB•AE；（2）求证：⊙O的直径长为常数k；（3）求tan∠FPA的值．【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）tan∠FPA=23【解析】试题分析：（1）由PB切⊙O于点B，根据弦切角定理，可得∠PBD=∠A，又由PF平分∠APB，可证得△PBD∽△PAE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得PA•BD=PB•AE；（2）易证得BE=BD，又由线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数），即可得AE+BD=k，继而求得AB=k，即：⊙O的直径长为常数k；（3）由∠A=60°，并且线段AE、BC的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数），可求得AE与BD的长，继而求得tan∠FPB的值，则可得tan∠FPA的值．试题解析：（1）证明：如图，∵PB切⊙O于点B，∴∠PBD=∠A，∵PF平分∠APB，∴∠APE=∠BPD，∴△PBD∽△PAE，∴PB：PA=BD：AE，∴PA•BD=PB•AE；（2）证明：如图，∵∠BED=∠A+∠EPA，∠BDE=∠PBD+∠BPD．又∵∠PBD=∠A，∠EPA=∠BPD，∴∠BED=∠BDE．∴BE=BD．∵线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数），∴AE+BD=k，∴AE+BD=AE+BE=AB=k，即⊙O直径为常数k．（3）∵PB切⊙O于B点，AB为直径．∴∠PBA=90°．∵∠A=60°．∴PB=PA•sin60°=PA，又∵PA•BD=PB•AE，∴BD=AE，∵线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数）．∴AE•BD=2，即AE2=2，解得：AE=2，BD=，∴AB=k=AE+BD=2+，BE=BD=，在Rt△PBA中，PB=AB•tan60°=（2+）×=3+2．在Rt△PBE中，tan∠BPF===2﹣，∵∠FPA=∠BPF，∴tan∠FPA=2﹣．【点睛】此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．8．如图1，是用量角器一个角的操作示意图，量角器的读数从M点开始（即M点的读数为0），如图2，把这个量角器与一块30°（∠CAB＝30°）角的三角板拼在一起，三角板的斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合，现有射线C绕点C从CA开始沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转到与CB，在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于E．连接BE．（1）当射线CP经过AB的中点时，点E处的读数是，此时△BCE的形状是；（2）设旋转x秒后，点E处的读数为y，求y与x的函数关系式；（3）当CP旋转多少秒时，△BCE是等腰三角形？【答案】（1）60°，直角三角形；（2）y＝4x（0≤x≤45）；（3）7.5秒或30秒【解析】【分析】（1）根据圆周角定理即可解决问题；（2）如图2﹣2中，由题意∠ACE＝2x，∠AOE＝y，根据圆周角定理可知∠AOE＝2∠ACE，可得y＝2x（0≤x≤45）；（3）分两种情形分别讨论求解即可；【详解】解：（1）如图2﹣1中，∵∠ACB＝90°，OA＝OB，∴OA＝OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴∠AOE＝60°，∴点E处的读数是60°，∵∠E＝∠BAC＝30°，OE＝OB，∴∠OBE＝∠E＝30°，∴∠EBC＝∠OBE+∠ABC＝90°，∴△EBC是直角三角形；故答案为60°，直角三角形；（2）如图2﹣2中，∵∠ACE＝2x，∠AOE＝y，∵∠AOE＝2∠ACE，∴y＝4x（0≤x≤45）．（3）①如图2﹣3中，当EB＝EC时，EO垂直平分线段BC，∵AC⊥BC，∵EO∥AC，∴∠AOE＝∠BAC＝30°，∠AOE＝15°，∴∠ECA＝12∴x＝7.5．②若2﹣4中，当BE＝BC时，易知∠BEC＝∠BAC＝∠BCE＝30°，∴∠OBE＝∠OBC＝60°，∵OE＝OB，∴△OBE是等边三角形，∴∠BOE＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠ACE＝12∠ACB＝60°，∴x＝30，综上所述，当CP旋转7.5秒或30秒时，△BCE是等腰三角形；【点睛】本题考查几何变换综合题、创新题目、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．9．如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线上的一点，过⊙O上一点C 作⊙O的切线交DF于点E，CE⊥DF．(1)求证：AC平分∠FAB；(2)若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）5 2【解析】试题分析：（1）连接OC，根据切线的性质和圆周角定理，得出∠OCA=∠OAC与∠CAE=∠OCA，然后根据角平分线的定义可证明；（2）由圆周角定理得到∠BCA=90°，由垂直的定义，可求出∠CEA=90°，从而根据两角对应相等的两三角形相似可证明△ACB∽△AEC，再根据相似三角形的对应边成比例求得AB的长，从而得到圆的半径.试题解析：(1)证明：连接OC.∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE =90°∵CE⊥DF，∴∠CEA=90°，∴∠ACE+∠CAE=∠ACE+∠OCA=90°，∴∠CAE=∠OCA∵OC＝OA，∴∠OCA=∠OAC.∴∠CAE=∠OAC，即AC平分∠FAB(2)连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB =∠AEC =90°.又∵∠CAE=∠OAC，∴△ACB∽△AEC,∴AB AC AC AE=.∵AE＝1，CE＝2，∠AEC =90°，∴2222125AC AE CE=+=+=∴()22551ACABAE===，∴⊙O的半径为52．10．如图，已知等边△ABC，AB=16，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）求FG的长；（3）求tan∠FGD的值．【答案】(1)证明见解析；（2）6；（3）．【解析】试题分析：(1)连接OD，根据等边三角形得出∠A=∠B=∠C=60°，根据OD=OB得到∠ODB=60°，得到OD∥AC，根据垂直得出切线；(2)根据中位线得出BD=CD=6，根据Rt△CDF的三角函数得出CF的长度，从而得到AF的长度，最后根据Rt△AFG的三角函数求出FG的长度；(3)过点D作DH⊥AB，根据垂直得出FG∥DH，根据Rt△BDH求出BH、DH的长度，然后得出∠GDH的正切值，从而得到∠FGD的正切值.试题解析：(1)如图①，连结OD，∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝∠A＝∠B＝60°，而OD＝OB，∴△ODB是等边三角形，∠ODB＝60°，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线(2)∵OD∥AC，点O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴BD＝CD＝6.在Rt△CDF中，∠C＝60°，∴∠CDF＝30°，∴CF＝CD＝3，∴AF＝AC－CF＝12－3＝9 在Rt△AFG中，∵∠A＝60°，∴FG＝AF·sinA＝9×＝(3)如图②，过D作DH⊥AB于H.∵FG⊥AB，DH⊥AB，∴FG∥DH，∴∠FGD＝∠GDH.在Rt△BDH中，∠B＝60°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝BD＝3，DH＝BH＝3.∴tan∠GDH＝＝＝，∴tan∠FGD＝tan∠GDH＝考点：(1)圆的基本性质；(2)三角函数.。

2019年中考数学知识点过关培优训练：弦切角定理（圆）一．选择题1．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°2．如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（）A．97°B．104°C．116°D．142°3．点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝70°，点C是⊙O上的点（不与点A、B重合），则∠ACB等于（）A．70°B．55°C．70°或110°D．55°或125°4．如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A＝70°，∠B＝60°，则的度数为何（）A．50°B．60°C．100°D．120°5．如图，AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，切点为B，点C在⊙O上，若∠CBE＝40°，则∠A的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．如图，直线AD与△ABC的外接圆相切于点A，若∠B＝60°，则∠CAD等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°7．如图，△ABC内接于⊙O，BD切⊙O于点B，AB＝AC，若∠CBD＝40°，则∠ABC等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC．AT是⊙O的切线，∠BAT＝55°，则∠D等于（）A．110°B．115°C．120°D．125°9．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCN互余的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．已知：如图，E是相交两圆⊙M和⊙N的一个交点，且ME⊥NE，AB为外公切线，切点分别为A，B连接AE，BE，则∠AEB的度数为（）A．145°B．140°C．135°D．130°二．填空题11．已知，如图，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，点A的坐标为（，0），⊙M的切线OC与直线AB交于点C．则∠ACO＝度．12．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，则∠B等于度．13．如图PA切⊙O于点A，∠PAB＝30°，则∠AOB＝度，∠ACB＝度．14．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，且∠BAC＝35°，则∠P＝度．15．如图，已知直线CD与⊙O相切于点C，AB为直径．若∠BCD＝35°，则∠ABC的大小等于度．16．如图四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，PD切⊙O于D，与BA延长线交于P点，已知∠BCD＝130°，则∠ADP＝．17．已知：如图，在⊙O中，AB是直径，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为．18．如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径．已知∠APB＝70°，则∠ACB的度数为°．19．如图，已知AD为⊙O的切线，⊙O的直径是AB＝2，弦AC＝1，则∠CAD＝度．20．如图，△ABC内接于圆⊙O，CT切⊙O于C，∠ABC＝100°，∠BCT＝40°，则∠AOB＝度．三．解答题21．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，过A作AD⊥CD，D为垂足．（1）求证：∠DAC＝∠BAC；（2）若AC＝6，cos∠BAC＝，求⊙O的直径．22．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD切⊙O于点C，且∠DAC＝∠BAC．（1）试说明：AD⊥CD；（2）若AD＝4，AB＝6，求AC．23．如图，PA为圆的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线交AB于点D，交AC于点E．求证：（1）AD＝AE；（2）AB•AE＝AC•DB．24．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝13，BC＝24，PA是⊙O的切线，A为切点，割线PBD 过圆心，交⊙O于另一点D，连接CD．（1）求证：PA∥BC；（2）求⊙O的半径及CD的长．25．如图，已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过D作⊙O的切线与AC的延长线交于点E．（1）求证：BC∥DE；（2）若AB＝3，BD＝2，求CE的长；（3）在题设条件下，为使BDEC是平行四边形，△ABC应满足怎样的条件（不要求证明）．26．如图，△ABC内接于⊙O，AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D，BE与AC相交于点F，且CB＝CE．求证：（1）BE∥DG；（2）CB2﹣CF2＝BF•FE．参考答案1．解：连接BC，∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，∴BD＝DC，∵∠ACE＝25°，∴∠ABC＝25°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，∴∠D＝50°．故选：A．2．解：∵BD是圆O的直径，∴∠BAD＝90°，又∵AC平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF＝45°，∵直线ED为圆O的切线，∴∠ADE＝∠ABD＝19°，∴∠AFB＝180°﹣∠BAF﹣∠ABD＝180°﹣45°﹣19°＝116°．故选：C．3．解：如图，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴∠OAP＝∠O BP＝90°，∵∠P＝70°，∴∠AOB＝110°，∴∠ACB＝55°，当点C在劣弧AB上，∵∠AOB＝110°，∴弧ACB的度数为250°，∴∠ACB＝125°．故选：D．4．解：∵∠A＝70°，∠B＝60°，∴∠C＝50°．∵此圆与直线BC相切于C点，∴的度数＝2∠C＝100°．故选：C．5．解：∵AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，∠CBE＝40°，∴∠A＝∠CBE＝40°．故选：B．6．解：∵DA与△ABC的外接圆相切于点A，∴∠CAD＝∠B＝60°．（弦切角定理）故选：B．7．解：∵BD切⊙O于点B，∴∠DBC＝∠A＝40°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠ABC＝（180°﹣40°）÷2＝70°．故选：D．8．解：如图，连接AC，由弦切角定理知∠ACB＝∠BAT＝55°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠CAB＝55°，∴∠B＝180°﹣2∠ACB＝70°，∴∠D＝180°﹣∠B＝110°．故选：A．9．解：∵直线MN切⊙O于C点，∴∠BCN＝∠BAC，∠ACM＝∠D＝∠B，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCN+∠ACM＝90°，∠B+∠BCN＝90°，∠D+∠BCN＝90°．故选：C．10．解：连接AM，BN，∵∠BAE＝∠AME，∠ABM＝∠BNE，∴∠B AE+∠ABE＝（∠AME+∠BNE），∵MA⊥AB，NB⊥A B，∴MA∥NB，∴∠AMN+∠BNM＝180°．∵∠MEN＝90°，∴∠EMN+∠ENM＝90°，∴∠AME+∠BNE＝180°﹣90°＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝×90°＝45°，∴∠AEB＝180°﹣45°＝135°．故选：C．二．填空题（共10小题）11．解：∵AB＝2，OA＝，∴cos∠BAO＝＝，∴∠OAB＝30°，∠OBA＝60°；∵OC是⊙M的切线，∴∠BOC＝∠BAO＝30°，∴∠ACO＝∠OBA﹣∠BOC＝30°．故答案为：30．12．解：∵PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，∴∠A＝∠PCB＝35°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴35°+∠B＝90°，解得∠B＝55°．故答案为：55．13．解：由弦切角定理知，∠C＝∠BAP＝30°；由圆周角定理知，∠AOB＝2∠C＝60°．14．解：连接OB；∵PA、PB都是⊙O的切线，且切点为A、B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB+∠P＝180°；在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝180°﹣2∠BAC；∴∠P＝2∠BAC＝70°．15．解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵直线CD与⊙O相切，∴∠A＝∠BCD，∵∠BCD＝35°，∴∠A＝35°，∴∠ABC＝55°．故答案为：55°．16．解：连接BD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°，∴∠BAD＝50°，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠40°∵PD切⊙O于D，∴∠ADP＝∠ABD＝40°，故答案为：40°．17．解：连接BD，则∠ADB＝90°，又∠BCD＝130°，故∠DAB＝50°，所以∠DBA＝40°；又因为PD为切线，故∠PDA＝∠ABD＝40°，即∠PDA＝40°．18．解：∵PA、PB分别是⊙O的切线，∴PA＝PB；∵∠APB＝70°，∴∠PBA＝（180°﹣∠APB）＝55°，∵PB切⊙O于B，∴∠ACB＝∠PBA＝55°．19．解：∵AB是圆的直径，∴∠C＝90°；又AB＝2，AC＝1，∴∠B＝30°，∵AD为⊙O的切线，∴∠CAD＝∠B＝30°．20．解：∵CT切⊙O于C∴∠BAC＝∠BCT＝40°；在△ABC中，∠BAC＝40°，∠ABC＝100°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣40°﹣100°＝40°，∴∠AOB＝2∠ACB＝2×40°＝80°．三．解答题（共6小题）21．证明：（1）连接BC，OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵直线CD与⊙O相切于点C，∴∠ACD＝∠B，∠OCD＝90°，∵AD⊥CD，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BAC；（2）∵cos∠BAC＝，∴＝，∵AC＝6，∴AB＝10，故⊙O的直径为10．22．（1）证明：连接OC；∵CD切⊙O于点C，∴OC⊥CD，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠OCA，∵∠DAC＝∠BAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，∴AD⊥CD；（2）解：连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在△ADC与△ACB中，，∴△ADC∽△ACB，∴＝，即AC2＝AD•AB，∵AD＝4，AB＝6，∴AC＝＝2．23．证明：（1）∵∠ADE＝∠APD+∠PAD，∠AED＝∠CPE+∠C，又∠APD＝∠CPE，∠PAD＝∠C．∴∠ADE＝∠AED．∴AD＝AE．（2）∵∠APB＝∠CPA，∠PAB＝∠C，∴△APB∽△CPA，得．∵∠APE＝∠BPD，∠AED＝∠ADE＝∠PDB，∴△PBD∽△PEA，得．∴．∴AB•AE＝AC•DB．24．（1）证明：∵PA是⊙O的切线，∴∠PAB＝∠2．又∵AB＝AC，∴∠1＝∠2，∴∠PAB＝∠1．∴PA∥BC．（2）解：连接OA交BC于点G，则OA⊥PA；由（1）可知，PA∥BC，∴OA⊥BC．∴G为BC的中点，∵BC＝24，∴BG＝12．又∵AB＝13，∴AG＝5．设⊙O的半径为R，则OG＝OA﹣AG＝R﹣5，在Rt△BOG中，∵OB2＝BG2+OG2，∴R2＝122+（R﹣5）2，∴R＝16.9，OG＝11.9；∵BD是⊙O的直径，∴DC⊥BC．又∵OG⊥BC，∴OG∥DC．∵点O是BD的中点，∴DC＝2OG＝23.8．25．（1）证明：连接CD；∵DE是圆O的切线，∴∠CDE＝∠CBD．∵∠CBD＝∠DAC，∴∠CDE＝∠DAC．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∴∠CDE＝∠BAD．∵∠BAD＝∠BCD，∴∠CDE＝∠BCD．∴BC∥DE．（2）解：如图，连接CD；∵AD平分∠BAC，∴＝．∴∠BCD＝∠CBD．∴BD＝CD＝2．∵BC∥DE，∴∠E＝∠ACB＝∠ADB．又由（1）中已证得∠CDE＝∠BAD，∴△ABD∽△DCE．∴AB：BD＝CD：CE．∴CE＝BD•CD÷AB＝．（3）解：应该是∠BAC＝2∠ACB．26．证明：（1）∵CB＝CE，∴∠E＝∠CBE．∵CG为⊙O切线，∴∠BCD＝∠E．∴∠CBE＝∠BCD．∴BE∥DG．（2）∵∠A＝∠E，∴∠A＝∠CBE．∵∠ACB＝∠ACB，∴△CBF∽△CAB，．∴CB2＝CF•AC＝CF•（CF+AF）＝CF2+CF•AF．即CB2﹣CF2＝AF•CF．由相交弦定理，得AF•CF＝BF•FE．∴CB2﹣CF2＝BF•FE．。