【2019年整理】03第三节数量积向量积混合积

数量积向量积混合积数量积、向量积和混合积是向量分析中的重要概念，它们是描述向量之间关系的数学工具。

在物理学、工程学、数学等领域，这些概念都有广泛的应用。

本文将介绍数量积、向量积和混合积的定义、性质和应用。

一、数量积数量积又称点积，是两个向量的数量乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

设有两个向量a和b，它们的数量积表示为a·b，计算公式为：a·b = |a| |b| cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示它们之间的夹角。

数量积有以下性质：1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c3. 数量积为零的条件：a·b = 0，当且仅当a和b垂直数量积有广泛的应用，例如，可以用来计算向量的模长、夹角、投影等。

在物理学中，数量积也可以用来计算功、能量等。

二、向量积向量积又称叉积，是两个向量的向量乘积。

设有两个向量a和b，它们的向量积表示为a×b，计算公式为：a×b = |a| |b| sinθ n其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示它们之间的夹角，n表示垂直于a和b所在平面的单位向量，其方向由右手定则确定。

向量积有以下性质：1. 反交换律：a×b = -b×a2. 分配律：a×(b+c) = a×b + a×c3. 向量积为零的条件：a×b = 0，当且仅当a和b平行或其中一个向量为零向量向量积可以用来计算向量之间的夹角、面积、体积等。

在物理学中，向量积也可以用来计算力矩、角动量等。

三、混合积混合积是三个向量的数量积与它们所在平面的法向量的向量积的乘积。

设有三个向量a、b和c，它们的混合积表示为(a×b)·c，计算公式为：(a×b)·c = a·(b×c) = b·(c×a) = c·(a×b)混合积有以下性质：1. 反交换律：a×(b×c) ≠ (a×b)×c2. 分配律：a×(b×c) = b(a·c) - c(a·b)3. 混合积为零的条件：a、b和c共面，或其中一个向量为零向量混合积可以用来计算三角形和四面体的面积和体积。

第三节 数量积 向量积 混合积分布图示★ 两向量的数量积★ 数量积的运算 ★ 例1 ★ 例2★ 例3★ 例4★ 例5 ★ 向量积概念的引入★ 向量积的定义★ 向量积的运算★ 例6 ★ 例7 ★ 例8★ 例9★ 例10★ 向量的混合积★ 混合积的几何意义★ 例11 ★ 例12★ 例13★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题7-3★ 返回内容要点一、两向量的数量积：定义1设有向量a 、b ，它们的夹角为θ，乘积θcos ||||b a 称为向量a与b 的数量积（或称为内积、点积），记为b a⋅，即θcos ||||b a b a=⋅.根据数量积的定义，可以推得：（1） b j a a j b b a a bPr ||Pr ||==⋅;（2） 2||a a a=⋅;（3） 设a 、b为两非零向量，则 b a ⊥的充分必要条件是 0=⋅b a .数量积满足下列运算规律： （1）交换律 ;a b b a⋅=⋅（2）分配律 ;)(c b c a c b a⋅+⋅=⋅+（3）结合律 )()()(b a b a b aλλλ⋅=⋅=⋅,（λ为实数）.二、两向量的向量积定义2 若由向量a 与b 所确定的一个向量c满足下列条件：（1）c 的方向既垂直于a 又垂直于b , c 的指向按右手规则从a转向b 来确定（图7-3-5）； （2）c 的模 θsin ||||||b a c =，(其中θ为a 与b的夹角)，则称向量c为向量a 与b 的向量积（或称外积、叉积），记为b a c⨯=.根据向量积的定义，即可推得（1）0 =⨯a a ；（2）设a 、b为两非零向量，则 b a //的充分必要条件是 0=⨯b a .向量积满足下列运算规律:（1）;a b b a⨯-=⨯（2）分配律 ;)(c b c a c b a⨯+⨯=⨯+（3）结合律 )()()(b a b a b aλλλ⨯=⨯=⨯,（λ为实数）.三、向量的混合积例题选讲两向量的数量积例1(E01) 已知},2,2,1{},4,1,1{-=-=b a求(1) ;b a ⋅ (2) a 与b 的夹角θ; (3) a 与b上的投影.解 (1) b a⋅2)4()2(111⋅-+-⋅+⋅=.9-=(2) 222222cos zy x z y x zz y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++=θ,21-= ∴.43πθ=(3) ,Pr ||a j b b a b =⋅.3||Pr -=⋅=∴a ba a j b例2 证明向量c与向量a c b b c a )()(⋅-⋅垂直.证 c a c b b c a ⋅⋅-⋅])()[(])()[(c a c b c b c a⋅⋅-⋅⋅=])[(c a c a c b ⋅-⋅⋅=,0=例3 (E02) 试用向量方法证明三角形的余弦定理.证 如图所示(见系统演示), 设在ABC ∆中, ,θ=∠BCA ,||a CB =,||b CA =,||c AB = 现要证.cos 2222θab b a c -+=记,a B C =,c B A =,b A C =则有,b a c-=从而 由,||a a = ,||b b = ,||c c =即得.cos 2222θab b a c -+=例4 (E03) 设b a 3+与b a 57-垂直, b a 4-与b a 27-垂直, 求a 与b之间的夹角θ.解 b a b a573-⊥+所以0)57()3(=-⋅+b a b a ,即016||15||722=⋅+-b a b a (1) 又b a b a274-⊥-所以0)27()4(=-⋅-b a b a 即030||8||722=⋅-+b a b a(2) 联立方程(1), (2)得 b a b a⋅==2||||22所以 ||||,cos b a b a b a ⋅=><∧，.3,π=><∧b a例5 (E04) 设液体流过平面S 上面积为A 的一个区域, 液体在这区域上各点处的流速均为(常向量) v . 设n 为垂直于S 的单位向量(图7-3-3a), 计算单位时间内经过这区域流向n 所指一方的液体的质量P (液体的密度为ρ).解 如图(见系统演示)，单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A 、斜高为||v的斜柱体,这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是v 与n的夹角,θ所以这柱体的高为,cos ||θv 体积为 从而，单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量为.n v A P ⋅=ρ两向量的向量积例6 (E05) 求与k j i b k j i a2,423-+=+-=都垂直的单位向量.解 b a c+=zyxz y xb b b a a a k j i =211423--=k j i ,510k j +=例7 (E06) 在顶点为)2,6,5(),2,1,1(--B A 和)1,3,1(-C 的三角形中, 求AC 边上的高BD . 解 {},3,4,0-=C A {},0,5,4-=B A三角形ABC 的面积为又|,|||21BD C A S ⋅=,5)3(4||22=-+=C A所以|,|521225BD ⋅⋅=从而.5||=BD 例8 设向量p n m,,两两垂直, 伏隔右手规则, 且计算.)(p n m⋅⨯解 ||n m ⨯),s i n (||||n m n m ∧=124⨯⨯=,8= 依题意知n m⨯与p 同向,例9 (E07) 设刚体以等角速度ω绕l 轴旋转, 计算刚体上一点M 的线速度.解 刚体绕l 轴旋转时，我们可以用在l 轴上的一个向量ω表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手规则写出: 即右手握住l 轴,当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时，大拇指的指向就是ω的方向，如图，设点M 至旋转轴l 的距离为,a 再在l 轴上任取一点O 作向量M O r =并以θ表示ω 与r的夹角，则.sin ||θr a =设线速度为,v 那么由物理学上线速度与角速度的关系可知, v的大小为v 的方向垂直于通过M 点与l 轴的平面，即v 垂直于ω 与;r又v 的指向是使,ω ,r v 符合右手规则. 因此有 .r v⨯=ω例10 利用向量积证明三角形正弦定理.证 设ABC ∆的三个内角为,,,γβα三边长为c b a ,,, 如图(见系统演示).因为B C C A B A+=，所以B A B C C A B A ⨯+=⨯)(,B A B C B A C A ⨯+⨯= 故,0=⨯+⨯B A B C B A C A 即.B A B C B A C A⨯-=⨯两边取模,B A B C B A C A ⨯=⨯即,sin sin βαac bc =故.sin sin βαba =同理可证 因此,sin sin sin γβαcb a ==三角形正弦定理得证. 向量的混合积例11 (E08) 已知2)(=⋅⨯c b a , 计算).()]()[(a c c b b a+⋅+⨯+解 )()]()[(a c c b b a +⋅+⨯+)(][a c c b b b c a b a+⋅⨯+⨯+⨯+⨯=例12 (E09) 已知空间内不在同一平面上的四点 求四面体的体积.解由立体几何知，四面体的体积等于以向量BA 、CA 、DA 为棱的平行六面体的体积的六分之一:∴.61141414131313121212z z y y x x z z y y x x z z y y x x V ---------±= 式中正负号的选择必须和行列式的符号一致 例13 已知k j i c k j b i a +-=-==22,2,, 求一单位向量,γ 使c ⊥γ, 且γ与b a ,此同时共面. 解 设所求向量}.,,{z y x =γ 依题意,1||=γ ,c ⊥γγ与b a ,共面，可得1222=++z y x (1),0=⋅cγ即022=+-z y x (2),0||=γb a 即02210001=+=-z y zy x(3) 将式(1)式(2)与式(3)联立解得32=x 或,32-31=y 或,31-32-=z 或,32 所以 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-±=32,31,32γ课堂练习1.已知向量,0,0≠≠b a 证明2.已知c b a ,,两两垂直, 且,3||,2||,1||===c b a 求c b a s ++=的长度与它和c b a,,的夹角.。

向量的混合积运算法则在线性代数中，向量的混合积是一种重要的运算法则，它在计算向量的数量积和向量积时起着重要的作用。

混合积也称为体积，它是三个向量的数量积的结果，表示这三个向量所构成的平行六面体的体积。

混合积的计算方法十分简单，但是在实际应用中具有重要的意义，尤其在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。

混合积的计算方法如下：设有三个向量a、b、c，它们的混合积记作[a, b, c]，计算公式为：[a, b, c] = a·(b×c)。

其中a·(b×c)表示向量a与向量b×c的数量积。

这个计算方法实际上是将向量a与向量b×c的数量积进行了简化，得到了混合积的结果。

混合积的计算结果是一个标量，表示所构成的平行六面体的体积。

混合积的计算方法可以通过以下步骤进行：1. 首先计算向量b与向量c的向量积，得到一个新的向量，记作b×c。

2. 然后计算向量a与向量b×c的数量积，得到混合积的结果。

混合积的计算方法十分简单，但是在实际应用中具有重要的意义。

在物理学中，混合积可以用来计算力矩和力矩矩阵的体积，从而可以求解物体的旋转运动问题。

在工程学中，混合积可以用来计算三维空间中的体积和面积，从而可以求解建筑设计和机械制造中的问题。

在计算机图形学中，混合积可以用来计算三维模型的体积和形状，从而可以进行三维建模和渲染。

混合积的计算方法还可以推广到更高维度的向量空间中。

在四维、五维甚至更高维度的向量空间中，混合积可以用来计算多维空间中的体积和形状，从而可以进行更加复杂的计算和分析。

混合积的推广和应用为向量运算提供了更加丰富和多样的方法，为实际问题的求解提供了更加丰富和多样的工具。

总之，向量的混合积是一种重要的运算法则，它在计算向量的数量积和向量积时起着重要的作用。

混合积的计算方法简单而直观，但在实际应用中具有重要的意义。

混合积的推广和应用为向量运算提供了更加丰富和多样的方法，为实际问题的求解提供了更加丰富和多样的工具。

向量运算：外积与混合积在数学和物理学领域中，向量是一种重要的概念，它可以表示物理量的大小和方向。

向量的运算包括加法、数乘、内积、外积和混合积，其中外积和混合积是两种比较复杂的运算。

外积（叉乘）外积，又称叉乘或向量积，是两个向量之间的一种运算。

对于给定的两个三维向量$\\vec{a}$和$\\vec{b}$，它们的外积定义为一个新向量，记为$\\vec{a}\\times \\vec{b}$。

外积的计算公式如下：$$ \\vec{a} \\times \\vec{b} = \\begin{pmatrix} a_{1} \\\\ a_{2} \\\\ a_{3}\\end{pmatrix} \\times \\begin{pmatrix} b_{1} \\\\ b_{2} \\\\ b_{3}\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} a_{2}b_{3} - a_{3}b_{2} \\\\ a_{3}b_{1} -a_{1}b_{3} \\\\ a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} \\end{pmatrix} $$在物理学中，外积经常用于描述两个向量之间的叉乘关系，并常用于计算力矩等物理量。

混合积（点乘）混合积，又称点乘或数量积，是三个向量之间的一种运算。

对于给定的三个向量$\\vec{a}$、$\\vec{b}$和$\\vec{c}$，它们的混合积定义为一个标量（纯数量），记为$\\vec{a} \\cdot (\\vec{b} \\times \\vec{c})$。

混合积的计算公式如下：$$ \\vec{a} \\cdot (\\vec{b} \\times \\vec{c}) = \\vec{a} \\cdot \\vec{d} =a_{1}d_{1} + a_{2}d_{2} + a_{3}d_{3} $$其中，$\\vec{d} = \\vec{b} \\times \\vec{c}$ 是$\\vec{b}$和$\\vec{c}$的叉积所得的向量。